在宏观上，如飞行的子弹 m=10-2Kg,速度 V=5.0?102m/s
对应的德布罗意波长为：
nm
mE
h
k
25103.1
2
在微观上，如电子 m=9.1?10-31Kg,速度 V=5.0?107m/s,
对应的德布罗意波长为：
nm2104.1
太小测不到！
§ 4 实物粒子的波动性一,德布罗意假设实物粒子具有波动性。并且 nhph
,
与粒子相联系的波称为 概率波 或 德布罗意波二．实验验证
K
G
B
D
探测器探测器电子束电子束电子枪电子枪
U
镍单晶镍单晶
电子通过镍单晶的衍射实验
1927年，戴维逊和革末
d
s ind
md 1015.2 10
m101065.1
德布罗意波长
vem
h
p
h
ke Em
h
2
λ＝ 1.67× 10－ 10 m
eV54
50
电子通过金多晶薄膜的衍射实验
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
（汤姆逊 1927）
（约恩逊 1961)
电子不仅在反射时有衍射现象，
汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象 X 射线一样产生衍射现象。
电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性
。戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享 1937年的物理学诺贝尔奖金由于电子波长比可见光波长小 10-3? 10-5数量级，
从而可大大提高电子显微镜的分辨率。
我国已制成 80万倍的电子显微镜,能分辨大个分子有着广泛的应用前景。
(2) 波动性
,弥散性,,可叠加性,,干涉,,衍射,,偏振,? 具有频率和波矢
不是经典的波 不代表实在的物理量的波动
* 对波粒二象性的理解
(1) 粒子性
,原子性,或,整体性,
不是经典的粒子,抛弃了,轨道,概念
§ 4 不确定关系一,不确定关系的物理表述及物理意义
2
xpx
2
h
2
Et
x表示 粒子在 x方向上的位置的不确定范围,?px表示在 x方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数。
若一个粒子的能量状态是完全确定的，即?E=0，
则粒子停留在该态的时间为无限长,?t=?。
1927年海堡提出了不确定关系，是量子理论中的一个重要概念。
1932年获诺贝尔奖例如：小球质量 m=10-3千克，速度 V=10-1米 /秒
x=10-6米，则：
smkgxp x /1028.52 29
smV x /1028.5 26
例如：电子质量 me=9.1?10-31千克，在原子中电子的
x?10-10米，则：
sm
xm
V
e
x /106.02
6
结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可用不确定关系具体说明。
pa x
pSin
y
X
p
二,电子单缝衍射电子单缝衍射实验说明了 电子的波粒两象性，
并验证了不确定关系。
aa
s in
根据单缝衍射公式半角宽：
电子通过单缝后，动量在 y方向上的改变至少：
s i ns i n ppp y
a
pp
y
2
ay电子通过单缝位置的不确定范围代入德布罗意关系,得出：
p
h hpy y 2
上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的量值关系。量子力学严格证明给出：
2/ ypy
三,不确定关系的应用在原子尺度内，
是个良好的近似。, ypy
tE
1,估算氢原子可能具有的最低能量电子束缚在半径为 r的球内，所以 rx
rpp /按不确定关系 rp /~
r
e
m
pE
oe42
22
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：
代入上式得：
r
e
rm
E
oe42
2
2
2
m
me
hr
e
o
o
10
2
2
1053.0
基态能应满足：
0?dtdE
0
4 2
2
3
2
r
e
rm oe
由此得出基态氢原子半径：
基态氢原子的能量：
eV
h
meE
o
e 6.13
8 22
4
m i n与波尔理论结果一致。
本例还说明,量子体系有所谓的零点能。
因为若束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，
即不被束缚。这与事实相符。
2,解释谱线的自然宽度
st 810原子中某激发态的平均寿命为普朗克能量子假说 不确定关系谱线的自然宽度
2
Et
2
hhE?
它能 解释谱线的自然宽度一个自由粒子有动能 E和动量 P。 对应的德布罗意波具有频率和波长：
h
E
p
h
p
k?
或者用角频率和波矢量表示：
单色平面波的复数形式为：
§ 5 波函数和概率波一,自由粒子平面波波函数对机械波有
)(c o s uxtAy
)( uxtiAe
)( kxtiAe
2?k
二,波函数的统计解释波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅
（几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态概率幅 —— 波函数 Ψ称为概率幅 (概率波幅 )
概率波的强度 —— 粒子到达该处的 概率,
也应与波函数中振幅平方成正比
（与经典波类比）
定义,时刻 t,在点（ x,y,z)
附近单位体积内发现粒子的概率概率密度 ——
2
如，在空间 r 处体积元 Δ xΔ yΔ z内出现的概率为
zyxP 2t)( r,
连续可微，且一阶导数也连续可微
1*
dV
)(),( trpiAetr 常数 2),( tr?，
在空间各点发现自由粒子的概率相同三,用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
(2)入射弱电子流
概率波的干涉结果四,波函数满足的条件
自然条件,单值、有限和连续
归一化条件
1,2 dVtr? )( 全空间
1P
A
2P
B
S? D
1
2
12P
五,概率幅叠加（态叠加）
1 缝单独开：
1
2
1 P
2 缝单独开：
2
2
2 P
2
2
2
12112 PPP
应为 概率幅叠加
2
21
2
1212P
2112
（态叠加原理）
—— 交叉项即为干涉项
12P
1,2 都开：
六,波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息哥本哈根学派：
爱因斯坦 狄拉克概率波的哲学意义,在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能结果的概率。
即没有严格的因果关系！
波恩、海森堡粒子波的概率性就是自然界的最终本质德布罗意
,上帝是不会跟宇宙玩掷骰子游戏的,
自然规律根本上是决定论的 。 最终的解释应该是某些变量的完全确定的数值演变的结果例题,设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
)c o s ()e x p (),( bxtiEAtx
0),(?tx? )2/,2/( bxbx
)2/2/( bxb
其中 A为任意常数,E和 b均为 确定的常数求：归一化的波函数；几率密度 W？
1)(c o s
2/
2/
22
b
b
dx
b
xA?
1|),(||),(||),(|
2/
22/
2/
22/ 22
b
b
b
b dxtxdxtxdxtxA
即：
122 bA bA 2
由此可求出归一化的波函数和几率密度几率密度为：
)(c o s2),(),( 22 b xbtxtxW
)2/,2/( bxbx
)2/2/( bxb
0),(),( 2 txtxW?
如图所示，在区间
（?b/2,b/2)以外找不到粒子。在 x=0
处找到粒子的几率最大。
),( tx?
x
o b/2-b/2
),(2 tx?
作业,1.21 1.24 1.25 1.27
对应的德布罗意波长为：
nm
mE
h
k
25103.1
2
在微观上，如电子 m=9.1?10-31Kg,速度 V=5.0?107m/s,
对应的德布罗意波长为：
nm2104.1
太小测不到！
§ 4 实物粒子的波动性一,德布罗意假设实物粒子具有波动性。并且 nhph
,
与粒子相联系的波称为 概率波 或 德布罗意波二．实验验证
K
G
B
D
探测器探测器电子束电子束电子枪电子枪
U
镍单晶镍单晶
电子通过镍单晶的衍射实验
1927年，戴维逊和革末
d
s ind
md 1015.2 10
m101065.1
德布罗意波长
vem
h
p
h
ke Em
h
2
λ＝ 1.67× 10－ 10 m
eV54
50
电子通过金多晶薄膜的衍射实验
电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验
（汤姆逊 1927）
（约恩逊 1961)
电子不仅在反射时有衍射现象，
汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象 X 射线一样产生衍射现象。
电子的衍射实验证明了德布罗意关系的正确性
。戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享 1937年的物理学诺贝尔奖金由于电子波长比可见光波长小 10-3? 10-5数量级，
从而可大大提高电子显微镜的分辨率。
我国已制成 80万倍的电子显微镜,能分辨大个分子有着广泛的应用前景。
(2) 波动性
,弥散性,,可叠加性,,干涉,,衍射,,偏振,? 具有频率和波矢
不是经典的波 不代表实在的物理量的波动
* 对波粒二象性的理解
(1) 粒子性
,原子性,或,整体性,
不是经典的粒子,抛弃了,轨道,概念
§ 4 不确定关系一,不确定关系的物理表述及物理意义
2
xpx
2
h
2
Et
x表示 粒子在 x方向上的位置的不确定范围,?px表示在 x方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数。
若一个粒子的能量状态是完全确定的，即?E=0，
则粒子停留在该态的时间为无限长,?t=?。
1927年海堡提出了不确定关系，是量子理论中的一个重要概念。
1932年获诺贝尔奖例如：小球质量 m=10-3千克，速度 V=10-1米 /秒
x=10-6米，则：
smkgxp x /1028.52 29
smV x /1028.5 26
例如：电子质量 me=9.1?10-31千克，在原子中电子的
x?10-10米，则：
sm
xm
V
e
x /106.02
6
结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身的大小可比，甚至还大。微观粒子的波粒两象性可用不确定关系具体说明。
pa x
pSin
y
X
p
二,电子单缝衍射电子单缝衍射实验说明了 电子的波粒两象性，
并验证了不确定关系。
aa
s in
根据单缝衍射公式半角宽：
电子通过单缝后，动量在 y方向上的改变至少：
s i ns i n ppp y
a
pp
y
2
ay电子通过单缝位置的不确定范围代入德布罗意关系,得出：
p
h hpy y 2
上述讨论只是反映不确定关系的实质，并不表示准确的量值关系。量子力学严格证明给出：
2/ ypy
三,不确定关系的应用在原子尺度内，
是个良好的近似。, ypy
tE
1,估算氢原子可能具有的最低能量电子束缚在半径为 r的球内，所以 rx
rpp /按不确定关系 rp /~
r
e
m
pE
oe42
22
当不计核的运动，氢原子的能量就是电子的能量：
代入上式得：
r
e
rm
E
oe42
2
2
2
m
me
hr
e
o
o
10
2
2
1053.0
基态能应满足：
0?dtdE
0
4 2
2
3
2
r
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rm oe
由此得出基态氢原子半径：
基态氢原子的能量：
eV
h
meE
o
e 6.13
8 22
4
m i n与波尔理论结果一致。
本例还说明,量子体系有所谓的零点能。
因为若束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，
即不被束缚。这与事实相符。
2,解释谱线的自然宽度
st 810原子中某激发态的平均寿命为普朗克能量子假说 不确定关系谱线的自然宽度
2
Et
2
hhE?
它能 解释谱线的自然宽度一个自由粒子有动能 E和动量 P。 对应的德布罗意波具有频率和波长：
h
E
p
h
p
k?
或者用角频率和波矢量表示：
单色平面波的复数形式为：
§ 5 波函数和概率波一,自由粒子平面波波函数对机械波有
)(c o s uxtAy
)( uxtiAe
)( kxtiAe
2?k
二,波函数的统计解释波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅
（几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态概率幅 —— 波函数 Ψ称为概率幅 (概率波幅 )
概率波的强度 —— 粒子到达该处的 概率,
也应与波函数中振幅平方成正比
（与经典波类比）
定义,时刻 t,在点（ x,y,z)
附近单位体积内发现粒子的概率概率密度 ——
2
如，在空间 r 处体积元 Δ xΔ yΔ z内出现的概率为
zyxP 2t)( r,
连续可微，且一阶导数也连续可微
1*
dV
)(),( trpiAetr 常数 2),( tr?，
在空间各点发现自由粒子的概率相同三,用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
(1)入射强电子流
(2)入射弱电子流
概率波的干涉结果四,波函数满足的条件
自然条件,单值、有限和连续
归一化条件
1,2 dVtr? )( 全空间
1P
A
2P
B
S? D
1
2
12P
五,概率幅叠加（态叠加）
1 缝单独开：
1
2
1 P
2 缝单独开：
2
2
2 P
2
2
2
12112 PPP
应为 概率幅叠加
2
21
2
1212P
2112
（态叠加原理）
—— 交叉项即为干涉项
12P
1,2 都开：
六,波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息哥本哈根学派：
爱因斯坦 狄拉克概率波的哲学意义,在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能结果的概率。
即没有严格的因果关系！
波恩、海森堡粒子波的概率性就是自然界的最终本质德布罗意
,上帝是不会跟宇宙玩掷骰子游戏的,
自然规律根本上是决定论的 。 最终的解释应该是某些变量的完全确定的数值演变的结果例题,设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：
)c o s ()e x p (),( bxtiEAtx
0),(?tx? )2/,2/( bxbx
)2/2/( bxb
其中 A为任意常数,E和 b均为 确定的常数求：归一化的波函数；几率密度 W？
1)(c o s
2/
2/
22
b
b
dx
b
xA?
1|),(||),(||),(|
2/
22/
2/
22/ 22
b
b
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即：
122 bA bA 2
由此可求出归一化的波函数和几率密度几率密度为：
)(c o s2),(),( 22 b xbtxtxW
)2/,2/( bxbx
)2/2/( bxb
0),(),( 2 txtxW?
如图所示，在区间
（?b/2,b/2)以外找不到粒子。在 x=0
处找到粒子的几率最大。
),( tx?
x
o b/2-b/2
),(2 tx?
作业,1.21 1.24 1.25 1.27
