2.5 体积全息图引言
2.5.1 体光栅与布拉格衍射
2.5.2 耦合波理论
2.5.3 角度和波长灵敏性引言
当记录介质较厚 （ 厚度比记录的干涉条纹间距大的多 ）
时,两相干光束在介质内相互作用,形成三维光栅状全息图,称之为体积全息图 。
这种全息图的吸收系数和折射率是周期变化的,它对光的衍射作用如同三维光栅的衍射,再现时,仅当满足布拉格条件时,衍射振幅才最大 。
分析体光栅衍射特性的最基本,最经典的理论模型是
1969年 Bell实验室 Kogelnik建立的一维平面波耦合波理论 。
2.5.1 体光栅与布拉格衍射
1) 介质的相对介电常数?r与空间坐标无关，即常数时，为均匀介质，否则为非均匀介质。
2)?r与电场强度无关的介质称为线性介质，否则为非线性介质。
3) 如果?r的大小与电场在介质中的方向无关，
为各向同性介质，否则，如果电场方向不同，
r就不同，则为各向异性介质。
4) 本章假设记录介质是线性、均匀且各向同性。
物光和参考光都是平面波。
布拉格定律
应该使连续散射波同位相相加，以便使衍射波振幅达到极大值。
当体光栅波矢 K严格等于介质中入射光和衍射光波矢之差时 K=kr-ks,则满足布拉格条件，由足够厚的折射率光栅引起的最佳光衍射便会出现。
布拉格定律（续）
当记录介质是均匀且各向同性时，通过观察波矢图，布拉格定律 K=kr-ks可以改写成如下形式
2? sin?=?
式中?为照明光束在介质内的波长,?为照明光束与峰值条纹面之间的夹角，称为布拉格角，
为条纹面（体光栅）间距。
体光栅的 K矢量图
再现光波波矢 kr满足布拉格条件时，
衍射光波即为原物光波，衍射效率最大。若偏离，则衍射效率迅速下降。
若再现光波长、光栅间距一定，则入射角一定；反之亦然。
体积全息图的评判依据
Klein引入作为评判平面全息图和体积全息图的依据的参量：
Q=2ad/n?2
式中,?a是空气中的波长,d为全息图的厚度，
n为介质的折射率,?为光栅的间距。若将布拉格定律代入上式，则为
Q=4?dsin?/?
大多数体积全息图都有 Q>>10.
体全息图的分类
体全息图主要可分为透射和反射两种，其主要区别在于记录时物光和参考光的传播方向不同而造成体全息图内部干涉层面的不同趋向，从而使两者在再现特性上有所区别。
透射体全息图
物光和参考光从介质的同侧入射，介质内干涉面几乎与介质表面垂直，并且再现时表现为较强的角度选择性。当用白光再现时，入射角度的改变将引起再现像波长的改变。
反射体全息图
物光和参考光从介质的两侧相向射入，介质内干涉面几乎与介质表面平行，并且再现时表现为较强的波长选择性。反射体全息能避免色串扰的出现。
一种特殊类型的体全息图
物光和参考光在介质内部相交，光栅区是两光束的交叉区，此时并不能明确将该全息图归属于透射或反射类型。
2.5.2 耦合波理论
引言
体全息图中的波动方程
体全息图中的耦合波方程
耦合波方程的解及边界条件
两种最简单的体全息图的衍射效率引言
本章的目的是为了分析体全息图的衍射效率及各种因素对衍射效率的影响。
当前较完善的理论是从麦克斯韦方程出发，根据记录介质在有调制的情况下的电学或光学常数，直接求解描述照明光波和衍射光波的耦合微分方程组，可以求出在各种情况下衍射效率的公式。
耦合波理论的研究现状
1969年,Kogelnik,一维的无限大平面波耦合波理论
六十年代末到八十年代初,Solyma等人提出了有限宽度光束的耦合波理论
八十年代初,B.Benlarbi,等人提出了用傅立叶分解的频谱分析方法分析高斯光束的布拉格衍射情况。
耦合波理论的研究现状（续）
七十年代末到八十年代初,Gaylod等人提出了 RCWT,各向同性介质
八十年代中期到现在,RCWT被用于各向异性介质
在 1998年,Chen-Wen Tarn发表了也一篇关于高斯光束在各向异性中布拉格衍射的文章耦合波理论模型的建立方法
1) 根据光波的偏振方向，确定使用哪种波动方程；
2) 假定是在线性记录条件下，从而可以认为介电常数
（或折射率）和导电率（或吸收系数）与记录光的干涉条纹具有相同的分布，即包含
3) 再现时，写出光栅区中任一点的总电场，并将其代入波动方程，推导出耦合波方程。
4) 在适当的边界条件下解耦合波方程，推导出衍射光在出射面上的分布。
)e x p ()e x p ( rKjrKj
体全息图中的波动方程麦克斯韦方程
)4(0
)3(0
)2(
)1(
0
0
B
D
E
t
E
H
t
H
E
r
体全息图中的波动方程（续）
对式（ 1）求旋度
)5()()( 00 HttHE?
式（ 2）对 t求导数
)6()( 2
2
0 t
E
t
EH
t r?
于是有
)7()()( 2
2
000 t
E
t
E
t
HE
r?
体全息图中的波动方程（续）
由矢量公式
)8()()( 2 EEE
方程（ 9）被称为矢量波动方程。这是因为方程
（ 9）包含了 分量。当然方程（ 9）在一定的条件下可以进一步简化为标量波动方程。
根据方程（ 7）、（ 8），对于角频率为?的光场的复振幅满足的波动方程为
)9(0)()( 00022 EEjE r
zyx,、
体全息图中的波动方程（续）
下面进行简化式（ 3）也可以写成
)10(0)( 0 ED r
另一方面有
)11(0)()( 000 EEE rrr
在线性记录条件下，介电常数（或折射率）和导电率（或吸收系数）按余弦规律变化，它们是 x,z的函数，即在 y方向介电常数和导电率是常数，在 xz面内是按余弦规律变化。
体全息图中的波动方程（续）
当电场 的偏振方向垂直于波矢与光栅矢量决定的平面时，称为 TE模偏振或 H模偏振或 s偏振 ;
当电场 的偏振方向位于波矢与光栅矢量决定的平面时，称为 TM模偏振或 E模偏振或
p偏振。
在这里，当电场 的偏振方向平行于 y 轴时，称为 s偏振，当电场 的偏振方向位于
xz平面时，称为 p偏振。
E?
E?
E?
E?
体全息图中的波动方程（续）
)12(0)( 0 rE
于是 )13(0 E?
因此，矢量波动方程（ 9）可以简化为如下标量波动方程
)14(022 EqE
对于 s偏振，根据（ 11）式式中
)15(00022 jq r
体全息图中的波动方程（续）
因此，在继续本文的讨论中，首先利用了如下两个假定条件
（ 1）在线性记录条件下，介电常数（或折射率）和导电率（或吸收系数）按余弦规律变化，它们是 x,z的函数；
（ 2）照明光波是 s偏振光。
根据假设（ 1），应有
)17()c o s (
)16()c o s (
0
0
rK
rKrrr
体全息图中的波动方程（续）
现在我们来分析复空间角频率 q所含参量。将式
（ 16）、（ 17）代入（ 15），得到
)18()c o s ()(
)]c o s ([
)]c o s ([
0
2
000
2
00
000
22
rKjk
jk
rKj
rKq
r
r
rr
式中
0022222 /)/2( ck
体全息图中的波动方程（续）
将方程（ 18）改写成如下形式
)19()e x p ()e x p (22
)e x p ()e x p (22
)c o s ()
22
(2
2
2
2
2/1
0
0
2/1
0
2/1
0
002/1
0
2/1
0
2
rKjrKjkkjk
rKjrKjjkk
rK
k
jk
k
jkkq
DDD
DD
rr
r
r
rr
体全息图中的波动方程（续）
在（ 19）式中，各参数为
)20(
2
);
2
(
2
1;
2;
2/1
0
0
2/1
0
2/1
0
002/1
0
rr
r
r
rD
k
jk
k
kk
其中 kD是光波在介质中的空间角频率,?是介质的平均吸收系数, 是吸收常量的空间调制振幅,?是耦合矢量。
体全息图中的波动方程（续）
利用光学常数和电学常数的关系
)21(2 rn
对（ 21）式求导，可以得到
)22(
2 r
rn
根据（ 22）和（ 20）式，可以得到
)23(
2;
2;
2;
0
0
0
00
0
nk
jn
kn
knk
D
体全息图中的波动方程（终 ）
至此，我们已经推导出体全息图中的波动方程。
即
)24(022 EqE式中
)26(
2;
2;
2;
0
0
0
00
0
nk
jn
kn
knk
D
式中?为真空中的波长。
)25()e x p ()e x p (2222 rKrKjkkjkq DDD
体全息图中的耦合波方程
现在我们对体全息图中的波动方程求解，推导出耦合波方程。在解方程之前，先作一些简化假设：
（ 1）光栅被恒定振幅的平面光波形成和再现；
（ 2）照明光波以布拉格角或在其附近入射，因此在全息图中只有两个光波，照明光波和 +1级衍射光波，
而忽略其它所有的衍射级；
（ 3）照明光波是 s偏振；
（ 4）光波复振幅的变化与其波长相比是很小的，因此，
光波振幅的二阶微分也可以忽略；
（ 5）全息图有足够的厚度。
体全息图中的耦合波方程（续）
设再现光波和衍射光波的复振幅为：
)28()e x p ()(?
)27()e x p ()(?
rkjzEyS
rkjzEyR
ss
rr
式中 Er(z)和 Es(z)分别是再现光和衍射光的振幅，
假定它们仅是 z的函数。 注意,这一假定只有在记录时，物光和参考光的记录角度比较小时，
才近似成立。这一假定也是 Kogelnik耦合波理论的局限性之一。作为初学，我们不管局限性，
承认该假定。
体全息图中的耦合波方程（续）
由右图可知：
)30(c o s?s in?
)29(c o s?s in?
sssss
rDrDr
kzkxk
kzkxk
体全息图中的耦合波方程（续）
在体全息图中，任一点都有再现光和衍射光相叠加，
所以任一点的电场 是再现光和衍射光复振幅之和，
即 E
)31()]e x p ()()e x p ()([? rkjzErkjzEyE ssrr
应当指出上式中的位相因子是快变化的，振幅
Er(z)和 Es(z)是慢变化的。将（ 31）式代入波动方程（ 24）。
体全息图中的耦合波方程（续）
波动方程（ 24）的第一项为
)32()e x p(]2[?
)e x p(]2[?
)(
2'2
2'2
222
2
rkjEkEjkEy
rkjEkEjkEy
E
zyx
E
ssssszs
rrDrrzr
波动方程（ 24）的第二项为体全息图中的耦合波方程（续）
)33(
])(e x p[])(e x p[2
])(e x p[])(e x p[2
)e x p()2(
)e x p()2(
)]e x p()e x p([
)]e x p()[ e x p(2)2(?
2
2
22
rKkjrKkjEk
rKkjrKkjEk
rkjEkjk
rkjEkjk
rkjErkjE
rKjrKjkkjkyEq
sssD
rrrD
ssDD
rrDD
ssrr
DDD
体全息图中的耦合波方程（续）
按照上述简化假设第 2条，再现光波接近于布拉格入射，只有 +1级衍射光波。所以（ 33）
式中含
])(e x p [])(e x p [ rKkjrKkj sr 和上式第一项代表 +1级衍射，第二项代表
m级衍射。
的项应当忽略。因为
KmkkKkk rsrs,
体全息图中的耦合波方程（续）
将（ 32）和（ 33）式相加，并令含项的系数分别等于零，并且按照假设（ 4）忽略二阶微分，可以得到如下耦合波方程
)e x p ()e x p ( rkjrkj sr 和
)35(022)(2
)34(0222
22'
'
rDsDssDssz
sDrDrrz
EKEkjEkkEjk
EKEkjEjk
体全息图中的耦合波方程（续）
*因为
szsx
D
r
D
rD
rs
kzkx
k
K
z
k
K
xk
Kkk
)]c o s( c o s?)s in( s in?[
其中，衍射光的方向余弦
)36(c osc os/c os
s ins in/s in
s
rDszs
s
rDsxs
k
K
kk
k
K
kk
体全息再现的几何关系体全息图中的耦合波方程（续）
那么
)37(]
2
)c o s ([2
])c o s( c o s)s in[ ( s in
2
2222
22
D
rD
D
r
D
rDD
sD
k
K
Kk
k
K
k
K
kk
kk
引入新的参量?
)38(
4
)c o s (2/)(
0
2
22
n
KKkkk
rDsD?
体全息图中的耦合波方程（续）
现在分析一下各参数的作用。由（ 38）式知道
与角度?r 和波长?有关。设
)39(00 ；r
式中,?0是布拉格入射角,?0是与之对应的正确波长,和分别表示它们偏离布拉格条件时的偏移量。将（ 39）式代入（ 38）式，就得到偏移量和表示的参量?为
)40(
4
)s in (
0
2
0 n
KK
r?
体全息图中的耦合波方程（终 ）
因此，耦合波方程（ 34）、（ 35）可以改写成
)42(
c osc os
)41(
c osc os
r
s
s
s
s
s
r
r
r
r
EjE
j
dz
dE
EjE
dz
dE
耦合波方程的解及边界条件
下面来求解耦合波方程（ 41）、（ 42）。联立方程（ 41）、（ 42）消去 Es,可以得到
)44(0
c o sc o s
)
c o sc o s
(
22
'
2
r
sr
r
sr
r EjEj
dz
dE
这是一个常系数二阶微分方程，它的通解形式为
)45()e x p ()e x p ()( 2211 zEzEzE rrr
同理，可以得到
)46()e x p ()e x p ()( 2211 zEzEzE sss
耦合波方程的解及边界条件
（续）
式中
)47(]
c osc os
4
)
c osc os
[(
2
1
)
c osc os
(
2
1
2/1
2
2
2,1
srsr
sr
j
j
Er1,Er2,Es1,Es2是未知的复常数，需要根据全息图再现时的边界条件来确定边界条件（透射全息图）（续）
根据边界条件按照式
（ 45）、（ 46）求出
Er,Es就可以计算衍射效率。边界条件与全息图的类型有关。假定再现光在 z=0处振幅为 1，自左向右传播，
如图所示。在透射全息图中，衍射光波在
z=0处振幅为 0。则边界条件写成
)49(0)0(
)48(1)0(
21
21
sss
rrr
EEE
EEE
边界条件（透射全息图）（续）
由边界条件（ 49）可知
)50(21 ss EE
代入式（ 46）中，并对 z求导数得：
)51()()0( 121' ss EE
代入耦合波方程（ 42），并利用边界条件（ 48）、
（ 49），得到
)53()](/ [ c o s
)52()](/ [ c o s
212
211
ss
ss
jE
jE
将（ 52）、（ 53）代入式（ 46），并令 z=d，
就得到衍射光在出射面上的振幅分布为边界条件（透射全息图）（续）
)54()]e x p ()[ e x p ()(c o s)( 12
21
ddjdE
s
s
这样透射体全息图衍射效率的一般公式就可以写成
)55()()(c o sc o s * dEdE ss
r
s
边界条件（反射全息图）（续）
反射体全息图的特点是衍射光波与再现光波的方向相反，如右图所示。在反射全息图中，衍射光波在
z=d处振幅为 0。则边界条件写成
)57(0)e x p ()e x p ()(
)56(1)0(
2211
21
dEdEdE
EEE
sss
rrr
将通解表达式（ 45）、（ 46）式代入方程（ 42），
并令 z=0,考虑边界条件（ 56），得到边界条件（反射全息图）（续）
)58())(()(c o s 212211 sssss EEjEEj
通解表达式（ 46）知
)59()0( 21 sss EEE
根据边界条件（ 57），可以得到
)61()e x p ()()]e x p ()[ e x p (
)60()e x p ()()]e x p ()[ e x p (
121122
221121
dEEddE
dEEddE
sss
sss
边界条件（反射全息图）（续）
于是，式（ 58）中右边第一项成为
)62(
)e x p ()e x p (
)e x p ()e x p (
)(c o s
)(c o s
12
1221
21
2211
dd
dd
EE
EE
sss
sss
将（ 62）式代入（ 58）式中得到
)63(
)e x p()e x p(
)e x p()e x p(
c os)0(
1
12
1221
dd
dd
jjE ss
边界条件（反射全息图）（终）
这样，反射体全息图衍射效率的一般公式为
)64()0()0(
c o s
c o s *
ss
r
s EE
无吸收透射位相光栅
对于无吸收透射位相光栅，吸收系数?=0，衍射光的改变由折射率的空间变化而产生。这时，它的衍射效率为
)65(
)/(1
)(s in
2
2
1
222
式中
)66(
c o s2
)c o s( c o s 2
1
s
sr
dnd
无吸收透射位相光栅（续）
当读出光满足布拉格条件入射时，则有布拉格偏移量?=0，此时衍射效率为
)66(s in 2
上式表明，在满足布拉格条件入射时，衍射效率将随介质的厚度 d或其空间折射率的空间调制幅度?n的增加而增加，直到调制参量?=?/2。
这时，衍射效率?0达到 100%
无吸收透射位相光栅（续）
无吸收反射位相光栅
对于无吸收反射位相光栅，衍射效率为
)67(
])/(1[)(
)(
22/1222
2/1222
sh
sh
无吸收反射位相光栅
2.5.3 角度和波长灵敏性
引言
水平角度选择性
垂直角度选择性
波长选择性引言
不管是透射光栅还是反射光栅，其衍射效率对再现光束的角度或波长的变化都非常灵敏。
形成光栅的两写入光束所组成的平面称为水平面；与该平面垂直的平面称为垂直面。
再现光在水平面内的变化称为水平角度选择性，
在垂直面内的变化称为垂直角度选择性。
水平角度选择性
对应着?-?曲线的主瓣全宽度定义为水平选择角，用
（ =2）表示。
水平选择角是在再现光波长与记录时的波长相同，即
=0的条件下给出的。
1/2
1/2
垂直角度选择性
当再现光束在垂直于两写入光束组成的平面内扫描再现时，存在垂直角度选择性的问题；
垂直角度选择性（续）
若在水平面内用参考角?r在 i点记录了一个全息图，当用该光束在垂直面内扫描再现时，即从图中点 i沿垂直线变动到点 j时,若衍射像消失，则将该光束在垂直面内扫过的角度的两倍称为垂直选择角。
垂直角度选择性（续）
垂直角度选择性（终）
波长选择性波长选择性（续）
反射全息图对波长的偏离比透射全息图要灵敏的多，而且带宽几乎不随两写入光夹角的变化而变化。
波长选择性（续）
随参考光入射角的增大，透射全息图的波长灵敏度逐渐提高，而反射全息图逐渐降低。当参考角大约为 410时，
具有相同带宽。
作 业
1、请详细描述 Kogelnik耦合波理论的建立方法及建立的条件，并解释耦合系数?和相位失配因子?的物理意义。（不用给出具体的方程及表达式）
2.5.1 体光栅与布拉格衍射
2.5.2 耦合波理论
2.5.3 角度和波长灵敏性引言
当记录介质较厚 （ 厚度比记录的干涉条纹间距大的多 ）
时,两相干光束在介质内相互作用,形成三维光栅状全息图,称之为体积全息图 。
这种全息图的吸收系数和折射率是周期变化的,它对光的衍射作用如同三维光栅的衍射,再现时,仅当满足布拉格条件时,衍射振幅才最大 。
分析体光栅衍射特性的最基本,最经典的理论模型是
1969年 Bell实验室 Kogelnik建立的一维平面波耦合波理论 。
2.5.1 体光栅与布拉格衍射
1) 介质的相对介电常数?r与空间坐标无关，即常数时，为均匀介质，否则为非均匀介质。
2)?r与电场强度无关的介质称为线性介质，否则为非线性介质。
3) 如果?r的大小与电场在介质中的方向无关，
为各向同性介质，否则，如果电场方向不同，
r就不同，则为各向异性介质。
4) 本章假设记录介质是线性、均匀且各向同性。
物光和参考光都是平面波。
布拉格定律
应该使连续散射波同位相相加，以便使衍射波振幅达到极大值。
当体光栅波矢 K严格等于介质中入射光和衍射光波矢之差时 K=kr-ks,则满足布拉格条件，由足够厚的折射率光栅引起的最佳光衍射便会出现。
布拉格定律（续）
当记录介质是均匀且各向同性时，通过观察波矢图，布拉格定律 K=kr-ks可以改写成如下形式
2? sin?=?
式中?为照明光束在介质内的波长,?为照明光束与峰值条纹面之间的夹角，称为布拉格角，
为条纹面（体光栅）间距。
体光栅的 K矢量图
再现光波波矢 kr满足布拉格条件时，
衍射光波即为原物光波，衍射效率最大。若偏离，则衍射效率迅速下降。
若再现光波长、光栅间距一定，则入射角一定；反之亦然。
体积全息图的评判依据
Klein引入作为评判平面全息图和体积全息图的依据的参量：
Q=2ad/n?2
式中,?a是空气中的波长,d为全息图的厚度，
n为介质的折射率,?为光栅的间距。若将布拉格定律代入上式，则为
Q=4?dsin?/?
大多数体积全息图都有 Q>>10.
体全息图的分类
体全息图主要可分为透射和反射两种，其主要区别在于记录时物光和参考光的传播方向不同而造成体全息图内部干涉层面的不同趋向，从而使两者在再现特性上有所区别。
透射体全息图
物光和参考光从介质的同侧入射，介质内干涉面几乎与介质表面垂直，并且再现时表现为较强的角度选择性。当用白光再现时，入射角度的改变将引起再现像波长的改变。
反射体全息图
物光和参考光从介质的两侧相向射入，介质内干涉面几乎与介质表面平行，并且再现时表现为较强的波长选择性。反射体全息能避免色串扰的出现。
一种特殊类型的体全息图
物光和参考光在介质内部相交，光栅区是两光束的交叉区，此时并不能明确将该全息图归属于透射或反射类型。
2.5.2 耦合波理论
引言
体全息图中的波动方程
体全息图中的耦合波方程
耦合波方程的解及边界条件
两种最简单的体全息图的衍射效率引言
本章的目的是为了分析体全息图的衍射效率及各种因素对衍射效率的影响。
当前较完善的理论是从麦克斯韦方程出发，根据记录介质在有调制的情况下的电学或光学常数，直接求解描述照明光波和衍射光波的耦合微分方程组，可以求出在各种情况下衍射效率的公式。
耦合波理论的研究现状
1969年,Kogelnik,一维的无限大平面波耦合波理论
六十年代末到八十年代初,Solyma等人提出了有限宽度光束的耦合波理论
八十年代初,B.Benlarbi,等人提出了用傅立叶分解的频谱分析方法分析高斯光束的布拉格衍射情况。
耦合波理论的研究现状（续）
七十年代末到八十年代初,Gaylod等人提出了 RCWT,各向同性介质
八十年代中期到现在,RCWT被用于各向异性介质
在 1998年,Chen-Wen Tarn发表了也一篇关于高斯光束在各向异性中布拉格衍射的文章耦合波理论模型的建立方法
1) 根据光波的偏振方向，确定使用哪种波动方程；
2) 假定是在线性记录条件下，从而可以认为介电常数
（或折射率）和导电率（或吸收系数）与记录光的干涉条纹具有相同的分布，即包含
3) 再现时，写出光栅区中任一点的总电场，并将其代入波动方程，推导出耦合波方程。
4) 在适当的边界条件下解耦合波方程，推导出衍射光在出射面上的分布。
)e x p ()e x p ( rKjrKj
体全息图中的波动方程麦克斯韦方程
)4(0
)3(0
)2(
)1(
0
0
B
D
E
t
E
H
t
H
E
r
体全息图中的波动方程（续）
对式（ 1）求旋度
)5()()( 00 HttHE?
式（ 2）对 t求导数
)6()( 2
2
0 t
E
t
EH
t r?
于是有
)7()()( 2
2
000 t
E
t
E
t
HE
r?
体全息图中的波动方程（续）
由矢量公式
)8()()( 2 EEE
方程（ 9）被称为矢量波动方程。这是因为方程
（ 9）包含了 分量。当然方程（ 9）在一定的条件下可以进一步简化为标量波动方程。
根据方程（ 7）、（ 8），对于角频率为?的光场的复振幅满足的波动方程为
)9(0)()( 00022 EEjE r
zyx,、
体全息图中的波动方程（续）
下面进行简化式（ 3）也可以写成
)10(0)( 0 ED r
另一方面有
)11(0)()( 000 EEE rrr
在线性记录条件下，介电常数（或折射率）和导电率（或吸收系数）按余弦规律变化，它们是 x,z的函数，即在 y方向介电常数和导电率是常数，在 xz面内是按余弦规律变化。
体全息图中的波动方程（续）
当电场 的偏振方向垂直于波矢与光栅矢量决定的平面时，称为 TE模偏振或 H模偏振或 s偏振 ;
当电场 的偏振方向位于波矢与光栅矢量决定的平面时，称为 TM模偏振或 E模偏振或
p偏振。
在这里，当电场 的偏振方向平行于 y 轴时，称为 s偏振，当电场 的偏振方向位于
xz平面时，称为 p偏振。
E?
E?
E?
E?
体全息图中的波动方程（续）
)12(0)( 0 rE
于是 )13(0 E?
因此，矢量波动方程（ 9）可以简化为如下标量波动方程
)14(022 EqE
对于 s偏振，根据（ 11）式式中
)15(00022 jq r
体全息图中的波动方程（续）
因此，在继续本文的讨论中，首先利用了如下两个假定条件
（ 1）在线性记录条件下，介电常数（或折射率）和导电率（或吸收系数）按余弦规律变化，它们是 x,z的函数；
（ 2）照明光波是 s偏振光。
根据假设（ 1），应有
)17()c o s (
)16()c o s (
0
0
rK
rKrrr
体全息图中的波动方程（续）
现在我们来分析复空间角频率 q所含参量。将式
（ 16）、（ 17）代入（ 15），得到
)18()c o s ()(
)]c o s ([
)]c o s ([
0
2
000
2
00
000
22
rKjk
jk
rKj
rKq
r
r
rr
式中
0022222 /)/2( ck
体全息图中的波动方程（续）
将方程（ 18）改写成如下形式
)19()e x p ()e x p (22
)e x p ()e x p (22
)c o s ()
22
(2
2
2
2
2/1
0
0
2/1
0
2/1
0
002/1
0
2/1
0
2
rKjrKjkkjk
rKjrKjjkk
rK
k
jk
k
jkkq
DDD
DD
rr
r
r
rr
体全息图中的波动方程（续）
在（ 19）式中，各参数为
)20(
2
);
2
(
2
1;
2;
2/1
0
0
2/1
0
2/1
0
002/1
0
rr
r
r
rD
k
jk
k
kk
其中 kD是光波在介质中的空间角频率,?是介质的平均吸收系数, 是吸收常量的空间调制振幅,?是耦合矢量。
体全息图中的波动方程（续）
利用光学常数和电学常数的关系
)21(2 rn
对（ 21）式求导，可以得到
)22(
2 r
rn
根据（ 22）和（ 20）式，可以得到
)23(
2;
2;
2;
0
0
0
00
0
nk
jn
kn
knk
D
体全息图中的波动方程（终 ）
至此，我们已经推导出体全息图中的波动方程。
即
)24(022 EqE式中
)26(
2;
2;
2;
0
0
0
00
0
nk
jn
kn
knk
D
式中?为真空中的波长。
)25()e x p ()e x p (2222 rKrKjkkjkq DDD
体全息图中的耦合波方程
现在我们对体全息图中的波动方程求解，推导出耦合波方程。在解方程之前，先作一些简化假设：
（ 1）光栅被恒定振幅的平面光波形成和再现；
（ 2）照明光波以布拉格角或在其附近入射，因此在全息图中只有两个光波，照明光波和 +1级衍射光波，
而忽略其它所有的衍射级；
（ 3）照明光波是 s偏振；
（ 4）光波复振幅的变化与其波长相比是很小的，因此，
光波振幅的二阶微分也可以忽略；
（ 5）全息图有足够的厚度。
体全息图中的耦合波方程（续）
设再现光波和衍射光波的复振幅为：
)28()e x p ()(?
)27()e x p ()(?
rkjzEyS
rkjzEyR
ss
rr
式中 Er(z)和 Es(z)分别是再现光和衍射光的振幅，
假定它们仅是 z的函数。 注意,这一假定只有在记录时，物光和参考光的记录角度比较小时，
才近似成立。这一假定也是 Kogelnik耦合波理论的局限性之一。作为初学，我们不管局限性，
承认该假定。
体全息图中的耦合波方程（续）
由右图可知：
)30(c o s?s in?
)29(c o s?s in?
sssss
rDrDr
kzkxk
kzkxk
体全息图中的耦合波方程（续）
在体全息图中，任一点都有再现光和衍射光相叠加，
所以任一点的电场 是再现光和衍射光复振幅之和，
即 E
)31()]e x p ()()e x p ()([? rkjzErkjzEyE ssrr
应当指出上式中的位相因子是快变化的，振幅
Er(z)和 Es(z)是慢变化的。将（ 31）式代入波动方程（ 24）。
体全息图中的耦合波方程（续）
波动方程（ 24）的第一项为
)32()e x p(]2[?
)e x p(]2[?
)(
2'2
2'2
222
2
rkjEkEjkEy
rkjEkEjkEy
E
zyx
E
ssssszs
rrDrrzr
波动方程（ 24）的第二项为体全息图中的耦合波方程（续）
)33(
])(e x p[])(e x p[2
])(e x p[])(e x p[2
)e x p()2(
)e x p()2(
)]e x p()e x p([
)]e x p()[ e x p(2)2(?
2
2
22
rKkjrKkjEk
rKkjrKkjEk
rkjEkjk
rkjEkjk
rkjErkjE
rKjrKjkkjkyEq
sssD
rrrD
ssDD
rrDD
ssrr
DDD
体全息图中的耦合波方程（续）
按照上述简化假设第 2条，再现光波接近于布拉格入射，只有 +1级衍射光波。所以（ 33）
式中含
])(e x p [])(e x p [ rKkjrKkj sr 和上式第一项代表 +1级衍射，第二项代表
m级衍射。
的项应当忽略。因为
KmkkKkk rsrs,
体全息图中的耦合波方程（续）
将（ 32）和（ 33）式相加，并令含项的系数分别等于零，并且按照假设（ 4）忽略二阶微分，可以得到如下耦合波方程
)e x p ()e x p ( rkjrkj sr 和
)35(022)(2
)34(0222
22'
'
rDsDssDssz
sDrDrrz
EKEkjEkkEjk
EKEkjEjk
体全息图中的耦合波方程（续）
*因为
szsx
D
r
D
rD
rs
kzkx
k
K
z
k
K
xk
Kkk
)]c o s( c o s?)s in( s in?[
其中，衍射光的方向余弦
)36(c osc os/c os
s ins in/s in
s
rDszs
s
rDsxs
k
K
kk
k
K
kk
体全息再现的几何关系体全息图中的耦合波方程（续）
那么
)37(]
2
)c o s ([2
])c o s( c o s)s in[ ( s in
2
2222
22
D
rD
D
r
D
rDD
sD
k
K
Kk
k
K
k
K
kk
kk
引入新的参量?
)38(
4
)c o s (2/)(
0
2
22
n
KKkkk
rDsD?
体全息图中的耦合波方程（续）
现在分析一下各参数的作用。由（ 38）式知道
与角度?r 和波长?有关。设
)39(00 ；r
式中,?0是布拉格入射角,?0是与之对应的正确波长,和分别表示它们偏离布拉格条件时的偏移量。将（ 39）式代入（ 38）式，就得到偏移量和表示的参量?为
)40(
4
)s in (
0
2
0 n
KK
r?
体全息图中的耦合波方程（终 ）
因此，耦合波方程（ 34）、（ 35）可以改写成
)42(
c osc os
)41(
c osc os
r
s
s
s
s
s
r
r
r
r
EjE
j
dz
dE
EjE
dz
dE
耦合波方程的解及边界条件
下面来求解耦合波方程（ 41）、（ 42）。联立方程（ 41）、（ 42）消去 Es,可以得到
)44(0
c o sc o s
)
c o sc o s
(
22
'
2
r
sr
r
sr
r EjEj
dz
dE
这是一个常系数二阶微分方程，它的通解形式为
)45()e x p ()e x p ()( 2211 zEzEzE rrr
同理，可以得到
)46()e x p ()e x p ()( 2211 zEzEzE sss
耦合波方程的解及边界条件
（续）
式中
)47(]
c osc os
4
)
c osc os
[(
2
1
)
c osc os
(
2
1
2/1
2
2
2,1
srsr
sr
j
j
Er1,Er2,Es1,Es2是未知的复常数，需要根据全息图再现时的边界条件来确定边界条件（透射全息图）（续）
根据边界条件按照式
（ 45）、（ 46）求出
Er,Es就可以计算衍射效率。边界条件与全息图的类型有关。假定再现光在 z=0处振幅为 1，自左向右传播，
如图所示。在透射全息图中，衍射光波在
z=0处振幅为 0。则边界条件写成
)49(0)0(
)48(1)0(
21
21
sss
rrr
EEE
EEE
边界条件（透射全息图）（续）
由边界条件（ 49）可知
)50(21 ss EE
代入式（ 46）中，并对 z求导数得：
)51()()0( 121' ss EE
代入耦合波方程（ 42），并利用边界条件（ 48）、
（ 49），得到
)53()](/ [ c o s
)52()](/ [ c o s
212
211
ss
ss
jE
jE
将（ 52）、（ 53）代入式（ 46），并令 z=d，
就得到衍射光在出射面上的振幅分布为边界条件（透射全息图）（续）
)54()]e x p ()[ e x p ()(c o s)( 12
21
ddjdE
s
s
这样透射体全息图衍射效率的一般公式就可以写成
)55()()(c o sc o s * dEdE ss
r
s
边界条件（反射全息图）（续）
反射体全息图的特点是衍射光波与再现光波的方向相反，如右图所示。在反射全息图中，衍射光波在
z=d处振幅为 0。则边界条件写成
)57(0)e x p ()e x p ()(
)56(1)0(
2211
21
dEdEdE
EEE
sss
rrr
将通解表达式（ 45）、（ 46）式代入方程（ 42），
并令 z=0,考虑边界条件（ 56），得到边界条件（反射全息图）（续）
)58())(()(c o s 212211 sssss EEjEEj
通解表达式（ 46）知
)59()0( 21 sss EEE
根据边界条件（ 57），可以得到
)61()e x p ()()]e x p ()[ e x p (
)60()e x p ()()]e x p ()[ e x p (
121122
221121
dEEddE
dEEddE
sss
sss
边界条件（反射全息图）（续）
于是，式（ 58）中右边第一项成为
)62(
)e x p ()e x p (
)e x p ()e x p (
)(c o s
)(c o s
12
1221
21
2211
dd
dd
EE
EE
sss
sss
将（ 62）式代入（ 58）式中得到
)63(
)e x p()e x p(
)e x p()e x p(
c os)0(
1
12
1221
dd
dd
jjE ss
边界条件（反射全息图）（终）
这样，反射体全息图衍射效率的一般公式为
)64()0()0(
c o s
c o s *
ss
r
s EE
无吸收透射位相光栅
对于无吸收透射位相光栅，吸收系数?=0，衍射光的改变由折射率的空间变化而产生。这时，它的衍射效率为
)65(
)/(1
)(s in
2
2
1
222
式中
)66(
c o s2
)c o s( c o s 2
1
s
sr
dnd
无吸收透射位相光栅（续）
当读出光满足布拉格条件入射时，则有布拉格偏移量?=0，此时衍射效率为
)66(s in 2
上式表明，在满足布拉格条件入射时，衍射效率将随介质的厚度 d或其空间折射率的空间调制幅度?n的增加而增加，直到调制参量?=?/2。
这时，衍射效率?0达到 100%
无吸收透射位相光栅（续）
无吸收反射位相光栅
对于无吸收反射位相光栅，衍射效率为
)67(
])/(1[)(
)(
22/1222
2/1222
sh
sh
无吸收反射位相光栅
2.5.3 角度和波长灵敏性
引言
水平角度选择性
垂直角度选择性
波长选择性引言
不管是透射光栅还是反射光栅，其衍射效率对再现光束的角度或波长的变化都非常灵敏。
形成光栅的两写入光束所组成的平面称为水平面；与该平面垂直的平面称为垂直面。
再现光在水平面内的变化称为水平角度选择性，
在垂直面内的变化称为垂直角度选择性。
水平角度选择性
对应着?-?曲线的主瓣全宽度定义为水平选择角，用
（ =2）表示。
水平选择角是在再现光波长与记录时的波长相同，即
=0的条件下给出的。
1/2
1/2
垂直角度选择性
当再现光束在垂直于两写入光束组成的平面内扫描再现时，存在垂直角度选择性的问题；
垂直角度选择性（续）
若在水平面内用参考角?r在 i点记录了一个全息图，当用该光束在垂直面内扫描再现时，即从图中点 i沿垂直线变动到点 j时,若衍射像消失，则将该光束在垂直面内扫过的角度的两倍称为垂直选择角。
垂直角度选择性（续）
垂直角度选择性（终）
波长选择性波长选择性（续）
反射全息图对波长的偏离比透射全息图要灵敏的多，而且带宽几乎不随两写入光夹角的变化而变化。
波长选择性（续）
随参考光入射角的增大，透射全息图的波长灵敏度逐渐提高，而反射全息图逐渐降低。当参考角大约为 410时，
具有相同带宽。
作 业
1、请详细描述 Kogelnik耦合波理论的建立方法及建立的条件，并解释耦合系数?和相位失配因子?的物理意义。（不用给出具体的方程及表达式）
