函数基本逼近（一）
——插值逼近
本章和下章的内容属于函数逼近论。
函数逼近论的基本思想：
用一个简单函数去逼近一般函数。
简单函数：如代数多项式、三角多项式分段（对高维：分片）多项式。
重要术语:
,被逼近函数 ,逼近函数
两个要素：
逼近方式
（1）插值方式（Chapter 2）
（2）最佳逼近方式(Chapter 3)
逼近函数空间(简单函数所属的空间)
多项式函数空间 分段多项式（样条函数）空间
本章主要内容
在插值方式（意义）下
（这时 ,被插值函数,,插值函数），
针对以下两种逼近函数空间,
① 代数多项式空间
② 分段代数多项式空间
讨论三类插值（逼近）问题：
Lagrange插值仅与函数值有关
Hermite插值
与函数和导函数值均有关样条（或分段）插值满足一定光滑（连接）条件的分段低次插值每类插值问题所涉及的基本内容问题提法问题的适定性（解的存在、唯一性）
问题解（插值函数）的常用算法误差分析（逼近度刻化）
下面先看几个典型例子：
例1.1 求区间上的二次（抛物）曲线,要求该曲线过样本点、 和 .
解 设所求抛物线的方程为
，
利用待定系数法，经简单计算可得
，
其图形如图1.1所示.
图1.1
该例子引出的是Lagrange型多项式插值问题,
这时给定样本点的纵坐标中仅涉及被逼近函数值.
例1.2 求区间上的三次曲线，要求该函数曲线过样本点和，且其一阶导函数曲线过样本点
和（即函数曲线在0,1点处的斜率分别为和）.
解 设所求的三次曲线为
，
类似于例1.1的计算，可得
，
其图形如图1.2所示.
图1.2
该例子引出的是Hermite型多项式插值问题，
这时给定的样本点的纵坐标中除包含函数值外，还包含一阶导数值.
例1.3 求区间上的二阶连续可微的分段三次多项式曲线
（其内部段点分别为），要求该曲线过点
和，且在、两点的导数为0.
解 注意所求函数为偶函数，利用待定系数法，
经计算可求得该函数在上的表示式为
,
其图形如图1.3所示.
图1.3
该例子引出的是样条插值问题，
即求满足一定的整体光滑（或连接）条件的分段插值多项式.
