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第八章 常微分方程数值解
§ 1 引 论上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 2
解析法求解常微分方程的初值问题
( 0 ) 1
yy
y
如又由 得 0 1,1C e C(0 ) 1y?
xye?初值问题解为很多时候解析解求不出来,如 22(,)f x y x y
xy ce?由 得yy
00
(,),,| |,
( ),,
y f x y a x b y
y a y y R
(1.1)
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常微分方程的初值问题
00
(,),,| |,
( ),,
y f x y a x b y
y a y y R
(1.1)
其中 f 为,xy 的已知函数,0y 为给定的初值,
[,]a b R?,G
[,],G a b R
为简便起见，我们将区域,记为 即设,f G R?为连续映射,若存在常数 L>0使得不等式
1 2 1 2| (,) (,) | | |,f x y f x y L y y
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设,f G R?为连续映射,若存在常数 L>0使得不等式
1 2 1 2| (,) (,) | | |,f x y f x y L y y
对一切 12(,),(,)x y x y G?都成立，
则称 f (x,y)在 G上 关于 y满足 Lipschitz条件,
而式中的常数 L称为 Lipschitz常数,
一切在 G上关于 y满足 Lipschitz条件的连续映射 f
所构成的集合记为?，
而相应的初值问题（ 1.1）构成的问题类记为?.
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定理 1?中的任何初值问题在 [a,b]上有连续可微的解存在并且惟一,
定义 1 初值问题 (1.1)称为在 [a,b]上是 适定的,
0,0,k如果存在常数 0,使得对于任何的正数
(,)f x y 0,y及任给的函数 和常数 当
00| |,yy| (,) (,) |,(,)f x y f x y x y G
时初值问题
0
(,),[,]
( ),
z f x z x a b
z a y
有解 ()zx 存在，且不等式 | ( ) ( ) |y x z x k 对任给
[,]x a b? 都成立,
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定理 2?中的任何初值问题在 [a,b]上是适定的,
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§ 2 Euler方法一,Euler方法二、误差分析三,Euler方法的 收敛性和稳定性上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 8
1,Euler方法
0 1 2,Na x x x x b
记：
1ii
bah x x
N?
因为：
(等距剖分 )
( ) ( ) (,( ) )xhxy x h y x f y d(积分方程 )
令：,mxx? 有：
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( ) ( ) (,( ) ),m m m m my x h y x h f x y x R
1 (,( ) ) (,( ) )m
m
x
m m mxR f x y x dx h f x y x
1( ) ( ) (,( ) ),m m m my x y x h f x y x
1 (,),0,1,,1m m m my y h f x y m N
—— Euler方法截去 mR 有：
由于,00()y x y?(已知 ),
又称 Euler折线法,
可得递推关系：
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欧拉方法的几何意义：
0 1 2
n
x x x X
x
0y
Xy
ny
1xy
2xy
1y
2y
h步长
Euler方法的几何意义上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 11
2,误差分析称为局部截断误差，mR
计算时 的误差,()my x h?
记：
( ),m m my x y
1 2 1 2| (,) (,) | | |,f x y f x y K x x
有：
.m?估计关于假设 (,)f x y x 满足 Lipschitz条件,
精确值时，
()mmy y x? 为它表示当上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 12
1 | (,( ) ) (,( ) ) |m
m
x
mx f x y x f x y x dx
1 | (,( ) ) (,( ) ) |m
m
x
m m mx f x y x f x y x d x
11| | | ( ) ( ) |mmxx
mmK x x d x L y x y x d x
12 / 2 | ( ( ) ) | ( )m
m
x
m m mxKh L y x x x x x d x?
2( ) / 2K L M h
其中：
[,] [,]0 1,m a x | ( ) | m a x | (,( ) ) |,x a b x a bM y x f x y x
1| | | [ (,( ) ) (,( ) ) ] |m
m
x
m m mxR f x y x f x y x d x
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几何分析：
Euler公式的误差
ix 1ix?
iy
1iyx? 1iy?
y y x?
1,i i i iy y h f x y
||mRR?
记 2( ) / 2R K LM h，则有上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 14
整体截断误差,
( ),m m my x y
由：
( ) ( ) (,( ) ),m m m m my x h y x h f x y x R
1 (,),m m m my y hf x y
1 [ (,( ) ) (,) ],m m m m m m mh f x y x f x y R
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从而有：
1| | | | | |,m m mh L R
对任一 0,1,,1,mN
1| | ( 1 ) | |mm h L R
2 2( 1 ) | | ( 1 )mh L h L R R
1
0
0
( 1 ) | | ( 1 )
m
mj
j
h L R h L?
有：
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0( 1 ) | | [ ( 1 ) 1 ]
mm Rh L h L
hL
( ) ( )
0| | ( 1 )
L b a L b aRee
hL?
于是便得 Euler方法的 整体截断误差界
( ) ( )
0| | | | ( ) ( 1 ),2
L b a L b a
m
hKe M e
L
(*)
一切在 G上 关于 y满足 Lipschitz条件 的连续映射 f
所构成的集合记为 F.
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注意,对于 Euler方法
()11 12 L b am hM eL
0 0 0 0y y x若,
2
1 ()2
hRM 代 入 式 得,将
1 ( ),,mM K L M O h这 里 =可 记 为说明 Euler方法的整体截断误差与 h同阶。
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因 此 难 以 使 用 上 述 结 果 。
3 y x M M） 实 际 上,的 估 计 式 中 的 是 不 知 道 的 。
2,） 方 法 的 精 度 由 整 体 误 差 决 定 但 局 部 误 差 容 易 估 计 。
注意,对于 Euler方法
1 ） 一 般 来 说,整 体 误 差 比 局 部 误 差 低 一 阶 。
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定理 5 设 f (x,y)属于 F且关于 x满足 Lipschitz条件，
其 Lipschitz常数为 K,且当 时，0h?
0 ( ),y y a?
则 Euler方法一致收敛于真解 ( ),myx
成立,
并且 有估计式
( ) ( )
0| | | | ( ) ( 1 )2
L b a L b a
m
hKe M e
L
(*)
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2.2 改进的 Euler方法
00
(,),,| |,
( ),,
y f x y a x b y
y a y y R
等价于 积分方程：
( ) ( ) (,( ) ),xhxy x h y x f y d
微分方程：
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( ) ( ) (,( ) )xhxy x h y x f y d
有,(令 )mxx?
( ) ( )mmy x h y x (,( ) )m
m
xh
x f y d
11[ (,) (,) ] / 2m m m m m my h f x y f x y R
1 (,( ) ) [ (,( ) )
2
m
m
x
m m mx
hR f x y x dx f x y x
11(,( ) ) ],mmf x y x
去掉,mR
1( ) ( )mmy x y x 11[ (,) (,) ] / 2.m m m mh f x y f x y
有：
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设 为 的近似值,my ()myx
1mmyy 11[ (,) (,) ] / 2,m m m mh f x y f x y
称为 改进的 Euler方法,
称为改进的 Euler方法的 局部截断误差,mR
误差分析,仍记 ( ),m m my x y
注意：
1
3
1( ) [ ( ) ( ) ] ( ),2 1 2
m
m
x
m m mx
hhy x d x y x y x y x h
0 1,
则：
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于是：
若记
[,]m a x | ( ) |,x a bM y x
3 ( ) / 1 2,mmR h y x h
3| | / 1 2,mR h M?
整体截断误差的阶由局部截断误差的阶来决定,
可见改进的 Euler方法误差比 Euler方法要 高一阶,
则有上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 24
三,Euler方法的 收敛性和稳定性
立是差分方程的解，若成初值问题的解是设
my
O D Exy,
0 1li m m a x 0mmh mn y y x
的。也称此数值方法是收敛则称差分方程是收敛的不能无限缩小。以实际上对扩大了对解的影响。所误差的积累可能时离散点增多。舍入当
h
h 0?
hOE u l er 方法是收敛的，且阶为结论,
注意,
收敛性上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 25
的变化情况。
导致公式的差分方程解稳定性描述初值的改变稳定性
,2,1,
,0
,
,,,,
00
0
000
mvucvu
abmhhh
vu
vuhc
mm
mm
时当满足：的解它们使对任给的初值定义方法是稳定的。则称 E u l er
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结论,
方法是稳定的。则条件，满足若
E u l er
L i p s ch i zyxf,
1,m m m mu u h f x u
mmm vu证明：记
mhL?1
1,m m m mv v h f x v
mmmmmm vxfuxfh,, 1
() 0,L b ae
011 mhL
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计算问题：
1mmyy 11[ (,) (,) ] / 2,m m m mh f x y f x y
隐式计算格式由迭代法去完成,
1 1 1(,) (,) 022m m m m m m
hhy f x y y f x y
将上式变形为记
1 1 1 1( ) (,) (,)22m m m m m m m
hhy y f x y y f x y?
求 1my? 即求隐式方程
1( ) 0my的根。
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总结通过对 Euler方法的讨论可以看到,微分方程数值方法的研究应包括以下方面
1.数值计算公式的构造 ;
2.方法稳定性,收敛性的研究 ;
3.方法的误差估计 ;
4.方法的实现等,
第八章 常微分方程数值解
§ 1 引 论上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 2
解析法求解常微分方程的初值问题
( 0 ) 1
yy
y
如又由 得 0 1,1C e C(0 ) 1y?
xye?初值问题解为很多时候解析解求不出来,如 22(,)f x y x y
xy ce?由 得yy
00
(,),,| |,
( ),,
y f x y a x b y
y a y y R
(1.1)
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常微分方程的初值问题
00
(,),,| |,
( ),,
y f x y a x b y
y a y y R
(1.1)
其中 f 为,xy 的已知函数,0y 为给定的初值,
[,]a b R?,G
[,],G a b R
为简便起见，我们将区域,记为 即设,f G R?为连续映射,若存在常数 L>0使得不等式
1 2 1 2| (,) (,) | | |,f x y f x y L y y
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设,f G R?为连续映射,若存在常数 L>0使得不等式
1 2 1 2| (,) (,) | | |,f x y f x y L y y
对一切 12(,),(,)x y x y G?都成立，
则称 f (x,y)在 G上 关于 y满足 Lipschitz条件,
而式中的常数 L称为 Lipschitz常数,
一切在 G上关于 y满足 Lipschitz条件的连续映射 f
所构成的集合记为?，
而相应的初值问题（ 1.1）构成的问题类记为?.
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定理 1?中的任何初值问题在 [a,b]上有连续可微的解存在并且惟一,
定义 1 初值问题 (1.1)称为在 [a,b]上是 适定的,
0,0,k如果存在常数 0,使得对于任何的正数
(,)f x y 0,y及任给的函数 和常数 当
00| |,yy| (,) (,) |,(,)f x y f x y x y G
时初值问题
0
(,),[,]
( ),
z f x z x a b
z a y
有解 ()zx 存在，且不等式 | ( ) ( ) |y x z x k 对任给
[,]x a b? 都成立,
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定理 2?中的任何初值问题在 [a,b]上是适定的,
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§ 2 Euler方法一,Euler方法二、误差分析三,Euler方法的 收敛性和稳定性上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 8
1,Euler方法
0 1 2,Na x x x x b
记：
1ii
bah x x
N?
因为：
(等距剖分 )
( ) ( ) (,( ) )xhxy x h y x f y d(积分方程 )
令：,mxx? 有：
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( ) ( ) (,( ) ),m m m m my x h y x h f x y x R
1 (,( ) ) (,( ) )m
m
x
m m mxR f x y x dx h f x y x
1( ) ( ) (,( ) ),m m m my x y x h f x y x
1 (,),0,1,,1m m m my y h f x y m N
—— Euler方法截去 mR 有：
由于,00()y x y?(已知 ),
又称 Euler折线法,
可得递推关系：
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欧拉方法的几何意义：
0 1 2
n
x x x X
x
0y
Xy
ny
1xy
2xy
1y
2y
h步长
Euler方法的几何意义上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 11
2,误差分析称为局部截断误差，mR
计算时 的误差,()my x h?
记：
( ),m m my x y
1 2 1 2| (,) (,) | | |,f x y f x y K x x
有：
.m?估计关于假设 (,)f x y x 满足 Lipschitz条件,
精确值时，
()mmy y x? 为它表示当上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 12
1 | (,( ) ) (,( ) ) |m
m
x
mx f x y x f x y x dx
1 | (,( ) ) (,( ) ) |m
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x
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12 / 2 | ( ( ) ) | ( )m
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2( ) / 2K L M h
其中：
[,] [,]0 1,m a x | ( ) | m a x | (,( ) ) |,x a b x a bM y x f x y x
1| | | [ (,( ) ) (,( ) ) ] |m
m
x
m m mxR f x y x f x y x d x
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几何分析：
Euler公式的误差
ix 1ix?
iy
1iyx? 1iy?
y y x?
1,i i i iy y h f x y
||mRR?
记 2( ) / 2R K LM h，则有上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 14
整体截断误差,
( ),m m my x y
由：
( ) ( ) (,( ) ),m m m m my x h y x h f x y x R
1 (,),m m m my y hf x y
1 [ (,( ) ) (,) ],m m m m m m mh f x y x f x y R
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从而有：
1| | | | | |,m m mh L R
对任一 0,1,,1,mN
1| | ( 1 ) | |mm h L R
2 2( 1 ) | | ( 1 )mh L h L R R
1
0
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( 1 ) | | ( 1 )
m
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有：
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0( 1 ) | | [ ( 1 ) 1 ]
mm Rh L h L
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( ) ( )
0| | ( 1 )
L b a L b aRee
hL?
于是便得 Euler方法的 整体截断误差界
( ) ( )
0| | | | ( ) ( 1 ),2
L b a L b a
m
hKe M e
L
(*)
一切在 G上 关于 y满足 Lipschitz条件 的连续映射 f
所构成的集合记为 F.
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注意,对于 Euler方法
()11 12 L b am hM eL
0 0 0 0y y x若,
2
1 ()2
hRM 代 入 式 得,将
1 ( ),,mM K L M O h这 里 =可 记 为说明 Euler方法的整体截断误差与 h同阶。
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因 此 难 以 使 用 上 述 结 果 。
3 y x M M） 实 际 上,的 估 计 式 中 的 是 不 知 道 的 。
2,） 方 法 的 精 度 由 整 体 误 差 决 定 但 局 部 误 差 容 易 估 计 。
注意,对于 Euler方法
1 ） 一 般 来 说,整 体 误 差 比 局 部 误 差 低 一 阶 。
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定理 5 设 f (x,y)属于 F且关于 x满足 Lipschitz条件，
其 Lipschitz常数为 K,且当 时，0h?
0 ( ),y y a?
则 Euler方法一致收敛于真解 ( ),myx
成立,
并且 有估计式
( ) ( )
0| | | | ( ) ( 1 )2
L b a L b a
m
hKe M e
L
(*)
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2.2 改进的 Euler方法
00
(,),,| |,
( ),,
y f x y a x b y
y a y y R
等价于 积分方程：
( ) ( ) (,( ) ),xhxy x h y x f y d
微分方程：
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( ) ( ) (,( ) )xhxy x h y x f y d
有,(令 )mxx?
( ) ( )mmy x h y x (,( ) )m
m
xh
x f y d
11[ (,) (,) ] / 2m m m m m my h f x y f x y R
1 (,( ) ) [ (,( ) )
2
m
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11(,( ) ) ],mmf x y x
去掉,mR
1( ) ( )mmy x y x 11[ (,) (,) ] / 2.m m m mh f x y f x y
有：
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设 为 的近似值,my ()myx
1mmyy 11[ (,) (,) ] / 2,m m m mh f x y f x y
称为 改进的 Euler方法,
称为改进的 Euler方法的 局部截断误差,mR
误差分析,仍记 ( ),m m my x y
注意：
1
3
1( ) [ ( ) ( ) ] ( ),2 1 2
m
m
x
m m mx
hhy x d x y x y x y x h
0 1,
则：
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于是：
若记
[,]m a x | ( ) |,x a bM y x
3 ( ) / 1 2,mmR h y x h
3| | / 1 2,mR h M?
整体截断误差的阶由局部截断误差的阶来决定,
可见改进的 Euler方法误差比 Euler方法要 高一阶,
则有上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 24
三,Euler方法的 收敛性和稳定性
立是差分方程的解，若成初值问题的解是设
my
O D Exy,
0 1li m m a x 0mmh mn y y x
的。也称此数值方法是收敛则称差分方程是收敛的不能无限缩小。以实际上对扩大了对解的影响。所误差的积累可能时离散点增多。舍入当
h
h 0?
hOE u l er 方法是收敛的，且阶为结论,
注意,
收敛性上一页 下一页湘潭大学数学与计算科学学院 25
的变化情况。
导致公式的差分方程解稳定性描述初值的改变稳定性
,2,1,
,0
,
,,,,
00
0
000
mvucvu
abmhhh
vu
vuhc
mm
mm
时当满足：的解它们使对任给的初值定义方法是稳定的。则称 E u l er
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结论,
方法是稳定的。则条件，满足若
E u l er
L i p s ch i zyxf,
1,m m m mu u h f x u
mmm vu证明：记
mhL?1
1,m m m mv v h f x v
mmmmmm vxfuxfh,, 1
() 0,L b ae
011 mhL
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计算问题：
1mmyy 11[ (,) (,) ] / 2,m m m mh f x y f x y
隐式计算格式由迭代法去完成,
1 1 1(,) (,) 022m m m m m m
hhy f x y y f x y
将上式变形为记
1 1 1 1( ) (,) (,)22m m m m m m m
hhy y f x y y f x y?
求 1my? 即求隐式方程
1( ) 0my的根。
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总结通过对 Euler方法的讨论可以看到,微分方程数值方法的研究应包括以下方面
1.数值计算公式的构造 ;
2.方法稳定性,收敛性的研究 ;
3.方法的误差估计 ;
4.方法的实现等,
