常系数机动 目录 上页 下页 返回 结束第八节齐次线性微分方程基本思路,
求解常系数线性齐次微分方程求特征方程 (代数方程 )之根转化第十二章二阶常系数齐次线性微分方程,
xrey?
和它的导数只差常数因子,
代入①得
0)( 2 xre qprr
02 qrpr
称②为微分方程①的 特征方程,
1,当 042 qp 时,② 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解,
因此方程的通解为 xrxr eCeCy 21 21
( r 为待定常数 ),
①
所以令①的解为
②
则微分其根称为 特征根,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,当 042 qp 时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解 ( u (x) 待定 )
代入方程得,
[1 xre )( 1 urup 0 uq )2( 211 ururu
是特征方程的重根
0u
取 u = x,则得,12 xrexy? 因此原方程的通解为
xrexCCy 1)( 21
0)()2( 1211 uqrprupru
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3,当 042 qp 时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解,
xiey )(1 )s i n(c o s xixe x
xiey )(2 )s i n(c o s xixe x
利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解,
)( 21211 yyy
)( 21212 yyy i
xe x c o s?
xe x s i n?
因此原方程的通解为
)s inc o s( 21 xCxCey x
机动 目录 上页 下页 返回 结束小结,
),(0 为常数qpyqypy
,02 qrpr特征方程,
xrxr eCeCy 21 21实根
xrexCCy 1)( 21
)s inc o s( 21 xCxCey x
特 征 根 通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项
)(01)1(1)( 均为常数knnnn ayayayay
特征方程,0111 nnnn ararar?
推广,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,032 yyy求方程 的通解,
解,特征方程,0322 rr 特征根,,3,1 21 rr
因此原方程的通解为例 2,求解初值问题
0dd2
d
d
2
2
sts
t
s
,40ts 20d
d
tt
s
解,特征方程 0122 rr 有重根,121 rr
因此原方程的通解为 tetCCs )( 21
利用初始条件得,41?C
于是所求初值问题的解为
22?C
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
x
x
o
解,由第七节例 1 (P293)知,位移满足质量为 m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动,
初始求物体的运动规律立坐标系如图,设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建
00d
d v
t
x
t,00 xx t
2
2
d
d
t
x
02?xk?t
xn
d
d2
因此定解问题为自由振动方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束方程,?2
2
d
d
t
x
02?xk
特征方程,,022 kr kir2,1特征根,
tkCtkCx s inc o s 21
利用初始条件得,,01 xC?
故所求特解,
tkkvtkxx s inc o s 00
A
0x
k
v0?
方程通解,
1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
k
vC 0
2?
0
0
2
2
02
0 t a n,v
xk
k
vxA
机动 目录 上页 下页 返回 结束解的特征,
简谐振动
A,振幅,?,初相,周期,
固有频率
0dd 00 vtx t?,000 xx t下图中假设机动 目录 上页 下页 返回 结束
(仅由系统特性确定 )
方程,
特征方程,02 22 krnr
222,1 knnr特征根,
小阻尼,n < k
这时需分如下三种情况进行讨论,
2) 有阻尼自由振动情况大阻尼,n > k
临界阻尼,n = k
2
2
d
d
t
x
02?xk?t
xn
d
d2
解的特征解的特征解的特征机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,的通解,
解,特征方程,052 234 rrr 特征根,
irrr 21,0 4,321
因此原方程通解为
xCCy 21 )2s in2c o s( 43 xCxCe x?
例 5.,0)4()5( yy解方程解,特征方程,,045 rr 特征根,
1,0 54321 rrrrr
原方程通解, 1Cy?xC2?23 xC?34 xC xeC5
(不难看出,原方程有特解 ),,,,1 32 xexxx
推广 目录 上页 下页 返回 结束
02)( 22222 rr
例 6.,)0(0d
d 4
4
4
w
x
w解方程解,特征方程,
即 0)2)(2( 2222 rrrr
其根为 ),1(22,1 ir )1(24,3 ir
方程通解,
xew 2 )
2s i n2c o s( 21 xCxC
xe 2 )
2s i n2c o s( 43 xCxC
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7.,02)4( yyy解方程解,特征方程,012 24 rr
0)1( 22r即特征根为则方程通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
),(0 为常数qpyqypy
特征根,21,rr
(1) 当 时,通解为 xrxr eCeCy 21 2121 rr?
(2) 当 时,通解为 xrexCCy 1)( 2121 rr?
(3) 当 时,通解为
)s inc o s( 21 xCxCey x
ir2,1
可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习求方程 的通解,
答案,,0?a 通解为 xCCy 21
:0?a 通解为 xaCxaCy s i nc o s 21
:0?a 通解为 xaxa eCeCy 21
作业 P310 1 (3),(6),(10) ;
2 (2),(3),(6) ; 3
第九节 目录 上页 下页 返回 结束备用题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,
并求其通解,
解,根据给定的特解知特征方程有根,
因此特征方程为 2)1(?r 0)4( 2r
即 04852 234 rrrr
故所求方程为其通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束
求解常系数线性齐次微分方程求特征方程 (代数方程 )之根转化第十二章二阶常系数齐次线性微分方程,
xrey?
和它的导数只差常数因子,
代入①得
0)( 2 xre qprr
02 qrpr
称②为微分方程①的 特征方程,
1,当 042 qp 时,② 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解,
因此方程的通解为 xrxr eCeCy 21 21
( r 为待定常数 ),
①
所以令①的解为
②
则微分其根称为 特征根,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2,当 042 qp 时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解 ( u (x) 待定 )
代入方程得,
[1 xre )( 1 urup 0 uq )2( 211 ururu
是特征方程的重根
0u
取 u = x,则得,12 xrexy? 因此原方程的通解为
xrexCCy 1)( 21
0)()2( 1211 uqrprupru
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3,当 042 qp 时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解,
xiey )(1 )s i n(c o s xixe x
xiey )(2 )s i n(c o s xixe x
利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解,
)( 21211 yyy
)( 21212 yyy i
xe x c o s?
xe x s i n?
因此原方程的通解为
)s inc o s( 21 xCxCey x
机动 目录 上页 下页 返回 结束小结,
),(0 为常数qpyqypy
,02 qrpr特征方程,
xrxr eCeCy 21 21实根
xrexCCy 1)( 21
)s inc o s( 21 xCxCey x
特 征 根 通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项
)(01)1(1)( 均为常数knnnn ayayayay
特征方程,0111 nnnn ararar?
推广,
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 1,032 yyy求方程 的通解,
解,特征方程,0322 rr 特征根,,3,1 21 rr
因此原方程的通解为例 2,求解初值问题
0dd2
d
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2
2
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,40ts 20d
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解,特征方程 0122 rr 有重根,121 rr
因此原方程的通解为 tetCCs )( 21
利用初始条件得,41?C
于是所求初值问题的解为
22?C
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 3.
x
x
o
解,由第七节例 1 (P293)知,位移满足质量为 m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动,
初始求物体的运动规律立坐标系如图,设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建
00d
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2
2
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因此定解问题为自由振动方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束方程,?2
2
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特征方程,,022 kr kir2,1特征根,
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利用初始条件得,,01 xC?
故所求特解,
tkkvtkxx s inc o s 00
A
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方程通解,
1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )
k
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2?
0
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机动 目录 上页 下页 返回 结束解的特征,
简谐振动
A,振幅,?,初相,周期,
固有频率
0dd 00 vtx t?,000 xx t下图中假设机动 目录 上页 下页 返回 结束
(仅由系统特性确定 )
方程,
特征方程,02 22 krnr
222,1 knnr特征根,
小阻尼,n < k
这时需分如下三种情况进行讨论,
2) 有阻尼自由振动情况大阻尼,n > k
临界阻尼,n = k
2
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解的特征解的特征解的特征机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,的通解,
解,特征方程,052 234 rrr 特征根,
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因此原方程通解为
xCCy 21 )2s in2c o s( 43 xCxCe x?
例 5.,0)4()5( yy解方程解,特征方程,,045 rr 特征根,
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原方程通解, 1Cy?xC2?23 xC?34 xC xeC5
(不难看出,原方程有特解 ),,,,1 32 xexxx
推广 目录 上页 下页 返回 结束
02)( 22222 rr
例 6.,)0(0d
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4
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即 0)2)(2( 2222 rrrr
其根为 ),1(22,1 ir )1(24,3 ir
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机动 目录 上页 下页 返回 结束例 7.,02)4( yyy解方程解,特征方程,012 24 rr
0)1( 22r即特征根为则方程通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束内容小结
),(0 为常数qpyqypy
特征根,21,rr
(1) 当 时,通解为 xrxr eCeCy 21 2121 rr?
(2) 当 时,通解为 xrexCCy 1)( 2121 rr?
(3) 当 时,通解为
)s inc o s( 21 xCxCey x
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可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习求方程 的通解,
答案,,0?a 通解为 xCCy 21
:0?a 通解为 xaCxaCy s i nc o s 21
:0?a 通解为 xaxa eCeCy 21
作业 P310 1 (3),(6),(10) ;
2 (2),(3),(6) ; 3
第九节 目录 上页 下页 返回 结束备用题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,
并求其通解,
解,根据给定的特解知特征方程有根,
因此特征方程为 2)1(?r 0)4( 2r
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故所求方程为其通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束
