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第四章 数值积分与数值微分上一页 下一页2
ba dxxf )(
2个 研究对象,
1,用数值 (近似 )方法求定积分,
2,用数值 (近似 )方法求微分,
n
n
dx
xfd )(
上一页 下一页3
4 个 需要关心的问题：
1,为什么要用数值 (近似 )方法？
2,有哪些数值 (近似 )方法？
3,数值 (近似 )方法的精度如何？
4,如何实现这些数值 (近似 )方法？
上一页 下一页4
§ 1 引 言一、数值积分方法的基本思想二、代数精度的概念三、插值型求积公式上一页 下一页5
一、数值积分方法的基本思想
ba aFbFdxxf )()()(
其中 F(x)是 f(x)的原函数，即方法一,牛顿 — 莱伯尼兹 (Newton-Leibniz)公式：
ba dxxfI )(? 研究对象 1：怎样求定积分？
主要有两种方法：
)()( xfxF
上一页 下一页6
ba aFbFdxxf )()()(
存在的问题,
例：
（ 1）原函数难求，无解析式！
（ 2） f(x)仅提供样本值
,,)( s i n,s i n)( 22 xexxxxf
.,,1,0) ) },(,{( nixfx ii
上一页 下一页7
ba fabdxxf )()()(?
)(xf对连续函数,根据积分中值定理，存在
],[ ba,使得只要给出计算 )(?f 的一种算法便相应地获得一种数值求积方法,
举例,1个节点的数值积分公式 —— 矩形求积公式,
)()( 00 xfAdxxfI ba
常取 bbaax,2,0
方法二：数值积分公式上一页 下一页8
ba afabdxxf )()()(
—— 左矩形求积公式
—— 右矩形求积公式
—— 中矩形求积公式
ba abfabdxxf )2()()(
ba bfabdxxf )()()(
上一页 下一页9
f(x)
a b
f(a)
f(b)
2个节点的数值积分公式 -----梯形公式
)]()([2)( bfafabdxxfb
a
上一页 下一页10
一般地，数值积分公式
ba dxxfI )(,)(0
n
i
ii xfA
优点,普适性、在计算机上的可操作性三要素,1?n求积节点数
nix i )1(0,?节点的分布
iA公式的系数
.10 bxxxa n
上一页 下一页11
二、代数精度的概念
,)()(
0
b
a
n
k
kk xfAdxxf
原则,恰当选取,,使得 (1.1)的代数精确度高。
}{ kx }{ kA
（ 1.1）
当求积节点个数给定后，怎样构造数值求积公式？
m?
1?m
m
定义 1 如果求积公式（ 1.1）对所有次数项式是精确的，但对 次多项式不精确，则称次代数精度,
的多
（ 1.1）具有
.10 bxxxa n
上一页 下一页12
欲使求积公式（ 1.1）具有 m次代数精度，只要令都能精确成立，这就要求中的上下标,
它对于 mxxxf,,,1
,abA k
,21 22 abxA kk
,21 11 mmmk abxA
k
（ 1.5）
注,这里省略了符号?
n
k 0
上一页 下一页13
如何构造求积公式？
)]()([2)( bfafabdxxfba
,,10 bxax )()()( 1100 xfAxfAdxxfba
模式一,给定节点，系数待定。
方法,给定得到：
例：构造 梯形求积公式：
令
ba dxab ba x d xab )(21 22
则
.210 abAA
精确成立,xxf,1)(?对
,10 AA,10 bAaA
上一页 下一页14
模式二,节点、系数全待定注：梯形公式和中矩形公式都具有 1次 代数精度方法,令得到：
ba bafabdxxf )2()()(
例,构造 中矩形求积公式：
,0 ba Adxab
ba xfAdxxf )()( 00xxf,1)(?
.)(21 0022 b
a
xAxdxab
abAbax 00,2
对 精确成立则：
上一页 下一页15
证明,
(2)
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(考虑求积公式：
定理 1,任给 个互异节点,1?n bxxxa
n10
(1)
}{ kA1?n总存在 个相应的求积系数,使
（ 1）至少具有 n次代数精度,
nixxf i,,2,1,0,)(
n
k
b
a
ii
kk dxxxA
0
精确成立，
}{ kA
则得关于 的线性代数方程组：
令（ 1）对
niabi ii,,1,0),(11 11
上一页 下一页16
其系数行列式为范德蒙行列式
}{ kA 构成的}{ kA（ 2）有唯一解 。
n?（ 1）对所有次数 的多项式都是精确的,
显然,以此组
n
n
nnn
n
n
xxxx
xxxx
xxxx
V
210
22
2
2
1
2
0
210
1111
nji
ij xx
0
)(,0?
上一页 下一页17
三、插值型求积公式
}{ kA
,,.,,,1,0,nix i?
定义,若（ 1）中的 满足（ 3）、（ 4），则称 求积公式（ 1）
为插值型的。
}{ kA
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
求积公式,（ 1）
求
（ 4）
将对应于节点
k
b
a
n
j
jkjk AxlAdxxl
0
)()(代入（ 1），得：
（ 3）
的方法：
n
ij
j ji
j
i nixx
xxxl
0
,,2,1,0,)(?
的 n次插值多项式基函数上一页 下一页18
定理 2 形如（ 1）的求积公式至少具有 n次代数精度的充要条件是，它是插值型的,
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
（ 1）
)(xlk
证明 n次多项式精确成立：
必要性,因求积公式对形如（ 3）的
b
a
n
i
ikik xlAdxxl
0
)()(
注意到基函数性质
kiik xl)(
,,1
,,0
时当时当
ik
ik
上一页 下一页19
.)(
0
b
a
n
i
kkiik AAdxxl?
所以
}{ kA 满足（ 4），从而（ 1）是插值型的,即充分性：
因对任何次数 n? 的多项式 )( xf,它的以
}{ kx 为插值节点的 n 次 L a g r a n g e 插值多项式
n
k
kk
xlxf
0
)()( 就是 )( xf,
b
a
n
k
b
a kk
dxxlxfdxxf
0
)()()(
所以从而（ 1）至少具有 n次代数精度,
.)(
0
n
k
kk xfA
上一页 下一页20
§ 2 Newton-Cotes求积公式一、公式的导出二,误差分析三、收敛性问题上一页 下一页21
一、公式的导出定义 3 对 ],[ ba 的 n 等分点
,/)(,nabhkhax k nk,,2,1,0
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf
0
)( )()()( （ 2.1）
称为 n阶 Newton-Cotes公式,
插值型求积公式
)(nkc 称为 Cotes系数,其中上一页 下一页22
,/)(,nabhkhax k,,10 bxxxa n
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
取 [a,b]的等距剖分点为求积节点,
改写
Cotes系数
dxxlAcab ba kknk )()( )( dxxx
xxn
ki
i ik
i
b
a
0 )(
)(
()
0 0
1 ( )
()
nn
n k
k
i
ik
A t ic d t
b a n k i?
与 无关！ba,
,)()()(
0
)(
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf )()( nkk cabA
为：
上一页 下一页23
n阶 Newton-Cotes公式
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf
0
)( )()()( 的系数
n nkc nk,,2,1,0)(，
2121
613261
81838381
90745161524516907
288
19
96
25
144
25
144
25
96
25
288
19
840
41
35
9
280
9
105
34
280
9
35
9
840
416
5
4
3
2
1
上一页 下一页24
1阶 Newton-Cotes公式：
即梯形求积公式。
2阶 Newton-Cotes公式：
称为辛甫生 (Simpson)求积公式。
)]()([2)( bfafabdxxfb
a
ba bfbafafabdxxf )](24)([6)(
上一页 下一页25
二、误差分析
b
a
n
i
iin xfAdxxffE
0
)()()(
ba ba ini in dxxlxfdxxffE )()()()( 0
ba n dxxpxf )]()([
记 Newton-Cotes公式的误差为：
则：
其中
且依赖于 x。
)(xpn )(xf
n
i
i
n
n xxn
fxpxf
0
)1(
)()!1( )()()(?
,])()!1( )([)(
0
)1(
b
a
n
i
i
n
n dxxxn
ffE?),( ba
为 的 n次插值多项式。
上一页 下一页26
二、误差分析
ba dxxffI,)(
对 n阶 Newton-Cotes公式 （ 2.1）,记
（ 2.3）
n
k
k
n
kn xfcabfI
0
)( )()(
).()()( fIfIfE nn则误差为
)(xf ],[ ba假定 在 上足够光滑，则：
),()()( 11 xRxpxf
)()()()(1 afaxafxp
baxa dttftxdttftxxR,)()()()()(1
1?n当 （即梯形公式）时，由带积分型余项的其中,Taylor公式，
上一页 下一页27
这里引入了截断幂函数的记号
mx
,0,?xx m 若
,0,0?x若
0)( 11?pE
)()( 1111 RpEfE
注意 到（ 2.1）至少具有 n次代数精度，所以从而
（ 2.4）
)()( 1111 REpE ),( 11 RE?
上一页 下一页28
ba dxxRRE )()( 111
ba ba d t d xtftx )()(
ba ba d x d ttxtf )()(
ba dttfbtat )())((21
ba dttftKfE )()()( 11
而
（ 2.5）即其中：,2/))(()(1 btattK
称为关于梯形公式的 Peano核,
)]()([2 11 bRaRab
ba dttftbab )()(2
ba dttftbab )()(2
上一页 下一页29
),()()( 33 xRxpxf
2?n当 （即辛甫生公式）时，同理可记
xa dttftxxR )()(61)( )4(33
)()( 322 REfE? )(3 xR
ba dttftKfE )()()( )4(22
从而,将 代入，直接计算可得：
（ 2.6）
其中：
bt
ba
tabtb
ba
tabatat
tK
2
),32()(
72
1
2
),23()(
72
1
)(
3
3
2
（ 2.7）
称为关于辛甫生公式的 Peano核,
上一页 下一页30
注意到 （ 2.5）、（ 2.6）中 Peano核的保号性，
ba dttKffE,)()()( 11?
ba dttKffE )()()( 2)4(2?
53 n n对 的 阶 Newton-Cotes公式可作同样的
)/)(( nabh,讨论，最后可得如下误差所以由积分中值定理有：
上一页 下一页31
.5),(
1 2 0 9 6
2 7 5
,4),(
9 4 5
8
,3),(
80
3
,2),(
90
1
,1),(
12
1
)(
)6(7
)6(7
)4(5
)4(5
)2(3
nfh
nfh
nfh
nfh
nfh
fE
n
（ 2.8）
结论,n阶 Newton-Cotes公式的代数精度为：
d
,1?n,为偶数时当 n
,n,为奇数时当 n
上一页 下一页32
三、收敛性问题
4 4 21 1 dxxI
4 4 21 1 dxxI
例如,利用牛顿 -柯特斯公式计算积分：
解：积分的准确结果为：
但用 n阶牛顿 -柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
6 5 1 6.24t a na r g2
上一页 下一页33
n nI
2
4
6
8
10
5.4902
2.2776
3.3288
1.9411
3.5956
4 4 21 1 dxxI 6 5 1 6.24t a na r g2
由上表可以看出,此时数值求积过程是 发散的 。
上一页 下一页34
nk,,2,1,0,||
0
)(?
n
k
n
kn c?
.}{s upn
n
)(nkc对于 n阶 Newton-Cotes公式的 Cotes系数
，若记其绝对值的和为则可以证明
（ 2.10）
结论,当 n充分大时,),,2,1,0()( nkc nk
的符号 必定变化,
1)(?xf 1?n ),()( fIfI n?
n
k
n
kc
0
)( 1
显然,当 时，对所有,都有即注意：
上一页 下一页35
)(5 8 8 8)(9 8 9[1 4 1 7 5 )(4)()( 71808 ffffabfIdxxfb
a
]4540)(10496)(928 45362 fffff
8?n例如当 时，
).( kk xff?这里 显然,这样的公式会引起有效数字的
)7(?n故 实际应用时 常常只采用几种低阶 的求积公式,
如梯形公式、辛甫生公式、
损失（尽管在 n变得较大之前未必成为问题）,
四阶 Newton-Cotes公式 —— 特别称作 Cotes公式,
上一页 下一页36
§ 3 复化求积公式一、复化求积法的思想二、复化公式的截断误差三、自适应复化求积法上一页 下一页37
一、复化求积法的思想在 上节中已经指出,不能期望通过提高阶数来改善 Newton-Cotes公式的精度,
又根据低阶公式的误差公式
.5),(
1 2 0 9 6
2 7 5
,4),(
9 4 5
8
,3),(
80
3
,2),(
90
1
,1),(
12
1
)(
)6(7
)6(7
)4(5
)4(5
)2(3
nfh
nfh
nfh
nfh
nfh
fE
n
（ 2.8）
)/)(( nabh
上一页 下一页38
],[ ba当积分区间 的长度 abh0 不是足够小时，
Newton-Cotes公式的 误差仍可能是较大的,
问题,该如何 降低 误差,提高 精度呢？
因为 通过高阶求积公式提高精度的途径 不行,
故类似 函数插值 分而治之：
分段 ＋ 低阶求积公式
---------- 称为 复化求积法上一页 下一页39
复化求积法的思想,(以复化梯形公式为例 )
n
abhnkkhax
k
),,,1,0(,?
1、分段 ],[ ba将积分区间 分成 n段，
],[ ba通常是将 n等分
2、每段 ],[ 1 kkk xxe 采用低阶的数值求积公式上一页 下一页40
1
1[ ( ) ( )]2
kk
k k k
xxI f x f x?
ke在 上利用梯形公式计算积分
3、求和 对每个区间 ke 的近似积分值求和，
用所得的值近似代替原积分值,即
ba dxxfI )(
n
k
kI
1
1
1
1
[ ( ) ( )]
2
n
kk
kk
k
xx f x f x?
n
k
x
x
k
k
dxxf
1 1
)(
b
a
n
k
k bfxfaf
hdxxf 1
1
)]()(2)([2)(
上一页 下一页41
类似可得其他复化公式
ba dxxf )(
1、复化辛甫生公式：
21?kx ],[ 1?kk xx其中 表示子区间 的中点,
)([6 afh?
1
0
)(4
2
1
n
k
kxf?
1
1
)(2
n
k
kxf )](bf?
2、复化柯特斯公式
ba dxxf )( )(7[90 afh?
1
1
)(14
n
k
kxf?
n
k
kxf
1
)(32
4
3
n
k
kxf
1
)(12
2
1?
n
k
kxf
1
)(32
4
1 )](7 bf?
，
，
,
4
1?kx
4
3?kx ],[ 1 kk xx?
为 的四等分的分点
,n abh
21?k
x ],[ 1 kk xx?其中,为 的中点，
上一页 下一页42
21
4)(
xxf
dxxfI 1
0
)(
例 1 对 利用下表所给数据，利用的值。
复化梯形公式和复化辛甫生公式计算
kx )( kxfkx )( kxf
0 4.0000000 5/8 2.8764045
1/8 3.9384615 6/8 2.5600000
2/8 3.7647059 7/8 2.2654867
3/8 3.5068493 8/8 2.0000000
4/8 3.2000000
上一页 下一页43
则：
解：① 用复化梯形公式计算
,81,8 hn取
)]()(2)([2
1
1
8 bfxfaf
hT n
k
k
)]1()8(2)0([161
7
1
fkff
k
1389 885.3?
② 用复化辛甫生公式计算取,41,4 hn 则：
上一页 下一页44
)]()(2)(4)([6
1
11
2 21 bfxfxfaf
hS n
k
k
n
k
k
)]1()82(2)8 12(4)0([241
3
1
4
1
fkfkff
kk
1415 925.3?
而准确值：
1 4 1 5 9 0 5.3|a r c ta n4 10I
上一页 下一页45
二、复化公式的截断误差
1、复化梯形公式 记
1
1
)]()(2)([2
n
k
kn bfxfaf
hT
在子区间 ],[ 11 kkk xxe 上，应用梯形求积公式的误差估计式，得：
ba nTdxxf )(
1
0
1 )]()([2)(
1
n
k
kk
x
x
xfxfhdxxfk
k
1
0
3
)](12[
n
k
kf
h
1
0
2 )(1
12
n
k
kfnh
ab?
上一页 下一页46
当 ],[)( baCxf 时，有：
1
0
)]([m ax)(1)]([m i n
n
k bxa
kbxa xffnxf?
由介值定理
1
0
],[),()(1
n
k
k baffn
.)(12)( 2b
a n
fhabTdxxf?
上一页 下一页47
.|)(|m ax12|)(| 2
b
a bxan
xfhabTdxxf
则复化梯形公式有误差估计 ],,[)( 2 baCxf?定理 3 设
2、复化辛甫生公式 同理可得：
ba bxan xfhabSdxxf |)(|m a x2 8 8 0|)(| )4(4
则复化辛甫生公式有误差估计 ],,[)( 4 baCxf?定理 4 设
3、复化柯特斯公式
ba bxan xfhabCdxxf |)(|m a x)4(9 4 5 )(2|)(| )6(6
上一页 下一页48
注,若将步长 h 减半（即等分数 n 加倍），则复化梯形公式和复化辛 甫生公式的误差分别减至原有误差的
4
1
和
16
1
,
例 2 用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算
0
co s xdxeI x
精确值是 0703463164.12I,
,)]()(2)([2
1
1
n
k
kn bfxfaf
hT,
nn TIE
采用 复化梯形公式 计算，记上一页 下一页49
n nT nE nn EE 2/
2 -17.389259 5.23
4 -13.336023 1.72 4.20
8 -12.382162 3.12E-1 4.06
16 -12.148004 7.77E-2 4.02
32 -12.089742 1.94E-2 4.00
64 -12.075194 4.85E-3 4.00
128 -12.071558 1.21E-3 4.00
256 -12.070649 3.03E-4 4.00
512 -12.070422 7.57E-5 4.00
上一页 下一页50
1
0
1
1
)]()(2)(4)([6
2
1
n
k
n
k
kkn bfxfxfaf
hS
nn SIE
采用复化辛甫生公式计算，记
n nE nn EE 2/
2 -11.5928395534 -4.78E-1
4 -11.9849440198 -8.54E-2 5.59
8 -12.0642089572 -6.14E-3 14.9
16 -12.0699513233 -3.95E-4 15.5
32 -12.0703214561 -2.49E-5 15.9
64 -12.0703447599 -1.56E-6 16.0
128 -12.0703462191 -9.73E-8 16.0
256 -12.0703463103 -6.08E-9 16.0
nS
上一页 下一页51
三、自适应复化求积法因为,h取得 太大 则 精度难以保证,
计算时，要预先 给定 n或 步长 h，在实际中 难以把握
h太小 则 增加 计算工作量,
关键,后验估计式的建立以复化梯形公式为例
.4
2
n
n
TI
TI
上一页 下一页52
在 步长 h逐次分半 的过程中，
自适应复化求积法基本思路：
反复利用 复化求积公式进行计算，
直到 所求得的积分值 满足精度要求 为止 。
此时的步长 h，
既能 保证精度要求 又使 计算工作量最小,
上一页 下一页53
下面以 复化梯形公式 为例，介绍自适应复化求积算法,
n
k
kkn xfxf
hT
1
1 )]()([2
1,n等分 [a,b]，则
2、将 [a,b]作 2n等分，则
],[ 1 kk xx ],[],[
21211 kkkk xxxx
此时,],[ 1 kk xx? 上的积分值为
)]()([2 2/
2
11 kk xfxf
h )]()([
2
2/
2
1 kk xfxf
h?
上一页 下一页54
)]()([2 2/)]()([2 2/
2
1
2
11 kkkk xfxf
hxfxfh
])()(2)([
2
2/
1
12 21?
n
k
kkkn xfxfxf
hT
n
k
kn xf
hT
1
)(221
2
1
其中,/)( nabh
由复化梯形公式的截断误差估计式，有
],[ ),(12 2 bafhabTI nnn
],[ ),()2(12 2222 bafhabTI nnn
上一页 下一页55
)()( 2 nn ff
当 n充分大时，
1( ) ( )b
n ba af f x dx
从而
4
2
n
n
TI
TI
即得
).(31 22 nnn TTTI
|| 2 nn TT
可通过检验条件
（预置的容许误差）
nT2 是否已满足精度要求。来判断上一页 下一页56
自适应复化梯形法的具有计算过程如下：
,1?n
步 1
,abh ) ] ;()([21 bfafhT
步 2
步 3
步 4
,)(
1 2
1?
n
k
kxfT ;22
1
12 T
hTT
判断?|| 12 TT 若是，则转 步 5；
,,2/,2 21 TThhnn 转 步 2；
步 5 输出,2T
上一页 下一页57
§ 4 基于复化梯形公式的高精度求积算法一、梯形公式的余项的展开式二,Richardson外推法三,Romberg求积法上一页 下一页58
梯形求积法优点,算法简单缺点,精度低,收敛速度慢,
两种常用 的提高精度的算法：
1,Richardson外推法
2,Romberg求积法上一页 下一页59
一、梯形公式的余项展开式对复化梯形求积公式
b
a
n
k
k bfxfaf
hdxxf 1
1
)]()(2)([2)(
梯形和
1
1
)],()(2)([2
n
k
kn bfxfaf
hT
),/)(( khaxnabh k
有如下渐近展式：
（＊）
上一页 下一页60
定理 5 设 ],,[ baCxf 则成立
mm
b
an
hhhdxxfT 24221
（ 4,1 ）
其中系数,2,1?i
i?
与 h 无关,
证明将 ()fx 在子区间
1[,]kkxx?
的中点
1
2
1
1
()
2
kkk
x x x
展开，有
11
22
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
23( ) ( )
( ) ( ) 2 ! 3 !kkk k k k k
x x x x
f x f x x f f f
111
222
111
222
456
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
( ) ( ) ( )
4 ! 5 ! 6 !
kkk
kkk
x x x x x x
fff
(＊ )
上一页 下一页61
12
()j
kf? 12
()()j
kfx?式中 是 的简写,
()kfx 1()kfx?据此写出 和 的展开式,易知
1[ ( ) ( ) ]2 kk
h f x f x
12khf 12
2
2 ! 2 k
hh f
1
2
4
( 4 )
4 ! 2 k
hh f
1
2
6
( 6 )
6 ! 2 k
hh f
求和得
1
1
0
[ ( ) ( ) ]2
n
n k k
k
hT f x f x?
1
2
n
k
k
hf
12
3 1
2
02 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
04 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
06 ! 2
n
k
k
h f?
①
上一页 下一页62
11
22
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
23( ) ( )
( ) ( ) 2 ! 3 !kkk k k k k
x x x x
f x f x x f f f
111
222
111
222
456
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
( ) ( ) ( )
4 ! 5 ! 6 !
kkk
kkk
x x x x x x
fff
(＊ )
另一方面，将 1[,]kkxx?上积分得两边在区间(＊ )
1 ()k
k
x
x f x dx
12khf
1
2
32
3 ! 2 k
h f
1
2
5
( 4 )2
5 ! 2 k
h f
1
2
7
( 6 )2
7 ! 2 k
h f
上 式两边关于 k 从 0 到 1n? 求和得
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
上一页 下一页63
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
1
1
0
[ ( ) ( ) ]2
n
n k k
k
hT f x f x?
1
2
n
k
k
hf
12
3 1
2
02 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
04 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
06 ! 2
n
k
k
h f?
①
利用 ② 从 ① 中消去项 1
2
1
0
n
k
k
hf
,得
11
22
3511
( 4 )
002 ! 6 4 ! 2 0
nn
n kk
kk
hhT I f f
1
2
7 1
( 6 )
0
3
6 ! 2 4
n
k
k
h f?
③
又对 ()fx 应用式 ②,并注意到 ( ) ( ) ( )ba f x d x f b f a
11
22
311
( 4 )
2
00
( ) ( ) 3 ! 2
nn
kk
kk
hh f f b f a f
1
2
5 1
( 6 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
3
( 4 )
2( ) ( ) 3 ! 2
hh f f b f a f
12
5 1
( 6 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
上代入 ③ 式，整理得
2
[ ( ) ( ) ]2 ! 6n hT I f b f a
1
2
5 1
( 4 )
04 ! 30
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
06 ! 5 6
n
k
k
h f?
上一页 下一页64
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
再对 ( 4 ) ()fx应用式 ②,有
11
22
311
( 4 ) ( 6 )
2
00
( ) ( ) 3 ! 2
nn
kk
kk
hh f f b f a f
从而进一步得到
2
[ ( ) ( ) ]2 ! 6n hT I f b f a
4
[ ( ) ( ) ]4 ! 3 0h f b f a
1
2
7 1
( 6 )
06 ! 4 2
n
k
k
h f?
反复施行上述手续，即可得到形如 (4.1)的展开式。 □
上一页 下一页65
mmban hhhdxxfT 24221 （ 4.1 ）
记
, ba dxxfI
则 （ 4.1） 可简记为：
)( 64221 hOhhIT n（ 4.2）
上一页 下一页66
二,Richardson外推法
)( 64221 hOhhIT n（ 4.2）
当步长缩小一倍时，有
)(22 6
4
2
2
12 hO
hhIT
n
（ 4.3）
将上式乘以 4再减去 (4.2)并整理可得
)(4 642 hOhIS n（ 4.4）
其中
.3/)4( 2 nnn TTS （ 4.5）
上一页 下一页67
nn TT 2,
)( 2hO
),( 4hO
结论,只需将前后两次算得的复化梯形和按（ 4.5）作简单组合后就可将求积精度从提高到 这种方法就称作 Richardson外推法,
.3/)4( 2 nnn TTS （ 4.5）
)( 6hOIC n
再外推一次，便得：
（ 4.6）
其中 15/)16( 2 nnn SSC
或 45/)2064( 24 nnnn TTTC
（ 4.7）
（ 4.8）
上一页 下一页68
三,Romberg求积法记步长为 kh 的复化梯形和为 kT,0,则公式（ 4,1 ），有
m
i
m
k
i
kik hOhIT
1
222
,0,0 )(?（ 4.9）
其中 ii,0 为与 kh 无关的常数,取 kk hh 2
1
1
，对（ 4,9 ）作 R i chard s on 外推，消去 2h
项后得
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
1
2
1,1,1 )(?（ 4.10）
mmban hhhdxxfT 24221（ 4.1）其中,ikkk TTT,1,01,0,1,3/)4(为与 1?kh 无关的常数,
上一页 下一页69
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
1
2
1,1,1 )(?（ 4.10）
于是?
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
2
2
2,11,1 )(?
取 12 21 kk hh,与 （ 4.1 0 ） 式联立消去 4h 项后得
m
i
m
k
i
kik hOhIT
3
22
2
2
2,2,2 )(?3?i
其中,15/)16(
,11,1,2 kkk TTT
上述过程可一直进行下去，如第 j步有：
m
ji
m
jk
i
jkijkj hOhIT
1
222
,,)(?（ 4.11）
其中,,
2
1
1 jkjk hh
)14/()4(,11,1, jkjkjjkj TTT
（ 4.12）
上一页 下一页70
当取 jm? 时，（ 4,1 1 ）即给出了误差,显然，
m
ji
m
jk
i
jkijkj hOhIT
1
222
,,)(?（ 4.11）
22, j kjkj hOIT （ 4.13）
,21 1 jkjk hh )14/()4(,11,1, jkjkjjkj TTT （ 4.12）
根据 (4.11)~(4.13),可得到形象的 表中
02 hh
i
i
,
kjT,
由指向它的
1,1 kjT
和
kjT,1?
按
（ 4,12 ）生成三角形递推表 4.5,
上一页 下一页71
表 4.5 Romberg算法计算表误差量级步长 h
2
h
4
h
6
h
8
h
10
h …
0
h
0,0
T
1
h
2
h
3
h
4
h
↘
1,0
T
→
0,1
T
↘ ↘
2,0
T
→
1,1
T
→
0,2
T
↘ ↘ ↘
3,0
T
→
2,1
T
→
1,2
T
→
0,3
T
↘ ↘ ↘ ↘
4,0
T
→
3,1
T
→
2,2
T
→
1,3
T
→
0,4
T
·······················
上一页 下一页72
算法的实现：
1,只将梯形和序列
k
T
,0
加工至误差量级为 6h 的序列
k
T
,2；
2,以
1T
、
2T
分别表示
k
T
,0
和
1,0?k
T ；
3,
1S
、
2S
表示
k
T
,1
和
1,1?k
T ；
4,
1C
、
2C
表示
k
T
,2
和
1,2?k
T 。
在计算 1,0?kT 时，用到了递推公式
1
0
,01,0 )(22
1
2
1
n
i
i
k
kk xf
hTT （ 4.14）
其中 kik hiaxhabn )21(,/)(
2
1。
上一页 下一页73
Romberg算法的具有计算过程如下：
,1?k步 1,abh ) ] ;()([21 bfafhT
步 2
步 3
步 4 判断 k=1? 若 k=1，转 步 5；
转 步 2；步 5
1
0
2
1 ],)([
n
i
hiafS ;22
1
2 S
hTT
);(31 1222 TTTS
否则转 步 6；
,,,2,1 2121 SSTThhkk
步 6 );(151 1222 SSSC
上一页 下一页74
输出,2C
步 8
步 7 判断 k=2?
若 k=2,否则转 步 8；转 步 5；,21 CC?
步 9
判断?|| 12 CC 成立时转 步 9；
否则 转 步 5；,21 CC?
上一页 下一页75
例 用 Romberg算法计算积分 dxxI 1
0 21
4
2
4( ),0,1
1f x a bx
1
11[ ( 0 ) ( 1 ) ] ( 4 2 ) 3
22T f f
1 1 6,
25f
21
1 1 1
2 2 2T T f
1 2 1
41
33S T T
解
(2) 由 则
(1)
(3)
1 1 63 3,1
25
3,1 3 3 3 3,?
上一页 下一页76
再计算
42
1 1 1 3
2 4 4 4T T f f
3,1 3 1 1 8,?
由此得再计算
2 4 2
41
33S T T3,1 4 1 5 7,?
1 2 1
16 1
15 15C S S3,1 4 2 1 2,?
84
1 1 1 3 5 7
2 8 8 8 8 8T T f f f f
3,1 3 8 9 9,?
上一页 下一页77
从而算得 4 8 44133S T T3,1 4 1 5 9,?
2 4 2
16 1
15 15C S S3,1 4 1 5 9,?
1 2 1
64 1
63 63R C C3,1 4 1 5 8,?
(4) 把区间再分半，重复上面的计算步骤，可得
16 3.1 409 4,T? 8 3,14 15 9,S? 2 3,1 4 1 5 9,R?
21 0,0 0 0 0 1,RR
1
20
4 3,1 4 1 5 9,
1I d xx
由 已精确到小数点后五位，
故可取上一页 下一页78
上述计算结果参见下表：
k 区间个数 2 k
2 k
T 1
2 k
S? 2
2 k
C? 3
2 k
R?
0
1
2
3
4
1
2
4
8
16
3.00 000
3.10 000
3.13 1 18
3.13 899
2.14 094
3.13 33
3.14 157
3.14 15 9
3.14 159
3.14 212
3.14 159
3.14 159
3.14 158
3.14 159
上一页 下一页79
§ 5 Gauss型求积公式一,Gauss型求积公式的构造二,Gauss型求积公式的余项和稳定性三、几种特殊的 Gauss型求积公式上一页 下一页80
( ) ( )baI x f x dx
( ) 0x这里已知函数 称为 权函数,
特别 当 ( ) 1x时即为普通的积分,
问题,怎样求解带权积分的数值积分？？
思路,仿照处理普通积分的方法？！
一般情形 特殊情形考虑带权积分上一页 下一页81
一,n点 Gauss型求积公式
( ) ( )ba x f x d x
考虑求积公式
（ 5.1）
ij?（当 时）,ijxx?其中
( ) ( ),bkkaA x l x d x
kA若 满足：
（ 5.2）
则称（ 5.1）为 插值型的,
1
( ),
n
j
k
j kj
jk
xx
lx
xx?
1
( ),
n
kk
k
A f x
上一页 下一页82
类似于第一节中的定理 2，同样有：
1n?
次代数精度的 充分必要条件 是：
定理 6 形如（ 5.1）的求积公式至少具有它是 插值型的,
( ) ( )ba x f x d x （ 5.1）
1
( ),
n
kk
k
A f x
提法：
kx,kA 1 (1 ),kn?求 和 使（ 5.1）的代数精度次数 尽可能 的高？
上一页 下一页83
( ),fx
( ),0,1,2,,,if x x i n
公式导出均精确成立。
方法 1 要求（ 5.1）对次数由低到高的多项式即
2n因为（ 5.1）需要 个条件确定，
i 21n?达到 即可。因此
( ) ( )ba x f x d x （ 5.1）
1
( ),
n
kk
k
A f x
上一页 下一页84
kx,kA 1 (1 ),kn?和?
1
( ),0,1,2,,2 1,
n b
ii
kk a
k
A x x x d x i n?
2n满足如下由个代数方程构成的非线性代数方程组：
由上述方程组可解得kx,kA 1 (1 ),kn?和
(5.3)
21n?定义 4 若形如（ 5.1）的求积公式具有次代数精度，则称它为 n点 Gauss型求积公式，
称为 Gauss点,kx积分节点上一页 下一页85
下面对 ( ) 1x，几个简单情形讨论
22
.2ba
1n?例如,当 时，
1,
b
aA d x b a 11
b
aA x x d x
( ) ( ) 2b
a
abf x d x b a f
―――― 中矩形公式
( ) 1x权函数 的一点 Gauss型求积公式为：
上一页 下一页86
2n?当 时，
令（ 5.1）对 ( ),0,1,2,3if x x i均精确成立。
(1)
(2)
(3)
(4)
12,A A b a
221 1 2 2 ( ) / 2,A x A x b a
12
2 2 3 312 ( ) / 3,A x A x b a
12
3 3 4 412 ( ) / 4,A x A x b a
2 0.xx
12,xx令 是下面方程的两个根
(*)
上一页 下一页87
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
221 1 1 2 2 20 ( ) ( )A x x A x x
2 2 3 3
() 23b a b aba
( 2) ( 3) ( 4)
221 1 1 1 2 2 2 20 ( ) ( )A x x x A x x x
2 2 3 3 4 4
2 3 4
b a b a b a
,,求出 12,xx由（ *）求出 12,.AA代入 (1),(2) 求出
( ) 1x的 两点 Gauss型求积公式由此可得权函数上一页 下一页88
方法一 的优缺点：
缺点,当 n较大 时，非线性代数方程组复杂，难求！
优点,直观方法 2 利用带权正交多项式以 [ 1,1 ]? 上 ( ) 1x的 两 点 G a u s s 求积公式 为例,
1
1 ()f x d x 1 1 2 2( ) ( ),A f x A f x
(5.4)
勒让得多项式
2
22
2 2( ) [ ( 1 ) ],
dL x c x
dx
上一页 下一页89
重要事实,
（ 5.4）具有 3次代数精度,
2()Lx的两个零点 ;1,(5.4)的 Gauss点为正交多项式
1 3 1 3 1 2 3 2
1 ( ) ( ) ( )p x d x A p x A p x
(5.5)
在 (5.5)中，分别令
2
21
,xxxx 1
21
.xxxx
1 2
1 1
21
,xxA dxxx
1 1
2 1
21
.xxA dxxx
上一页 下一页90
对任意一次代数多项式令
3( ) ( ),g x P x?
12,xx且 为其零点，
1 1 2( ) ( ) ( ) ( ),g x p x x x x x
则又由于 (5.4)具有 3次代数精度
1 ( ),px
上一页 下一页91
11
1 1 2( ) ( ) ( ) ( )g x d x p x x x x x d x
0,?
12( ) ( )x x x x与任意一次代数多项式正交。即
12( ) ( )x x x x
为 2次勒让得多项式 （相差常数意义下）,
一般情形,求
1
1 ()I f x d x
1 1 2 2( ) ( )A g x A g x
上一页 下一页92
步骤：1,先由勒让得多项式确立 n 个 Gau s s 点
,1 ( 1 )jx j n?
2,再根据插值型求积公式求出 G au s s 系数
,1 ( 1 ) ;kA j n?
即
( ) ( ),bkkaA x l x d x 1( ),
n
j
k
j kj
jk
xx
lx
xx?
关键：
将 n 个 G a us s 点选为带权 n 次正交多项式 ()n x?
的 n 个零点,
上一页 下一页93
1
( ) ( )
n
nk
k
x x x?
( ) ( ) 0,0,1,2,,1,b jna x x x d x j n
( 1,2,,)kx k n?定理 7 互异节点 是 n点 Gauss
（ 5.6）
求积公式的 Gauss点的 充分必要条件 是,
1n ()x?的多项式关于权函数 正交，与任何次数即成立证明 必要性：
上一页 下一页94
由于 n 点 G au ss 求积公式具有 21n? 次代数精度,
所以对次数 21 n 的多项式
() jn xx,0,1,,1jn,
精确成立,即
1
( ) ( ) ( ),
nb
jj
n k n k ka
k
x x x d x A x x
注意到 ( ) 0 ( 1,2,,)nk x k n，因而（ 5,6 ）成立,
充分性：
以 ( 1,2,,)kx k n? 为求积节点，构造插值型求积 公式上一页 下一页95
1
( ) ( ) ( ),
nb
kka
k
x f x d x A f x?
（ 5.7）
对任何次数 21 n 的多项式 ()fx,以 ()n x? 除 ()fx,
()px,()qx，商和余分别记为 于是
( ) ( ) ( ) ( ),nf x x p x q x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k n k k k kf x x p x q x q x
( ),( )p x q x的次数 1n,因此
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +bb naax f x d x x x p x d x ( ) ( ),ba x q x d x
上一页 下一页96
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +bb naax f x d x x x p x d x ( ) ( ),ba x q x d x
由假设，上式右边第一项为 0,第二项应用（ 5.6）
1n? 次代数精度 (由定理 6)，并注意（ 5.6）至少具有于是有
( ) ( ) ( ) ( )bbaax f x d x x q x d x
1
()
n
kk
k
A q x
1
( ),
n
kk
k
A f x
这表明 ( 5,6) 具有 21n? 次代数精度,
( 1,2,,)kx k n?
从而
n是 点 Gauss求积公式的 Gauss点,□
上一页 下一页97
结论,
（ 1） ()x()m x?[a,b]上关于权函数 的正交多项式系是存在的,(,)ab，在内恰有 m个互异的零点，
()qx的多项式 正交 ;
()m x? 的次数恰为 m而且
1m并与任何次数
( ) ( ),m m mg x c x
正交多项式系，
mc0,1,2,m? 为 常数,
则
()mgx [,]ab ()x?（ 2） 若 是 上关于权函数 的另一个上一页 下一页98
定理 8 对任何正整数 n,n点 Gauss求积公式是存在的，
()m x? ()n x?中 的零点,
其 Gauss点就是求积区间上关于权函数的正交多项式系证 记 12,,,nx x x为 ()n x? 的 n 个互异零点，
1
( ) ( )
n
nk
k
x x x?
,
则 ( ) ( ),n n nx a x其中常数
na 为 ()n x? 的首项 () nx 的系数,
于是,对任何次数 1n 的多项式 ()qx,有
( ) ( ) ( )b na x x q x d x 1 ( ) ( ) ( )bnnaa x x q x 0.?
由 定理 7,12,,,nx x x为 n 点 G auss 求积公式 的 Gaus s 点上一页 下一页99
12,,,nx x x
反之，若求积点是 n点 Gauss求积公式的 Gauss点,则由定理 7，
( ) ( ) ( ) 0b na x x q x
对任何次数 1n的多项式成立,从而
(,) ( ) ( ) ( ) 0,0 1bn k n ka x x x d x k n
()n x? ( ) ( 0,1,2,,)k x k n又因为 可由 线性表出
0
( ) ( )
n
n j j
j
xx
上一页 下一页100
于是
(,),k k k
0
(,) (,)
n
n k j j k
j
从而
(,) /(,),0,0 1n n n n n k kn
( ) ( ),n n nxx
12,,,nx x x()n x?因此 就是 的 n个互异零点,
□
上一页 下一页101
二,Gauss型求积公式的余项和稳定性
1、余项
()nEf记 为 n点 Gauss求积公式的余项,即
1
[ ] ( ) ( ) ( )
nb
n k ka
k
E f x f x d x A f x?
kx ( 1,2,,)kA k n?其中 和 为 Gauss点和求积系数,
上一页 下一页102
( 2 ) ()
[ ] (,),( 2 ) !
n
n n n
fEf
n
(,),ab 2(,) ( ) ( ),bn n na x x d x
()fx [,]ab 2n定理 9 若求积函数 在 上有阶连续导数，则其中
21n? ( ),hx证 构造 次 Hermite插值多项式 满足：
( ) ( ),iih x f x? ( ) ( ),1,2,,.iih x f x i n
可以验证,()hx可表示成 (见第二章 )
上一页 下一页103
2
1
( ) ( ) ( )
n
i i i
i
l x x x f x
2( ) ( ) ( ) ( )
n
i i i i
i
h x l x x f x
2 ( ),i i ilx
其中
()ilx 12,,,nx x x为关于 的 Lagrange插值基函数,
1,1,2,,i i ix i n
记
( ) ( ) ( ),r x f x h x
由第二章 Hermite插值多项式余项的结果，可得：
( 2 )
2()( ) ( ),.
( 2 ) !
n
n
fr x x a b
n
上一页 下一页104
于是由积分中值定理知
( 2 ) 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 2 ) !
bb n
naax r x dx x f x dxn
( 2 ) ()
(,),( 2 ) !
n
nn
f
n
()hx 21n?注意 到 为 次多项式,所以
( ) ( ) ( ) ( )bbaax r x d x x f x d x ( ) ( )ba x h x d x
( ) ( )ba x f x d x
1
()
n
kk
k
A h x
( ) ( )ba x f x d x []nEf?
1
()
n
kk
k
A f x
□
上一页 下一页105
定理 10 Gauss型求积公式的求积系数 都是正数,
12,,,,nx x x
证 对 n点 Gauss型求积公式的 Gauss点
22n?构造 n个 次多项式 2
2
1
()( ),1,2,,
()
n
k
j
k jk
kj
xxq x j n
xx?
( ) ( )b
ja x q x d x jA?
1
()
n
i j i
i
A q x
0.? □
上一页 下一页106
2、稳定性设计算函数值 () kfx 的误差为,1,2,,,k kn,
则 用求积公式进行计算所得的结果的误差为
1
,
n
kk
k
EA?
于是
( ),ba x d x
1
n
k
k
A?
1
| | | |
n
kk
k
EA?
1m ax | |,kkn
[,],ab其中 由此可见，对于有限区间
Gauss型求积公式 是稳定的 。
上一页 下一页107
三、几种特殊的 Gauss型求积公式
[,]ab
[ ( ) ( ) ] / 2x a b b a t
[ 1,1],?
对积分区间 作变换后变成 积分变为
1
1
() 2 2 2b
a
b a a b b af x d x f t d t
因此,[ 1,1]? 上的 Gauss求积公式即可。只需给出上一页 下一页108
1,Gauss-Legendre求积公式勒让德多项式
21( ) [ ( 1 ) ],1,
2!
n
n
n nn
dL x x n
n d x0 ( ) 1,Lx?
[ 1,1]? ( ) 1x是 上关于权函数 的正交多项式,
于是 n点 Gauss-Legendre求积公式为
1
1 1
( ) ( ),
n
kk
k
f x d x A f x
12,,,nx x x()nLx其中 是 的 n个互异零点,
1
1 ( ),kkA l x d x 1
( ),1,2,,.
n
i
k
i ki
ik
xxl x k n
xx?
上一页 下一页109
误差分析,由 Gauss求积公式的误差估计式，
可得 n点 Gauss-Legendre求积公式的误差为,
2 1 4
( 2 )
3
2 ( ! )[ ] ( ),1 1,
( 2 1 ) [ ( 2 ) ! ]
n
n
n
nE f f
nn
2n? 22 ( ) ( 3 1 ) / 2,L x x例如 当 时,即有
1
1,
3x 2
1,
3x?
则 1
121
11( ) ( ) ( )
33f x d x A f A f
上一页 下一页110
1
121
11( ) ( ) ( )
33f x d x A f A f
令其对 ( ) 1,f x x?都精确成立
12 1.AA
两点 Gauss-Legendre求积公式为
1
1
11( ) ( ) ( ),
33f x d x f f
3,4,5n? 的 Gauss-Legendre求积公式的节点和系数见下表：
上一页 下一页111
n,1,2,3,4,5
k
xk?
,1,2,3,4,5
k
Ak?
3
13
0.7745906692xx
2
0.0x?
13
5 / 9AA
2
8 / 9A?
4
14
0.8611363116xx
23
0.33 998 104 36xx
14
0.34 785 484 51AA
23
0,65 21 45 15 49AA
5
15
0.9061798459xx
24
0.5384693101xx
3
0.0x?
15
0.23 692 688 51AA
24
0,47 86 28 67 05AA
3
0.5688888889A?
上一页 下一页112
2,Gauss-Chebyshev求积公式切比雪夫多项式
( ) c o s ( a r c c o s ),1 1nT x n x x
[ 1,1]? 122( ) ( 1 )xx是 上关于权函数的正交多项式，
nTx
其 n个互异零点是
21c o s,1,2,,
2k
kx k n
n
n点 Gauss-Chebyshev求积公式为上一页 下一页113
1
21
1 ()
1
f x dx
x 1
n
k
k
fxn?
其中 21
c o s,1,2,,.
2k
kx k n
n
误差分析,由 Gauss求积公式的误差估计式，
可得 n点 Gauss-Chebyshev求积公式的误差为,
( 2 )
21[ ] ( ),1 1,2 ( 2 ) !
n
n nE f fn
上一页 下一页114
例如,要构造下列形式的 Gauss求积公式：
1
0 0 1 10 ( ) ( ) ( )x f x d x A f x A f x (1)
令 (1)对 23( ) 1,,,f x x x x? 精确成立，得
33
0 0 1 1
2,
9A x A x
01
2 ;
3AA
0 0 1 1
2,
5A x A x
22
0 0 1 1
2,
7A x A x
(2)
上一页 下一页115
由于 0 0 1 1 0 1 0()A x A x A A x1 1 0()A x?
利用 (2)的第一式，可将第二式化为
33
0 0 1 1
2,
9A x A x
01
2 ;
3AA 0 0 1 1
2,
5A x A x
22
0 0 1 1
2,
7A x A x
0 1 0 1
22( ),
35x x x A
同样利用其他式子可得,
0 1 0 1 1
22( ),
57x x x x A
2
0 1 0 1 1
22( ),
79x x x x A
从以上三个式子消去 1 0 1( ),x x A? 有
0 0 1
2 2 2 2( ),
5 5 3 7x x x
2
0 0 1
2 2 2 2( ),
7 7 5 9x x x
上一页 下一页116
进一步整理得
0 0 1
2 2 2 2( ),
5 5 3 7x x x
2
0 0 1
2 2 2 2( ),
7 7 5 9x x x
0 1 0 1
2 2 2( ),
5 3 7x x x x0 1 0 1
2 2 2( ),
7 5 9x x x
由此解得
01
5,
21xx?
01
10
9xx
从而求得 1 0.289949,x?0 0.821162,x?
0 0.389111,A? 1 0.277556,A?
于是 形如 (1)得 Gauss积分公式是
0,2 7 7 5 5 6 ( 0,2 8 9 9 4 9 ),f?
1
0 ( ) 0,3 8 9 1 1 1 ( 0,8 2 1 1 6 2 )x f x d x f
第四章 数值积分与数值微分上一页 下一页2
ba dxxf )(
2个 研究对象,
1,用数值 (近似 )方法求定积分,
2,用数值 (近似 )方法求微分,
n
n
dx
xfd )(
上一页 下一页3
4 个 需要关心的问题：
1,为什么要用数值 (近似 )方法？
2,有哪些数值 (近似 )方法？
3,数值 (近似 )方法的精度如何？
4,如何实现这些数值 (近似 )方法？
上一页 下一页4
§ 1 引 言一、数值积分方法的基本思想二、代数精度的概念三、插值型求积公式上一页 下一页5
一、数值积分方法的基本思想
ba aFbFdxxf )()()(
其中 F(x)是 f(x)的原函数，即方法一,牛顿 — 莱伯尼兹 (Newton-Leibniz)公式：
ba dxxfI )(? 研究对象 1：怎样求定积分？
主要有两种方法：
)()( xfxF
上一页 下一页6
ba aFbFdxxf )()()(
存在的问题,
例：
（ 1）原函数难求，无解析式！
（ 2） f(x)仅提供样本值
,,)( s i n,s i n)( 22 xexxxxf
.,,1,0) ) },(,{( nixfx ii
上一页 下一页7
ba fabdxxf )()()(?
)(xf对连续函数,根据积分中值定理，存在
],[ ba,使得只要给出计算 )(?f 的一种算法便相应地获得一种数值求积方法,
举例,1个节点的数值积分公式 —— 矩形求积公式,
)()( 00 xfAdxxfI ba
常取 bbaax,2,0
方法二：数值积分公式上一页 下一页8
ba afabdxxf )()()(
—— 左矩形求积公式
—— 右矩形求积公式
—— 中矩形求积公式
ba abfabdxxf )2()()(
ba bfabdxxf )()()(
上一页 下一页9
f(x)
a b
f(a)
f(b)
2个节点的数值积分公式 -----梯形公式
)]()([2)( bfafabdxxfb
a
上一页 下一页10
一般地，数值积分公式
ba dxxfI )(,)(0
n
i
ii xfA
优点,普适性、在计算机上的可操作性三要素,1?n求积节点数
nix i )1(0,?节点的分布
iA公式的系数
.10 bxxxa n
上一页 下一页11
二、代数精度的概念
,)()(
0
b
a
n
k
kk xfAdxxf
原则,恰当选取,,使得 (1.1)的代数精确度高。
}{ kx }{ kA
（ 1.1）
当求积节点个数给定后，怎样构造数值求积公式？
m?
1?m
m
定义 1 如果求积公式（ 1.1）对所有次数项式是精确的，但对 次多项式不精确，则称次代数精度,
的多
（ 1.1）具有
.10 bxxxa n
上一页 下一页12
欲使求积公式（ 1.1）具有 m次代数精度，只要令都能精确成立，这就要求中的上下标,
它对于 mxxxf,,,1
,abA k
,21 22 abxA kk
,21 11 mmmk abxA
k
（ 1.5）
注,这里省略了符号?
n
k 0
上一页 下一页13
如何构造求积公式？
)]()([2)( bfafabdxxfba
,,10 bxax )()()( 1100 xfAxfAdxxfba
模式一,给定节点，系数待定。
方法,给定得到：
例：构造 梯形求积公式：
令
ba dxab ba x d xab )(21 22
则
.210 abAA
精确成立,xxf,1)(?对
,10 AA,10 bAaA
上一页 下一页14
模式二,节点、系数全待定注：梯形公式和中矩形公式都具有 1次 代数精度方法,令得到：
ba bafabdxxf )2()()(
例,构造 中矩形求积公式：
,0 ba Adxab
ba xfAdxxf )()( 00xxf,1)(?
.)(21 0022 b
a
xAxdxab
abAbax 00,2
对 精确成立则：
上一页 下一页15
证明,
(2)
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(考虑求积公式：
定理 1,任给 个互异节点,1?n bxxxa
n10
(1)
}{ kA1?n总存在 个相应的求积系数,使
（ 1）至少具有 n次代数精度,
nixxf i,,2,1,0,)(
n
k
b
a
ii
kk dxxxA
0
精确成立，
}{ kA
则得关于 的线性代数方程组：
令（ 1）对
niabi ii,,1,0),(11 11
上一页 下一页16
其系数行列式为范德蒙行列式
}{ kA 构成的}{ kA（ 2）有唯一解 。
n?（ 1）对所有次数 的多项式都是精确的,
显然,以此组
n
n
nnn
n
n
xxxx
xxxx
xxxx
V
210
22
2
2
1
2
0
210
1111
nji
ij xx
0
)(,0?
上一页 下一页17
三、插值型求积公式
}{ kA
,,.,,,1,0,nix i?
定义,若（ 1）中的 满足（ 3）、（ 4），则称 求积公式（ 1）
为插值型的。
}{ kA
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
求积公式,（ 1）
求
（ 4）
将对应于节点
k
b
a
n
j
jkjk AxlAdxxl
0
)()(代入（ 1），得：
（ 3）
的方法：
n
ij
j ji
j
i nixx
xxxl
0
,,2,1,0,)(?
的 n次插值多项式基函数上一页 下一页18
定理 2 形如（ 1）的求积公式至少具有 n次代数精度的充要条件是，它是插值型的,
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
（ 1）
)(xlk
证明 n次多项式精确成立：
必要性,因求积公式对形如（ 3）的
b
a
n
i
ikik xlAdxxl
0
)()(
注意到基函数性质
kiik xl)(
,,1
,,0
时当时当
ik
ik
上一页 下一页19
.)(
0
b
a
n
i
kkiik AAdxxl?
所以
}{ kA 满足（ 4），从而（ 1）是插值型的,即充分性：
因对任何次数 n? 的多项式 )( xf,它的以
}{ kx 为插值节点的 n 次 L a g r a n g e 插值多项式
n
k
kk
xlxf
0
)()( 就是 )( xf,
b
a
n
k
b
a kk
dxxlxfdxxf
0
)()()(
所以从而（ 1）至少具有 n次代数精度,
.)(
0
n
k
kk xfA
上一页 下一页20
§ 2 Newton-Cotes求积公式一、公式的导出二,误差分析三、收敛性问题上一页 下一页21
一、公式的导出定义 3 对 ],[ ba 的 n 等分点
,/)(,nabhkhax k nk,,2,1,0
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf
0
)( )()()( （ 2.1）
称为 n阶 Newton-Cotes公式,
插值型求积公式
)(nkc 称为 Cotes系数,其中上一页 下一页22
,/)(,nabhkhax k,,10 bxxxa n
b
a
n
k
kk xfAdxxf
0
)()(
取 [a,b]的等距剖分点为求积节点,
改写
Cotes系数
dxxlAcab ba kknk )()( )( dxxx
xxn
ki
i ik
i
b
a
0 )(
)(
()
0 0
1 ( )
()
nn
n k
k
i
ik
A t ic d t
b a n k i?
与 无关！ba,
,)()()(
0
)(
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf )()( nkk cabA
为：
上一页 下一页23
n阶 Newton-Cotes公式
b
a
n
k
k
n
k xfcabdxxf
0
)( )()()( 的系数
n nkc nk,,2,1,0)(，
2121
613261
81838381
90745161524516907
288
19
96
25
144
25
144
25
96
25
288
19
840
41
35
9
280
9
105
34
280
9
35
9
840
416
5
4
3
2
1
上一页 下一页24
1阶 Newton-Cotes公式：
即梯形求积公式。
2阶 Newton-Cotes公式：
称为辛甫生 (Simpson)求积公式。
)]()([2)( bfafabdxxfb
a
ba bfbafafabdxxf )](24)([6)(
上一页 下一页25
二、误差分析
b
a
n
i
iin xfAdxxffE
0
)()()(
ba ba ini in dxxlxfdxxffE )()()()( 0
ba n dxxpxf )]()([
记 Newton-Cotes公式的误差为：
则：
其中
且依赖于 x。
)(xpn )(xf
n
i
i
n
n xxn
fxpxf
0
)1(
)()!1( )()()(?
,])()!1( )([)(
0
)1(
b
a
n
i
i
n
n dxxxn
ffE?),( ba
为 的 n次插值多项式。
上一页 下一页26
二、误差分析
ba dxxffI,)(
对 n阶 Newton-Cotes公式 （ 2.1）,记
（ 2.3）
n
k
k
n
kn xfcabfI
0
)( )()(
).()()( fIfIfE nn则误差为
)(xf ],[ ba假定 在 上足够光滑，则：
),()()( 11 xRxpxf
)()()()(1 afaxafxp
baxa dttftxdttftxxR,)()()()()(1
1?n当 （即梯形公式）时，由带积分型余项的其中,Taylor公式，
上一页 下一页27
这里引入了截断幂函数的记号
mx
,0,?xx m 若
,0,0?x若
0)( 11?pE
)()( 1111 RpEfE
注意 到（ 2.1）至少具有 n次代数精度，所以从而
（ 2.4）
)()( 1111 REpE ),( 11 RE?
上一页 下一页28
ba dxxRRE )()( 111
ba ba d t d xtftx )()(
ba ba d x d ttxtf )()(
ba dttfbtat )())((21
ba dttftKfE )()()( 11
而
（ 2.5）即其中：,2/))(()(1 btattK
称为关于梯形公式的 Peano核,
)]()([2 11 bRaRab
ba dttftbab )()(2
ba dttftbab )()(2
上一页 下一页29
),()()( 33 xRxpxf
2?n当 （即辛甫生公式）时，同理可记
xa dttftxxR )()(61)( )4(33
)()( 322 REfE? )(3 xR
ba dttftKfE )()()( )4(22
从而,将 代入，直接计算可得：
（ 2.6）
其中：
bt
ba
tabtb
ba
tabatat
tK
2
),32()(
72
1
2
),23()(
72
1
)(
3
3
2
（ 2.7）
称为关于辛甫生公式的 Peano核,
上一页 下一页30
注意到 （ 2.5）、（ 2.6）中 Peano核的保号性，
ba dttKffE,)()()( 11?
ba dttKffE )()()( 2)4(2?
53 n n对 的 阶 Newton-Cotes公式可作同样的
)/)(( nabh,讨论，最后可得如下误差所以由积分中值定理有：
上一页 下一页31
.5),(
1 2 0 9 6
2 7 5
,4),(
9 4 5
8
,3),(
80
3
,2),(
90
1
,1),(
12
1
)(
)6(7
)6(7
)4(5
)4(5
)2(3
nfh
nfh
nfh
nfh
nfh
fE
n
（ 2.8）
结论,n阶 Newton-Cotes公式的代数精度为：
d
,1?n,为偶数时当 n
,n,为奇数时当 n
上一页 下一页32
三、收敛性问题
4 4 21 1 dxxI
4 4 21 1 dxxI
例如,利用牛顿 -柯特斯公式计算积分：
解：积分的准确结果为：
但用 n阶牛顿 -柯特斯公式计算时会出现如下的计算结果
6 5 1 6.24t a na r g2
上一页 下一页33
n nI
2
4
6
8
10
5.4902
2.2776
3.3288
1.9411
3.5956
4 4 21 1 dxxI 6 5 1 6.24t a na r g2
由上表可以看出,此时数值求积过程是 发散的 。
上一页 下一页34
nk,,2,1,0,||
0
)(?
n
k
n
kn c?
.}{s upn
n
)(nkc对于 n阶 Newton-Cotes公式的 Cotes系数
，若记其绝对值的和为则可以证明
（ 2.10）
结论,当 n充分大时,),,2,1,0()( nkc nk
的符号 必定变化,
1)(?xf 1?n ),()( fIfI n?
n
k
n
kc
0
)( 1
显然,当 时，对所有,都有即注意：
上一页 下一页35
)(5 8 8 8)(9 8 9[1 4 1 7 5 )(4)()( 71808 ffffabfIdxxfb
a
]4540)(10496)(928 45362 fffff
8?n例如当 时，
).( kk xff?这里 显然,这样的公式会引起有效数字的
)7(?n故 实际应用时 常常只采用几种低阶 的求积公式,
如梯形公式、辛甫生公式、
损失（尽管在 n变得较大之前未必成为问题）,
四阶 Newton-Cotes公式 —— 特别称作 Cotes公式,
上一页 下一页36
§ 3 复化求积公式一、复化求积法的思想二、复化公式的截断误差三、自适应复化求积法上一页 下一页37
一、复化求积法的思想在 上节中已经指出,不能期望通过提高阶数来改善 Newton-Cotes公式的精度,
又根据低阶公式的误差公式
.5),(
1 2 0 9 6
2 7 5
,4),(
9 4 5
8
,3),(
80
3
,2),(
90
1
,1),(
12
1
)(
)6(7
)6(7
)4(5
)4(5
)2(3
nfh
nfh
nfh
nfh
nfh
fE
n
（ 2.8）
)/)(( nabh
上一页 下一页38
],[ ba当积分区间 的长度 abh0 不是足够小时，
Newton-Cotes公式的 误差仍可能是较大的,
问题,该如何 降低 误差,提高 精度呢？
因为 通过高阶求积公式提高精度的途径 不行,
故类似 函数插值 分而治之：
分段 ＋ 低阶求积公式
---------- 称为 复化求积法上一页 下一页39
复化求积法的思想,(以复化梯形公式为例 )
n
abhnkkhax
k
),,,1,0(,?
1、分段 ],[ ba将积分区间 分成 n段，
],[ ba通常是将 n等分
2、每段 ],[ 1 kkk xxe 采用低阶的数值求积公式上一页 下一页40
1
1[ ( ) ( )]2
kk
k k k
xxI f x f x?
ke在 上利用梯形公式计算积分
3、求和 对每个区间 ke 的近似积分值求和，
用所得的值近似代替原积分值,即
ba dxxfI )(
n
k
kI
1
1
1
1
[ ( ) ( )]
2
n
kk
kk
k
xx f x f x?
n
k
x
x
k
k
dxxf
1 1
)(
b
a
n
k
k bfxfaf
hdxxf 1
1
)]()(2)([2)(
上一页 下一页41
类似可得其他复化公式
ba dxxf )(
1、复化辛甫生公式：
21?kx ],[ 1?kk xx其中 表示子区间 的中点,
)([6 afh?
1
0
)(4
2
1
n
k
kxf?
1
1
)(2
n
k
kxf )](bf?
2、复化柯特斯公式
ba dxxf )( )(7[90 afh?
1
1
)(14
n
k
kxf?
n
k
kxf
1
)(32
4
3
n
k
kxf
1
)(12
2
1?
n
k
kxf
1
)(32
4
1 )](7 bf?
，
，
,
4
1?kx
4
3?kx ],[ 1 kk xx?
为 的四等分的分点
,n abh
21?k
x ],[ 1 kk xx?其中,为 的中点，
上一页 下一页42
21
4)(
xxf
dxxfI 1
0
)(
例 1 对 利用下表所给数据，利用的值。
复化梯形公式和复化辛甫生公式计算
kx )( kxfkx )( kxf
0 4.0000000 5/8 2.8764045
1/8 3.9384615 6/8 2.5600000
2/8 3.7647059 7/8 2.2654867
3/8 3.5068493 8/8 2.0000000
4/8 3.2000000
上一页 下一页43
则：
解：① 用复化梯形公式计算
,81,8 hn取
)]()(2)([2
1
1
8 bfxfaf
hT n
k
k
)]1()8(2)0([161
7
1
fkff
k
1389 885.3?
② 用复化辛甫生公式计算取,41,4 hn 则：
上一页 下一页44
)]()(2)(4)([6
1
11
2 21 bfxfxfaf
hS n
k
k
n
k
k
)]1()82(2)8 12(4)0([241
3
1
4
1
fkfkff
kk
1415 925.3?
而准确值：
1 4 1 5 9 0 5.3|a r c ta n4 10I
上一页 下一页45
二、复化公式的截断误差
1、复化梯形公式 记
1
1
)]()(2)([2
n
k
kn bfxfaf
hT
在子区间 ],[ 11 kkk xxe 上，应用梯形求积公式的误差估计式，得：
ba nTdxxf )(
1
0
1 )]()([2)(
1
n
k
kk
x
x
xfxfhdxxfk
k
1
0
3
)](12[
n
k
kf
h
1
0
2 )(1
12
n
k
kfnh
ab?
上一页 下一页46
当 ],[)( baCxf 时，有：
1
0
)]([m ax)(1)]([m i n
n
k bxa
kbxa xffnxf?
由介值定理
1
0
],[),()(1
n
k
k baffn
.)(12)( 2b
a n
fhabTdxxf?
上一页 下一页47
.|)(|m ax12|)(| 2
b
a bxan
xfhabTdxxf
则复化梯形公式有误差估计 ],,[)( 2 baCxf?定理 3 设
2、复化辛甫生公式 同理可得：
ba bxan xfhabSdxxf |)(|m a x2 8 8 0|)(| )4(4
则复化辛甫生公式有误差估计 ],,[)( 4 baCxf?定理 4 设
3、复化柯特斯公式
ba bxan xfhabCdxxf |)(|m a x)4(9 4 5 )(2|)(| )6(6
上一页 下一页48
注,若将步长 h 减半（即等分数 n 加倍），则复化梯形公式和复化辛 甫生公式的误差分别减至原有误差的
4
1
和
16
1
,
例 2 用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算
0
co s xdxeI x
精确值是 0703463164.12I,
,)]()(2)([2
1
1
n
k
kn bfxfaf
hT,
nn TIE
采用 复化梯形公式 计算，记上一页 下一页49
n nT nE nn EE 2/
2 -17.389259 5.23
4 -13.336023 1.72 4.20
8 -12.382162 3.12E-1 4.06
16 -12.148004 7.77E-2 4.02
32 -12.089742 1.94E-2 4.00
64 -12.075194 4.85E-3 4.00
128 -12.071558 1.21E-3 4.00
256 -12.070649 3.03E-4 4.00
512 -12.070422 7.57E-5 4.00
上一页 下一页50
1
0
1
1
)]()(2)(4)([6
2
1
n
k
n
k
kkn bfxfxfaf
hS
nn SIE
采用复化辛甫生公式计算，记
n nE nn EE 2/
2 -11.5928395534 -4.78E-1
4 -11.9849440198 -8.54E-2 5.59
8 -12.0642089572 -6.14E-3 14.9
16 -12.0699513233 -3.95E-4 15.5
32 -12.0703214561 -2.49E-5 15.9
64 -12.0703447599 -1.56E-6 16.0
128 -12.0703462191 -9.73E-8 16.0
256 -12.0703463103 -6.08E-9 16.0
nS
上一页 下一页51
三、自适应复化求积法因为,h取得 太大 则 精度难以保证,
计算时，要预先 给定 n或 步长 h，在实际中 难以把握
h太小 则 增加 计算工作量,
关键,后验估计式的建立以复化梯形公式为例
.4
2
n
n
TI
TI
上一页 下一页52
在 步长 h逐次分半 的过程中，
自适应复化求积法基本思路：
反复利用 复化求积公式进行计算，
直到 所求得的积分值 满足精度要求 为止 。
此时的步长 h，
既能 保证精度要求 又使 计算工作量最小,
上一页 下一页53
下面以 复化梯形公式 为例，介绍自适应复化求积算法,
n
k
kkn xfxf
hT
1
1 )]()([2
1,n等分 [a,b]，则
2、将 [a,b]作 2n等分，则
],[ 1 kk xx ],[],[
21211 kkkk xxxx
此时,],[ 1 kk xx? 上的积分值为
)]()([2 2/
2
11 kk xfxf
h )]()([
2
2/
2
1 kk xfxf
h?
上一页 下一页54
)]()([2 2/)]()([2 2/
2
1
2
11 kkkk xfxf
hxfxfh
])()(2)([
2
2/
1
12 21?
n
k
kkkn xfxfxf
hT
n
k
kn xf
hT
1
)(221
2
1
其中,/)( nabh
由复化梯形公式的截断误差估计式，有
],[ ),(12 2 bafhabTI nnn
],[ ),()2(12 2222 bafhabTI nnn
上一页 下一页55
)()( 2 nn ff
当 n充分大时，
1( ) ( )b
n ba af f x dx
从而
4
2
n
n
TI
TI
即得
).(31 22 nnn TTTI
|| 2 nn TT
可通过检验条件
（预置的容许误差）
nT2 是否已满足精度要求。来判断上一页 下一页56
自适应复化梯形法的具有计算过程如下：
,1?n
步 1
,abh ) ] ;()([21 bfafhT
步 2
步 3
步 4
,)(
1 2
1?
n
k
kxfT ;22
1
12 T
hTT
判断?|| 12 TT 若是，则转 步 5；
,,2/,2 21 TThhnn 转 步 2；
步 5 输出,2T
上一页 下一页57
§ 4 基于复化梯形公式的高精度求积算法一、梯形公式的余项的展开式二,Richardson外推法三,Romberg求积法上一页 下一页58
梯形求积法优点,算法简单缺点,精度低,收敛速度慢,
两种常用 的提高精度的算法：
1,Richardson外推法
2,Romberg求积法上一页 下一页59
一、梯形公式的余项展开式对复化梯形求积公式
b
a
n
k
k bfxfaf
hdxxf 1
1
)]()(2)([2)(
梯形和
1
1
)],()(2)([2
n
k
kn bfxfaf
hT
),/)(( khaxnabh k
有如下渐近展式：
（＊）
上一页 下一页60
定理 5 设 ],,[ baCxf 则成立
mm
b
an
hhhdxxfT 24221
（ 4,1 ）
其中系数,2,1?i
i?
与 h 无关,
证明将 ()fx 在子区间
1[,]kkxx?
的中点
1
2
1
1
()
2
kkk
x x x
展开，有
11
22
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
23( ) ( )
( ) ( ) 2 ! 3 !kkk k k k k
x x x x
f x f x x f f f
111
222
111
222
456
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
( ) ( ) ( )
4 ! 5 ! 6 !
kkk
kkk
x x x x x x
fff
(＊ )
上一页 下一页61
12
()j
kf? 12
()()j
kfx?式中 是 的简写,
()kfx 1()kfx?据此写出 和 的展开式,易知
1[ ( ) ( ) ]2 kk
h f x f x
12khf 12
2
2 ! 2 k
hh f
1
2
4
( 4 )
4 ! 2 k
hh f
1
2
6
( 6 )
6 ! 2 k
hh f
求和得
1
1
0
[ ( ) ( ) ]2
n
n k k
k
hT f x f x?
1
2
n
k
k
hf
12
3 1
2
02 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
04 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
06 ! 2
n
k
k
h f?
①
上一页 下一页62
11
22
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
23( ) ( )
( ) ( ) 2 ! 3 !kkk k k k k
x x x x
f x f x x f f f
111
222
111
222
456
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
( ) ( ) ( )
4 ! 5 ! 6 !
kkk
kkk
x x x x x x
fff
(＊ )
另一方面，将 1[,]kkxx?上积分得两边在区间(＊ )
1 ()k
k
x
x f x dx
12khf
1
2
32
3 ! 2 k
h f
1
2
5
( 4 )2
5 ! 2 k
h f
1
2
7
( 6 )2
7 ! 2 k
h f
上 式两边关于 k 从 0 到 1n? 求和得
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
上一页 下一页63
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
1
1
0
[ ( ) ( ) ]2
n
n k k
k
hT f x f x?
1
2
n
k
k
hf
12
3 1
2
02 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
04 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
06 ! 2
n
k
k
h f?
①
利用 ② 从 ① 中消去项 1
2
1
0
n
k
k
hf
,得
11
22
3511
( 4 )
002 ! 6 4 ! 2 0
nn
n kk
kk
hhT I f f
1
2
7 1
( 6 )
0
3
6 ! 2 4
n
k
k
h f?
③
又对 ()fx 应用式 ②,并注意到 ( ) ( ) ( )ba f x d x f b f a
11
22
311
( 4 )
2
00
( ) ( ) 3 ! 2
nn
kk
kk
hh f f b f a f
1
2
5 1
( 6 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
3
( 4 )
2( ) ( ) 3 ! 2
hh f f b f a f
12
5 1
( 6 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
上代入 ③ 式，整理得
2
[ ( ) ( ) ]2 ! 6n hT I f b f a
1
2
5 1
( 4 )
04 ! 30
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
06 ! 5 6
n
k
k
h f?
上一页 下一页64
()baI f x d x 1
2
1
0
n
k
k
hf
1
2
3 1
2
03 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
5 1
( 4 )
4
05 ! 2
n
k
k
h f?
1
2
7 1
( 6 )
6
07 ! 2
n
k
k
h f?
②
再对 ( 4 ) ()fx应用式 ②,有
11
22
311
( 4 ) ( 6 )
2
00
( ) ( ) 3 ! 2
nn
kk
kk
hh f f b f a f
从而进一步得到
2
[ ( ) ( ) ]2 ! 6n hT I f b f a
4
[ ( ) ( ) ]4 ! 3 0h f b f a
1
2
7 1
( 6 )
06 ! 4 2
n
k
k
h f?
反复施行上述手续，即可得到形如 (4.1)的展开式。 □
上一页 下一页65
mmban hhhdxxfT 24221 （ 4.1 ）
记
, ba dxxfI
则 （ 4.1） 可简记为：
)( 64221 hOhhIT n（ 4.2）
上一页 下一页66
二,Richardson外推法
)( 64221 hOhhIT n（ 4.2）
当步长缩小一倍时，有
)(22 6
4
2
2
12 hO
hhIT
n
（ 4.3）
将上式乘以 4再减去 (4.2)并整理可得
)(4 642 hOhIS n（ 4.4）
其中
.3/)4( 2 nnn TTS （ 4.5）
上一页 下一页67
nn TT 2,
)( 2hO
),( 4hO
结论,只需将前后两次算得的复化梯形和按（ 4.5）作简单组合后就可将求积精度从提高到 这种方法就称作 Richardson外推法,
.3/)4( 2 nnn TTS （ 4.5）
)( 6hOIC n
再外推一次，便得：
（ 4.6）
其中 15/)16( 2 nnn SSC
或 45/)2064( 24 nnnn TTTC
（ 4.7）
（ 4.8）
上一页 下一页68
三,Romberg求积法记步长为 kh 的复化梯形和为 kT,0,则公式（ 4,1 ），有
m
i
m
k
i
kik hOhIT
1
222
,0,0 )(?（ 4.9）
其中 ii,0 为与 kh 无关的常数,取 kk hh 2
1
1
，对（ 4,9 ）作 R i chard s on 外推，消去 2h
项后得
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
1
2
1,1,1 )(?（ 4.10）
mmban hhhdxxfT 24221（ 4.1）其中,ikkk TTT,1,01,0,1,3/)4(为与 1?kh 无关的常数,
上一页 下一页69
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
1
2
1,1,1 )(?（ 4.10）
于是?
m
i
m
k
i
kik hOhIT
2
22
2
2
2,11,1 )(?
取 12 21 kk hh,与 （ 4.1 0 ） 式联立消去 4h 项后得
m
i
m
k
i
kik hOhIT
3
22
2
2
2,2,2 )(?3?i
其中,15/)16(
,11,1,2 kkk TTT
上述过程可一直进行下去，如第 j步有：
m
ji
m
jk
i
jkijkj hOhIT
1
222
,,)(?（ 4.11）
其中,,
2
1
1 jkjk hh
)14/()4(,11,1, jkjkjjkj TTT
（ 4.12）
上一页 下一页70
当取 jm? 时，（ 4,1 1 ）即给出了误差,显然，
m
ji
m
jk
i
jkijkj hOhIT
1
222
,,)(?（ 4.11）
22, j kjkj hOIT （ 4.13）
,21 1 jkjk hh )14/()4(,11,1, jkjkjjkj TTT （ 4.12）
根据 (4.11)~(4.13),可得到形象的 表中
02 hh
i
i
,
kjT,
由指向它的
1,1 kjT
和
kjT,1?
按
（ 4,12 ）生成三角形递推表 4.5,
上一页 下一页71
表 4.5 Romberg算法计算表误差量级步长 h
2
h
4
h
6
h
8
h
10
h …
0
h
0,0
T
1
h
2
h
3
h
4
h
↘
1,0
T
→
0,1
T
↘ ↘
2,0
T
→
1,1
T
→
0,2
T
↘ ↘ ↘
3,0
T
→
2,1
T
→
1,2
T
→
0,3
T
↘ ↘ ↘ ↘
4,0
T
→
3,1
T
→
2,2
T
→
1,3
T
→
0,4
T
·······················
上一页 下一页72
算法的实现：
1,只将梯形和序列
k
T
,0
加工至误差量级为 6h 的序列
k
T
,2；
2,以
1T
、
2T
分别表示
k
T
,0
和
1,0?k
T ；
3,
1S
、
2S
表示
k
T
,1
和
1,1?k
T ；
4,
1C
、
2C
表示
k
T
,2
和
1,2?k
T 。
在计算 1,0?kT 时，用到了递推公式
1
0
,01,0 )(22
1
2
1
n
i
i
k
kk xf
hTT （ 4.14）
其中 kik hiaxhabn )21(,/)(
2
1。
上一页 下一页73
Romberg算法的具有计算过程如下：
,1?k步 1,abh ) ] ;()([21 bfafhT
步 2
步 3
步 4 判断 k=1? 若 k=1，转 步 5；
转 步 2；步 5
1
0
2
1 ],)([
n
i
hiafS ;22
1
2 S
hTT
);(31 1222 TTTS
否则转 步 6；
,,,2,1 2121 SSTThhkk
步 6 );(151 1222 SSSC
上一页 下一页74
输出,2C
步 8
步 7 判断 k=2?
若 k=2,否则转 步 8；转 步 5；,21 CC?
步 9
判断?|| 12 CC 成立时转 步 9；
否则 转 步 5；,21 CC?
上一页 下一页75
例 用 Romberg算法计算积分 dxxI 1
0 21
4
2
4( ),0,1
1f x a bx
1
11[ ( 0 ) ( 1 ) ] ( 4 2 ) 3
22T f f
1 1 6,
25f
21
1 1 1
2 2 2T T f
1 2 1
41
33S T T
解
(2) 由 则
(1)
(3)
1 1 63 3,1
25
3,1 3 3 3 3,?
上一页 下一页76
再计算
42
1 1 1 3
2 4 4 4T T f f
3,1 3 1 1 8,?
由此得再计算
2 4 2
41
33S T T3,1 4 1 5 7,?
1 2 1
16 1
15 15C S S3,1 4 2 1 2,?
84
1 1 1 3 5 7
2 8 8 8 8 8T T f f f f
3,1 3 8 9 9,?
上一页 下一页77
从而算得 4 8 44133S T T3,1 4 1 5 9,?
2 4 2
16 1
15 15C S S3,1 4 1 5 9,?
1 2 1
64 1
63 63R C C3,1 4 1 5 8,?
(4) 把区间再分半，重复上面的计算步骤，可得
16 3.1 409 4,T? 8 3,14 15 9,S? 2 3,1 4 1 5 9,R?
21 0,0 0 0 0 1,RR
1
20
4 3,1 4 1 5 9,
1I d xx
由 已精确到小数点后五位，
故可取上一页 下一页78
上述计算结果参见下表：
k 区间个数 2 k
2 k
T 1
2 k
S? 2
2 k
C? 3
2 k
R?
0
1
2
3
4
1
2
4
8
16
3.00 000
3.10 000
3.13 1 18
3.13 899
2.14 094
3.13 33
3.14 157
3.14 15 9
3.14 159
3.14 212
3.14 159
3.14 159
3.14 158
3.14 159
上一页 下一页79
§ 5 Gauss型求积公式一,Gauss型求积公式的构造二,Gauss型求积公式的余项和稳定性三、几种特殊的 Gauss型求积公式上一页 下一页80
( ) ( )baI x f x dx
( ) 0x这里已知函数 称为 权函数,
特别 当 ( ) 1x时即为普通的积分,
问题,怎样求解带权积分的数值积分？？
思路,仿照处理普通积分的方法？！
一般情形 特殊情形考虑带权积分上一页 下一页81
一,n点 Gauss型求积公式
( ) ( )ba x f x d x
考虑求积公式
（ 5.1）
ij?（当 时）,ijxx?其中
( ) ( ),bkkaA x l x d x
kA若 满足：
（ 5.2）
则称（ 5.1）为 插值型的,
1
( ),
n
j
k
j kj
jk
xx
lx
xx?
1
( ),
n
kk
k
A f x
上一页 下一页82
类似于第一节中的定理 2，同样有：
1n?
次代数精度的 充分必要条件 是：
定理 6 形如（ 5.1）的求积公式至少具有它是 插值型的,
( ) ( )ba x f x d x （ 5.1）
1
( ),
n
kk
k
A f x
提法：
kx,kA 1 (1 ),kn?求 和 使（ 5.1）的代数精度次数 尽可能 的高？
上一页 下一页83
( ),fx
( ),0,1,2,,,if x x i n
公式导出均精确成立。
方法 1 要求（ 5.1）对次数由低到高的多项式即
2n因为（ 5.1）需要 个条件确定，
i 21n?达到 即可。因此
( ) ( )ba x f x d x （ 5.1）
1
( ),
n
kk
k
A f x
上一页 下一页84
kx,kA 1 (1 ),kn?和?
1
( ),0,1,2,,2 1,
n b
ii
kk a
k
A x x x d x i n?
2n满足如下由个代数方程构成的非线性代数方程组：
由上述方程组可解得kx,kA 1 (1 ),kn?和
(5.3)
21n?定义 4 若形如（ 5.1）的求积公式具有次代数精度，则称它为 n点 Gauss型求积公式，
称为 Gauss点,kx积分节点上一页 下一页85
下面对 ( ) 1x，几个简单情形讨论
22
.2ba
1n?例如,当 时，
1,
b
aA d x b a 11
b
aA x x d x
( ) ( ) 2b
a
abf x d x b a f
―――― 中矩形公式
( ) 1x权函数 的一点 Gauss型求积公式为：
上一页 下一页86
2n?当 时，
令（ 5.1）对 ( ),0,1,2,3if x x i均精确成立。
(1)
(2)
(3)
(4)
12,A A b a
221 1 2 2 ( ) / 2,A x A x b a
12
2 2 3 312 ( ) / 3,A x A x b a
12
3 3 4 412 ( ) / 4,A x A x b a
2 0.xx
12,xx令 是下面方程的两个根
(*)
上一页 下一页87
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
221 1 1 2 2 20 ( ) ( )A x x A x x
2 2 3 3
() 23b a b aba
( 2) ( 3) ( 4)
221 1 1 1 2 2 2 20 ( ) ( )A x x x A x x x
2 2 3 3 4 4
2 3 4
b a b a b a
,,求出 12,xx由（ *）求出 12,.AA代入 (1),(2) 求出
( ) 1x的 两点 Gauss型求积公式由此可得权函数上一页 下一页88
方法一 的优缺点：
缺点,当 n较大 时，非线性代数方程组复杂，难求！
优点,直观方法 2 利用带权正交多项式以 [ 1,1 ]? 上 ( ) 1x的 两 点 G a u s s 求积公式 为例,
1
1 ()f x d x 1 1 2 2( ) ( ),A f x A f x
(5.4)
勒让得多项式
2
22
2 2( ) [ ( 1 ) ],
dL x c x
dx
上一页 下一页89
重要事实,
（ 5.4）具有 3次代数精度,
2()Lx的两个零点 ;1,(5.4)的 Gauss点为正交多项式
1 3 1 3 1 2 3 2
1 ( ) ( ) ( )p x d x A p x A p x
(5.5)
在 (5.5)中，分别令
2
21
,xxxx 1
21
.xxxx
1 2
1 1
21
,xxA dxxx
1 1
2 1
21
.xxA dxxx
上一页 下一页90
对任意一次代数多项式令
3( ) ( ),g x P x?
12,xx且 为其零点，
1 1 2( ) ( ) ( ) ( ),g x p x x x x x
则又由于 (5.4)具有 3次代数精度
1 ( ),px
上一页 下一页91
11
1 1 2( ) ( ) ( ) ( )g x d x p x x x x x d x
0,?
12( ) ( )x x x x与任意一次代数多项式正交。即
12( ) ( )x x x x
为 2次勒让得多项式 （相差常数意义下）,
一般情形,求
1
1 ()I f x d x
1 1 2 2( ) ( )A g x A g x
上一页 下一页92
步骤：1,先由勒让得多项式确立 n 个 Gau s s 点
,1 ( 1 )jx j n?
2,再根据插值型求积公式求出 G au s s 系数
,1 ( 1 ) ;kA j n?
即
( ) ( ),bkkaA x l x d x 1( ),
n
j
k
j kj
jk
xx
lx
xx?
关键：
将 n 个 G a us s 点选为带权 n 次正交多项式 ()n x?
的 n 个零点,
上一页 下一页93
1
( ) ( )
n
nk
k
x x x?
( ) ( ) 0,0,1,2,,1,b jna x x x d x j n
( 1,2,,)kx k n?定理 7 互异节点 是 n点 Gauss
（ 5.6）
求积公式的 Gauss点的 充分必要条件 是,
1n ()x?的多项式关于权函数 正交，与任何次数即成立证明 必要性：
上一页 下一页94
由于 n 点 G au ss 求积公式具有 21n? 次代数精度,
所以对次数 21 n 的多项式
() jn xx,0,1,,1jn,
精确成立,即
1
( ) ( ) ( ),
nb
jj
n k n k ka
k
x x x d x A x x
注意到 ( ) 0 ( 1,2,,)nk x k n，因而（ 5,6 ）成立,
充分性：
以 ( 1,2,,)kx k n? 为求积节点，构造插值型求积 公式上一页 下一页95
1
( ) ( ) ( ),
nb
kka
k
x f x d x A f x?
（ 5.7）
对任何次数 21 n 的多项式 ()fx,以 ()n x? 除 ()fx,
()px,()qx，商和余分别记为 于是
( ) ( ) ( ) ( ),nf x x p x q x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )k n k k k kf x x p x q x q x
( ),( )p x q x的次数 1n,因此
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +bb naax f x d x x x p x d x ( ) ( ),ba x q x d x
上一页 下一页96
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +bb naax f x d x x x p x d x ( ) ( ),ba x q x d x
由假设，上式右边第一项为 0,第二项应用（ 5.6）
1n? 次代数精度 (由定理 6)，并注意（ 5.6）至少具有于是有
( ) ( ) ( ) ( )bbaax f x d x x q x d x
1
()
n
kk
k
A q x
1
( ),
n
kk
k
A f x
这表明 ( 5,6) 具有 21n? 次代数精度,
( 1,2,,)kx k n?
从而
n是 点 Gauss求积公式的 Gauss点,□
上一页 下一页97
结论,
（ 1） ()x()m x?[a,b]上关于权函数 的正交多项式系是存在的,(,)ab，在内恰有 m个互异的零点，
()qx的多项式 正交 ;
()m x? 的次数恰为 m而且
1m并与任何次数
( ) ( ),m m mg x c x
正交多项式系，
mc0,1,2,m? 为 常数,
则
()mgx [,]ab ()x?（ 2） 若 是 上关于权函数 的另一个上一页 下一页98
定理 8 对任何正整数 n,n点 Gauss求积公式是存在的，
()m x? ()n x?中 的零点,
其 Gauss点就是求积区间上关于权函数的正交多项式系证 记 12,,,nx x x为 ()n x? 的 n 个互异零点，
1
( ) ( )
n
nk
k
x x x?
,
则 ( ) ( ),n n nx a x其中常数
na 为 ()n x? 的首项 () nx 的系数,
于是,对任何次数 1n 的多项式 ()qx,有
( ) ( ) ( )b na x x q x d x 1 ( ) ( ) ( )bnnaa x x q x 0.?
由 定理 7,12,,,nx x x为 n 点 G auss 求积公式 的 Gaus s 点上一页 下一页99
12,,,nx x x
反之，若求积点是 n点 Gauss求积公式的 Gauss点,则由定理 7，
( ) ( ) ( ) 0b na x x q x
对任何次数 1n的多项式成立,从而
(,) ( ) ( ) ( ) 0,0 1bn k n ka x x x d x k n
()n x? ( ) ( 0,1,2,,)k x k n又因为 可由 线性表出
0
( ) ( )
n
n j j
j
xx
上一页 下一页100
于是
(,),k k k
0
(,) (,)
n
n k j j k
j
从而
(,) /(,),0,0 1n n n n n k kn
( ) ( ),n n nxx
12,,,nx x x()n x?因此 就是 的 n个互异零点,
□
上一页 下一页101
二,Gauss型求积公式的余项和稳定性
1、余项
()nEf记 为 n点 Gauss求积公式的余项,即
1
[ ] ( ) ( ) ( )
nb
n k ka
k
E f x f x d x A f x?
kx ( 1,2,,)kA k n?其中 和 为 Gauss点和求积系数,
上一页 下一页102
( 2 ) ()
[ ] (,),( 2 ) !
n
n n n
fEf
n
(,),ab 2(,) ( ) ( ),bn n na x x d x
()fx [,]ab 2n定理 9 若求积函数 在 上有阶连续导数，则其中
21n? ( ),hx证 构造 次 Hermite插值多项式 满足：
( ) ( ),iih x f x? ( ) ( ),1,2,,.iih x f x i n
可以验证,()hx可表示成 (见第二章 )
上一页 下一页103
2
1
( ) ( ) ( )
n
i i i
i
l x x x f x
2( ) ( ) ( ) ( )
n
i i i i
i
h x l x x f x
2 ( ),i i ilx
其中
()ilx 12,,,nx x x为关于 的 Lagrange插值基函数,
1,1,2,,i i ix i n
记
( ) ( ) ( ),r x f x h x
由第二章 Hermite插值多项式余项的结果，可得：
( 2 )
2()( ) ( ),.
( 2 ) !
n
n
fr x x a b
n
上一页 下一页104
于是由积分中值定理知
( 2 ) 21( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 2 ) !
bb n
naax r x dx x f x dxn
( 2 ) ()
(,),( 2 ) !
n
nn
f
n
()hx 21n?注意 到 为 次多项式,所以
( ) ( ) ( ) ( )bbaax r x d x x f x d x ( ) ( )ba x h x d x
( ) ( )ba x f x d x
1
()
n
kk
k
A h x
( ) ( )ba x f x d x []nEf?
1
()
n
kk
k
A f x
□
上一页 下一页105
定理 10 Gauss型求积公式的求积系数 都是正数,
12,,,,nx x x
证 对 n点 Gauss型求积公式的 Gauss点
22n?构造 n个 次多项式 2
2
1
()( ),1,2,,
()
n
k
j
k jk
kj
xxq x j n
xx?
( ) ( )b
ja x q x d x jA?
1
()
n
i j i
i
A q x
0.? □
上一页 下一页106
2、稳定性设计算函数值 () kfx 的误差为,1,2,,,k kn,
则 用求积公式进行计算所得的结果的误差为
1
,
n
kk
k
EA?
于是
( ),ba x d x
1
n
k
k
A?
1
| | | |
n
kk
k
EA?
1m ax | |,kkn
[,],ab其中 由此可见，对于有限区间
Gauss型求积公式 是稳定的 。
上一页 下一页107
三、几种特殊的 Gauss型求积公式
[,]ab
[ ( ) ( ) ] / 2x a b b a t
[ 1,1],?
对积分区间 作变换后变成 积分变为
1
1
() 2 2 2b
a
b a a b b af x d x f t d t
因此,[ 1,1]? 上的 Gauss求积公式即可。只需给出上一页 下一页108
1,Gauss-Legendre求积公式勒让德多项式
21( ) [ ( 1 ) ],1,
2!
n
n
n nn
dL x x n
n d x0 ( ) 1,Lx?
[ 1,1]? ( ) 1x是 上关于权函数 的正交多项式,
于是 n点 Gauss-Legendre求积公式为
1
1 1
( ) ( ),
n
kk
k
f x d x A f x
12,,,nx x x()nLx其中 是 的 n个互异零点,
1
1 ( ),kkA l x d x 1
( ),1,2,,.
n
i
k
i ki
ik
xxl x k n
xx?
上一页 下一页109
误差分析,由 Gauss求积公式的误差估计式，
可得 n点 Gauss-Legendre求积公式的误差为,
2 1 4
( 2 )
3
2 ( ! )[ ] ( ),1 1,
( 2 1 ) [ ( 2 ) ! ]
n
n
n
nE f f
nn
2n? 22 ( ) ( 3 1 ) / 2,L x x例如 当 时,即有
1
1,
3x 2
1,
3x?
则 1
121
11( ) ( ) ( )
33f x d x A f A f
上一页 下一页110
1
121
11( ) ( ) ( )
33f x d x A f A f
令其对 ( ) 1,f x x?都精确成立
12 1.AA
两点 Gauss-Legendre求积公式为
1
1
11( ) ( ) ( ),
33f x d x f f
3,4,5n? 的 Gauss-Legendre求积公式的节点和系数见下表：
上一页 下一页111
n,1,2,3,4,5
k
xk?
,1,2,3,4,5
k
Ak?
3
13
0.7745906692xx
2
0.0x?
13
5 / 9AA
2
8 / 9A?
4
14
0.8611363116xx
23
0.33 998 104 36xx
14
0.34 785 484 51AA
23
0,65 21 45 15 49AA
5
15
0.9061798459xx
24
0.5384693101xx
3
0.0x?
15
0.23 692 688 51AA
24
0,47 86 28 67 05AA
3
0.5688888889A?
上一页 下一页112
2,Gauss-Chebyshev求积公式切比雪夫多项式
( ) c o s ( a r c c o s ),1 1nT x n x x
[ 1,1]? 122( ) ( 1 )xx是 上关于权函数的正交多项式，
nTx
其 n个互异零点是
21c o s,1,2,,
2k
kx k n
n
n点 Gauss-Chebyshev求积公式为上一页 下一页113
1
21
1 ()
1
f x dx
x 1
n
k
k
fxn?
其中 21
c o s,1,2,,.
2k
kx k n
n
误差分析,由 Gauss求积公式的误差估计式，
可得 n点 Gauss-Chebyshev求积公式的误差为,
( 2 )
21[ ] ( ),1 1,2 ( 2 ) !
n
n nE f fn
上一页 下一页114
例如,要构造下列形式的 Gauss求积公式：
1
0 0 1 10 ( ) ( ) ( )x f x d x A f x A f x (1)
令 (1)对 23( ) 1,,,f x x x x? 精确成立，得
33
0 0 1 1
2,
9A x A x
01
2 ;
3AA
0 0 1 1
2,
5A x A x
22
0 0 1 1
2,
7A x A x
(2)
上一页 下一页115
由于 0 0 1 1 0 1 0()A x A x A A x1 1 0()A x?
利用 (2)的第一式，可将第二式化为
33
0 0 1 1
2,
9A x A x
01
2 ;
3AA 0 0 1 1
2,
5A x A x
22
0 0 1 1
2,
7A x A x
0 1 0 1
22( ),
35x x x A
同样利用其他式子可得,
0 1 0 1 1
22( ),
57x x x x A
2
0 1 0 1 1
22( ),
79x x x x A
从以上三个式子消去 1 0 1( ),x x A? 有
0 0 1
2 2 2 2( ),
5 5 3 7x x x
2
0 0 1
2 2 2 2( ),
7 7 5 9x x x
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进一步整理得
0 0 1
2 2 2 2( ),
5 5 3 7x x x
2
0 0 1
2 2 2 2( ),
7 7 5 9x x x
0 1 0 1
2 2 2( ),
5 3 7x x x x0 1 0 1
2 2 2( ),
7 5 9x x x
由此解得
01
5,
21xx?
01
10
9xx
从而求得 1 0.289949,x?0 0.821162,x?
0 0.389111,A? 1 0.277556,A?
于是 形如 (1)得 Gauss积分公式是
0,2 7 7 5 5 6 ( 0,2 8 9 9 4 9 ),f?
1
0 ( ) 0,3 8 9 1 1 1 ( 0,8 2 1 1 6 2 )x f x d x f
