第 2 章 薛定谔方程回顾,
])(s i n [),( 0 uxtAt txy
])(c o s [),( 022
2
uxtAt txy
2
2
202
2
2
2 1
])(c o s [
t
y
uu
xt
u
A
x
y
2
2
22
2 1
t
y
ux
y
波动的动力学方程
])(c o s [),( 0
u
xtAtxy由一维平面波函数一,自由粒子的 薛定谔方程沿 x方向运动的动能为 E和动量为 的自由粒子的波函数
§ 1 薛定谔方程
2
22
2 xmt
i
得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
)e x p (),( 0?
rpEt
itrk
一个动能为 E和动量为,即 波矢 为的自由粒子波函数,?
p
k?
p?
同样推广到三维如下：
),(),( trEi
t
tr
k
k?
显然，波函数对时间求导，可得出：
波函数对空间求导可得出：
);,(),( trpix tr kxk
);,(),( trpiy tr kyk
);,(),( trpiz tr kzk
),(),( 2
2
2
2
trp
x
tr
k
xk?
),(),( 2
2
2
2
tr
p
y
tr
k
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2
2
trp
z
tr
k
zk?
),(),()( 2
2
2
2
2
2
2
2
tr
p
tr
zyx kk
2
2
2
2
2
2
2
zyx?
定义算符：
),(),( 2
2
2 trptr
kk
则得：
m
pE
2
2
考虑自由粒子的能量：
),(
2
),( 22 tr
mt
tri
k
k
),(),(
2
2
2
trEtr
m kk
又因为：
得出：
自由粒子的薛定谔方程二,力场中粒子的薛定谔方程
)(rV?如果粒子在势场 中运动，能量：
)(
2
2
rV
m
pE
),()](
2
[),( 2
2
trrV
mt
tri
k
k
其薛定谔方程：
),(?),( trHt tri kk?
)](
2
[? 2
2
rV
m
H
定义哈密顿算符,
（也称能量算符）
则薛定谔方程为：
i E tertrΨ )(),(?
)()()()(
2 2
22
xExxV
x
x
m
—— 定态薛定谔方程
)( x
—— 粒子的 定态 波函数,描述的粒子的状态称为 定态 。
三,定态薛定谔方程薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。
对应的几率密度与时间无关。
)()(),(),( rrtrtr
)()()](
2
[ 2
2
rErrV
m
当 V＝ V(r) 时,
在一维情况下：
0
x
U(x)=0
a
势函数 0)(?xU )0( ax
)( xU 0(?x,)ax?
§ 2 无限深方势阱中的粒子
)()()()( xExxU
x
x
m
2
22
2
束缚态,粒子被限制在阱中的状态理论模型,自由电子很难从金属表面逸出
axxxExdx xdm,0)()()(2 2
22
axoxE
dx
xd
m
)()(
2 2
22
方程的解必处处为零 。
axxx,00)(?
根据波函数的标准化条件，在边界上
0)(,0)0( a所以，粒子被束缚在阱内运动 。
阱外,U
满足：? 阱内,0?U
axoxkxmE
dx
xd )()(2)( 2
22
2
在阱内的薛定谔 方程可写为：
类似于简谐振子的方程，其通解：
)s in ()( BkxAx
代入边界条件得,0s in)0( BA?
0)s in ()( BkaAa?
所以，
,3,2,1;0 nnkaB?
n不能取零，否则无意义。
2
2 2
mEk?因为
,3,2,1 nnka?
,3,2,1
2
2
2
22
nn
ma
E n?
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
结论,
,3,2,1),s i n ()( n
a
xnAx
1)(s in
0
22 dx
a
xnAa? aA
2?由归一化条件
2
)(s in
0
2 adx
a
xna
axn
a
xn
a
xn 0,3,2,1),s i n (2)(
axxxn,0,0)(?
一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
讨论,
nE)(xn?
n# 称 为量子数； 为本征态； 为本征能量。
零点能：
2
22
1 2 maEE
m i n
概率密度：
xanann 222 2 s i n
nmEp 2? n
a
nn ph
n
a2?
2 na
n
驻波
动量：
波长：
称为基态能量。
23 x? 3?n
24 x? 4?n
22 x? 2?n
21 x? 1?n
x a
4E
3E
2E
1E
x4?
x3?
x2?
x1?
)(x?
o
x
a
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级
n+1个节点
[ A ];2/1 a;/1 a
(A) 1/2a;
(B) 1/a;
(C)
(D)
例,已知在一维无限深矩形势阱中，粒子的波函数为 ;
a
x
ax 2
3c o s1
)(
则粒子在 x =5 a/6 处出现的几率密度为,
),( axa
作业,2.1 2.4 2.8
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波动的动力学方程
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§ 1 薛定谔方程
2
22
2 xmt
i
得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：
)e x p (),( 0?
rpEt
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一个动能为 E和动量为,即 波矢 为的自由粒子波函数,?
p
k?
p?
同样推广到三维如下：
),(),( trEi
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k
k?
显然，波函数对时间求导，可得出：
波函数对空间求导可得出：
);,(),( trpix tr kxk
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考虑自由粒子的能量：
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k
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m kk
又因为：
得出：
自由粒子的薛定谔方程二,力场中粒子的薛定谔方程
)(rV?如果粒子在势场 中运动，能量：
)(
2
2
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[),( 2
2
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其薛定谔方程：
),(?),( trHt tri kk?
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2
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2
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定义哈密顿算符,
（也称能量算符）
则薛定谔方程为：
i E tertrΨ )(),(?
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2 2
22
xExxV
x
x
m
—— 定态薛定谔方程
)( x
—— 粒子的 定态 波函数,描述的粒子的状态称为 定态 。
三,定态薛定谔方程薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。
对应的几率密度与时间无关。
)()(),(),( rrtrtr
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2
[ 2
2
rErrV
m
当 V＝ V(r) 时,
在一维情况下：
0
x
U(x)=0
a
势函数 0)(?xU )0( ax
)( xU 0(?x,)ax?
§ 2 无限深方势阱中的粒子
)()()()( xExxU
x
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2
22
2
束缚态,粒子被限制在阱中的状态理论模型,自由电子很难从金属表面逸出
axxxExdx xdm,0)()()(2 2
22
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2 2
22
方程的解必处处为零 。
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根据波函数的标准化条件，在边界上
0)(,0)0( a所以，粒子被束缚在阱内运动 。
阱外,U
满足：? 阱内,0?U
axoxkxmE
dx
xd )()(2)( 2
22
2
在阱内的薛定谔 方程可写为：
类似于简谐振子的方程，其通解：
)s in ()( BkxAx
代入边界条件得,0s in)0( BA?
0)s in ()( BkaAa?
所以，
,3,2,1;0 nnkaB?
n不能取零，否则无意义。
2
2 2
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,3,2,1 nnka?
,3,2,1
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22
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E n?
结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。
结论,
,3,2,1),s i n ()( n
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1)(s in
0
22 dx
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2?由归一化条件
2
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一维无限深方势阱中运动的粒子其波函数：
讨论,
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n# 称 为量子数； 为本征态； 为本征能量。
零点能：
2
22
1 2 maEE
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概率密度：
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驻波
动量：
波长：
称为基态能量。
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一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度稳定的驻波能级
n+1个节点
[ A ];2/1 a;/1 a
(A) 1/2a;
(B) 1/a;
(C)
(D)
例,已知在一维无限深矩形势阱中，粒子的波函数为 ;
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则粒子在 x =5 a/6 处出现的几率密度为,
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作业,2.1 2.4 2.8
