例1 一平面曲线上任一点的切线垂直于该点与原点的连线，即其上任意一点的法线通过原点，试建立该曲线满足的方程式；又若已知该曲线过点(1,2)，求出该曲线方程。
解 设所求曲线为,其上任一点处的切线斜率为，而点与原点的连线的斜率为，由题意应有
即
(1.1)
这就是所求曲线应满足的方程，它包含自变量x，未知函数y及未知函数的导数。
为求解方程(1.1)，将(1.1)变形为
(1.2)
将(1.2)式两边积分得
,(1.3)
又已知曲线过点(1,2),即当x=1时y=2,代入(1.3) 式得1+4=C，于是所求曲线方程为
.
例 2 某缉私艇雷达发现距c海里处有一艘走私船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大的速度b追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰的追逐路线和追上时间。
解 如图所示，
选取走私船逃跑的方向为y轴，缉私舰在(c,o)位置时发现走私船在(0,0)处，显然缉私舰、走私船的大小比它们运动的范围小得多，可视为两个质点，设时间从缉私舰发现走私船时算起，在时刻t，走私船到达点，缉私船到D(x,y)，因直线DR与路线相切，由几何关系有
或
（1.4）
为消去t，先把（1.4）对x 求数得
（1.5）
又，从而
（1.6）
这里有负号是因为s随着x的减小而增大，结合（1.5）与（1.6）得到追击路线的微分方程
（1.7）
其中，而且还知曲线方程满足条件
(1.8)
例 3 求解方程
解 将方程变量分离，得到 ，
两边积分，得 .
因而通解为，
这里C为任意常数。或者解出y，写成显函数形式的解
.
例 4 求的通解。
解 若，将原方程变量分离，得到
，
两边积分，得
.
这就是原方程的通解。
此外，易验证也是原方程的解，但并未包含在通解中，故应补上。
例 5 求解初值问题
解 当时，将方程分离变量，得到
两边积分，得 .
因而通解为 .
这里C为任意常数。此外，方程还有解.
将初始条件:x=0,y=1代入通解中，得到C=-1，因而所求初值问题的解为
。
例 6（生物总数的Logistic方程）设某生物种群的总数y(t)随时间t而变化，变化率与y和(m-y)的乘积成正比，求y（t）的表达式.
解 由题设条件知y(t)满足微分方程
其中为比例常数，将方程分离变量后得
两端积分，得
化简得
从而可得通解为
对通解的表达式取极限得
这时称y(t)是动态稳定的，称m为容纳量。
例 7 解初值问题
解 令，即，方程化为
分离变量，得
两边积分，得 或
则原方程通解为
将代入通解得，初值问题的解为
例 8 求方程的通解解 将原方程写为
所以
这是一个其次方程。令，代入原方程得
分离变量，得
两边积分，得
将代入上述表达式中，得
所以原方程的通解为
。
例 9 求方程的通解解 这是一个非齐次线性方程，由通解公式（1.13）得方程的通解为
例 10 求方程的通解.
解 原方程不是未知函数y的线性方程，但我们可以把它改写为
，
即 ,1.14）
把x看作未知函数，y看作自变量，这样对于x及来说，方程（1.14）就是一个线性方程，利用通解公式（1.13）便得所求通解为
例 11 求方程的通解.
解 原方程是伯努利方程，令，原方程化为
当时，得到关于z的线性方程
由通解公式（1.13）得
原方程通解为
此外，对应于，还有.
第二节例题例 1 求的通解解 对原方程两端相继几分两次，得
这就是所求的通解。
例 2 求解初值问题
解 方程中不显含自变量x，令，则，因此原方程化为
这是未知函数z关于y的伯努利方程，即
为求解此方程，我们令
则方程是u的线性方程
由第一节中的通解公式（1.13）得到上述方程的通解为
由，即，得，于是
又由初始条件可知z应取正值，所以
分离变量得
积分得此方程通解为
由y(0)=0得，因此所求初值问题的解为
例 4 求下列方程的解：
解 （1）特征方程为，解得特征根为，故原方程的通解为
（2）特征方程为，解得特征根为，故原方程的通解为
（3）特征方程为，解得特征根为，
故原方程的通解为
例 5 求方程的通解解 特征方程有特征根 右端自由项
其中
由于对应于的特解形式不同，我们分别求其解，然后用叠加原理.
对于方程，右端自由项为
由于0不是特征根，应设其特解的形式为
其中A、B、C为待定系数，将代入方程，得
令等式两端x同时幂系数相等，得
由此解得，于是
对于方程
（2.14）
右端自由项中3x是一次多项式，又1是单特征根，应设特解的形式为
其中A、B是待定系数，将代入方程(2.14)，得
于是可确定，故
由叠加原理，原方程通解为
例 6 求微分方程的一个特解.
解 所给方程式二阶常系数非齐次线性方程，且属于型（其中）与所给方程对应的齐次方程为
它的特征方程为
由于这里不是特征方程的根，所以应设特解为
把它代入所给方程，得
比较两端同类项的系数，得
由此解得，于是求得一个特解为
例 7 求方程的通解.
解 特征方程有特征根.右端自由项为
，
其中是零次多项式.由于是特征根，故特解应具有形式
，
把代入原方程并化简得
，
比较两端，于是
，
从而原方程通解为
.
解 设所求曲线为,其上任一点处的切线斜率为，而点与原点的连线的斜率为，由题意应有
即
(1.1)
这就是所求曲线应满足的方程，它包含自变量x，未知函数y及未知函数的导数。
为求解方程(1.1)，将(1.1)变形为
(1.2)
将(1.2)式两边积分得
,(1.3)
又已知曲线过点(1,2),即当x=1时y=2,代入(1.3) 式得1+4=C，于是所求曲线方程为
.
例 2 某缉私艇雷达发现距c海里处有一艘走私船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大的速度b追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰的追逐路线和追上时间。
解 如图所示，
选取走私船逃跑的方向为y轴，缉私舰在(c,o)位置时发现走私船在(0,0)处，显然缉私舰、走私船的大小比它们运动的范围小得多，可视为两个质点，设时间从缉私舰发现走私船时算起，在时刻t，走私船到达点，缉私船到D(x,y)，因直线DR与路线相切，由几何关系有
或
（1.4）
为消去t，先把（1.4）对x 求数得
（1.5）
又，从而
（1.6）
这里有负号是因为s随着x的减小而增大，结合（1.5）与（1.6）得到追击路线的微分方程
（1.7）
其中，而且还知曲线方程满足条件
(1.8)
例 3 求解方程
解 将方程变量分离，得到 ，
两边积分，得 .
因而通解为，
这里C为任意常数。或者解出y，写成显函数形式的解
.
例 4 求的通解。
解 若，将原方程变量分离，得到
，
两边积分，得
.
这就是原方程的通解。
此外，易验证也是原方程的解，但并未包含在通解中，故应补上。
例 5 求解初值问题
解 当时，将方程分离变量，得到
两边积分，得 .
因而通解为 .
这里C为任意常数。此外，方程还有解.
将初始条件:x=0,y=1代入通解中，得到C=-1，因而所求初值问题的解为
。
例 6（生物总数的Logistic方程）设某生物种群的总数y(t)随时间t而变化，变化率与y和(m-y)的乘积成正比，求y（t）的表达式.
解 由题设条件知y(t)满足微分方程
其中为比例常数，将方程分离变量后得
两端积分，得
化简得
从而可得通解为
对通解的表达式取极限得
这时称y(t)是动态稳定的，称m为容纳量。
例 7 解初值问题
解 令，即，方程化为
分离变量，得
两边积分，得 或
则原方程通解为
将代入通解得，初值问题的解为
例 8 求方程的通解解 将原方程写为
所以
这是一个其次方程。令，代入原方程得
分离变量，得
两边积分，得
将代入上述表达式中，得
所以原方程的通解为
。
例 9 求方程的通解解 这是一个非齐次线性方程，由通解公式（1.13）得方程的通解为
例 10 求方程的通解.
解 原方程不是未知函数y的线性方程，但我们可以把它改写为
，
即 ,1.14）
把x看作未知函数，y看作自变量，这样对于x及来说，方程（1.14）就是一个线性方程，利用通解公式（1.13）便得所求通解为
例 11 求方程的通解.
解 原方程是伯努利方程，令，原方程化为
当时，得到关于z的线性方程
由通解公式（1.13）得
原方程通解为
此外，对应于，还有.
第二节例题例 1 求的通解解 对原方程两端相继几分两次，得
这就是所求的通解。
例 2 求解初值问题
解 方程中不显含自变量x，令，则，因此原方程化为
这是未知函数z关于y的伯努利方程，即
为求解此方程，我们令
则方程是u的线性方程
由第一节中的通解公式（1.13）得到上述方程的通解为
由，即，得，于是
又由初始条件可知z应取正值，所以
分离变量得
积分得此方程通解为
由y(0)=0得，因此所求初值问题的解为
例 4 求下列方程的解：
解 （1）特征方程为，解得特征根为，故原方程的通解为
（2）特征方程为，解得特征根为，故原方程的通解为
（3）特征方程为，解得特征根为，
故原方程的通解为
例 5 求方程的通解解 特征方程有特征根 右端自由项
其中
由于对应于的特解形式不同，我们分别求其解，然后用叠加原理.
对于方程，右端自由项为
由于0不是特征根，应设其特解的形式为
其中A、B、C为待定系数，将代入方程，得
令等式两端x同时幂系数相等，得
由此解得，于是
对于方程
（2.14）
右端自由项中3x是一次多项式，又1是单特征根，应设特解的形式为
其中A、B是待定系数，将代入方程(2.14)，得
于是可确定，故
由叠加原理，原方程通解为
例 6 求微分方程的一个特解.
解 所给方程式二阶常系数非齐次线性方程，且属于型（其中）与所给方程对应的齐次方程为
它的特征方程为
由于这里不是特征方程的根，所以应设特解为
把它代入所给方程，得
比较两端同类项的系数，得
由此解得，于是求得一个特解为
例 7 求方程的通解.
解 特征方程有特征根.右端自由项为
，
其中是零次多项式.由于是特征根，故特解应具有形式
，
把代入原方程并化简得
，
比较两端，于是
，
从而原方程通解为
.
