＊ 特征值与特征向量定义1 （1）对阶方阵，称多项式
为的特征多项式，方程
（1.1）
为的特征方程，特征方程的根为的特征值。用表示的所有特征值的集合（重特征值视为个相同的特征值）。
（2）设为阶方阵的特征值，则称齐次线性代数方程组
（1.2）
的非零解为的对应于的特征向量。
矩阵的特征值问题就是求数和非零向量，使得
（1.3）
物理、力学和工程技术中的许多问题（如工程技术中求一个力学、结构或电学系统的固有或自然频率）在数学上都归结为矩阵的特征值问题。
例1 求矩阵的特征值和特征向量，其中
.
解 的特征方程为
，
求得的特征值为
对应于各特征值的特征向量分别为
.
阶方阵在复数域上有个特征值（重特征值按重数计算）。当为实矩阵时，复特征值共轭成对出现。
当较大时，如果按展开行列式的办法先求出特征多项式，再求的根，最后求相应的特征向量的话，计算工作量会非常大。
其基本思想是：直接从矩阵或其经过相似变换后得到的具有更简单形式的矩阵入手，设计迭代过程，最后求得的近似特征值和相应的特征向量。
下面列出有关特征值及特征向量的若干结果。
定理1 设为方阵的特征值，为对应于的特征向量，则
（1）对任意非零常数，为的特征值，且；
（2）对任意常数，为的特征值，且；
（3）对任意正整数，为的特征值，且；
（4）若为非奇异阵，则且为的特征值，且。
定理2 设为方阵的个特征值（重特征值按重数计算），则
.
定理3 若记为方阵的转置阵，则
.
定理4 若为分块上三角阵，即
，
其中每个对角块均为方阵，则.
定理5 若方阵与为相似阵（即存在非奇异阵，使得），则
（1）；
（2）若是的对应于特征值的特征向量，则是的对应于特征值的特征向量。
定理6 （1）阶实方阵可对角化（即与对角阵相似）的充分必要条件是有个线性无关的特征向量；
（2）方阵的对应于不同特征值的特征向量线性无关。
定理7 若为阶实对称阵，则
（1）的特征值均为实数；
（2）有个线性无关的特征向量；
（3）存在正交矩阵（即），使得
，
从而为的特征值，的列向量为的对应于的特征向量。
定理8 对阶实方阵，
（1）存在酉阵（即），使得
（上三角阵），
其中为的特征值；
（2）存在正交阵使得
，
其中为1阶或2阶方阵，且每个1阶为的实特征值，每个2阶对角线块的两个特征值为的两个共轭复特征值。
＊ 特征值的估计及扰动问题了解特征值在复平面上的分布以及对矩阵扰动的敏感性，对选择、设计求解特征值问题的数值方法并提高方法的收敛速度具有重要的指导意义。
对任何实方阵，其特征值满足
，
其中为的任何范数，常见的有
,,
，表示的谱半径。
定义2 设为实方阵，则称复平面上以为中心，为半径的圆盘
（1.5）
为的Gerschgorin圆盘。
定理9 设为实方阵，则
（1）的任一特征值必落在的某个Gerschgorin圆盘之中；
（2）如果的个Gerschgorin圆盘的并集与其他圆盘不相连，则内恰包含的个特征值。特别地，孤立圆盘（即不与其他圆盘相连）恰包含的1个特征值。
证明 仅就（1）给出证明。设为的特征值，为对应于的特征向量，则的第个方程为
或
.
不妨令，则（因），且
这表明落在第个圆盘中。 ■
例2 估计矩阵的特征值的范围，其中
.
解 的3个Gerschgorin圆盘是
其中为孤立圆盘，故恰好包含了1个特征值，并有估计
，
而另外2个特征值和则包含在与的并集中。为获得和的较准确的估计，现对作相似变换：
，
其中
,.
的3个Gerschgorin圆盘为：
都是孤立圆盘。故的特征值分布为
.
定义3 设为实方阵，非零向量，则称
（1.6）
为矩阵的关于向量的Rayleigh（雷利）商。
定理10 设为阶实对称矩阵，其特征值排列次序为，则
（1.7）
证明 由定理7，是实数，且有规范正交特征向量，使得
,
于是，对任何非零向量，有
，
从而
，
推得。特别地，若取，则
，
故有。同理可证。 ■
下面考虑矩阵扰动对特征值的影响问题。
例3 计算并比较阶方阵和的特征值，其中
,，.
解 的特征值（重特征值），的特征值，，其中。于是，特征值的相对误差
.
若取，，则当、0.5和0.1时，相对误差分别达到10%、20%和100%。由此可见，矩阵的微小扰动（仅有元素发生了微小变化）使得特征值发生了大的变化，本例中，的特征值对元素的扰动非常敏感。
定理11（Bauer-Fike）设阶方阵可对角化，矩阵使得
,（1.8）
则经扰动后的矩阵的特征值有估计式
,（1.9）
其中为矩阵的范数（）。
证明 若，则（1.9）自然成立。现设，是的对应于的特征向量，于是
,
即
从而
推得
于是
.
由于
，
所以
，
即
,■
若为对称矩阵，则可选为正交矩阵，这时，从而有如下推论：
推论1 若为实对称方阵，为扰动矩阵的特征值，则有
.
■
为的特征多项式，方程
（1.1）
为的特征方程，特征方程的根为的特征值。用表示的所有特征值的集合（重特征值视为个相同的特征值）。
（2）设为阶方阵的特征值，则称齐次线性代数方程组
（1.2）
的非零解为的对应于的特征向量。
矩阵的特征值问题就是求数和非零向量，使得
（1.3）
物理、力学和工程技术中的许多问题（如工程技术中求一个力学、结构或电学系统的固有或自然频率）在数学上都归结为矩阵的特征值问题。
例1 求矩阵的特征值和特征向量，其中
.
解 的特征方程为
，
求得的特征值为
对应于各特征值的特征向量分别为
.
阶方阵在复数域上有个特征值（重特征值按重数计算）。当为实矩阵时，复特征值共轭成对出现。
当较大时，如果按展开行列式的办法先求出特征多项式，再求的根，最后求相应的特征向量的话，计算工作量会非常大。
其基本思想是：直接从矩阵或其经过相似变换后得到的具有更简单形式的矩阵入手，设计迭代过程，最后求得的近似特征值和相应的特征向量。
下面列出有关特征值及特征向量的若干结果。
定理1 设为方阵的特征值，为对应于的特征向量，则
（1）对任意非零常数，为的特征值，且；
（2）对任意常数，为的特征值，且；
（3）对任意正整数，为的特征值，且；
（4）若为非奇异阵，则且为的特征值，且。
定理2 设为方阵的个特征值（重特征值按重数计算），则
.
定理3 若记为方阵的转置阵，则
.
定理4 若为分块上三角阵，即
，
其中每个对角块均为方阵，则.
定理5 若方阵与为相似阵（即存在非奇异阵，使得），则
（1）；
（2）若是的对应于特征值的特征向量，则是的对应于特征值的特征向量。
定理6 （1）阶实方阵可对角化（即与对角阵相似）的充分必要条件是有个线性无关的特征向量；
（2）方阵的对应于不同特征值的特征向量线性无关。
定理7 若为阶实对称阵，则
（1）的特征值均为实数；
（2）有个线性无关的特征向量；
（3）存在正交矩阵（即），使得
，
从而为的特征值，的列向量为的对应于的特征向量。
定理8 对阶实方阵，
（1）存在酉阵（即），使得
（上三角阵），
其中为的特征值；
（2）存在正交阵使得
，
其中为1阶或2阶方阵，且每个1阶为的实特征值，每个2阶对角线块的两个特征值为的两个共轭复特征值。
＊ 特征值的估计及扰动问题了解特征值在复平面上的分布以及对矩阵扰动的敏感性，对选择、设计求解特征值问题的数值方法并提高方法的收敛速度具有重要的指导意义。
对任何实方阵，其特征值满足
，
其中为的任何范数，常见的有
,,
，表示的谱半径。
定义2 设为实方阵，则称复平面上以为中心，为半径的圆盘
（1.5）
为的Gerschgorin圆盘。
定理9 设为实方阵，则
（1）的任一特征值必落在的某个Gerschgorin圆盘之中；
（2）如果的个Gerschgorin圆盘的并集与其他圆盘不相连，则内恰包含的个特征值。特别地，孤立圆盘（即不与其他圆盘相连）恰包含的1个特征值。
证明 仅就（1）给出证明。设为的特征值，为对应于的特征向量，则的第个方程为
或
.
不妨令，则（因），且
这表明落在第个圆盘中。 ■
例2 估计矩阵的特征值的范围，其中
.
解 的3个Gerschgorin圆盘是
其中为孤立圆盘，故恰好包含了1个特征值，并有估计
，
而另外2个特征值和则包含在与的并集中。为获得和的较准确的估计，现对作相似变换：
，
其中
,.
的3个Gerschgorin圆盘为：
都是孤立圆盘。故的特征值分布为
.
定义3 设为实方阵，非零向量，则称
（1.6）
为矩阵的关于向量的Rayleigh（雷利）商。
定理10 设为阶实对称矩阵，其特征值排列次序为，则
（1.7）
证明 由定理7，是实数，且有规范正交特征向量，使得
,
于是，对任何非零向量，有
，
从而
，
推得。特别地，若取，则
，
故有。同理可证。 ■
下面考虑矩阵扰动对特征值的影响问题。
例3 计算并比较阶方阵和的特征值，其中
,，.
解 的特征值（重特征值），的特征值，，其中。于是，特征值的相对误差
.
若取，，则当、0.5和0.1时，相对误差分别达到10%、20%和100%。由此可见，矩阵的微小扰动（仅有元素发生了微小变化）使得特征值发生了大的变化，本例中，的特征值对元素的扰动非常敏感。
定理11（Bauer-Fike）设阶方阵可对角化，矩阵使得
,（1.8）
则经扰动后的矩阵的特征值有估计式
,（1.9）
其中为矩阵的范数（）。
证明 若，则（1.9）自然成立。现设，是的对应于的特征向量，于是
,
即
从而
推得
于是
.
由于
，
所以
，
即
,■
若为对称矩阵，则可选为正交矩阵，这时，从而有如下推论：
推论1 若为实对称方阵，为扰动矩阵的特征值，则有
.
■
