第 1 章 极限与连续极根概念是在研究變數在某一过程中的變化趋势时引出现的。它是微积分學的重要基本概念之一个，微积分學中的其其他几个重要概念，如连續，導數，定积分等，首都是用途极根表着述的，并列且微积分學中的很多定理也是用途极根推测方法的导出來的。這一章我們在對函數進行復習和補充的基礎上將介紹數列與函數極限的概念，求極限的方法及函數的連續性。
§1.1 函数教学内容：函数、反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数，函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念。
教学目标：了解反函数、函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念；理解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数的概念；掌握复合函数的复合过程。
教学要点：
重点：函数、反函数、复合函数、分段函数、初等函数的概念难点：分段函数概念，复合函数的分解。
教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
函数是微积分学研究的对象。在中学里我们已经学习过函数概念，在这里我们不是进行简单的重复，而是要从全新的视角来对它进行描述并重新分类。
② 讲授新课：
1.1.1 函数的概念
1．常量与变量在日常生活、生产活动和经济活动中，经常遇到各种不同的量。这些量可以分为两类，一类是在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们称它为常量；另一量在所考察的过程中是变化的，可以取不同的数值，我们称它为变量。
在理解常量与变量时，应注意下面几点：
⑴常量和变量依赖于所研究的过程。同一个量，在某一过程中可以认为是常量，而在另一过程中则可能是变量；反过来也是同样的。这说明常量和变量具有相对性。
⑵从几何意义上讲，常量对应着数轴上的定点，变量则对应数轴上的动点。
⑶一个变量所能取的数值的集合叫做这个变量的变动区域。
有一类变量，可以取介于两个实数之间的任意实数值，叫做连续变量，连续变量的变动区域常用区间表示。
2．函数的概念及表示法在某个变化过程中，往往出现多个变量，这些变量不是彼此孤立的，而是相互影响和相互制约的，一个量或一些量的变化会引起另一个量的变化。如果这些影响是确定的，是依照某一规则的，那么我们说这些变量之间存在着函数关系。
定义1.1 设x和y两个变量，若当变量x在非空数集D内任取一数值时，变量y依照某一规则f总有一个确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作y=f(x)。这里，x称为自变量，y称为因变量或函数。f是函数符号，它表示y与x的对应规则。有时函数符号也可用其它字母表示。
集合D称为函数的定义域，相应的y值的集合则称为函数的值域M。
当自变量x在其定义域内取定某确定值x0时，因变量y按照所给函数关系y=f(x)求出的对应值y0叫做当x=x0时函数值，记作y|x=x或f(x0)。
应当指出，在实际应用问题中，除了要根据解析式子本身来确定自变量的取值范围外，还要考虑到变量的实际意义，一般而言，经济变量往往取正值，即变量都是大于○的。
常用的函数表示法有解析法（又称公式法）、表格法和图形法。
3．分段函数把定义域分成若干部分，函数关系由不同的式子分段表达的函数称为分段函数。分段函数是微积分中常见的一种函数。例如在中学数学课出现过的绝对值函数可以表示成
注意：分段函数是由几个关系式合起来表示一个函数，而不是几个函数。对于自变量x在定义域内的某个值，分段函数y只能确定唯一的值。分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并。
1.1.2 函数的几种特性
1．函数的有界性定义1.2 设函数y=f(x)在集合D上有定义，如果存在一个正数M，对于所有的x∈D，恒有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在D上是有界的。如果不存在这样的正数M，则称f(x)在D上是无界的。
函数y=f(x)在区间（a,b）内有界的几何意义是：曲线y=f(x)在区间（a,b）内被限制在y=-M和y=M两条直线之间对于有界性，要注意以下两点,
⑴当一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有界时，正数M的取法不是唯一的，
⑵有界性是依赖于区间的。
2．函数的奇偶性定义1.3 设函数y=f(x)在集合D上有定义，如果对任意的x∈D，恒有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对任意的x∈D，恒有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。 如图1-1
由定义可知，对任意的x∈D，必有-x∈D,否则，f(-x)没有意义。因此函数具有奇偶性时，其定义域定是关于原点对称的。
偶函数的图像是对称于y轴的，奇函数的图像是对称于原点的。
3．函数的单调性定义1.4 设函数y=f(x)在区间(a,b)内的任意两点x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在(a,b)内是单调增加的；如果对于(a,b)内的任意两点x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在(a,b)内是单调减少的。
单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数。
单调增加函数的图像是沿x轴正向逐渐上升的，单调减少函数的图像是沿x轴正向逐渐下降的。
4．函数的周期性定义1.5 对于函数y=f(x)，如果存在正数a，使f(x)=f(x+a)恒成立，则称此函数为周期函数。满足这个等式的最小正数a称为函数的周期。
1.1.3 反函数定义1.6 设y=f(x)是x的函数，其值域为R，如果对于R中的每一个y值，都有一个确定的且满足y=f(x)的x值与之对应，则得到一个定义在R上的以y为自变量，x为因变量的新函数，我们称它为y=f(x)的反函数，记作x=f –1(y)。并称y=f(x)为直接（原）函数。
当然我们也可以说y=f(x)是x=f –1(x)的反函数，就是说，它们互为反函数。显然，由定义知，单调函数一定有反函数。习惯上，我们总是用x表示自变量，用y表示因变量，所以通常把x=f –1(x)改写为y=f –1(x)。
从上面的定义容易得出，求反函数的过程可以分为两步：第一步从y=f(x)解出x=f –1(y)；第二步交换字母x和y。
可以证明，函数y=f(x)与其反函数y=f –1(x)的图像关于直线y=x对称。
1.1.4 基本初等函数基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六大类，它们是微积分中所研究对象的基础。
常数函数y=c
它的定义域是(-∞,+∞)，由于无论x取何值，都有y=c，所以，它的图像是过点(0,c)平行于x轴的一条直线，它是偶函数。
2．幂函数y=xα（α为实数）
幂函数的情况比较复杂，我们分α>0和α<0来讨论。
当α取不同值时，幂函数的定义域不同，为了便于比较，我们只讨论x≥0的情形，而x<0时图像可根据函数的奇偶性确定。
当α>0时，函数的图像通过原点(0,0) 和点(1,1)，在(0,+∞)内单调增加且无界。
当α<0时，图像不过原点，但仍通过点(1,1)，在(0,+∞)内单调减少、无界，曲线以x轴和y轴为渐近线。
3．指数函数y=ax(a>0,a≠1)
它的定义域是(-∞,+∞)，由于无论x取何值，总有ax>0，且a0=1，所以它的图像全部在x轴上方，且通过点(0,1)。也就是说，它的值域是(0,+∞)。
当a>1时，函数单调增加且无界，曲线以x轴负半轴为渐近线；当0<a<1时，函数单调减少且无界，曲线以x轴正半轴为渐近线。
应特别注意指数函数与幂函数的区别：在幂函数y=xα中，自变量x在底的位置，指数α是常数；而在指数函数y=ax中，自变量x在指数函数位置，底的位置是常数a。
4．对数函数y=logax(a>0,a≠1)
它的定义域是(0,+∞)，图像全部在y轴右方，值域是(-∞,+∞)。无论a取何值，曲线都经过点(1,0)。
当a>1时，函数单调增加且无界，曲线以y轴负半轴为渐近线；当0<a<1时，函数单调减少且无界，曲线以y轴正半轴为渐近线。
对数函数y=logax和指数函数y=ax互为反函数，它们的图像关于y=x对称。
以无理数e=2.718 281 8…为底的对数函数y=logex叫做自然对数函数，简记作y=ln x，是微积分中常用的函数。
5．三角函数三角函数包括下面六个函数：
⑴正弦函数 y=sin x；
⑵余弦函数 y=cos x；
⑶正切函数 y=tan x；
⑷余切函数 y=cot x；
⑸正割函数 y=sec x；
⑹余割函数 y=csc x。
在微积分中，三角函数的自变量x采用弧度制，而不用角度制。角度与弧度之间可利用公式 π弧度=180°来换算。
函数y=sin x的定义域为(-∞,+∞)，值域为[-1,1]，奇函数，以2π为周期，有界。
函数y=cos x的定义域为(-∞,+∞)，值域为[-1,1]，偶函数，以2π为周期，有界。
函数y=tan x的定义域为x≠kπ+(k=0,±1,±2,…)，值域为(-∞,+∞)，奇函数，以π为周期，在每一个周期内单调增加，以直线x= kπ+( k=0,±1,±2,…)为渐近线。
函数y=cot x的定义域为x≠kπ( k=0,±1,±2,…)，值域为(-∞,+∞)，奇函数，以π为周期，在每一个周期内单调减少，以直线x= kπ ( k=0,±1,±2,…)为渐近线。
关于函数y=sec x和y=csc x我们不作详细讨论，只需知道它们分别为sec x=和csc x=。
6．反三角函数常用的反三角函数有四个：
⑴反正弦函数 y=arcsin x；
⑵反余弦函数 y=arccos x；
⑶反正切函数 y=arctan x；
⑷反余切函数 y=arccot x。
它们是作为相应三角函数的反函数定义出来的。
Y=arcsin x的含义是正弦值等于x的角。与三角函数相反，这里自变量x表示正弦值，而y表示角，准确的说，是角的弧度数。为了避免y=arcsin x的多值性，我们限定了一个区间[-,+]，叫做反正弦函数的主值区间。而小写字头的符号arcsin x则表示主值区间内的反正弦。
类似的，对其它几种反三角函数都规定了相应的主值区间，保证了它们的单值性。当然由于函数的性质不同，它们的主值区间范围不同罢了。
y=arcsin x，定义域是[-1,1]，值域[-,+]，是单调增加的奇函数，有界。
y=arccos x，定义域是[-1,1]，值域[0,π]，是单调减少的函数，有界。
y=arctan x，定义域是(-∞,+∞)，值域(-,+)，是单调增加的奇函数，有界。
y=arccot x，定义域是(-∞,+∞)，值域(0,π)，是单调减少的函数，有界。
1.1.5 复合函数与初等函数
1．复合函数在现实经济活动中，我们会遇到这样的问题：一般来说成本C可以看成产量q的函数，而产量q又是时间t的函数，时间t通过产量q间接影响成本C，那么成本C仍然可以看作时间t的函数，C与t的这种函数关系称作一种复合函数关系。
定义1.7 设y是u的函数y=f(u)，u是x的函数u=φ(x)，如果u=φ(x)的值域或其部分包含在y=f(u)的定义域中，则y通过中间变量u构成x的函数，称为x的复合函数，记作
y=f[φ(x)]，
其中x是自变量，u称作中间变量。
对于复合函数，作如下说明：
⑴不是任何两个函数都可以构成一个复合函数。
⑵复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，这些中间变量是经过多次复合产生的。
⑶复合函数通常不一定是由纯粹的基本初等函数复合而成，而更多的是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函数构成的，这样，复合函数的合成和分解往往是对简单函数的。
2．初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合而成的函数叫做初等函数，一般说来，初等函数都可以用一个解析式子表示。
③ 巩固练习：Ex1 Q1~11
④ 课节小结：理解函数概念首先应该明确它是不同于相关关系的确定性，其次要掌握好函数概念的三要素，能正确确定函数的定义域和判断它的值域，理解函数符号的含义。
在理解函数概念的基础上，还要进一步掌握函数几种特性的表达式和几何意义，反函数的概念和几何意义，分段函数的概念和求值方式，六类基本初等函数的性质和图象，复合函数和初等函数的概念。
⑤ 课后作业：
§1.2 极限的概念教学内容：数列极限、函数极限的定义，函数左、右极限的概念。
教学目标：了解函数极限的定义，掌握函数左、右极限的概念。
教学要点：
重点：函数极限的定义，函数左、右极限的概念。
难点：函数极限的定义，函数左、右极限的概念。
教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
② 讲授新课：
1.1.1 数列的极限数列无穷多个按一定规则排列的一串数
x1,x2,x3,… xn …,
称作数列，简记作{xn}。其中，x1叫做数列的第一项，x2叫做数列的第二项，…，xn叫做数列的第n项，又称一般项。
数列可以看作是定义域为全体正整数的函数。
2．数列的极限定义1.8对于数列{xn}，如果当n无限变大时，xn趋于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以A为极限，记作
xn=A或xn→A (n→∞)，
亦称数列{xn}收敛于A；如果数列{xn}没有极限，就称{xn}是发散的。
注：此教材中极限定义都是描述性定义。
1.2.2 函数的极限
1．x→∞时函数的极限定义1.9 如果当x的绝对值无限增大时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x→∞时函数f(x)以A为极限。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→∞)。
如果从某一时刻起，x只能取正值或取负值趋于无穷，则有下面的定义。
定义1.9’ 如果当x>0且无限增大时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x→＋∞时函数f(x)以A为极限。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→＋∞)。
定义1.9” 如果当x<0且x绝对值无限增大时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x→－∞时函数f(x)以A为极限。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→－∞)
2．X→x0时函数的极限定义1.10 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域（点x0本身可以除外）内有定义，如果当x趋于x0（但x≠x0）时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x趋于x0时，f(x)以A为极限。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→x0)
亦称当x→x0时，f(x)的极限存在，否则称当x→x0时，f(x)的极限不存在。
例 两个常用极限：
⑴x=x0
⑵c=c
3．左极限与右极限定义1.11 设函数y=f(x)在点x0右侧的某个邻域（点x0本身可以除外）内有定义，如果当x>x0趋于x0时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x趋于x0时，f(x)的右极限是A。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→x0+)。
设函数y=f(x)在点x0左侧的某个邻域（点x0本身可以除外）内有定义，如果当x<x0趋于x0时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x趋于x0时，f(x)的左极限是A。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→x0-)。
定理1.1 当x→x0时，f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在点x0处左、右极限存在且都等于A。即
f(x)=A(f(x)=f(x)=A。
③ 巩固练习：
④ 课节小结：数列极限的定义、函数极限的六种形式，极限存在的充要条件。
⑤ 课后作业：
§1.3 无穷小量与无穷大量教学内容：无穷小、无穷大的概念，无穷小的性质，无穷小的比较教学目标：了解无穷小、无穷大的概念，理解无穷小的性质，会对无穷小进行比较。
教学要点：
重点：无穷小、无穷大的概念，无穷小的性质。
难点：无穷小的比较教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
极限的定义，极限存在的充要条件。
② 讲授新课：
1．无穷小量有一类函数在某个变化过程中，其绝对值可以无限变小，也就是说，它的极限为0。这样的函数在微积分中很重要，我们称它为无穷小量。
定义1.12 若函数y=f(x)在自变量x的某个变化过程中以0为极限，则称在该变化过程中，f(x)为无穷小量，简称无穷小。
我们经常用希腊字母α,β,γ…来表示无穷小量。
在理解无穷小概念时，应注意下面几点：
⑴定义中所说的变化过程，包括所定义过的函数极限的六种形式。
⑵无穷小的定义对数列也适用。
⑶无穷小量是以0为极限的变量，不要把一个很小的数误认为是无穷小量。只有数0是唯一可以作为无穷小量的常数。
⑷不能笼统地说某个函数是无穷小量，必须指出它的极限过程。
建立发无穷小的概念之后，我们可以找到有极限函数和无穷小量的一个关系。
定理1.2 函数f(x)以A为极限的充分必要条件是：f(x)可以表示为A与一个无穷小量α之和。即
lim f(x)=A ( f(x)=A+α，其中limα=0。
无穷大量与无穷小量相反，有一类函数在变化过程中绝对值可以无限增大，我们称它为无穷大量。
定义1.13 若在自变量x的某个变化过程中，函数y=是无穷小量，即lim=0，则称在该变化过程中f(x)为无穷大量，简称无穷大，记作
lim f(x)=∞。
需要说明的是，这里我们虽然使用了极限符号，但并不意味着f(x)有极限。因为根据极限定义，极限值必须是常数，而∞不是数，它只表示一种状态，即f(x)绝对值无限变大的那样一种状态。
和无穷小类似，在理解无穷大的概念时，同样应注意：
⑴关于无穷大量的定义，对数列也适用。
⑵无穷大量是一个变化的量，一个不论多么大的数，都不能作为无穷大量。
⑶函数在变化过程中绝对值越来越大且可以无限大增大时，才能称无穷大量。
⑷当我们说某个函数是无穷大量时，必须同时指出它的极限过程。
无穷小量和无穷大量存在倒数关系。
无穷小量的性质下面，我们不加证明地介绍无穷小量的四个性质。
性质1.1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量。
性质1.2 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。
性质1.3 常数乘无穷小量仍是无穷小量。
性质1.4 无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量。
例：x sin=0。
从以上的性质中容易知道，无穷小量与有界函数、常数、无穷小量的乘积仍然是无穷小量，但不能认为无穷小量与任何量的乘积都是无穷小量。事实上，无穷小量与无穷大量的乘积就不一定时无穷小量。因此，在遇到乘积中有无穷小量时，应特别注意条件。
无穷小量的阶两个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量、但它们的商情况却不同。可见两个无穷小量的商，可以是无穷小量，可以是常数，也可以是无穷大量。这是因为无穷小量在趋于0的过程中快慢不同所致。
定义1.14 设α、β是同一变化过程中的两个无穷小量，
⑴若lim=0，则称α是比β高阶的无穷小量，也称β是比α低阶的无穷小量。
⑵若lim=c（c是不等于0的常数），则称α与β同阶的无穷小量；若c=1，则称α与β等价的无穷小量。
③ 巩固练习：
④ 课节小结：无穷小、无穷大的概念，无穷小的性质，无穷小的比较。
⑤ 课后作业：
§1.4 极限的性质与运算法则教学内容：极限的性质与运算法则教学目标：掌握极限的性质与运算法则教学要点：
重点：极限的性质与运算法则难点：用极限四则运算法则求函数极限教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
极限的定义
② 讲授新课：
1.4.1 极限的性质性质1.5（唯一性） 若极限lim f(x)存在，则极限值唯一。
以下性质只对x→x0的情形加以叙述，其它形式的极限也有类似的结果。
性质1.6（有界性）若极限f(x)存在，则函数f(x)在x0的某个空心邻域内有界。
性质1.7（保号性）若f(x)=A，且A>0（或A<0），则在x0的某空心邻域内恒有f(x)>0（或f(x)<0）。
若f(x)=A，且在x0的某个空心邻域内恒有f(x)≥0（或f(x)≤0），则A≥0（或A≤0）。
1.4.2 极限的四则运算法则利用极限的定义只能计算一些很简单的函数的极限，而实际问题中的函数却要复杂的多。本节将介绍极限的四则运算法则，并运用这些法则去求一些较复杂函数的极限问题。
定理1.3 若lim u(x)=A，lim v(x)=B，则
⑴ lim [u(x)±v(x)]=lim u(x)±lim v(x)=A±B；
⑵ lim [u(x)·v(x)]=lim u(x)·lim v(x)=A·B;
⑶ 当lim v(x)=B≠0时，lim==。
上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况，此外还有以下推论。
推论 设lim u(x)存在，c为常数，n为正整数，则有
⑴ lim [c·u(x)]=c·lim u(x)；
⑵ lim [u(x)]n=[lim u(x)]n
在使用这些法则时，必须注意两点：
⑴法则要求每个参与运算的函数的极限存在。
⑵商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为0。
当上面两个条件不具备时，不能使用极限的四则运算法则。
例1 求 (a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an)。
解 (a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an)
=a0xn +a1xn-1+…+an-1x +an
= a0x0n+a1x0n-1+…+an-1x0+an。
可见多项式p(x)当x→x0时的极限就是多项式p(x)在x0处的函数值，即
p(x)=p(x0)。 (1.4.1)
一般地，有理分式（分子、分母都是多项式的分式）当分母极限不为0时，则有x→x0时有极限等于分子、分母在x0处的函数值的商，即
=。 (1.4.2)
当x→∞时，有理分式（a0≠0，b0≠0）的极限有以下结果：
= (1.4.3)
③ 巩固练习：Ex1 Q12单号题
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex1 Q12双号题
§1.5 两个重要极限教学内容：两个重要极限教学目标：会用两个重要极限求极限教学要点：
重点：两个重要极限难点：会用两个重要极限求极限教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
我们在前面学习了极限的四则运算法则，但有的函数仅用四则运算法则仍然是无法求出的，下面我们介绍两个重要极限。
② 讲授新课：
1.5.1 极限存在的准则为了得出两个重要极限公式，我们先给出两个判定极限存在的准则。
准则Ⅰ 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在同一变化过程中满足
f(x)≤g(x)≤h(x)，
且lim g(x)=lim h(x)=A，那么lim f(x)存在且等于A。
准则Ⅱ 如果数列{xn}单调有界，则xn一定存在。
1.5.2 两个重要极限
1,=1
例1 =1。
例2 =k。
例3 =。
可以用正切函数任意替换正弦函数，以上二等式仍然成立。
2,
等式右端的字母e是自然对数的底。其正确性可以利用准则Ⅱ来证明。
如果令，当x→∞时，α→0，公式还可以写成
一般地，可以有下面的结论：
（为常数）。
作为第二个重要极限的应用，我们介绍复利公式。所谓复利计息，就是将第一期的利息与本金之和作为第二期的本金，然后反复计息。设本金为P，年利率为r，一年后的本利和为s1，则
s1=p+pr=p(1+r)，
把s1作为本金存入，第二年末的本利和为
s2= s1+s1r=s1(1+r)=p(1+r)2，
再把s2存入，如此反复，第n年末的本利和为
sn=p(1+r)n。 (1.5.11)
若把一年均分为t期计息，这时每期利率可以认为是，于是推得n年的本利和
sn=，m=nt。 (1.5.12)
假设计息期无限缩短，则期数t→∞，于是得到计算连续复利公式为
(1.5.13)
③ 巩固练习：Ex1 Q13、14单号题
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex1 Q13、14双号题
§1.6 函数的连续性教学内容：函数在一点连续的概念，初等函数的连续性，函数间断点的类型，连续函数与分段函数的极限，闭区间上连续函数的性质。
教学目标：理解函数在一点连续的概念，初等函数的连续性，会判断函数间断点的类型，会求连续函数与分段函数的极限。
教学要点：
重点：函数在一点连续的概念，
难点：函数在一点连续的概念，函数间断点类型的判断。
教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在现实生活中有许多的量才是连续变化的，例如气温的变化，植物的生长，物体的运动等。这些现象反映在数学上就是函数的连续性，它是与函数密切相关的另一个基本概念。
② 讲授新课：
首先引入增量的定义。
定义1.15 设变量u从它的初值u0变到终值u1，则终值与初值之差u1-u2就叫做变量u的增量，又叫做u的改变量，记作△u，即△u=u1-u0。
增量可以是正的，可以是负的，也可以是○。当u1>u0时，△u是正的；而当u1<u0时，△u是负的。
应当注意：△u是一个完整的记号，不能看作是符号△与变量u的乘积。这里变量u可以是自变量x，也可以是函数y。如果是x，则称△x=x1-x0为自变量的改变量；如果是y，则称△y=y1-y0为函数的改变量。有时为了方便，自变量x与函数y的终值不写成x1与y1，而直接写作x0+△x和y0+△y。
如果函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0处有一改变量△x时，函数y的相应改变量则为
△y =f(x0+△x)-f(x0)。
函数f(x)在x0点连续，表现在图形上是指，曲线y=f(x)在x=x0邻近是不间断的。
定义1.16 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x趋于零时，相应函数的改变量△y也趋于零，即
△y=0,(1.6.1)
则称函数f(x)在点x0连续。
在定义1.16中，如果令x=x0+△x，则当△x→0时，x→x0，于是式子△y=0可以改写为
[f(x)-f(x0)]=0，
即f(x)=f(x0)。因此，函数在点x0处连续也可以定义如下：
定义1.17 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数f(x)的极限存在，且等于f(x)在点x0处的函数值f(x0)，即时 f(x)=f(x0),(1.6.2)
则称函数f(x)在点x0处连续。
定义1.16与定义1.17可以互相推出，因此它们是等到价的。也就是说，在使用时，可以根据情况任选其一。
由定义1.17可以得出下面的结论：
⑴ 若函数y=f(x)在点x0处连续，则f(x)在点x0处的极限一定存在；反之，若f(x)在点x0处的极限存在，则函数f(x)在点x0处不一定有连续。
⑵若函数y=f(x)在点x0处连续，要求x→x0时f(x)的极限只需求出f(x)在点x0处的函数值f(x0)即可。
⑶当函数y=f(x)在点x0处连续时，有
f(x)=f(x0)=f(x)。 (1.6.3)
这个等式的成立意味着在函数连续的前提下，极限符号与函数符号可以互相交换，这一结论给我们求极限带来很大方便。
下面给出函数在区间上连续的定义。
定义1.18 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任何一点都连续，则称f(x)在区间(a,b)内连续。
若函数y=f(x)在区间(a,b)内连续，且f(x)=f(a)，f(x)=f(b)，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。
1.6.2 初等函数的连续性定理1.4若函数f(x)与g(x)在点x0处连续，则这两个函数的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)、积f(x)·g(x)、商f(x)/g(x)（当g(x0)≠0时）在点x0处连续。
定理1.5 设函数u=φ(x)在点x0处连续，y=f(u)在点u0处连续，且u0=φ(x0)，则复合函数
y=f[φ(x)]
在点x0处连续。
可以证明：基本初等函数在其定义域内都是连续函数。再根据定理1.4及定理1.5容易得到：由基本初等函数经过四则运算以及复合步骤所构成的初等函数在其定义区间内都是连续的。这样我们求初等函数在其定义区间内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值即可。
1.6.3 函数的间断点定义1.19 如果函数y=f(x)在点x0不连续，则称x0为f(x)的一个间断点。
由函数在某点连续的定义可知，如果f(x)在点x0处有下列三种情况之一，则点x0是f(x)的一个间断点。
⑴ 在点x0处，f(x)没有定义；
⑵ f(x)不存在；
⑶ 虽然f(x)存在，但f(x)≠f(x0)。
三种间断点：无穷间断点、跳跃间断点、可去间断点。
1.6.4 闭区间上连续函数的性质定理1.6 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值。
定理1.7 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则对介于m和M之间的任一实数C，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C。
推论 若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
③ 巩固练习：Ex1 Q15~18
④ 课节小结：函数连续性的概念是函数概念和极限概念相结合而得出的另一个重要概念，函数连续性这部分主要掌握函数在点连续的两个等价定义、函数在点连续和在该点极限存在的关系、判断间断点的条件和初等函数的连续性。
⑤ 课后作业：Ex1 Q19~20
§1.7 常用经济函数教学内容：需求函数与供给函数，成本函数、收入函数与利润函数教学目标：会用函数关系描述经济问题教学要点：
重点：需求函数与供给函数，成本函数、收入函数与利润函数难点：会用函数关系描述经济问题教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在用数学方法解决问题时，往往需要找出经济变量之间的函数关系，建立数学模型。
下面介绍几种常用的经济函数。
② 讲授新课：
1.7.1 需求函数与供给函数需求函数一种商品的市场需求量Q与该商品的价格p密切相关，通常降低商品价格使需求量增加；提高商品价格会使需求量减少。如果不考虑其它因素的影响，需求量Q可以看成是价格p的一元函数，称为需求函数，记作
Q=Q(p)。
一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数。
根据市场统计资料，常见的需求函数有以下几种类型：
⑴ 线性需求函数 Q=a-bp (a>0,b>0)；
⑵ 二次需求函数 Q=a-bp-cp2 (a>0,b>0,c>0)；
⑶ 指数需求函数 Q=ae-bp (a>0,b>0)。
需求函数Q=Q(p)的反函数，就是价格函数，记作
P=P(q)，
也反映商品的需求与价格的关系。
供给函数某种商品的市场供给量S也受商品价格p的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少。供给量S也可看成价格p的一元函数，称为供给函数；记为
S=S(p)。
供给函数为价格p的单调增加函数。
常见的供给函数有线性函数，二次函数，幂函数，指数函数等。其中，线性供给函数为
S=-c+dp (c>0,d>0)。
使某种商品的市场需求量与供给量相等的价格p0，称为均衡价格。当市场价格p高于均衡价格p0时，供给量将增加而需求量相应地减少，这时产生的“供大于求”的现象必然使价格p下降；当市场价格p低于均衡价格p0时，供给量将减少而需求量增加，这时会产生“物资短缺”现象，从而又使得价格p上升。市场价格的调节就是这样来实现的。
1.7.2 总成本函数、收入函数和利润函数在生产和产品的经营活动中，人们总希望尽可能降低成本，提高收入和利润。而成本、收入和利润这些经济变量都与产品和产量或销售量q密切相关，它们都可以看作q的函数，分别称为总成本函数，记为C(q)；收入函数，记为R(q)；利润函数，记为L(q)。
总成本由固定成本C1和可变成本C2(q)两部分组成，固定成本与产量q无关，如设备维修费、企业管理费等；可变成本随产量q的增加而增加，如原材料费、动力费等。即
C(q)=C1+ C2(q)。
总成本函数C(q)是q的单调增加函数。最典型的成本函数是三次函数
C=a0+a1q-a2q2+a3q3 (ai>0,i=0,1,2,3)。
但有时为了使问题简化，也常常采用线性成本函数
C=a+bq (a>0,b>0)
及二次成本函数。
只给出总成本不能说明企业生产的好坏，为了评价企业的生产状况，需要计算产品的平均成本，即生产q件产品时，单位产品成本平均值，记作，则
==，其中称为平均可变成本。
如果产品的单位售价为p，销售量为q，则总收入函数为
R(q)=pq。
总利润等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为
L(q)=R(q)-C(q)。
③ 巩固练习：Ex1 Q21~24
④ 课节小结：掌握常用经济函数的类型，理解需求函数与供给函数的关系，会求市场均衡价格，能用成本函数、收入函数、利润函数分析经济问题。
⑤ 课后作业：Ex1 Q25~26
第2章 导数与微分導數與微分的概念是建立在極限的基礎上的，它是研究函數性態的有力工具。本章將介紹導數與微分的概念，計算導數與微分的基本公式和方法。
§2.1 导数的概念教学内容：导数的概念，导数的几何意义，用导数定义求基本初等函数的导数，函数可导与连续的关系。
教学目标：理解导数的概念，了解导数的几何意义，会用导数定义求基本初等函数的导数，了解函数可导与连续的关系。
教学要点,
重点：导数的概念，导数的几何意义难点：用导数定义求基本初等函数的导数教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
② 讲授新课：
2.1.1 变化率问题举例当我们研究变量时，不仅需要研究变量与变量之间的对应关系（即函数关系），变量的变化趋势（即极限），还要研究变量变化的快慢程度。例如，物体运动的速度，国民经济发展速度，劳动生产率等等。这类问题通常叫做变化率问题。
1、变速直线运动的速度当物体作匀速直线运动时，求速度的问题很容易解决，就是所经过的路程与时间的比值。当物体作变速直线运动时，这个比值只能表示这段时间内物体运动的平均速度。但在很多实际问题中，只算出平均速度并不能满足要求，而常常需要知道物体在某个时刻的速度的大小，即要知道它的瞬时速度。
一般地说，如果物体运动的路程s与时间t的关系是s=f(t)，则它从t0到t0+△t这一段时间的平均速度为
而在t0时刻的瞬时速度即为平均速度当△t→0时的极限值：
2、产品总成本的变化率设某产品的总成本C是产量q的函数，即C=f(q)。当产量由q0变到q0+△q时，总成本相应的改变量为
△C=f(q0+△q)-f(q0)，
则产量由q0变到q0+△q时，总成本的平均变化率为
=
当△q→0时，如果极限
=
存在，则称此极限是产量为q0时的总成本变化率，又称边际成本。
上面两个例子的实际意义完全不同，但从抽象的数量关系来看，其实质是一样的，都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量改变量趋于○时的极限，我们把这种特定的极限叫做函数的导数。
2.1.2 導數的定義定义2.1 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量在点x0处取得改变量△x(≠0)时，函数f(x)取得相应的改变量△y=f(x0+△x)-f(x0)如果当△x→0时，
=
存在，则称此极限值为函数y=f(x)在点x0的导数，记作
f’(x0)，或y’|，或，或，
并称函数f(x)在点x0可导；如果不存在，则称函数f(x)在点x0不可导。
定义2.2 若函数y=f(x)在区间(a,b)内任意一点处都可导，则称函数f(x)在区间(a,b)内可导。
若f(x)在区间(a,b)内可导，则对于区间(a,b)内的每一个x值，都有一个导数值f’(x)与之对应，所以f’(x)也是x的函数，叫做f(x)的导函数，简称导数。记作 f’(x)，或y’，或，或。
容易知道，f(x)的导数f’(x)在点x=x0处的函数值就是f(x)在点x0处的导数f’(x0)。
根据导数的定义，求函数f(x)的导数的一般步骤如下：
① 写出函数的改变量 △y=f(x+△x)-f(x)；
② 计算比值 =；
③ 求极限 y’=f’(x)= 。
2.1.3 利用定义计算导数常数函数的导数设y=f(x)=c（c为常数），则c’=0。即常数函数的导数为零。
幂函数的导数设y=f(x)=x（α为实数），则 (x)’=。
正弦函数与余弦函数的导数设y=f(x)=sinx，则 (sinx)’=cosx。
设y=f(x)=cosx，则 (cosx)’=-sinx。
对数函数的导数设y=f(x)=logax (x>0,a>0,a≠1)，则 (logax)’=。
特别地，当a=e时，有 (lnx)’=。
指数函数的导数设y=f(x)=ax (a>0,a≠1)，则 (ax)’=axlna。
特别地，当a=e时，有 (ex)’=ex。
2.1.4 導數的幾何意義函数y=f(x)在点M0处的导数f’(x0)，就是曲线y=f(x)在点M0(x0,y0)处的切线M0T的斜率
k=tanα=f’(x0)。
这即是导数的几何意义。
根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，很容易得到曲线y=f(x)在点M0(x0,y0)处的切线方程为
y-y0=f’(x0)(x-x0)。
2.1.5 可导与连续的关系定理2.1 如果函数y=f(x)在点x0处可导，则y=f(x)在点x0处一定可微。
證 因为y=f(x)在点x0处可导，则有
f’(x0)=，
△y=·△x=·△x=f’(x0)·0=0。
由连续的定义1.16可知，y=f(x)在点x0处连续。
需要指出，这个定理的逆命题不成立，即函数y=f(x)在点x0处连续时，在点x0不一定可导。
③ 巩固练习：Ex2 Q1
④ 课节小结：导数是一种特殊形式的极限，即函数的改变量与自变量的改变量之比当自变量趋于零时的极限。导数的几何意义是：是曲线在点处切线的斜率。如果函数在点处可导，则在点处一定连续。反之，在点处连续时，则不一定可导。
⑤ 课后作业：Ex2 Q2
§2.2 导数基本公式与运算法则教学内容：导数的基本公式与运算法则教学目标：掌握导数的基本公式与运算法则教学要点：
重点：导数的基本公式与运算法则难点：导数运算法则的应用教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
求导数的运算是微积分的基本运算之一，我们必须很地掌握。上节中，我们从定义出发推出了几个基本初等函数的导数公式，其它几种基本初等函数的导数也完全可以用上面的方法求得，但毕竟太麻烦，而且仅有基本初等函数的导数公式，其应用范围也是有限的。为此我们将在下面几节中介绍导数的四则运算法则、复合函数的求导公式、隐函数求导法及对数求导法，有了这些方法之后，就可以比较方便地求任何初等函数的导数了。
② 讲授新课：
2.2.1 导数的四则运算法则代数和的导数设函数u(x)和v(x)在点x处可导，则y=u(x)±v(x)在点x处也可导，且
(u±v)’=u’±v’,(2.2.1)
就是说，两个函数代数和的导数等于它们导数的代数和。
乘积的导数设函数u(x)和v(x)在点x处可导，则y=u(x)·v(x)在点x处也可导，且
(uv)’=u’v+uv’,(2.2.2)
就是说，两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第二个函数的导数乘第一个函数。
特别地，当其中有一个函数为常数c时，则有
(cu)’=cu’,(2.2.3)
上面的公式对于有限多个可导函数成立，例如：
(uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’。 (2.2.4)
商的导数设函数u(x)和v(x)在点x处可导，且v(x)≠0，则y=在点x处也可导，且
()’=,(2.2.5)
就是说，两个函数之商的导数等于分子的导数乘分母，减去分母的导数乘分子，再除以分母的平方。
2.2.2 複合函數的導數定理2.2 设函数u=φ(x)在点x处有导数=φ’(x)，函数y=f(u)在点u处有导数=f’(u)，则复合函数y=f[φ(x)]在该点x也有导数，且
=f’(u)·φ’(x) (2.2.6)
或 y’x=y’u·u’ (2.2.7)
或 =·。 (2.2.8)
这个定理说明，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
定理2.2的结论可以推广到多次复合的情况。例如设y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则复合函数y=f{φ[ψ(x)]}的导数为
(2.2.9)
复合函数求导数公式，就好象链条一样，一环扣一环，所以又称之为链式法则。运用这个法则时，应该了解因子的个数比中间变量的个数多一个，注意不要遗漏任何一层，且最后一个因子一定是某个中间变量对自变量的导数。
有些函数求导时，需要综合运用各种求导法则。对某些函数，可以先化简再求导，这样能够简化求导运算。
最后作为复合函数求导法则的应用，我们来推导当α为任意实数时，幂函数的求导公式。
例 推导的求导公式。
证 利用对数的性质我们将函数写成指数式
，
令αlnx=u,则y=eu，
。
2.2.3 隐函数的导数用解析法表示函数时，通常可以采用两种形式。一种是把函数y表示成自变量x的函数y=f(x)，称为显函数；另一种函数y与自变量x的关系由方程F(x,y)=0来确定，即y与x的函数关系隐含在方程中。我们称这种由未解出因变量的方程F(x,y)=0所确定的y与x之间的函数关系为隐函数。
有些隐函数可以化为显函数，例如函数2x2-y+8=0可以化为y=2x2+8。有此隐函数则不能化为显函数，例如函数ex+ey-xy=0就不能化为显函数。所以我们要研究从隐函数直接求其导数的方法。
隐函数求导数的方法是：方程两端同时对x求导，遇到含有y的项，先对y求导，再乘以y对x的导数y’，得到一个含有y’的方程式，然后从中解出y’即可。
例 求由方程ey=xy所确定的隐函数y的导数。
解 因为y是x的函数，所以ey是x的复合函数，将所给方程两边同时对x求导，得
ey·y’=x’y+xy’，
即 ey·y’=y+xy’，
解出y’，得 。
从上例中可以看到，隐函数导数的表达式中一般含有y的，这一点与显函数的导数不同。
2.2.4 取对数求导法有时还会遇到这样一些情形，虽然给定的函数是显函数，但直接求它的导数很困难或者很麻烦，例如幂指函数y=uv（其中u、v都是x的函数，且u>0）及一种因子之幂的连乘积的函数。对于这两类函数，可以通过两边取对数，转化成隐函数，然后按隐函数求导的方法求出y’。这样做常常会使计算简单或容易得多，这种方法称作取对数求导法。
注意：在这里，y’最终的表达式中，不允许保留y，而要用相应的x的表达式代替。
例 求函数y=xx的导数。
解 两边取对数，有
lny=x·lnx，
两边同时对x求导，可得
则
y’=xx·(lnx+1)。
2.2.5 导数基本公式基本初等函数的导数公式
⑴ （c为常数）
⑵ （α是任意实数）
⑶ （a>0,a≠1）
⑷ ；
⑸ （a>0,a≠1）；
⑹ ；
⑺ ；
⑻ ；
⑼ ；
⑽ ；
⑾ ；
⑿ ；
⒀ ；
⒁ 。
导数的四则运算法则设u、v是x的可导函数
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
⑸ 设y=f(u)，u=φ(x)，则复合函数y=f[φ(x)]的导数为
或
③ 巩固练习：Ex2 Q3~7
④ 课节小结：求导运算就是指能运用导数基本公式和运算法则（特别是积和商的运算法则），求简单函数和复合函数的导数。
隐函数求导法：设方程表示自变量为因变量为的隐函数，并且可导，利用复合函数求导公式将所给方程两边同时对求导，然后解方程求出。
取对数求导法：对于积商多的函数或幂指函数两类特殊的函数，可以通过两边取对数转化成隐函数，然后按隐函数求导的方法求出导数。
⑤ 课后作业：Ex2 Q8~9
§2.3 高阶导数教学内容：高阶导数教学目标：理解高阶导数的概念教学要点：
重点：高阶导数的概念难点：高阶导数的求法教学方法：
教学时数：1
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
② 讲授新课：
从本章§2.1节中我们知道，变速直线运动的瞬时速度v(t)是路程函数s=s(t)对时间t的导数，即
v(t)=s'(t)。
由物理学知，速度函数v(t)对于时间t的变化率就是加速度a(t)，即
a(t)=v'(t)=[f'(t)]'。
于是，加速度a(t)是路程函数s(t)对时间t的导数的导数，称为s(t)对t的二阶导数，记作s''(t)。因此变速直线运动的加速度就是路程函数s(t)对时间t的二阶导数，即
a(t)=s''(t)。
一般地，函数y=f(x)在点x处的导数f’(x)仍是x的函数，如果f’(x)在点x处对x的导数(f’(x))’存在，则称(f’(x))’为f’(x)在点x处的二阶导数，记作
f’’(x)，或y’’，或，或。
类似地，二阶导数f’’(x)的导数称为f(x)的三阶导数，记作f’’’(x)，…，(n-1)阶导数f(n-1)(x)的导数称为f(x)的n阶导数，记作
f(n)(x)，或y(n)，或，或。
函数y=f(x)在点x处具有n阶导数，也称n阶可导。二阶及二阶以上各阶导数统称高级导数。四阶或四阶以上的导数记作
f(k)(x) (k≥0)。
函数y=f(x)在点x0处的各阶导数就是其各阶导数在点x0处的函数值，即
f”(x0)，f’’’(x0)，f(4)(x0)，…，f(n)(x0)。
从定义可以看出，求高阶导数只需要进行一系列的求导运算即可，并不需要另外的方法。
③ 巩固练习：Ex2 Q10
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex2 Q11
§2.4 函数的微分教学内容：微分的概念，微分的几何意义，微分的运算法则教学目标：理解微分的概念，了解微分的几何意义，掌握微分的运算法则。
教学要点：
重点：微分的概念难点：微分的运算及简单应用教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在§2.1节中我们讲过导数表示函数在点x处的变化率，它描述函数在点x处变化的快慢程度。但有时我们还需要了解函数在某一点处当自变量有一个微小的改变量时，函数所取得的相应改变量的大小，而用公式△y=f(x+△x)-f(x)计算往往比较麻烦，于是我们想到要寻求一种当△x很小时，能近似代替△y的量。
② 讲授新课：
2.4.1 函数微分的概念若给定函数y=f(x)在点x处可导，根据导数定义有
。
由定理1.2知，，其中α是当△x→0时的无穷小量，上式可以写作
△y=f’(x)△x+α·△x。 (2.4.1)
(2.4.1)式表明函数的增量可以表示为两项之和。第一项f’(x)△x是△x的线性函数，第二项α△x，当△x→0时是比△x高阶的无穷小量。因此，当△x很小时，我们称第一项f’(x)△x为△y的线性主部，并叫做函数f(x)的微分。
定义2.3 设函数y=f(x)在点x0处有导数f’(x0)，则称f’(x)△x为y=f(x)在点x0处的微分，记作dy，即
dy= f’(x0)△x (2.4.2)
此时，称y=f(x)在点x0处是可微的。
函数y=f(x)在任意点x的微分，叫做函数的微分，记作
dy=f’(x)△x。 (2.4.3)
如果将自变量x当作自己的函数y=x，则有
dx=dy=(x)’△x=△x，
说明自变量的微分dx就等于它的改变量△x，于是函数的微分可以写成
dy=f’(x)dx,(2.4.4)
即 (2.4.5)
也就是说，函数的微分dy与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此，导数又叫微商。
函数的微分有明显的几何意义。设函数y=f(x)的图像是一条曲线，在曲线上取一定点M0(x0,y0)，过M0点作曲线的切线M0T，它与Ox轴的交角为α，则该切线的斜率为
tanα=f’(x0)。
当自变量在x0处取得改变量△x时，就得到曲线上另一点M(x0+△x,y0+△y)。过M点作平行于y轴的直线，它与切线交于T点，与过M0点平行于x轴的直线交于N点，于是曲线纵坐标得到相应的改变量
△y=f(x0+△x)-f(x0)=NM。
同时点M0处的切线的纵坐标也得到相应的改变量NT，在Rt△M0NT中，有
NT=tanα·M0N=f’(x0)△x=dy|。
可见函数微分的几何意义就是：在曲线上某一点处，当自变量取得改变量△x时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量。显然dy≈△y。
2.4.2 微分的计算根据定义，求函数的微分实际上就是求函数的导数，然后再乘上一个dx就行了。求导数的一切基本公式和运算法则完全适用于微分，因此我们不再罗列微分的公式和法则了。
2.4.3 微分形式的不变性我们知道，如果函数y=f(u)是u的函数，那么函数的微分为
dy=f’(u)du，
若u不是自变量，而是x的可导函数u=φ(x)时，u对x的微分为
du=φ’(x)dx，
所以，以u为自变量的复合函数y=f[φ(x)]的微分
dy=y’dx=f’(u)φ’(x)dx=f’(u)[φ’(x)dx]=f’(u)du，
也就是说，无论u是自变量还是中间变量，y=f(u)的微分dy总可以用f’(u)与du的乘积来表示。函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性。
2.4.4 微分的应用利用微分可以进行近似计算。
由微分的定义知，当|Δx|很小时，有近似公式
Δy≈dy=f’(x)Δx。
这个公式可以直接用来计算函数增量的近似值。
又因为 Δy=f(x+Δx)-f(x)，
所以近似公式又可写作
f(x+Δx)-f(x)≈f’(x)Δx，
即 f(x+Δx)≈f(x)+f’(x)Δx。
这个公式则可以用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值。
例 设某国的国民经济消费模型为
y=10+0.4x+0.01
其中：y为总消费（单位：十亿元）；x为可支配收入（单位：十亿元）。当x=100.05时，问总消费是多少？
解 令x0=100，△x=0.05，因为△x相对于x0较小，可用微分近似公式来求值。
f(x0+△x)≈f(x0)+f’(x0)△x
=(10+0.4×100+0.01×)
+(10+0.4x+0.01)’|x=100·△x
=50.1+×0.05
=50.120 025（十亿元）。
③ 巩固练习：Ex2 Q12
④ 课节小结：
微分是导数与函数自变量改变量的乘积或者说是函数改变量的近似值。
几何意义：是曲线在点(x0,f(x0))处的切线纵坐标对应于的改变量，而是曲线y=f(x)的纵坐标对应于的改变量。
简单应用：当很小时，有近似公式
，
这个公式可以直接用来计算增量的近似值，而
，
这个公式可以用来计算函数的近似值。
⑤ 课后作业：Ex2 Q13~14
第3章 导数的应用
§3.1 中值定理教学内容：Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理。
教学目标：了解三个微分中值定理教学要点：
重点：Lagrange定理难点：Lagrange定理教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在建立了导数的概念之后，本章将介绍中值定理、利用导数求极限的方法——L’Hospital法则、利用导数判断函数的单调区间、凹向区间及求一元函数极值和作函数图形的方法。
微分中值定理是微积分学的重要理论基础，包括三个定理两个推论。
② 讲授新课：
定理3.1 （Rolle定理）
如果函数y=f(x)满足条件：
⑴ 在[a,b]上连续；
⑵ 在(a,b)内可导；
⑶ f(a)=f(b),
则在区间(a,b)内至少存在一点ξ，使f’(ξ)=0.
如果取消Rolle定理的第三个条件并改变相应的结论，就得到更一般的Lagrange定理。
定理3.2 （Lagrange定理）
如果函数y=f(x)满足条件：
⑴ 在[a,b]上连续；
⑵ 在(a,b)内可导，
则在区间(a,b)内至少有点ξ，使得
。
Lagrange定理还有下面两个推论：
推论1 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点的导数f’(x)都等于零，则在(a,b)内f(x)是一个常数。
推论2 如果函数f(x)与函数g(x) 在区间 (a,b) 内的导数处处相等，即f’(x)=g’(x)，则f(x)与g(x)在区间(a,b)内只差一个常数。即
f(x)-g(x)=c。
对于更一般的情况，还有下面的Cauchy定理。
定理3.3 （Cauchy定理）
如果f(x)与g(x)都在[a,b]上连续，都在(a,b)内可导，而且在(a,b)内g’(x)≠0，则在(a,b)至少存在一点ξ，使得
。
在上式中，如果g(x)=x，就变成Lagrange定理，所以Lagrange定理是Cauchy定理的特例。
③ 巩固练习：Ex3 Q1
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex3 Q2
§3.2 L’Hospital法则教学内容：L’Hospital法则教学目标：掌握L’Hospital法则，会用L’Hospital法则求未定式的极限教学要点：
重点：L’Hospital法则难点：用L’Hospital法则求未定式的极限教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
我们在第1章中曾介绍过利用极限的运算法则、函数的连续性和两个重要极限求极限的方法，本节将介绍一种借助于导数来求极限的新方法，即用L’Hospital法则求极限的方法。
② 讲授新课：
在求极限的过程中，常常遇到这样的情形，即在同一变化过程中分子、分母同时趋于零或同时趋于无穷大的情形，这时分式的极限可能存在也可能不存在，通常分别称这两类极限为“”型或“”型未定式。对于这样的未定式，即使极限存在，也不能用极限运算法则来计算，往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限计算的形式。这种变形没有一般方法，需视具体情况而定，有时很难把握，所能解决的问题有限。下面我们介绍的L’Hospital法则将提供一种简便、可行、具有一般性的求未定式极限的方法。
L’Hospital法则（一）
若函数f(x)与g(x)满足条件：
⑴ f(x)=0，g(x)=0;
⑵ f(x)与g(x)在点x0的某个邻域内（点x0可除外）可导，且g’(x)≠0；
⑶ =A（或∞）；
则==A（或∞）。
L’Hospital法则（二）
若函数f(x)与g(x)满足条件：
⑴ f(x)=∞，g(x)=∞;
⑵ f(x)与g(x)在点x0的某个邻域内（点x0可除外）可导，且g’(x)≠0；
⑶ =A（或∞）；
则==A（或∞）。
对于法则（一）和法则（二），把x→x0改为x→∞，仍然成立。
例1 求。
例2 求。
例3 求。
例4 求。
例5 求。
L’Hospital法则不但可以用来求和型未定式的极限，还可用来求0·∞，∞－∞，00，∞0，1∞型未定式的极限。求这几种未定式极限的基本方法就是设法将它们化为和型。
例6 求 （0·∞型）
解 = （已化为型）
==(-x)=0。
例7 求
例8 求。
解 这是型未定式，但极限
=
不存在，即不满足L’Hospital法则的第三个条件，所以不能使用L’Hospital法则。事实上，原极限可由下面的方法求出：
==1。
从上面的例子可以看出，L’Hospital法则虽然是求未定式极限的一种有效的方法，但它不是万能的，有时会失效。不能用L’Hospital法则求出的极限一定存在。
③ 巩固练习：Ex3 Q3单号题
④ 课节小结：L’Hospital法则：若分式是型或型未定式，而且（或∞）则有
（或∞）
上述公式对和都成立。
⑤ 课后作业：Ex3 Q3双号题
§3.3 函数的单调性教学内容：用导数判断函数单调性教学目标：学会用导数判断函数单调性教学要点：
重点：用导数判断函数单调性难点：用导数判断函数单调性教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
一个函数在某个区间的单调增减性变化规律，是我们研究函数图形时首先要考虑的。第1章里已经给出了单调性的定义，现在介绍利用导数判定函数单调性的方法。
② 讲授新课：
先从几何直观上分析，容易知道，如果曲线是上升的，其上每一点处的切线与x轴正向的夹角都有是锐角，切线的斜率大于零，也就是说f(x)在相应点处的导数大于零；相反地，如果曲线是下降的，其上每一点处的切线与x轴正向的夹角都是钝角，切线的斜率小于零，也就是说f(x)在相应点处的导数小于零。一般地，有判定定理：
定理3.4 设函数f(x)在区间(a,b)内可导。
⑴ 如果在(a,b)内，f’(x)>0，那么函数f(x)在(a,b)内单调增加；
⑵ 如果在(a,b)内，f’(x)<0，那么函数f(x)在(a,b)内单调减少。
证 在区间(a,b)内任取两点x1，x2，设x1<x2。由于f(x)在(a,b)内可导，所以f(x)在闭区间[x1,x2]上连续，在开区间(x1,x2)内可导，满足Lagrange定理条件，因此有
f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1) (x1<ξ<x2)，
因为x2-x1>0，
若f’(ξ)>0，则f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)。由于知，f(x)在(a,b)内单调增加；
若f’(ξ)<0，同理可证，f(x)在(a,b)内单调减少。
需要说明的是：这个判定定理只是函数在区间内单调增加（或减少）的充分条件。
在解决问题时为了方便，一般采用列表分析f’(x)在各个区间的符号。表中第一行是自变量被导数等于零的点（驻点）或导数不存在的点分成几个子区间；下面是导数的几个因子在各区间内的符号；然后是导数在各区间的符号；最后一行是函数在各区间的单调性。
③ 巩固练习：Ex3 Q4
④ 课节小结：函数的单调性必将在驻点或尖点处改变，所以判断函数单调性须先利用导数求出驻点或尖点，将定义域分成数个区间，然后再用单调性的判定定理来判断该区间上函数的单调性。
⑤ 课后作业：Ex3 Q5~6
§3.4 函数的极值教学内容：函数极值的概念，函数极值的求法。
教学目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的求法。
教学要点：
重点：函数极值的概念，函数极值的求法。
难点：函数极值的求法教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
从上节例1中看到，从0的左边邻近变到右边邻近时，由单调减少变为单调增加，即点是函数由减少到增加的转折点，因此，在的左右邻近有恒有；相反地，是函数由增加到减少的转折点，因此，在的左右邻近有。象这样的单调区间的转折点在应用上具有特殊意义。
② 讲授新课：
3.4.1 函数的极值定义3.1 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。
⑴ 如果对于该邻域内任意的x(x≠x0)总有f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，并且称点x0是f(x)的极大值点。
⑵ 如果对于该邻域内任意的x(x≠x0)总有f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值，并且称点x0是f(x)的极小值点。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
应当指出函数的极值是一个局部概念，它只是与极值点邻近的点的函数值相比是较大或较小，而不意味着它在函数的整个定义区间内为最大或最小。即极大值未必是定义区间上的最大值，极小值也未必是定义区间上的最小值。极值点处如果有切线的话，一定是水平方向的。但有水平切线的点不一定上极值点。
定理3.5（极值存在的必要条件）如果f(x)在点x0处取得极值且在点x0处可导，则f’(x0)=0。
证 略关于这个定理需要说明两点：
⑴ f’(x)=0只是f(x)在点x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件。事实上，我们熟悉的函数y=x3在x=0时，导数等于零，但在该点并不取得极值。
⑵ 定理的条件之一是函数在x0点可导，而导数不存在（但连续）的点也有可能取得极值。例如f(x)=|x|，f’(0)不存在，但在x=0处却取得极小值f(0)=0，通常把使导数为零的点称作驻点。函数的极值点只能在驻点和导数不存在的点中产生，但是驻点和导数不存在的点又不一定是极值点，下面给出判断极值的两个充分条件。
定理3.6（极值判别法Ⅰ）设函数f(x)在点x0的邻域内连续且可导（允许f’(x0)不存在），当x由小增大经过x0点时，若
⑴ f’(x)由正变负，则x0是极大值点；
⑵ f’(x)由负变正，则x0是极小值点；
⑶ f’(x)不改变符号，则x0不是极值点。
把必要条件和充分条件结合起来，就可以求函数的极值了。
定理3.7（极值判别法Ⅱ）设函数f(x)在点x0处有二阶导数，且f’(x0)=0，f”(x0)存在，
⑴ 若f”(x0)<0，则函数f(x)在点x0处取得极大值；
⑵ 若f”(x0)>0，则函数f(x)在点x0处取得极小值；
⑶ 若f”(x0)=0，则不能判断f(x0)是否是极值。
对于f”(x0)=0的情形：f(x)可能是极大值，可能是极小值，也可能不是极值。例如f(x)=-x4，f”(0)=0，f(0)=0是极大值；g(x)=x4，g”(0)=0，g(0)=0是极小值；h(x)=x3，h”(0)=0，但h(0)=0不是极值。因此，当f”(x0)=0时，第二判别法失效，只能用第一判别法判断。
我们把求函数极值的步骤归纳如下：
A 求f(x)的导数f’(x)；
B 解方程f’(x)=0，求出f(x)在定义域内的所有驻点；
C 找出f(x)在定义域内所有导数不存在的点；
D 分别考察每一个驻点或导数不存在的点是否为极值点，是极大值点，还是极小值点；
E 求出各极值点的函数值。
在经济分析中，经常遇到利润最大，成本最低，投资最省等问题，在数学上就是函数的最大值和最小值问题。
3.4.2 函数的最值对于一个闭区间上的连续函数f(x)，它的最大值、最小值只能在极值点或端点上取得。因此，只要求出函数f(x)的所有极值和端点值，它们之中最大的就是最大值，最小的就是最小值。
最大、最小值与极大、极小值是不同的。极值是局部性的概念，在一个区间内可能有多个数值不同的极大值或极小值，有的极小值也可能大于某个极大值。而最大值和最小值是整体的概念，是所考察的闭区间上全部函数的最大者。函数在闭区间上取得极大值的点可能不只一个，但最大值只有一个；取得极小值的点也可能不只一个，但最小值也只能有一个。
根据最大值和最小值的概念，我们得出它们的求法如下：
A 求出f(x)在(a,b)内的所有驻点和一阶导数不存在的连续点，并计算各点的函数值（不必判断这些点是否取得极值，是极大值还是极小值）。
B 求出端点的函数值f(a)和f(b)。
C 比较前面求出的所有函数值，其中最大的就是f(x)在[a,b]上的最大值M；其中最小的就是f(x)在[a,b]上的最小值m。
特别值得指出的是：f(x)在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点是f(x)的唯一极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值。在应用问题中往往遇到这样的情形。这时可以当作极值问题来解决，不必与区间的端点值相比较。
3.4.3 最值在经济问题中的应用举例
1,最大利润问题利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。在一定的设备条件下，如何安排生产才能获得最大利润，这是企业管理中和一个现实问题。
例8 某厂生产某种产品，其固定成本为3万元，每生产一百件产品，成本增加2万元。
其总收入R（单位：万元）是产量q（单位：百件）的函数。
R=5q-0.5q2，
求达到最大利润时的产量。
解 由题意，成本函数为
C=3+2q，
于是，利润函数
L=R-C=-3+3q-0.5q2。
L’=3-q，
令L’=0，得q=3（百件）。
L”(3)=-1<0，所以当q=3时，函数取得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最大值点。
即产量为300件时取得最大利润。
最小成本问题例9 已知某个企业的成本函数为
C=q3-9q2+30q+25，
其中C—成本（单位：千元），q—产量（单位：吨），求平均可变成本y（单位：千元）的最小值。
解 平均可变成本
y==q2-9q+30，
y’=2q-9，
令y’=0,得q=4.5（吨）。
y”|q=4.5=2>0，所以q=4.5时，y最得极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小值。
y|q=4.5=(4.5)2-9×4.5+30=9.75（千元）。
即产量为4.5吨时，平均可变成本取得最小值9 750元。
③ 巩固练习：Ex3 Q7
④ 课节小结：函数极值的判别法有二：
一阶导：设，当由小增大经过点时，若由正变负，则是极大值点；若由负变正，则是极小值点；若不改变符号，则不是极值点。
二阶导：若，则函数在点处取得极大值；若，则函数在点处取得极小值。
求函数在闭区间上的最大值和最小值，只需用函数的极值和端点值相比较即可求得。
⑤ 课后作业：Ex3 Q8
§3.5 导数在经济分析中的应用教学内容：边际分析，弹性分析教学目标：学会用导数关系描述边际、弹性等概念教学要点：
重点：边际分析，弹性分析难点：弹性分析教学方法：案例教学法教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
本节介绍导数概念经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析。
② 讲授新课：
3.5.1 边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率，利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称作边际分析方法。
边际成本在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本。
设某产品产量为q单位时所需的总成本为C=C(q)。由于
C(q+1)-C(q)=△C(q)≈dC(q)=C’(q)△q=C’(q)。
SlowBird 注：上式中△q=0。
所以边际成本就是总成本函数关于产量q的导数。
边际收入在经济学中，边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售收入。
设某产品的销售量为q时的收入函数为R=R(q)。则收入函数关于销售量q的导数就是该产品的边际收入R’(q)。
边际利润设某产品的销售量为q时的利润函数为L=L(q)，当L(q)可导时，称L’(x)为销售量为q时的边际利润，它近似等于销售量为q时再多销售一个单位产品所增加（或减少）的利润。
由于利润函数为收入函数与总成本函数之差，即
L(q)=R(q)-C(q)，
由导数运算法则可知
L’(q)=R’(q)-C’(q)。
即边际利润为边际收入与边际成本之差。
3.5.2 弹性分析弹性分析也是经济分析中常用的一种方法，主要用于对生产、供给、需求等问题的研究。
下面先给出弹性的一般概念。
给定变量u，它在某处的改变量△u称作绝对改变量。给定改变量△u与变量在该处的值u之比称作相对改变量。
定义3.2 对于函数y=f(x)，如果极限
存在，则
===
称作函数f(x)在点x处的弹性，记作E，即
Ey=。
从定义可以看出函数f(x)的弹性是函数的相对改变量与自变量的相对改变量比值的极限，它是函数的相对变化率，或解释成当自变量变化百分之一时函数变化的百分数。
由需求函数Q=Q(p)可得需求弹性为
EQ=。
根据经济理论，需求函数是单调减少函数，所以需求弹性一般取负值。
利用供给函数S=S(p)，同样定义供给弹性为
ES=。
例3 设某商品的需求函数为
求价格为100时的需求弹性并解释其经济含义。
解
。
它的经济意义是：当价格为100时，若价格增加1%，则需求减少2%。
③ 巩固练习：Ex3 Q10~17
④ 课节小结：边际是绝对变化率，弹性是相对变化率。
⑤ 课后作业：Ex3 Q18~19
§3.6 利用导数研究函数教学内容：函数图形的凹向、拐点与渐近线，描绘函数图形教学目标：掌握求函数图形的凹向与拐点的方法，会描绘函数图形。
教学要点：
重点：函数图形的凹向与拐点难点：描绘函数图形教学方法：
教学时数：3
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在研究函数图象的变化状况时，了解它上升和下降的规律是重要的，但是只了解这一点是不够的，上升和下降还不能完全反映图象的变化。图3-8所示函数的图象在区间内始终是上升的，但却有不同的弯曲状况。可以看到，从左端点开始，曲线先向上弯曲，通过点P后改变了弯曲方向，变为向下弯曲。因此，研究函数图象时，考察它的弯曲方向以及改变弯曲方向的点是完全必要的。从图中还可以看出，曲线向上弯曲的弧段位于该弧段上任意一点的切线上方；而向下弯曲的弧段则位于该段上任意一点的切线的下方。
② 讲授新课：
3.6.1 函数的凹向与拐点据此，我们给出如下定义：
定义3.3 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的，如果在某区间内，曲线弧位于其上任意点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的。
定理3.8 设函数在区间内存在二阶导数，
⑴ 若时，恒有，则曲线在内上凹；
⑵ 若时，恒有，则曲线在内下凹。
因为时，单调增加，从小变大，曲线上凹；反之，当时，单调减少，从大变小，曲线下凹。
定义3.4 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。
拐点既然是上凹与下凹的分界点，那么在拐点的左、右邻近必然异号，因而在拐点处有或不存在。
与驻点的情形类似，使的点只是可能的拐点。究竟是否为拐点，还要根据在该点的左、右邻近是否异号来确定。
于是，我们归纳法出求拐点的一般步骤：
① 求函数的二阶导数；
② 令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；
③ 对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点。
例1 求曲线的凹向区间与拐点。
解 ，
，
令，解得，。
得仿照求函数极值的方法，列表来讨论曲线的凹向区间和拐点：
0
1
+
0
--
0
+
拐点
拐点
曲线在及两个区间上凹，在区间下凹，和是它的两个拐点。
例2 求曲线的凹向区间与拐点。
解 ，；
令，解得；
我们注意到，只要，恒有，即在的左、右邻近是同号，而函数没有二阶导数不存在的点，所以曲线没有拐点，它在整个是上凹的。
例3 求曲线的凹向区间与拐点。
解 ，；
在内恒不为零，但时，不存在，但在处连续，且，因此需要判断点是否为拐点。
在4的左侧邻近时，；在4的右侧邻近时，。即在两侧异号，所以是曲线的拐点。
实际上，从右图不能看到，确实是曲线的拐点，只不过这点处的切线为铅垂方向的，故一阶导数、二阶导数都不存在。
3.6.2 曲线的渐近线有些函数的定义域都是有限区间，此时函数的图象局限于一定的范围之内，如圆、椭圆等。而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图象向无穷远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷远延伸的曲线常常会接近某一条直线，这样的直线叫做曲线的渐近线。
定义3.5 如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。
渐近线分为水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线三种。本书只介绍前两种渐近线的求法。
1．水平渐近线设曲线，如果，则称直线为曲线的水平渐近线。
2．铅垂渐近线如果曲线在点间断，且，则称直线为曲线的铅垂渐近线。
曲线的铅垂渐近线数目不受限制，可以存在多条。例如，我们熟悉的函数就有无数条铅垂渐近线。
例4 求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线。
解 因为，所以是曲线的水平渐近线。
又因为5是的间断点，且，所以是曲线的铅垂渐近线。
例5 求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线。
解 因为，所以是曲线的水平渐近线。
又因为1和－1是的间断点，且，，所以和是曲线的铅垂渐近线。
3.6.3 函数作图从3.4节开始，我们陆续讨论了函数的各种性态，综合以上的讨论就可以描绘出函数的图象。具体方法如下：
1．确定函数的定义域和值勤域；
2．确定曲线关于坐标轴的对称性；
3．求出曲线和坐标轴的交点；
4．判断函数单调区间并求出极值；
5．确定函数的凹向区间和拐点；
6．求出曲线的渐近线；
7．列表讨论并描绘函数的图象。
例6 描绘函数的图象。
解 ⑴ 定义域：。
⑵ 函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性。
⑶ 令，得，，表明曲线与轴有两个交点，一个是，一个是。
⑷ ，
令，得，。
，
，所以为极小值点，为极小值；
，所以为极大值点，为极大值。
⑸ 令，得。在的左侧有，在的右侧有，而，所以是拐点。
⑹ 无渐近线。
⑺ 将上面的结果列表如下：
0
1
2
－
＋
＋
－
＋
＋
＋
－
－
－
↘
最小值
↗
拐点
↗
极大值
↘
函数图象如图所示：
例7 描绘函数的图象。
解 略
③ 巩固练习：Ex3 Q20~23
④ 课节小结：函数作图问题是在函数单调性、函数极值、闭区间上的最值、曲线的凹向区间与拐点、曲线的渐近线的基础上讨论的，然后通过列表，画图。
⑤ 课后作业：Ex3 Q24
§1.1 函数教学内容：函数、反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数，函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念。
教学目标：了解反函数、函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念；理解函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数的概念；掌握复合函数的复合过程。
教学要点：
重点：函数、反函数、复合函数、分段函数、初等函数的概念难点：分段函数概念，复合函数的分解。
教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
函数是微积分学研究的对象。在中学里我们已经学习过函数概念，在这里我们不是进行简单的重复，而是要从全新的视角来对它进行描述并重新分类。
② 讲授新课：
1.1.1 函数的概念
1．常量与变量在日常生活、生产活动和经济活动中，经常遇到各种不同的量。这些量可以分为两类，一类是在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们称它为常量；另一量在所考察的过程中是变化的，可以取不同的数值，我们称它为变量。
在理解常量与变量时，应注意下面几点：
⑴常量和变量依赖于所研究的过程。同一个量，在某一过程中可以认为是常量，而在另一过程中则可能是变量；反过来也是同样的。这说明常量和变量具有相对性。
⑵从几何意义上讲，常量对应着数轴上的定点，变量则对应数轴上的动点。
⑶一个变量所能取的数值的集合叫做这个变量的变动区域。
有一类变量，可以取介于两个实数之间的任意实数值，叫做连续变量，连续变量的变动区域常用区间表示。
2．函数的概念及表示法在某个变化过程中，往往出现多个变量，这些变量不是彼此孤立的，而是相互影响和相互制约的，一个量或一些量的变化会引起另一个量的变化。如果这些影响是确定的，是依照某一规则的，那么我们说这些变量之间存在着函数关系。
定义1.1 设x和y两个变量，若当变量x在非空数集D内任取一数值时，变量y依照某一规则f总有一个确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作y=f(x)。这里，x称为自变量，y称为因变量或函数。f是函数符号，它表示y与x的对应规则。有时函数符号也可用其它字母表示。
集合D称为函数的定义域，相应的y值的集合则称为函数的值域M。
当自变量x在其定义域内取定某确定值x0时，因变量y按照所给函数关系y=f(x)求出的对应值y0叫做当x=x0时函数值，记作y|x=x或f(x0)。
应当指出，在实际应用问题中，除了要根据解析式子本身来确定自变量的取值范围外，还要考虑到变量的实际意义，一般而言，经济变量往往取正值，即变量都是大于○的。
常用的函数表示法有解析法（又称公式法）、表格法和图形法。
3．分段函数把定义域分成若干部分，函数关系由不同的式子分段表达的函数称为分段函数。分段函数是微积分中常见的一种函数。例如在中学数学课出现过的绝对值函数可以表示成
注意：分段函数是由几个关系式合起来表示一个函数，而不是几个函数。对于自变量x在定义域内的某个值，分段函数y只能确定唯一的值。分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并。
1.1.2 函数的几种特性
1．函数的有界性定义1.2 设函数y=f(x)在集合D上有定义，如果存在一个正数M，对于所有的x∈D，恒有|f(x)|≤M，则称函数f(x)在D上是有界的。如果不存在这样的正数M，则称f(x)在D上是无界的。
函数y=f(x)在区间（a,b）内有界的几何意义是：曲线y=f(x)在区间（a,b）内被限制在y=-M和y=M两条直线之间对于有界性，要注意以下两点,
⑴当一个函数y=f(x)在区间(a,b)内有界时，正数M的取法不是唯一的，
⑵有界性是依赖于区间的。
2．函数的奇偶性定义1.3 设函数y=f(x)在集合D上有定义，如果对任意的x∈D，恒有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对任意的x∈D，恒有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。 如图1-1
由定义可知，对任意的x∈D，必有-x∈D,否则，f(-x)没有意义。因此函数具有奇偶性时，其定义域定是关于原点对称的。
偶函数的图像是对称于y轴的，奇函数的图像是对称于原点的。
3．函数的单调性定义1.4 设函数y=f(x)在区间(a,b)内的任意两点x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在(a,b)内是单调增加的；如果对于(a,b)内的任意两点x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在(a,b)内是单调减少的。
单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数。
单调增加函数的图像是沿x轴正向逐渐上升的，单调减少函数的图像是沿x轴正向逐渐下降的。
4．函数的周期性定义1.5 对于函数y=f(x)，如果存在正数a，使f(x)=f(x+a)恒成立，则称此函数为周期函数。满足这个等式的最小正数a称为函数的周期。
1.1.3 反函数定义1.6 设y=f(x)是x的函数，其值域为R，如果对于R中的每一个y值，都有一个确定的且满足y=f(x)的x值与之对应，则得到一个定义在R上的以y为自变量，x为因变量的新函数，我们称它为y=f(x)的反函数，记作x=f –1(y)。并称y=f(x)为直接（原）函数。
当然我们也可以说y=f(x)是x=f –1(x)的反函数，就是说，它们互为反函数。显然，由定义知，单调函数一定有反函数。习惯上，我们总是用x表示自变量，用y表示因变量，所以通常把x=f –1(x)改写为y=f –1(x)。
从上面的定义容易得出，求反函数的过程可以分为两步：第一步从y=f(x)解出x=f –1(y)；第二步交换字母x和y。
可以证明，函数y=f(x)与其反函数y=f –1(x)的图像关于直线y=x对称。
1.1.4 基本初等函数基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数六大类，它们是微积分中所研究对象的基础。
常数函数y=c
它的定义域是(-∞,+∞)，由于无论x取何值，都有y=c，所以，它的图像是过点(0,c)平行于x轴的一条直线，它是偶函数。
2．幂函数y=xα（α为实数）
幂函数的情况比较复杂，我们分α>0和α<0来讨论。
当α取不同值时，幂函数的定义域不同，为了便于比较，我们只讨论x≥0的情形，而x<0时图像可根据函数的奇偶性确定。
当α>0时，函数的图像通过原点(0,0) 和点(1,1)，在(0,+∞)内单调增加且无界。
当α<0时，图像不过原点，但仍通过点(1,1)，在(0,+∞)内单调减少、无界，曲线以x轴和y轴为渐近线。
3．指数函数y=ax(a>0,a≠1)
它的定义域是(-∞,+∞)，由于无论x取何值，总有ax>0，且a0=1，所以它的图像全部在x轴上方，且通过点(0,1)。也就是说，它的值域是(0,+∞)。
当a>1时，函数单调增加且无界，曲线以x轴负半轴为渐近线；当0<a<1时，函数单调减少且无界，曲线以x轴正半轴为渐近线。
应特别注意指数函数与幂函数的区别：在幂函数y=xα中，自变量x在底的位置，指数α是常数；而在指数函数y=ax中，自变量x在指数函数位置，底的位置是常数a。
4．对数函数y=logax(a>0,a≠1)
它的定义域是(0,+∞)，图像全部在y轴右方，值域是(-∞,+∞)。无论a取何值，曲线都经过点(1,0)。
当a>1时，函数单调增加且无界，曲线以y轴负半轴为渐近线；当0<a<1时，函数单调减少且无界，曲线以y轴正半轴为渐近线。
对数函数y=logax和指数函数y=ax互为反函数，它们的图像关于y=x对称。
以无理数e=2.718 281 8…为底的对数函数y=logex叫做自然对数函数，简记作y=ln x，是微积分中常用的函数。
5．三角函数三角函数包括下面六个函数：
⑴正弦函数 y=sin x；
⑵余弦函数 y=cos x；
⑶正切函数 y=tan x；
⑷余切函数 y=cot x；
⑸正割函数 y=sec x；
⑹余割函数 y=csc x。
在微积分中，三角函数的自变量x采用弧度制，而不用角度制。角度与弧度之间可利用公式 π弧度=180°来换算。
函数y=sin x的定义域为(-∞,+∞)，值域为[-1,1]，奇函数，以2π为周期，有界。
函数y=cos x的定义域为(-∞,+∞)，值域为[-1,1]，偶函数，以2π为周期，有界。
函数y=tan x的定义域为x≠kπ+(k=0,±1,±2,…)，值域为(-∞,+∞)，奇函数，以π为周期，在每一个周期内单调增加，以直线x= kπ+( k=0,±1,±2,…)为渐近线。
函数y=cot x的定义域为x≠kπ( k=0,±1,±2,…)，值域为(-∞,+∞)，奇函数，以π为周期，在每一个周期内单调减少，以直线x= kπ ( k=0,±1,±2,…)为渐近线。
关于函数y=sec x和y=csc x我们不作详细讨论，只需知道它们分别为sec x=和csc x=。
6．反三角函数常用的反三角函数有四个：
⑴反正弦函数 y=arcsin x；
⑵反余弦函数 y=arccos x；
⑶反正切函数 y=arctan x；
⑷反余切函数 y=arccot x。
它们是作为相应三角函数的反函数定义出来的。
Y=arcsin x的含义是正弦值等于x的角。与三角函数相反，这里自变量x表示正弦值，而y表示角，准确的说，是角的弧度数。为了避免y=arcsin x的多值性，我们限定了一个区间[-,+]，叫做反正弦函数的主值区间。而小写字头的符号arcsin x则表示主值区间内的反正弦。
类似的，对其它几种反三角函数都规定了相应的主值区间，保证了它们的单值性。当然由于函数的性质不同，它们的主值区间范围不同罢了。
y=arcsin x，定义域是[-1,1]，值域[-,+]，是单调增加的奇函数，有界。
y=arccos x，定义域是[-1,1]，值域[0,π]，是单调减少的函数，有界。
y=arctan x，定义域是(-∞,+∞)，值域(-,+)，是单调增加的奇函数，有界。
y=arccot x，定义域是(-∞,+∞)，值域(0,π)，是单调减少的函数，有界。
1.1.5 复合函数与初等函数
1．复合函数在现实经济活动中，我们会遇到这样的问题：一般来说成本C可以看成产量q的函数，而产量q又是时间t的函数，时间t通过产量q间接影响成本C，那么成本C仍然可以看作时间t的函数，C与t的这种函数关系称作一种复合函数关系。
定义1.7 设y是u的函数y=f(u)，u是x的函数u=φ(x)，如果u=φ(x)的值域或其部分包含在y=f(u)的定义域中，则y通过中间变量u构成x的函数，称为x的复合函数，记作
y=f[φ(x)]，
其中x是自变量，u称作中间变量。
对于复合函数，作如下说明：
⑴不是任何两个函数都可以构成一个复合函数。
⑵复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，这些中间变量是经过多次复合产生的。
⑶复合函数通常不一定是由纯粹的基本初等函数复合而成，而更多的是由基本初等函数经过四则运算形成的简单函数构成的，这样，复合函数的合成和分解往往是对简单函数的。
2．初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合而成的函数叫做初等函数，一般说来，初等函数都可以用一个解析式子表示。
③ 巩固练习：Ex1 Q1~11
④ 课节小结：理解函数概念首先应该明确它是不同于相关关系的确定性，其次要掌握好函数概念的三要素，能正确确定函数的定义域和判断它的值域，理解函数符号的含义。
在理解函数概念的基础上，还要进一步掌握函数几种特性的表达式和几何意义，反函数的概念和几何意义，分段函数的概念和求值方式，六类基本初等函数的性质和图象，复合函数和初等函数的概念。
⑤ 课后作业：
§1.2 极限的概念教学内容：数列极限、函数极限的定义，函数左、右极限的概念。
教学目标：了解函数极限的定义，掌握函数左、右极限的概念。
教学要点：
重点：函数极限的定义，函数左、右极限的概念。
难点：函数极限的定义，函数左、右极限的概念。
教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
② 讲授新课：
1.1.1 数列的极限数列无穷多个按一定规则排列的一串数
x1,x2,x3,… xn …,
称作数列，简记作{xn}。其中，x1叫做数列的第一项，x2叫做数列的第二项，…，xn叫做数列的第n项，又称一般项。
数列可以看作是定义域为全体正整数的函数。
2．数列的极限定义1.8对于数列{xn}，如果当n无限变大时，xn趋于一个常数A，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以A为极限，记作
xn=A或xn→A (n→∞)，
亦称数列{xn}收敛于A；如果数列{xn}没有极限，就称{xn}是发散的。
注：此教材中极限定义都是描述性定义。
1.2.2 函数的极限
1．x→∞时函数的极限定义1.9 如果当x的绝对值无限增大时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x→∞时函数f(x)以A为极限。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→∞)。
如果从某一时刻起，x只能取正值或取负值趋于无穷，则有下面的定义。
定义1.9’ 如果当x>0且无限增大时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x→＋∞时函数f(x)以A为极限。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→＋∞)。
定义1.9” 如果当x<0且x绝对值无限增大时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x→－∞时函数f(x)以A为极限。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→－∞)
2．X→x0时函数的极限定义1.10 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域（点x0本身可以除外）内有定义，如果当x趋于x0（但x≠x0）时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x趋于x0时，f(x)以A为极限。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→x0)
亦称当x→x0时，f(x)的极限存在，否则称当x→x0时，f(x)的极限不存在。
例 两个常用极限：
⑴x=x0
⑵c=c
3．左极限与右极限定义1.11 设函数y=f(x)在点x0右侧的某个邻域（点x0本身可以除外）内有定义，如果当x>x0趋于x0时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x趋于x0时，f(x)的右极限是A。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→x0+)。
设函数y=f(x)在点x0左侧的某个邻域（点x0本身可以除外）内有定义，如果当x<x0趋于x0时，函数f(x)趋于一个常数A，则称当x趋于x0时，f(x)的左极限是A。记作
f(x)=A或f(x)→A (x→x0-)。
定理1.1 当x→x0时，f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在点x0处左、右极限存在且都等于A。即
f(x)=A(f(x)=f(x)=A。
③ 巩固练习：
④ 课节小结：数列极限的定义、函数极限的六种形式，极限存在的充要条件。
⑤ 课后作业：
§1.3 无穷小量与无穷大量教学内容：无穷小、无穷大的概念，无穷小的性质，无穷小的比较教学目标：了解无穷小、无穷大的概念，理解无穷小的性质，会对无穷小进行比较。
教学要点：
重点：无穷小、无穷大的概念，无穷小的性质。
难点：无穷小的比较教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
极限的定义，极限存在的充要条件。
② 讲授新课：
1．无穷小量有一类函数在某个变化过程中，其绝对值可以无限变小，也就是说，它的极限为0。这样的函数在微积分中很重要，我们称它为无穷小量。
定义1.12 若函数y=f(x)在自变量x的某个变化过程中以0为极限，则称在该变化过程中，f(x)为无穷小量，简称无穷小。
我们经常用希腊字母α,β,γ…来表示无穷小量。
在理解无穷小概念时，应注意下面几点：
⑴定义中所说的变化过程，包括所定义过的函数极限的六种形式。
⑵无穷小的定义对数列也适用。
⑶无穷小量是以0为极限的变量，不要把一个很小的数误认为是无穷小量。只有数0是唯一可以作为无穷小量的常数。
⑷不能笼统地说某个函数是无穷小量，必须指出它的极限过程。
建立发无穷小的概念之后，我们可以找到有极限函数和无穷小量的一个关系。
定理1.2 函数f(x)以A为极限的充分必要条件是：f(x)可以表示为A与一个无穷小量α之和。即
lim f(x)=A ( f(x)=A+α，其中limα=0。
无穷大量与无穷小量相反，有一类函数在变化过程中绝对值可以无限增大，我们称它为无穷大量。
定义1.13 若在自变量x的某个变化过程中，函数y=是无穷小量，即lim=0，则称在该变化过程中f(x)为无穷大量，简称无穷大，记作
lim f(x)=∞。
需要说明的是，这里我们虽然使用了极限符号，但并不意味着f(x)有极限。因为根据极限定义，极限值必须是常数，而∞不是数，它只表示一种状态，即f(x)绝对值无限变大的那样一种状态。
和无穷小类似，在理解无穷大的概念时，同样应注意：
⑴关于无穷大量的定义，对数列也适用。
⑵无穷大量是一个变化的量，一个不论多么大的数，都不能作为无穷大量。
⑶函数在变化过程中绝对值越来越大且可以无限大增大时，才能称无穷大量。
⑷当我们说某个函数是无穷大量时，必须同时指出它的极限过程。
无穷小量和无穷大量存在倒数关系。
无穷小量的性质下面，我们不加证明地介绍无穷小量的四个性质。
性质1.1 有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量。
性质1.2 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。
性质1.3 常数乘无穷小量仍是无穷小量。
性质1.4 无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量。
例：x sin=0。
从以上的性质中容易知道，无穷小量与有界函数、常数、无穷小量的乘积仍然是无穷小量，但不能认为无穷小量与任何量的乘积都是无穷小量。事实上，无穷小量与无穷大量的乘积就不一定时无穷小量。因此，在遇到乘积中有无穷小量时，应特别注意条件。
无穷小量的阶两个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量、但它们的商情况却不同。可见两个无穷小量的商，可以是无穷小量，可以是常数，也可以是无穷大量。这是因为无穷小量在趋于0的过程中快慢不同所致。
定义1.14 设α、β是同一变化过程中的两个无穷小量，
⑴若lim=0，则称α是比β高阶的无穷小量，也称β是比α低阶的无穷小量。
⑵若lim=c（c是不等于0的常数），则称α与β同阶的无穷小量；若c=1，则称α与β等价的无穷小量。
③ 巩固练习：
④ 课节小结：无穷小、无穷大的概念，无穷小的性质，无穷小的比较。
⑤ 课后作业：
§1.4 极限的性质与运算法则教学内容：极限的性质与运算法则教学目标：掌握极限的性质与运算法则教学要点：
重点：极限的性质与运算法则难点：用极限四则运算法则求函数极限教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
极限的定义
② 讲授新课：
1.4.1 极限的性质性质1.5（唯一性） 若极限lim f(x)存在，则极限值唯一。
以下性质只对x→x0的情形加以叙述，其它形式的极限也有类似的结果。
性质1.6（有界性）若极限f(x)存在，则函数f(x)在x0的某个空心邻域内有界。
性质1.7（保号性）若f(x)=A，且A>0（或A<0），则在x0的某空心邻域内恒有f(x)>0（或f(x)<0）。
若f(x)=A，且在x0的某个空心邻域内恒有f(x)≥0（或f(x)≤0），则A≥0（或A≤0）。
1.4.2 极限的四则运算法则利用极限的定义只能计算一些很简单的函数的极限，而实际问题中的函数却要复杂的多。本节将介绍极限的四则运算法则，并运用这些法则去求一些较复杂函数的极限问题。
定理1.3 若lim u(x)=A，lim v(x)=B，则
⑴ lim [u(x)±v(x)]=lim u(x)±lim v(x)=A±B；
⑵ lim [u(x)·v(x)]=lim u(x)·lim v(x)=A·B;
⑶ 当lim v(x)=B≠0时，lim==。
上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况，此外还有以下推论。
推论 设lim u(x)存在，c为常数，n为正整数，则有
⑴ lim [c·u(x)]=c·lim u(x)；
⑵ lim [u(x)]n=[lim u(x)]n
在使用这些法则时，必须注意两点：
⑴法则要求每个参与运算的函数的极限存在。
⑵商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为0。
当上面两个条件不具备时，不能使用极限的四则运算法则。
例1 求 (a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an)。
解 (a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an)
=a0xn +a1xn-1+…+an-1x +an
= a0x0n+a1x0n-1+…+an-1x0+an。
可见多项式p(x)当x→x0时的极限就是多项式p(x)在x0处的函数值，即
p(x)=p(x0)。 (1.4.1)
一般地，有理分式（分子、分母都是多项式的分式）当分母极限不为0时，则有x→x0时有极限等于分子、分母在x0处的函数值的商，即
=。 (1.4.2)
当x→∞时，有理分式（a0≠0，b0≠0）的极限有以下结果：
= (1.4.3)
③ 巩固练习：Ex1 Q12单号题
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex1 Q12双号题
§1.5 两个重要极限教学内容：两个重要极限教学目标：会用两个重要极限求极限教学要点：
重点：两个重要极限难点：会用两个重要极限求极限教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
我们在前面学习了极限的四则运算法则，但有的函数仅用四则运算法则仍然是无法求出的，下面我们介绍两个重要极限。
② 讲授新课：
1.5.1 极限存在的准则为了得出两个重要极限公式，我们先给出两个判定极限存在的准则。
准则Ⅰ 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在同一变化过程中满足
f(x)≤g(x)≤h(x)，
且lim g(x)=lim h(x)=A，那么lim f(x)存在且等于A。
准则Ⅱ 如果数列{xn}单调有界，则xn一定存在。
1.5.2 两个重要极限
1,=1
例1 =1。
例2 =k。
例3 =。
可以用正切函数任意替换正弦函数，以上二等式仍然成立。
2,
等式右端的字母e是自然对数的底。其正确性可以利用准则Ⅱ来证明。
如果令，当x→∞时，α→0，公式还可以写成
一般地，可以有下面的结论：
（为常数）。
作为第二个重要极限的应用，我们介绍复利公式。所谓复利计息，就是将第一期的利息与本金之和作为第二期的本金，然后反复计息。设本金为P，年利率为r，一年后的本利和为s1，则
s1=p+pr=p(1+r)，
把s1作为本金存入，第二年末的本利和为
s2= s1+s1r=s1(1+r)=p(1+r)2，
再把s2存入，如此反复，第n年末的本利和为
sn=p(1+r)n。 (1.5.11)
若把一年均分为t期计息，这时每期利率可以认为是，于是推得n年的本利和
sn=，m=nt。 (1.5.12)
假设计息期无限缩短，则期数t→∞，于是得到计算连续复利公式为
(1.5.13)
③ 巩固练习：Ex1 Q13、14单号题
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex1 Q13、14双号题
§1.6 函数的连续性教学内容：函数在一点连续的概念，初等函数的连续性，函数间断点的类型，连续函数与分段函数的极限，闭区间上连续函数的性质。
教学目标：理解函数在一点连续的概念，初等函数的连续性，会判断函数间断点的类型，会求连续函数与分段函数的极限。
教学要点：
重点：函数在一点连续的概念，
难点：函数在一点连续的概念，函数间断点类型的判断。
教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在现实生活中有许多的量才是连续变化的，例如气温的变化，植物的生长，物体的运动等。这些现象反映在数学上就是函数的连续性，它是与函数密切相关的另一个基本概念。
② 讲授新课：
首先引入增量的定义。
定义1.15 设变量u从它的初值u0变到终值u1，则终值与初值之差u1-u2就叫做变量u的增量，又叫做u的改变量，记作△u，即△u=u1-u0。
增量可以是正的，可以是负的，也可以是○。当u1>u0时，△u是正的；而当u1<u0时，△u是负的。
应当注意：△u是一个完整的记号，不能看作是符号△与变量u的乘积。这里变量u可以是自变量x，也可以是函数y。如果是x，则称△x=x1-x0为自变量的改变量；如果是y，则称△y=y1-y0为函数的改变量。有时为了方便，自变量x与函数y的终值不写成x1与y1，而直接写作x0+△x和y0+△y。
如果函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0处有一改变量△x时，函数y的相应改变量则为
△y =f(x0+△x)-f(x0)。
函数f(x)在x0点连续，表现在图形上是指，曲线y=f(x)在x=x0邻近是不间断的。
定义1.16 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量△x趋于零时，相应函数的改变量△y也趋于零，即
△y=0,(1.6.1)
则称函数f(x)在点x0连续。
在定义1.16中，如果令x=x0+△x，则当△x→0时，x→x0，于是式子△y=0可以改写为
[f(x)-f(x0)]=0，
即f(x)=f(x0)。因此，函数在点x0处连续也可以定义如下：
定义1.17 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数f(x)的极限存在，且等于f(x)在点x0处的函数值f(x0)，即时 f(x)=f(x0),(1.6.2)
则称函数f(x)在点x0处连续。
定义1.16与定义1.17可以互相推出，因此它们是等到价的。也就是说，在使用时，可以根据情况任选其一。
由定义1.17可以得出下面的结论：
⑴ 若函数y=f(x)在点x0处连续，则f(x)在点x0处的极限一定存在；反之，若f(x)在点x0处的极限存在，则函数f(x)在点x0处不一定有连续。
⑵若函数y=f(x)在点x0处连续，要求x→x0时f(x)的极限只需求出f(x)在点x0处的函数值f(x0)即可。
⑶当函数y=f(x)在点x0处连续时，有
f(x)=f(x0)=f(x)。 (1.6.3)
这个等式的成立意味着在函数连续的前提下，极限符号与函数符号可以互相交换，这一结论给我们求极限带来很大方便。
下面给出函数在区间上连续的定义。
定义1.18 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任何一点都连续，则称f(x)在区间(a,b)内连续。
若函数y=f(x)在区间(a,b)内连续，且f(x)=f(a)，f(x)=f(b)，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。
1.6.2 初等函数的连续性定理1.4若函数f(x)与g(x)在点x0处连续，则这两个函数的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)、积f(x)·g(x)、商f(x)/g(x)（当g(x0)≠0时）在点x0处连续。
定理1.5 设函数u=φ(x)在点x0处连续，y=f(u)在点u0处连续，且u0=φ(x0)，则复合函数
y=f[φ(x)]
在点x0处连续。
可以证明：基本初等函数在其定义域内都是连续函数。再根据定理1.4及定理1.5容易得到：由基本初等函数经过四则运算以及复合步骤所构成的初等函数在其定义区间内都是连续的。这样我们求初等函数在其定义区间内某点的极限，只需求初等函数在该点的函数值即可。
1.6.3 函数的间断点定义1.19 如果函数y=f(x)在点x0不连续，则称x0为f(x)的一个间断点。
由函数在某点连续的定义可知，如果f(x)在点x0处有下列三种情况之一，则点x0是f(x)的一个间断点。
⑴ 在点x0处，f(x)没有定义；
⑵ f(x)不存在；
⑶ 虽然f(x)存在，但f(x)≠f(x0)。
三种间断点：无穷间断点、跳跃间断点、可去间断点。
1.6.4 闭区间上连续函数的性质定理1.6 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在这个区间上一定有最大值和最小值。
定理1.7 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，m和M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值，则对介于m和M之间的任一实数C，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C。
推论 若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。
③ 巩固练习：Ex1 Q15~18
④ 课节小结：函数连续性的概念是函数概念和极限概念相结合而得出的另一个重要概念，函数连续性这部分主要掌握函数在点连续的两个等价定义、函数在点连续和在该点极限存在的关系、判断间断点的条件和初等函数的连续性。
⑤ 课后作业：Ex1 Q19~20
§1.7 常用经济函数教学内容：需求函数与供给函数，成本函数、收入函数与利润函数教学目标：会用函数关系描述经济问题教学要点：
重点：需求函数与供给函数，成本函数、收入函数与利润函数难点：会用函数关系描述经济问题教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在用数学方法解决问题时，往往需要找出经济变量之间的函数关系，建立数学模型。
下面介绍几种常用的经济函数。
② 讲授新课：
1.7.1 需求函数与供给函数需求函数一种商品的市场需求量Q与该商品的价格p密切相关，通常降低商品价格使需求量增加；提高商品价格会使需求量减少。如果不考虑其它因素的影响，需求量Q可以看成是价格p的一元函数，称为需求函数，记作
Q=Q(p)。
一般来说，需求函数为价格p的单调减少函数。
根据市场统计资料，常见的需求函数有以下几种类型：
⑴ 线性需求函数 Q=a-bp (a>0,b>0)；
⑵ 二次需求函数 Q=a-bp-cp2 (a>0,b>0,c>0)；
⑶ 指数需求函数 Q=ae-bp (a>0,b>0)。
需求函数Q=Q(p)的反函数，就是价格函数，记作
P=P(q)，
也反映商品的需求与价格的关系。
供给函数某种商品的市场供给量S也受商品价格p的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少。供给量S也可看成价格p的一元函数，称为供给函数；记为
S=S(p)。
供给函数为价格p的单调增加函数。
常见的供给函数有线性函数，二次函数，幂函数，指数函数等。其中，线性供给函数为
S=-c+dp (c>0,d>0)。
使某种商品的市场需求量与供给量相等的价格p0，称为均衡价格。当市场价格p高于均衡价格p0时，供给量将增加而需求量相应地减少，这时产生的“供大于求”的现象必然使价格p下降；当市场价格p低于均衡价格p0时，供给量将减少而需求量增加，这时会产生“物资短缺”现象，从而又使得价格p上升。市场价格的调节就是这样来实现的。
1.7.2 总成本函数、收入函数和利润函数在生产和产品的经营活动中，人们总希望尽可能降低成本，提高收入和利润。而成本、收入和利润这些经济变量都与产品和产量或销售量q密切相关，它们都可以看作q的函数，分别称为总成本函数，记为C(q)；收入函数，记为R(q)；利润函数，记为L(q)。
总成本由固定成本C1和可变成本C2(q)两部分组成，固定成本与产量q无关，如设备维修费、企业管理费等；可变成本随产量q的增加而增加，如原材料费、动力费等。即
C(q)=C1+ C2(q)。
总成本函数C(q)是q的单调增加函数。最典型的成本函数是三次函数
C=a0+a1q-a2q2+a3q3 (ai>0,i=0,1,2,3)。
但有时为了使问题简化，也常常采用线性成本函数
C=a+bq (a>0,b>0)
及二次成本函数。
只给出总成本不能说明企业生产的好坏，为了评价企业的生产状况，需要计算产品的平均成本，即生产q件产品时，单位产品成本平均值，记作，则
==，其中称为平均可变成本。
如果产品的单位售价为p，销售量为q，则总收入函数为
R(q)=pq。
总利润等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为
L(q)=R(q)-C(q)。
③ 巩固练习：Ex1 Q21~24
④ 课节小结：掌握常用经济函数的类型，理解需求函数与供给函数的关系，会求市场均衡价格，能用成本函数、收入函数、利润函数分析经济问题。
⑤ 课后作业：Ex1 Q25~26
第2章 导数与微分導數與微分的概念是建立在極限的基礎上的，它是研究函數性態的有力工具。本章將介紹導數與微分的概念，計算導數與微分的基本公式和方法。
§2.1 导数的概念教学内容：导数的概念，导数的几何意义，用导数定义求基本初等函数的导数，函数可导与连续的关系。
教学目标：理解导数的概念，了解导数的几何意义，会用导数定义求基本初等函数的导数，了解函数可导与连续的关系。
教学要点,
重点：导数的概念，导数的几何意义难点：用导数定义求基本初等函数的导数教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
② 讲授新课：
2.1.1 变化率问题举例当我们研究变量时，不仅需要研究变量与变量之间的对应关系（即函数关系），变量的变化趋势（即极限），还要研究变量变化的快慢程度。例如，物体运动的速度，国民经济发展速度，劳动生产率等等。这类问题通常叫做变化率问题。
1、变速直线运动的速度当物体作匀速直线运动时，求速度的问题很容易解决，就是所经过的路程与时间的比值。当物体作变速直线运动时，这个比值只能表示这段时间内物体运动的平均速度。但在很多实际问题中，只算出平均速度并不能满足要求，而常常需要知道物体在某个时刻的速度的大小，即要知道它的瞬时速度。
一般地说，如果物体运动的路程s与时间t的关系是s=f(t)，则它从t0到t0+△t这一段时间的平均速度为
而在t0时刻的瞬时速度即为平均速度当△t→0时的极限值：
2、产品总成本的变化率设某产品的总成本C是产量q的函数，即C=f(q)。当产量由q0变到q0+△q时，总成本相应的改变量为
△C=f(q0+△q)-f(q0)，
则产量由q0变到q0+△q时，总成本的平均变化率为
=
当△q→0时，如果极限
=
存在，则称此极限是产量为q0时的总成本变化率，又称边际成本。
上面两个例子的实际意义完全不同，但从抽象的数量关系来看，其实质是一样的，都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量改变量趋于○时的极限，我们把这种特定的极限叫做函数的导数。
2.1.2 導數的定義定义2.1 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量在点x0处取得改变量△x(≠0)时，函数f(x)取得相应的改变量△y=f(x0+△x)-f(x0)如果当△x→0时，
=
存在，则称此极限值为函数y=f(x)在点x0的导数，记作
f’(x0)，或y’|，或，或，
并称函数f(x)在点x0可导；如果不存在，则称函数f(x)在点x0不可导。
定义2.2 若函数y=f(x)在区间(a,b)内任意一点处都可导，则称函数f(x)在区间(a,b)内可导。
若f(x)在区间(a,b)内可导，则对于区间(a,b)内的每一个x值，都有一个导数值f’(x)与之对应，所以f’(x)也是x的函数，叫做f(x)的导函数，简称导数。记作 f’(x)，或y’，或，或。
容易知道，f(x)的导数f’(x)在点x=x0处的函数值就是f(x)在点x0处的导数f’(x0)。
根据导数的定义，求函数f(x)的导数的一般步骤如下：
① 写出函数的改变量 △y=f(x+△x)-f(x)；
② 计算比值 =；
③ 求极限 y’=f’(x)= 。
2.1.3 利用定义计算导数常数函数的导数设y=f(x)=c（c为常数），则c’=0。即常数函数的导数为零。
幂函数的导数设y=f(x)=x（α为实数），则 (x)’=。
正弦函数与余弦函数的导数设y=f(x)=sinx，则 (sinx)’=cosx。
设y=f(x)=cosx，则 (cosx)’=-sinx。
对数函数的导数设y=f(x)=logax (x>0,a>0,a≠1)，则 (logax)’=。
特别地，当a=e时，有 (lnx)’=。
指数函数的导数设y=f(x)=ax (a>0,a≠1)，则 (ax)’=axlna。
特别地，当a=e时，有 (ex)’=ex。
2.1.4 導數的幾何意義函数y=f(x)在点M0处的导数f’(x0)，就是曲线y=f(x)在点M0(x0,y0)处的切线M0T的斜率
k=tanα=f’(x0)。
这即是导数的几何意义。
根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，很容易得到曲线y=f(x)在点M0(x0,y0)处的切线方程为
y-y0=f’(x0)(x-x0)。
2.1.5 可导与连续的关系定理2.1 如果函数y=f(x)在点x0处可导，则y=f(x)在点x0处一定可微。
證 因为y=f(x)在点x0处可导，则有
f’(x0)=，
△y=·△x=·△x=f’(x0)·0=0。
由连续的定义1.16可知，y=f(x)在点x0处连续。
需要指出，这个定理的逆命题不成立，即函数y=f(x)在点x0处连续时，在点x0不一定可导。
③ 巩固练习：Ex2 Q1
④ 课节小结：导数是一种特殊形式的极限，即函数的改变量与自变量的改变量之比当自变量趋于零时的极限。导数的几何意义是：是曲线在点处切线的斜率。如果函数在点处可导，则在点处一定连续。反之，在点处连续时，则不一定可导。
⑤ 课后作业：Ex2 Q2
§2.2 导数基本公式与运算法则教学内容：导数的基本公式与运算法则教学目标：掌握导数的基本公式与运算法则教学要点：
重点：导数的基本公式与运算法则难点：导数运算法则的应用教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
求导数的运算是微积分的基本运算之一，我们必须很地掌握。上节中，我们从定义出发推出了几个基本初等函数的导数公式，其它几种基本初等函数的导数也完全可以用上面的方法求得，但毕竟太麻烦，而且仅有基本初等函数的导数公式，其应用范围也是有限的。为此我们将在下面几节中介绍导数的四则运算法则、复合函数的求导公式、隐函数求导法及对数求导法，有了这些方法之后，就可以比较方便地求任何初等函数的导数了。
② 讲授新课：
2.2.1 导数的四则运算法则代数和的导数设函数u(x)和v(x)在点x处可导，则y=u(x)±v(x)在点x处也可导，且
(u±v)’=u’±v’,(2.2.1)
就是说，两个函数代数和的导数等于它们导数的代数和。
乘积的导数设函数u(x)和v(x)在点x处可导，则y=u(x)·v(x)在点x处也可导，且
(uv)’=u’v+uv’,(2.2.2)
就是说，两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第二个函数的导数乘第一个函数。
特别地，当其中有一个函数为常数c时，则有
(cu)’=cu’,(2.2.3)
上面的公式对于有限多个可导函数成立，例如：
(uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’。 (2.2.4)
商的导数设函数u(x)和v(x)在点x处可导，且v(x)≠0，则y=在点x处也可导，且
()’=,(2.2.5)
就是说，两个函数之商的导数等于分子的导数乘分母，减去分母的导数乘分子，再除以分母的平方。
2.2.2 複合函數的導數定理2.2 设函数u=φ(x)在点x处有导数=φ’(x)，函数y=f(u)在点u处有导数=f’(u)，则复合函数y=f[φ(x)]在该点x也有导数，且
=f’(u)·φ’(x) (2.2.6)
或 y’x=y’u·u’ (2.2.7)
或 =·。 (2.2.8)
这个定理说明，复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
定理2.2的结论可以推广到多次复合的情况。例如设y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则复合函数y=f{φ[ψ(x)]}的导数为
(2.2.9)
复合函数求导数公式，就好象链条一样，一环扣一环，所以又称之为链式法则。运用这个法则时，应该了解因子的个数比中间变量的个数多一个，注意不要遗漏任何一层，且最后一个因子一定是某个中间变量对自变量的导数。
有些函数求导时，需要综合运用各种求导法则。对某些函数，可以先化简再求导，这样能够简化求导运算。
最后作为复合函数求导法则的应用，我们来推导当α为任意实数时，幂函数的求导公式。
例 推导的求导公式。
证 利用对数的性质我们将函数写成指数式
，
令αlnx=u,则y=eu，
。
2.2.3 隐函数的导数用解析法表示函数时，通常可以采用两种形式。一种是把函数y表示成自变量x的函数y=f(x)，称为显函数；另一种函数y与自变量x的关系由方程F(x,y)=0来确定，即y与x的函数关系隐含在方程中。我们称这种由未解出因变量的方程F(x,y)=0所确定的y与x之间的函数关系为隐函数。
有些隐函数可以化为显函数，例如函数2x2-y+8=0可以化为y=2x2+8。有此隐函数则不能化为显函数，例如函数ex+ey-xy=0就不能化为显函数。所以我们要研究从隐函数直接求其导数的方法。
隐函数求导数的方法是：方程两端同时对x求导，遇到含有y的项，先对y求导，再乘以y对x的导数y’，得到一个含有y’的方程式，然后从中解出y’即可。
例 求由方程ey=xy所确定的隐函数y的导数。
解 因为y是x的函数，所以ey是x的复合函数，将所给方程两边同时对x求导，得
ey·y’=x’y+xy’，
即 ey·y’=y+xy’，
解出y’，得 。
从上例中可以看到，隐函数导数的表达式中一般含有y的，这一点与显函数的导数不同。
2.2.4 取对数求导法有时还会遇到这样一些情形，虽然给定的函数是显函数，但直接求它的导数很困难或者很麻烦，例如幂指函数y=uv（其中u、v都是x的函数，且u>0）及一种因子之幂的连乘积的函数。对于这两类函数，可以通过两边取对数，转化成隐函数，然后按隐函数求导的方法求出y’。这样做常常会使计算简单或容易得多，这种方法称作取对数求导法。
注意：在这里，y’最终的表达式中，不允许保留y，而要用相应的x的表达式代替。
例 求函数y=xx的导数。
解 两边取对数，有
lny=x·lnx，
两边同时对x求导，可得
则
y’=xx·(lnx+1)。
2.2.5 导数基本公式基本初等函数的导数公式
⑴ （c为常数）
⑵ （α是任意实数）
⑶ （a>0,a≠1）
⑷ ；
⑸ （a>0,a≠1）；
⑹ ；
⑺ ；
⑻ ；
⑼ ；
⑽ ；
⑾ ；
⑿ ；
⒀ ；
⒁ 。
导数的四则运算法则设u、v是x的可导函数
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
⑸ 设y=f(u)，u=φ(x)，则复合函数y=f[φ(x)]的导数为
或
③ 巩固练习：Ex2 Q3~7
④ 课节小结：求导运算就是指能运用导数基本公式和运算法则（特别是积和商的运算法则），求简单函数和复合函数的导数。
隐函数求导法：设方程表示自变量为因变量为的隐函数，并且可导，利用复合函数求导公式将所给方程两边同时对求导，然后解方程求出。
取对数求导法：对于积商多的函数或幂指函数两类特殊的函数，可以通过两边取对数转化成隐函数，然后按隐函数求导的方法求出导数。
⑤ 课后作业：Ex2 Q8~9
§2.3 高阶导数教学内容：高阶导数教学目标：理解高阶导数的概念教学要点：
重点：高阶导数的概念难点：高阶导数的求法教学方法：
教学时数：1
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
② 讲授新课：
从本章§2.1节中我们知道，变速直线运动的瞬时速度v(t)是路程函数s=s(t)对时间t的导数，即
v(t)=s'(t)。
由物理学知，速度函数v(t)对于时间t的变化率就是加速度a(t)，即
a(t)=v'(t)=[f'(t)]'。
于是，加速度a(t)是路程函数s(t)对时间t的导数的导数，称为s(t)对t的二阶导数，记作s''(t)。因此变速直线运动的加速度就是路程函数s(t)对时间t的二阶导数，即
a(t)=s''(t)。
一般地，函数y=f(x)在点x处的导数f’(x)仍是x的函数，如果f’(x)在点x处对x的导数(f’(x))’存在，则称(f’(x))’为f’(x)在点x处的二阶导数，记作
f’’(x)，或y’’，或，或。
类似地，二阶导数f’’(x)的导数称为f(x)的三阶导数，记作f’’’(x)，…，(n-1)阶导数f(n-1)(x)的导数称为f(x)的n阶导数，记作
f(n)(x)，或y(n)，或，或。
函数y=f(x)在点x处具有n阶导数，也称n阶可导。二阶及二阶以上各阶导数统称高级导数。四阶或四阶以上的导数记作
f(k)(x) (k≥0)。
函数y=f(x)在点x0处的各阶导数就是其各阶导数在点x0处的函数值，即
f”(x0)，f’’’(x0)，f(4)(x0)，…，f(n)(x0)。
从定义可以看出，求高阶导数只需要进行一系列的求导运算即可，并不需要另外的方法。
③ 巩固练习：Ex2 Q10
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex2 Q11
§2.4 函数的微分教学内容：微分的概念，微分的几何意义，微分的运算法则教学目标：理解微分的概念，了解微分的几何意义，掌握微分的运算法则。
教学要点：
重点：微分的概念难点：微分的运算及简单应用教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在§2.1节中我们讲过导数表示函数在点x处的变化率，它描述函数在点x处变化的快慢程度。但有时我们还需要了解函数在某一点处当自变量有一个微小的改变量时，函数所取得的相应改变量的大小，而用公式△y=f(x+△x)-f(x)计算往往比较麻烦，于是我们想到要寻求一种当△x很小时，能近似代替△y的量。
② 讲授新课：
2.4.1 函数微分的概念若给定函数y=f(x)在点x处可导，根据导数定义有
。
由定理1.2知，，其中α是当△x→0时的无穷小量，上式可以写作
△y=f’(x)△x+α·△x。 (2.4.1)
(2.4.1)式表明函数的增量可以表示为两项之和。第一项f’(x)△x是△x的线性函数，第二项α△x，当△x→0时是比△x高阶的无穷小量。因此，当△x很小时，我们称第一项f’(x)△x为△y的线性主部，并叫做函数f(x)的微分。
定义2.3 设函数y=f(x)在点x0处有导数f’(x0)，则称f’(x)△x为y=f(x)在点x0处的微分，记作dy，即
dy= f’(x0)△x (2.4.2)
此时，称y=f(x)在点x0处是可微的。
函数y=f(x)在任意点x的微分，叫做函数的微分，记作
dy=f’(x)△x。 (2.4.3)
如果将自变量x当作自己的函数y=x，则有
dx=dy=(x)’△x=△x，
说明自变量的微分dx就等于它的改变量△x，于是函数的微分可以写成
dy=f’(x)dx,(2.4.4)
即 (2.4.5)
也就是说，函数的微分dy与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此，导数又叫微商。
函数的微分有明显的几何意义。设函数y=f(x)的图像是一条曲线，在曲线上取一定点M0(x0,y0)，过M0点作曲线的切线M0T，它与Ox轴的交角为α，则该切线的斜率为
tanα=f’(x0)。
当自变量在x0处取得改变量△x时，就得到曲线上另一点M(x0+△x,y0+△y)。过M点作平行于y轴的直线，它与切线交于T点，与过M0点平行于x轴的直线交于N点，于是曲线纵坐标得到相应的改变量
△y=f(x0+△x)-f(x0)=NM。
同时点M0处的切线的纵坐标也得到相应的改变量NT，在Rt△M0NT中，有
NT=tanα·M0N=f’(x0)△x=dy|。
可见函数微分的几何意义就是：在曲线上某一点处，当自变量取得改变量△x时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量。显然dy≈△y。
2.4.2 微分的计算根据定义，求函数的微分实际上就是求函数的导数，然后再乘上一个dx就行了。求导数的一切基本公式和运算法则完全适用于微分，因此我们不再罗列微分的公式和法则了。
2.4.3 微分形式的不变性我们知道，如果函数y=f(u)是u的函数，那么函数的微分为
dy=f’(u)du，
若u不是自变量，而是x的可导函数u=φ(x)时，u对x的微分为
du=φ’(x)dx，
所以，以u为自变量的复合函数y=f[φ(x)]的微分
dy=y’dx=f’(u)φ’(x)dx=f’(u)[φ’(x)dx]=f’(u)du，
也就是说，无论u是自变量还是中间变量，y=f(u)的微分dy总可以用f’(u)与du的乘积来表示。函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性。
2.4.4 微分的应用利用微分可以进行近似计算。
由微分的定义知，当|Δx|很小时，有近似公式
Δy≈dy=f’(x)Δx。
这个公式可以直接用来计算函数增量的近似值。
又因为 Δy=f(x+Δx)-f(x)，
所以近似公式又可写作
f(x+Δx)-f(x)≈f’(x)Δx，
即 f(x+Δx)≈f(x)+f’(x)Δx。
这个公式则可以用来计算函数在某一点附近的函数值的近似值。
例 设某国的国民经济消费模型为
y=10+0.4x+0.01
其中：y为总消费（单位：十亿元）；x为可支配收入（单位：十亿元）。当x=100.05时，问总消费是多少？
解 令x0=100，△x=0.05，因为△x相对于x0较小，可用微分近似公式来求值。
f(x0+△x)≈f(x0)+f’(x0)△x
=(10+0.4×100+0.01×)
+(10+0.4x+0.01)’|x=100·△x
=50.1+×0.05
=50.120 025（十亿元）。
③ 巩固练习：Ex2 Q12
④ 课节小结：
微分是导数与函数自变量改变量的乘积或者说是函数改变量的近似值。
几何意义：是曲线在点(x0,f(x0))处的切线纵坐标对应于的改变量，而是曲线y=f(x)的纵坐标对应于的改变量。
简单应用：当很小时，有近似公式
，
这个公式可以直接用来计算增量的近似值，而
，
这个公式可以用来计算函数的近似值。
⑤ 课后作业：Ex2 Q13~14
第3章 导数的应用
§3.1 中值定理教学内容：Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理。
教学目标：了解三个微分中值定理教学要点：
重点：Lagrange定理难点：Lagrange定理教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在建立了导数的概念之后，本章将介绍中值定理、利用导数求极限的方法——L’Hospital法则、利用导数判断函数的单调区间、凹向区间及求一元函数极值和作函数图形的方法。
微分中值定理是微积分学的重要理论基础，包括三个定理两个推论。
② 讲授新课：
定理3.1 （Rolle定理）
如果函数y=f(x)满足条件：
⑴ 在[a,b]上连续；
⑵ 在(a,b)内可导；
⑶ f(a)=f(b),
则在区间(a,b)内至少存在一点ξ，使f’(ξ)=0.
如果取消Rolle定理的第三个条件并改变相应的结论，就得到更一般的Lagrange定理。
定理3.2 （Lagrange定理）
如果函数y=f(x)满足条件：
⑴ 在[a,b]上连续；
⑵ 在(a,b)内可导，
则在区间(a,b)内至少有点ξ，使得
。
Lagrange定理还有下面两个推论：
推论1 如果函数y=f(x)在区间(a,b)内任一点的导数f’(x)都等于零，则在(a,b)内f(x)是一个常数。
推论2 如果函数f(x)与函数g(x) 在区间 (a,b) 内的导数处处相等，即f’(x)=g’(x)，则f(x)与g(x)在区间(a,b)内只差一个常数。即
f(x)-g(x)=c。
对于更一般的情况，还有下面的Cauchy定理。
定理3.3 （Cauchy定理）
如果f(x)与g(x)都在[a,b]上连续，都在(a,b)内可导，而且在(a,b)内g’(x)≠0，则在(a,b)至少存在一点ξ，使得
。
在上式中，如果g(x)=x，就变成Lagrange定理，所以Lagrange定理是Cauchy定理的特例。
③ 巩固练习：Ex3 Q1
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex3 Q2
§3.2 L’Hospital法则教学内容：L’Hospital法则教学目标：掌握L’Hospital法则，会用L’Hospital法则求未定式的极限教学要点：
重点：L’Hospital法则难点：用L’Hospital法则求未定式的极限教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
我们在第1章中曾介绍过利用极限的运算法则、函数的连续性和两个重要极限求极限的方法，本节将介绍一种借助于导数来求极限的新方法，即用L’Hospital法则求极限的方法。
② 讲授新课：
在求极限的过程中，常常遇到这样的情形，即在同一变化过程中分子、分母同时趋于零或同时趋于无穷大的情形，这时分式的极限可能存在也可能不存在，通常分别称这两类极限为“”型或“”型未定式。对于这样的未定式，即使极限存在，也不能用极限运算法则来计算，往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限计算的形式。这种变形没有一般方法，需视具体情况而定，有时很难把握，所能解决的问题有限。下面我们介绍的L’Hospital法则将提供一种简便、可行、具有一般性的求未定式极限的方法。
L’Hospital法则（一）
若函数f(x)与g(x)满足条件：
⑴ f(x)=0，g(x)=0;
⑵ f(x)与g(x)在点x0的某个邻域内（点x0可除外）可导，且g’(x)≠0；
⑶ =A（或∞）；
则==A（或∞）。
L’Hospital法则（二）
若函数f(x)与g(x)满足条件：
⑴ f(x)=∞，g(x)=∞;
⑵ f(x)与g(x)在点x0的某个邻域内（点x0可除外）可导，且g’(x)≠0；
⑶ =A（或∞）；
则==A（或∞）。
对于法则（一）和法则（二），把x→x0改为x→∞，仍然成立。
例1 求。
例2 求。
例3 求。
例4 求。
例5 求。
L’Hospital法则不但可以用来求和型未定式的极限，还可用来求0·∞，∞－∞，00，∞0，1∞型未定式的极限。求这几种未定式极限的基本方法就是设法将它们化为和型。
例6 求 （0·∞型）
解 = （已化为型）
==(-x)=0。
例7 求
例8 求。
解 这是型未定式，但极限
=
不存在，即不满足L’Hospital法则的第三个条件，所以不能使用L’Hospital法则。事实上，原极限可由下面的方法求出：
==1。
从上面的例子可以看出，L’Hospital法则虽然是求未定式极限的一种有效的方法，但它不是万能的，有时会失效。不能用L’Hospital法则求出的极限一定存在。
③ 巩固练习：Ex3 Q3单号题
④ 课节小结：L’Hospital法则：若分式是型或型未定式，而且（或∞）则有
（或∞）
上述公式对和都成立。
⑤ 课后作业：Ex3 Q3双号题
§3.3 函数的单调性教学内容：用导数判断函数单调性教学目标：学会用导数判断函数单调性教学要点：
重点：用导数判断函数单调性难点：用导数判断函数单调性教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
一个函数在某个区间的单调增减性变化规律，是我们研究函数图形时首先要考虑的。第1章里已经给出了单调性的定义，现在介绍利用导数判定函数单调性的方法。
② 讲授新课：
先从几何直观上分析，容易知道，如果曲线是上升的，其上每一点处的切线与x轴正向的夹角都有是锐角，切线的斜率大于零，也就是说f(x)在相应点处的导数大于零；相反地，如果曲线是下降的，其上每一点处的切线与x轴正向的夹角都是钝角，切线的斜率小于零，也就是说f(x)在相应点处的导数小于零。一般地，有判定定理：
定理3.4 设函数f(x)在区间(a,b)内可导。
⑴ 如果在(a,b)内，f’(x)>0，那么函数f(x)在(a,b)内单调增加；
⑵ 如果在(a,b)内，f’(x)<0，那么函数f(x)在(a,b)内单调减少。
证 在区间(a,b)内任取两点x1，x2，设x1<x2。由于f(x)在(a,b)内可导，所以f(x)在闭区间[x1,x2]上连续，在开区间(x1,x2)内可导，满足Lagrange定理条件，因此有
f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1) (x1<ξ<x2)，
因为x2-x1>0，
若f’(ξ)>0，则f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)。由于知，f(x)在(a,b)内单调增加；
若f’(ξ)<0，同理可证，f(x)在(a,b)内单调减少。
需要说明的是：这个判定定理只是函数在区间内单调增加（或减少）的充分条件。
在解决问题时为了方便，一般采用列表分析f’(x)在各个区间的符号。表中第一行是自变量被导数等于零的点（驻点）或导数不存在的点分成几个子区间；下面是导数的几个因子在各区间内的符号；然后是导数在各区间的符号；最后一行是函数在各区间的单调性。
③ 巩固练习：Ex3 Q4
④ 课节小结：函数的单调性必将在驻点或尖点处改变，所以判断函数单调性须先利用导数求出驻点或尖点，将定义域分成数个区间，然后再用单调性的判定定理来判断该区间上函数的单调性。
⑤ 课后作业：Ex3 Q5~6
§3.4 函数的极值教学内容：函数极值的概念，函数极值的求法。
教学目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的求法。
教学要点：
重点：函数极值的概念，函数极值的求法。
难点：函数极值的求法教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
从上节例1中看到，从0的左边邻近变到右边邻近时，由单调减少变为单调增加，即点是函数由减少到增加的转折点，因此，在的左右邻近有恒有；相反地，是函数由增加到减少的转折点，因此，在的左右邻近有。象这样的单调区间的转折点在应用上具有特殊意义。
② 讲授新课：
3.4.1 函数的极值定义3.1 设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义。
⑴ 如果对于该邻域内任意的x(x≠x0)总有f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，并且称点x0是f(x)的极大值点。
⑵ 如果对于该邻域内任意的x(x≠x0)总有f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值，并且称点x0是f(x)的极小值点。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
应当指出函数的极值是一个局部概念，它只是与极值点邻近的点的函数值相比是较大或较小，而不意味着它在函数的整个定义区间内为最大或最小。即极大值未必是定义区间上的最大值，极小值也未必是定义区间上的最小值。极值点处如果有切线的话，一定是水平方向的。但有水平切线的点不一定上极值点。
定理3.5（极值存在的必要条件）如果f(x)在点x0处取得极值且在点x0处可导，则f’(x0)=0。
证 略关于这个定理需要说明两点：
⑴ f’(x)=0只是f(x)在点x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件。事实上，我们熟悉的函数y=x3在x=0时，导数等于零，但在该点并不取得极值。
⑵ 定理的条件之一是函数在x0点可导，而导数不存在（但连续）的点也有可能取得极值。例如f(x)=|x|，f’(0)不存在，但在x=0处却取得极小值f(0)=0，通常把使导数为零的点称作驻点。函数的极值点只能在驻点和导数不存在的点中产生，但是驻点和导数不存在的点又不一定是极值点，下面给出判断极值的两个充分条件。
定理3.6（极值判别法Ⅰ）设函数f(x)在点x0的邻域内连续且可导（允许f’(x0)不存在），当x由小增大经过x0点时，若
⑴ f’(x)由正变负，则x0是极大值点；
⑵ f’(x)由负变正，则x0是极小值点；
⑶ f’(x)不改变符号，则x0不是极值点。
把必要条件和充分条件结合起来，就可以求函数的极值了。
定理3.7（极值判别法Ⅱ）设函数f(x)在点x0处有二阶导数，且f’(x0)=0，f”(x0)存在，
⑴ 若f”(x0)<0，则函数f(x)在点x0处取得极大值；
⑵ 若f”(x0)>0，则函数f(x)在点x0处取得极小值；
⑶ 若f”(x0)=0，则不能判断f(x0)是否是极值。
对于f”(x0)=0的情形：f(x)可能是极大值，可能是极小值，也可能不是极值。例如f(x)=-x4，f”(0)=0，f(0)=0是极大值；g(x)=x4，g”(0)=0，g(0)=0是极小值；h(x)=x3，h”(0)=0，但h(0)=0不是极值。因此，当f”(x0)=0时，第二判别法失效，只能用第一判别法判断。
我们把求函数极值的步骤归纳如下：
A 求f(x)的导数f’(x)；
B 解方程f’(x)=0，求出f(x)在定义域内的所有驻点；
C 找出f(x)在定义域内所有导数不存在的点；
D 分别考察每一个驻点或导数不存在的点是否为极值点，是极大值点，还是极小值点；
E 求出各极值点的函数值。
在经济分析中，经常遇到利润最大，成本最低，投资最省等问题，在数学上就是函数的最大值和最小值问题。
3.4.2 函数的最值对于一个闭区间上的连续函数f(x)，它的最大值、最小值只能在极值点或端点上取得。因此，只要求出函数f(x)的所有极值和端点值，它们之中最大的就是最大值，最小的就是最小值。
最大、最小值与极大、极小值是不同的。极值是局部性的概念，在一个区间内可能有多个数值不同的极大值或极小值，有的极小值也可能大于某个极大值。而最大值和最小值是整体的概念，是所考察的闭区间上全部函数的最大者。函数在闭区间上取得极大值的点可能不只一个，但最大值只有一个；取得极小值的点也可能不只一个，但最小值也只能有一个。
根据最大值和最小值的概念，我们得出它们的求法如下：
A 求出f(x)在(a,b)内的所有驻点和一阶导数不存在的连续点，并计算各点的函数值（不必判断这些点是否取得极值，是极大值还是极小值）。
B 求出端点的函数值f(a)和f(b)。
C 比较前面求出的所有函数值，其中最大的就是f(x)在[a,b]上的最大值M；其中最小的就是f(x)在[a,b]上的最小值m。
特别值得指出的是：f(x)在一个区间（有限或无限，开或闭）内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点是f(x)的唯一极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值。在应用问题中往往遇到这样的情形。这时可以当作极值问题来解决，不必与区间的端点值相比较。
3.4.3 最值在经济问题中的应用举例
1,最大利润问题利润是衡量企业经济效益的一个主要指标。在一定的设备条件下，如何安排生产才能获得最大利润，这是企业管理中和一个现实问题。
例8 某厂生产某种产品，其固定成本为3万元，每生产一百件产品，成本增加2万元。
其总收入R（单位：万元）是产量q（单位：百件）的函数。
R=5q-0.5q2，
求达到最大利润时的产量。
解 由题意，成本函数为
C=3+2q，
于是，利润函数
L=R-C=-3+3q-0.5q2。
L’=3-q，
令L’=0，得q=3（百件）。
L”(3)=-1<0，所以当q=3时，函数取得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最大值点。
即产量为300件时取得最大利润。
最小成本问题例9 已知某个企业的成本函数为
C=q3-9q2+30q+25，
其中C—成本（单位：千元），q—产量（单位：吨），求平均可变成本y（单位：千元）的最小值。
解 平均可变成本
y==q2-9q+30，
y’=2q-9，
令y’=0,得q=4.5（吨）。
y”|q=4.5=2>0，所以q=4.5时，y最得极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小值。
y|q=4.5=(4.5)2-9×4.5+30=9.75（千元）。
即产量为4.5吨时，平均可变成本取得最小值9 750元。
③ 巩固练习：Ex3 Q7
④ 课节小结：函数极值的判别法有二：
一阶导：设，当由小增大经过点时，若由正变负，则是极大值点；若由负变正，则是极小值点；若不改变符号，则不是极值点。
二阶导：若，则函数在点处取得极大值；若，则函数在点处取得极小值。
求函数在闭区间上的最大值和最小值，只需用函数的极值和端点值相比较即可求得。
⑤ 课后作业：Ex3 Q8
§3.5 导数在经济分析中的应用教学内容：边际分析，弹性分析教学目标：学会用导数关系描述边际、弹性等概念教学要点：
重点：边际分析，弹性分析难点：弹性分析教学方法：案例教学法教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
本节介绍导数概念经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析。
② 讲授新课：
3.5.1 边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率，利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称作边际分析方法。
边际成本在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本。
设某产品产量为q单位时所需的总成本为C=C(q)。由于
C(q+1)-C(q)=△C(q)≈dC(q)=C’(q)△q=C’(q)。
SlowBird 注：上式中△q=0。
所以边际成本就是总成本函数关于产量q的导数。
边际收入在经济学中，边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售收入。
设某产品的销售量为q时的收入函数为R=R(q)。则收入函数关于销售量q的导数就是该产品的边际收入R’(q)。
边际利润设某产品的销售量为q时的利润函数为L=L(q)，当L(q)可导时，称L’(x)为销售量为q时的边际利润，它近似等于销售量为q时再多销售一个单位产品所增加（或减少）的利润。
由于利润函数为收入函数与总成本函数之差，即
L(q)=R(q)-C(q)，
由导数运算法则可知
L’(q)=R’(q)-C’(q)。
即边际利润为边际收入与边际成本之差。
3.5.2 弹性分析弹性分析也是经济分析中常用的一种方法，主要用于对生产、供给、需求等问题的研究。
下面先给出弹性的一般概念。
给定变量u，它在某处的改变量△u称作绝对改变量。给定改变量△u与变量在该处的值u之比称作相对改变量。
定义3.2 对于函数y=f(x)，如果极限
存在，则
===
称作函数f(x)在点x处的弹性，记作E，即
Ey=。
从定义可以看出函数f(x)的弹性是函数的相对改变量与自变量的相对改变量比值的极限，它是函数的相对变化率，或解释成当自变量变化百分之一时函数变化的百分数。
由需求函数Q=Q(p)可得需求弹性为
EQ=。
根据经济理论，需求函数是单调减少函数，所以需求弹性一般取负值。
利用供给函数S=S(p)，同样定义供给弹性为
ES=。
例3 设某商品的需求函数为
求价格为100时的需求弹性并解释其经济含义。
解
。
它的经济意义是：当价格为100时，若价格增加1%，则需求减少2%。
③ 巩固练习：Ex3 Q10~17
④ 课节小结：边际是绝对变化率，弹性是相对变化率。
⑤ 课后作业：Ex3 Q18~19
§3.6 利用导数研究函数教学内容：函数图形的凹向、拐点与渐近线，描绘函数图形教学目标：掌握求函数图形的凹向与拐点的方法，会描绘函数图形。
教学要点：
重点：函数图形的凹向与拐点难点：描绘函数图形教学方法：
教学时数：3
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在研究函数图象的变化状况时，了解它上升和下降的规律是重要的，但是只了解这一点是不够的，上升和下降还不能完全反映图象的变化。图3-8所示函数的图象在区间内始终是上升的，但却有不同的弯曲状况。可以看到，从左端点开始，曲线先向上弯曲，通过点P后改变了弯曲方向，变为向下弯曲。因此，研究函数图象时，考察它的弯曲方向以及改变弯曲方向的点是完全必要的。从图中还可以看出，曲线向上弯曲的弧段位于该弧段上任意一点的切线上方；而向下弯曲的弧段则位于该段上任意一点的切线的下方。
② 讲授新课：
3.6.1 函数的凹向与拐点据此，我们给出如下定义：
定义3.3 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的，如果在某区间内，曲线弧位于其上任意点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的。
定理3.8 设函数在区间内存在二阶导数，
⑴ 若时，恒有，则曲线在内上凹；
⑵ 若时，恒有，则曲线在内下凹。
因为时，单调增加，从小变大，曲线上凹；反之，当时，单调减少，从大变小，曲线下凹。
定义3.4 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。
拐点既然是上凹与下凹的分界点，那么在拐点的左、右邻近必然异号，因而在拐点处有或不存在。
与驻点的情形类似，使的点只是可能的拐点。究竟是否为拐点，还要根据在该点的左、右邻近是否异号来确定。
于是，我们归纳法出求拐点的一般步骤：
① 求函数的二阶导数；
② 令，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；
③ 对步骤②求出的每一个点，检查其左、右邻近的的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点。
例1 求曲线的凹向区间与拐点。
解 ，
，
令，解得，。
得仿照求函数极值的方法，列表来讨论曲线的凹向区间和拐点：
0
1
+
0
--
0
+
拐点
拐点
曲线在及两个区间上凹，在区间下凹，和是它的两个拐点。
例2 求曲线的凹向区间与拐点。
解 ，；
令，解得；
我们注意到，只要，恒有，即在的左、右邻近是同号，而函数没有二阶导数不存在的点，所以曲线没有拐点，它在整个是上凹的。
例3 求曲线的凹向区间与拐点。
解 ，；
在内恒不为零，但时，不存在，但在处连续，且，因此需要判断点是否为拐点。
在4的左侧邻近时，；在4的右侧邻近时，。即在两侧异号，所以是曲线的拐点。
实际上，从右图不能看到，确实是曲线的拐点，只不过这点处的切线为铅垂方向的，故一阶导数、二阶导数都不存在。
3.6.2 曲线的渐近线有些函数的定义域都是有限区间，此时函数的图象局限于一定的范围之内，如圆、椭圆等。而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图象向无穷远处延伸，如双曲线、抛物线等。有些向无穷远延伸的曲线常常会接近某一条直线，这样的直线叫做曲线的渐近线。
定义3.5 如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。
渐近线分为水平渐近线、铅垂渐近线和斜渐近线三种。本书只介绍前两种渐近线的求法。
1．水平渐近线设曲线，如果，则称直线为曲线的水平渐近线。
2．铅垂渐近线如果曲线在点间断，且，则称直线为曲线的铅垂渐近线。
曲线的铅垂渐近线数目不受限制，可以存在多条。例如，我们熟悉的函数就有无数条铅垂渐近线。
例4 求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线。
解 因为，所以是曲线的水平渐近线。
又因为5是的间断点，且，所以是曲线的铅垂渐近线。
例5 求曲线的水平渐近线和铅垂渐近线。
解 因为，所以是曲线的水平渐近线。
又因为1和－1是的间断点，且，，所以和是曲线的铅垂渐近线。
3.6.3 函数作图从3.4节开始，我们陆续讨论了函数的各种性态，综合以上的讨论就可以描绘出函数的图象。具体方法如下：
1．确定函数的定义域和值勤域；
2．确定曲线关于坐标轴的对称性；
3．求出曲线和坐标轴的交点；
4．判断函数单调区间并求出极值；
5．确定函数的凹向区间和拐点；
6．求出曲线的渐近线；
7．列表讨论并描绘函数的图象。
例6 描绘函数的图象。
解 ⑴ 定义域：。
⑵ 函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性。
⑶ 令，得，，表明曲线与轴有两个交点，一个是，一个是。
⑷ ，
令，得，。
，
，所以为极小值点，为极小值；
，所以为极大值点，为极大值。
⑸ 令，得。在的左侧有，在的右侧有，而，所以是拐点。
⑹ 无渐近线。
⑺ 将上面的结果列表如下：
0
1
2
－
＋
＋
－
＋
＋
＋
－
－
－
↘
最小值
↗
拐点
↗
极大值
↘
函数图象如图所示：
例7 描绘函数的图象。
解 略
③ 巩固练习：Ex3 Q20~23
④ 课节小结：函数作图问题是在函数单调性、函数极值、闭区间上的最值、曲线的凹向区间与拐点、曲线的渐近线的基础上讨论的，然后通过列表，画图。
⑤ 课后作业：Ex3 Q24
