练习题
1.1,
2.1,2.11,2.14,2.22
3.22
4.1,4.5,4.12,4.13,4.14,4.16
5.5,5.8,5.10,5.11,5.18,5.22,5.23,5.26,5.28,5.30
6.1,6.3,6.8,6.9,6.11
7.6,7.14,7.17
8.1,8.2,8.7,8.8,8.9,8.14,8.15
第四章 数值积分方法与数值微分
5,求系数，使求积公式
对于次数的一切多项式都是精确成立的.
解：求积公式
是一个插值型求积公式，令 得：
,
解得,,,
12,确定参数使求积公式的代数精度尽可能地高
(*)
解 令,, 得：
,
,
对、精确成立.
当 时,, 时,， 时，，
故：当取 时，（*）具有3次代精确度,□
13 假定求积公式
对于，精确成立，试求
解,由
,
可得,，
故,,□
16,求数值微分公式的余项.
.
解：于 ，,三点作的Lagrange插值多项式：
.
.
令 ,得：
余项：因为
有
第五章 线性代数方程组的解法
10．试证对维向量有
.
证明,
又 ,故,,□
11．设为阶实矩阵，试证
证明,
又,
其中：为的特征值，由于为半正定矩阵，有
故,,有：.
又,,故,,□
23．给定方程组
.
证明Jacobi迭代方法收敛而G-S迭代方法发散.
解：方程组：
Jacobi方法：迭代矩阵：
特征方程,
或,
,,Jacobi方法收敛
Gauss-Seidel迭代方法：
迭代矩阵：
,,（特征方程）
或的特征化为下面方程的根：
即,
,
,
, （重根）
故,,Gauss-Seidel 迭代方法发散,□
26．设求解方程的简单迭代法
收敛,求证当时，迭代法
收敛.
证明, 收敛,
当,
收敛
,□
30．设有方程组，其中为对称正定阵，试证当松弛因子满足（ 为的最大特征值）时下述迭代法收敛：
.
证明,, 对称正定,,
(*)
当, 时，收敛
故当 时(*)收敛,,□
第六章 习 题
1．利用圆盘定理估计下列矩阵特征值的界:
（1） ； （2） ； （3） .
解,(1)
,盖尔圆盘：
,,,
,,.
(2)
由,的特征值为实数。
盖尔圆盘：
, ,
,
，，，
(3)
，的特征值为实数。
盖尔圆,,
,
,,□
3．设为阶实对称矩阵，为其特征值，证明
证明：由极大极小定理：
取 ,
故,,□
9．设非零向量，试给出一个Householder矩阵，使为的倍数.
解：此题化为求和，使得：
由于为正交矩阵，要求
故,,记,
取 ,
此时,,□
第七章 习 题
6,为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1），迭代公式
（2），迭代公式 ，
（3），迭代公式 ，
试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？
解：取的邻域来考察
(1) ,，故迭代公式(1)收敛.
(2) ,，
故迭代公式（2）也收敛。
(3) ,
故迭代公式（3）发散.
由于越小，越快地收敛于根,故（2）式收敛最快。□
14．证明在Newton法中，比值
收敛于，这里为的根.
证明：设Newton迭代法是收敛的，即
而
故,□
18．写出求解
的Newton迭代法程序.
解,,
,
Newton迭代格式由（7.14）式：
,
或者：
,□
第八章 常微分方程数值解
1．用Euler方法解初值问题
.
并证明其截断误差
.
解 将Enler方法应用于值问题
得差分方程初值问题
这里 ,
由此得
.
迭代得到
而此问题真解为
于是其截断误差
,□
9．试列出解初值问题
的改进Euler格式.
解 求解此初值问题的改进Euler格式为：
, 已知
这里 ,分别为真解，的逼近。
或写成矩阵形式为
或即 ,□
10．用上题的计算格式解初值问题
试取算到，并与精确解
，,
相比较.
解 当,,,
代入上题中的格式中，计算到得到
,
而其精确解
比较数值解与精确解，可见其误差较大，其原因是步长取得太大，若缩小步长进行计算，便可得到较好的近似。 □
1.1,
2.1,2.11,2.14,2.22
3.22
4.1,4.5,4.12,4.13,4.14,4.16
5.5,5.8,5.10,5.11,5.18,5.22,5.23,5.26,5.28,5.30
6.1,6.3,6.8,6.9,6.11
7.6,7.14,7.17
8.1,8.2,8.7,8.8,8.9,8.14,8.15
第四章 数值积分方法与数值微分
5,求系数，使求积公式
对于次数的一切多项式都是精确成立的.
解：求积公式
是一个插值型求积公式，令 得：
,
解得,,,
12,确定参数使求积公式的代数精度尽可能地高
(*)
解 令,, 得：
,
,
对、精确成立.
当 时,, 时,， 时，，
故：当取 时，（*）具有3次代精确度,□
13 假定求积公式
对于，精确成立，试求
解,由
,
可得,，
故,,□
16,求数值微分公式的余项.
.
解：于 ，,三点作的Lagrange插值多项式：
.
.
令 ,得：
余项：因为
有
第五章 线性代数方程组的解法
10．试证对维向量有
.
证明,
又 ,故,,□
11．设为阶实矩阵，试证
证明,
又,
其中：为的特征值，由于为半正定矩阵，有
故,,有：.
又,,故,,□
23．给定方程组
.
证明Jacobi迭代方法收敛而G-S迭代方法发散.
解：方程组：
Jacobi方法：迭代矩阵：
特征方程,
或,
,,Jacobi方法收敛
Gauss-Seidel迭代方法：
迭代矩阵：
,,（特征方程）
或的特征化为下面方程的根：
即,
,
,
, （重根）
故,,Gauss-Seidel 迭代方法发散,□
26．设求解方程的简单迭代法
收敛,求证当时，迭代法
收敛.
证明, 收敛,
当,
收敛
,□
30．设有方程组，其中为对称正定阵，试证当松弛因子满足（ 为的最大特征值）时下述迭代法收敛：
.
证明,, 对称正定,,
(*)
当, 时，收敛
故当 时(*)收敛,,□
第六章 习 题
1．利用圆盘定理估计下列矩阵特征值的界:
（1） ； （2） ； （3） .
解,(1)
,盖尔圆盘：
,,,
,,.
(2)
由,的特征值为实数。
盖尔圆盘：
, ,
,
，，，
(3)
，的特征值为实数。
盖尔圆,,
,
,,□
3．设为阶实对称矩阵，为其特征值，证明
证明：由极大极小定理：
取 ,
故,,□
9．设非零向量，试给出一个Householder矩阵，使为的倍数.
解：此题化为求和，使得：
由于为正交矩阵，要求
故,,记,
取 ,
此时,,□
第七章 习 题
6,为求方程在附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
（1），迭代公式
（2），迭代公式 ，
（3），迭代公式 ，
试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？
解：取的邻域来考察
(1) ,，故迭代公式(1)收敛.
(2) ,，
故迭代公式（2）也收敛。
(3) ,
故迭代公式（3）发散.
由于越小，越快地收敛于根,故（2）式收敛最快。□
14．证明在Newton法中，比值
收敛于，这里为的根.
证明：设Newton迭代法是收敛的，即
而
故,□
18．写出求解
的Newton迭代法程序.
解,,
,
Newton迭代格式由（7.14）式：
,
或者：
,□
第八章 常微分方程数值解
1．用Euler方法解初值问题
.
并证明其截断误差
.
解 将Enler方法应用于值问题
得差分方程初值问题
这里 ,
由此得
.
迭代得到
而此问题真解为
于是其截断误差
,□
9．试列出解初值问题
的改进Euler格式.
解 求解此初值问题的改进Euler格式为：
, 已知
这里 ,分别为真解，的逼近。
或写成矩阵形式为
或即 ,□
10．用上题的计算格式解初值问题
试取算到，并与精确解
，,
相比较.
解 当,,,
代入上题中的格式中，计算到得到
,
而其精确解
比较数值解与精确解，可见其误差较大，其原因是步长取得太大，若缩小步长进行计算，便可得到较好的近似。 □
