1,题目解：








,
1-n
n
1
n
,
n
n
0
n
]
n
n
1
n
0
n
[
2n
2n
1
2n
0
2n
)1()1()1(
2
2
2
n
n
nnn
xx
xx
xxx
比较 n次方系数即可证。
2,题目解,?


100
0
10084
100
1008410084
1)(
)](1[)1(
k
kkk
xxC
xxxx?
分析 的结构可知仅当时有 项
kxx )( 84? 5,4,3?k
20x
233100 3 CCk 系数时，
344100 4 CCk 系数时，
055100 5 CCk 系数时，
三个系数相加即为所求
3,题目解：
用指数型母函数，可得母函数
33242 )1()1()( xxxxxxG
系数即为所求。10 x?
4,题目解,A,B,C,D组成的全排列数为
xe
xx
P
4
4
2
)
!2!1
1(

出现 A后，其后续字母必为 A,B,C,D
中的一个，其概率相等。
xx
x
eee
x
x
x
P
4
15
4
3
3
2
3
]
!2
)
4
3(
4
3
1[)
!1
1(


AB至少出现一次的排列为

0
4
15
4
!
)
4
15
(4
n
n
nn
x
x
x
n
eePPP
排列数为
nn
na )4
15(4
5,题目解,对符合题设要求的排列如果 0可以出现在最高位，则可得母函数：
!
)1224(
4
1
)12(
4
1
)](
2
1
[
)
!4!2
1()
!2
1()(
0
24
22
2
42
2
2
n
x
ee
eee
xxx
xxG
n
n
nn
xx
xxx





但是对 n位四进制数来说最高位不能为
0。
)1224(41 nnna
)243(
4
1
)]1224()1224[(
4
1
1
11
1
nn
nnnn
nnn
aaa




6,题目解：
参见第四题解答前半部分。
7,题目解,题设中序列的母函数为：




0
0
!
)1()1)((
),(
),(
),1(),()(
k
k
k
k
k
x
n
knknk
xnknC
xnknC
xnnCnnCxG
由 $4性质 3得,上式 1)1(
1
nx
8,题目解：
等式的右端相当于从 n+m+1个球中取
n+1个球的组合。
把这 n+m+1个球编号，如果取出的 n+1
个球中最小编号是一，则得到如果最小编号是二则得到如果最小编号是 m则得到 。
可证
),( nmnC? ),1( nmnC
),( nnC

9,题目解,由推导过程知
61
))(l n (
63
1
2
1
1
)
3
1
2
1
1(
1
))(l n (
2
2
22
22



x
x
xG
x
x
xG

n
x
n
x
x
x
n
x
x
p
x
npxG
n
n




61
1
ln
61
ln
1
lnln))(l n (
2
2
令 xnx
xy 1ln
61
2


求导得 2
2
2 6)1(
1
x
n
x
y

令即
0y
0
6)1(
1
2
2
2 x
n
x
解得
1
6
6 ),1,0(
6
6
21 n
nx
n
nx
将 代入 得1x y
ny
3
2?
n
n ep
3
2

10,题目解：
把单位看成元素，共 12个元素其中 第 1单位有 3个第 2单位有 4个第 3单位有 5个则命题可看成从 12个元素中取 8个的组合。母函数为：
)1(
)1()1()(
5432
43232
xxxxx
xxxxxxxxG


其中 项系数为所求8x
11,题目解：
用归纳法可证明：
1）当 k=1时命题成立
2）设当 k=N时命题成立即 N可唯一表示成不同且不相邻的 F
数之和。
则当 k=N+1时，明显可以分成 N的序列再加上 1（ ），但这可能会不能满足
“不同且不相邻”的条件。
下面予以讨论
2F
先讨论相邻的,明显若有,则可用 代替。以此类推可解决相邻问题。
再讨论相同,可把超过 1个的分解为 再用结决相邻问题的方法即可解决命题得证
iF iF 1?iF
2?iF
iF iF
1?iF 2?iF
12,题目解：
设 n个满足条件的平面把空间分成 个域
n-1个满足条件的平面把空间分成 个域则第 n个平面与这 n-1个平面有 n-1条交线，
且这些两两相交，任三线不共点。
第 n个平面被这 n-1条线分成 个域增加了 个域。可得
na
1?na
21 nC?
21 nC?
1,2,1 0121 aaCaa nnn
设




32 3210
n
A
n
AnAAa n
解得
1
1
1
1
3
2
1
0
A
A
A
A




32
1
nn
na n
13,题目解：
当 n位二进制数最高位为 1时最高位为 0时，次高位必为 1
1 nn hh
2 nn hh
21 nnn hhh
即 是 F数列nh 2
)
2
51(
5
1
nh
14,题目解：
设 n为偶数
1）先把 n-1个盘通过 C移到 B
2） 把第 n个盘移到 C
3） 把 n-3个盘通过 C移到 A
4） 把第 n-2个盘移到 B
对 n为奇数时上述四步仍然成立，但是 B、
C对调。
)3(1)3(1)1()( nknhnhnk
其中 2)0(,2)2(,1)1( kkk
)(kh 为 Hanota数列。
15,题目解：
这是一个错排问题把某种排列状态看成暂时状态则
1)1()1( 1mnmn DmDN
16,题目解,把 AD看成 1
则 AB为 2
51?
AD
AB
BB
AD
ADABABABBB

2
51
2
15
1
2
15
\
1
11
A B C DCBCB 11
同理可得其他矩形相似满足条件的 n条直线把平面分成 个域，
其中 n-1条直线分割成的域数为,第 n
条直线与这 n条直线均相交。
被分成 n-1+1=n段。
增加的域数为 n。
17,题目解：
na
1?na
2,1,101 aanaa nn


2
1
1
1
1
2
2
1
0
210
n
na
A
A
A
n
AnAAa
n
n
设解得
18,题目解：n-1个点把圆分为 部分，加上第 n个点则增加了 n-1条弦增加第 1条弦，被其他弦分成 0段增加第 2条弦，被其他弦分成 1x(n-2-1)段
…………
增加第 n-2条弦，被其他弦分成 (n-3)(n-2-
n+3)段增加第 n-1条弦，被其他弦分成 0段
n
n
aa nn


3
1
1
na
19,题目解：
设 n-1位不出现 11的个数为
n-2位不出现 11的个数为
n位不出现 11的个数为则 n
a 2?n
a 1?na
3,2,1,0 21021
21




aaaaaa
aaa
nnn
nnn
即特征方程为
2
51
,
2
51
01
21
2


xx
xx
设代入得
nn BxAx 21?
10
535
10
535
B
A
nn
na )2
51(
10
535)
2
51(
10
535
20,题目解：
设所求为则
na
21 )1()1( nnn anana
21,题目解：
411 )1( nSSS nnn 是 n的 4次方满足第推关系 1 nS
06
1520156
65
4321




nn
nnnnn
SS
SSSSS
设










54321 54321
n
A
n
A
n
A
n
A
n
AS n
代入可解得




5
24
4
60
3
50
2
15
1
1
24
60
50
15
1
5
4
3
2
1
nnnn
A
n
S
A
A
A
A
A
n
22,题目解：
由矩阵的结构知





n
nn K
20
3
20
11
只要求出 K即可
1)1(,2)1(3)( 1 KnKnK n
24,题目解：
当 r是奇数（ >1）时
12 21 raaa rrr
当 r是偶数时
21)1( 21 raraa rrr


4
)6(
4
)3)(1(
nn
nn
a
n
25,题目解：
I 当 n是偶数时对所有符合条件的 来说，每边增加 1
各单位，则可构成符合条件的 。
设短边为 a,b,长边为 c,则 (a+b)-c>=2
即 a+b-2>c-1,对所有符合条件的 来说，每边减少 1各单位，则可构成符合条件的 。
3 rr aa
3?ra
ra
ra
3?ra
3 rr aa
3 rr aa
II 当 n为奇数时由 I的讨论知,比 多了 a+b-c=1
的三角形。
而这种三角形可知
3?rara
2
1 nba
当 能被 2整除时，这种三角形有个 2
1?n
2
1?n
当 不能被 2整除时，这种三角形有个
2
1?n
2
1?n
4
)1( 2
1
3


n
nn
n
aa
(2)
]
8
)1(
)1(
8
)1(
[
2
1
1
2
1
3




n
n
n
nn
nn
aa