例1 计算，其中是由直线及所围成的闭区域.
解法1 首先画出积分区域,如图6-26所示,是-型区域，可表示为
,
先对、再对积分，在对积分时，把看成常数，于是有


解法2 如图6-27所示，积分区域是-型的，先对、再对积分，在对积分时，把看成常数.于是有


例2 计算，其中是由抛物线及直线所围成的区域.
解 画出积分区域，如图6-28所示.既是-型的，也是-型的，我们先将它看成是-型的，先对、再对积分，积分区域为

且




如果将看成看成-型区域，则需要将分成和两部分，如图6-29所示，其中


因此，根据二重积分的性质有


由此可见，这种积分次序计算比较麻烦.
例3 计算，其中
解 被积函数中含有绝对值，需去掉绝对值符号才能积分，一般以绝对值符号中的表达式为0得曲线将分成若干个部分区域,如图6-30，将分成与，在中，在中因此，分区域积分可去掉绝对值符号，即得




例4 计算
解 此题先对积分，由于的原函数不是初等函数，因此不能直接求解.这时，可考虑交换积分次序，如图6-31所示，由积分区域

或

有


例5 应用二重积分，求在平面上由与所围成的平面图形的面积.
解 由二重积分的性质，的值就是积分区域的面积的值.由图6-32可得



将化成极坐标系下的二次积分，其中

解 6-32所示，令则的边界曲线的极坐标方程为
 
则用极坐标表示为
 
所以


例7 计算二重积分，其中是圆围成的区域.
解 如图6-38所示，令则圆的方程为，可以用不等式表示为

所以





例8 计算二重积分，其中为圆形区域
解 在极坐标系中，闭区域可表示为
 
则


利用上面结果，我们可以计算广义积分设



显然（见图6-39）.由于从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

因为

又应用上面已得的结果有


于是上面的不等式可写成

令，上式两端趋于同一极限，从而