理论部分无约束最优性条件单元函数的最优性条件
（１） 若
（２）
*? 为 的局部极小点,则 ;0*
若,0,0 ** 则 *? 为
的严格局部极小点；
若（３） *? 为 的局部极小点,则：
,0,0 **
一阶必要条件定理 1:若 *x 为xf 的局部极小点,且在*xN
内xf 一阶连续可导,则,0** xfg
注,(1)仅仅是必要条件，而非充分条件．
(2)满足 0** xfg 的点称为驻点．
驻点分为：极小点，极大点，鞍点．
二阶充分条件定理 2:若在*xN
内xf 二阶连续可导,且
***,0 xGGg 正定,则 *x 为严格局部极小点．
注,如果 *G 负定,则 *x 为严格局部极大点．
二阶必要条件定理 3:若 *x 为xf 的局部极小点,且在*xN?
内xf 二阶连续可导,则 **,0 Gg? 半正定．
充要条件定理 4:设xf 在 nR 上是凸函数且有一阶连续偏导数,则 *x 为xf 的整体极小点的充要条件是,0*?g
例 1,利用极值条件解下列问题：
1223231 3131m in xxxxxf
解：
2
2
2
2
2
1
1
21 xxxfxxf
令,0 xf 即：
02
01
2
2
2
2
1
xx
x
得到驻点,
2
1,
0
1,
2
1,
0
1
4321 xxxx
函数xf 的海色阵：
220
02
2
12
x
x
xf
由此,在点 4321,,,xxxx 处的海色阵依次为：
20
02
20
02
2
2
1
2 xfxf
20
02
20
02
4
2
3
2 xfxf
由于矩阵
4212,xfxf
不定,则
21,xx 不是极小点．
32 xf? 负定,则 3x 不是极小点，
实际上它是极大点．
22 xf? 正定,则 2x 是局部极小点．
（１） 若
（２）
*? 为 的局部极小点,则 ;0*
若,0,0 ** 则 *? 为
的严格局部极小点；
若（３） *? 为 的局部极小点,则：
,0,0 **
一阶必要条件定理 1:若 *x 为xf 的局部极小点,且在*xN
内xf 一阶连续可导,则,0** xfg
注,(1)仅仅是必要条件，而非充分条件．
(2)满足 0** xfg 的点称为驻点．
驻点分为：极小点，极大点，鞍点．
二阶充分条件定理 2:若在*xN
内xf 二阶连续可导,且
***,0 xGGg 正定,则 *x 为严格局部极小点．
注,如果 *G 负定,则 *x 为严格局部极大点．
二阶必要条件定理 3:若 *x 为xf 的局部极小点,且在*xN?
内xf 二阶连续可导,则 **,0 Gg? 半正定．
充要条件定理 4:设xf 在 nR 上是凸函数且有一阶连续偏导数,则 *x 为xf 的整体极小点的充要条件是,0*?g
例 1,利用极值条件解下列问题：
1223231 3131m in xxxxxf
解：
2
2
2
2
2
1
1
21 xxxfxxf
令,0 xf 即：
02
01
2
2
2
2
1
xx
x
得到驻点,
2
1,
0
1,
2
1,
0
1
4321 xxxx
函数xf 的海色阵：
220
02
2
12
x
x
xf
由此,在点 4321,,,xxxx 处的海色阵依次为：
20
02
20
02
2
2
1
2 xfxf
20
02
20
02
4
2
3
2 xfxf
由于矩阵
4212,xfxf
不定,则
21,xx 不是极小点．
32 xf? 负定,则 3x 不是极小点，
实际上它是极大点．
22 xf? 正定,则 2x 是局部极小点．
