机动 目录 上页 下页 返回 结束高阶线性微分方程解的结构第七节二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构
*四、常数变易法一、二阶线性微分方程举例第十二章一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,
例 1,质量为 m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
力作用下作往复运动,
x
x
o
解,
阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,
若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图,设时刻 t 物位移为 x(t).
(1) 自由振动情况,
弹性恢复力物体所受的力有,
(虎克定律 )
成正比,方向相反,建立位移满足的微分方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束据牛顿第二定律得
,2 mck?,2 mn令 则得有阻尼 自由振动方程,
0dd2
d
d 2
2
2
xktxn
t
x
阻力
(2) 强迫振动情况,若物体在运动过程中还受铅直外力作用，tpHF s in?,令 mh H?则得 强迫振动方程,
tphxktxn
t
x s i n
d
d2
d
d 2
2
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束求电容器两两极板间电压
0dd iRCqtiLE
例 2.
联组成的电路,其中 R,L,C 为常数,
所满足的微分方程,cu
提示,设电路中电流为 i(t),
～~
‖
L E
R
K
C
q? q?
i上的电量为 q(t),自感电动势为,LE
由电学知根据回路电压定律,
设有一个电阻 R,自感 L,电容 C 和电源 E 串极板机动 目录 上页 下页 返回 结束在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0
LCL
R 1,
2 0令
tLCEutu
t
u m
C
CC s i n
d
d2
d
d 2
02
2
串联电路的振荡方程,
如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ),则得
0dd2
d
d 2
02
2
CCC utu
t
u
~
‖
L E
R
K
C
q? q?
i
2
2
d
d
t
uCL C
t
uCR C
d
d?
Cu? tE m?s in?
机动 目录 上页 下页 返回 结束化为关于 cu 的方程,故有
n 阶线性微分方程 的一般形式为方程的 共性为二阶线性微分方程,
例 1 例 2
,)()()( xfyxqyxpy
— 可归结为 同一形式,
)()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn
时,称为非齐次方程 ;
0)(?xf 时,称为齐次方程,
复习,一阶线性方程 )()( xQyxPy
通解, xexQe xxPxxP d)( d)(d)( xxPeCy d)(
非齐次方程特解齐次方程通解 Y?y
0)(?xf
机动 目录 上页 下页 返回 结束
] )[( 11 yCxP
] [)( 11 yCxQ
0? 证毕二、线性齐次方程解的结构
)(),( 21 xyxy若函数 是二阶线性齐次方程
0)()( yxQyxPy
的两个解,
也是该方程的解,
证,)()( 2211 xyCxyCy将 代入方程左边,得
] [ 11yC 22yC 22yC?
22yC
])()([ 1111 yxQyxPyC
])()([ 2222 yxQyxPyC
(叠加原理 )
)()( 2211 xyCxyCy则定理 1.
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
不一定 是所给二阶方程的通解,
例如,是某二阶齐次方程的解,
也是齐次方程的解并不是通解但是
)()( 2211 xyCxyCy
则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义,)(,),(),( 21 xyxyxy n?设 是定义在区间 I 上的
n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上 线性相关,否则称为 线性无关,
例如,在 (, )上都有故它们在任何区间 I 上都 线性相关 ;
又如,若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,
必需全为 0,
可见在任何区间 I 上都 线性无关,
若存在 不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的 充要条件,
线性相关 存在不全为 0 的 使
1
2
2
1
)(
)(
k
k
xy
xy( 无妨设
)01?k
线性无关 )(
)(
2
1
xy
xy
常数思考,中有一个恒为 0,则必线性 相关
(证明略 )
线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则 )()( 2211 xyCxyCy
数 ) 是该方程的通解,
例如,方程 有特解 且常数,故方程的通解为
(自证 )
推论,是 n 阶齐次方程的 n 个线性无关解,则方程的通解为
)(11 为任意常数knn CyCyCy
xy ta n2?
1y
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、线性非齐次方程解的结构
)(* xy设 是二阶非齐次方程的一个特解,
)(*)( xyxYy
Y (x) 是相应齐次方程的通解,
定理 3.
则是非齐次方程的通解,
证,将 )(*)( xyxYy 代入方程①左端,得
)*( yY )*()( yYxP
))()(( YxQYxPY
)(0)( xfxf
)*()( yYxQ
②
①
复习 目录 上页 下页 返回 结束
)(*)( xyxYy故 是非齐次方程的解,又 Y 中含有两个独立任意常数,
例如,方程 有特解
xCxCY s inc o s 21
对应齐次方程 有通解因此该方程的通解为证毕因而 ② 也是通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4,分别是方程的特解,是方程
),,2,1()()()( nkxfyxQyxPy k
)()()(
1
xfyxQyxPy
n
k
k?
的特解,(非齐次方程之解的叠加原理 )
定理 3,定理 4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 5.
是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,
给定 n 阶非齐次线性方程
)()( xyxY
是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解 非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束常数,则该方程的通解是 ( ).
设线性无关函数 都是二阶非齐次线性方程 )()()( xfyxQyxPy 的解,21,CC 是任意;)()( 3212211 yCCyCyCB;)1()( 3212211 yCCyCyCC
D
例 3.
提示,
3231,yyyy 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关,(反证法可证 )
(89 考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,已知微分方程 )()()( xfyxqyxpy
个解,,,2321 xx eyeyxy 求此方程满足初始条件
3)0(,1)0( yy 的特解,
解,1312 yyyy 与是对应齐次方程的解,且
xe
xe
yy
yy
x
x
2
13
12 常数因而线性无关,故原方程通解为
)()( 221 xeCxeCy xx
代入初始条件,3)0(,1)0( yy,2,1 21 CC得
.2 2 xx eey故所求特解为有三机动 目录 上页 下页 返回 结束
*四、常数变易法复习,
常数变易法,
)()( xfyxpy
对应齐次方程的通解,)(1 xyCy?
xxpexy d)(1 )(
设非齐次方程的解为 )(1 xyy?
代入原方程确定 ).(xu
对二阶非齐次方程
)()()( xfyxQyxPy
情形 1.已知对应齐次方程通解,)()( 2211 xyCxyCy
设③的解为 )()( 21 xyxyy )(1 xv )(2 xv
③
))(),(( 21 待定xvxv
由于有两个待定函数,所以要建立两个方程,
④
)(xu
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2211 vyvyy 221 vyvy
⑤
,,21 vvy中不含为使 令
02211 vyvy
于是 22112211 vyvyvyvyy
将以上结果代入方程 ①,
2211 vyvy 1111 )( vyQyPy
)()( 2222 xfvyQyPy
得 )(2211 xfvyvy ⑥
故⑤,⑥ 的系数行列式
0
21
21
yy
yyW
21,yy 是对应齐次方程的解
,,21 线性无关因 yy
P10 目录 上页 下页 返回 结束
fyWvfyWv 1221 1,1
积分得,
)(),( 222111 xgCvxgCv
代入③ 即得非齐次方程的通解,
)()( 22112211 xgyxgyyCyCy
于是得说明,将③的解设为
)()( 21 xyxyy )(1 xv )(2 xv
只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算,
机动 目录 上页 下页 返回 结束情形 2,).(1 xy仅知 ③ 的齐次方程的一个非零特解
,)()( 1 xyxuy?令 代入 ③ 化简得
uyPyuy )2( 111 uyQyPy( 111 f?
uz令
fzyPyzy )2( 111
设其通解为 )()(2 xzxZCz
积分得 )()(21 xuxUCCu
(一阶线性方程 )
由此得原方程③的通解,
)()()()()( 11211 xyxuxyxUCxyCy
代入 ③ 目录 上页 下页 返回 结束例 5,0)1( yyxyx 的通解为
,21 xeCxCY 的通解,
解,将所给方程化为,1111 xyxyx xy
已知齐次方程求 2)1()1( xyyxyx
),()( 21 xvexvxy x令 利用⑤,⑥ 建立方程组,
021 vevx x
121 xvev x
,,1 21 xexvv解得 积分得
xexCvxCv )1(,2211
故所求通解为 )1( 221 xxeCxCy x
)1( 221 xeCxC x
⑤,⑥ 目录 上页 下页 返回 结束例 6,42 )()2( xyyxxyx求方程 的通解,
解,对应齐次方程为 0)()2(2 yyxxyx
由观察可知它有特解,,1 xy?
令,)( xuxy? 代入非齐次方程后化简得
xuu
此题不需再作变换,特征根,,1,0 rr
设⑦的特解为 )( BAxxu
于是得⑦的通解,)( 22121 xxeCCu x
故原方程通解为
(二阶常系数非齐次方程 ) ⑦
代入⑦可得,1,21 BA
)( 232121 xxexCxCuxy x
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
P300 题 1,3,4(2),(5)
作业
P 301 *6,*8
第八节 目录 上页 下页 返回 结束
*四、常数变易法一、二阶线性微分方程举例第十二章一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,
例 1,质量为 m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
力作用下作往复运动,
x
x
o
解,
阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,
若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,
建立坐标系如图,设时刻 t 物位移为 x(t).
(1) 自由振动情况,
弹性恢复力物体所受的力有,
(虎克定律 )
成正比,方向相反,建立位移满足的微分方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束据牛顿第二定律得
,2 mck?,2 mn令 则得有阻尼 自由振动方程,
0dd2
d
d 2
2
2
xktxn
t
x
阻力
(2) 强迫振动情况,若物体在运动过程中还受铅直外力作用，tpHF s in?,令 mh H?则得 强迫振动方程,
tphxktxn
t
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d
d2
d
d 2
2
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束求电容器两两极板间电压
0dd iRCqtiLE
例 2.
联组成的电路,其中 R,L,C 为常数,
所满足的微分方程,cu
提示,设电路中电流为 i(t),
～~
‖
L E
R
K
C
q? q?
i上的电量为 q(t),自感电动势为,LE
由电学知根据回路电压定律,
设有一个电阻 R,自感 L,电容 C 和电源 E 串极板机动 目录 上页 下页 返回 结束在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0
LCL
R 1,
2 0令
tLCEutu
t
u m
C
CC s i n
d
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d
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02
2
串联电路的振荡方程,
如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ),则得
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i
2
2
d
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uCL C
t
uCR C
d
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Cu? tE m?s in?
机动 目录 上页 下页 返回 结束化为关于 cu 的方程,故有
n 阶线性微分方程 的一般形式为方程的 共性为二阶线性微分方程,
例 1 例 2
,)()()( xfyxqyxpy
— 可归结为 同一形式,
)()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn
时,称为非齐次方程 ;
0)(?xf 时,称为齐次方程,
复习,一阶线性方程 )()( xQyxPy
通解, xexQe xxPxxP d)( d)(d)( xxPeCy d)(
非齐次方程特解齐次方程通解 Y?y
0)(?xf
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] )[( 11 yCxP
] [)( 11 yCxQ
0? 证毕二、线性齐次方程解的结构
)(),( 21 xyxy若函数 是二阶线性齐次方程
0)()( yxQyxPy
的两个解,
也是该方程的解,
证,)()( 2211 xyCxyCy将 代入方程左边,得
] [ 11yC 22yC 22yC?
22yC
])()([ 1111 yxQyxPyC
])()([ 2222 yxQyxPyC
(叠加原理 )
)()( 2211 xyCxyCy则定理 1.
机动 目录 上页 下页 返回 结束说明,
不一定 是所给二阶方程的通解,
例如,是某二阶齐次方程的解,
也是齐次方程的解并不是通解但是
)()( 2211 xyCxyCy
则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定义,)(,),(),( 21 xyxyxy n?设 是定义在区间 I 上的
n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上 线性相关,否则称为 线性无关,
例如,在 (, )上都有故它们在任何区间 I 上都 线性相关 ;
又如,若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,
必需全为 0,
可见在任何区间 I 上都 线性无关,
若存在 不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的 充要条件,
线性相关 存在不全为 0 的 使
1
2
2
1
)(
)(
k
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xy
xy( 无妨设
)01?k
线性无关 )(
)(
2
1
xy
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常数思考,中有一个恒为 0,则必线性 相关
(证明略 )
线性无关机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 2,是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则 )()( 2211 xyCxyCy
数 ) 是该方程的通解,
例如,方程 有特解 且常数,故方程的通解为
(自证 )
推论,是 n 阶齐次方程的 n 个线性无关解,则方程的通解为
)(11 为任意常数knn CyCyCy
xy ta n2?
1y
机动 目录 上页 下页 返回 结束三、线性非齐次方程解的结构
)(* xy设 是二阶非齐次方程的一个特解,
)(*)( xyxYy
Y (x) 是相应齐次方程的通解,
定理 3.
则是非齐次方程的通解,
证,将 )(*)( xyxYy 代入方程①左端,得
)*( yY )*()( yYxP
))()(( YxQYxPY
)(0)( xfxf
)*()( yYxQ
②
①
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)(*)( xyxYy故 是非齐次方程的解,又 Y 中含有两个独立任意常数,
例如,方程 有特解
xCxCY s inc o s 21
对应齐次方程 有通解因此该方程的通解为证毕因而 ② 也是通解,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 4,分别是方程的特解,是方程
),,2,1()()()( nkxfyxQyxPy k
)()()(
1
xfyxQyxPy
n
k
k?
的特解,(非齐次方程之解的叠加原理 )
定理 3,定理 4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程,
机动 目录 上页 下页 返回 结束定理 5.
是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,
给定 n 阶非齐次线性方程
)()( xyxY
是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解 非齐次方程特解机动 目录 上页 下页 返回 结束常数,则该方程的通解是 ( ).
设线性无关函数 都是二阶非齐次线性方程 )()()( xfyxQyxPy 的解,21,CC 是任意;)()( 3212211 yCCyCyCB;)1()( 3212211 yCCyCyCC
D
例 3.
提示,
3231,yyyy 都是对应齐次方程的解,
二者线性无关,(反证法可证 )
(89 考研 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束例 4,已知微分方程 )()()( xfyxqyxpy
个解,,,2321 xx eyeyxy 求此方程满足初始条件
3)0(,1)0( yy 的特解,
解,1312 yyyy 与是对应齐次方程的解,且
xe
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yy
yy
x
x
2
13
12 常数因而线性无关,故原方程通解为
)()( 221 xeCxeCy xx
代入初始条件,3)0(,1)0( yy,2,1 21 CC得
.2 2 xx eey故所求特解为有三机动 目录 上页 下页 返回 结束
*四、常数变易法复习,
常数变易法,
)()( xfyxpy
对应齐次方程的通解,)(1 xyCy?
xxpexy d)(1 )(
设非齐次方程的解为 )(1 xyy?
代入原方程确定 ).(xu
对二阶非齐次方程
)()()( xfyxQyxPy
情形 1.已知对应齐次方程通解,)()( 2211 xyCxyCy
设③的解为 )()( 21 xyxyy )(1 xv )(2 xv
③
))(),(( 21 待定xvxv
由于有两个待定函数,所以要建立两个方程,
④
)(xu
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2211 vyvyy 221 vyvy
⑤
,,21 vvy中不含为使 令
02211 vyvy
于是 22112211 vyvyvyvyy
将以上结果代入方程 ①,
2211 vyvy 1111 )( vyQyPy
)()( 2222 xfvyQyPy
得 )(2211 xfvyvy ⑥
故⑤,⑥ 的系数行列式
0
21
21
yy
yyW
21,yy 是对应齐次方程的解
,,21 线性无关因 yy
P10 目录 上页 下页 返回 结束
fyWvfyWv 1221 1,1
积分得,
)(),( 222111 xgCvxgCv
代入③ 即得非齐次方程的通解,
)()( 22112211 xgyxgyyCyCy
于是得说明,将③的解设为
)()( 21 xyxyy )(1 xv )(2 xv
只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算,
机动 目录 上页 下页 返回 结束情形 2,).(1 xy仅知 ③ 的齐次方程的一个非零特解
,)()( 1 xyxuy?令 代入 ③ 化简得
uyPyuy )2( 111 uyQyPy( 111 f?
uz令
fzyPyzy )2( 111
设其通解为 )()(2 xzxZCz
积分得 )()(21 xuxUCCu
(一阶线性方程 )
由此得原方程③的通解,
)()()()()( 11211 xyxuxyxUCxyCy
代入 ③ 目录 上页 下页 返回 结束例 5,0)1( yyxyx 的通解为
,21 xeCxCY 的通解,
解,将所给方程化为,1111 xyxyx xy
已知齐次方程求 2)1()1( xyyxyx
),()( 21 xvexvxy x令 利用⑤,⑥ 建立方程组,
021 vevx x
121 xvev x
,,1 21 xexvv解得 积分得
xexCvxCv )1(,2211
故所求通解为 )1( 221 xxeCxCy x
)1( 221 xeCxC x
⑤,⑥ 目录 上页 下页 返回 结束例 6,42 )()2( xyyxxyx求方程 的通解,
解,对应齐次方程为 0)()2(2 yyxxyx
由观察可知它有特解,,1 xy?
令,)( xuxy? 代入非齐次方程后化简得
xuu
此题不需再作变换,特征根,,1,0 rr
设⑦的特解为 )( BAxxu
于是得⑦的通解,)( 22121 xxeCCu x
故原方程通解为
(二阶常系数非齐次方程 ) ⑦
代入⑦可得,1,21 BA
)( 232121 xxexCxCuxy x
机动 目录 上页 下页 返回 结束思考与练习
P300 题 1,3,4(2),(5)
作业
P 301 *6,*8
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