第二章 全息存储的基本原理引言
2.1 全息图的基本描述
2.2 菲涅耳全息图
2.3 像面全息图
2.4 傅立叶变换全息图
2.5 体积全息图引言
物体的全部信息（振幅和相位）
全息术是利用光的干涉和衍射原理，将物体发射的特定光波以干涉条纹的形式记录下来，
并在一定的条件下使其再现，形成原物体逼真的立体像。
全息术的发展
分为四个阶段：
（ 1）是用汞灯作光源，摄制同轴全息图，称为第一代全息。
（ 2）是用激光记录、激光再现的离轴全息图，称为第二代全息。
（ 3）是激光记录、白光再现的全息图，称为第三代全息。主要包括白光反射全息、像全息、彩虹全息、
真彩色全息及合成全息等。
（ 4）是用白光记录、白光再现的全息图，称为第四代全息。
2.1 全息图的基本描述
2.1.1 全息图的记录与再现
2.1.2 全息图的分类
2.1.1 全息图的记录与再现
全息图能够记录物体的全部信息 （ 振幅和相位 ）,实现方法：当两束光相干涉时,其干涉场分布 （ 包括干涉条纹的形状,疏密及明暗分布 ） 与这两束光的波面特性 （ 振幅及相位 ） 密切相关 。 干涉场的分布与波面相位是一一对应的 。 因此,利用干涉场的条纹可以记录物体的全部信息 。
全息图的记录实际上就是物光与参考光的干涉（形成干涉条纹）过程全息图的记录数学模型
全息图平面上设置（ x,y） 坐标，设物光和参考光的复振幅分别为全息图的再现
（ 2-6）式的物理意义
（ 2-6）式的物理意义
第一项与再现光相似，它具有与 C(x,y)完全相同的位相分布，只是振幅分布不同，因而它将以与再现光 C(x,y)相同的方式传播。称为直射光波或 0级光波。
第二项包含有物的相位信息，为原始像光波或 +1级衍射光波。但还含有附加相位。
第三项包含有物的共轭相位信息，称为共轭像光波或 -1级衍射光波。
波前再现的几个特例
再现光与参考光相同
采用与参考光共轭的光波再现再现光与参考光相同
即用原参考光再现，这时有
RCyxRyxC ),,(),( 00
式（ 2-6）变为以下形式
)2e x p (*)e x p ()(),( 202020200 RR jORORjRORyxW
第一项保留了参考光的信息；第二项与原物光波基本无两样，只增加了一个常数因子，因此，正是第二项再现了物光波；第三项为共轭像，它除了与物光波共轭外，还附加了一个相位因子，因而为畸变了的共轭像。
采用与参考光共轭的光波再现
这时有
RCyxRyxC ),,(),( 00
式（ 2-6）变为以下形式
*)2e x p (
)e x p ()(),(
2
0
2
0
2
0
2
00
ORjOR
jRORyxW
R
R
第一项保留了参考光的信息；第二项是畸变了的虚象；第三项是与原物相像的实像，但出现了景深反演，即原来近的部位变远了，原来远的部位变近了，
称其为赝实像。
2.1.2 全息图的分类
按制作方法分类
（ 1）光学记录全息图；（ 2）计算机制作全息图
按照明方式分类
（ 1）透射全息图物光与参考光从记录介质的同一侧入射时。
（ 2）反射全息图物光与参考光分别从记录介质的两侧入射时。
全息图的分类（续）
按全息图的特性分类
（ 1）振幅全息图全息图的复振幅透射系数是实数。
（ 2）位相全息图全息图的复振幅透射系数的振幅不变，仅位相变化。
包括浮雕型和折射率型。
全息图的分类（续）
按光路的布置分类
（ 1）菲涅耳全息图当物体离记录介质的距离较近时。
（ 2）夫琅禾费全息图当物体离记录介质的距离较远时。
（ 3）像面全息图
（ 4）傅立叶变化全息图全息图的分类（续）
按记录介质的厚度分类
（ 1）平面全息图当记录介质的厚度小于所记录干涉条纹的间距时。
（ 2）体积全息图用厚的介质记录三维干涉图样
2.2 菲涅耳全息图
引言
2.2.1 离轴菲涅耳全息
2.2.2 像质分析
2.2.3 菲涅耳全息信息存储引言
菲涅耳全息图直接记录物光波本身，不需要变换透镜和成像透镜，仅要求记录介质与物体的距离满足菲涅耳近似条件。
3222 8/])()[( ooo zyyxx
2.2.1 离轴菲涅耳全息
让均匀平面参考光束离开 z轴?角，物光束和参考光束在记录介质上任一点 (x,y)的复振幅可分别写为离轴菲涅耳全息
在介质上的强度分布为全息图的振幅透过率可写为
透过全息图的光场分布共有四项式中,u1是直透光，它被晕轮光 u2所包围； u3是原物光波（虚象），与直透光成?角； u4为共轭实像，它的指数因子 exp(j4?r?x)表示实像偏离轴一定的角度。
离轴菲涅耳全息图的再现
2.2.2 像质分析
如果系统中任一个参数（如波长、曲率半径等）与原记录系统有所不同，结果都会给再现像带来像差。
像的分辨率还与记录和再现是 参考光源和照明光源的大小,光源的单色性,以及衍射受限有关。
高质量的全息像还应具有高的衍射效率和信噪比。
参考光源和照明光源的大小影响
无论是参考光源还是照明光源，实际光源都有一定大小。实际光源上每一个点作为参考光源会产生全息图上的不同光栅结构，作为再现光源会产生不同的再现像，一个物点将对应产生多个像点，也就是说，用扩展光源作为参考光源和再现光源时会导致再现像的展宽。（这个现象称为线模糊）。
光源非单色性的影响
同实际光源的大小一样，照明光源的线宽
（波长范围有一定宽度）也能引起再现像的展宽。这个现象称为色模糊。如果色模糊量超过人眼或观察系统的分辨率，则影响像的质量。色模糊是由于全息图的光栅结构产生色散现象而引起的。
菲涅耳全息信息存储
系统的读出部分变得简单。
在高分辨率的介质上能产生出高质量的再现像。
为使衍射像分离，参、物光束平均方向之间必须有一定大小的角度，致使多重存储中会降低存储容量，而且物体上每一点的条纹图样都有频率梯度，所以记录介质的分辨率未能被最好利用。
2.3 像面全息图
2.3.1 像面全息图的特点
2.3.2 像面全息用于全息存储
2.3.1 像面全息图的特点
最大特点是可以用扩展的相干光源作参考光进行记录和照明再现，而对再现光源方向的选择性不太灵敏。
2.3.2 像面全息用于全息存储
可充分利用存储介质的空间，提高存储容量。
冗余度低，对像元尺寸及存储全息图的数目有一定的限制
2.4 傅立叶变换全息图
2.4.1 透镜的傅立叶变化性质
2.4.2 傅立叶变换全息图的记录与再现
2.4.3 傅立叶变换全息图的性质
2.4.4 傅立叶变换全息存储
2.4.1 透镜的傅立叶变化性质
傅立叶变换全息图记录的是物光波的傅立叶频谱，其原理是利用透镜的傅立叶变换性质。
利用一个简单的透镜，使原物光波在全息记录介质上形成傅立叶变换图样，从而记录傅立叶变换全息图。
如果光波通过透镜只有位相落后而没有横向位移，称这种透镜为薄透镜。
位于薄透镜中心 xy平面上的透镜透过率的二维分布：
输入面紧靠透镜放置
复振幅透过率 ts(x1,y1)的透明片紧靠着放在焦距为 f的透镜之前，用振幅为 A的单色平面波垂直照明。
透镜后面的复振幅分布为当透明片紧靠薄透镜并用平面波照明时，在其后焦面上所产生的复振幅分布与球面位相因子和透明片透过率的傅立叶变换的乘积成正比。
输入面位于透镜的前焦面上
透镜后焦面上的光场分布
2.4.2 傅立叶变换全息图的记录与再现
将物体置于透镜的前焦面上，在照明光源的共轭位置即可得到物光波的傅立叶频谱，然后再引入斜入射的平行光作为参考光。从而在参物光的干涉场中就可以记录物光波的傅立叶变换光场的信息。
后焦面的全息图上物光波的频谱分布为
在线性记录条件下，假定用振幅为 C0的平面波照射全息图，则透射光波的复振幅为式 (2-25)中第四项包含着物的频谱，第五项是共轭频谱，由于该两项的附加相位只在指数上差一个符号，所以它们必然对称分布于零级两侧，倾角分别为 )/(s in 1 fb
s
为获得物的再现像，必须将全息图置于透镜前焦面上，后焦面得到它的傅立叶变换。当取反射坐标时，得到的是逆傅立叶变换。那么后焦面上的光场分布为
衍射像分离的条件
记录介质的分辨率
全息再现像的分辨率衍射像分离的条件
设物体 y方向的宽度为 wy,则第二项自相关函数的宽度为 2 wy,原始像及其共轭像的宽度均为 wy 。
这是因为自相关函数为物体自身各点发出的光波的叠加，而物体上任意两点的距离差为 0~ wy,且全息图面上干涉时产生的光强分布与该距离直接相关。
欲使再现像不受晕轮光的影响，必须使记录介质的分辨率
对记录介质分辨率的要求，取决于全息图中最精细的光栅结构；它与物体本身的大小和物体中心与参考点源的距离有关，而与物体本身的精细结构无关。因为全息图上记录的是频谱，而该面上空间频率为?=xo/?f，
=yo/?f。
光栅结构的最高空间频率是?HR+?HM,最低的要求是?HR =3?HM,所以对记录介质分辨率的要求是?≥ 4?HM,
全息再现像的分辨率
全息再现像的分辨率指对物体精细结构所能分辨的最小距离或最小角距离。
2.4.3 傅立叶变换全息图的性质
傅立叶变换全息图具有空间位移不变性；
傅立叶变换全息图记录的是频谱，而不是物本身。
对于大部分低频物体来说，其频谱非常集中，直径仅 1mm左右，特别适用于高密度全息存储；
傅立叶变换全息图通常比菲涅耳全息图的像差小；
点光源的傅立叶频谱分布在整个频谱面上，因而傅立叶全息图的记录是有冗余信息的，保证了存储的可靠性和防干扰性。
2.4.4 傅立叶变换全息存储
傅立叶变换全息图的空间位移不变性，使其在空间复用存储中更占优势。
由于位于透镜后焦面上的光强过于集中，物光波的高频部分和低频部分的强度与参考光强度之比不一样，使再现像的质量下降。
2.5 体积全息图引言
2.5.1 体光栅与布拉格衍射
2.5.2 耦合波理论
2.5.3 角度和波长灵敏性引言
当记录介质较厚 （ 厚度比记录的干涉条纹间距大的多 ） 时,两相干光束在介质内相互作用,形成三维光栅状全息图,称之为体积全息图 。
这种全息图的吸收系数和折射率是周期变化的,它对光的衍射作用如同三维光栅的衍射,再现时,仅当满足布拉格条件时,衍射振幅才最大 。
分析体光栅衍射特性的最基本,最经典的理论模型是 1969年 Bell实验室 Kogelnik建立的一维平面波耦合波理论 。
2.5.1 体光栅与布拉格衍射
1) 介质的相对介电常数?r与空间坐标无关，即常数时，为均匀介质，否则为非均匀介质。
2)?r与电场强度无关的介质称为线性介质，否则为非线性介质。
3) 如果?r的大小与电场在介质中的方向无关，
为各向同性介质，否则，如果电场方向不同,?r就不同，则为各向异性介质。
4) 本章假设记录介质是线性、均匀且各向同性。物光和参考光都是平面波。
布拉格定律
应该使连续散射波同位相相加，以便使衍射波振幅达到极大值。
当体光栅波矢 K严格等于介质中入射光和衍射光波矢之差时 K=kr-ks,则满足布拉格条件，由足够厚的折射率光栅引起的最佳光衍射便会出现。
布拉格定律（续）
当记录介质是均匀且各向同性时，通过观察波矢图，布拉格定律 K=kr-ks可以改写成如下形式
2? sin?=?
式中?为照明光束在介质内的波长,?为照明光束与峰值条纹面之间的夹角，称为布拉格角,?为条纹面（体光栅）间距。
体光栅的 K矢量图
再现光波波矢 kr满足布拉格条件时，
衍射光波即为原物光波，衍射效率最大。若偏离，则衍射效率迅速下降。
若再现光波长、光栅间距一定，则入射角一定；反之亦然。
体积全息图的评判依据
Klein引入作为评判平面全息图和体积全息图的依据的参量：
Q=2ad/n?2
式中,?a是空气中的波长,d为全息图的厚度,n为介质的折射率,?为光栅的间距。
若将布拉格定律代入上式，则为
Q=4?dsin?/?
大多数体积全息图都有 Q>>10.
体全息图的分类
体全息图主要可分为透射和反射两种，其主要区别在于记录时物光和参考光的传播方向不同而造成体全息图内部干涉层面的不同趋向，从而使两者在再现特性上有所区别。
透射体全息图
物光和参考光从介质的同侧入射，介质内干涉面几乎与介质表面垂直，并且再现时表现为较强的角度选择性。当用白光再现时，入射角度的改变将引起再现像波长的改变。
反射体全息图
物光和参考光从介质的两侧相向射入，介质内干涉面几乎与介质表面平行，并且再现时表现为较强的波长选择性。反射体全息能避免色串扰的出现。
一种特殊类型的体全息图
物光和参考光在介质内部相交，光栅区是两光束的交叉区，此时并不能明确将该全息图归属于透射或反射类型。
2.5.2 耦合波理论
引言
体全息图中的波动方程
体全息图中的耦合波方程
耦合波方程的解及边界条件
两种最简单的体全息图的衍射效率引言
本章的目的是为了分析体全息图的衍射效率及各种因素对衍射效率的影响。
当前较完善的理论是从麦克斯韦方程出发，
根据记录介质在有调制的情况下的电学或光学常数，直接求解描述照明光波和衍射光波的耦合微分方程组，可以求出在各种情况下衍射效率的公式。
耦合波理论的研究现状
1969年,Kogelnik,一维的无限大平面波耦合波理论
六十年代末到八十年代初,Solyma等人提出了有限宽度光束的耦合波理论
八十年代初,B.Benlarbi,等人提出了用傅立叶分解的频谱分析方法分析高斯光束的布拉格衍射情况。
耦合波理论的研究现状（续）
七十年代末到八十年代初,Gaylod等人提出了 RCWT,各向同性介质
八十年代中期到现在,RCWT被用于各向异性介质
在 1998年,Chen-Wen Tarn发表了也一篇关于高斯光束在各向异性中布拉格衍射的文章耦合波理论模型的建立方法
1) 根据光波的偏振方向，确定使用哪种波动方程；
2) 假定是在线性记录条件下，从而可以认为介电常数（或折射率）和导电率（或吸收系数）与记录光的干涉条纹具有相同的分布，即包含
3) 再现时，写出光栅区中任一点的总电场，并将其代入波动方程，推导出耦合波方程。
4) 在适当的边界条件下解耦合波方程，推导出衍射光在出射面上的分布。
)e x p ()e x p ( rKjrKj
体全息图中的波动方程麦克斯韦方程
)4(0
)3(0
)2(
)1(
0
0
B
D
E
t
E
H
t
H
E
r
体全息图中的波动方程（续）
对式（ 1）求旋度
)5()()( 00 HttHE?
式（ 2）对 t求导数
)6()( 2
2
0 t
E
t
EH
t r?
于是有
)7()()( 2
2
000 t
E
t
E
t
HE
r?
体全息图中的波动方程（续）
由矢量公式
)8()()( 2 EEE
方程（ 9）被称为矢量波动方程。这是因为方程
（ 9）包含了 分量。当然方程（ 9）在一定的条件下可以进一步简化为标量波动方程。
根据方程（ 7）、（ 8），对于角频率为?的光场的复振幅满足的波动方程为
)9(0)()( 00022 EEjE r
zyx,、
体全息图中的波动方程（续）
下面进行简化式（ 3）也可以写成
)10(0)( 0 ED r
另一方面有
)11(0)()( 000 EEE rrr
在线性记录条件下，介电常数（或折射率）和导电率（或吸收系数）按余弦规律变化，它们是 x,z的函数，即在 y方向介电常数和导电率是常数，在 xz面内是按余弦规律变化。
体全息图中的波动方程（续）
当电场 的偏振方向垂直于波矢与光栅矢量决定的平面时，称为 TE模偏振或 H模偏振或 s偏振 ;
当电场 的偏振方向位于波矢与光栅矢量决定的平面时，称为 TM模偏振或 E模偏振或
p偏振。
在这里，当电场 的偏振方向平行于 y 轴时，称为 s偏振，当电场 的偏振方向位于
xz平面时，称为 p偏振。
E?
E?
E?
E?
体全息图中的波动方程（续）
)12(0)( 0 rE
于是 )13(0 E?
因此，矢量波动方程（ 9）可以简化为如下标量波动方程
)14(022 EqE
对于 s偏振，根据（ 11）式式中
)15(00022 jq r
体全息图中的波动方程（续）
因此，在继续本文的讨论中，首先利用了如下两个假定条件
（ 1）在线性记录条件下，介电常数（或折射率）和导电率（或吸收系数）按余弦规律变化，它们是 x,z
的函数；
（ 2）照明光波是 s偏振光。
根据假设（ 1），应有
)17()c o s (
)16()c o s (
0
0
rK
rKrrr
体全息图中的波动方程（续）
现在我们来分析复空间角频率 q所含参量。将式（ 16）、（ 17）代入（ 15），得到
)18()c o s ()(
)]c o s ([
)]c o s ([
0
2
000
2
00
000
22
rKjk
jk
rKj
rKq
r
r
rr
式中
0022222 /)/2( ck
体全息图中的波动方程（续）
将方程（ 18）改写成如下形式
)19()e x p ()e x p (22
)e x p ()e x p (22
)c o s ()
22
(2
2
2
2
2/1
0
0
2/1
0
2/1
0
002/1
0
2/1
0
2
rKjrKjkkjk
rKjrKjjkk
rK
k
jk
k
jkkq
DDD
DD
rr
r
r
rr
体全息图中的波动方程（续）
在（ 19）式中，各参数为
)20(
2
);
2
(
2
1;
2;
2/1
0
0
2/1
0
2/1
0
002/1
0
rr
r
r
rD
k
jk
k
kk
其中 kD是光波在介质中的空间角频率,?是介质的平均吸收系数, 是吸收常量的空间调制振幅,?是耦合矢量。
体全息图中的波动方程（续）
利用光学常数和电学常数的关系
)21(2 rn
对（ 21）式求导，可以得到
)22(
2 r
rn
根据（ 22）和（ 20）式，可以得到
)23(
2;
2;
2;
0
0
0
00
0
nk
jn
kn
knk
D
体全息图中的波动方程（终 ）
至此，我们已经推导出体全息图中的波动方程。即
)24(022 EqE式中
)26(
2;
2;
2;
0
0
0
00
0
nk
jn
kn
knk
D
式中?为真空中的波长。
)25()e x p ()e x p (2222 rKrKjkkjkq DDD
体全息图中的耦合波方程
现在我们对体全息图中的波动方程求解，推导出耦合波方程。在解方程之前，先作一些简化假设：
（ 1）光栅被恒定振幅的平面光波形成和再现；
（ 2）照明光波以布拉格角或在其附近入射，因此在全息图中只有两个光波，照明光波和 +1级衍射光波，
而忽略其它所有的衍射级；
（ 3）照明光波是 s偏振；
（ 4）光波复振幅的变化与其波长相比是很小的，因此，光波振幅的二阶微分也可以忽略；
（ 5）全息图有足够的厚度。
体全息图中的耦合波方程（续）
设再现光波和衍射光波的复振幅为：
)28()e x p ()(?
)27()e x p ()(?
rkjzEyS
rkjzEyR
ss
rr
式中 Er(z)和 Es(z)分别是再现光和衍射光的振幅，
假定它们仅是 z的函数。 注意,这一假定只有在记录时，物光和参考光的记录角度比较小时，
才近似成立。这一假定也是 Kogelnik耦合波理论的局限性之一。作为初学，我们不管局限性，
承认该假定。
体全息图中的耦合波方程（续）
由右图可知：
)30(c o s?s in?
)29(c o s?s in?
sssss
rDrDr
kzkxk
kzkxk
体全息图中的耦合波方程（续）
在体全息图中，任一点都有再现光和衍射光相叠加，
所以任一点的电场 是再现光和衍射光复振幅之和，即
E?
)31()]e x p ()()e x p ()([? rkjzErkjzEyE ssrr
应当指出上式中的位相因子是快变化的，振幅
Er(z)和 Es(z)是慢变化的。将（ 31）式代入波动方程（ 24）。
体全息图中的耦合波方程（续）
波动方程（ 24）的第一项为
)32()e x p(]2[?
)e x p(]2[?
)(
2'2
2'2
222
2
rkjEkEjkEy
rkjEkEjkEy
E
zyx
E
ssssszs
rrDrrzr
波动方程（ 24）的第二项为体全息图中的耦合波方程（续）
)33(
])(e x p[])(e x p[2
])(e x p[])(e x p[2
)e x p()2(
)e x p()2(
)]e x p()e x p([
)]e x p()[ e x p(2)2(?
2
2
22
rKkjrKkjEk
rKkjrKkjEk
rkjEkjk
rkjEkjk
rkjErkjE
rKjrKjkkjkyEq
sssD
rrrD
ssDD
rrDD
ssrr
DDD
体全息图中的耦合波方程（续）
按照上述简化假设第 2条，再现光波接近于布拉格入射，只有 +1级衍射光波。所以（ 33）式中含
])(e x p [])(e x p [ rKkjrKkj sr 和上式第一项代表 +1级衍射，第二项代表
m级衍射。
的项应当忽略。因为
KmkkKkk rsrs,
体全息图中的耦合波方程（续）
将（ 32）和（ 33）式相加，并令含项的系数分别等于零，并且按照假设（ 4）忽略二阶微分，可以得到如下耦合波方程
)e x p ()e x p ( rkjrkj sr 和
)35(022)(2
)34(0222
22'
'
rDsDssDssz
sDrDrrz
EKEkjEkkEjk
EKEkjEjk
体全息图中的耦合波方程（续）
*因为
szsx
D
r
D
rD
rs
kzkx
k
K
z
k
K
xk
Kkk
)]c o s( c o s?)s in( s in?[
其中，衍射光的方向余弦
)36(c osc os/c os
s ins in/s in
s
rDszs
s
rDsxs
k
K
kk
k
K
kk
体全息再现的几何关系体全息图中的耦合波方程（续）
那么
)37(]
2
)c o s ([2
])c o s( c o s)s in[ ( s in
2
2222
22
D
rD
D
r
D
rDD
sD
k
K
Kk
k
K
k
K
kk
kk
引入新的参量?
)38(
4
)c o s (2/)(
0
2
22
n
KKkkk
rDsD?
体全息图中的耦合波方程（续）
现在分析一下各参数的作用。由（ 38）式知道
与角度?r 和波长?有关。设
)39(00 ；r
式中,?0是布拉格入射角,?0是与之对应的正确波长,和分别表示它们偏离布拉格条件时的偏移量。将（ 39）式代入（ 38）式，就得到偏移量和表示的参量?为
)40(
4
)s in (
0
2
0 n
KK
r?
体全息图中的耦合波方程（终 ）
因此，耦合波方程（ 34）、（ 35）可以改写成
)42(
c osc os
)41(
c osc os
r
s
s
s
s
s
r
r
r
r
EjE
j
dz
dE
EjE
dz
dE
耦合波方程的解及边界条件
下面来求解耦合波方程（ 41）、（ 42）。联立方程
（ 41）、（ 42）消去 Es,可以得到
)44(0
c o sc o s
)
c o sc o s
(
22
'
2
r
sr
r
sr
r EjEj
dz
dE
这是一个常系数二阶微分方程，它的通解形式为
)45()e x p ()e x p ()( 2211 zEzEzE rrr
同理，可以得到
)46()e x p ()e x p ()( 2211 zEzEzE sss
耦合波方程的解及边界条件
（续）
式中
)47(]
c osc os
4
)
c osc os
[(
2
1
)
c osc os
(
2
1
2/1
2
2
2,1
srsr
sr
j
j
Er1,Er2,Es1,Es2是未知的复常数，需要根据全息图再现时的边界条件来确定边界条件（透射全息图）（续）
根据边界条件按照式
（ 45）、（ 46）求出
Er,Es就可以计算衍射效率。边界条件与全息图的类型有关。假定再现光在 z=0处振幅为 1，自左向右传播，
如图所示。在透射全息图中，衍射光波在
z=0处振幅为 0。则边界条件写成
)49(0)0(
)48(1)0(
21
21
sss
rrr
EEE
EEE
边界条件（透射全息图）（续）
由边界条件（ 49）可知
)50(21 ss EE
代入式（ 46）中，并对 z求导数得：
)51()()0( 121' ss EE
代入耦合波方程（ 42），并利用边界条件（ 48）、
（ 49），得到
)53()](/ [ c o s
)52()](/ [ c o s
212
211
ss
ss
jE
jE
将（ 52）、（ 53）代入式（ 46），并令 z=d，
就得到衍射光在出射面上的振幅分布为边界条件（透射全息图）（续）
)54()]e x p ()[ e x p ()(c o s)( 12
21
ddjdE
s
s
这样透射体全息图衍射效率的一般公式就可以写成
)55()()(c o sc o s * dEdE ss
r
s
边界条件（反射全息图）（续）
反射体全息图的特点是衍射光波与再现光波的方向相反，如右图所示。
在反射全息图中，衍射光波在 z=d处振幅为 0。
则边界条件写成
)57(0)e x p ()e x p ()(
)56(1)0(
2211
21
dEdEdE
EEE
sss
rrr
将通解表达式（ 45）、（ 46）式代入方程
（ 42），并令 z=0,考虑边界条件（ 56），得到边界条件（反射全息图）（续）
)58())(()(c o s 212211 sssss EEjEEj
通解表达式（ 46）知
)59()0( 21 sss EEE
根据边界条件（ 57），可以得到
)61()e x p ()()]e x p ()[ e x p (
)60()e x p ()()]e x p ()[ e x p (
121122
221121
dEEddE
dEEddE
sss
sss
边界条件（反射全息图）（续）
于是，式（ 58）中右边第一项成为
)62(
)e x p ()e x p (
)e x p ()e x p (
)(c o s
)(c o s
12
1221
21
2211
dd
dd
EE
EE
sss
sss
将（ 62）式代入（ 58）式中得到
)63(
)e x p()e x p(
)e x p()e x p(
c os)0(
1
12
1221
dd
dd
jjE ss
边界条件（反射全息图）（终）
这样，反射体全息图衍射效率的一般公式为
)64()0()0(
c o s
c o s *
ss
r
s EE
无吸收透射位相光栅
对于无吸收透射位相光栅，吸收系数?=0，衍射光的改变由折射率的空间变化而产生。这时，它的衍射效率为
)65(
)/(1
)(s in
2
2
1
222
式中
)66(
c o s2
)c o s( c o s 2
1
s
sr
dnd
无吸收透射位相光栅（续）
当读出光满足布拉格条件入射时，则有布拉格偏移量?=0，此时衍射效率为
)66(s in 2
上式表明，在满足布拉格条件入射时，衍射效率将随介质的厚度 d或其空间折射率的空间调制幅度?n的增加而增加，直到调制参量?=?/2。
这时，衍射效率?0达到 100%
无吸收透射位相光栅（续）
无吸收反射位相光栅
对于无吸收反射位相光栅，衍射效率为
)67(
])/(1[)(
)(
22/1222
2/1222
sh
sh
无吸收反射位相光栅
2.5.3 角度和波长灵敏性
引言
水平角度选择性
垂直角度选择性
波长选择性引言
不管是透射光栅还是反射光栅，其衍射效率对再现光束的角度或波长的变化都非常灵敏。
形成光栅的两写入光束所组成的平面称为水平面；与该平面垂直的平面称为垂直面。
再现光在水平面内的变化称为水平角度选择性，在垂直面内的变化称为垂直角度选择性。
水平角度选择性
对应着?-?曲线的主瓣全宽度定义为水平选择角，用
（ =2）表示。
水平选择角是在再现光波长与记录时的波长相同，即
=0的条件下给出的。
1/2
1/2
垂直角度选择性
当再现光束在垂直于两写入光束组成的平面内扫描再现时，存在垂直角度选择性的问题；
垂直角度选择性（续）
若在水平面内用参考角?r在 i点记录了一个全息图，当用该光束在垂直面内扫描再现时，即从图中点 i沿垂直线变动到点 j时,若衍射像消失，则将该光束在垂直面内扫过的角度的两倍称为垂直选择角。
垂直角度选择性（续）
垂直角度选择性（终）
波长选择性波长选择性（续）
反射全息图对波长的偏离比透射全息图要灵敏的多，而且带宽几乎不随两写入光夹角的变化而变化。
波长选择性（续）
随参考光入射角的增大，透射全息图的波长灵敏度逐渐提高，而反射全息图逐渐降低。当参考角大约为 410时，
具有相同带宽。
作 业
1、请详细描述 Kogelnik耦合波理论的建立方法及建立的条件，并解释耦合系数?和相位失配因子?的物理意义。（不用给出具体的方程及表达式）
2.1 全息图的基本描述
2.2 菲涅耳全息图
2.3 像面全息图
2.4 傅立叶变换全息图
2.5 体积全息图引言
物体的全部信息（振幅和相位）
全息术是利用光的干涉和衍射原理，将物体发射的特定光波以干涉条纹的形式记录下来，
并在一定的条件下使其再现，形成原物体逼真的立体像。
全息术的发展
分为四个阶段：
（ 1）是用汞灯作光源，摄制同轴全息图，称为第一代全息。
（ 2）是用激光记录、激光再现的离轴全息图，称为第二代全息。
（ 3）是激光记录、白光再现的全息图，称为第三代全息。主要包括白光反射全息、像全息、彩虹全息、
真彩色全息及合成全息等。
（ 4）是用白光记录、白光再现的全息图，称为第四代全息。
2.1 全息图的基本描述
2.1.1 全息图的记录与再现
2.1.2 全息图的分类
2.1.1 全息图的记录与再现
全息图能够记录物体的全部信息 （ 振幅和相位 ）,实现方法：当两束光相干涉时,其干涉场分布 （ 包括干涉条纹的形状,疏密及明暗分布 ） 与这两束光的波面特性 （ 振幅及相位 ） 密切相关 。 干涉场的分布与波面相位是一一对应的 。 因此,利用干涉场的条纹可以记录物体的全部信息 。
全息图的记录实际上就是物光与参考光的干涉（形成干涉条纹）过程全息图的记录数学模型
全息图平面上设置（ x,y） 坐标，设物光和参考光的复振幅分别为全息图的再现
（ 2-6）式的物理意义
（ 2-6）式的物理意义
第一项与再现光相似，它具有与 C(x,y)完全相同的位相分布，只是振幅分布不同，因而它将以与再现光 C(x,y)相同的方式传播。称为直射光波或 0级光波。
第二项包含有物的相位信息，为原始像光波或 +1级衍射光波。但还含有附加相位。
第三项包含有物的共轭相位信息，称为共轭像光波或 -1级衍射光波。
波前再现的几个特例
再现光与参考光相同
采用与参考光共轭的光波再现再现光与参考光相同
即用原参考光再现，这时有
RCyxRyxC ),,(),( 00
式（ 2-6）变为以下形式
)2e x p (*)e x p ()(),( 202020200 RR jORORjRORyxW
第一项保留了参考光的信息；第二项与原物光波基本无两样，只增加了一个常数因子，因此，正是第二项再现了物光波；第三项为共轭像，它除了与物光波共轭外，还附加了一个相位因子，因而为畸变了的共轭像。
采用与参考光共轭的光波再现
这时有
RCyxRyxC ),,(),( 00
式（ 2-6）变为以下形式
*)2e x p (
)e x p ()(),(
2
0
2
0
2
0
2
00
ORjOR
jRORyxW
R
R
第一项保留了参考光的信息；第二项是畸变了的虚象；第三项是与原物相像的实像，但出现了景深反演，即原来近的部位变远了，原来远的部位变近了，
称其为赝实像。
2.1.2 全息图的分类
按制作方法分类
（ 1）光学记录全息图；（ 2）计算机制作全息图
按照明方式分类
（ 1）透射全息图物光与参考光从记录介质的同一侧入射时。
（ 2）反射全息图物光与参考光分别从记录介质的两侧入射时。
全息图的分类（续）
按全息图的特性分类
（ 1）振幅全息图全息图的复振幅透射系数是实数。
（ 2）位相全息图全息图的复振幅透射系数的振幅不变，仅位相变化。
包括浮雕型和折射率型。
全息图的分类（续）
按光路的布置分类
（ 1）菲涅耳全息图当物体离记录介质的距离较近时。
（ 2）夫琅禾费全息图当物体离记录介质的距离较远时。
（ 3）像面全息图
（ 4）傅立叶变化全息图全息图的分类（续）
按记录介质的厚度分类
（ 1）平面全息图当记录介质的厚度小于所记录干涉条纹的间距时。
（ 2）体积全息图用厚的介质记录三维干涉图样
2.2 菲涅耳全息图
引言
2.2.1 离轴菲涅耳全息
2.2.2 像质分析
2.2.3 菲涅耳全息信息存储引言
菲涅耳全息图直接记录物光波本身，不需要变换透镜和成像透镜，仅要求记录介质与物体的距离满足菲涅耳近似条件。
3222 8/])()[( ooo zyyxx
2.2.1 离轴菲涅耳全息
让均匀平面参考光束离开 z轴?角，物光束和参考光束在记录介质上任一点 (x,y)的复振幅可分别写为离轴菲涅耳全息
在介质上的强度分布为全息图的振幅透过率可写为
透过全息图的光场分布共有四项式中,u1是直透光，它被晕轮光 u2所包围； u3是原物光波（虚象），与直透光成?角； u4为共轭实像，它的指数因子 exp(j4?r?x)表示实像偏离轴一定的角度。
离轴菲涅耳全息图的再现
2.2.2 像质分析
如果系统中任一个参数（如波长、曲率半径等）与原记录系统有所不同，结果都会给再现像带来像差。
像的分辨率还与记录和再现是 参考光源和照明光源的大小,光源的单色性,以及衍射受限有关。
高质量的全息像还应具有高的衍射效率和信噪比。
参考光源和照明光源的大小影响
无论是参考光源还是照明光源，实际光源都有一定大小。实际光源上每一个点作为参考光源会产生全息图上的不同光栅结构，作为再现光源会产生不同的再现像，一个物点将对应产生多个像点，也就是说，用扩展光源作为参考光源和再现光源时会导致再现像的展宽。（这个现象称为线模糊）。
光源非单色性的影响
同实际光源的大小一样，照明光源的线宽
（波长范围有一定宽度）也能引起再现像的展宽。这个现象称为色模糊。如果色模糊量超过人眼或观察系统的分辨率，则影响像的质量。色模糊是由于全息图的光栅结构产生色散现象而引起的。
菲涅耳全息信息存储
系统的读出部分变得简单。
在高分辨率的介质上能产生出高质量的再现像。
为使衍射像分离，参、物光束平均方向之间必须有一定大小的角度，致使多重存储中会降低存储容量，而且物体上每一点的条纹图样都有频率梯度，所以记录介质的分辨率未能被最好利用。
2.3 像面全息图
2.3.1 像面全息图的特点
2.3.2 像面全息用于全息存储
2.3.1 像面全息图的特点
最大特点是可以用扩展的相干光源作参考光进行记录和照明再现，而对再现光源方向的选择性不太灵敏。
2.3.2 像面全息用于全息存储
可充分利用存储介质的空间，提高存储容量。
冗余度低，对像元尺寸及存储全息图的数目有一定的限制
2.4 傅立叶变换全息图
2.4.1 透镜的傅立叶变化性质
2.4.2 傅立叶变换全息图的记录与再现
2.4.3 傅立叶变换全息图的性质
2.4.4 傅立叶变换全息存储
2.4.1 透镜的傅立叶变化性质
傅立叶变换全息图记录的是物光波的傅立叶频谱，其原理是利用透镜的傅立叶变换性质。
利用一个简单的透镜，使原物光波在全息记录介质上形成傅立叶变换图样，从而记录傅立叶变换全息图。
如果光波通过透镜只有位相落后而没有横向位移，称这种透镜为薄透镜。
位于薄透镜中心 xy平面上的透镜透过率的二维分布：
输入面紧靠透镜放置
复振幅透过率 ts(x1,y1)的透明片紧靠着放在焦距为 f的透镜之前，用振幅为 A的单色平面波垂直照明。
透镜后面的复振幅分布为当透明片紧靠薄透镜并用平面波照明时，在其后焦面上所产生的复振幅分布与球面位相因子和透明片透过率的傅立叶变换的乘积成正比。
输入面位于透镜的前焦面上
透镜后焦面上的光场分布
2.4.2 傅立叶变换全息图的记录与再现
将物体置于透镜的前焦面上，在照明光源的共轭位置即可得到物光波的傅立叶频谱，然后再引入斜入射的平行光作为参考光。从而在参物光的干涉场中就可以记录物光波的傅立叶变换光场的信息。
后焦面的全息图上物光波的频谱分布为
在线性记录条件下，假定用振幅为 C0的平面波照射全息图，则透射光波的复振幅为式 (2-25)中第四项包含着物的频谱，第五项是共轭频谱，由于该两项的附加相位只在指数上差一个符号，所以它们必然对称分布于零级两侧，倾角分别为 )/(s in 1 fb
s
为获得物的再现像，必须将全息图置于透镜前焦面上，后焦面得到它的傅立叶变换。当取反射坐标时，得到的是逆傅立叶变换。那么后焦面上的光场分布为
衍射像分离的条件
记录介质的分辨率
全息再现像的分辨率衍射像分离的条件
设物体 y方向的宽度为 wy,则第二项自相关函数的宽度为 2 wy,原始像及其共轭像的宽度均为 wy 。
这是因为自相关函数为物体自身各点发出的光波的叠加，而物体上任意两点的距离差为 0~ wy,且全息图面上干涉时产生的光强分布与该距离直接相关。
欲使再现像不受晕轮光的影响，必须使记录介质的分辨率
对记录介质分辨率的要求，取决于全息图中最精细的光栅结构；它与物体本身的大小和物体中心与参考点源的距离有关，而与物体本身的精细结构无关。因为全息图上记录的是频谱，而该面上空间频率为?=xo/?f，
=yo/?f。
光栅结构的最高空间频率是?HR+?HM,最低的要求是?HR =3?HM,所以对记录介质分辨率的要求是?≥ 4?HM,
全息再现像的分辨率
全息再现像的分辨率指对物体精细结构所能分辨的最小距离或最小角距离。
2.4.3 傅立叶变换全息图的性质
傅立叶变换全息图具有空间位移不变性；
傅立叶变换全息图记录的是频谱，而不是物本身。
对于大部分低频物体来说，其频谱非常集中，直径仅 1mm左右，特别适用于高密度全息存储；
傅立叶变换全息图通常比菲涅耳全息图的像差小；
点光源的傅立叶频谱分布在整个频谱面上，因而傅立叶全息图的记录是有冗余信息的，保证了存储的可靠性和防干扰性。
2.4.4 傅立叶变换全息存储
傅立叶变换全息图的空间位移不变性，使其在空间复用存储中更占优势。
由于位于透镜后焦面上的光强过于集中，物光波的高频部分和低频部分的强度与参考光强度之比不一样，使再现像的质量下降。
2.5 体积全息图引言
2.5.1 体光栅与布拉格衍射
2.5.2 耦合波理论
2.5.3 角度和波长灵敏性引言
当记录介质较厚 （ 厚度比记录的干涉条纹间距大的多 ） 时,两相干光束在介质内相互作用,形成三维光栅状全息图,称之为体积全息图 。
这种全息图的吸收系数和折射率是周期变化的,它对光的衍射作用如同三维光栅的衍射,再现时,仅当满足布拉格条件时,衍射振幅才最大 。
分析体光栅衍射特性的最基本,最经典的理论模型是 1969年 Bell实验室 Kogelnik建立的一维平面波耦合波理论 。
2.5.1 体光栅与布拉格衍射
1) 介质的相对介电常数?r与空间坐标无关，即常数时，为均匀介质，否则为非均匀介质。
2)?r与电场强度无关的介质称为线性介质，否则为非线性介质。
3) 如果?r的大小与电场在介质中的方向无关，
为各向同性介质，否则，如果电场方向不同,?r就不同，则为各向异性介质。
4) 本章假设记录介质是线性、均匀且各向同性。物光和参考光都是平面波。
布拉格定律
应该使连续散射波同位相相加，以便使衍射波振幅达到极大值。
当体光栅波矢 K严格等于介质中入射光和衍射光波矢之差时 K=kr-ks,则满足布拉格条件，由足够厚的折射率光栅引起的最佳光衍射便会出现。
布拉格定律（续）
当记录介质是均匀且各向同性时，通过观察波矢图，布拉格定律 K=kr-ks可以改写成如下形式
2? sin?=?
式中?为照明光束在介质内的波长,?为照明光束与峰值条纹面之间的夹角，称为布拉格角,?为条纹面（体光栅）间距。
体光栅的 K矢量图
再现光波波矢 kr满足布拉格条件时，
衍射光波即为原物光波，衍射效率最大。若偏离，则衍射效率迅速下降。
若再现光波长、光栅间距一定，则入射角一定；反之亦然。
体积全息图的评判依据
Klein引入作为评判平面全息图和体积全息图的依据的参量：
Q=2ad/n?2
式中,?a是空气中的波长,d为全息图的厚度,n为介质的折射率,?为光栅的间距。
若将布拉格定律代入上式，则为
Q=4?dsin?/?
大多数体积全息图都有 Q>>10.
体全息图的分类
体全息图主要可分为透射和反射两种，其主要区别在于记录时物光和参考光的传播方向不同而造成体全息图内部干涉层面的不同趋向，从而使两者在再现特性上有所区别。
透射体全息图
物光和参考光从介质的同侧入射，介质内干涉面几乎与介质表面垂直，并且再现时表现为较强的角度选择性。当用白光再现时，入射角度的改变将引起再现像波长的改变。
反射体全息图
物光和参考光从介质的两侧相向射入，介质内干涉面几乎与介质表面平行，并且再现时表现为较强的波长选择性。反射体全息能避免色串扰的出现。
一种特殊类型的体全息图
物光和参考光在介质内部相交，光栅区是两光束的交叉区，此时并不能明确将该全息图归属于透射或反射类型。
2.5.2 耦合波理论
引言
体全息图中的波动方程
体全息图中的耦合波方程
耦合波方程的解及边界条件
两种最简单的体全息图的衍射效率引言
本章的目的是为了分析体全息图的衍射效率及各种因素对衍射效率的影响。
当前较完善的理论是从麦克斯韦方程出发，
根据记录介质在有调制的情况下的电学或光学常数，直接求解描述照明光波和衍射光波的耦合微分方程组，可以求出在各种情况下衍射效率的公式。
耦合波理论的研究现状
1969年,Kogelnik,一维的无限大平面波耦合波理论
六十年代末到八十年代初,Solyma等人提出了有限宽度光束的耦合波理论
八十年代初,B.Benlarbi,等人提出了用傅立叶分解的频谱分析方法分析高斯光束的布拉格衍射情况。
耦合波理论的研究现状（续）
七十年代末到八十年代初,Gaylod等人提出了 RCWT,各向同性介质
八十年代中期到现在,RCWT被用于各向异性介质
在 1998年,Chen-Wen Tarn发表了也一篇关于高斯光束在各向异性中布拉格衍射的文章耦合波理论模型的建立方法
1) 根据光波的偏振方向，确定使用哪种波动方程；
2) 假定是在线性记录条件下，从而可以认为介电常数（或折射率）和导电率（或吸收系数）与记录光的干涉条纹具有相同的分布，即包含
3) 再现时，写出光栅区中任一点的总电场，并将其代入波动方程，推导出耦合波方程。
4) 在适当的边界条件下解耦合波方程，推导出衍射光在出射面上的分布。
)e x p ()e x p ( rKjrKj
体全息图中的波动方程麦克斯韦方程
)4(0
)3(0
)2(
)1(
0
0
B
D
E
t
E
H
t
H
E
r
体全息图中的波动方程（续）
对式（ 1）求旋度
)5()()( 00 HttHE?
式（ 2）对 t求导数
)6()( 2
2
0 t
E
t
EH
t r?
于是有
)7()()( 2
2
000 t
E
t
E
t
HE
r?
体全息图中的波动方程（续）
由矢量公式
)8()()( 2 EEE
方程（ 9）被称为矢量波动方程。这是因为方程
（ 9）包含了 分量。当然方程（ 9）在一定的条件下可以进一步简化为标量波动方程。
根据方程（ 7）、（ 8），对于角频率为?的光场的复振幅满足的波动方程为
)9(0)()( 00022 EEjE r
zyx,、
体全息图中的波动方程（续）
下面进行简化式（ 3）也可以写成
)10(0)( 0 ED r
另一方面有
)11(0)()( 000 EEE rrr
在线性记录条件下，介电常数（或折射率）和导电率（或吸收系数）按余弦规律变化，它们是 x,z的函数，即在 y方向介电常数和导电率是常数，在 xz面内是按余弦规律变化。
体全息图中的波动方程（续）
当电场 的偏振方向垂直于波矢与光栅矢量决定的平面时，称为 TE模偏振或 H模偏振或 s偏振 ;
当电场 的偏振方向位于波矢与光栅矢量决定的平面时，称为 TM模偏振或 E模偏振或
p偏振。
在这里，当电场 的偏振方向平行于 y 轴时，称为 s偏振，当电场 的偏振方向位于
xz平面时，称为 p偏振。
E?
E?
E?
E?
体全息图中的波动方程（续）
)12(0)( 0 rE
于是 )13(0 E?
因此，矢量波动方程（ 9）可以简化为如下标量波动方程
)14(022 EqE
对于 s偏振，根据（ 11）式式中
)15(00022 jq r
体全息图中的波动方程（续）
因此，在继续本文的讨论中，首先利用了如下两个假定条件
（ 1）在线性记录条件下，介电常数（或折射率）和导电率（或吸收系数）按余弦规律变化，它们是 x,z
的函数；
（ 2）照明光波是 s偏振光。
根据假设（ 1），应有
)17()c o s (
)16()c o s (
0
0
rK
rKrrr
体全息图中的波动方程（续）
现在我们来分析复空间角频率 q所含参量。将式（ 16）、（ 17）代入（ 15），得到
)18()c o s ()(
)]c o s ([
)]c o s ([
0
2
000
2
00
000
22
rKjk
jk
rKj
rKq
r
r
rr
式中
0022222 /)/2( ck
体全息图中的波动方程（续）
将方程（ 18）改写成如下形式
)19()e x p ()e x p (22
)e x p ()e x p (22
)c o s ()
22
(2
2
2
2
2/1
0
0
2/1
0
2/1
0
002/1
0
2/1
0
2
rKjrKjkkjk
rKjrKjjkk
rK
k
jk
k
jkkq
DDD
DD
rr
r
r
rr
体全息图中的波动方程（续）
在（ 19）式中，各参数为
)20(
2
);
2
(
2
1;
2;
2/1
0
0
2/1
0
2/1
0
002/1
0
rr
r
r
rD
k
jk
k
kk
其中 kD是光波在介质中的空间角频率,?是介质的平均吸收系数, 是吸收常量的空间调制振幅,?是耦合矢量。
体全息图中的波动方程（续）
利用光学常数和电学常数的关系
)21(2 rn
对（ 21）式求导，可以得到
)22(
2 r
rn
根据（ 22）和（ 20）式，可以得到
)23(
2;
2;
2;
0
0
0
00
0
nk
jn
kn
knk
D
体全息图中的波动方程（终 ）
至此，我们已经推导出体全息图中的波动方程。即
)24(022 EqE式中
)26(
2;
2;
2;
0
0
0
00
0
nk
jn
kn
knk
D
式中?为真空中的波长。
)25()e x p ()e x p (2222 rKrKjkkjkq DDD
体全息图中的耦合波方程
现在我们对体全息图中的波动方程求解，推导出耦合波方程。在解方程之前，先作一些简化假设：
（ 1）光栅被恒定振幅的平面光波形成和再现；
（ 2）照明光波以布拉格角或在其附近入射，因此在全息图中只有两个光波，照明光波和 +1级衍射光波，
而忽略其它所有的衍射级；
（ 3）照明光波是 s偏振；
（ 4）光波复振幅的变化与其波长相比是很小的，因此，光波振幅的二阶微分也可以忽略；
（ 5）全息图有足够的厚度。
体全息图中的耦合波方程（续）
设再现光波和衍射光波的复振幅为：
)28()e x p ()(?
)27()e x p ()(?
rkjzEyS
rkjzEyR
ss
rr
式中 Er(z)和 Es(z)分别是再现光和衍射光的振幅，
假定它们仅是 z的函数。 注意,这一假定只有在记录时，物光和参考光的记录角度比较小时，
才近似成立。这一假定也是 Kogelnik耦合波理论的局限性之一。作为初学，我们不管局限性，
承认该假定。
体全息图中的耦合波方程（续）
由右图可知：
)30(c o s?s in?
)29(c o s?s in?
sssss
rDrDr
kzkxk
kzkxk
体全息图中的耦合波方程（续）
在体全息图中，任一点都有再现光和衍射光相叠加，
所以任一点的电场 是再现光和衍射光复振幅之和，即
E?
)31()]e x p ()()e x p ()([? rkjzErkjzEyE ssrr
应当指出上式中的位相因子是快变化的，振幅
Er(z)和 Es(z)是慢变化的。将（ 31）式代入波动方程（ 24）。
体全息图中的耦合波方程（续）
波动方程（ 24）的第一项为
)32()e x p(]2[?
)e x p(]2[?
)(
2'2
2'2
222
2
rkjEkEjkEy
rkjEkEjkEy
E
zyx
E
ssssszs
rrDrrzr
波动方程（ 24）的第二项为体全息图中的耦合波方程（续）
)33(
])(e x p[])(e x p[2
])(e x p[])(e x p[2
)e x p()2(
)e x p()2(
)]e x p()e x p([
)]e x p()[ e x p(2)2(?
2
2
22
rKkjrKkjEk
rKkjrKkjEk
rkjEkjk
rkjEkjk
rkjErkjE
rKjrKjkkjkyEq
sssD
rrrD
ssDD
rrDD
ssrr
DDD
体全息图中的耦合波方程（续）
按照上述简化假设第 2条，再现光波接近于布拉格入射，只有 +1级衍射光波。所以（ 33）式中含
])(e x p [])(e x p [ rKkjrKkj sr 和上式第一项代表 +1级衍射，第二项代表
m级衍射。
的项应当忽略。因为
KmkkKkk rsrs,
体全息图中的耦合波方程（续）
将（ 32）和（ 33）式相加，并令含项的系数分别等于零，并且按照假设（ 4）忽略二阶微分，可以得到如下耦合波方程
)e x p ()e x p ( rkjrkj sr 和
)35(022)(2
)34(0222
22'
'
rDsDssDssz
sDrDrrz
EKEkjEkkEjk
EKEkjEjk
体全息图中的耦合波方程（续）
*因为
szsx
D
r
D
rD
rs
kzkx
k
K
z
k
K
xk
Kkk
)]c o s( c o s?)s in( s in?[
其中，衍射光的方向余弦
)36(c osc os/c os
s ins in/s in
s
rDszs
s
rDsxs
k
K
kk
k
K
kk
体全息再现的几何关系体全息图中的耦合波方程（续）
那么
)37(]
2
)c o s ([2
])c o s( c o s)s in[ ( s in
2
2222
22
D
rD
D
r
D
rDD
sD
k
K
Kk
k
K
k
K
kk
kk
引入新的参量?
)38(
4
)c o s (2/)(
0
2
22
n
KKkkk
rDsD?
体全息图中的耦合波方程（续）
现在分析一下各参数的作用。由（ 38）式知道
与角度?r 和波长?有关。设
)39(00 ；r
式中,?0是布拉格入射角,?0是与之对应的正确波长,和分别表示它们偏离布拉格条件时的偏移量。将（ 39）式代入（ 38）式，就得到偏移量和表示的参量?为
)40(
4
)s in (
0
2
0 n
KK
r?
体全息图中的耦合波方程（终 ）
因此，耦合波方程（ 34）、（ 35）可以改写成
)42(
c osc os
)41(
c osc os
r
s
s
s
s
s
r
r
r
r
EjE
j
dz
dE
EjE
dz
dE
耦合波方程的解及边界条件
下面来求解耦合波方程（ 41）、（ 42）。联立方程
（ 41）、（ 42）消去 Es,可以得到
)44(0
c o sc o s
)
c o sc o s
(
22
'
2
r
sr
r
sr
r EjEj
dz
dE
这是一个常系数二阶微分方程，它的通解形式为
)45()e x p ()e x p ()( 2211 zEzEzE rrr
同理，可以得到
)46()e x p ()e x p ()( 2211 zEzEzE sss
耦合波方程的解及边界条件
（续）
式中
)47(]
c osc os
4
)
c osc os
[(
2
1
)
c osc os
(
2
1
2/1
2
2
2,1
srsr
sr
j
j
Er1,Er2,Es1,Es2是未知的复常数，需要根据全息图再现时的边界条件来确定边界条件（透射全息图）（续）
根据边界条件按照式
（ 45）、（ 46）求出
Er,Es就可以计算衍射效率。边界条件与全息图的类型有关。假定再现光在 z=0处振幅为 1，自左向右传播，
如图所示。在透射全息图中，衍射光波在
z=0处振幅为 0。则边界条件写成
)49(0)0(
)48(1)0(
21
21
sss
rrr
EEE
EEE
边界条件（透射全息图）（续）
由边界条件（ 49）可知
)50(21 ss EE
代入式（ 46）中，并对 z求导数得：
)51()()0( 121' ss EE
代入耦合波方程（ 42），并利用边界条件（ 48）、
（ 49），得到
)53()](/ [ c o s
)52()](/ [ c o s
212
211
ss
ss
jE
jE
将（ 52）、（ 53）代入式（ 46），并令 z=d，
就得到衍射光在出射面上的振幅分布为边界条件（透射全息图）（续）
)54()]e x p ()[ e x p ()(c o s)( 12
21
ddjdE
s
s
这样透射体全息图衍射效率的一般公式就可以写成
)55()()(c o sc o s * dEdE ss
r
s
边界条件（反射全息图）（续）
反射体全息图的特点是衍射光波与再现光波的方向相反，如右图所示。
在反射全息图中，衍射光波在 z=d处振幅为 0。
则边界条件写成
)57(0)e x p ()e x p ()(
)56(1)0(
2211
21
dEdEdE
EEE
sss
rrr
将通解表达式（ 45）、（ 46）式代入方程
（ 42），并令 z=0,考虑边界条件（ 56），得到边界条件（反射全息图）（续）
)58())(()(c o s 212211 sssss EEjEEj
通解表达式（ 46）知
)59()0( 21 sss EEE
根据边界条件（ 57），可以得到
)61()e x p ()()]e x p ()[ e x p (
)60()e x p ()()]e x p ()[ e x p (
121122
221121
dEEddE
dEEddE
sss
sss
边界条件（反射全息图）（续）
于是，式（ 58）中右边第一项成为
)62(
)e x p ()e x p (
)e x p ()e x p (
)(c o s
)(c o s
12
1221
21
2211
dd
dd
EE
EE
sss
sss
将（ 62）式代入（ 58）式中得到
)63(
)e x p()e x p(
)e x p()e x p(
c os)0(
1
12
1221
dd
dd
jjE ss
边界条件（反射全息图）（终）
这样，反射体全息图衍射效率的一般公式为
)64()0()0(
c o s
c o s *
ss
r
s EE
无吸收透射位相光栅
对于无吸收透射位相光栅，吸收系数?=0，衍射光的改变由折射率的空间变化而产生。这时，它的衍射效率为
)65(
)/(1
)(s in
2
2
1
222
式中
)66(
c o s2
)c o s( c o s 2
1
s
sr
dnd
无吸收透射位相光栅（续）
当读出光满足布拉格条件入射时，则有布拉格偏移量?=0，此时衍射效率为
)66(s in 2
上式表明，在满足布拉格条件入射时，衍射效率将随介质的厚度 d或其空间折射率的空间调制幅度?n的增加而增加，直到调制参量?=?/2。
这时，衍射效率?0达到 100%
无吸收透射位相光栅（续）
无吸收反射位相光栅
对于无吸收反射位相光栅，衍射效率为
)67(
])/(1[)(
)(
22/1222
2/1222
sh
sh
无吸收反射位相光栅
2.5.3 角度和波长灵敏性
引言
水平角度选择性
垂直角度选择性
波长选择性引言
不管是透射光栅还是反射光栅，其衍射效率对再现光束的角度或波长的变化都非常灵敏。
形成光栅的两写入光束所组成的平面称为水平面；与该平面垂直的平面称为垂直面。
再现光在水平面内的变化称为水平角度选择性，在垂直面内的变化称为垂直角度选择性。
水平角度选择性
对应着?-?曲线的主瓣全宽度定义为水平选择角，用
（ =2）表示。
水平选择角是在再现光波长与记录时的波长相同，即
=0的条件下给出的。
1/2
1/2
垂直角度选择性
当再现光束在垂直于两写入光束组成的平面内扫描再现时，存在垂直角度选择性的问题；
垂直角度选择性（续）
若在水平面内用参考角?r在 i点记录了一个全息图，当用该光束在垂直面内扫描再现时，即从图中点 i沿垂直线变动到点 j时,若衍射像消失，则将该光束在垂直面内扫过的角度的两倍称为垂直选择角。
垂直角度选择性（续）
垂直角度选择性（终）
波长选择性波长选择性（续）
反射全息图对波长的偏离比透射全息图要灵敏的多，而且带宽几乎不随两写入光夹角的变化而变化。
波长选择性（续）
随参考光入射角的增大，透射全息图的波长灵敏度逐渐提高，而反射全息图逐渐降低。当参考角大约为 410时，
具有相同带宽。
作 业
1、请详细描述 Kogelnik耦合波理论的建立方法及建立的条件，并解释耦合系数?和相位失配因子?的物理意义。（不用给出具体的方程及表达式）
