第 2章 投 影 基 础第 2章 投 影 基 础
2.1 投 影 法
2.2 物体的三视图
2.3 点、直线、平面的投影第 2章 投 影 基 础
2.1 投 影 法
2.1.1 投影法的基本知识物体在阳光或灯光等光线的照射下,就会在墙面或地面上投下影子,投影法就是将这一现象进行科学地抽象,其中,光源称为投射中心,光线称为投射线,
墙面或地面称为投影面,影子称为物体的投影 。 这种研究空间物体与其投影之间关系的方法,称为投影法 。
投影法分为中心投影法和平行投影法两种 。
第 2章 投 影 基 础
1,中心投影法如图 2-1(a)所示，设 S为投射中心，通过三角形上各点的投射线与投影面的交点称为点在平面上的投影，
这种投射线都通过投射中心的投影法称为中心投影法。
日常生活中，照相、电影和人眼看东西得到的影像，
都属于中心投影。由于用中心投影法绘制的图形符合人们的视觉习惯，立体感强，因而常用来绘制建筑物的透视图。但是，由于中心投影法作图复杂，且度量性差，故机械图样中很少采用。
第 2章 投 影 基 础图 2-1 投影的分类
(a) 中心投影； (b)斜投影； (c) 正投影第 2章 投 影 基 础图 2-1 投影的分类
(a) 中心投影； (b)斜投影； (c) 正投影第 2章 投 影 基 础
2,平行投影法将投射中心 S移到无穷远,使所有的投射线都相互平行,这种投影法称为平行投影法 。 按投射线与投影面是否垂直,平行投影法又可分为正投影法和斜投影法 。
1) 斜投影法投射线倾斜于投影面的投影法，如图 2-1(b)所示。
第 2章 投 影 基 础
2) 正投影法投射线垂直于投影面的投影法,如图 2-1(c)所示 。
由于正投影能准确地反映物体的形状和大小，便于测量，且作图简便，所以机械图样通常采用正投影法绘制。今后若不特别说明，投影均指正投影。
第 2章 投 影 基 础
2.1.2 正投影的基本特性
1,真实性当直线 （ 或平面 ） 平行于投影面时,其投影反映实长 （ 或实形 ）,这种投影特性称为真实性,如图 2-
2(a)所示 。
2,积聚性当直线 （ 或平面 ） 垂直于投影面时,其投影积聚成点 （ 或直线 ）,这种投影特性称为积聚性,如图 2-
2(b)所示 。
第 2章 投 影 基 础
3,类似性当直线或平面既不平行也不垂直于投影面时，直线的投影仍然是直线，但长度缩短，平面的投影是原图形的类似形（与原图形边数相同，平行线段的投影仍然平行），但投影面积变小，这种投影特性称为类似性，如图 2-2(c)所示。
第 2章 投 影 基 础图 2-2 正投影的特性
(a) 真实性； (b)积聚性； (c) 类似性第 2章 投 影 基 础
2.2 物体的三视图根据有关标准和规定,用正投影法绘制出的物体的图形,称为视图 。 一个视图一般只能反映出物体一个方向的形状,为了完整地表达物体的形状,常采用从几个不同方向进行投射的多面正投影图 。
第 2章 投 影 基 础
2.2.1 三视图的形成
1,三投影面体系的建立用三个互相垂直的投影面构成一个三投影面体系,
三个投影面分别为：正立投影面,用 V表示；水平投影面,用 H表示；侧立投影面,用 W表示 。
三个投影面之间的交线称为投影轴,分别用 OX、
OY,OZ表示,如图 2-3所示 。
第 2章 投 影 基 础第 2章 投 影 基 础
2,三视图的形成将物体置于三投影面体系中,按正投影法分别向三个投影面投射,其 V面投影称为主视图,H面投影称为俯视图,W面投影称为左视图 。
3,三投影面的展开为了把物体的三面投影画在同一平面上,规定 V面不动,将 H面绕 OX轴向下旋转 90°,W面绕 OZ轴向后旋转 90°,与 V面处在同一平面上 。 由于视图的形状和物体与投影面之间的距离无关,因此工程图样上通常不画投影轴和投影面的边框,如图 2-4所示 。
第 2章 投 影 基 础图 2-4 三视图的形成第 2章 投 影 基 础图 2-4 三视图的形成第 2章 投 影 基 础图 2-4 三视图的形成第 2章 投 影 基 础图 2-4 三视图的形成第 2章 投 影 基 础
2.2.2 三视图之间的对应关系如图 2-3所示,主视图反映物体上下,左右的位置关系,即反映物体的高度和长度；俯视图反映物体左右,
前后的位置关系,即反映物体的长度和宽度；左视图反映物体上下,前后的位置关系,即反映物体的高度和宽度 。 由此可得到三视图之间的对应关系：主,俯视图长对正；主,左视图高平齐；俯,左视图宽相等 。
第 2章 投 影 基 础
“长对正,高平齐,宽相等,是画图和读图必须遵循的最基本的投影规律 。 应用这个规律作图时,要注意物体的上,下,左,右,前,后六个方位与视图的关系 。 如俯视图的下面和左视图右面都反映物体的前面,俯视图的上面和左视图的左面都反映物体的后面,
即,远离主视为前,。 因此,在俯,左视图上量取宽度时,要特别注意量取的起点和方位 。
第 2章 投 影 基 础
2.2.3 画三视图的方法首先,选择反映物体形状特征最明显的方向作为主视图的投射方向 。 将物体在三投影面体系中放正,
然后,保持物体不动,按正投影法向各投影面投射,
具体画图步骤如图 2-5所示 。
第 2章 投 影 基 础图 2-5 物体的三视图第 2章 投 影 基 础图 2-5 物体的三视图第 2章 投 影 基 础图 2-5 物体的三视图第 2章 投 影 基 础图 2-5 物体的三视图第 2章 投 影 基 础
2.3 点、直线、平面的投影
2.3.1 点的投影
1,点的三面投影规律点的投影仍为一点,且空间点在一个投影面上有唯一的投影；但已知点的一个投影,不能唯一确定点的空间位置 。 在三投影面体系中,过点 A分别向三投影面作垂线 （ 投射线 ）,垂足 a,a′,a″即为点 A的三面投影 。
第 2章 投 影 基 础空间点及其投影的标记规定为：
空间点用大写拉丁字母表示，如 A,B,C … ；水平投影用相应的小写字母表示，如 a,b,c … ；正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如 a′,b′,c′… ；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如 a″,b″,c″…,
如图 2-6所示。
第 2章 投 影 基 础图 2-6 点的三面投影第 2章 投 影 基 础图 2-6 点的三面投影第 2章 投 影 基 础图 2-6 点的三面投影第 2章 投 影 基 础由图 2-6可以得出点在三投影面体系中的投影规律：
(1) 点的正面投影和水平投影的连线垂直于 OX轴,
即 a′a⊥ OX。
(2) 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于 OZ轴,
即 a′a″⊥ OZ。
(3) 点的水平投影到 OX轴的距离等于点的侧面投影到 OZ轴的距离，即 aaX＝ a″aZ，可以用 45° 线反映该关系。
第 2章 投 影 基 础
2,点的直角坐标如果把三投影面体系看作直角坐标系,把投影面
H,V,W作为坐标面,投影轴 X,Y,Z作为坐标轴,
则点 A的直角坐标 （ x,y,z） 便是 A点分别到 W,V、
H面的距离 。 点的每一个投影由其中的两个坐标所确定：
V面投影 a′由 xA和 zA确定； H面投影 a由 xA和 yA确定；
W面投影 a″由 yA和 zA确定 。 点的任意两投影包含了点的三个坐标,因此根据点的三个坐标值以及点的投影规律就能作出该点的三面投影图,也可以由点的两面投影补画出点的第三面投影 。
第 2章 投 影 基 础例 1 已知点 A的 V面投影 a′和 H面投影 a,求 W面投影 a″（ 图 2-7） 。
第 2章 投 影 基 础作图：
(1) 过原点 O作 45° 线 。
(2) 过 a作平行于 X轴的直线与 45° 线相交,再过交点作平行于 Z轴的直线 。
(3) 过 a′作平行于 X轴的直线与平行于 Z轴的直线相交于 a″，即为所求。
第 2章 投 影 基 础
2.3.2 直线的投影直线的投影一般仍为直线,两点可以唯一确定一直线,所以在绘制直线的投影图时,只要作出直线上任意两点的投影,然后连接这两点的同面投影,即是直线的三面投影图,如图 2-8所示 。
第 2章 投 影 基 础图 2-8 直线的投影第 2章 投 影 基 础图 2-8 直线的投影第 2章 投 影 基 础根据直线与三个投影面的相对位置不同,可以把直线分为三种：
一般位置直线 ——与三个投影面都倾斜的直线 。
投影面平行线 ——平行于一个投影面,倾斜于另外两个投影面的直线 。
投影面垂直线 ——垂直于一个投影面,同时必平行于另外两投影面的直线 。
投影面平行线和投影面垂直线统称为特殊位置直线。
第 2章 投 影 基 础
1,一般位置直线如图 2-8所示的直线即为一般位置直线 。
一般位置直线的投影特性：
(1) 三面投影都倾斜于投影轴 。
(2) 投影长度均比实长短，具有类似性。
第 2章 投 影 基 础
2,投影面平行线投影面平行线可分为三种：平行于 V面的正平线；
平行于 H面的水平线；平行于 W面的侧平线 。 见表 2-1。
投影面平行线的投影特性：
(1) 在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长,具有真实性 。
(2) 在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短,具有类似性 。
第 2章 投 影 基 础
3,投影面垂直线投影面垂直线也可分为三种：垂直于 V面的正垂线；
垂直于 H面的铅垂线；垂直于 W面的侧垂线 。 见表 2-2。
投影面垂直线的投影特性：
(1) 在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点,具有积聚性 。
(2) 在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴,且反映该线段的实长,具有真实性 。
第 2章 投 影 基 础
2.3.3 平面的投影平面与投影面的相对位置有三种：
一般位置平面 ——与三个投影面都倾斜的平面 。
投影面垂直面 ——垂直于一个投影面,倾斜于另外两个投影面的平面 。
投影面平行面 —— 平行于一个投影面，必然垂直于另外两个投影面的平面。
第 2章 投 影 基 础
1,一般位置平面一般位置平面的投影如图 2-9所示 。 由于三角形
ABC对 V,H,W面都倾斜,因此它的三个投影都是三角形,为原平面图形的类似形,而且面积比实形小 。
第 2章 投 影 基 础第 2章 投 影 基 础
2,投影面垂直面投影面垂直面可分为三种：垂直于 V面的正垂面；
垂直于 H面的铅垂面；垂直于 W面的侧垂面。见表 2-3。
投影面垂直面的投影特性：
(1) 在与其所垂直的投影面上的投影,积聚成倾斜于投影轴的直线,具有积聚性 。
(2) 其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形，具有类似性。
第 2章 投 影 基 础
3,投影面平行面投影面平行面也可分为三种：平行于 V面的正平面；
平行于 H面的水平面；平行于 W面的侧平面。见表 2-4。
投影面平行面的投影特性：
(1) 在与其平行的投影面上的投影,反映平面图形的实形,具有真实性 。
(2) 在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投影轴的直线,具有积聚性 。
2.1 投 影 法
2.2 物体的三视图
2.3 点、直线、平面的投影第 2章 投 影 基 础
2.1 投 影 法
2.1.1 投影法的基本知识物体在阳光或灯光等光线的照射下,就会在墙面或地面上投下影子,投影法就是将这一现象进行科学地抽象,其中,光源称为投射中心,光线称为投射线,
墙面或地面称为投影面,影子称为物体的投影 。 这种研究空间物体与其投影之间关系的方法,称为投影法 。
投影法分为中心投影法和平行投影法两种 。
第 2章 投 影 基 础
1,中心投影法如图 2-1(a)所示，设 S为投射中心，通过三角形上各点的投射线与投影面的交点称为点在平面上的投影，
这种投射线都通过投射中心的投影法称为中心投影法。
日常生活中，照相、电影和人眼看东西得到的影像，
都属于中心投影。由于用中心投影法绘制的图形符合人们的视觉习惯，立体感强，因而常用来绘制建筑物的透视图。但是，由于中心投影法作图复杂，且度量性差，故机械图样中很少采用。
第 2章 投 影 基 础图 2-1 投影的分类
(a) 中心投影； (b)斜投影； (c) 正投影第 2章 投 影 基 础图 2-1 投影的分类
(a) 中心投影； (b)斜投影； (c) 正投影第 2章 投 影 基 础
2,平行投影法将投射中心 S移到无穷远,使所有的投射线都相互平行,这种投影法称为平行投影法 。 按投射线与投影面是否垂直,平行投影法又可分为正投影法和斜投影法 。
1) 斜投影法投射线倾斜于投影面的投影法，如图 2-1(b)所示。
第 2章 投 影 基 础
2) 正投影法投射线垂直于投影面的投影法,如图 2-1(c)所示 。
由于正投影能准确地反映物体的形状和大小，便于测量，且作图简便，所以机械图样通常采用正投影法绘制。今后若不特别说明，投影均指正投影。
第 2章 投 影 基 础
2.1.2 正投影的基本特性
1,真实性当直线 （ 或平面 ） 平行于投影面时,其投影反映实长 （ 或实形 ）,这种投影特性称为真实性,如图 2-
2(a)所示 。
2,积聚性当直线 （ 或平面 ） 垂直于投影面时,其投影积聚成点 （ 或直线 ）,这种投影特性称为积聚性,如图 2-
2(b)所示 。
第 2章 投 影 基 础
3,类似性当直线或平面既不平行也不垂直于投影面时，直线的投影仍然是直线，但长度缩短，平面的投影是原图形的类似形（与原图形边数相同，平行线段的投影仍然平行），但投影面积变小，这种投影特性称为类似性，如图 2-2(c)所示。
第 2章 投 影 基 础图 2-2 正投影的特性
(a) 真实性； (b)积聚性； (c) 类似性第 2章 投 影 基 础
2.2 物体的三视图根据有关标准和规定,用正投影法绘制出的物体的图形,称为视图 。 一个视图一般只能反映出物体一个方向的形状,为了完整地表达物体的形状,常采用从几个不同方向进行投射的多面正投影图 。
第 2章 投 影 基 础
2.2.1 三视图的形成
1,三投影面体系的建立用三个互相垂直的投影面构成一个三投影面体系,
三个投影面分别为：正立投影面,用 V表示；水平投影面,用 H表示；侧立投影面,用 W表示 。
三个投影面之间的交线称为投影轴,分别用 OX、
OY,OZ表示,如图 2-3所示 。
第 2章 投 影 基 础第 2章 投 影 基 础
2,三视图的形成将物体置于三投影面体系中,按正投影法分别向三个投影面投射,其 V面投影称为主视图,H面投影称为俯视图,W面投影称为左视图 。
3,三投影面的展开为了把物体的三面投影画在同一平面上,规定 V面不动,将 H面绕 OX轴向下旋转 90°,W面绕 OZ轴向后旋转 90°,与 V面处在同一平面上 。 由于视图的形状和物体与投影面之间的距离无关,因此工程图样上通常不画投影轴和投影面的边框,如图 2-4所示 。
第 2章 投 影 基 础图 2-4 三视图的形成第 2章 投 影 基 础图 2-4 三视图的形成第 2章 投 影 基 础图 2-4 三视图的形成第 2章 投 影 基 础图 2-4 三视图的形成第 2章 投 影 基 础
2.2.2 三视图之间的对应关系如图 2-3所示,主视图反映物体上下,左右的位置关系,即反映物体的高度和长度；俯视图反映物体左右,
前后的位置关系,即反映物体的长度和宽度；左视图反映物体上下,前后的位置关系,即反映物体的高度和宽度 。 由此可得到三视图之间的对应关系：主,俯视图长对正；主,左视图高平齐；俯,左视图宽相等 。
第 2章 投 影 基 础
“长对正,高平齐,宽相等,是画图和读图必须遵循的最基本的投影规律 。 应用这个规律作图时,要注意物体的上,下,左,右,前,后六个方位与视图的关系 。 如俯视图的下面和左视图右面都反映物体的前面,俯视图的上面和左视图的左面都反映物体的后面,
即,远离主视为前,。 因此,在俯,左视图上量取宽度时,要特别注意量取的起点和方位 。
第 2章 投 影 基 础
2.2.3 画三视图的方法首先,选择反映物体形状特征最明显的方向作为主视图的投射方向 。 将物体在三投影面体系中放正,
然后,保持物体不动,按正投影法向各投影面投射,
具体画图步骤如图 2-5所示 。
第 2章 投 影 基 础图 2-5 物体的三视图第 2章 投 影 基 础图 2-5 物体的三视图第 2章 投 影 基 础图 2-5 物体的三视图第 2章 投 影 基 础图 2-5 物体的三视图第 2章 投 影 基 础
2.3 点、直线、平面的投影
2.3.1 点的投影
1,点的三面投影规律点的投影仍为一点,且空间点在一个投影面上有唯一的投影；但已知点的一个投影,不能唯一确定点的空间位置 。 在三投影面体系中,过点 A分别向三投影面作垂线 （ 投射线 ）,垂足 a,a′,a″即为点 A的三面投影 。
第 2章 投 影 基 础空间点及其投影的标记规定为：
空间点用大写拉丁字母表示，如 A,B,C … ；水平投影用相应的小写字母表示，如 a,b,c … ；正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如 a′,b′,c′… ；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如 a″,b″,c″…,
如图 2-6所示。
第 2章 投 影 基 础图 2-6 点的三面投影第 2章 投 影 基 础图 2-6 点的三面投影第 2章 投 影 基 础图 2-6 点的三面投影第 2章 投 影 基 础由图 2-6可以得出点在三投影面体系中的投影规律：
(1) 点的正面投影和水平投影的连线垂直于 OX轴,
即 a′a⊥ OX。
(2) 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于 OZ轴,
即 a′a″⊥ OZ。
(3) 点的水平投影到 OX轴的距离等于点的侧面投影到 OZ轴的距离，即 aaX＝ a″aZ，可以用 45° 线反映该关系。
第 2章 投 影 基 础
2,点的直角坐标如果把三投影面体系看作直角坐标系,把投影面
H,V,W作为坐标面,投影轴 X,Y,Z作为坐标轴,
则点 A的直角坐标 （ x,y,z） 便是 A点分别到 W,V、
H面的距离 。 点的每一个投影由其中的两个坐标所确定：
V面投影 a′由 xA和 zA确定； H面投影 a由 xA和 yA确定；
W面投影 a″由 yA和 zA确定 。 点的任意两投影包含了点的三个坐标,因此根据点的三个坐标值以及点的投影规律就能作出该点的三面投影图,也可以由点的两面投影补画出点的第三面投影 。
第 2章 投 影 基 础例 1 已知点 A的 V面投影 a′和 H面投影 a,求 W面投影 a″（ 图 2-7） 。
第 2章 投 影 基 础作图：
(1) 过原点 O作 45° 线 。
(2) 过 a作平行于 X轴的直线与 45° 线相交,再过交点作平行于 Z轴的直线 。
(3) 过 a′作平行于 X轴的直线与平行于 Z轴的直线相交于 a″，即为所求。
第 2章 投 影 基 础
2.3.2 直线的投影直线的投影一般仍为直线,两点可以唯一确定一直线,所以在绘制直线的投影图时,只要作出直线上任意两点的投影,然后连接这两点的同面投影,即是直线的三面投影图,如图 2-8所示 。
第 2章 投 影 基 础图 2-8 直线的投影第 2章 投 影 基 础图 2-8 直线的投影第 2章 投 影 基 础根据直线与三个投影面的相对位置不同,可以把直线分为三种：
一般位置直线 ——与三个投影面都倾斜的直线 。
投影面平行线 ——平行于一个投影面,倾斜于另外两个投影面的直线 。
投影面垂直线 ——垂直于一个投影面,同时必平行于另外两投影面的直线 。
投影面平行线和投影面垂直线统称为特殊位置直线。
第 2章 投 影 基 础
1,一般位置直线如图 2-8所示的直线即为一般位置直线 。
一般位置直线的投影特性：
(1) 三面投影都倾斜于投影轴 。
(2) 投影长度均比实长短，具有类似性。
第 2章 投 影 基 础
2,投影面平行线投影面平行线可分为三种：平行于 V面的正平线；
平行于 H面的水平线；平行于 W面的侧平线 。 见表 2-1。
投影面平行线的投影特性：
(1) 在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长,具有真实性 。
(2) 在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短,具有类似性 。
第 2章 投 影 基 础
3,投影面垂直线投影面垂直线也可分为三种：垂直于 V面的正垂线；
垂直于 H面的铅垂线；垂直于 W面的侧垂线 。 见表 2-2。
投影面垂直线的投影特性：
(1) 在与其垂直的投影面上的投影积聚为一点,具有积聚性 。
(2) 在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴,且反映该线段的实长,具有真实性 。
第 2章 投 影 基 础
2.3.3 平面的投影平面与投影面的相对位置有三种：
一般位置平面 ——与三个投影面都倾斜的平面 。
投影面垂直面 ——垂直于一个投影面,倾斜于另外两个投影面的平面 。
投影面平行面 —— 平行于一个投影面，必然垂直于另外两个投影面的平面。
第 2章 投 影 基 础
1,一般位置平面一般位置平面的投影如图 2-9所示 。 由于三角形
ABC对 V,H,W面都倾斜,因此它的三个投影都是三角形,为原平面图形的类似形,而且面积比实形小 。
第 2章 投 影 基 础第 2章 投 影 基 础
2,投影面垂直面投影面垂直面可分为三种：垂直于 V面的正垂面；
垂直于 H面的铅垂面；垂直于 W面的侧垂面。见表 2-3。
投影面垂直面的投影特性：
(1) 在与其所垂直的投影面上的投影,积聚成倾斜于投影轴的直线,具有积聚性 。
(2) 其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形，具有类似性。
第 2章 投 影 基 础
3,投影面平行面投影面平行面也可分为三种：平行于 V面的正平面；
平行于 H面的水平面；平行于 W面的侧平面。见表 2-4。
投影面平行面的投影特性：
(1) 在与其平行的投影面上的投影,反映平面图形的实形,具有真实性 。
(2) 在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投影轴的直线,具有积聚性 。
