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第四章 数值积分与数值微分上一页 下一页2
ba dxxf )(
2个 研究对象,
1,用数值 (近似 )方法求定积分,
2,用数值 (近似 )方法求微分,
n
n
dx
xfd )(
上一页 下一页3
4 个 需要关心的问题：
1,为什么要用数值 (近似 )方法？
2,有哪些数值 (近似 )方法？
3,数值 (近似 )方法的精度如何？
4,如何实现这些数值 (近似 )方法？
上一页 下一页4
§ 1 引 言一、数值积分方法的基本思想二、代数精度的概念三、插值型求积公式上一页 下一页5
一、数值积分方法的基本思想
ba aFbFdxxf )()()(
其中 F(x)是 f(x)的原函数，即方法一,牛顿 — 莱伯尼兹 (Newton-Leibniz)公式：
ba dxxfI )(? 研究对象 1：怎样求定积分？
主要有两种方法：
)()( xfxF
上一页 下一页6
ba aFbFdxxf )()()(
存在的问题,
例：
（ 1）原函数难求，无解析式！
（ 2） f(x)仅提供样本值
,,)( s i n,s i n)( 22 xexxxxf
.,,1,0) ) },(,{( nixfx ii
上一页 下一页7
ba fabdxxf )()()(?
)(xf对连续函数,根据积分中值定理，存在
],[ ba,使得只要给出计算 )(?f 的一种算法便相应地获得一种数值求积方法,
举例,1个节点的数值积分公式 —— 矩形求积公式,
)()( 00 xfAdxxfI ba
常取 bbaax,2,0
方法二：数值积分公式上一页 下一页8
ba afabdxxf )()()(
—— 左矩形求积公式
—— 右矩形求积公式
—— 中矩形求积公式
ba abfabdxxf )2()()(
ba bfabdxxf )()()(
上一页 下一页9
f(x)
a b
f(a)
f(b)
2个节点的数值积分公式 -----梯形公式
)]()([2)( bfafabdxxfb
a
上一页 下一页10
一般地，数值积分公式
ba dxxfI )(,)(0
n
i
ii xfA
优点,普适性、在计算机上的可操作性三要素,1?n求积节点数
nix i )1(0,?节点的分布
iA公式的系数
.10 bxxxa n
上一页 下一页11
二、代数精度的概念
,)()(
0
b
a
n
k
kk xfAdxxf
原则,恰当选取,,使得 (1.1)的代数精确度高。
}{ kx }{ kA
（ 1.1）
当求积节点个数给定后，怎样构造数值求积公式？
m?
1?m
m
定义 1 如果求积公式（ 1.1）对所有次数项式是精确的，但对 次多项式不精确，则称次代数精度,
的多
（ 1.1）具有
.10 bxxxa n
上一页 下一页12
欲使求积公式（ 1.1）具有 m次代数精度，只要令都能精确成立，这就要求中的上下标,
它对于 mxxxf,,,1
,abA k
,21 22 abxA kk
,21 11 mmmk abxA
k
（ 1.5）
注,这里省略了符号?
n
k 0
上一页 下一页13
如何构造求积公式？
)]()([2)( bfafabdxxfba
,,10 bxax )()()( 1100 xfAxfAdxxfba
模式一,给定节点，系数待定。
方法,给定得到：
例：构造 梯形求积公式：
令
ba dxab ba x d xab )(21 22
则
.210 abAA
精确成立,xxf,1)(?对
,10 AA,10 bAaA
上一页 下一页14
模式二,节点、系数全待定注：梯形公式和中矩形公式都具有 1次 代数精度方法,令得到：
ba bafabdxxf )2()()(
例,构造 中矩形求积公式：
,0 ba Adxab
ba xfAdxxf )()( 00xxf,1)(?
.)(21 0022 b
a
xAxdxab
abAbax 00,2
对 精确成立则：
上一页 下一页15
证明,
(2)
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(考虑求积公式：
定理 1,任给 个互异节点,1?n bxxxa
n10
(1)
}{ kA1?n总存在 个相应的求积系数,使
（ 1）至少具有 n次代数精度,
nixxf i,,2,1,0,)(
n
k
b
a
ii
kk dxxxA
0
精确成立，
}{ kA
则得关于 的线性代数方程组：
令（ 1）对
niabi ii,,1,0),(11 11
上一页 下一页16
其系数行列式为范德蒙行列式
}{ kA 构成的}{ kA（ 2）有唯一解 。
n?（ 1）对所有次数 的多项式都是精确的,
显然,以此组
n
n
nnn
n
n
xxxx
xxxx
xxxx
V
210
22
2
2
1
2
0
210
1111
nji
ij xx
0
)(,0?
上一页 下一页17
三、插值型求积公式
}{ kA
,,.,,,1,0,nix i?
定义,若（ 1）中的 满足（ 3）、（ 4），则称 求积公式（ 1）
为插值型的。
}{ kA
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
求积公式,（ 1）
求
（ 4）
将对应于节点
k
b
a
n
j
jkjk AxlAdxxl
0
)()(代入（ 1），得：
（ 3）
的方法：
n
ij
j ji
j
i nixx
xxxl
0
,,2,1,0,)(?
的 n次插值多项式基函数上一页 下一页18
定理 2 形如（ 1）的求积公式至少具有 n次代数精度的充要条件是，它是插值型的,
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
（ 1）
)(xlk
证明 n次多项式精确成立：
必要性,因求积公式对形如（ 3）的
b
a
n
i
ikik xlAdxxl
0
)()(
注意到基函数性质
kiik xl)(
,,1
,,0
时当时当
ik
ik
上一页 下一页19
.)(
0
b
a
n
i
kkiik AAdxxl?
所以
}{ kA 满足（ 4），从而（ 1）是插值型的,即充分性：
因对任何次数 n? 的多项式 )( xf,它的以
}{ kx 为插值节点的 n 次 L a g r a n g e 插值多项式
n
k
kk
xlxf
0
)()( 就是 )( xf,
b
a
n
k
b
a kk
dxxlxfdxxf
0
)()()(
所以从而（ 1）至少具有 n次代数精度,
.)(
0
n
k
kk xfA
上一页 下一页20
§ 2 Newton-Cotes求积公式一、公式的导出二,误差分析三、收敛性问题上一页 下一页21
一、公式的导出定义 3 对 ],[ ba 的 n 等分点
,/)(,nabhkhax k nk,,2,1,0
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf
0
)( )()()( （ 2.1）
称为 n阶 Newton-Cotes公式,
插值型求积公式
)(nkc 称为 Cotes系数,其中上一页 下一页22
,/)(,nabhkhax k,,10 bxxxa n
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
取 [a,b]的等距剖分点为求积节点,
改写
Cotes系数
dxxlAcab ba kknk )()( )( dxxx
xxn
ki
i ik
i
b
a
0 )(
)(
()
0 0
1 ( )
()
nn
n k
k
i
ik
A t ic d t
b a n k i?
与 无关！ba,
,)()()(
0
)(
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf )()( nkk cabA
为：
上一页 下一页23
n阶 Newton-Cotes公式
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf
0
)( )()()( 的系数
n nkc nk,,2,1,0)(，
2121
613261
81838381
90745161524516907
288
19
96
25
144
25
144
25
96
25
288
19
840
41
35
9
280
9
105
34
280
9
35
9
840
416
5
4
3
2
1
上一页 下一页24
1阶 Newton-Cotes公式：
即梯形求积公式。
2阶 Newton-Cotes公式：
称为辛甫生 (Simpson)求积公式。
)]()([2)( bfafabdxxfb
a
ba bfbafafabdxxf )](24)([6)(
上一页 下一页25
二、误差分析
b
a
n
i
iin xfAdxxffE
0
)()()(
ba ba ini in dxxlxfdxxffE )()()()( 0
ba n dxxpxf )]()([
记插值型求积公式的误差为：
则：
其中
且依赖于 x。
)(xpn )(xf
n
i
i
n
n xxn
fxpxf
0
)1(
)()!1( )()()(?
,])()!1( )([)(
0
)1(
b
a
n
i
i
n
n dxxxn
ffE?),( ba
为 的 n次插值多项式。
上一页 下一页26
二、误差分析
ba dxxffI,)(
对 n阶 Newton-Cotes公式 （ 2.1）,记
（ 2.3）
n
k
k
n
kn xfcabfI
0
)( )()(
).()()( fIfIfE nn则误差为
)(xf ],[ ba假定 在 上足够光滑，则：
1?n当 （即梯形公式）时
ba dttftKfE )()()( 11
其中：,2/))(()(1 btattK
称为关于梯形公式的 Peano核,
上一页 下一页27
2?n当 （即辛甫生公式）时
ba dttftKfE )()()( )4(22 （ 2.6）
其中：
bt
ba
tabtb
ba
tabatat
tK
2
),32()(
72
1
2
),23()(
72
1
)(
3
3
2
（ 2.7）
称为关于辛甫生公式的 Peano核,
上一页 下一页28
注意到 （ 2.5）、（ 2.6）中 Peano核的保号性，
ba dttKffE,)()()( 11?
ba dttKffE )()()( 2)4(2?
53 n n对 的 阶 Newton-Cotes公式可作同样的
)/)(( nabh,讨论，最后可得如下误差所以由积分中值定理有：
上一页 下一页29
（ 2.8）
结论,n阶 Newton-Cotes公式的代数精度为：
d
,1?n,为偶数时当 n
,n,为奇数时当 n
.5),(
1 2 0 9 6
2 7 5
,4),(
9 4 5
8
,3),(
80
3
,2),(
90
1
,1),(
12
1
)(
)6(7
)6(7
)4(5
)4(5
)2(3
nfh
nfh
nfh
nfh
nfh
fE
n
上一页 下一页30
三、收敛性问题
4 4 21 1 dxxI
4 4 21 1 dxxI
例如,利用牛顿 -柯特斯公式计算积分：
解：积分的准确结果为：
但用 n阶牛顿 -柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
6 5 1 6.24t a na r g2
上一页 下一页31
n nI
2
4
6
8
10
5.4902
2.2776
3.3288
1.9411
3.5956
4 4 21 1 dxxI 6 5 1 6.24t a na r g2
由上表可以看出,此时数值求积过程是 发散的 。
上一页 下一页32
nk,,2,1,0,||
0
)(?
n
k
n
kn c?
.}{s upn
n
)(nkc对于 n阶 Newton-Cotes公式的 Cotes系数
，若记其绝对值的和为则可以证明
（ 2.10）
结论,当 n充分大时,),,2,1,0()( nkc nk
的符号 必定变化,
1)(?xf 1?n ),()( fIfI n?
n
k
n
kc
0
)( 1
显然,当 时，对所有,都有即注意：
上一页 下一页33
)(5 8 8 8)(9 8 9[1 4 1 7 5 )(4)()( 71808 ffffabfIdxxfb
a
]4540)(10496)(928 45362 fffff
8?n例如当 时，
).( kk xff?这里 显然,这样的公式会引起有效数字的
)7(?n故 实际应用时 常常只采用几种低阶 的求积公式,
如梯形公式、辛甫生公式、
损失（尽管在 n变得较大之前未必成为问题）,
四阶 Newton-Cotes公式 —— 特别称作 Cotes公式,
上一页 下一页34
§ 3 复化求积公式一、复化求积法的思想二、复化公式的截断误差三、自适应复化求积法上一页 下一页35
一、复化求积法的思想在 上节中已经指出,不能期望通过提高阶数来改善 Newton-Cotes公式的精度,
又根据低阶公式的误差公式
.5),(
1 2 0 9 6
2 7 5
,4),(
9 4 5
8
,3),(
80
3
,2),(
90
1
,1),(
12
1
)(
)6(7
)6(7
)4(5
)4(5
)2(3
nfh
nfh
nfh
nfh
nfh
fE
n
（ 2.8）
)/)(( nabh
上一页 下一页36
],[ ba当积分区间 的长度 abh0 不是足够小时，
Newton-Cotes公式的 误差仍可能是较大的,
问题,该如何 降低 误差,提高 精度呢？
因为 通过高阶求积公式提高精度的途径 不行,
故类似 函数插值 分而治之：
分段 ＋ 低阶求积公式
---------- 称为 复化求积法上一页 下一页37
复化求积法的思想,(以复化梯形公式为例 )
n
abhnkkhax
k
),,,1,0(,?
1、分段 ],[ ba将积分区间 分成 n段，
],[ ba通常是将 n等分
2、每段 ],[ 1 kkk xxe 采用低阶的数值求积公式上一页 下一页38
1
1[ ( ) ( )]2
kk
k k k
xxI f x f x?
ke在 上利用梯形公式计算积分
3、求和 对每个区间 ke 的近似积分值求和，
用所得的值近似代替原积分值,即
ba dxxfI )(
n
k
kI
1
1
1
1
[ ( ) ( )]
2
n
kk
kk
k
xx f x f x?
n
k
x
x
k
k
dxxf
1 1
)(
b
a
n
k
k bfxfaf
hdxxf 1
1
)]()(2)([2)(
上一页 下一页39
类似可得其他复化公式
ba dxxf )(
1、复化辛甫生公式：
21?kx ],[ 1?kk xx其中 表示子区间 的中点,
)([6 afh?
1
0
)(4
2
1
n
k
kxf?
1
1
)(2
n
k
kxf )](bf?
2、复化柯特斯公式
ba dxxf )( )(7[90 afh?
1
1
)(14
n
k
kxf?
n
k
kxf
1
)(32
4
3
n
k
kxf
1
)(12
2
1?
n
k
kxf
1
)(32
4
1 )](7 bf?
，
，
,
4
1?kx
4
3?kx ],[ 1 kk xx?
为 的四等分的分点
,n abh
21?k
x ],[ 1 kk xx?其中,为 的中点，
上一页 下一页40
21
4)(
xxf
dxxfI 1
0
)(
例 1 对 利用下表所给数据，利用的值。
复化梯形公式和复化辛甫生公式计算
kx )( kxfkx )( kxf
0 4.0000000 5/8 2.8764045
1/8 3.9384615 6/8 2.5600000
2/8 3.7647059 7/8 2.2654867
3/8 3.5068493 8/8 2.0000000
4/8 3.2000000
上一页 下一页41
则：
解：① 用复化梯形公式计算
,81,8 hn取
)]()(2)([2
1
1
8 bfxfaf
hT n
k
k
)]1()8(2)0([161
7
1
fkff
k
1389 885.3?
② 用复化辛甫生公式计算取,41,4 hn 则：
上一页 下一页42
)]()(2)(4)([6
1
11
2 21 bfxfxfaf
hS n
k
k
n
k
k
)]1()82(2)8 12(4)0([241
3
1
4
1
fkfkff
kk
1415 925.3?
而准确值：
1 4 1 5 9 0 5.3|a r c ta n4 10I
上一页 下一页43
二、复化公式的截断误差
1、复化梯形公式 记
1
1
)]()(2)([2
n
k
kn bfxfaf
hT
在子区间 ],[ 11 kkk xxe 上，应用梯形求积公式的误差估计式，得：
ba nTdxxf )(
1
0
1 )]()([2)(
1
n
k
kk
x
x
xfxfhdxxfk
k
1
0
3
)](12[
n
k
kf
h
1
0
2 )(1
12
n
k
kfnh
ab?
上一页 下一页44
当 ],[)( baCxf 时，有：
1
0
)]([m ax)(1)]([m i n
n
k bxa
kbxa xffnxf?
由介值定理
1
0
],[),()(1
n
k
k baffn
.)(12)( 2b
a n
fhabTdxxf?
上一页 下一页45
.|)(|m ax12|)(| 2
b
a bxan
xfhabTdxxf
则复化梯形公式有误差估计 ],,[)( 2 baCxf?定理 3 设
2、复化辛甫生公式 同理可得：
ba bxan xfhabSdxxf |)(|m a x2 8 8 0|)(| )4(4
则复化辛甫生公式有误差估计 ],,[)( 4 baCxf?定理 4 设
3、复化柯特斯公式
ba bxan xfhabCdxxf |)(|m a x)4(9 4 5 )(2|)(| )6(6
上一页 下一页46
注,若将步长 h 减半（即等分数 n 加倍），则复化梯形公式和复化辛 甫生公式的误差分别减至原有误差的
4
1
和
16
1
,
例 2 用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算
0
co s xdxeI x
精确值是 0703463164.12I,
,)]()(2)([2
1
1
n
k
kn bfxfaf
hT,
nn TIE
采用 复化梯形公式 计算，记上一页 下一页47
n nT nE nn EE 2/
2 -17.389259 5.23
4 -13.336023 1.72 4.20
8 -12.382162 3.12E-1 4.06
16 -12.148004 7.77E-2 4.02
32 -12.089742 1.94E-2 4.00
64 -12.075194 4.85E-3 4.00
128 -12.071558 1.21E-3 4.00
256 -12.070649 3.03E-4 4.00
512 -12.070422 7.57E-5 4.00
上一页 下一页48
1
0
1
1
)]()(2)(4)([6
2
1
n
k
n
k
kkn bfxfxfaf
hS
nn SIE
采用复化辛甫生公式计算，记
n nE nn EE 2/
2 -11.5928395534 -4.78E-1
4 -11.9849440198 -8.54E-2 5.59
8 -12.0642089572 -6.14E-3 14.9
16 -12.0699513233 -3.95E-4 15.5
32 -12.0703214561 -2.49E-5 15.9
64 -12.0703447599 -1.56E-6 16.0
128 -12.0703462191 -9.73E-8 16.0
256 -12.0703463103 -6.08E-9 16.0
nS
上一页 下一页49
三、自适应复化求积法因为,h取得 太大 则 精度难以保证,
计算时，要预先 给定 n或 步长 h，在实际中 难以把握
h太小 则 增加 计算工作量,
关键,后验估计式的建立以复化梯形公式为例
.4
2
n
n
TI
TI
上一页 下一页50
在 步长 h逐次分半 的过程中，
自适应复化求积法基本思路：
反复利用 复化求积公式进行计算，
直到 所求得的积分值 满足精度要求 为止 。
此时的步长 h，
既能 保证精度要求 又使 计算工作量最小,
上一页 下一页51
下面以 复化梯形公式 为例，介绍自适应复化求积算法,
n
k
kkn xfxf
hT
1
1 )]()([2
1,n等分 [a,b]，则
2、将 [a,b]作 2n等分，则
],[ 1 kk xx ],[],[
21211 kkkk xxxx
此时,],[ 1 kk xx? 上的积分值为
)]()([2 2/
2
11 kk xfxf
h )]()([
2
2/
2
1 kk xfxf
h?
上一页 下一页52
)]()([2 2/)]()([2 2/
2
1
2
11 kkkk xfxf
hxfxfh
])()(2)([2 2/
1
12 21?
n
k
kkkn xfxfxf
hT
n
k
kn xf
hT
1
)(221
2
1
其中,/)( nabh
由复化梯形公式的截断误差估计式，有
],[ ),(12 2 bafhabTI nnn
],[ ),()2(12 2222 bafhabTI nnn
上一页 下一页53
)()( 2 nn ff
当 n充分大时，
1( ) ( )b
n ba af f x dx
从而
4
2
n
n
TI
TI
即得 ).(
3
1
22 nnn TTTI
|| 2 nn TT
可通过检验条件
（预置的容许误差）
nT2 是否已满足精度要求。来判断上一页 下一页54
自适应复化梯形法的具有计算过程如下：
,1?n
步 1
,abh ) ] ;()([21 bfafhT
步 2
步 3
步 4
,)(
1 2
1?
n
k
kxfT ;22
1
12 T
hTT
判断?|| 12 TT 若是，则转 步 5；
,,2/,2 21 TThhnn 转 步 2；
步 5 输出,2T
上一页 下一页55
§ 4 基于复化梯形公式的高精度求积算法一、梯形公式的余项的展开式二,Richardson外推法三,Romberg求积法上一页 下一页56
梯形求积法优点,算法简单缺点,精度低,收敛速度慢,
两种常用 的提高精度的算法：
1,Richardson外推法
2,Romberg求积法上一页 下一页57
一、梯形公式的余项展开式对复化梯形求积公式
b
a
n
k
k bfxfaf
hdxxf 1
1
)]()(2)([2)(
梯形和
1
1
)],()(2)([2
n
k
kn bfxfaf
hT
),/)(( khaxnabh k
有如下渐近展式：
（＊）
上一页 下一页58
定理 5 设 ],,[ baCxf 则成立
mm
b
an
hhhdxxfT 24221
（ 4,1 ）
其中系数,2,1?i
i?
与 h 无关,
证明将 ()fx 在子区间
1[,]kkxx?
的中点
11
22
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
23( ) ( )
( ) ( ) 2 ! 3 !kkk k k k k
x x x x
f x f x x f f f
111
222
111
222
456
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
( ) ( ) ( )
4 ! 5 ! 6 !
kkk
kkk
x x x x x x
fff
(＊ )
1
2 1
1 ()
2 kkkx x x展开，有上一页 下一页59
12
()j
kf? 12
()()j
kfx?式中 是 的简写,
()kfx 1()kfx?据此写出 和 的展开式,易知
1[ ( ) ( ) ]2 kk
h f x f x
12khf 12
2
2 ! 2 k
hh f
1
2
4
( 4 )
4 ! 2 k
hh f
1
2
6
( 6 )
6 ! 2 k
hh f
求和得
1
1
0
[ ( ) ( ) ]2
n
n k k
k
hT f x f x?
1
2
n
k
k
hf
12
3 1
2
02 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
04 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
06 ! 2
n
k
k
h f?
①
上一页 下一页60
11
22
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
23( ) ( )
( ) ( ) 2 ! 3 !kkk k k k k
x x x x
f x f x x f f f
111
222
111
222
456
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
( ) ( ) ( )
4 ! 5 ! 6 !
kkk
kkk
x x x x x x
fff
(＊ )
另一方面，将 1[,]kkxx?上积分得两边在区间(＊ )
1 ()k
k
x
x f x dx
12khf
1
2
32
3 ! 2 k
h f
1
2
5
( 4 )2
5 ! 2 k
h f
1
2
7
( 6 )2
7 ! 2 k
h f
上 式两边关于 k 从 0 到 1n? 求和得
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
上一页 下一页61
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
1
1
0
[ ( ) ( ) ]2
n
n k k
k
hT f x f x?
1
2
n
k
k
hf
12
3 1
2
02 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
04 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
06 ! 2
n
k
k
h f?
①
利用 ② 从 ① 中消去项 1
2
1
0
n
k
k
hf
,得
11
22
3511
( 4 )
002 ! 6 4 ! 2 0
nn
n kk
kk
hhT I f f
1
2
7 1
( 6 )
0
3
6 ! 2 4
n
k
k
h f?
③
又对 ()fx 应用式 ②,并注意到 ( ) ( ) ( )ba f x d x f b f a
11
22
311
( 4 )
2
00
( ) ( ) 3 ! 2
nn
kk
kk
hh f f b f a f
1
2
5 1
( 6 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
3
( 4 )
2( ) ( ) 3 ! 2
hh f f b f a f
12
5 1
( 6 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
上代入 ③ 式，整理得
2
[ ( ) ( ) ]2 ! 6n hT I f b f a
1
2
5 1
( 4 )
04 ! 30
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
06 ! 5 6
n
k
k
h f?
上一页 下一页62
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
再对 ( 4 ) ()fx应用式 ②,有
11
22
311
( 4 ) ( 6 )
2
00
( ) ( ) 3 ! 2
nn
kk
kk
hh f f b f a f
从而进一步得到
2
[ ( ) ( ) ]2 ! 6n hT I f b f a
4
[ ( ) ( ) ]4 ! 3 0h f b f a
1
2
7 1
( 6 )
06 ! 4 2
n
k
k
h f?
反复施行上述手续，即可得到形如 (4.1)的展开式。 □
上一页 下一页63
mmban hhhdxxfT 24221 （ 4.1 ）
记
, ba dxxfI
则 （ 4.1） 可简记为：
)( 64221 hOhhIT n（ 4.2）
上一页 下一页64
二,Richardson外推法
)( 64221 hOhhIT n（ 4.2）
当步长缩小一倍时，有
)(22 6
4
2
2
12 hO
hhIT
n
（ 4.3）
将上式乘以 4再减去 (4.2)并整理可得
)(4 642 hOhIS n（ 4.4）
其中
.3/)4( 2 nnn TTS （ 4.5）
上一页 下一页65
nn TT 2,
)( 2hO
),( 4hO
结论,只需将前后两次算得的复化梯形和按（ 4.5）作简单组合后就可将求积精度从提高到 这种方法就称作 Richardson外推法,
.3/)4( 2 nnn TTS （ 4.5）
)( 6hOIC n
再外推一次，便得：
（ 4.6）
其中 15/)16( 2 nnn SSC
或 45/)2064( 24 nnnn TTTC
（ 4.7）
（ 4.8）
上一页 下一页66
三,Romberg求积法记步长为 kh 的复化梯形和为 kT,0,则公式（ 4,1 ），有
m
i
m
k
i
kik hOhIT
1
222
,0,0 )(?（ 4.9）
其中 ii,0 为与 kh 无关的常数,取 kk hh 2
1
1
，对（ 4,9 ）作 R i chard s on 外推，消去 2h
项后得
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
1
2
1,1,1 )(?（ 4.10）
mmban hhhdxxfT 24221（ 4.1）其中,ikkk TTT,1,01,0,1,3/)4(为与 1?kh 无关的常数,
上一页 下一页67
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
1
2
1,1,1 )(?（ 4.10）
于是?
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
2
2
2,11,1 )(?
取 12 21 kk hh,与 （ 4.1 0 ） 式联立消去 4h 项后得
m
i
m
k
i
kik hOhIT
3
22
2
2
2,2,2 )(?3?i
其中,15/)16(
,11,1,2 kkk TTT
上述过程可一直进行下去，如第 j步有：
m
ji
m
jk
i
jkijkj hOhIT
1
222
,,)(?（ 4.11）
其中,,
2
1
1 jkjk hh
)14/()4(,11,1, jkjkjjkj TTT
（ 4.12）
上一页 下一页68
当取 jm? 时，（ 4,1 1 ）即给出了误差,显然，
m
ji
m
jk
i
jkijkj hOhIT
1
222
,,)(?（ 4.11）
22, j kjkj hOIT （ 4.13）
,21 1 jkjk hh )14/()4(,11,1, jkjkjjkj TTT （ 4.12）
根据 (4.11)~(4.13),可得到形象的 表中
02 hh
i
i
,
kjT,
由指向它的
1,1 kjT
和
kjT,1?
按
（ 4,12 ）生成三角形递推表 4.5,
上一页 下一页69
表 4.5 Romberg算法计算表误差量级步长 h
2
h
4
h
6
h
8
h
10
h …
0
h
0,0
T
1
h
2
h
3
h
4
h
↘
1,0
T
→
0,1
T
↘ ↘
2,0
T
→
1,1
T
→
0,2
T
↘ ↘ ↘
3,0
T
→
2,1
T
→
1,2
T
→
0,3
T
↘ ↘ ↘ ↘
4,0
T
→
3,1
T
→
2,2
T
→
1,3
T
→
0,4
T
·······················
上一页 下一页70
算法的实现：
1,只将梯形和序列
k
T
,0
加工至误差量级为 6h 的序列
k
T
,2；
2,以
1T
、
2T
分别表示
k
T
,0
和
1,0?k
T ；
3,
1S
、
2S
表示
k
T
,1
和
1,1?k
T ；
4,
1C
、
2C
表示
k
T
,2
和
1,2?k
T 。
在计算 1,0?kT 时，用到了递推公式
1
0
,01,0 )(22
1
2
1
n
i
i
k
kk xf
hTT
（ 4.14）
其中 kik hiaxhabn )21(,/)(
2
1。
上一页 下一页71
Romberg算法的具有计算过程如下：
,1?k步 1,abh ) ] ;()([21 bfafhT
步 2
步 3
步 4 判断 k=1? 若 k=1，转 步 5；
转 步 2；步 5
1
0
2
1 ],)([
n
i
hiafS ;22 12 ShTT
);(31 1222 TTTS
否则转 步 6；
,,,2,1 2121 SSTThhkk
步 6 );(151 1222 SSSC
上一页 下一页72
输出,2C
步 8
步 7 判断 k=2?
若 k=2,否则转 步 8；转 步 5；,21 CC?
步 9
判断?|| 12 CC 成立时转 步 9；
否则 转 步 5；,21 CC?
上一页 下一页73
例 用 Romberg算法计算积分 dxxI 1
0 21
4
2
4( ),0,1
1f x a bx
1
11[ ( 0 ) ( 1 ) ] ( 4 2 ) 3
22T f f
1 1 6,
25f
21
1 1 1
2 2 2T T f
1 2 1
41
33S T T
解
(2) 由 则
(1)
(3)
1 1 63 3,1
25
3,1 3 3 3 3,?
上一页 下一页74
再计算
42
1 1 1 3
2 4 4 4T T f f
3,1 3 1 1 8,?
由此得再计算
2 4 2
41
33S T T3,1 4 1 5 7,?
1 2 1
16 1
15 15C S S3,1 4 2 1 2,?
84
1 1 1 3 5 7
2 8 8 8 8 8T T f f f f
3,1 3 8 9 9,?
上一页 下一页75
从而算得 4 8 44133S T T3,1 4 1 5 9,?
2 4 2
16 1
15 15C S S3,1 4 1 5 9,?
1 2 1
64 1
63 63R C C3,1 4 1 5 8,?
(4) 把区间再分半，重复上面的计算步骤，可得
16 3.1 409 4,T? 8 3,14 15 9,S? 2 3,1 4 1 5 9,R?
21 0,0 0 0 0 1,RR
1
20
4 3,1 4 1 5 9,
1I d xx
由 已精确到小数点后五位，
故可取上一页 下一页76
上述计算结果参见下表：
k 区间个数 2 k
2 k
T 1
2 k
S? 2
2 k
C? 3
2 k
R?
0
1
2
3
4
1
2
4
8
16
3.00 000
3.10 000
3.13 1 18
3.13 899
2.14 094
3.13 33
3.14 157
3.14 15 9
3.14 159
3.14 212
3.14 159
3.14 159
3.14 158
3.14 159
上一页 下一页77
§ 5 Gauss型求积公式一,Gauss型求积公式的构造二,Gauss型求积公式的余项和稳定性三、几种特殊的 Gauss型求积公式上一页 下一页78
( ) ( )baI x f x dx
( ) 0x这里已知函数 称为 权函数,
特别 当 ( ) 1x时即为普通的积分,
问题,怎样求解带权积分的数值积分？？
思路,仿照处理普通积分的方法？！
一般情形 特殊情形考虑带权积分上一页 下一页79
一,n点 Gauss型求积公式
( ) ( )ba x f x d x
考虑求积公式
（ 5.1）
ij?（当 时）,ijxx?其中
( ) ( ),bkkaA x l x d x
kA若 满足：
（ 5.2）
则称（ 5.1）为 插值型的,
1
( ),
n
j
k
j kj
jk
xx
lx
xx?
1
( ),
n
kk
k
A f x
上一页 下一页80
类似于第一节中的定理 2，同样有：
1n?
次代数精度的 充分必要条件 是：
定理 6 形如（ 5.1）的求积公式至少具有它是 插值型的,
( ) ( )ba x f x d x （ 5.1）
1
( ),
n
kk
k
A f x
提法：
kx,kA 1 (1 ),kn?求 和 使（ 5.1）的代数精度次数 尽可能 的高？
上一页 下一页81
( ),fx
( ),0,1,2,,,if x x i n
公式导出均精确成立。
方法 1 要求（ 5.1）对次数由低到高的多项式即
2n因为（ 5.1）需要 个条件确定，
i 21n?达到 即可。因此
( ) ( )ba x f x d x （ 5.1）
1
( ),
n
kk
k
A f x
上一页 下一页82
kx,kA 1 (1 ),kn?和?
1
( ),0,1,2,,2 1,
n b
ii
kk a
k
A x x x d x i n?
2n满足如下由个代数方程构成的非线性代数方程组：
由上述方程组可解得kx,kA 1 (1 ),kn?和
(5.3)
21n?定义 4 若形如（ 5.1）的求积公式具有次代数精度，则称它为 n点 Gauss型求积公式，
称为 Gauss点,kx积分节点上一页 下一页83
下面对 ( ) 1x，几个简单情形讨论
22
.2ba
1n?例如,当 时，
1,
b
aA d x b a 11
b
aA x x d x
( ) ( ) 2b
a
abf x d x b a f
―――― 中矩形公式
( ) 1x权函数 的一点 Gauss型求积公式为：
上一页 下一页84
例如,要构造下列形式的 Gauss求积公式：
1
0 0 1 10 ( ) ( ) ( )x f x d x A f x A f x (1)
令 (1)对 23( ) 1,,,f x x x x? 精确成立，得
33
0 0 1 1
2,
9A x A x
01
2 ;
3AA
0 0 1 1
2,
5A x A x
22
0 0 1 1
2,
7A x A x
(2)
上一页 下一页85
由于 0 0 1 1 0 1 0()A x A x A A x1 1 0()A x?
利用 (2)的第一式，可将第二式化为
33
0 0 1 1
2,
9A x A x
01
2 ;
3AA 0 0 1 1
2,
5A x A x
22
0 0 1 1
2,
7A x A x
0 1 0 1
22( ),
35x x x A
同样利用其他式子可得,
0 1 0 1 1
22( ),
57x x x x A
2
0 1 0 1 1
22( ),
79x x x x A
从以上三个式子消去 1 0 1( ),x x A? 有
0 0 1
2 2 2 2( ),
5 5 3 7x x x
2
0 0 1
2 2 2 2( ),
7 7 5 9x x x
上一页 下一页86
进一步整理得
0 0 1
2 2 2 2( ),
5 5 3 7x x x
2
0 0 1
2 2 2 2( ),
7 7 5 9x x x
0 1 0 1
2 2 2( ),
5 3 7x x x x0 1 0 1
2 2 2( ),
7 5 9x x x
由此解得
01
5,
21xx? 01
10
9xx
从而求得 1 0.289949,x?0 0.821162,x?
0 0.389111,A? 1 0.277556,A?
于是 形如 (1)得 Gauss积分公式是
0,2 7 7 5 5 6 ( 0,2 8 9 9 4 9 ),f?
1
0 ( ) 0,3 8 9 1 1 1 ( 0,8 2 1 1 6 2 )x f x d x f
上一页 下一页87
§ 6 奇异积分计算一、分部积分与变量替换法二、区间截去法三,Gauss型求积法四、乘积积分法上一页 下一页88
几种主要类型：
1、被积函数在积分上限或下限处的极限存在，
但函数值不存在。?
0
sin
x
x
x?
例
2、积分上限是,或积分下限是 。?
3、在积分限的两端存在积分奇异点；
1
2
0xx
例如上一页 下一页89
4.在积分上限和下限之间的某已知点处存在积分奇点。
5.在积分区间内某未知点处存在积分奇点。
1
1 x dx
c o s x d x
而对于这类不确定的积分称为 不可积 。
以及标准数值求积方法不能直接应用的。
上一页 下一页90
一、分部积分与变量替换法基本思想,
采用变量替换法将无穷区间变为有限区间；
采用分部积分或变量替换法消除或降低 被积函数的奇异性 。
上一页 下一页91
例 1 积分
31
()fxI d x
xx
()fx [1,) lim ( ) 0,x f x c其中 在 上是光滑的，
作变量替换 3,xt 得
1 3
03 ( ),I f t d t
()fx x
积分区间变为有限区间,
在 处的性态为：假设上一页 下一页92
120 1 2()f x x x
则
3 3 60 1 2()f t t t
I 0t?积分 在 处为光滑的被积函数。
例 2 积分
0
(),0 1,b
p
fxI dx p
x
()fx [0,]b其中 在 上是一阶连续可微函数,
上一页 下一页93
0
(),0 1,b
p
fxI dx p
x
对 I作分部积分，则
1
0
()1
bpx
I f xp
1
0
1 ()
1
b px f x dx
p
1
()1
pb
fbp
1
0
1 ()
1
b px f x dx
p
因此,I原有的奇异性得以消除,
上一页 下一页94
如何处理积分过程中端点的奇异性？
解决的方法：
例如：端点存在奇异性的积分
()baI f x d x (6.1)
定义
1
( ) ( ),1 1.tbat a u du tr
2( ) e x p,1
ct
t?
常数 c >0.
其中 11 ( ),r t d t
上一页 下一页95
()t?
( ),xt
于是,将 [-1,1]变到 [a,b]对 (6.1)作变量替换,
得
1
1 [ ( ) ] ( )I f t t d t
( ) ( )battr
由于在 [-1,1]上无穷次可微,且
() ( 1 ) 0,1,k k
上一页 下一页96
结论,对于那些使 ( ) [ ( ) ] ( )G t f t t 满足
() ( 1 ) 0,( 0,1,2,,,kG k mm为某个正整数 )
的函数 ( ),fx 用复化梯形求积公式来计算
1
1 [ ( ) ] ( )I f t t d t
可以得到很好的精度,
如果 (6.1)的积分区间为 [0,), 则可利用
( 1 ) /( 1 ),1 1x u u u
及
()ut
来作变量替换,
上一页 下一页97
二、区间截去法基本思想,
[,]aa [,)R
若能够选取小数 (或大数 R),使得或上的积分值处在允许误差范围之内,即
| ( ) |aa f x d x | ( ) | )R f x d x或则可将正常积分
( ) )Ra f x d x?()b
a f x d x
或
()ba f x d x? ( ) )a f x d x作为 （或 的 近似,
上一页 下一页98
例 3 计算积分 1 4
0
(),fxI d x
xx
( ) [ 0,1 ]fx 在 | ( ) | 1,fx?上连续，
由于在 [0,1]上,4( ) 1,2fxx x x
所以
0
11
2 dxx
40
()fx
xx
,?
310,? 610,假如精度要求为 则可取 从而
1
4
(),fxI d x
xx
上一页 下一页99
例 4 计算积分
2
0,
xI e d x
因为
2x
R e d x
21,Re
R
Rx
R e d x
4R?当 时有 所以对于 的精度要求
2
810,
Re
R
710?
24
0,
xI e d x
上一页 下一页100
三,Gauss型求积法
Gauss型求积公式也可 计算某些奇异积分或 无穷区间上的积分例,Gauss-Chebyshev求积公式
1
21 1
1 ( ) ( )
1
n
k
k
f x dx f xn
x
其中212c o s,1,2,,.k nkx k n
其本身就是对奇异积分
1
21
1 ()
1
f x dx
x
的一种算法,
上一页 下一页101
＊两种无穷区间上的 Gauss型求积公式
1,Gauss-Laguerre公式
[0,) () xxe上关于权函数 的正交多项式为
( ) ( ),
n
x n x
n n
dL x e x e
dx
称为 Laguerre多项式,
所以,n点 Gauss-Laguerre求积公式为
0 1
( ) ( ),
n
x
kk
k
e f x d x A f x
上一页 下一页102
0 1
( ) ( ),
n
x
kk
k
e f x d x A f x
( 1,2,,)kx k n? ()nLx其中 是 的 n个零点，
求积系数 2
2
( ! ),1,2,,.
[ ( ) ]k n k k
nA k n
L x x
结论：
1,Gauss-Laguerre求积公式的误差为：
2
( 2 )( ! )[ ] ( ),0,
( 2 ) !
n
n
nE f f
n
上一页 下一页103
1| ( ) | /,xf x e x
2,若当 x充分大时,
ρ为某个大于零的数,
即则 Gauss-Laguerre求积公式收敛，
0 1
( ) ( ),
n
x
kk
k
e f x d x A f x
1
lim ( )
n
kkn
k
A f x
0 ( ),xe f x d x
上一页 下一页104
＊两种无穷区间上的 Gauss型求积公式
2,Gauss-Hermite公式
(,)
2() xxe
上关于权函数的正交多项式（见第三章）为
22( ) ( 1 ) ( )
n
n x x
n n
dH x e e
dx
2 nnx
称为 Hermite多项式 。
于是 n点 Gauss-Hermite求积公式为：
上一页 下一页105
2 ()xe f x d x
1
()
n
kk
k
A f x
( 1,2,,)kx k n? ()nHx其中 是 的 n个零点，
求积系数结论：
1,Gauss-Hermite求积公式的误差为：
1
2
2!,1,2,,.
[ ( ) ]
n
k
nk
nA k n
Hx
( 2 )![ ] ( ),.
2 ( 2 ) !
n
n n
nE f f
n
上一页 下一页106
2 1| ( ) | /,xf x e x
2,若当 |x|充分大时,
ρ为某个大于零的数,
即则 Gauss-Hermite求积公式收敛，
0 1
( ) ( ),
n
x
kk
k
e f x d x A f x
1
lim ( )
n
kkn
k
A f x
20 ( ),xe f x d x
上一页 下一页107
四、乘积积分法
( ) ( ) ( ),baI f x f x d x
()x?
()fx
是接近奇异或奇异的函数，
是光滑函数,
考虑积分其中基本思想,
构造 ()fx 的一个逼近序列 { ( ) }nfx,
满足下列条件：
上一页 下一页108
1 m a x | ( ) ( ) |nna x bf f f x f x,0?,n;
( ) ( ) ( )bnnaI f x f x d x2,非常容易计算。
由此可得
| ( ) ( ) |nI f I f ( ) [ ( ) ( ) ]b na x f x f x d x
( ),bn af f x d x
所以 li m ( ) ( ),
nn I f I f
()If()nIf因此,的一个逼近序列。是上一页 下一页109
注意：
1( ) ( ) ],jjx x f x
()nfx[,]ab ()fx
( ) /h b a n
为 上的步长为 的 分段多项式插值,
在实际应用中，常取例 5、计算积分
0( ) ( ),0 1,
b pI f x f x d x p
取 ()nfx为分段线性插值多项式：
1
1( ) [ ( ) ( )
n j jf x x x f xh1,jjx x x
其中 /,h b n?,1,2,,.jx j h j n
上一页 下一页110
()fx [0,]b
由 Lagrange插值余项定理知：
在 上二阶连续可微时，当 有
2
.8n hf f f
因此
| ( ) ( ) |nI f I f
2
08
b ph f x d x?
12
.8 ( 1 )
pbh
fp
()nIf ()If可见，当 n充分大时,可作为 的近似值,
上一页 下一页111
1
11
1
( ) ( ) ( ) ( )() j
j
n x
j j j jp
n x
j
x x f x x x f xI f x dx
h?
0
( ),
n
jj
j
w f x
其中
1
0
01
1 ( ),x p
x
w x x x dxh
1
1
1 ( ),n
n
x p
nnxw x x x dxh
1
1
1 ()j
j
x p
jjxw x x x dxh
1 1,jn
1
1
1 ( ),j
j
x p
jx x x x dxh
上一页 下一页112
1
1
1 ()j
j
x p
jjxw x x x dxh
1
1
1 ( ),j
j
x p
jx x x x dxh
作变量替换 1,jx x h t则
11
0 ( 1 )
pp
jw h t j t d t
11
0 ( 1 ) ( )
pph t j t d t
1,
( 1 ) ( 2 )
ph
pp
22 pj2( 1) pj
1 1,jn
2( 1 ) pj
1
0
1,
( 1 ) ( 2 )
pwh
pp
12
1( 2 ) ( 1 ),
( 1 ) ( 2 )
pp
p
n
p n n nwh
pp
因此 ()nIf可算。
第四章 数值积分与数值微分上一页 下一页2
ba dxxf )(
2个 研究对象,
1,用数值 (近似 )方法求定积分,
2,用数值 (近似 )方法求微分,
n
n
dx
xfd )(
上一页 下一页3
4 个 需要关心的问题：
1,为什么要用数值 (近似 )方法？
2,有哪些数值 (近似 )方法？
3,数值 (近似 )方法的精度如何？
4,如何实现这些数值 (近似 )方法？
上一页 下一页4
§ 1 引 言一、数值积分方法的基本思想二、代数精度的概念三、插值型求积公式上一页 下一页5
一、数值积分方法的基本思想
ba aFbFdxxf )()()(
其中 F(x)是 f(x)的原函数，即方法一,牛顿 — 莱伯尼兹 (Newton-Leibniz)公式：
ba dxxfI )(? 研究对象 1：怎样求定积分？
主要有两种方法：
)()( xfxF
上一页 下一页6
ba aFbFdxxf )()()(
存在的问题,
例：
（ 1）原函数难求，无解析式！
（ 2） f(x)仅提供样本值
,,)( s i n,s i n)( 22 xexxxxf
.,,1,0) ) },(,{( nixfx ii
上一页 下一页7
ba fabdxxf )()()(?
)(xf对连续函数,根据积分中值定理，存在
],[ ba,使得只要给出计算 )(?f 的一种算法便相应地获得一种数值求积方法,
举例,1个节点的数值积分公式 —— 矩形求积公式,
)()( 00 xfAdxxfI ba
常取 bbaax,2,0
方法二：数值积分公式上一页 下一页8
ba afabdxxf )()()(
—— 左矩形求积公式
—— 右矩形求积公式
—— 中矩形求积公式
ba abfabdxxf )2()()(
ba bfabdxxf )()()(
上一页 下一页9
f(x)
a b
f(a)
f(b)
2个节点的数值积分公式 -----梯形公式
)]()([2)( bfafabdxxfb
a
上一页 下一页10
一般地，数值积分公式
ba dxxfI )(,)(0
n
i
ii xfA
优点,普适性、在计算机上的可操作性三要素,1?n求积节点数
nix i )1(0,?节点的分布
iA公式的系数
.10 bxxxa n
上一页 下一页11
二、代数精度的概念
,)()(
0
b
a
n
k
kk xfAdxxf
原则,恰当选取,,使得 (1.1)的代数精确度高。
}{ kx }{ kA
（ 1.1）
当求积节点个数给定后，怎样构造数值求积公式？
m?
1?m
m
定义 1 如果求积公式（ 1.1）对所有次数项式是精确的，但对 次多项式不精确，则称次代数精度,
的多
（ 1.1）具有
.10 bxxxa n
上一页 下一页12
欲使求积公式（ 1.1）具有 m次代数精度，只要令都能精确成立，这就要求中的上下标,
它对于 mxxxf,,,1
,abA k
,21 22 abxA kk
,21 11 mmmk abxA
k
（ 1.5）
注,这里省略了符号?
n
k 0
上一页 下一页13
如何构造求积公式？
)]()([2)( bfafabdxxfba
,,10 bxax )()()( 1100 xfAxfAdxxfba
模式一,给定节点，系数待定。
方法,给定得到：
例：构造 梯形求积公式：
令
ba dxab ba x d xab )(21 22
则
.210 abAA
精确成立,xxf,1)(?对
,10 AA,10 bAaA
上一页 下一页14
模式二,节点、系数全待定注：梯形公式和中矩形公式都具有 1次 代数精度方法,令得到：
ba bafabdxxf )2()()(
例,构造 中矩形求积公式：
,0 ba Adxab
ba xfAdxxf )()( 00xxf,1)(?
.)(21 0022 b
a
xAxdxab
abAbax 00,2
对 精确成立则：
上一页 下一页15
证明,
(2)
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(考虑求积公式：
定理 1,任给 个互异节点,1?n bxxxa
n10
(1)
}{ kA1?n总存在 个相应的求积系数,使
（ 1）至少具有 n次代数精度,
nixxf i,,2,1,0,)(
n
k
b
a
ii
kk dxxxA
0
精确成立，
}{ kA
则得关于 的线性代数方程组：
令（ 1）对
niabi ii,,1,0),(11 11
上一页 下一页16
其系数行列式为范德蒙行列式
}{ kA 构成的}{ kA（ 2）有唯一解 。
n?（ 1）对所有次数 的多项式都是精确的,
显然,以此组
n
n
nnn
n
n
xxxx
xxxx
xxxx
V
210
22
2
2
1
2
0
210
1111
nji
ij xx
0
)(,0?
上一页 下一页17
三、插值型求积公式
}{ kA
,,.,,,1,0,nix i?
定义,若（ 1）中的 满足（ 3）、（ 4），则称 求积公式（ 1）
为插值型的。
}{ kA
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
求积公式,（ 1）
求
（ 4）
将对应于节点
k
b
a
n
j
jkjk AxlAdxxl
0
)()(代入（ 1），得：
（ 3）
的方法：
n
ij
j ji
j
i nixx
xxxl
0
,,2,1,0,)(?
的 n次插值多项式基函数上一页 下一页18
定理 2 形如（ 1）的求积公式至少具有 n次代数精度的充要条件是，它是插值型的,
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
（ 1）
)(xlk
证明 n次多项式精确成立：
必要性,因求积公式对形如（ 3）的
b
a
n
i
ikik xlAdxxl
0
)()(
注意到基函数性质
kiik xl)(
,,1
,,0
时当时当
ik
ik
上一页 下一页19
.)(
0
b
a
n
i
kkiik AAdxxl?
所以
}{ kA 满足（ 4），从而（ 1）是插值型的,即充分性：
因对任何次数 n? 的多项式 )( xf,它的以
}{ kx 为插值节点的 n 次 L a g r a n g e 插值多项式
n
k
kk
xlxf
0
)()( 就是 )( xf,
b
a
n
k
b
a kk
dxxlxfdxxf
0
)()()(
所以从而（ 1）至少具有 n次代数精度,
.)(
0
n
k
kk xfA
上一页 下一页20
§ 2 Newton-Cotes求积公式一、公式的导出二,误差分析三、收敛性问题上一页 下一页21
一、公式的导出定义 3 对 ],[ ba 的 n 等分点
,/)(,nabhkhax k nk,,2,1,0
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf
0
)( )()()( （ 2.1）
称为 n阶 Newton-Cotes公式,
插值型求积公式
)(nkc 称为 Cotes系数,其中上一页 下一页22
,/)(,nabhkhax k,,10 bxxxa n
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
取 [a,b]的等距剖分点为求积节点,
改写
Cotes系数
dxxlAcab ba kknk )()( )( dxxx
xxn
ki
i ik
i
b
a
0 )(
)(
()
0 0
1 ( )
()
nn
n k
k
i
ik
A t ic d t
b a n k i?
与 无关！ba,
,)()()(
0
)(
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf )()( nkk cabA
为：
上一页 下一页23
n阶 Newton-Cotes公式
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf
0
)( )()()( 的系数
n nkc nk,,2,1,0)(，
2121
613261
81838381
90745161524516907
288
19
96
25
144
25
144
25
96
25
288
19
840
41
35
9
280
9
105
34
280
9
35
9
840
416
5
4
3
2
1
上一页 下一页24
1阶 Newton-Cotes公式：
即梯形求积公式。
2阶 Newton-Cotes公式：
称为辛甫生 (Simpson)求积公式。
)]()([2)( bfafabdxxfb
a
ba bfbafafabdxxf )](24)([6)(
上一页 下一页25
二、误差分析
b
a
n
i
iin xfAdxxffE
0
)()()(
ba ba ini in dxxlxfdxxffE )()()()( 0
ba n dxxpxf )]()([
记插值型求积公式的误差为：
则：
其中
且依赖于 x。
)(xpn )(xf
n
i
i
n
n xxn
fxpxf
0
)1(
)()!1( )()()(?
,])()!1( )([)(
0
)1(
b
a
n
i
i
n
n dxxxn
ffE?),( ba
为 的 n次插值多项式。
上一页 下一页26
二、误差分析
ba dxxffI,)(
对 n阶 Newton-Cotes公式 （ 2.1）,记
（ 2.3）
n
k
k
n
kn xfcabfI
0
)( )()(
).()()( fIfIfE nn则误差为
)(xf ],[ ba假定 在 上足够光滑，则：
1?n当 （即梯形公式）时
ba dttftKfE )()()( 11
其中：,2/))(()(1 btattK
称为关于梯形公式的 Peano核,
上一页 下一页27
2?n当 （即辛甫生公式）时
ba dttftKfE )()()( )4(22 （ 2.6）
其中：
bt
ba
tabtb
ba
tabatat
tK
2
),32()(
72
1
2
),23()(
72
1
)(
3
3
2
（ 2.7）
称为关于辛甫生公式的 Peano核,
上一页 下一页28
注意到 （ 2.5）、（ 2.6）中 Peano核的保号性，
ba dttKffE,)()()( 11?
ba dttKffE )()()( 2)4(2?
53 n n对 的 阶 Newton-Cotes公式可作同样的
)/)(( nabh,讨论，最后可得如下误差所以由积分中值定理有：
上一页 下一页29
（ 2.8）
结论,n阶 Newton-Cotes公式的代数精度为：
d
,1?n,为偶数时当 n
,n,为奇数时当 n
.5),(
1 2 0 9 6
2 7 5
,4),(
9 4 5
8
,3),(
80
3
,2),(
90
1
,1),(
12
1
)(
)6(7
)6(7
)4(5
)4(5
)2(3
nfh
nfh
nfh
nfh
nfh
fE
n
上一页 下一页30
三、收敛性问题
4 4 21 1 dxxI
4 4 21 1 dxxI
例如,利用牛顿 -柯特斯公式计算积分：
解：积分的准确结果为：
但用 n阶牛顿 -柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
6 5 1 6.24t a na r g2
上一页 下一页31
n nI
2
4
6
8
10
5.4902
2.2776
3.3288
1.9411
3.5956
4 4 21 1 dxxI 6 5 1 6.24t a na r g2
由上表可以看出,此时数值求积过程是 发散的 。
上一页 下一页32
nk,,2,1,0,||
0
)(?
n
k
n
kn c?
.}{s upn
n
)(nkc对于 n阶 Newton-Cotes公式的 Cotes系数
，若记其绝对值的和为则可以证明
（ 2.10）
结论,当 n充分大时,),,2,1,0()( nkc nk
的符号 必定变化,
1)(?xf 1?n ),()( fIfI n?
n
k
n
kc
0
)( 1
显然,当 时，对所有,都有即注意：
上一页 下一页33
)(5 8 8 8)(9 8 9[1 4 1 7 5 )(4)()( 71808 ffffabfIdxxfb
a
]4540)(10496)(928 45362 fffff
8?n例如当 时，
).( kk xff?这里 显然,这样的公式会引起有效数字的
)7(?n故 实际应用时 常常只采用几种低阶 的求积公式,
如梯形公式、辛甫生公式、
损失（尽管在 n变得较大之前未必成为问题）,
四阶 Newton-Cotes公式 —— 特别称作 Cotes公式,
上一页 下一页34
§ 3 复化求积公式一、复化求积法的思想二、复化公式的截断误差三、自适应复化求积法上一页 下一页35
一、复化求积法的思想在 上节中已经指出,不能期望通过提高阶数来改善 Newton-Cotes公式的精度,
又根据低阶公式的误差公式
.5),(
1 2 0 9 6
2 7 5
,4),(
9 4 5
8
,3),(
80
3
,2),(
90
1
,1),(
12
1
)(
)6(7
)6(7
)4(5
)4(5
)2(3
nfh
nfh
nfh
nfh
nfh
fE
n
（ 2.8）
)/)(( nabh
上一页 下一页36
],[ ba当积分区间 的长度 abh0 不是足够小时，
Newton-Cotes公式的 误差仍可能是较大的,
问题,该如何 降低 误差,提高 精度呢？
因为 通过高阶求积公式提高精度的途径 不行,
故类似 函数插值 分而治之：
分段 ＋ 低阶求积公式
---------- 称为 复化求积法上一页 下一页37
复化求积法的思想,(以复化梯形公式为例 )
n
abhnkkhax
k
),,,1,0(,?
1、分段 ],[ ba将积分区间 分成 n段，
],[ ba通常是将 n等分
2、每段 ],[ 1 kkk xxe 采用低阶的数值求积公式上一页 下一页38
1
1[ ( ) ( )]2
kk
k k k
xxI f x f x?
ke在 上利用梯形公式计算积分
3、求和 对每个区间 ke 的近似积分值求和，
用所得的值近似代替原积分值,即
ba dxxfI )(
n
k
kI
1
1
1
1
[ ( ) ( )]
2
n
kk
kk
k
xx f x f x?
n
k
x
x
k
k
dxxf
1 1
)(
b
a
n
k
k bfxfaf
hdxxf 1
1
)]()(2)([2)(
上一页 下一页39
类似可得其他复化公式
ba dxxf )(
1、复化辛甫生公式：
21?kx ],[ 1?kk xx其中 表示子区间 的中点,
)([6 afh?
1
0
)(4
2
1
n
k
kxf?
1
1
)(2
n
k
kxf )](bf?
2、复化柯特斯公式
ba dxxf )( )(7[90 afh?
1
1
)(14
n
k
kxf?
n
k
kxf
1
)(32
4
3
n
k
kxf
1
)(12
2
1?
n
k
kxf
1
)(32
4
1 )](7 bf?
，
，
,
4
1?kx
4
3?kx ],[ 1 kk xx?
为 的四等分的分点
,n abh
21?k
x ],[ 1 kk xx?其中,为 的中点，
上一页 下一页40
21
4)(
xxf
dxxfI 1
0
)(
例 1 对 利用下表所给数据，利用的值。
复化梯形公式和复化辛甫生公式计算
kx )( kxfkx )( kxf
0 4.0000000 5/8 2.8764045
1/8 3.9384615 6/8 2.5600000
2/8 3.7647059 7/8 2.2654867
3/8 3.5068493 8/8 2.0000000
4/8 3.2000000
上一页 下一页41
则：
解：① 用复化梯形公式计算
,81,8 hn取
)]()(2)([2
1
1
8 bfxfaf
hT n
k
k
)]1()8(2)0([161
7
1
fkff
k
1389 885.3?
② 用复化辛甫生公式计算取,41,4 hn 则：
上一页 下一页42
)]()(2)(4)([6
1
11
2 21 bfxfxfaf
hS n
k
k
n
k
k
)]1()82(2)8 12(4)0([241
3
1
4
1
fkfkff
kk
1415 925.3?
而准确值：
1 4 1 5 9 0 5.3|a r c ta n4 10I
上一页 下一页43
二、复化公式的截断误差
1、复化梯形公式 记
1
1
)]()(2)([2
n
k
kn bfxfaf
hT
在子区间 ],[ 11 kkk xxe 上，应用梯形求积公式的误差估计式，得：
ba nTdxxf )(
1
0
1 )]()([2)(
1
n
k
kk
x
x
xfxfhdxxfk
k
1
0
3
)](12[
n
k
kf
h
1
0
2 )(1
12
n
k
kfnh
ab?
上一页 下一页44
当 ],[)( baCxf 时，有：
1
0
)]([m ax)(1)]([m i n
n
k bxa
kbxa xffnxf?
由介值定理
1
0
],[),()(1
n
k
k baffn
.)(12)( 2b
a n
fhabTdxxf?
上一页 下一页45
.|)(|m ax12|)(| 2
b
a bxan
xfhabTdxxf
则复化梯形公式有误差估计 ],,[)( 2 baCxf?定理 3 设
2、复化辛甫生公式 同理可得：
ba bxan xfhabSdxxf |)(|m a x2 8 8 0|)(| )4(4
则复化辛甫生公式有误差估计 ],,[)( 4 baCxf?定理 4 设
3、复化柯特斯公式
ba bxan xfhabCdxxf |)(|m a x)4(9 4 5 )(2|)(| )6(6
上一页 下一页46
注,若将步长 h 减半（即等分数 n 加倍），则复化梯形公式和复化辛 甫生公式的误差分别减至原有误差的
4
1
和
16
1
,
例 2 用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算
0
co s xdxeI x
精确值是 0703463164.12I,
,)]()(2)([2
1
1
n
k
kn bfxfaf
hT,
nn TIE
采用 复化梯形公式 计算，记上一页 下一页47
n nT nE nn EE 2/
2 -17.389259 5.23
4 -13.336023 1.72 4.20
8 -12.382162 3.12E-1 4.06
16 -12.148004 7.77E-2 4.02
32 -12.089742 1.94E-2 4.00
64 -12.075194 4.85E-3 4.00
128 -12.071558 1.21E-3 4.00
256 -12.070649 3.03E-4 4.00
512 -12.070422 7.57E-5 4.00
上一页 下一页48
1
0
1
1
)]()(2)(4)([6
2
1
n
k
n
k
kkn bfxfxfaf
hS
nn SIE
采用复化辛甫生公式计算，记
n nE nn EE 2/
2 -11.5928395534 -4.78E-1
4 -11.9849440198 -8.54E-2 5.59
8 -12.0642089572 -6.14E-3 14.9
16 -12.0699513233 -3.95E-4 15.5
32 -12.0703214561 -2.49E-5 15.9
64 -12.0703447599 -1.56E-6 16.0
128 -12.0703462191 -9.73E-8 16.0
256 -12.0703463103 -6.08E-9 16.0
nS
上一页 下一页49
三、自适应复化求积法因为,h取得 太大 则 精度难以保证,
计算时，要预先 给定 n或 步长 h，在实际中 难以把握
h太小 则 增加 计算工作量,
关键,后验估计式的建立以复化梯形公式为例
.4
2
n
n
TI
TI
上一页 下一页50
在 步长 h逐次分半 的过程中，
自适应复化求积法基本思路：
反复利用 复化求积公式进行计算，
直到 所求得的积分值 满足精度要求 为止 。
此时的步长 h，
既能 保证精度要求 又使 计算工作量最小,
上一页 下一页51
下面以 复化梯形公式 为例，介绍自适应复化求积算法,
n
k
kkn xfxf
hT
1
1 )]()([2
1,n等分 [a,b]，则
2、将 [a,b]作 2n等分，则
],[ 1 kk xx ],[],[
21211 kkkk xxxx
此时,],[ 1 kk xx? 上的积分值为
)]()([2 2/
2
11 kk xfxf
h )]()([
2
2/
2
1 kk xfxf
h?
上一页 下一页52
)]()([2 2/)]()([2 2/
2
1
2
11 kkkk xfxf
hxfxfh
])()(2)([2 2/
1
12 21?
n
k
kkkn xfxfxf
hT
n
k
kn xf
hT
1
)(221
2
1
其中,/)( nabh
由复化梯形公式的截断误差估计式，有
],[ ),(12 2 bafhabTI nnn
],[ ),()2(12 2222 bafhabTI nnn
上一页 下一页53
)()( 2 nn ff
当 n充分大时，
1( ) ( )b
n ba af f x dx
从而
4
2
n
n
TI
TI
即得 ).(
3
1
22 nnn TTTI
|| 2 nn TT
可通过检验条件
（预置的容许误差）
nT2 是否已满足精度要求。来判断上一页 下一页54
自适应复化梯形法的具有计算过程如下：
,1?n
步 1
,abh ) ] ;()([21 bfafhT
步 2
步 3
步 4
,)(
1 2
1?
n
k
kxfT ;22
1
12 T
hTT
判断?|| 12 TT 若是，则转 步 5；
,,2/,2 21 TThhnn 转 步 2；
步 5 输出,2T
上一页 下一页55
§ 4 基于复化梯形公式的高精度求积算法一、梯形公式的余项的展开式二,Richardson外推法三,Romberg求积法上一页 下一页56
梯形求积法优点,算法简单缺点,精度低,收敛速度慢,
两种常用 的提高精度的算法：
1,Richardson外推法
2,Romberg求积法上一页 下一页57
一、梯形公式的余项展开式对复化梯形求积公式
b
a
n
k
k bfxfaf
hdxxf 1
1
)]()(2)([2)(
梯形和
1
1
)],()(2)([2
n
k
kn bfxfaf
hT
),/)(( khaxnabh k
有如下渐近展式：
（＊）
上一页 下一页58
定理 5 设 ],,[ baCxf 则成立
mm
b
an
hhhdxxfT 24221
（ 4,1 ）
其中系数,2,1?i
i?
与 h 无关,
证明将 ()fx 在子区间
1[,]kkxx?
的中点
11
22
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
23( ) ( )
( ) ( ) 2 ! 3 !kkk k k k k
x x x x
f x f x x f f f
111
222
111
222
456
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
( ) ( ) ( )
4 ! 5 ! 6 !
kkk
kkk
x x x x x x
fff
(＊ )
1
2 1
1 ()
2 kkkx x x展开，有上一页 下一页59
12
()j
kf? 12
()()j
kfx?式中 是 的简写,
()kfx 1()kfx?据此写出 和 的展开式,易知
1[ ( ) ( ) ]2 kk
h f x f x
12khf 12
2
2 ! 2 k
hh f
1
2
4
( 4 )
4 ! 2 k
hh f
1
2
6
( 6 )
6 ! 2 k
hh f
求和得
1
1
0
[ ( ) ( ) ]2
n
n k k
k
hT f x f x?
1
2
n
k
k
hf
12
3 1
2
02 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
04 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
06 ! 2
n
k
k
h f?
①
上一页 下一页60
11
22
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
23( ) ( )
( ) ( ) 2 ! 3 !kkk k k k k
x x x x
f x f x x f f f
111
222
111
222
456
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
( ) ( ) ( )
4 ! 5 ! 6 !
kkk
kkk
x x x x x x
fff
(＊ )
另一方面，将 1[,]kkxx?上积分得两边在区间(＊ )
1 ()k
k
x
x f x dx
12khf
1
2
32
3 ! 2 k
h f
1
2
5
( 4 )2
5 ! 2 k
h f
1
2
7
( 6 )2
7 ! 2 k
h f
上 式两边关于 k 从 0 到 1n? 求和得
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
上一页 下一页61
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
1
1
0
[ ( ) ( ) ]2
n
n k k
k
hT f x f x?
1
2
n
k
k
hf
12
3 1
2
02 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
04 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
06 ! 2
n
k
k
h f?
①
利用 ② 从 ① 中消去项 1
2
1
0
n
k
k
hf
,得
11
22
3511
( 4 )
002 ! 6 4 ! 2 0
nn
n kk
kk
hhT I f f
1
2
7 1
( 6 )
0
3
6 ! 2 4
n
k
k
h f?
③
又对 ()fx 应用式 ②,并注意到 ( ) ( ) ( )ba f x d x f b f a
11
22
311
( 4 )
2
00
( ) ( ) 3 ! 2
nn
kk
kk
hh f f b f a f
1
2
5 1
( 6 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
3
( 4 )
2( ) ( ) 3 ! 2
hh f f b f a f
12
5 1
( 6 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
上代入 ③ 式，整理得
2
[ ( ) ( ) ]2 ! 6n hT I f b f a
1
2
5 1
( 4 )
04 ! 30
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
06 ! 5 6
n
k
k
h f?
上一页 下一页62
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
再对 ( 4 ) ()fx应用式 ②,有
11
22
311
( 4 ) ( 6 )
2
00
( ) ( ) 3 ! 2
nn
kk
kk
hh f f b f a f
从而进一步得到
2
[ ( ) ( ) ]2 ! 6n hT I f b f a
4
[ ( ) ( ) ]4 ! 3 0h f b f a
1
2
7 1
( 6 )
06 ! 4 2
n
k
k
h f?
反复施行上述手续，即可得到形如 (4.1)的展开式。 □
上一页 下一页63
mmban hhhdxxfT 24221 （ 4.1 ）
记
, ba dxxfI
则 （ 4.1） 可简记为：
)( 64221 hOhhIT n（ 4.2）
上一页 下一页64
二,Richardson外推法
)( 64221 hOhhIT n（ 4.2）
当步长缩小一倍时，有
)(22 6
4
2
2
12 hO
hhIT
n
（ 4.3）
将上式乘以 4再减去 (4.2)并整理可得
)(4 642 hOhIS n（ 4.4）
其中
.3/)4( 2 nnn TTS （ 4.5）
上一页 下一页65
nn TT 2,
)( 2hO
),( 4hO
结论,只需将前后两次算得的复化梯形和按（ 4.5）作简单组合后就可将求积精度从提高到 这种方法就称作 Richardson外推法,
.3/)4( 2 nnn TTS （ 4.5）
)( 6hOIC n
再外推一次，便得：
（ 4.6）
其中 15/)16( 2 nnn SSC
或 45/)2064( 24 nnnn TTTC
（ 4.7）
（ 4.8）
上一页 下一页66
三,Romberg求积法记步长为 kh 的复化梯形和为 kT,0,则公式（ 4,1 ），有
m
i
m
k
i
kik hOhIT
1
222
,0,0 )(?（ 4.9）
其中 ii,0 为与 kh 无关的常数,取 kk hh 2
1
1
，对（ 4,9 ）作 R i chard s on 外推，消去 2h
项后得
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
1
2
1,1,1 )(?（ 4.10）
mmban hhhdxxfT 24221（ 4.1）其中,ikkk TTT,1,01,0,1,3/)4(为与 1?kh 无关的常数,
上一页 下一页67
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
1
2
1,1,1 )(?（ 4.10）
于是?
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
2
2
2,11,1 )(?
取 12 21 kk hh,与 （ 4.1 0 ） 式联立消去 4h 项后得
m
i
m
k
i
kik hOhIT
3
22
2
2
2,2,2 )(?3?i
其中,15/)16(
,11,1,2 kkk TTT
上述过程可一直进行下去，如第 j步有：
m
ji
m
jk
i
jkijkj hOhIT
1
222
,,)(?（ 4.11）
其中,,
2
1
1 jkjk hh
)14/()4(,11,1, jkjkjjkj TTT
（ 4.12）
上一页 下一页68
当取 jm? 时，（ 4,1 1 ）即给出了误差,显然，
m
ji
m
jk
i
jkijkj hOhIT
1
222
,,)(?（ 4.11）
22, j kjkj hOIT （ 4.13）
,21 1 jkjk hh )14/()4(,11,1, jkjkjjkj TTT （ 4.12）
根据 (4.11)~(4.13),可得到形象的 表中
02 hh
i
i
,
kjT,
由指向它的
1,1 kjT
和
kjT,1?
按
（ 4,12 ）生成三角形递推表 4.5,
上一页 下一页69
表 4.5 Romberg算法计算表误差量级步长 h
2
h
4
h
6
h
8
h
10
h …
0
h
0,0
T
1
h
2
h
3
h
4
h
↘
1,0
T
→
0,1
T
↘ ↘
2,0
T
→
1,1
T
→
0,2
T
↘ ↘ ↘
3,0
T
→
2,1
T
→
1,2
T
→
0,3
T
↘ ↘ ↘ ↘
4,0
T
→
3,1
T
→
2,2
T
→
1,3
T
→
0,4
T
·······················
上一页 下一页70
算法的实现：
1,只将梯形和序列
k
T
,0
加工至误差量级为 6h 的序列
k
T
,2；
2,以
1T
、
2T
分别表示
k
T
,0
和
1,0?k
T ；
3,
1S
、
2S
表示
k
T
,1
和
1,1?k
T ；
4,
1C
、
2C
表示
k
T
,2
和
1,2?k
T 。
在计算 1,0?kT 时，用到了递推公式
1
0
,01,0 )(22
1
2
1
n
i
i
k
kk xf
hTT
（ 4.14）
其中 kik hiaxhabn )21(,/)(
2
1。
上一页 下一页71
Romberg算法的具有计算过程如下：
,1?k步 1,abh ) ] ;()([21 bfafhT
步 2
步 3
步 4 判断 k=1? 若 k=1，转 步 5；
转 步 2；步 5
1
0
2
1 ],)([
n
i
hiafS ;22 12 ShTT
);(31 1222 TTTS
否则转 步 6；
,,,2,1 2121 SSTThhkk
步 6 );(151 1222 SSSC
上一页 下一页72
输出,2C
步 8
步 7 判断 k=2?
若 k=2,否则转 步 8；转 步 5；,21 CC?
步 9
判断?|| 12 CC 成立时转 步 9；
否则 转 步 5；,21 CC?
上一页 下一页73
例 用 Romberg算法计算积分 dxxI 1
0 21
4
2
4( ),0,1
1f x a bx
1
11[ ( 0 ) ( 1 ) ] ( 4 2 ) 3
22T f f
1 1 6,
25f
21
1 1 1
2 2 2T T f
1 2 1
41
33S T T
解
(2) 由 则
(1)
(3)
1 1 63 3,1
25
3,1 3 3 3 3,?
上一页 下一页74
再计算
42
1 1 1 3
2 4 4 4T T f f
3,1 3 1 1 8,?
由此得再计算
2 4 2
41
33S T T3,1 4 1 5 7,?
1 2 1
16 1
15 15C S S3,1 4 2 1 2,?
84
1 1 1 3 5 7
2 8 8 8 8 8T T f f f f
3,1 3 8 9 9,?
上一页 下一页75
从而算得 4 8 44133S T T3,1 4 1 5 9,?
2 4 2
16 1
15 15C S S3,1 4 1 5 9,?
1 2 1
64 1
63 63R C C3,1 4 1 5 8,?
(4) 把区间再分半，重复上面的计算步骤，可得
16 3.1 409 4,T? 8 3,14 15 9,S? 2 3,1 4 1 5 9,R?
21 0,0 0 0 0 1,RR
1
20
4 3,1 4 1 5 9,
1I d xx
由 已精确到小数点后五位，
故可取上一页 下一页76
上述计算结果参见下表：
k 区间个数 2 k
2 k
T 1
2 k
S? 2
2 k
C? 3
2 k
R?
0
1
2
3
4
1
2
4
8
16
3.00 000
3.10 000
3.13 1 18
3.13 899
2.14 094
3.13 33
3.14 157
3.14 15 9
3.14 159
3.14 212
3.14 159
3.14 159
3.14 158
3.14 159
上一页 下一页77
§ 5 Gauss型求积公式一,Gauss型求积公式的构造二,Gauss型求积公式的余项和稳定性三、几种特殊的 Gauss型求积公式上一页 下一页78
( ) ( )baI x f x dx
( ) 0x这里已知函数 称为 权函数,
特别 当 ( ) 1x时即为普通的积分,
问题,怎样求解带权积分的数值积分？？
思路,仿照处理普通积分的方法？！
一般情形 特殊情形考虑带权积分上一页 下一页79
一,n点 Gauss型求积公式
( ) ( )ba x f x d x
考虑求积公式
（ 5.1）
ij?（当 时）,ijxx?其中
( ) ( ),bkkaA x l x d x
kA若 满足：
（ 5.2）
则称（ 5.1）为 插值型的,
1
( ),
n
j
k
j kj
jk
xx
lx
xx?
1
( ),
n
kk
k
A f x
上一页 下一页80
类似于第一节中的定理 2，同样有：
1n?
次代数精度的 充分必要条件 是：
定理 6 形如（ 5.1）的求积公式至少具有它是 插值型的,
( ) ( )ba x f x d x （ 5.1）
1
( ),
n
kk
k
A f x
提法：
kx,kA 1 (1 ),kn?求 和 使（ 5.1）的代数精度次数 尽可能 的高？
上一页 下一页81
( ),fx
( ),0,1,2,,,if x x i n
公式导出均精确成立。
方法 1 要求（ 5.1）对次数由低到高的多项式即
2n因为（ 5.1）需要 个条件确定，
i 21n?达到 即可。因此
( ) ( )ba x f x d x （ 5.1）
1
( ),
n
kk
k
A f x
上一页 下一页82
kx,kA 1 (1 ),kn?和?
1
( ),0,1,2,,2 1,
n b
ii
kk a
k
A x x x d x i n?
2n满足如下由个代数方程构成的非线性代数方程组：
由上述方程组可解得kx,kA 1 (1 ),kn?和
(5.3)
21n?定义 4 若形如（ 5.1）的求积公式具有次代数精度，则称它为 n点 Gauss型求积公式，
称为 Gauss点,kx积分节点上一页 下一页83
下面对 ( ) 1x，几个简单情形讨论
22
.2ba
1n?例如,当 时，
1,
b
aA d x b a 11
b
aA x x d x
( ) ( ) 2b
a
abf x d x b a f
―――― 中矩形公式
( ) 1x权函数 的一点 Gauss型求积公式为：
上一页 下一页84
例如,要构造下列形式的 Gauss求积公式：
1
0 0 1 10 ( ) ( ) ( )x f x d x A f x A f x (1)
令 (1)对 23( ) 1,,,f x x x x? 精确成立，得
33
0 0 1 1
2,
9A x A x
01
2 ;
3AA
0 0 1 1
2,
5A x A x
22
0 0 1 1
2,
7A x A x
(2)
上一页 下一页85
由于 0 0 1 1 0 1 0()A x A x A A x1 1 0()A x?
利用 (2)的第一式，可将第二式化为
33
0 0 1 1
2,
9A x A x
01
2 ;
3AA 0 0 1 1
2,
5A x A x
22
0 0 1 1
2,
7A x A x
0 1 0 1
22( ),
35x x x A
同样利用其他式子可得,
0 1 0 1 1
22( ),
57x x x x A
2
0 1 0 1 1
22( ),
79x x x x A
从以上三个式子消去 1 0 1( ),x x A? 有
0 0 1
2 2 2 2( ),
5 5 3 7x x x
2
0 0 1
2 2 2 2( ),
7 7 5 9x x x
上一页 下一页86
进一步整理得
0 0 1
2 2 2 2( ),
5 5 3 7x x x
2
0 0 1
2 2 2 2( ),
7 7 5 9x x x
0 1 0 1
2 2 2( ),
5 3 7x x x x0 1 0 1
2 2 2( ),
7 5 9x x x
由此解得
01
5,
21xx? 01
10
9xx
从而求得 1 0.289949,x?0 0.821162,x?
0 0.389111,A? 1 0.277556,A?
于是 形如 (1)得 Gauss积分公式是
0,2 7 7 5 5 6 ( 0,2 8 9 9 4 9 ),f?
1
0 ( ) 0,3 8 9 1 1 1 ( 0,8 2 1 1 6 2 )x f x d x f
上一页 下一页87
§ 6 奇异积分计算一、分部积分与变量替换法二、区间截去法三,Gauss型求积法四、乘积积分法上一页 下一页88
几种主要类型：
1、被积函数在积分上限或下限处的极限存在，
但函数值不存在。?
0
sin
x
x
x?
例
2、积分上限是,或积分下限是 。?
3、在积分限的两端存在积分奇异点；
1
2
0xx
例如上一页 下一页89
4.在积分上限和下限之间的某已知点处存在积分奇点。
5.在积分区间内某未知点处存在积分奇点。
1
1 x dx
c o s x d x
而对于这类不确定的积分称为 不可积 。
以及标准数值求积方法不能直接应用的。
上一页 下一页90
一、分部积分与变量替换法基本思想,
采用变量替换法将无穷区间变为有限区间；
采用分部积分或变量替换法消除或降低 被积函数的奇异性 。
上一页 下一页91
例 1 积分
31
()fxI d x
xx
()fx [1,) lim ( ) 0,x f x c其中 在 上是光滑的，
作变量替换 3,xt 得
1 3
03 ( ),I f t d t
()fx x
积分区间变为有限区间,
在 处的性态为：假设上一页 下一页92
120 1 2()f x x x
则
3 3 60 1 2()f t t t
I 0t?积分 在 处为光滑的被积函数。
例 2 积分
0
(),0 1,b
p
fxI dx p
x
()fx [0,]b其中 在 上是一阶连续可微函数,
上一页 下一页93
0
(),0 1,b
p
fxI dx p
x
对 I作分部积分，则
1
0
()1
bpx
I f xp
1
0
1 ()
1
b px f x dx
p
1
()1
pb
fbp
1
0
1 ()
1
b px f x dx
p
因此,I原有的奇异性得以消除,
上一页 下一页94
如何处理积分过程中端点的奇异性？
解决的方法：
例如：端点存在奇异性的积分
()baI f x d x (6.1)
定义
1
( ) ( ),1 1.tbat a u du tr
2( ) e x p,1
ct
t?
常数 c >0.
其中 11 ( ),r t d t
上一页 下一页95
()t?
( ),xt
于是,将 [-1,1]变到 [a,b]对 (6.1)作变量替换,
得
1
1 [ ( ) ] ( )I f t t d t
( ) ( )battr
由于在 [-1,1]上无穷次可微,且
() ( 1 ) 0,1,k k
上一页 下一页96
结论,对于那些使 ( ) [ ( ) ] ( )G t f t t 满足
() ( 1 ) 0,( 0,1,2,,,kG k mm为某个正整数 )
的函数 ( ),fx 用复化梯形求积公式来计算
1
1 [ ( ) ] ( )I f t t d t
可以得到很好的精度,
如果 (6.1)的积分区间为 [0,), 则可利用
( 1 ) /( 1 ),1 1x u u u
及
()ut
来作变量替换,
上一页 下一页97
二、区间截去法基本思想,
[,]aa [,)R
若能够选取小数 (或大数 R),使得或上的积分值处在允许误差范围之内,即
| ( ) |aa f x d x | ( ) | )R f x d x或则可将正常积分
( ) )Ra f x d x?()b
a f x d x
或
()ba f x d x? ( ) )a f x d x作为 （或 的 近似,
上一页 下一页98
例 3 计算积分 1 4
0
(),fxI d x
xx
( ) [ 0,1 ]fx 在 | ( ) | 1,fx?上连续，
由于在 [0,1]上,4( ) 1,2fxx x x
所以
0
11
2 dxx
40
()fx
xx
,?
310,? 610,假如精度要求为 则可取 从而
1
4
(),fxI d x
xx
上一页 下一页99
例 4 计算积分
2
0,
xI e d x
因为
2x
R e d x
21,Re
R
Rx
R e d x
4R?当 时有 所以对于 的精度要求
2
810,
Re
R
710?
24
0,
xI e d x
上一页 下一页100
三,Gauss型求积法
Gauss型求积公式也可 计算某些奇异积分或 无穷区间上的积分例,Gauss-Chebyshev求积公式
1
21 1
1 ( ) ( )
1
n
k
k
f x dx f xn
x
其中212c o s,1,2,,.k nkx k n
其本身就是对奇异积分
1
21
1 ()
1
f x dx
x
的一种算法,
上一页 下一页101
＊两种无穷区间上的 Gauss型求积公式
1,Gauss-Laguerre公式
[0,) () xxe上关于权函数 的正交多项式为
( ) ( ),
n
x n x
n n
dL x e x e
dx
称为 Laguerre多项式,
所以,n点 Gauss-Laguerre求积公式为
0 1
( ) ( ),
n
x
kk
k
e f x d x A f x
上一页 下一页102
0 1
( ) ( ),
n
x
kk
k
e f x d x A f x
( 1,2,,)kx k n? ()nLx其中 是 的 n个零点，
求积系数 2
2
( ! ),1,2,,.
[ ( ) ]k n k k
nA k n
L x x
结论：
1,Gauss-Laguerre求积公式的误差为：
2
( 2 )( ! )[ ] ( ),0,
( 2 ) !
n
n
nE f f
n
上一页 下一页103
1| ( ) | /,xf x e x
2,若当 x充分大时,
ρ为某个大于零的数,
即则 Gauss-Laguerre求积公式收敛，
0 1
( ) ( ),
n
x
kk
k
e f x d x A f x
1
lim ( )
n
kkn
k
A f x
0 ( ),xe f x d x
上一页 下一页104
＊两种无穷区间上的 Gauss型求积公式
2,Gauss-Hermite公式
(,)
2() xxe
上关于权函数的正交多项式（见第三章）为
22( ) ( 1 ) ( )
n
n x x
n n
dH x e e
dx
2 nnx
称为 Hermite多项式 。
于是 n点 Gauss-Hermite求积公式为：
上一页 下一页105
2 ()xe f x d x
1
()
n
kk
k
A f x
( 1,2,,)kx k n? ()nHx其中 是 的 n个零点，
求积系数结论：
1,Gauss-Hermite求积公式的误差为：
1
2
2!,1,2,,.
[ ( ) ]
n
k
nk
nA k n
Hx
( 2 )![ ] ( ),.
2 ( 2 ) !
n
n n
nE f f
n
上一页 下一页106
2 1| ( ) | /,xf x e x
2,若当 |x|充分大时,
ρ为某个大于零的数,
即则 Gauss-Hermite求积公式收敛，
0 1
( ) ( ),
n
x
kk
k
e f x d x A f x
1
lim ( )
n
kkn
k
A f x
20 ( ),xe f x d x
上一页 下一页107
四、乘积积分法
( ) ( ) ( ),baI f x f x d x
()x?
()fx
是接近奇异或奇异的函数，
是光滑函数,
考虑积分其中基本思想,
构造 ()fx 的一个逼近序列 { ( ) }nfx,
满足下列条件：
上一页 下一页108
1 m a x | ( ) ( ) |nna x bf f f x f x,0?,n;
( ) ( ) ( )bnnaI f x f x d x2,非常容易计算。
由此可得
| ( ) ( ) |nI f I f ( ) [ ( ) ( ) ]b na x f x f x d x
( ),bn af f x d x
所以 li m ( ) ( ),
nn I f I f
()If()nIf因此,的一个逼近序列。是上一页 下一页109
注意：
1( ) ( ) ],jjx x f x
()nfx[,]ab ()fx
( ) /h b a n
为 上的步长为 的 分段多项式插值,
在实际应用中，常取例 5、计算积分
0( ) ( ),0 1,
b pI f x f x d x p
取 ()nfx为分段线性插值多项式：
1
1( ) [ ( ) ( )
n j jf x x x f xh1,jjx x x
其中 /,h b n?,1,2,,.jx j h j n
上一页 下一页110
()fx [0,]b
由 Lagrange插值余项定理知：
在 上二阶连续可微时，当 有
2
.8n hf f f
因此
| ( ) ( ) |nI f I f
2
08
b ph f x d x?
12
.8 ( 1 )
pbh
fp
()nIf ()If可见，当 n充分大时,可作为 的近似值,
上一页 下一页111
1
11
1
( ) ( ) ( ) ( )() j
j
n x
j j j jp
n x
j
x x f x x x f xI f x dx
h?
0
( ),
n
jj
j
w f x
其中
1
0
01
1 ( ),x p
x
w x x x dxh
1
1
1 ( ),n
n
x p
nnxw x x x dxh
1
1
1 ()j
j
x p
jjxw x x x dxh
1 1,jn
1
1
1 ( ),j
j
x p
jx x x x dxh
上一页 下一页112
1
1
1 ()j
j
x p
jjxw x x x dxh
1
1
1 ( ),j
j
x p
jx x x x dxh
作变量替换 1,jx x h t则
11
0 ( 1 )
pp
jw h t j t d t
11
0 ( 1 ) ( )
pph t j t d t
1,
( 1 ) ( 2 )
ph
pp
22 pj2( 1) pj
1 1,jn
2( 1 ) pj
1
0
1,
( 1 ) ( 2 )
pwh
pp
12
1( 2 ) ( 1 ),
( 1 ) ( 2 )
pp
p
n
p n n nwh
pp
因此 ()nIf可算。
