行列式
7.1 行列式的定义学习内容：行列式的定义教学目的：让学生掌握二、三阶及n阶行列式的定义和运算及其相关定义教学重点：二、三阶、n阶行列式定义、余子式及代数余子式定义教学进程：
一、二阶行列式定义：
我们规定记号： ＝ad-bc，并称之为二阶行列式，其中：a、b、c、d称为二阶行列式的元素；横排称为行，竖排称为列；从左上角到右下角的对角线称为行列式的主对角线，从左下角到右上角的对角线称为行列式的次对角线。
二阶行列式的应用：
在初等代数中，用回头消元法解二元一次方程组：
―――――（7.1.1）
可得：
若：，得方程组之解为：
――――――（7.1.2）
为了方便记忆，利用二阶行列式，令：
D＝＝
＝ ＝
当二元一次方程组的系数行列式时，它的解可简洁地记为：
, ――――――（7.1.3）
例题讲解：
解二元一次方程组
解：＝－７
＝－14 ＝－7
则方程组的解应为：
三、三阶行列式的定义：
为了便于表示三元一次方程组：
—―――――（7.1.4）
的解，我们引进三阶行列式：
＋＋
＝
＝
称为三阶行列式，其中是原行列式D中划去元素所在的第一行、第一列后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式，称它为元素的余子式，记作，即
类似地，记 ,
并且令 （
称为元素的代数余子式。
因此，三阶行列式也可以表示为
＝
而且它的值可以转化为二阶行列式计算而得到。
利用三阶行列式的概念，当方程组（7.1.4）的系数行列式时，它的解也可以简洁地表示为
―――（7.1.5）
其中，，，是将方程组（7.1.4）中的系数行列式D的第一、二、三列分别换成常数列得到的三阶行列式。
例题讲解：
例2、计算行列式 D＝
解,D＝
＝＝－30＋9＋24＋6＝９
例3、解三元一次方程组
解：利用解的公式（7.1.5），先计算系数行列式
＝＝－5
且
＝－5 ＝－10 ＝－35
所以方程组的解为
四、n阶阶行列式的定义：
由个元素组成的一个算式，记为D
D=
称为n阶阶行列式，简称行列式。其中称为D和第行第j列的元素（,j=1，2，…，n）。
当n =1时，规定：
D ==
当n –1 阶行列式已定义，则n 阶行列式：
D = -----------（7.1.6）
其中为元素的代数余子式。
此定义是n阶行列式D按第一行的的展开式。通过二阶、三阶行列式的展开式可以推出，n阶行列式的展开式中共有!乘积项，每个乘积项中含有n个取自不同行不同列的元素，并且带正号和带负号的项各占一半。
例题讲解：
例4、写出四阶行列式
的元素的余子式和代数余子式。
解：元素的余子式为划去第三行和第二列后，剩下元素按原来顺序组成的三阶行列式，而元素的代数余子式为余子式前面加一个符号因子，即
相关定义：
形如下列形式的行列式分别为n阶对角形行列式和n阶下三角形行列式。由n阶阶行列式的定义知，它们的值都是主对角线上元素的乘积。
= =
例题讲解；
例5、计算下列行列式：
（１） （2）
解：（１）根据（7.1.6）式，得：
＝＝
根据（7.1.6）式，得
＝
＝
五、练习： １、２
六、本节小结:本节主要要掌握二阶、三阶、n阶行列式及余子式、代数余子式的定义七、作业 ３、４
备注：
7．2 行列式的性质教学内容：行列式的性质教学目的：让学生掌握行列式的性质，并学会应用教学重点：行列式的性质教学过程：
转置行列式的概念：
如果把n阶行列式
中的行与列按原来的顺序互换，得到新的行列式
那么称行列式为D的转置行列式。显然D也是的转置行列式。
行列式的性质：
性质1、行列式D与它的转置行列式相等，即D=
例如二阶行列式 D===
性质1说明，行列式中行与列所处的地位是一样的，所以，凡是对行成立的性质，对列也同样成立。
由性质1和n阶下三角形行列式的结论，可以得到n阶上三角形行列式的值等于它的对角线元素乘积，即
=
性质2、行列式D等于它的任意一行或列中所有元素与它们各自的代数余子式乘积之和，即
D= 或 D= ---------（7.2.1）
其中，换句话说，行列式可以按任意一行或列展开。
例题讲解例1、设三阶行列式 D=
按第二行展开，并求其值；
按第三列展开，并求其值。
解：（1）=-（5-6）=1
D== -4
(2)
=2×(-18)+1×(-4)+5×10=10
例2、计算四阶行列式
解：因为第三列中有三个零元素，由性质2，按第三列展开，得
D=
对于上面的三阶行列式，按第三行展开，得
由性质2，可以证明下列结论成立性质3 行列式一行（或列）的公因子可以提到行列式记号的外面，即
= ------(7.2.2)
例如二阶行列式
由性质3可以得到下面推论：
推论1 如果行列式中有一行（或列）的全部元素都是零，那么这个行列式的值为零。
推论2 行列式中一行（或列）的每一个元素如果可以写成两数之和，
那么此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第行的元素分别是和，其他各行（或列）的元素与原行列式相应各行（或列）的元素相同，即
=+ -------(7.2.3)
例如二阶行列式
==
=
性质5如果行列式中两行（或列）对应元素全部相同，那么行列式的值为零，即
= 0
例如三阶行列式
由性质3和性质5，可以得到下列推论：
推论2 行列式中如果两行（或列）对应元素成比例，那么行列式的值为零。
推论3 行列式D中任意一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即当时，
---------（7.2.4）
综合性质2和推论3，可以得到
由性质4和推论2，可以得到下列结论：
性质6 在行列式中，把某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上去，那么行列式的值不变，即
（7.2.5）
例如二阶行列式
=
利用性质3和性质6，可以得到下列结论：
性质7 如果将行列式的任意两行（或列）互换，那么行列式的值改变符号，即
例如，二阶行列式
行列式性质的应用：
例3、计算下面行列式的值
（1） （2）
解 （1）把的第二行的元素分别看成：300-10，100+6，200-4，由性质4，得
而由推论2和性质3、性质5，得
所以，
（2）利用性质6，在第一行上加上第二行一倍，再由推论2，得
证明
D== （1-
证 利用性质4把原行列式拆成4个行列式，即
D ==
=
再由推论2可知第一个和第四个行列式为零；由性质3和性质7，得
D =
=
本节小结：本节主要学习了不起课堂练习：
课后作业：
备注
7.3 行列式的计算教学内容:行列式的计算教学目的：让学生利用行列式的定义及性质进行行列式的计算教学重点：计算的思想方法教学过程：
一、行列式的基本计算方法之一是根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为上（或下）三角形行列式，由前面的结论可知，这时行列式的值就是主对角线上元素的乘积，这种方法一般称为“化三角形法”。
计算四阶行列式
解：利用行列式性质，把D化为上三角形行列式，再求值。
＝－21
计算四阶行列式
解：利用行列式性质，把D化为上三角形行列式，再求值。
小结 把数字元素的行列式化为上三角形行列式的一般步骤为
(1)把变换为1（例2是通过列变换来实现的，有时也可以把第一行乘来实现，但要注意尽量避免将元素化为分数，否则将给后面的计算增加困难）；
(2)把第一行分别乘－，－，…，－加到第2，3，…，n行对应元素上，把第一列以下的元素全部化为零；
(3)从第二行依次用类似的方法把主对角线，，…，以下的元素全部化为零，即可得上三角形行列式。
注意：在上述变换过程中，主对角线上元素不能为零，若出现零，可通过交换使得主对角线上的元素不为零。
计算行列式的另一种基本方法是选择零元素最多的行（或列），按这一行（或列）展开；也可以先利用性质把某一行（或列）的元素化为仅有一个非零元素，然后再按这一行（或列）展开，这种方法一般称为“降阶法”。
计算四阶行列式
解：为避免分数运算，利用性质3，把第一行和第三行的分数元素化为整数，即
如果注意到第三行已有两个零元素，那么利用性质6，把第三行的元素尽量化为零，然后再按第三行展开，即
＝
＝
三、几类行列式计算经常遇到的题型例４ 计算四阶行列式
解 因为该行列式中各行（或列）的元素之和都是2a+b，所以，可把各列元素都加到第1列上，然后提取公因子2a+b，再利用性质6，把第一列的元素尽量化为零，并按第一列展开，即
=(2a+b)
=(2a+b)
=(2a+b)(-b)(a-(b-a))=
计算五阶行列式
解：该行列式的第行第j列的元素等于第j行第列元素的负数，即。具有这种特点的行列式称为反对称行列式。因为D的转置行列式为：
由性质1，得 D=
如果将的每一行提出公因子（-1），得
=
由此可得 D=-D
即 D=0
注：用此方法可以证明任何奇数阶反对称行列式的值都等于零。
解方程
解法一 因为
=（x-4）×(-1)
=
由，得，。所以方程的解是
解法二 令x+4=8，即x=4，则行列式的第二行是第一行的2倍，根据推论3，行列式为零。所以x=4是方程的一个解。
再令x=-5，则行列式的第三行是第四行的-1倍，根据推论3，行列式为零。所以x=-5是方程的另一个解。
证明
证
=
=
=
例7的结论可以推广到一般情况，用归纳法可以证明：
（7.3.1）
利用性质1，行列式，可以得到(7.3.1)式的另一个结论。
四、本节小结：
五、课堂练习： 5、6
六、作业：
七、备注
7.4 克拉默法则教学内容：克拉默法则教学目标：让学生掌握用克拉默法则求解n个方程的n元线性方程组教学重点：克拉默法则应用的条件及其实际应用教学过程：
一、问题的提出：
在7.1中我们曾提出这样一个问题，在解n个方程的n元线性方程组时，是否能象二元、三元线性方程组那样，用行列式表示其解呢？我们这一节就是要讨论这个问题。
n个方程的n元线性方程组的一般形式为
（7.4.1）
由系数组成的n阶行列式
(7.4.2)
称为线性方程组（7.4.2）的系数行列式。
假设（7.4.2）式有解，并令是它的一个解，那么
（7.4.3）
用代数余子式分别乘以(7.4.3)式的第1、第2、…、第n个等式两边相加得到
（
（
+
由7.2节中的性质2和推论3可以得到
其中行列式是把行列式D的第j列元素换成方程组(7.4.1)的常数项得到的行列式。
当时，
（7.4.4）
另一方面，将(7.4.4)式代入方程组(7.4.1)，容易验证它满足方程组(7.4.1),所以(7.4.4)式是方程组（7.4.1）的解。
定理7.1(克拉默Cramer法则)若线性方程组（7.4.1）的系数行列
，则方程组（7.4.1）有唯一解
（7.4.5）
其中行列式是把行列式D的第j列列元素换成方程组（7.4.1）的常数项得到的行列式。
如果线性方程组（7.4.1）的常数项均为零，即
（7.4.6）
称为齐次线性方程组。这时行列式第j列的元素都是零，所以。因此当方程组(7.4.6)的系数行列式时，由Cramer法则知道它有唯一解
全部由零组成的解称为零解，于是我们有如下结论：
推论1 若齐次线性方程组（7.4.6）的系数行列式，则方程组只有零解。
推论2 齐次线性方程组(7.4.6)有非零解的必要条件是系数行列式
例题讲解解线性方程组
解 因为方程组有系数行列式
=-
所以方程组有唯一解。又因为
所以方程组的解是
例2、解齐次线性方程组
解 因为系数行列式
所以方程组只有零解，即
例3解齐次线性方程组有非零解
试求的值。
解 由推论2可知，方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零。因为
=
所以，当方程组有非零解时，或
四、注意事项：
用Cramer法则解线性方程组有两个前提条件：一是方程个数与未知量个数相等；二是方程组的系数行列式不等于零。
用克拉默法则解n个线性方程组时，需要计算n+1个n阶行列式，计算量很大，所以实际解线性方程组时一般不用克拉默法则，但是，克拉默法则在理论上是相当重要的，因为它告诉我们：当方程组（7.4.1）的系数行列式不等于零时，方程组有唯一解，这说明可以直接从原方程组的系数来讨论解的情况。
Cramer法则还告诉我们：在系数行列式不等于零时，方程组（7.4.1）的唯一解可以用公式(7.4.5)表示，也就是直接用方程组的系数和常数项来表示它的解，从而可以看出方程组的解与它的系数、常数项的依赖关系。
五、课堂练习： 8
六、作业： 9、10
备注：
矩阵
8．1 矩阵的概念教学内容：矩阵的概念教学目标：让学生掌握矩阵的概念及几个特殊矩阵教学重点：矩阵的概念教学过程：
一、新课的引入：
矩阵是数（或函数）的矩形阵表。在工程技术、生产活动和日常生活中，我们常常用数表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等。在给出矩阵定义之前，先看几个例子。
例1、北京市某户居民第三季度每个月（单位：t）、电（单位：kw·h）、天然气（单位：）的使用情况，可以用一个三行三列的数表示为
例2、含有n个未知量、m个方程的线性方程组
如果把它的系数和常数项按原来顺序写出，就可以得到一个m 行、n+1行的数表
那么，这个表就可以清晰地表达这一线性方程组。
由上面的例子可以看到，对于不同的问题可以用不同的数表来表示，我们将这些数表统称为矩阵。
矩阵的定义：
定义8.1 有个数排列成一个m行n列，并括以圆括弧（或方括弧）的数表
称为m行n列矩阵，简称矩阵。
矩阵通常用大写字母A，B，C…表示。例如上述矩阵可以记作A或，有时也记作 A=
其中称为矩阵A的第i行第j列元素。
特别地，当m=n时，称A为n阶矩阵，或n阶方阵。
当m=1或n=1时，矩阵只有一行，或只有一列，即
A= 或 A=
分别称之为行矩阵和列矩阵。
在n阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线。
所有元素全为零的矩阵，称为零矩阵。记作或O。例如
分别为2阶零矩阵和3×5零矩阵。
在矩阵A=中各个元素的前面都添加上负号（即取相反数）得到的矩阵，称为A的负矩阵。记作-A，即-A=（-
例如
那么-A就是A的负矩阵。
几个特殊矩阵：
定义8.2 主对角线下（或上）方的元素全部都是零的n阶矩阵，称为n阶上（或下）三角矩阵。
上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵。
例如：
分别是一个三阶上三角矩阵和一个四阶下三角矩阵。值得注意的是，上（或下）三角矩阵的主对角线下（或上）方的元素一定是零而其他元素可以是零也可以不是零。
n阶对角矩阵：如果一个矩阵A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则称其为n阶对角矩阵。亦即对角矩阵是非零元素只能在主对角线上出现的方阵，如
是一个三阶对角矩阵。
显然，有主对角线的元素就可以确定对角矩阵了，因此，以常将对角矩阵记作,diag[
当然允许中某些元素为零。
n阶数量矩阵：主对角线上元素都是非零常数a，其余元素全部是零的n阶矩阵，称为n阶数量矩阵。
当n=2，3时
（
就是二阶、三阶数量矩阵。
n阶单位矩阵：主对角线上元素是1，其余元素全部是零的n阶矩阵，称为n阶单位矩阵。记作
当n=2，3时，
就是二阶、三阶单位矩阵。
注意：
矩阵与行列式是有本质区别的,行列式是一个算式，一个数字行列式通过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。对于n阶方阵，虽然有时也要算它的行列式（记作detA），但是方阵A和方阵行列式detA是不同的概念。
本节小结：
课堂练习：
作业：
备注：
8.2 矩阵的运算（一）
8.2.1 矩阵的相等、加法及数乘运算教学内容：矩阵的运算（一）
教学目标：让学生掌握矩阵运算中相等、加法及数乘运算教学重点：矩阵相等、加法、数乘的定义教学过程：
对上节内容的回顾新课的导入：对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这就是本节所要讨论的主要内容。
矩阵相等：
定义8.3 如果两个矩阵的行数和列灵数分别相同，而且各对应元素相等，则称矩阵A与矩阵B相等。记作,A=B
即 如果且,那么A=B。
由定义8.3可知，用等式表示两个矩阵相等等价于元素之间的个等式，例如，矩阵
那么A=B，当且仅当
又设矩阵
那么，无论矩阵C中的元素取什么数都不会与矩阵B相等，这是因为B，C这两个矩阵的列数不同。
例1、设矩阵
且A=B，求a,b,c,d
解 根据定义8.3，由A=B，即
=
得a=-2，b=1，c=3，d=-5
矩阵的加法定义8.4 设是两个矩阵，规定：
A+B==
称矩阵A+B为A与B的和。
由定义8.4知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算。
现有两种物资（单位：吨）要从三个产地运往四个销地，其调运方案分别为矩阵A与B
试问，从各产地运往各销地两种物资的总运量是多少？
解：设矩阵C为两种物资的总运量，那么矩阵C是A与B的和，即
C=A+B=+
==
如果，由矩阵加法运算和负矩阵的概念，我们规定：
B=A+（-B）=
称矩阵A-B为A与B的差。
例3、设矩阵A=，B=，求A+B，A-B。
解 A+B=+=
B=-=
设A，B，C，O都是矩阵，根据定义8.4和负矩阵的概念，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则：
1、加法交换律 A+B=B+A
2、加法结合律 （A+B）+C=A+（B+C）
3、零矩阵满足 A+O=A
4、存在矩阵-A，满足 A-A=A+（-A）=O
矩阵的数乘：
定义8.5 设k是任意一个实数，是一个矩阵，规定：
kA=
称该矩阵为数k与矩阵A的数量乘积，或称之为矩阵的数乘。
由定义8.5可知，数k乘一个矩阵A，需要用数k去乘矩阵A的每一个元素，特别地，当k=-1时，kA=-A，得到A的负矩阵。
例4、设从某四个地区到另三个地区的距离（单位：km）为
已知货物每吨的运费是2.40元/km，那么，各地区之间每吨货物的运费可记为：
2.4B==
由定义8.4容易容易验证，对数和矩阵A=，满足以下运算规则：
1、数对矩阵的分配律 k（A+B）=kA+kB
2、矩阵对数的分配律 ()A=
3、数与矩阵的结合律 A==
4、数1与矩阵满足 1A=A
例5、设两个矩阵A，B为A=，B=，求3A-2B
解：先做矩阵的数乘运算3A和2B，然后求矩阵3A与2B的差。
因为3A=
2B=
所以3A-2B=-=
例、已知矩阵
A= B=
且A+2X=B，求矩阵X
解：由A+2X=B，得X=
因为
所以 =
本节小结：
课堂练习：1、2
作业： 3
备注
8.2 矩阵的运算（二）
8.2.2 矩阵的乘法教学内容：矩阵的乘法教学目标：通过本节的学习，让学生熟练掌握矩阵的乘法教学重点：矩阵乘法的定义及可交换矩阵的定义教学难点：矩阵乘法的定义教学过程：
上节回顾：矩阵相等、加法及数乘的运算本节内容：
实例：某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B表示两种家用电器的单位售价（单位：千克）和单位利润（单位：千元）：
用矩阵表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C中的元素分别为
即
其中，矩阵C中的第列的元素是矩阵A第行元素与矩阵B第列对应元素的乘积之和。
类似于上述矩阵A，B，C之间的关系，下面给出矩阵的乘法定义矩阵的乘法：
定义8.6 设A是一个矩阵，B是一个矩阵
A= B=
则称矩阵C=为矩阵A与B的乘积，其中
记作 C=AB
由定义8.6可知：
只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A，B才能作乘法运算C=AB
两个矩阵的乘积C=AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数；
乘积矩阵C=AB中第行第列的元素等于A的第行元素与B的第列对应元素的乘积之和，故简称行乘列法则。
例题讲解：
例1、设矩阵
A= B=
求AB。
解：AB==
=
说明：由于矩阵B有2列，矩阵A有3行，B的列数A的行数，所以BA无意义。
例2、设A是一个行矩阵，B是一个列矩阵，且
A= B=
求AB和BA
解:AB==
BA==
例2的计算结果表明，乘积矩阵AB是一个1阶矩阵，BA是一个n阶矩阵，一般情况下，运算的最后结果是一个1阶矩阵时，可以把它作为一个数看待，可以不加矩阵符号，但在运算过程中，不能把1阶矩阵看成一个数。
例3、设矩阵
A= B=
求AB和BA。
解：AB==
BA==
由例1、例2、例3可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等。因此，矩阵乘法不满足交换律。在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变。
四、可交换矩阵若两个矩阵A和B满足 AB=BA
则称矩阵A和B是可交换的。
n阶数量矩阵与所有的n阶矩阵可交换，反之，能够与所有n阶矩阵可交换的矩阵一定是n阶数量矩阵。
单位矩阵在矩阵乘法中，将起着类似于数1在数的乘法中的作用，容易验证，在可以相乘的前提下，对任意矩阵A总有
EA=A，AE=A
例4、设矩阵
A= B=
试问矩阵A和B是否可交换？
解：因为 AB==
BA==
即AB=BA，所以，矩阵A和B是可交换的。
例5、设矩阵A，B，C满足AB=BA，AC=CA，试证A，B，C是同阶矩阵。
证：设A是矩阵，B是矩阵
A，B可作乘法运算AB，得n=s；且A，B可作乘法运算BA，得m=P，由此可知，乘积矩阵AB是矩阵，BA是矩阵，又由于AB=BA，得m=n。
矩阵A和B是同阶矩阵同理可证矩阵A和C是同阶矩阵，所以矩阵A，B，C是同阶矩阵。
在满足两个矩阵相乘的条件时，零矩阵和任何矩阵的乘积都是零矩阵，反之就不能保证，即当AB=O，不能保证A和B至少有一个是零矩阵。例如，在例3中矩阵A和B都是非零矩阵（，但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB=O）。即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。这种现象在数的乘法运算中是不可能出现的。
例6、设矩阵
A= B= C=
求AB和AC
解：AB==
AC==
一般地，当乘积矩阵AB=AC，且时，不能消去矩阵A，而得到B=C，这说明矩阵乘法也不满足消去律。
矩阵乘法不满足交换律、消去律以及两个非零矩阵的乘法有可能是零矩阵，这些都是矩阵乘法与数的乘法不同的地方，但是矩阵乘法与数的乘法也有相似的地方，或者说有相似的运算规则，即矩阵乘法满足下列运算规则：
1、乘法结合律 （AB）C=A（BC）
2、左乘分配律 A（B+C）=AB+AC
右乘分配律 （B+C）A=BA+CA
3、数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB)，其中k是一个常数
证明 1、设A=是矩阵，B=是矩阵，C=是矩阵，那么AB是矩阵，（AB）C是矩阵；而BC是矩阵，A（BC）是矩阵；即（AB）C和A（BC）都是矩阵。
下面证明这两个矩阵的元对应相等。因为（AB）C的元=AB的第行与C的第列对应元素的乘积之和
=
A（BC）的元=A的第行与BC的第列对应元素的乘积之和
=
所以（AB）C的元= A（BC）的元，故矩阵乘法满足（AB）C=A（BC）
运算规则2，3的证明可由学生课下自己完成。
例7、设矩阵
C=
则AB==
（AB）C==
BC==
A（BC）==
所以（AB）C=A（BC）
对m个矩阵的乘法运算可做类似讨论，特别地，当A是n阶矩阵时，我们规定：,称为矩阵A的m次幂，其中m是正整数。
当m=0时，规定，显然有
其中是任意正整数，由于矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地
(AB)
例8、设矩阵
求幂矩阵，其中m是正整数。
解：因为，当m=2时，
＝
设 m=k时，；则当m=k+1时，
＝＝
所以，由归纳法原理可知
五、本节小结：本节主要讲了矩阵的乘法和交换矩阵的概念，一定要熟练运用。
六、课堂练习： 4
七、课后作业： 5、6
备注
矩阵的运算矩阵的转置教学内容：矩阵的转置教学目标：让学生掌握矩阵转置、对称矩阵及反对称矩阵的概念教学重点：矩阵转置、对称矩阵及反对称矩阵的概念教学过程:
转置矩阵的定义：
定义8.7 将一个矩阵
的行和列顺序互换得到的矩阵，称为A的转置矩阵。
记作，即
由定义8.7可知，转置矩阵的第行第列的元素等于矩阵A的第行第列的元素，简记为
的元＝A的元
例1、设矩阵
A＝ B＝
写出它们的转置矩阵，并求A，A和
解：因为A＝，
所以 ＝＝
即使矩阵A的转置矩阵是一个列矩阵，且
A＝＝
A＝＝
又因为 B＝，所以＝＝
且＝＝
矩阵的转置满足下列运算规则：
1、
2、
3、
4、
运算规则1～3都容易验证，下面给出运算规则4的证明。
证：设矩阵A＝是矩阵，B＝是矩阵，那么AB是矩阵，是矩阵；同样是矩阵，是矩阵，那么是矩阵。
因为的元＝AB的元＝
的元＝］[
＝]
==
所以的元＝的元j=1,2,
故矩阵转置满足＝
例2、设矩阵
求：和
解：因为AB＝＝
所以 ＝＝
又因为 ＝＝
＝＝
＝ ＝
即 ＝
例3、证明：
证：
由例3可知，矩阵的转置的运算规则4还可以推广到多个矩阵相乘的情况，即
对称矩阵：
定义8.8 如果矩阵满足 A＝ 则称A是对称矩阵。
由定义8.8可知，对称矩阵一定是方阵，并且它的第行第列的元素与第行第列的元素相同，即
例如，矩阵
分别是一个三阶对称矩阵和一个四阶对称矩阵。
显然，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵都是对称矩阵的特例。
设A、B都是n阶对称矩阵，试证：
5A-2B也是对称矩阵；
AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。
证：（1）因为＝A，＝B，且
所以5A-2B是对称矩阵。
必要性：设AB是对称矩阵，即，因为＝A，
＝B，且
AB＝
所以矩阵A与B是可交换的。
充分性：设矩阵A与B是可交换的，即AB=BA，因为＝A，＝B，且
＝AB
所以AB是对称矩阵。
反对称矩阵：
定义8.9 如果矩阵满足：＝-A，则称A是反对称矩阵。
由定义8.9可知，反对称矩阵一定是方阵，并且它的第行第列的元素等于它的第行第列的元素的相反数，它的主对角线上的元素都是零，即
例如，矩阵
分别是一个三阶反对称矩阵和一个四阶反对称矩阵。
设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，即＝A，＝-B，试证：
（1）是反对称矩阵；（2）（AB＋BA）是反对称矩阵。
证：（1）＝-B，且
是对称矩阵。
（2）＝A，＝-B，且
（AB＋BA）是反对称矩阵。
本节小结：本节主要讲了转置矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念，要求深刻理解并会应用。
课堂练习： 8、9、10
课后作业： 15、16
备注
8.2 矩阵的运算
8.2.4 矩阵的初等行变换教学内容：矩阵的初等行变换教学目标：让学生掌握矩阵的初等行变换及初等矩阵的定义教学重点：矩阵初等行变换的定义、初等矩阵的定义教学过程：
矩阵的初等行变换：
定义8.10 对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等行变换：
对换矩阵两行的位置；
用一个非零数遍乘矩阵的某一行；
将矩阵某一行的倍数加到另一行上。
并称（1）为对换变换，称（2）为倍乘变换，称（3）为倍加变换。
在定义8.10中，若把对矩阵施行的三种“行”变换，改为“列”变换，我们就能得到对矩阵的三种列变换，并将其称为矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换，本书只讨论矩阵的初等行变换。
矩阵A经过初等行变换后变为B，用 AB
表示，并称矩阵B与A是等价的。
下面我们把第行和第列的互换变换，简记为（）；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为k；第行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为
。
例如，设矩阵，其初等行变换如下：
对换矩阵A的第一行和第二行的位置
用一个非零数k遍乘矩阵A的第三行
用一个数k乘矩阵A的第一行加到第二行
矩阵经过初等变换后，其元素可以发生很大变化，但是其本身所具有的许多特性是保持不变的。
二、初等行变换在矩阵理论中具有十分重要的作用，但是，如果矩阵的初等行变换只能用语言加以说明，而不能表现为符号运算，那么它将不能成为一种有效的数学方法而充分发挥作用，因此，下面我们把矩阵的初等行变换表示为矩阵的乘法运算。
例如，设矩阵
则=
=
=
由此可见，矩阵A左乘以上三种矩阵，等于分别使A作了第一、二行互换，第三行遍乘数k，第一行乘数k加到第二行上等三种初等行变换，而左边所乘的三个三阶矩阵恰好是对单位矩阵作同样的初等行变换（即对A作的三种行变换）得到的，它们称为初等矩阵。
定义8.11 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
对应于三种初等行变换有三种类型的初等矩阵：
（1）初等对换矩阵 是由单位矩阵的第行和第行对换位置而得到的；
（2）初等倍乘矩阵 是由单位矩阵的第行乘k而得到的，其中；
（3）初等倍加矩阵是由单位矩阵的第行乘k加至第行上而得到的。
例如，三阶单位矩阵E：
互换单位矩阵E的第一、二行
；
用一个非零数k遍乘单位矩阵E的第三行
；
用一个数k乘单位矩阵E的第一行加到第二行上
可以证明，初等矩阵的转置仍为初等矩阵。
三、定理8.1 对矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶的初等矩阵。
证：设是由矩阵A的第行的元素组成的行矩阵，则对A进行一次初等行变换为
而在A的左边乘上一个m阶的初等矩阵，得
A＝
这说明把矩阵A的第行的k倍加至第行上就相当于在A的左边乘上一个相应的初等矩阵。
其他两种初等行变换可以类似证明，定理8.1说明：矩阵A的第行和第行和互换相当于矩阵乘法运算；矩阵A的第行遍乘k倍相当于矩阵乘法运算；矩阵A的第行乘k加至第行上相当于矩阵乘法运算A。
本节小结：本节主要要掌握矩阵的初等行变换和初等矩阵的概念，并理解定理8.1，定理8.1对我们以后的其他定理的证明及矩阵的运算都有着重大的意义。
课后作业:好好看书，理解领会定义及定理。
备注
8.3.1 可逆矩阵及逆矩阵教学内容：可逆矩阵及逆矩阵教学目标:让学生掌握可逆矩阵及逆矩阵的定义，并能运用定义证明一些问题教学重点：可逆矩阵及逆矩阵的定义教学过程：
新课导入：
在8.2节中，我们定义了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否可以定义除法运算呢？
设a，b为两个数，当时，a的倒数存在，且，但是，当a=0时，a的倒数不存在，上述除法也就不成立。因此，除法的关键是除数a必须有倒数，a的倒数也称为a的逆，即，显然，只要，a就可逆，并且满足,
类似地，对于一个矩阵A是否能进行矩阵的除法，关键是起着像“除数”那样作用的矩阵A是否存在“逆”？即是否存在一个矩阵B，使得AB＝BA＝E？那么，矩阵A满足什么条件时，A一定有逆矩阵？如何求A的逆矩阵？这就是本节讨论的主要问题。
可逆矩阵与逆矩阵：
定义8.12 对于矩阵A，如果存在矩阵B，满足
AB＝BA＝E （8.3.1）
则称矩阵A为可逆矩阵，简称A可逆，称B为A的逆矩阵。记作，即B＝。
于是，当A为可逆矩阵时，存在矩阵，满足
A＝A＝E (8.3.2)
由定义8.12可知，满足(8.3.1)式的矩阵A,B一定是同阶方阵。
设矩阵
因为AB＝＝
BA＝＝
即A，B满足AB＝BA＝E，所以矩阵A可逆，其逆矩阵＝B。
由于在公式(8.3.1)中，矩阵A与B的地位是平等的，因此，也可以称B为可逆矩阵，称A为B的逆矩阵，即
例2、单位矩阵E是可逆矩阵。
证 因为单位矩阵E满足：EE＝E
所以E是可逆矩阵，且
例3、零矩阵是不可逆的。
证 设O为n阶零矩阵，因为对任意n阶矩阵B，都有
OB＝BO＝OE
所以零矩阵不是可逆矩阵。
三、可逆矩阵的性质由定义8.12可以直接证明可逆矩阵具有以下性质：
性质1 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
证 设矩阵都是A的逆矩阵，则，那么
性质2 若矩阵A可逆，则也可逆，且
性质3 若矩阵A可逆，数,则kA也可逆，且
性质4 若n阶矩阵A和B都可逆，则AB也可逆，且
证 因为A和B都可逆，即逆矩阵和存在，且
根据定义8.12，可知AB可逆，且
性质4可以推广到多个n阶矩阵相乘的情形，即当n阶矩阵都可逆时，乘积矩阵也可逆，且
特别地，当m=3时，有
性质5 如果矩阵A可逆，则也可逆，且
性质6 如果矩阵A可逆，则
注意：尽管n阶矩阵A和B都可逆，但是A＋B也不一定可逆；即使当
A＋B可逆时，不一定有
四、本节小结：本节主要要掌握矩阵可逆与可逆矩阵的定义，并会运用。
五、课堂练习： 17、18
六、课后作业： 19
七、备注
8.3.2可逆矩阵的判别教学内容：可逆矩阵的判别教学目标：让学生掌握奇异矩阵与非奇异矩阵的概念，会用伴随矩阵法求矩阵的逆矩阵教学重点：求一个矩阵的伴随矩阵教学难点：用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵教学过程：
一、定理8.2 设A、B是两个n阶矩阵，那么乘积矩阵AB的行列式等于矩阵A与B和行列式的乘积，即
（8.3.3）
例1、设二阶矩阵 验证
证 AB=＝，则
detA=,detB=,detAdetB=40
例2、设三阶矩阵
B＝
求det,det(A+B),det(2A).
解
det(A+B)= det(2A)=
注意：由例2可知，一般地
det(A+B)detA+detB det
由定理8.2可得以下结论：
设A是n阶矩阵，c是任意常数，k是正整数，那么
（1）； （2）；
（3）
设都是n阶矩阵，那么
二、n阶矩阵可逆的必要条件：
定理8.3 若n阶矩阵A是可逆矩阵，则detA0
证明：因为矩阵A可逆，则存在，使A=E
由定理8.2，得 detAdet=det(A)=detE=1
所以，detA0当矩阵A满足detA0时，称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。
根据定理8.3，如果矩阵A的行列式detA=0，那么，可以判定A是不可逆的。
例如
因为矩阵A中的第三行是第一行的-1倍，故detA=0，所以A是不可逆的。
由定理8.3可知，detA0是矩阵A可逆的必要条件，那么它是否亦是矩阵A可逆的充分条件呢？先给出一个概念：
三、伴随矩阵：
定义8.13 设是n阶矩阵，则称
（8.3.4）
为A的伴随矩阵，记作，其中是行列式detA中元素的代数余子式。
例3、求矩阵
的伴随矩阵
解 因为
所以
利用伴随矩阵，可以证明：
定理8.4 若n阶矩阵A满足，则A是可逆矩阵，且
(8.3.5)
综合定理8.3和定理8.4，得定理8.5 n阶矩阵A可逆的充分必要条件为，且当A可逆时
定理8.5给出了一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法。
例4、求例3中矩阵A的逆矩阵。
解 因为由行列式定义，得
所以矩阵A是可逆的，且在例3中已求得伴随矩阵，故由公式(8.3.5)得
=-=
可以验证
=
=
例5、设A为对角矩阵A=，判别A是否可逆？若可逆，求出
解 因为detA=abcd，所以由定理8.4可知，若a，b，c，d都不为零，则A可逆，否则A不可逆，当abcd0时，因
=
所以 ==
例6、设矩阵
，求
解 首先判别A是否可逆，因此计算代数余子式，因为
,,
且
所以A可逆，再求伴随矩阵，因为
所以 ，最后由公式(8.3.5)，得
利用定义8.12判断或证明矩阵A可逆时，需要验证两个关系式AB=E或BA=E都成立。但是利用定理8.2和定理8.5可以证明，对于方阵A只要其中的一个式子成立，就能判定A是可逆的。
定理8.6 设A和B都是n阶矩阵，如果AB=E成立，则A和B都是可逆的，且，。
例7、设n阶矩阵A满足方程，证明：A，A+2E都可逆，并求它们的逆矩阵。
证 由于，得A（A-E）=2E，即 ，
由定理8.6可知，A可逆，且
又从，得
故A+2E可逆，且
四、本节小结：本节主要讲了伴随矩阵及用伴随矩阵法求一个已知矩阵的逆。要求学生要熟练掌握。
五、课堂练习： 20
课后作业： 21
8.3.3 用初等行变换法求逆矩阵教学内容：用初等行变换法求逆矩阵教学目标：让学生掌握求矩阵的逆的另一方法——初等行变换法。
教学重点：初等行变换法求逆矩阵教学过程：
上节回顾：伴随矩阵法求逆矩阵新课导入：用伴随矩阵法求n阶可逆矩阵的逆矩阵是一种常见的方法，但是这种方法需要计算个n-1阶行列式，因此当n较大时，它的计算量是很大的。下面介绍求逆矩阵的另一种方法——初等行变换法。利用行列式的性质可以证明以下定理。
定理8.7 若n阶矩阵A经过若干次初等行变换后得到n阶矩阵B，则当时，必有，反之亦然。
推论 任何非奇异矩阵经过初等行变换都能化为单位矩阵。
由定理8.7的推论可知，对于任意一个?n阶可逆矩阵A，一定存在一组初等矩阵，使得
对上式两边右乘，得
即 =
由此可知，经过一系列的初等行变换可以把可逆矩阵A化成单位矩阵E，那么用一系列同样的初等行变换作用到E上，就可以把E化成。因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵E，构成一个矩阵（A E），用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵E，与此同时，右半部分的E就被化成了，即
（A E）（E ）
二、例题讲解：
例1、设矩阵 ，求逆矩阵
解 因为
（A E）=
所以 =
对给定的n阶矩阵A，不一定需要知道A是否可逆，也可以用上述方法计算。在对矩阵（A E）进行初等行变换的过程中，如果（A E）中的左半部分A出现零行，说明矩阵A的行列式detA=0，可以判定矩阵A不可逆；如果（A E）中的左半部分A被化成了单位矩阵E，说明矩阵A的行列式detA0，可以判定矩阵A是可逆；而且这个单位矩阵E右边的矩阵就是A的逆矩阵，它是由单位矩阵E经过同样的初等行变换得到的。
例2、设矩阵 ，问A是否可逆？若可逆，求逆矩阵。
解 因为
（A E）=
（A E）中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A不可逆。
例3、解矩阵方程AX=B，其中
解 由矩阵方程AX=B可知，如果矩阵A可逆，则在方程等号的两边同时左乘，可得 AX=B,X=B
因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出，然后计算B，求出X，因为
（A E）=
所以A可逆，且=
则 X=B=
例4、解矩阵方程X-XA=B，其中
解 由矩阵方程X-XA=B，得X（E-A）=B，因为
（E-A E）=
所以矩阵E-A可逆，且
则X===
本节小结：本节主要讲了求矩阵的另一种方法，而且是比较实用的方法——初等行变换法求逆矩阵。要求熟练运用。
课堂练习： 22、（1） （2） （3）
课后作业： 22、（4） （5） （6）
备注
8.4.1 矩阵秩的概念及计算教学内容：矩阵秩的概念及计算教学目标：让学生掌握矩阵秩的概念及计算教学重点：矩阵秩的概念、阶梯形矩阵的概念及矩阵秩的计算教学难点：矩阵秩的概念及阶梯形矩阵的概念教学过程：
一、新课导入：
矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用。
二、矩阵秩的概念：
定义8.14 设A是矩阵，在A中位于任意选定的行列交点上的个元素，按原来次序组成的阶行列式，称为A的一个阶子式。其中
例如，矩阵
在A的第一、三行与第二、四列交点上的4个元素按原来次序组成的行列式 称为A的一个二阶子式定义8.15 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作?r(A)或秩（A）
规定：零矩阵O的秩为零，即r(O)=0
定义8.14说明，若r(A)=k，则A至少有一个取非零值的k阶子式，而任一个k+1阶子式（如果存在的话）的值一定为零。
例1、求矩阵 的秩。
解 因为A的一个二阶子式
所以，A的非零子式的最高阶数至少是2，即，A中共有四个三阶子式,
即所有三阶子式均为零，故r(A)=2
三、矩阵秩的计算：
按照定义8.14计算矩阵的秩，由于要计算很多行列式，因此是非常麻烦的。但是，我们注意到“秩”只涉及子式是否为零，而并不需要子式的准确值，由于初等行变换不会改变行列式是否为零的性质，所以可以利用初等行变换来求矩阵的秩。
定理8.8 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
根据定理8.8，为了求矩阵A的秩，可以利用矩阵的初等行变换将A尽量化简，然后对化简后的矩阵求秩。
例2、求矩阵 的秩。
解 因为
由最后的矩阵可得三阶子式
而且它的第四行的元素全部是0，故所有四阶子工均为0，所以r(A)=3。
四、阶梯形矩阵：
定义8.16 满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵：
若矩阵有零行（元素全部为零的行），零行全部在下方；
各非零行的第一个不为零的元素（称为首非零元）的列标随着行标的递增而严格增大。
由定义8.15可知，如果阶梯形矩阵A有r个非零行，且第一行的第一个不为零的元素是，第二行的第一个不为零的元素是……，第r行的第一个不为零的元素是，则有，其中n是阶梯形矩阵A的列数。例如
，，
都是阶梯形矩阵，而阶梯形矩阵非零行的行数就是矩阵A的秩。把上述结论归纳为如下定理。
定理8.9 设A是矩阵，则r(A)=k的充分必要条件是通过初等行变换能把A化成具有k个非零行的阶梯形矩阵。
例3、设矩阵
求r(A)，r(B)，r(AB)
解 因为
所以 r(A)=2
因为
所以 r(B)=3
因为 AB==
所以 r(AB)=2
由例3可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A，B的秩，即
例、设矩阵
求r(A)和
解 因为
所以 r(A)=3,又因为
所以 r()=3
由例4可知，矩阵A与它的转置矩阵的秩相等，可以证明这一结论具有一般性。
定理8.10 设A为任意一个矩阵，则
（1）； （2）r(A)=r()
四、本节小结：本节主要讲了矩阵秩的概念及如何求一个矩阵的秩，重点要掌握矩阵秩的概念、阶梯形矩阵的概念，会求一个已知矩阵的秩。
五、课堂练习：
六、课后作业： 24
8.4.2 满秩矩阵教学内容：满秩矩阵教学目标：让学生掌握满秩矩阵的概念，并会判断一给定矩阵是否为满秩矩阵教学重点：满秩矩阵的概念教学过程：
满秩矩阵的概念：
定义8.17 设A是n阶矩阵，若r(A)=n，则称A为满秩矩阵，或称A为非奇异的。
例如，矩阵
因为A是三阶矩阵，是n阶单位矩阵，且r(A)=3，r()=n，所以它们都是满秩矩阵。
例1、判断下列矩阵是否为满秩矩阵：
（1） （2）
解 （1）因为
即r(A)=3，所以三阶矩阵A是满秩矩阵。
（2）因为
即 r(B)=3，所以四阶矩阵B不是满秩矩阵。
对于例1中的满秩矩阵A，因为
detA=
所以A是可逆矩阵，这种满秩矩阵与可逆矩阵之间的关系，恰好给出了可逆矩阵的另一种判别方法。
可逆矩阵的另一种判别方法：
定理8.11 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵，即r(A)=n
例2、判断下列矩阵是否可逆：
（1）； （2）
解 （1）因为
所以r(A)=3，即A是满秩矩阵，所以A是可逆的。
（2）因为
所以 r(A)=2，即A不是满秩矩阵，所以A不是可逆矩阵。
本节小结：本节主要要掌握满秩矩阵的概念，及判断一个矩阵是否为满秩矩阵，并可根据一个矩阵是否为满秩矩阵来判断矩阵是否可逆。
课堂练习： 25、(1) （2）
课后作业： 25、（3） （4）
9.1 消元法教学内容：消元法教学目标：让学生掌握用高斯消元法求解线性方程组教学重点：定理9.1、简化阶梯形矩阵及高斯消元法教学进程：
一、新课导入：
自然科学、工程技术和经济管理中的许多问题经常可以归结为解一个线性方程组，虽然在中学时代，我们已经学过用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组，并且从平面解析几何中知道二元一次方程组的解的情况只可能有三种：有唯一解、有无穷多解、无解。但是在许多实际问题中，我们遇到的方程组中未知量个数常常超过三个，而且方程组中未知量个数与方程的个数也不一定相同。如
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？如果解不唯一，解的结构如何呢？在有解的情况下，如何求解呢？这就是第九章要讨论的主要问题。本节要讲最基本的求解线性方程组的方法——高斯消元法。
二、齐次线性方程组与非齐次线性方程组的概念：
设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组
（9.1.1）
其中系数，常数都是已知数，是未知量（也称为未知数）。当右端常数项不全为0时，称方程组?(9.1.1)为非齐次线性方程组；当时，即
（9.1.2）
称为齐次线性方程组。
由n个数组成的一个有序数组（），如果将它们依次替代方程组（9.1.1）中的后，（9.1.1）中的每个方程组都变成恒等式，则称这个有序数组（）为方程组（9.1.1）的一个解。显然由组成的有序数组（0，0，…，0）是齐次线性方程组(9.1.2)的一个解，称之为齐次线性方程组（9.1.2）的零解。而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
三、系数矩阵与增广矩阵：
利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的，因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
非齐次线性方程组(9.1.1)的矩阵表示形式为
AX=B （9.1.3）
其中 ，,
称A为方程组(9.1.1)的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵
称为方程组(9.1.1)的增广矩阵。因为线性方程组是由它的系数和常数项确定的，所以用增广矩阵（A B）可以清楚地表示一个线性方程组。
齐次线性方程组(9.1.2)的矩阵表示形式为
AX=O
其中 O=（0 0 … 0）
例1、写出线性方程组
的增广矩阵（A B）和矩阵形式。
解 只要将方程组中的未知量和等号去掉，再添上矩阵符号，就可得到方程组的增广矩阵（A B），即
（A B）=
方程组的矩阵形式是AX=B，即
四、高斯消元法：
定理9.1 如果用初等行变换增广矩阵（A B）化成（C D），则方程组AX=B与CX=D是同解方程组。
证 由定理8.1可知，存在初等矩阵，使
（A B）＝（C D）
记=P，则P可逆，即存在。
设为方程组AX=B的解，即 A=B
在上式两边左乘P，得 PA=PB，即C=D
说明也是方程组CX=D的解，反之，设为方程组CX=D的解，即
C=D
在上式两边左乘，得 C=D，即A=B，
说明也是方程组AX=B的解。
由此可知，方程组AX=B与CX=D的解相同，即它们是同解方程组。
由定理9.1可知，求方程组(9.1.1)的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵
（A B）化简。又由定理8.2?可知，通过初等行变换可以将（A B）化成阶梯形矩阵。因此，我们得到了求解线性方程组（9.1.1）的一般方法：
高斯消元法：用初等行变换将方程组（9.1.1）的增广矩阵（A B）化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所代表的方程组，逐步回代，求出方程组的解，因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（9.1.1）的解。
下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。
例2、解线性方程组
（9.1.4）
解 先写出增广矩阵（A B），再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即
（A B）=
上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为
将最后一个方程乘，再将项移至等号的右端，得
将其代入第二个方程，解得
再将代入第一个方程，解得
因此，方程组（9.1.4）的解为
其中可以任意取值 （9.1.5）
显然，只要未知量任意取定一个值，如=1，代入表示式(9.1.5)，可以得到一组相应的值：，，，从而得到方程组(9.1.4)的一个解。
由于未知量的取值是任意实数，故方程(9.1.4)的解有无穷多个。由此可知，表示式(9.1.5)表示了方程组（9.1.4）的所有解。表示式(9.1.5)中等号右端的未知量的表示式（9.1.5）称为自由未知量，用自由未知量表示其他未知量的表示式（9.1.5）称这方程组（9.1.4）的一般解，当表示式(9.1.5)中的未知量取定一个值（如=1），得到方程组（9.1.4）的一个解（如，，，），称之为方程组(9.1.4)的特解。
注意，自由未知量的选取不是唯一的。如例2也可以将取作自由未知量，即在
中将最后一个方程乘，再将项移至等号的右端，得
将其代入第二个方程，解出后，再将，代入第一个方程，解出，最后可得方程组(9.1.4)的一般解为
其中是自由未知量 （9.1.6）
表示式(9.1.5)和(9.1.6)虽然形式上不一样，但是它们本质上是一样的，它们都表示了方程组(9.1.4)的所有解。
如果将表示式(9.1.5)中的自由未知量取一任意常数，即令=，那么方程组(9.1.4)的一般解为
其中为任意常数用矩阵形式表示为
（9.1.7）
其中为任意常数，称表示式(9.1.7)为方程组(9.1.4)的全部解。
用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，对例2中的阶梯形矩阵进一步化简，即
上述矩阵对应的方程组为
将此方程组中含的项移到等号的右端，就得到原方程组(9.1.4)的一般解，即
其中是自由未知量。
在上述最后一个矩阵中，前三列是未知量，，的系数，第4列是自由未知量的系数，最后一列是常数项，写方程组的一般解时，项要移到等号右端，因此，项系数的符号要改变。常数项不用移项，它的符号不变，掌握上述规律后，从上述最后一个矩阵中就可以直接“读出”方程组的一般解。
五、简化阶梯形矩阵：
定义9.1 若阶梯形矩阵进一步满足如下两个条件，称为行简化阶梯形矩阵：
各非零行的首非零元（称为主元）都是1；
所有首非零元所在列的其余元素都是0。
例如：
，
都是简化阶梯形矩阵。
解线性方程组
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵（A B）化成行简化阶梯形矩阵，再求解。即 （A B）=
所以，方程组一般解为
例3的解中没有自由未知量，因此，它只有唯一解。
例4、解线性方程组
解 因为 （A B）=
阶梯形矩阵的第三行“0，0，0，-2”所表示的方程为,，由该方程可知，无论，，取何值，都不能满足这个方程，所以，原方程组无解。
例5、解线性方程组
解 因为
（A B）=
所以，方程组一般解为 其中是自由未知量。
由例5可知，齐次线性方程组AX=O的增广矩阵中，最后一列的元素全部是0，即（A B）=（A O）。利用初等行变换将（A O）化成行简化阶梯形矩阵所得一般解，与利用初等行变换将系数矩阵A化成行简化阶梯形矩阵所得一般解，结果一样。因此，解齐次线性方程组时，只要将系数矩阵A化成行简化阶梯形矩阵，即可得到一般解。
综上所述，用消元法解线性方程组AX=B（或AX=O）的具体步骤为：
首先写出增广矩阵（A B）（或系数矩阵A），并用初等行变换将其化成阶梯形矩阵；然后判断方程组是否有解；在有解的情况下，继续用初等行变换将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再写出方程组的一般解。
本节小结：本节主要讲了用高斯消元法解线性方程组，要求同学们熟练应用，并掌握简化阶梯形矩阵的概念，以使求解更方便、更简化。
课堂练习： 1、2
课后作业： 2
9.2 线性方程组解的情况判定教学内容：线性方程组的情况判定教学目标：让学生掌握线性方程组的情况判定（定理9.2）
教学重点：线性方程组的情况判定定理教学过程：
上节回顾及新课导入：
前面介绍了用消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。归纳求解过程，实际上就是对方程组（9.1.1）的增广矩阵
（A B）=
进行初等行变换，将其化成如下形式的阶梯形矩阵：
（9.2.1）
其中，或
由定理9.1可知，阶梯形矩阵(9.2.1)和(9.2.2)所表示的方程组与方程组（9.1.1）是同解方程组，于是由矩阵(9.2.1)和(9.2.2)可得方程组(9.1.1)的解的结论：
1、当时，阶梯形矩阵(9.2.1)和(9.2.2)所表示的方程组中的第r+1个方程“0=”是一个矛盾方程，因此，方程组(9.1.1)无解。
2、当时，方程组(9.1.1)有解，并且解有两种情况：
如果r=n，则阶梯形矩阵(9.2.1)表示的方程组为
用回代的方法，自下而上依次求出的值。因此，方程组(9.1.1)有唯一解。
如果r<n，则阶梯形矩阵（9.2.1）表示的方程组为
将后n-r个未知量项移至等号的右端，得
其中为自由未知量。由于自由未知量可以任意取值，因此，方程组(9.1.1)有无穷多解。
综上所述，方程组(9.1.1)是否有解，关键在于增广矩阵（A B）化成阶梯形矩阵后非零行的行数与系数矩阵A化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。由矩阵的秩的定义可知，一个矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，其非零行的行数就是该矩阵的秩，因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。
线性方程组有解判别定理：
定理9.2（线性方程组有解判别定理） 线性方程组(9.1.1)有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即
r(A)=r(A B)
推论1 线性方程组（9.1.1）有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A B)=n
推论2 线性方程组(9.1.1)有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r(A B)<n
将上述结论应用到齐次线性方程组（9.1.2）上，则总有r(A)=r(A B)。因此齐次线性方程组一定有解。并且有推论3 齐次线性方程组(9.1.2)只有零解的充分必要条件是r(A)=n
推论4 齐次线性方程组(9.1.2)有非零解的充分必要条件是r(A)<n
特别地，当齐次线性方程组(9.1.2)中，方程个数少于未知量个数（m<n）时，必有r(A)<n。这时方程组（9.1.2）一定有非零解。
例题讲解：
例1、判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？
（1）
（2） （3）
解 （1）用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
（A B）=
因为r(A B)=4，r(A)=3，两者不等，所以方程组无解。
（2）用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
（A B）=
因为r(A B)=r(A)=2<n(=3)，所以方程组有无穷多解。
（3）用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
（A B）=
因为r(A B)=r(A)=3=n，所以方程组有唯一解。
例2、判别下列齐次方程组是否有非零解？
解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即
A=
因为r(A)=4=n，所以齐次方程组只有零解。
例3、问a、b取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？
解 由
（A B）=
可知，当a=5而时，r(A)=2，r(A B)=3，故方程组无解；
当时，r(A)=r(A B)=3，故方程组有唯一解；
当a=5而b=-3时，r(A)=r(A B)=2，故方程组有无穷多解。
例4、已知总成本y是产量x的二次函数
根据统计资料，产量与总成本之间有如表9—1所示的数据，求总成本函数中的a，b，c
表9—1 某厂阶段产量与总成本统计表时 期
第1期
第2期
第3期
产量x（千台）
6
10
20
总成本y（万元）
104
160
370
解 将代入已知二次函数模型中，得方程组
利用初等变换其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再求解
（A B）=
方程组的解为：a=50，b=6，c=0.5。因此总成本函数为
本节小结：本节主要要掌握定理9.2(线性方程组有解判别定理)
课堂练习： 3、4 六、作业： 5、6、7
9.3 n维向量及其相关性教学内容：n维向量及其相关性教学目标：让学生掌握n维向量的定义、向量组线性相关及无关的定义教学重点：n维向量的定义、向量组线性相关及无关的定义及应用教学难点：n维向量组的相关及无关教学过程：
上节回顾及新课的导入：
用消元法可以解决线性方程组的求解问题。但为了对方程组的内在联系和解的结构等问题做进一步的讨论，我们引进n维向量以及与之有关的一些概念，这些概念也是深入学习线性代数的重要基础。
n维向量的定义：
在实际问题中有许多研究的对象要用n元有序数组来表示。如总结某个五年计划各年某产品产量的数据资料，分析某年各月利润总额的变动资料等，就分别要用到5元有序数组和12元有序数组。
n元线性方程，可以用一个n+1元有序数组
（
表示，n元线线性性方程组的一个解也可以用n元有序数组表示。
定义9.2 由n个数组成的n元有序数组
称为一个n维向量。记作。其中称为n维向量的第个分量。
向量一般用小写希腊字母等表示。
向量有时也以下面的形式给出：
一般的称为列向量，为行向量。
一个矩阵
中的每一列都是由三个有序数组成的，因此都可以以看作三维向量，我们把这四个三维向量 ，，，
称为矩阵A的列向量。同样A中的每一行都是由四个有序数组成的，因此亦都可以看作四维向量，我们把这三个四维向量。
2 1 3），（1 3 -4 4），（2 5 -3 7）
称为矩阵A的行向量。
由此可知，n维向量和矩阵（即列矩阵）是本质相同的两个概念。所以，在n维向量之间，我们规定n维向量相等、相加、数乘与列矩阵之间的相等、相加、数乘都是对应相同的。
n维向量的线性关系：
对于线性方程组
（9.3.2）
如果我们用向量的概念、向量的相等以及运算关系，可以把方程组（9.3.2）写成
（9.3.3）
于是线性方程组的求解问题就可以看成是求一组数，使等号右端的常数向量与等号左端的系数矩阵的列向量之间有(9.3.3)式的那种关系。
另一方面，我们用消元法解方程组(9.3.2)，就是要把它的增广矩阵化为阶梯形矩阵
这样做的目的之一就是把能化为零的行尽量化为零行，上面阶梯形矩阵中的第三行为零行，其实质就在于增广矩阵的第三行的行向量与前两行的行向量之间存在着以下关系 （2 5 -3 7）=（1 2 1 3）+（1 3 -4 4） （9.3.4）
由（9.3.3）式和(9.3.4)式可知，研究一个向量与另外一个向量之间是否存在这样或那样的关系是重要的。
1、定义9.3 设为m个n维向量，若有m个数，使得
= （9.3.5）
则称为的线性组合，或者称由线性表出。
二维向量组，称为二维（基本）单位向量组。任意一个二维向量都可以由，线性表出：
向量不是向量和的线性组合，因为对于任意的一组数
例3、n维零向量O=是任一n维向量组的线性组合，因为，取，则有 O=
例4、向量组中的任一向量都能由这个向量组线性表出,=
如果用列向量分别把线性方程组(9.3.2)的系数矩阵第列和常数项表示为
，，，
那么那么方程组(9.3.2)可以用向量形式表示为
若方程组（9.3.2）有解，则有
即向量可以由向量线性表出。反之，若存在数使得上式成立，则就是方程组(9.3.2)的一组解。
显然，上述分析完全适用于一般情形。因此有下述定理：
定理9.3 向量可以由向量组线性表出的充分必要条件是以为系数列向量、以为常数项向量的线性方程组有解。
例5、设，，，，判断向量能否由向量线性表出，若能够，写出它的一种表达式。
解 设，由此可得以为未知量的线性方程组
解此线性方程组，因为
显然方程组有解，即，所以
2、定义9.4 设为m个n维向量，若有不全为零的m个数，使得 =0 (9.3.6)
成立，则称向量组线性相关；否则，称向量组线性无关。也就是说，若仅当都等于零时，才能使(9.3.6)成立，则线性无关。
例6、证明向量组0，是线性相关的。
证 因为 1·0+0
其中系数1，0，0，0不全为零，所以0，是线性相关的。
例7、证明单位向量组，，，是线性无关的。
证 设O，即
（1 0 0 0）+（0 1 0 0）+（0 0 1 0）+（0 0 0 1）=O
由上式得唯一解根据定义9.3，线性无关。
可以证明，n维向量组是线性无关的，其中表示第个分量为1，其余分量为0的向量，我们称为n维单位向量组。
如果把定义9.4中的(9.3.6)式视为以为系数列向量、以为未知量的齐次线性方程组，那么由定义9.4可得定理9.4 关于向量组，若齐次线性方程组
=0 (9.3.7)
有非零解，则向量组线性相关；若齐次线性方程组（9.3.7）只有唯一的零解，则向量组线性无关。
例8、证明：若向量组线性无关，则向量组也线性无关。
证 设有数，使得
O
即 O
因为线性无关，所以
由于齐次线性方程组的系数行列式
因此，该齐次线性方程组只有零解，即向量组线性无关。
由定理9.4和9.2节中定理9.2的推论4，可得定理9.5 关于列（行）向量组，设矩阵
A=（）或A=（
若r(A)<m，则向量组线性相关；若r(A)=m，则向量组线性无关。
推论1 任意n+1个n维向量一定线性相关。
例9、判断下列向量组的相关性：
（1）=（1 –1 2） =（0 2 1） =（1 1 1）
（2）=（1 0 –1 2） =（-1 –1 2 –4） =（2 3 –5 10）
（3）=（1 3 2） =（-1 2 1） =（6 –5 4） =（8 7 –6）
解 （1）因为
r(A)=3=m，所以向量组线性无关。
（2）因为
r(B)=2<m，所以向量组线性相关。
由推论1知道，四个三维向量一定是线性相关的。
定理9.6 向量组线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。
证明 必要性 若向量组线性相关，则存在不全为零的数，使得
=0
不妨设，则由上式可得
这说明向量可以由其余向量线性表出。
充分性 不妨设可以由其余向量线性表出，即存在，使得
=
移项得 -=0
因为系数，-1中至少有一个，所以向量组线性相关。
推论2 向量组线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。
例10、证明：若一个向量组中的部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。
证 不妨设向量组中的部分向量线性相关，则存在不全为零的数，使得
0
从而有 0
其中不全为零，所以整个向量组线性相关。
由例10可以得到如下结论：
若一个向量组线性无关，则它的任意一个部分向量组也线性无关。
例11、设向量组线性无关，而向量组，线性相关，证明一定可以由线性表出。
证 因为向量组，线性相关，所以存在不全为零的数和，使得 +=0
若=0，则上式成为 =0
而不全为零，得线性相关，与条件矛盾。因此，于是 =
即可以由线性表出。
本节小结：本节内容虽长，但重点要掌握的只有n维向量的定义及n维向量组的线性相关与无关，掌握并理解定义是最主要的。一切实用皆源于最本质的含义。
课堂练习： 8、9、10、11、12
课后作业： 13、15
9.4 向量组的秩教学内容：向量组的秩教学目标：让学生掌握极大无关组的概念、向量组秩的概念及会求一个向量组的秩教学重点：极大无关组、向量组的秩的概念，求向量组的秩教学过程：
一、新课导入：对任意给定的一个n维向量组，在讨论其线性问题时，如何找出尽可能少的量去表示全体向量组呢？这就是本节要解决的问题。
二、极大无关组：
定义9.5 若向量组中的部分向量组满足：
（1）线性无关；
（2）向量组中的任意一个向量都可以由线性表出。
例1、设向量组，，，可以验证 向量组线性相关，但其中部分向量组线性无关，而且都可以由线性表出：
，，
所以为的一个极大无关组。
同样可以验证部分向量组也是的一个极大无关组。
特别地，若向量组本身线性无关，则该向量组就是极大无关组。例如n维单位向量是极大无关组。
一般地，向量组的极大无关组可能不止一个，但它们的共性是：极大无关组所含向量的个数却是相同的，我们表述成如下的定理。
定理9.7 向量组中若有多个极大无关组，则它们所含向量的个数是相同的。
三、向量组秩的概念：
定义9.6 向量组的极大无关组所含有向量的个数称为向量组的秩，记作 r()
如例1中的向量组的秩为r(=2，n维单位向量组的秩为r()=n
若一个向量组只含零向量，则规定它的秩为零。
若一个向量组线性无关，则 r（）=m；反之，若向量组的r（）=m，则一定线性无关。
对于一个向量组，如何求它的秩和极大无关组呢？
例2、对于构成下三角矩阵
的n个列向量所构成的向量组。因为r(A)=n，所以这n个列向量是线性无关的，故这个向量组的秩也为n。
对于构成阶梯形矩阵
的五个列向量，因为主元所在的第一、三、四列的列向量组是线性无关的，而若再加一个列向量就是线性相关的，所以这五个列向量构成的向量组的秩为3，极大无关组就是主元所在列的列向量组。
例3的结论对于一般的阶梯形矩阵都成立，即阶梯形矩阵的列向量组的秩等于非零行的行数，等于矩阵的秩，而主元所在列的列向量就构成极大无关组。
定理9.8 列向量组通过初等行变换不改变线性相关性。
因此，当矩阵不是阶梯形矩阵时，我们可以通过初等行变换将其化为阶梯形矩阵，再求出列向量组的秩和极大无关组，另外，由矩阵与向量组之间的关系可知，矩阵的秩就是列向量组中极大无关组的向量个数，又因为的列向量组就是A的行向量组，所以A的行向量组的秩就是的列向量组的秩，由定理9.8知，其又等于的秩，而的秩等于矩阵A的秩。
定理9.9 矩阵A的秩=矩阵A列向量组的秩=矩阵A的行向量组的秩总而言之，求一向量组的秩和极大无关组，可以把这些向量作为矩阵的列构成一个矩阵，用初等行变换将其化为阶梯形矩阵，则非零行的个数就是向量组的秩，主元所在列对应的原来向量组就是极大无关组。
设向量组
求向量组的秩及其一个极大无关组。
解 作矩阵A=（，用初等行变换把A化为阶梯形矩阵，即
所以r(=3，且为其中的一个极大无关组。
设向量组
求向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表出。
解法一 把向量看作一个矩阵A的列向量组，再用初等行变换把A化为阶梯形矩阵，即
由上面最后一个行简化阶梯形矩阵可知，向量组就是原向量组的一个极大无关组，且
解法二 把向量看作一个矩阵A的行向量组，再用初等行变换把A化为阶梯形矩阵，即
所以r(=3。由阶梯形矩阵的最后一行，得：
0
由此可得。即向量组就是原向量组的一个极大无关组。
四、本节小结：本节主要讲了极大无关组及向量组秩的概念，并用初等行变换求向量组的秩，要求会运用。
五、课后作业：仔细阅读课本。
9.5.1 齐次线性方程组解的结构教学内容：齐次线性方程组解的结构教学目标：让学生掌握齐次线性方程组解的结构表述教学重点：求齐次线性方程组的基础解系教学过程：
齐次线性方程组的解的性质：
齐次线性方程组
（9.5.1）
的矩阵形式为 AX=O
齐次线性方程组的解有以下两个性质：
性质1 若是齐次线性方程组AX=O的任意两个解，则也是AX=O的解。
证 因为是方程组AX=O的两个解，故有
AO A=O
A（）=A=O
所以是AX=O的解。
性质2 若是齐次线性方程组AX=O的一个解，则也是AX=O的解，其中是任意常数。
证 因为是方程组AX=O的解，故有
A（）=O
所以，是AX=O的解。
由性质1、2可知，齐次线性方程组AX=O解的线性组合也是它的解，即当是AX=O的s个解时，那么也是AX=O的解，其中是任意常数。
由此可知，若齐次线性方程组AX=O有非零解，则它就有无穷多个解，并且当我们能找出AX=O的有限几个线性无关的解向量，使得AX=O的每一个解都能由线性表出，那么齐次线性方程组AX=O的全部解就是 (9.5.3)
其中是任意常数。
齐次线性方程组的基础解系：
定义9.7 若齐次线性方程组AX=O的解向量满足：
（1）线性无关；
（2）AX=O的每一个解都能由线性表出，则把称为方程组AX=O的一个基础解系。
由定义9.6可知，方程组AX=O的基础解系就是其全部解向量的一个极大无关组。
当方程组AX=O的系数矩阵的秩r(A)=n（未知量个数）时，方程组只有零解，因此方程组不存在基础解系。而当r(A)<n时，有下列定理：
定理9.10 若齐次线性方程组AX=O的系数矩阵的秩r(A)=r<n，则方程组一定有基础解系，并且它的基础解系中解向量的个数为n-r
设齐次线性线性方程组
因为方程组的方程个数m=4，未知量n=5，m<n，所以方程组有非零解。为了求出方程组的基础解系，我们首先要找出方程组的一般解。因此先把方程组系数矩阵化为行简化阶梯形矩阵，即
方程组的一般解为
其中为自由未知量然后找出方程组的有限个线性无关解向量，令自由未知量分别取值。可以证明这样得到的两个解
它们不仅是线性无关的，而且方程组的每个解都能由线性表出，因此就是方程组的一个基础解系。
因为这个基础解系中含有2个解向量，另一方面方程组的自由未知量也有2个，而且自由未知量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩，所以齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩。
求齐次线性方程组基础解系的一般步骤：
（1）把齐次线性方程组的系数矩阵A通过初等行变换化为行简化阶梯形矩阵；
（2）把行简化阶梯形矩阵中非主元列所对应的未知量作为自由未知量，写出方程组的一般解；
（3）用分别令自由未知量中的一个为1其余全部为0的办法，求出n-r个解向量，这n-r个解向量构成一个基础解系。
求齐次线性方程组：
的基础解系和全部解。
解 因为
方程组的一般解为
其中为自由未知量。
令，得
令，得
令，得
所以方程组的基础解系为，而全部解为
其中是任意常数。
本节小结：本节主要要掌握齐次线性方程组解的结构，会求一个齐次线性方程组的一般解和全部解。
课堂练习： 17、（1）（2）
课后作业： 17、（3）（4）
备注
9.5.2 非齐次线性方程组解的结构教学内容：非齐次线性方程组解的结构教学目标：让学生在掌握齐次线性方程组解的结构上，掌握非齐次线性方程组解的结构，会求非齐次线性方程组的一般解及全部解。
教学重点,非齐次线性方程组的一般解及全部解教学过程：
非齐次线性方程组的导出组：
非齐次线性方程组
（9.5.4）
的矩阵形式为 AX=B (9.5.5)
令B=O，得到的齐次线性方程组AX=O，称为非齐次线性方程组(9.5.4)的导出组。
方程组AX=B的解与它的导出组AX=O的解之间有着密切的联系，它们满足以下两个性质：
性质1 若是非齐次线性方程组AX=B的任意两个解，则是其导出组AX=O的一个解。
证 因为是方程组AX=B的两个解，故有
所以是AX=O的解。
性质2 若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，是其导出组AX=O的一个解，则是方程组AX=B的一个解。
证 因为是方程组AX=B的解，是其导出组AX=O的解，故有
A=B,A=O
A（）=A+A=B
所以是方程组AX=B的解。
非齐次线性方程组解的结构：
定理9.11 设是非齐次线性方程组AX=B的一个解，则方程组AX=B的任一解X可以表示成与其导出组AX=O的某个解之和：
X=+ （9.5.6）
证 把X表示为 X=+（X-）
令=（X-），由性质1可知为导出组AX=O的解。
根据定理9.11，对于非齐次线性方程组AX=B的解可以得到下面两个结论：
（1）若非齐次线性方程组AX=B有解，则只需要求出它的一个解（称为特解），并求出其导出组AX=O的一个基础解系，于是方程组AX=B的全部解可以表示为
X=+ （9.5.7）
其中是任意常数。
（2）若非齐次线性方程组AX=B有解，且它的导出组AX=O只有零解，方程组AX=B只有一个解；若其导出组AX=O有无穷多解，则方程组AX=B也有无穷多解。
求下列线性方程组的全部解
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即
方程组的一般解为
其中是自由未知量令，得方程组的一个特解
方程组的导出组的一般解为
其中是自由未知量令，得导出组的解向量
令，得导出组的解向量
所以方程组的全部解为
X==++
其中是任意常数。
设非齐次线性方程组为
问a,b取何值时，方程组无解？有解？有解时求出其解。
解 对方程组的增广矩阵作初等行变换
（A B）=
（1）若 （A B）=
若，，则r(A)=r[(A B)]=3=n，故方程组有唯一解，且解为
,,
若，a=1且4b-2ab-1=0，即a=1，时，方程组有无穷多解，由
按照例3的步骤求得方程组的全部解为
其中是任意常数。
若，a=1但，即a=1，，时，因为r(A)=2，
r[(A B)]=3，所以方程组无解。
（2）若b=0，原方程组中的第二、三两个方程是矛盾方程，所以方程组无解。
本节小结：本节在上节的基础上，掌握非齐次线性方程组解的结构，会求其一般解及全部解。
课堂练习： 18
课后作业： 19
9.6 投入产出模型简介教学内容：投入产出模型简介教学目标：让学生利用所学知识去解决经济生活中的关于投入产出方面的问题教学重点：求直接消耗系数、平衡方程组的解、完全消耗系数及投入产出表的编制教学过程：
一、新课导入：前面我们学习了线性代数的基础知识，线性代数在经济管理和经济分析中有着广泛的应用。本节将简单介绍线性代数在投入产出模型中的应用。
二、投入产出模型：
实例：
假设一个经济系统是由n个产业部门组成的，将这n个产业部门以及它们之间的数量依存关系（报告期的统计数据）按一定顺序排列在一张表内，称为投入产出表。如下表，如果这些统计数据是以货币为统一价值单位，则编制投入产出表称为价值型投入产出表。
投入产出表
中 间 产 品
最 终 产 品
总 产 出
1 2 … n
中间投入
初 始 投 入
总 投 入
上表中表示第部门在生产过程中消耗第部门中间投入数量或第部门分配给第部门的中间产品数量，也称为部门间的流量；表示第个部门的总产出或总投入；表示第个部门可供社会消费和使用的最终产品数量；表示第部门的初始投入，初始投入是指各部门固定资产和劳动投入的数量。
上表中水平方向反映各部门产品按经济用途的使用情况。前?n行组成了一个横向长方形表,其中每一行都表示一个等式，即
(9.6.1)
称(9.6.1)式为分配平衡方程组.
上表的垂直方向反映各部门产品的价值构成，在表中前n?列组成了一个竖向长方形表,其中每一列都表示一个等式，即
(9.6.2)
称(9.6.2)式为消耗平衡方程组。
在利用数学方法研究经济问题中投入与产出关系时，一般把所研究的某一经济系统中各部门之间的数量依存关系反映在投入产出表中，并将这种关系用数学式子(即建立它们的数学模型)表示出来.从它们的数学模型来看，是研究某一经济系统中各部门之间的投入与产出关系的一种线性模型。我们将能够反映一个经济系统中各部门之间数量依存关系的投入产出表以及由此得到的平衡方程组统称为投入产出模型。
三、直接消耗系数定义9.8 第部门生产单位产品直接消耗第部门的产品量，称为第部门对第部门的直接消耗系数，记作，即
(9.6.3)
各部门之间的直接消耗系数构成的n阶矩阵，称为直接消耗系数矩阵，记作
直接消耗系数充分反映了各部门之间在生产技术上的数量依存关系。
由(9.6.3)式，得
代入分配平衡方程组(9.6.1)，得 (9.6.4)
代入消耗平衡方程组（9.6.2），得 (9.6.5)
分配平衡方程组(9.6.4)和消耗平衡方程组(9.6.5)的矩阵表示分别为
X=AX+Y 或（E-A）X=Y
X=CX+Z 或（E-C）X=Z
其中
例1、设某企业有三个生产部门，该企业在某一生产周期内各部门的生产消耗量和初始投入量如下表所示：
中 间 产 品
最终产品
总产品
1 2 3
中 间投 入
初 始 投 入
总 投 入
求：（1）各部门总产出；（2）各部门最终产品；（3）直接消耗系数矩阵A
解 （1）上表的消耗平衡方程组为
将和的值代入，得
（2）表中的分配平衡方程组为
将和的值代入，得
（3）由直接消耗系数公式和矩阵乘法运算规则，得
=
由直接消耗系数计算公式(9.6.3)可知，直接消耗系数矩阵A具有以下性质：
性质1 所有元素均非负，且
性质2 各列元素的绝对值之和均小于1，即
根据这两条性质，可以证明以下结论：
投入产出模型中的矩阵（E-A）和（E-C）都是可逆矩阵。
四、平衡方程组的解：
消耗平衡方程组的解消耗平衡方程组
若直接消耗系数是已知的数值，则
那么上式中的两组未知量中，只需知道其中一组数值就可求出另一组未知量的数值。
（1）若已知的数值，则求值的公式为
=
或表示成矩阵运算公式 Z=（E-C）X
（2）若已知的数值，则求值的公式为
=
成表示成矩阵运算公式
分配平衡方程组的解分配平衡方程组
若直接消耗系数是已知数值，则它就是一个线性方程组，用矩阵表示为
（E-A）X=Y
若已知的数值，则求值的矩阵运算公式为
Y=（E-A）X
（2）若已知的数值，由于矩阵（E-A）可逆，那么求值的矩阵运算公式为
X=
例2、由建筑队、电气队、机械队组成一个施工公司，他们商定在某一时期内互相提供服务，建筑队每单位产值分别需要电气队、机械队的0.1，0.3单位服务，电气队每单位产值分别需要建筑队、机械队的0.2?,0.4单位服务，机械队每单位产值分别需要建筑队、电气队的0.3，0.4单位服务。又知在该时期内，他们都对外服务，创造的产值分别为建筑队500万元，电气队700万元，机械队600万元。
问这一时期内，每个个工程队创造的总产出是多少？
求各工程队之间的中间投入和初始投入
解 （1）因为直接消耗系数矩阵和最终产品矩阵为
,
其分配平衡方程组为
用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，得
（A B）=
所以每个个工程队创造的总产出分别为=1256.49（万元），=1448.16（万元），=1556.20（万元）
（2）由直接消耗系数公式和矩阵乘法运算规则可知，各工程队之间的中间投入矩阵为
=
由消耗平衡方程组得
故各工程队的初始投入为（万元），（万元），
（万元）
五、完全消耗系数：
定义9.8 第部门生产单位产品时对第部门产品量的直接消耗和间接消耗之和，称为第部门对第部门的完全消耗系数，记作，即
（9.6.6）
其中表示间接消耗的总和。
各部门之间的完全消耗系数构成的n阶矩阵，称为完全消耗系数矩阵，记作
B=
公式(9.6.6)的矩阵表示为B=A+BA，利用矩阵运算
得到完全消耗系数矩阵的计算公式。
直接消耗系数仅仅反映了各部门之间产品的直接消耗关系，而完全消耗系数却能更深刻、更本质、更全面地反映各部门之间相互依存、相互制约的关系，它从最终产品和总产出的关系上阐明了经济活动规律，它准确、完全地反映了提供单位产品将对各部门产品的完全消耗量的需求，这对于最终产品确定之后，预测各部门的总产出是非常有用的。
已知某一经济系统的直接消耗系数矩阵
试求该系统的完全消耗系数矩阵B
解 因为，且
利用初等行变换求逆矩阵，即
（E-A E）=
所以
从前面的内容已经知道，直接消耗系数是对总产品而言的，完全消耗系数是对最终产品而言的，那么总产品与最终产品之间的关系是怎样的呢？由公式(9.6.7)，得
那么分配平衡方程组的解
上式说明，为了得到最终产品Y，要求各部门必须生产X=BY+EY的产品总量，只有当各部门生产的产品量达到这些数量，并去掉生产过程中的各种消耗后，才能得到各部门所需要的最终产品。
已知某一经济系统的完全消耗矩阵B和最终产品矩阵Y如下：
,
试求该系统的总产出矩阵X
解 因为
所以
六、投入产出表的编制：
投入产出模型在经济工作中的主要应用之一是为计划服务，它是加强综合平衡改进计划管理的重要工具之一。在利用投入产出模型编制计划以前，首先要确定计划期的直接消耗。一般是利用已有的统计资料编制报告期的投入产出表，然后求出其直接消耗系数和初始投入系数，利用已经求得的直接消耗系数和初始投入系数，结合计划期内的最终产品量，编制各部门的计划方案。
设某一经济系统报告期的直接消耗系数和初始投入系数分别为
如果其计划期的最终产品为Y=，那么计划期的投入产出表应如何编制呢？
解 因为
利用伴随矩阵求得
已知计划的最终产品为 ，那么
再利用公式，求出计划期各部门之间的中间产品，即
最后，分别用总产出去乘初始投入系数，求出计划期各部门的初始投入，即
,,
利用上述计算的结果，编制计划的投入产出表，见下表
某经济系统计划期投入产出表 （单位：亿元）
中 间 产 品
最终产品
总 产 品
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
中间投入
Ⅰ
335.8
343.4
0
1000
1679
Ⅱ
335.8
1030.2
568.2
1500
3434
Ⅲ
0
515.1
378.8
1000
1894
初 始 投 入
1007.4
1545.3
947
总 投 入
1679
3434
1894
利用投入产出方法制定计划方案的方法比较多，例5介绍的方法是一种最简单、方便的方法，这种方法归纳为以下几步：
决定计划期的最终产品量Y；
利用报告期的直接消耗系数矩阵A，求出逆矩阵，并利用公式
求出计划期的总产出量X；
3、利用公式
求出计划期各部门之间的中间产品；
4、利用公式
求出计划期各部门的初始投入；
5、根据上述结果，编制计划期的计划方案明细表（即投入产出表）
七、本节小结：本节主要讲了投入产出模型的定义，两类平衡方程组的三种表示，直接消耗系数和完全消耗系数的概念，以及投入产出表的编制，最后一点是重点要掌握的内容。
课堂练习： 20、21
课后作业： 22
备注
7.1 行列式的定义学习内容：行列式的定义教学目的：让学生掌握二、三阶及n阶行列式的定义和运算及其相关定义教学重点：二、三阶、n阶行列式定义、余子式及代数余子式定义教学进程：
一、二阶行列式定义：
我们规定记号： ＝ad-bc，并称之为二阶行列式，其中：a、b、c、d称为二阶行列式的元素；横排称为行，竖排称为列；从左上角到右下角的对角线称为行列式的主对角线，从左下角到右上角的对角线称为行列式的次对角线。
二阶行列式的应用：
在初等代数中，用回头消元法解二元一次方程组：
―――――（7.1.1）
可得：
若：，得方程组之解为：
――――――（7.1.2）
为了方便记忆，利用二阶行列式，令：
D＝＝
＝ ＝
当二元一次方程组的系数行列式时，它的解可简洁地记为：
, ――――――（7.1.3）
例题讲解：
解二元一次方程组
解：＝－７
＝－14 ＝－7
则方程组的解应为：
三、三阶行列式的定义：
为了便于表示三元一次方程组：
—―――――（7.1.4）
的解，我们引进三阶行列式：
＋＋
＝
＝
称为三阶行列式，其中是原行列式D中划去元素所在的第一行、第一列后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式，称它为元素的余子式，记作，即
类似地，记 ,
并且令 （
称为元素的代数余子式。
因此，三阶行列式也可以表示为
＝
而且它的值可以转化为二阶行列式计算而得到。
利用三阶行列式的概念，当方程组（7.1.4）的系数行列式时，它的解也可以简洁地表示为
―――（7.1.5）
其中，，，是将方程组（7.1.4）中的系数行列式D的第一、二、三列分别换成常数列得到的三阶行列式。
例题讲解：
例2、计算行列式 D＝
解,D＝
＝＝－30＋9＋24＋6＝９
例3、解三元一次方程组
解：利用解的公式（7.1.5），先计算系数行列式
＝＝－5
且
＝－5 ＝－10 ＝－35
所以方程组的解为
四、n阶阶行列式的定义：
由个元素组成的一个算式，记为D
D=
称为n阶阶行列式，简称行列式。其中称为D和第行第j列的元素（,j=1，2，…，n）。
当n =1时，规定：
D ==
当n –1 阶行列式已定义，则n 阶行列式：
D = -----------（7.1.6）
其中为元素的代数余子式。
此定义是n阶行列式D按第一行的的展开式。通过二阶、三阶行列式的展开式可以推出，n阶行列式的展开式中共有!乘积项，每个乘积项中含有n个取自不同行不同列的元素，并且带正号和带负号的项各占一半。
例题讲解：
例4、写出四阶行列式
的元素的余子式和代数余子式。
解：元素的余子式为划去第三行和第二列后，剩下元素按原来顺序组成的三阶行列式，而元素的代数余子式为余子式前面加一个符号因子，即
相关定义：
形如下列形式的行列式分别为n阶对角形行列式和n阶下三角形行列式。由n阶阶行列式的定义知，它们的值都是主对角线上元素的乘积。
= =
例题讲解；
例5、计算下列行列式：
（１） （2）
解：（１）根据（7.1.6）式，得：
＝＝
根据（7.1.6）式，得
＝
＝
五、练习： １、２
六、本节小结:本节主要要掌握二阶、三阶、n阶行列式及余子式、代数余子式的定义七、作业 ３、４
备注：
7．2 行列式的性质教学内容：行列式的性质教学目的：让学生掌握行列式的性质，并学会应用教学重点：行列式的性质教学过程：
转置行列式的概念：
如果把n阶行列式
中的行与列按原来的顺序互换，得到新的行列式
那么称行列式为D的转置行列式。显然D也是的转置行列式。
行列式的性质：
性质1、行列式D与它的转置行列式相等，即D=
例如二阶行列式 D===
性质1说明，行列式中行与列所处的地位是一样的，所以，凡是对行成立的性质，对列也同样成立。
由性质1和n阶下三角形行列式的结论，可以得到n阶上三角形行列式的值等于它的对角线元素乘积，即
=
性质2、行列式D等于它的任意一行或列中所有元素与它们各自的代数余子式乘积之和，即
D= 或 D= ---------（7.2.1）
其中，换句话说，行列式可以按任意一行或列展开。
例题讲解例1、设三阶行列式 D=
按第二行展开，并求其值；
按第三列展开，并求其值。
解：（1）=-（5-6）=1
D== -4
(2)
=2×(-18)+1×(-4)+5×10=10
例2、计算四阶行列式
解：因为第三列中有三个零元素，由性质2，按第三列展开，得
D=
对于上面的三阶行列式，按第三行展开，得
由性质2，可以证明下列结论成立性质3 行列式一行（或列）的公因子可以提到行列式记号的外面，即
= ------(7.2.2)
例如二阶行列式
由性质3可以得到下面推论：
推论1 如果行列式中有一行（或列）的全部元素都是零，那么这个行列式的值为零。
推论2 行列式中一行（或列）的每一个元素如果可以写成两数之和，
那么此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第行的元素分别是和，其他各行（或列）的元素与原行列式相应各行（或列）的元素相同，即
=+ -------(7.2.3)
例如二阶行列式
==
=
性质5如果行列式中两行（或列）对应元素全部相同，那么行列式的值为零，即
= 0
例如三阶行列式
由性质3和性质5，可以得到下列推论：
推论2 行列式中如果两行（或列）对应元素成比例，那么行列式的值为零。
推论3 行列式D中任意一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即当时，
---------（7.2.4）
综合性质2和推论3，可以得到
由性质4和推论2，可以得到下列结论：
性质6 在行列式中，把某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上去，那么行列式的值不变，即
（7.2.5）
例如二阶行列式
=
利用性质3和性质6，可以得到下列结论：
性质7 如果将行列式的任意两行（或列）互换，那么行列式的值改变符号，即
例如，二阶行列式
行列式性质的应用：
例3、计算下面行列式的值
（1） （2）
解 （1）把的第二行的元素分别看成：300-10，100+6，200-4，由性质4，得
而由推论2和性质3、性质5，得
所以，
（2）利用性质6，在第一行上加上第二行一倍，再由推论2，得
证明
D== （1-
证 利用性质4把原行列式拆成4个行列式，即
D ==
=
再由推论2可知第一个和第四个行列式为零；由性质3和性质7，得
D =
=
本节小结：本节主要学习了不起课堂练习：
课后作业：
备注
7.3 行列式的计算教学内容:行列式的计算教学目的：让学生利用行列式的定义及性质进行行列式的计算教学重点：计算的思想方法教学过程：
一、行列式的基本计算方法之一是根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为上（或下）三角形行列式，由前面的结论可知，这时行列式的值就是主对角线上元素的乘积，这种方法一般称为“化三角形法”。
计算四阶行列式
解：利用行列式性质，把D化为上三角形行列式，再求值。
＝－21
计算四阶行列式
解：利用行列式性质，把D化为上三角形行列式，再求值。
小结 把数字元素的行列式化为上三角形行列式的一般步骤为
(1)把变换为1（例2是通过列变换来实现的，有时也可以把第一行乘来实现，但要注意尽量避免将元素化为分数，否则将给后面的计算增加困难）；
(2)把第一行分别乘－，－，…，－加到第2，3，…，n行对应元素上，把第一列以下的元素全部化为零；
(3)从第二行依次用类似的方法把主对角线，，…，以下的元素全部化为零，即可得上三角形行列式。
注意：在上述变换过程中，主对角线上元素不能为零，若出现零，可通过交换使得主对角线上的元素不为零。
计算行列式的另一种基本方法是选择零元素最多的行（或列），按这一行（或列）展开；也可以先利用性质把某一行（或列）的元素化为仅有一个非零元素，然后再按这一行（或列）展开，这种方法一般称为“降阶法”。
计算四阶行列式
解：为避免分数运算，利用性质3，把第一行和第三行的分数元素化为整数，即
如果注意到第三行已有两个零元素，那么利用性质6，把第三行的元素尽量化为零，然后再按第三行展开，即
＝
＝
三、几类行列式计算经常遇到的题型例４ 计算四阶行列式
解 因为该行列式中各行（或列）的元素之和都是2a+b，所以，可把各列元素都加到第1列上，然后提取公因子2a+b，再利用性质6，把第一列的元素尽量化为零，并按第一列展开，即
=(2a+b)
=(2a+b)
=(2a+b)(-b)(a-(b-a))=
计算五阶行列式
解：该行列式的第行第j列的元素等于第j行第列元素的负数，即。具有这种特点的行列式称为反对称行列式。因为D的转置行列式为：
由性质1，得 D=
如果将的每一行提出公因子（-1），得
=
由此可得 D=-D
即 D=0
注：用此方法可以证明任何奇数阶反对称行列式的值都等于零。
解方程
解法一 因为
=（x-4）×(-1)
=
由，得，。所以方程的解是
解法二 令x+4=8，即x=4，则行列式的第二行是第一行的2倍，根据推论3，行列式为零。所以x=4是方程的一个解。
再令x=-5，则行列式的第三行是第四行的-1倍，根据推论3，行列式为零。所以x=-5是方程的另一个解。
证明
证
=
=
=
例7的结论可以推广到一般情况，用归纳法可以证明：
（7.3.1）
利用性质1，行列式，可以得到(7.3.1)式的另一个结论。
四、本节小结：
五、课堂练习： 5、6
六、作业：
七、备注
7.4 克拉默法则教学内容：克拉默法则教学目标：让学生掌握用克拉默法则求解n个方程的n元线性方程组教学重点：克拉默法则应用的条件及其实际应用教学过程：
一、问题的提出：
在7.1中我们曾提出这样一个问题，在解n个方程的n元线性方程组时，是否能象二元、三元线性方程组那样，用行列式表示其解呢？我们这一节就是要讨论这个问题。
n个方程的n元线性方程组的一般形式为
（7.4.1）
由系数组成的n阶行列式
(7.4.2)
称为线性方程组（7.4.2）的系数行列式。
假设（7.4.2）式有解，并令是它的一个解，那么
（7.4.3）
用代数余子式分别乘以(7.4.3)式的第1、第2、…、第n个等式两边相加得到
（
（
+
由7.2节中的性质2和推论3可以得到
其中行列式是把行列式D的第j列元素换成方程组(7.4.1)的常数项得到的行列式。
当时，
（7.4.4）
另一方面，将(7.4.4)式代入方程组(7.4.1)，容易验证它满足方程组(7.4.1),所以(7.4.4)式是方程组（7.4.1）的解。
定理7.1(克拉默Cramer法则)若线性方程组（7.4.1）的系数行列
，则方程组（7.4.1）有唯一解
（7.4.5）
其中行列式是把行列式D的第j列列元素换成方程组（7.4.1）的常数项得到的行列式。
如果线性方程组（7.4.1）的常数项均为零，即
（7.4.6）
称为齐次线性方程组。这时行列式第j列的元素都是零，所以。因此当方程组(7.4.6)的系数行列式时，由Cramer法则知道它有唯一解
全部由零组成的解称为零解，于是我们有如下结论：
推论1 若齐次线性方程组（7.4.6）的系数行列式，则方程组只有零解。
推论2 齐次线性方程组(7.4.6)有非零解的必要条件是系数行列式
例题讲解解线性方程组
解 因为方程组有系数行列式
=-
所以方程组有唯一解。又因为
所以方程组的解是
例2、解齐次线性方程组
解 因为系数行列式
所以方程组只有零解，即
例3解齐次线性方程组有非零解
试求的值。
解 由推论2可知，方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零。因为
=
所以，当方程组有非零解时，或
四、注意事项：
用Cramer法则解线性方程组有两个前提条件：一是方程个数与未知量个数相等；二是方程组的系数行列式不等于零。
用克拉默法则解n个线性方程组时，需要计算n+1个n阶行列式，计算量很大，所以实际解线性方程组时一般不用克拉默法则，但是，克拉默法则在理论上是相当重要的，因为它告诉我们：当方程组（7.4.1）的系数行列式不等于零时，方程组有唯一解，这说明可以直接从原方程组的系数来讨论解的情况。
Cramer法则还告诉我们：在系数行列式不等于零时，方程组（7.4.1）的唯一解可以用公式(7.4.5)表示，也就是直接用方程组的系数和常数项来表示它的解，从而可以看出方程组的解与它的系数、常数项的依赖关系。
五、课堂练习： 8
六、作业： 9、10
备注：
矩阵
8．1 矩阵的概念教学内容：矩阵的概念教学目标：让学生掌握矩阵的概念及几个特殊矩阵教学重点：矩阵的概念教学过程：
一、新课的引入：
矩阵是数（或函数）的矩形阵表。在工程技术、生产活动和日常生活中，我们常常用数表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等。在给出矩阵定义之前，先看几个例子。
例1、北京市某户居民第三季度每个月（单位：t）、电（单位：kw·h）、天然气（单位：）的使用情况，可以用一个三行三列的数表示为
例2、含有n个未知量、m个方程的线性方程组
如果把它的系数和常数项按原来顺序写出，就可以得到一个m 行、n+1行的数表
那么，这个表就可以清晰地表达这一线性方程组。
由上面的例子可以看到，对于不同的问题可以用不同的数表来表示，我们将这些数表统称为矩阵。
矩阵的定义：
定义8.1 有个数排列成一个m行n列，并括以圆括弧（或方括弧）的数表
称为m行n列矩阵，简称矩阵。
矩阵通常用大写字母A，B，C…表示。例如上述矩阵可以记作A或，有时也记作 A=
其中称为矩阵A的第i行第j列元素。
特别地，当m=n时，称A为n阶矩阵，或n阶方阵。
当m=1或n=1时，矩阵只有一行，或只有一列，即
A= 或 A=
分别称之为行矩阵和列矩阵。
在n阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线。
所有元素全为零的矩阵，称为零矩阵。记作或O。例如
分别为2阶零矩阵和3×5零矩阵。
在矩阵A=中各个元素的前面都添加上负号（即取相反数）得到的矩阵，称为A的负矩阵。记作-A，即-A=（-
例如
那么-A就是A的负矩阵。
几个特殊矩阵：
定义8.2 主对角线下（或上）方的元素全部都是零的n阶矩阵，称为n阶上（或下）三角矩阵。
上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵。
例如：
分别是一个三阶上三角矩阵和一个四阶下三角矩阵。值得注意的是，上（或下）三角矩阵的主对角线下（或上）方的元素一定是零而其他元素可以是零也可以不是零。
n阶对角矩阵：如果一个矩阵A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则称其为n阶对角矩阵。亦即对角矩阵是非零元素只能在主对角线上出现的方阵，如
是一个三阶对角矩阵。
显然，有主对角线的元素就可以确定对角矩阵了，因此，以常将对角矩阵记作,diag[
当然允许中某些元素为零。
n阶数量矩阵：主对角线上元素都是非零常数a，其余元素全部是零的n阶矩阵，称为n阶数量矩阵。
当n=2，3时
（
就是二阶、三阶数量矩阵。
n阶单位矩阵：主对角线上元素是1，其余元素全部是零的n阶矩阵，称为n阶单位矩阵。记作
当n=2，3时，
就是二阶、三阶单位矩阵。
注意：
矩阵与行列式是有本质区别的,行列式是一个算式，一个数字行列式通过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。对于n阶方阵，虽然有时也要算它的行列式（记作detA），但是方阵A和方阵行列式detA是不同的概念。
本节小结：
课堂练习：
作业：
备注：
8.2 矩阵的运算（一）
8.2.1 矩阵的相等、加法及数乘运算教学内容：矩阵的运算（一）
教学目标：让学生掌握矩阵运算中相等、加法及数乘运算教学重点：矩阵相等、加法、数乘的定义教学过程：
对上节内容的回顾新课的导入：对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这就是本节所要讨论的主要内容。
矩阵相等：
定义8.3 如果两个矩阵的行数和列灵数分别相同，而且各对应元素相等，则称矩阵A与矩阵B相等。记作,A=B
即 如果且,那么A=B。
由定义8.3可知，用等式表示两个矩阵相等等价于元素之间的个等式，例如，矩阵
那么A=B，当且仅当
又设矩阵
那么，无论矩阵C中的元素取什么数都不会与矩阵B相等，这是因为B，C这两个矩阵的列数不同。
例1、设矩阵
且A=B，求a,b,c,d
解 根据定义8.3，由A=B，即
=
得a=-2，b=1，c=3，d=-5
矩阵的加法定义8.4 设是两个矩阵，规定：
A+B==
称矩阵A+B为A与B的和。
由定义8.4知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算。
现有两种物资（单位：吨）要从三个产地运往四个销地，其调运方案分别为矩阵A与B
试问，从各产地运往各销地两种物资的总运量是多少？
解：设矩阵C为两种物资的总运量，那么矩阵C是A与B的和，即
C=A+B=+
==
如果，由矩阵加法运算和负矩阵的概念，我们规定：
B=A+（-B）=
称矩阵A-B为A与B的差。
例3、设矩阵A=，B=，求A+B，A-B。
解 A+B=+=
B=-=
设A，B，C，O都是矩阵，根据定义8.4和负矩阵的概念，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则：
1、加法交换律 A+B=B+A
2、加法结合律 （A+B）+C=A+（B+C）
3、零矩阵满足 A+O=A
4、存在矩阵-A，满足 A-A=A+（-A）=O
矩阵的数乘：
定义8.5 设k是任意一个实数，是一个矩阵，规定：
kA=
称该矩阵为数k与矩阵A的数量乘积，或称之为矩阵的数乘。
由定义8.5可知，数k乘一个矩阵A，需要用数k去乘矩阵A的每一个元素，特别地，当k=-1时，kA=-A，得到A的负矩阵。
例4、设从某四个地区到另三个地区的距离（单位：km）为
已知货物每吨的运费是2.40元/km，那么，各地区之间每吨货物的运费可记为：
2.4B==
由定义8.4容易容易验证，对数和矩阵A=，满足以下运算规则：
1、数对矩阵的分配律 k（A+B）=kA+kB
2、矩阵对数的分配律 ()A=
3、数与矩阵的结合律 A==
4、数1与矩阵满足 1A=A
例5、设两个矩阵A，B为A=，B=，求3A-2B
解：先做矩阵的数乘运算3A和2B，然后求矩阵3A与2B的差。
因为3A=
2B=
所以3A-2B=-=
例、已知矩阵
A= B=
且A+2X=B，求矩阵X
解：由A+2X=B，得X=
因为
所以 =
本节小结：
课堂练习：1、2
作业： 3
备注
8.2 矩阵的运算（二）
8.2.2 矩阵的乘法教学内容：矩阵的乘法教学目标：通过本节的学习，让学生熟练掌握矩阵的乘法教学重点：矩阵乘法的定义及可交换矩阵的定义教学难点：矩阵乘法的定义教学过程：
上节回顾：矩阵相等、加法及数乘的运算本节内容：
实例：某地区甲、乙、丙三家商场同时销售两种品牌的家用电器，如果用矩阵A表示各商场销售这两种家用电器的日平均销售量（单位：台），用B表示两种家用电器的单位售价（单位：千克）和单位利润（单位：千元）：
用矩阵表示这三家商场销售两种家用电器的每日总收入和总利润，那么C中的元素分别为
即
其中，矩阵C中的第列的元素是矩阵A第行元素与矩阵B第列对应元素的乘积之和。
类似于上述矩阵A，B，C之间的关系，下面给出矩阵的乘法定义矩阵的乘法：
定义8.6 设A是一个矩阵，B是一个矩阵
A= B=
则称矩阵C=为矩阵A与B的乘积，其中
记作 C=AB
由定义8.6可知：
只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A，B才能作乘法运算C=AB
两个矩阵的乘积C=AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数；
乘积矩阵C=AB中第行第列的元素等于A的第行元素与B的第列对应元素的乘积之和，故简称行乘列法则。
例题讲解：
例1、设矩阵
A= B=
求AB。
解：AB==
=
说明：由于矩阵B有2列，矩阵A有3行，B的列数A的行数，所以BA无意义。
例2、设A是一个行矩阵，B是一个列矩阵，且
A= B=
求AB和BA
解:AB==
BA==
例2的计算结果表明，乘积矩阵AB是一个1阶矩阵，BA是一个n阶矩阵，一般情况下，运算的最后结果是一个1阶矩阵时，可以把它作为一个数看待，可以不加矩阵符号，但在运算过程中，不能把1阶矩阵看成一个数。
例3、设矩阵
A= B=
求AB和BA。
解：AB==
BA==
由例1、例2、例3可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不一定相等。因此，矩阵乘法不满足交换律。在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变。
四、可交换矩阵若两个矩阵A和B满足 AB=BA
则称矩阵A和B是可交换的。
n阶数量矩阵与所有的n阶矩阵可交换，反之，能够与所有n阶矩阵可交换的矩阵一定是n阶数量矩阵。
单位矩阵在矩阵乘法中，将起着类似于数1在数的乘法中的作用，容易验证，在可以相乘的前提下，对任意矩阵A总有
EA=A，AE=A
例4、设矩阵
A= B=
试问矩阵A和B是否可交换？
解：因为 AB==
BA==
即AB=BA，所以，矩阵A和B是可交换的。
例5、设矩阵A，B，C满足AB=BA，AC=CA，试证A，B，C是同阶矩阵。
证：设A是矩阵，B是矩阵
A，B可作乘法运算AB，得n=s；且A，B可作乘法运算BA，得m=P，由此可知，乘积矩阵AB是矩阵，BA是矩阵，又由于AB=BA，得m=n。
矩阵A和B是同阶矩阵同理可证矩阵A和C是同阶矩阵，所以矩阵A，B，C是同阶矩阵。
在满足两个矩阵相乘的条件时，零矩阵和任何矩阵的乘积都是零矩阵，反之就不能保证，即当AB=O，不能保证A和B至少有一个是零矩阵。例如，在例3中矩阵A和B都是非零矩阵（，但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB=O）。即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。这种现象在数的乘法运算中是不可能出现的。
例6、设矩阵
A= B= C=
求AB和AC
解：AB==
AC==
一般地，当乘积矩阵AB=AC，且时，不能消去矩阵A，而得到B=C，这说明矩阵乘法也不满足消去律。
矩阵乘法不满足交换律、消去律以及两个非零矩阵的乘法有可能是零矩阵，这些都是矩阵乘法与数的乘法不同的地方，但是矩阵乘法与数的乘法也有相似的地方，或者说有相似的运算规则，即矩阵乘法满足下列运算规则：
1、乘法结合律 （AB）C=A（BC）
2、左乘分配律 A（B+C）=AB+AC
右乘分配律 （B+C）A=BA+CA
3、数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB)，其中k是一个常数
证明 1、设A=是矩阵，B=是矩阵，C=是矩阵，那么AB是矩阵，（AB）C是矩阵；而BC是矩阵，A（BC）是矩阵；即（AB）C和A（BC）都是矩阵。
下面证明这两个矩阵的元对应相等。因为（AB）C的元=AB的第行与C的第列对应元素的乘积之和
=
A（BC）的元=A的第行与BC的第列对应元素的乘积之和
=
所以（AB）C的元= A（BC）的元，故矩阵乘法满足（AB）C=A（BC）
运算规则2，3的证明可由学生课下自己完成。
例7、设矩阵
C=
则AB==
（AB）C==
BC==
A（BC）==
所以（AB）C=A（BC）
对m个矩阵的乘法运算可做类似讨论，特别地，当A是n阶矩阵时，我们规定：,称为矩阵A的m次幂，其中m是正整数。
当m=0时，规定，显然有
其中是任意正整数，由于矩阵乘法不满足交换律，因此，一般地
(AB)
例8、设矩阵
求幂矩阵，其中m是正整数。
解：因为，当m=2时，
＝
设 m=k时，；则当m=k+1时，
＝＝
所以，由归纳法原理可知
五、本节小结：本节主要讲了矩阵的乘法和交换矩阵的概念，一定要熟练运用。
六、课堂练习： 4
七、课后作业： 5、6
备注
矩阵的运算矩阵的转置教学内容：矩阵的转置教学目标：让学生掌握矩阵转置、对称矩阵及反对称矩阵的概念教学重点：矩阵转置、对称矩阵及反对称矩阵的概念教学过程:
转置矩阵的定义：
定义8.7 将一个矩阵
的行和列顺序互换得到的矩阵，称为A的转置矩阵。
记作，即
由定义8.7可知，转置矩阵的第行第列的元素等于矩阵A的第行第列的元素，简记为
的元＝A的元
例1、设矩阵
A＝ B＝
写出它们的转置矩阵，并求A，A和
解：因为A＝，
所以 ＝＝
即使矩阵A的转置矩阵是一个列矩阵，且
A＝＝
A＝＝
又因为 B＝，所以＝＝
且＝＝
矩阵的转置满足下列运算规则：
1、
2、
3、
4、
运算规则1～3都容易验证，下面给出运算规则4的证明。
证：设矩阵A＝是矩阵，B＝是矩阵，那么AB是矩阵，是矩阵；同样是矩阵，是矩阵，那么是矩阵。
因为的元＝AB的元＝
的元＝］[
＝]
==
所以的元＝的元j=1,2,
故矩阵转置满足＝
例2、设矩阵
求：和
解：因为AB＝＝
所以 ＝＝
又因为 ＝＝
＝＝
＝ ＝
即 ＝
例3、证明：
证：
由例3可知，矩阵的转置的运算规则4还可以推广到多个矩阵相乘的情况，即
对称矩阵：
定义8.8 如果矩阵满足 A＝ 则称A是对称矩阵。
由定义8.8可知，对称矩阵一定是方阵，并且它的第行第列的元素与第行第列的元素相同，即
例如，矩阵
分别是一个三阶对称矩阵和一个四阶对称矩阵。
显然，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵都是对称矩阵的特例。
设A、B都是n阶对称矩阵，试证：
5A-2B也是对称矩阵；
AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。
证：（1）因为＝A，＝B，且
所以5A-2B是对称矩阵。
必要性：设AB是对称矩阵，即，因为＝A，
＝B，且
AB＝
所以矩阵A与B是可交换的。
充分性：设矩阵A与B是可交换的，即AB=BA，因为＝A，＝B，且
＝AB
所以AB是对称矩阵。
反对称矩阵：
定义8.9 如果矩阵满足：＝-A，则称A是反对称矩阵。
由定义8.9可知，反对称矩阵一定是方阵，并且它的第行第列的元素等于它的第行第列的元素的相反数，它的主对角线上的元素都是零，即
例如，矩阵
分别是一个三阶反对称矩阵和一个四阶反对称矩阵。
设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵，即＝A，＝-B，试证：
（1）是反对称矩阵；（2）（AB＋BA）是反对称矩阵。
证：（1）＝-B，且
是对称矩阵。
（2）＝A，＝-B，且
（AB＋BA）是反对称矩阵。
本节小结：本节主要讲了转置矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念，要求深刻理解并会应用。
课堂练习： 8、9、10
课后作业： 15、16
备注
8.2 矩阵的运算
8.2.4 矩阵的初等行变换教学内容：矩阵的初等行变换教学目标：让学生掌握矩阵的初等行变换及初等矩阵的定义教学重点：矩阵初等行变换的定义、初等矩阵的定义教学过程：
矩阵的初等行变换：
定义8.10 对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等行变换：
对换矩阵两行的位置；
用一个非零数遍乘矩阵的某一行；
将矩阵某一行的倍数加到另一行上。
并称（1）为对换变换，称（2）为倍乘变换，称（3）为倍加变换。
在定义8.10中，若把对矩阵施行的三种“行”变换，改为“列”变换，我们就能得到对矩阵的三种列变换，并将其称为矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换，本书只讨论矩阵的初等行变换。
矩阵A经过初等行变换后变为B，用 AB
表示，并称矩阵B与A是等价的。
下面我们把第行和第列的互换变换，简记为（）；把第行遍乘k倍的倍乘变换，简记为k；第行的k倍加至第行上的倍加变换，简记为
。
例如，设矩阵，其初等行变换如下：
对换矩阵A的第一行和第二行的位置
用一个非零数k遍乘矩阵A的第三行
用一个数k乘矩阵A的第一行加到第二行
矩阵经过初等变换后，其元素可以发生很大变化，但是其本身所具有的许多特性是保持不变的。
二、初等行变换在矩阵理论中具有十分重要的作用，但是，如果矩阵的初等行变换只能用语言加以说明，而不能表现为符号运算，那么它将不能成为一种有效的数学方法而充分发挥作用，因此，下面我们把矩阵的初等行变换表示为矩阵的乘法运算。
例如，设矩阵
则=
=
=
由此可见，矩阵A左乘以上三种矩阵，等于分别使A作了第一、二行互换，第三行遍乘数k，第一行乘数k加到第二行上等三种初等行变换，而左边所乘的三个三阶矩阵恰好是对单位矩阵作同样的初等行变换（即对A作的三种行变换）得到的，它们称为初等矩阵。
定义8.11 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
对应于三种初等行变换有三种类型的初等矩阵：
（1）初等对换矩阵 是由单位矩阵的第行和第行对换位置而得到的；
（2）初等倍乘矩阵 是由单位矩阵的第行乘k而得到的，其中；
（3）初等倍加矩阵是由单位矩阵的第行乘k加至第行上而得到的。
例如，三阶单位矩阵E：
互换单位矩阵E的第一、二行
；
用一个非零数k遍乘单位矩阵E的第三行
；
用一个数k乘单位矩阵E的第一行加到第二行上
可以证明，初等矩阵的转置仍为初等矩阵。
三、定理8.1 对矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶的初等矩阵。
证：设是由矩阵A的第行的元素组成的行矩阵，则对A进行一次初等行变换为
而在A的左边乘上一个m阶的初等矩阵，得
A＝
这说明把矩阵A的第行的k倍加至第行上就相当于在A的左边乘上一个相应的初等矩阵。
其他两种初等行变换可以类似证明，定理8.1说明：矩阵A的第行和第行和互换相当于矩阵乘法运算；矩阵A的第行遍乘k倍相当于矩阵乘法运算；矩阵A的第行乘k加至第行上相当于矩阵乘法运算A。
本节小结：本节主要要掌握矩阵的初等行变换和初等矩阵的概念，并理解定理8.1，定理8.1对我们以后的其他定理的证明及矩阵的运算都有着重大的意义。
课后作业:好好看书，理解领会定义及定理。
备注
8.3.1 可逆矩阵及逆矩阵教学内容：可逆矩阵及逆矩阵教学目标:让学生掌握可逆矩阵及逆矩阵的定义，并能运用定义证明一些问题教学重点：可逆矩阵及逆矩阵的定义教学过程：
新课导入：
在8.2节中，我们定义了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否可以定义除法运算呢？
设a，b为两个数，当时，a的倒数存在，且，但是，当a=0时，a的倒数不存在，上述除法也就不成立。因此，除法的关键是除数a必须有倒数，a的倒数也称为a的逆，即，显然，只要，a就可逆，并且满足,
类似地，对于一个矩阵A是否能进行矩阵的除法，关键是起着像“除数”那样作用的矩阵A是否存在“逆”？即是否存在一个矩阵B，使得AB＝BA＝E？那么，矩阵A满足什么条件时，A一定有逆矩阵？如何求A的逆矩阵？这就是本节讨论的主要问题。
可逆矩阵与逆矩阵：
定义8.12 对于矩阵A，如果存在矩阵B，满足
AB＝BA＝E （8.3.1）
则称矩阵A为可逆矩阵，简称A可逆，称B为A的逆矩阵。记作，即B＝。
于是，当A为可逆矩阵时，存在矩阵，满足
A＝A＝E (8.3.2)
由定义8.12可知，满足(8.3.1)式的矩阵A,B一定是同阶方阵。
设矩阵
因为AB＝＝
BA＝＝
即A，B满足AB＝BA＝E，所以矩阵A可逆，其逆矩阵＝B。
由于在公式(8.3.1)中，矩阵A与B的地位是平等的，因此，也可以称B为可逆矩阵，称A为B的逆矩阵，即
例2、单位矩阵E是可逆矩阵。
证 因为单位矩阵E满足：EE＝E
所以E是可逆矩阵，且
例3、零矩阵是不可逆的。
证 设O为n阶零矩阵，因为对任意n阶矩阵B，都有
OB＝BO＝OE
所以零矩阵不是可逆矩阵。
三、可逆矩阵的性质由定义8.12可以直接证明可逆矩阵具有以下性质：
性质1 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的。
证 设矩阵都是A的逆矩阵，则，那么
性质2 若矩阵A可逆，则也可逆，且
性质3 若矩阵A可逆，数,则kA也可逆，且
性质4 若n阶矩阵A和B都可逆，则AB也可逆，且
证 因为A和B都可逆，即逆矩阵和存在，且
根据定义8.12，可知AB可逆，且
性质4可以推广到多个n阶矩阵相乘的情形，即当n阶矩阵都可逆时，乘积矩阵也可逆，且
特别地，当m=3时，有
性质5 如果矩阵A可逆，则也可逆，且
性质6 如果矩阵A可逆，则
注意：尽管n阶矩阵A和B都可逆，但是A＋B也不一定可逆；即使当
A＋B可逆时，不一定有
四、本节小结：本节主要要掌握矩阵可逆与可逆矩阵的定义，并会运用。
五、课堂练习： 17、18
六、课后作业： 19
七、备注
8.3.2可逆矩阵的判别教学内容：可逆矩阵的判别教学目标：让学生掌握奇异矩阵与非奇异矩阵的概念，会用伴随矩阵法求矩阵的逆矩阵教学重点：求一个矩阵的伴随矩阵教学难点：用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵教学过程：
一、定理8.2 设A、B是两个n阶矩阵，那么乘积矩阵AB的行列式等于矩阵A与B和行列式的乘积，即
（8.3.3）
例1、设二阶矩阵 验证
证 AB=＝，则
detA=,detB=,detAdetB=40
例2、设三阶矩阵
B＝
求det,det(A+B),det(2A).
解
det(A+B)= det(2A)=
注意：由例2可知，一般地
det(A+B)detA+detB det
由定理8.2可得以下结论：
设A是n阶矩阵，c是任意常数，k是正整数，那么
（1）； （2）；
（3）
设都是n阶矩阵，那么
二、n阶矩阵可逆的必要条件：
定理8.3 若n阶矩阵A是可逆矩阵，则detA0
证明：因为矩阵A可逆，则存在，使A=E
由定理8.2，得 detAdet=det(A)=detE=1
所以，detA0当矩阵A满足detA0时，称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。
根据定理8.3，如果矩阵A的行列式detA=0，那么，可以判定A是不可逆的。
例如
因为矩阵A中的第三行是第一行的-1倍，故detA=0，所以A是不可逆的。
由定理8.3可知，detA0是矩阵A可逆的必要条件，那么它是否亦是矩阵A可逆的充分条件呢？先给出一个概念：
三、伴随矩阵：
定义8.13 设是n阶矩阵，则称
（8.3.4）
为A的伴随矩阵，记作，其中是行列式detA中元素的代数余子式。
例3、求矩阵
的伴随矩阵
解 因为
所以
利用伴随矩阵，可以证明：
定理8.4 若n阶矩阵A满足，则A是可逆矩阵，且
(8.3.5)
综合定理8.3和定理8.4，得定理8.5 n阶矩阵A可逆的充分必要条件为，且当A可逆时
定理8.5给出了一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法。
例4、求例3中矩阵A的逆矩阵。
解 因为由行列式定义，得
所以矩阵A是可逆的，且在例3中已求得伴随矩阵，故由公式(8.3.5)得
=-=
可以验证
=
=
例5、设A为对角矩阵A=，判别A是否可逆？若可逆，求出
解 因为detA=abcd，所以由定理8.4可知，若a，b，c，d都不为零，则A可逆，否则A不可逆，当abcd0时，因
=
所以 ==
例6、设矩阵
，求
解 首先判别A是否可逆，因此计算代数余子式，因为
,,
且
所以A可逆，再求伴随矩阵，因为
所以 ，最后由公式(8.3.5)，得
利用定义8.12判断或证明矩阵A可逆时，需要验证两个关系式AB=E或BA=E都成立。但是利用定理8.2和定理8.5可以证明，对于方阵A只要其中的一个式子成立，就能判定A是可逆的。
定理8.6 设A和B都是n阶矩阵，如果AB=E成立，则A和B都是可逆的，且，。
例7、设n阶矩阵A满足方程，证明：A，A+2E都可逆，并求它们的逆矩阵。
证 由于，得A（A-E）=2E，即 ，
由定理8.6可知，A可逆，且
又从，得
故A+2E可逆，且
四、本节小结：本节主要讲了伴随矩阵及用伴随矩阵法求一个已知矩阵的逆。要求学生要熟练掌握。
五、课堂练习： 20
课后作业： 21
8.3.3 用初等行变换法求逆矩阵教学内容：用初等行变换法求逆矩阵教学目标：让学生掌握求矩阵的逆的另一方法——初等行变换法。
教学重点：初等行变换法求逆矩阵教学过程：
上节回顾：伴随矩阵法求逆矩阵新课导入：用伴随矩阵法求n阶可逆矩阵的逆矩阵是一种常见的方法，但是这种方法需要计算个n-1阶行列式，因此当n较大时，它的计算量是很大的。下面介绍求逆矩阵的另一种方法——初等行变换法。利用行列式的性质可以证明以下定理。
定理8.7 若n阶矩阵A经过若干次初等行变换后得到n阶矩阵B，则当时，必有，反之亦然。
推论 任何非奇异矩阵经过初等行变换都能化为单位矩阵。
由定理8.7的推论可知，对于任意一个?n阶可逆矩阵A，一定存在一组初等矩阵，使得
对上式两边右乘，得
即 =
由此可知，经过一系列的初等行变换可以把可逆矩阵A化成单位矩阵E，那么用一系列同样的初等行变换作用到E上，就可以把E化成。因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵E，构成一个矩阵（A E），用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵E，与此同时，右半部分的E就被化成了，即
（A E）（E ）
二、例题讲解：
例1、设矩阵 ，求逆矩阵
解 因为
（A E）=
所以 =
对给定的n阶矩阵A，不一定需要知道A是否可逆，也可以用上述方法计算。在对矩阵（A E）进行初等行变换的过程中，如果（A E）中的左半部分A出现零行，说明矩阵A的行列式detA=0，可以判定矩阵A不可逆；如果（A E）中的左半部分A被化成了单位矩阵E，说明矩阵A的行列式detA0，可以判定矩阵A是可逆；而且这个单位矩阵E右边的矩阵就是A的逆矩阵，它是由单位矩阵E经过同样的初等行变换得到的。
例2、设矩阵 ，问A是否可逆？若可逆，求逆矩阵。
解 因为
（A E）=
（A E）中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A不可逆。
例3、解矩阵方程AX=B，其中
解 由矩阵方程AX=B可知，如果矩阵A可逆，则在方程等号的两边同时左乘，可得 AX=B,X=B
因此，先用初等行变换法判别A是否可逆，若可逆，则求出，然后计算B，求出X，因为
（A E）=
所以A可逆，且=
则 X=B=
例4、解矩阵方程X-XA=B，其中
解 由矩阵方程X-XA=B，得X（E-A）=B，因为
（E-A E）=
所以矩阵E-A可逆，且
则X===
本节小结：本节主要讲了求矩阵的另一种方法，而且是比较实用的方法——初等行变换法求逆矩阵。要求熟练运用。
课堂练习： 22、（1） （2） （3）
课后作业： 22、（4） （5） （6）
备注
8.4.1 矩阵秩的概念及计算教学内容：矩阵秩的概念及计算教学目标：让学生掌握矩阵秩的概念及计算教学重点：矩阵秩的概念、阶梯形矩阵的概念及矩阵秩的计算教学难点：矩阵秩的概念及阶梯形矩阵的概念教学过程：
一、新课导入：
矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用。
二、矩阵秩的概念：
定义8.14 设A是矩阵，在A中位于任意选定的行列交点上的个元素，按原来次序组成的阶行列式，称为A的一个阶子式。其中
例如，矩阵
在A的第一、三行与第二、四列交点上的4个元素按原来次序组成的行列式 称为A的一个二阶子式定义8.15 矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作?r(A)或秩（A）
规定：零矩阵O的秩为零，即r(O)=0
定义8.14说明，若r(A)=k，则A至少有一个取非零值的k阶子式，而任一个k+1阶子式（如果存在的话）的值一定为零。
例1、求矩阵 的秩。
解 因为A的一个二阶子式
所以，A的非零子式的最高阶数至少是2，即，A中共有四个三阶子式,
即所有三阶子式均为零，故r(A)=2
三、矩阵秩的计算：
按照定义8.14计算矩阵的秩，由于要计算很多行列式，因此是非常麻烦的。但是，我们注意到“秩”只涉及子式是否为零，而并不需要子式的准确值，由于初等行变换不会改变行列式是否为零的性质，所以可以利用初等行变换来求矩阵的秩。
定理8.8 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
根据定理8.8，为了求矩阵A的秩，可以利用矩阵的初等行变换将A尽量化简，然后对化简后的矩阵求秩。
例2、求矩阵 的秩。
解 因为
由最后的矩阵可得三阶子式
而且它的第四行的元素全部是0，故所有四阶子工均为0，所以r(A)=3。
四、阶梯形矩阵：
定义8.16 满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵：
若矩阵有零行（元素全部为零的行），零行全部在下方；
各非零行的第一个不为零的元素（称为首非零元）的列标随着行标的递增而严格增大。
由定义8.15可知，如果阶梯形矩阵A有r个非零行，且第一行的第一个不为零的元素是，第二行的第一个不为零的元素是……，第r行的第一个不为零的元素是，则有，其中n是阶梯形矩阵A的列数。例如
，，
都是阶梯形矩阵，而阶梯形矩阵非零行的行数就是矩阵A的秩。把上述结论归纳为如下定理。
定理8.9 设A是矩阵，则r(A)=k的充分必要条件是通过初等行变换能把A化成具有k个非零行的阶梯形矩阵。
例3、设矩阵
求r(A)，r(B)，r(AB)
解 因为
所以 r(A)=2
因为
所以 r(B)=3
因为 AB==
所以 r(AB)=2
由例3可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵A，B的秩，即
例、设矩阵
求r(A)和
解 因为
所以 r(A)=3,又因为
所以 r()=3
由例4可知，矩阵A与它的转置矩阵的秩相等，可以证明这一结论具有一般性。
定理8.10 设A为任意一个矩阵，则
（1）； （2）r(A)=r()
四、本节小结：本节主要讲了矩阵秩的概念及如何求一个矩阵的秩，重点要掌握矩阵秩的概念、阶梯形矩阵的概念，会求一个已知矩阵的秩。
五、课堂练习：
六、课后作业： 24
8.4.2 满秩矩阵教学内容：满秩矩阵教学目标：让学生掌握满秩矩阵的概念，并会判断一给定矩阵是否为满秩矩阵教学重点：满秩矩阵的概念教学过程：
满秩矩阵的概念：
定义8.17 设A是n阶矩阵，若r(A)=n，则称A为满秩矩阵，或称A为非奇异的。
例如，矩阵
因为A是三阶矩阵，是n阶单位矩阵，且r(A)=3，r()=n，所以它们都是满秩矩阵。
例1、判断下列矩阵是否为满秩矩阵：
（1） （2）
解 （1）因为
即r(A)=3，所以三阶矩阵A是满秩矩阵。
（2）因为
即 r(B)=3，所以四阶矩阵B不是满秩矩阵。
对于例1中的满秩矩阵A，因为
detA=
所以A是可逆矩阵，这种满秩矩阵与可逆矩阵之间的关系，恰好给出了可逆矩阵的另一种判别方法。
可逆矩阵的另一种判别方法：
定理8.11 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵，即r(A)=n
例2、判断下列矩阵是否可逆：
（1）； （2）
解 （1）因为
所以r(A)=3，即A是满秩矩阵，所以A是可逆的。
（2）因为
所以 r(A)=2，即A不是满秩矩阵，所以A不是可逆矩阵。
本节小结：本节主要要掌握满秩矩阵的概念，及判断一个矩阵是否为满秩矩阵，并可根据一个矩阵是否为满秩矩阵来判断矩阵是否可逆。
课堂练习： 25、(1) （2）
课后作业： 25、（3） （4）
9.1 消元法教学内容：消元法教学目标：让学生掌握用高斯消元法求解线性方程组教学重点：定理9.1、简化阶梯形矩阵及高斯消元法教学进程：
一、新课导入：
自然科学、工程技术和经济管理中的许多问题经常可以归结为解一个线性方程组，虽然在中学时代，我们已经学过用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组，并且从平面解析几何中知道二元一次方程组的解的情况只可能有三种：有唯一解、有无穷多解、无解。但是在许多实际问题中，我们遇到的方程组中未知量个数常常超过三个，而且方程组中未知量个数与方程的个数也不一定相同。如
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？如果解不唯一，解的结构如何呢？在有解的情况下，如何求解呢？这就是第九章要讨论的主要问题。本节要讲最基本的求解线性方程组的方法——高斯消元法。
二、齐次线性方程组与非齐次线性方程组的概念：
设含有n个未知量、有m个方程式组成的方程组
（9.1.1）
其中系数，常数都是已知数，是未知量（也称为未知数）。当右端常数项不全为0时，称方程组?(9.1.1)为非齐次线性方程组；当时，即
（9.1.2）
称为齐次线性方程组。
由n个数组成的一个有序数组（），如果将它们依次替代方程组（9.1.1）中的后，（9.1.1）中的每个方程组都变成恒等式，则称这个有序数组（）为方程组（9.1.1）的一个解。显然由组成的有序数组（0，0，…，0）是齐次线性方程组(9.1.2)的一个解，称之为齐次线性方程组（9.1.2）的零解。而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
三、系数矩阵与增广矩阵：
利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的，因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
非齐次线性方程组(9.1.1)的矩阵表示形式为
AX=B （9.1.3）
其中 ，,
称A为方程组(9.1.1)的系数矩阵，X为未知矩阵，B为常数矩阵。将系数矩阵A和常数矩阵B放在一起构成的矩阵
称为方程组(9.1.1)的增广矩阵。因为线性方程组是由它的系数和常数项确定的，所以用增广矩阵（A B）可以清楚地表示一个线性方程组。
齐次线性方程组(9.1.2)的矩阵表示形式为
AX=O
其中 O=（0 0 … 0）
例1、写出线性方程组
的增广矩阵（A B）和矩阵形式。
解 只要将方程组中的未知量和等号去掉，再添上矩阵符号，就可得到方程组的增广矩阵（A B），即
（A B）=
方程组的矩阵形式是AX=B，即
四、高斯消元法：
定理9.1 如果用初等行变换增广矩阵（A B）化成（C D），则方程组AX=B与CX=D是同解方程组。
证 由定理8.1可知，存在初等矩阵，使
（A B）＝（C D）
记=P，则P可逆，即存在。
设为方程组AX=B的解，即 A=B
在上式两边左乘P，得 PA=PB，即C=D
说明也是方程组CX=D的解，反之，设为方程组CX=D的解，即
C=D
在上式两边左乘，得 C=D，即A=B，
说明也是方程组AX=B的解。
由此可知，方程组AX=B与CX=D的解相同，即它们是同解方程组。
由定理9.1可知，求方程组(9.1.1)的解，可以利用初等行变换将其增广矩阵
（A B）化简。又由定理8.2?可知，通过初等行变换可以将（A B）化成阶梯形矩阵。因此，我们得到了求解线性方程组（9.1.1）的一般方法：
高斯消元法：用初等行变换将方程组（9.1.1）的增广矩阵（A B）化成阶梯形矩阵，再写出该阶梯形矩阵所代表的方程组，逐步回代，求出方程组的解，因为它们为同解方程组，所以也就得到了原方程组（9.1.1）的解。
下面举例说明用消元法求一般线性方程组解的方法和步骤。
例2、解线性方程组
（9.1.4）
解 先写出增广矩阵（A B），再用初等行变换将其逐步化成阶梯形矩阵，即
（A B）=
上述四个增广矩阵所表示的四个线性方程组是同解方程组，最后一个增广矩阵表示的线性方程组为
将最后一个方程乘，再将项移至等号的右端，得
将其代入第二个方程，解得
再将代入第一个方程，解得
因此，方程组（9.1.4）的解为
其中可以任意取值 （9.1.5）
显然，只要未知量任意取定一个值，如=1，代入表示式(9.1.5)，可以得到一组相应的值：，，，从而得到方程组(9.1.4)的一个解。
由于未知量的取值是任意实数，故方程(9.1.4)的解有无穷多个。由此可知，表示式(9.1.5)表示了方程组（9.1.4）的所有解。表示式(9.1.5)中等号右端的未知量的表示式（9.1.5）称为自由未知量，用自由未知量表示其他未知量的表示式（9.1.5）称这方程组（9.1.4）的一般解，当表示式(9.1.5)中的未知量取定一个值（如=1），得到方程组（9.1.4）的一个解（如，，，），称之为方程组(9.1.4)的特解。
注意，自由未知量的选取不是唯一的。如例2也可以将取作自由未知量，即在
中将最后一个方程乘，再将项移至等号的右端，得
将其代入第二个方程，解出后，再将，代入第一个方程，解出，最后可得方程组(9.1.4)的一般解为
其中是自由未知量 （9.1.6）
表示式(9.1.5)和(9.1.6)虽然形式上不一样，但是它们本质上是一样的，它们都表示了方程组(9.1.4)的所有解。
如果将表示式(9.1.5)中的自由未知量取一任意常数，即令=，那么方程组(9.1.4)的一般解为
其中为任意常数用矩阵形式表示为
（9.1.7）
其中为任意常数，称表示式(9.1.7)为方程组(9.1.4)的全部解。
用消元法解线性方程组的过程中，当增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，要写出相应的方程组，然后再用回代的方法求出解。如果用矩阵将回代的过程表示出来，我们可以发现，这个过程实际上就是对阶梯形矩阵进一步简化，使其最终化成一个特殊的矩阵，从这个特殊矩阵中，就可以直接解出或“读出”方程组的解。例如，对例2中的阶梯形矩阵进一步化简，即
上述矩阵对应的方程组为
将此方程组中含的项移到等号的右端，就得到原方程组(9.1.4)的一般解，即
其中是自由未知量。
在上述最后一个矩阵中，前三列是未知量，，的系数，第4列是自由未知量的系数，最后一列是常数项，写方程组的一般解时，项要移到等号右端，因此，项系数的符号要改变。常数项不用移项，它的符号不变，掌握上述规律后，从上述最后一个矩阵中就可以直接“读出”方程组的一般解。
五、简化阶梯形矩阵：
定义9.1 若阶梯形矩阵进一步满足如下两个条件，称为行简化阶梯形矩阵：
各非零行的首非零元（称为主元）都是1；
所有首非零元所在列的其余元素都是0。
例如：
，
都是简化阶梯形矩阵。
解线性方程组
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵（A B）化成行简化阶梯形矩阵，再求解。即 （A B）=
所以，方程组一般解为
例3的解中没有自由未知量，因此，它只有唯一解。
例4、解线性方程组
解 因为 （A B）=
阶梯形矩阵的第三行“0，0，0，-2”所表示的方程为,，由该方程可知，无论，，取何值，都不能满足这个方程，所以，原方程组无解。
例5、解线性方程组
解 因为
（A B）=
所以，方程组一般解为 其中是自由未知量。
由例5可知，齐次线性方程组AX=O的增广矩阵中，最后一列的元素全部是0，即（A B）=（A O）。利用初等行变换将（A O）化成行简化阶梯形矩阵所得一般解，与利用初等行变换将系数矩阵A化成行简化阶梯形矩阵所得一般解，结果一样。因此，解齐次线性方程组时，只要将系数矩阵A化成行简化阶梯形矩阵，即可得到一般解。
综上所述，用消元法解线性方程组AX=B（或AX=O）的具体步骤为：
首先写出增广矩阵（A B）（或系数矩阵A），并用初等行变换将其化成阶梯形矩阵；然后判断方程组是否有解；在有解的情况下，继续用初等行变换将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再写出方程组的一般解。
本节小结：本节主要讲了用高斯消元法解线性方程组，要求同学们熟练应用，并掌握简化阶梯形矩阵的概念，以使求解更方便、更简化。
课堂练习： 1、2
课后作业： 2
9.2 线性方程组解的情况判定教学内容：线性方程组的情况判定教学目标：让学生掌握线性方程组的情况判定（定理9.2）
教学重点：线性方程组的情况判定定理教学过程：
上节回顾及新课导入：
前面介绍了用消元法解线性方程组的方法，通过例题可知，线性方程组解的情况有三种：无穷多解、唯一解和无解。归纳求解过程，实际上就是对方程组（9.1.1）的增广矩阵
（A B）=
进行初等行变换，将其化成如下形式的阶梯形矩阵：
（9.2.1）
其中，或
由定理9.1可知，阶梯形矩阵(9.2.1)和(9.2.2)所表示的方程组与方程组（9.1.1）是同解方程组，于是由矩阵(9.2.1)和(9.2.2)可得方程组(9.1.1)的解的结论：
1、当时，阶梯形矩阵(9.2.1)和(9.2.2)所表示的方程组中的第r+1个方程“0=”是一个矛盾方程，因此，方程组(9.1.1)无解。
2、当时，方程组(9.1.1)有解，并且解有两种情况：
如果r=n，则阶梯形矩阵(9.2.1)表示的方程组为
用回代的方法，自下而上依次求出的值。因此，方程组(9.1.1)有唯一解。
如果r<n，则阶梯形矩阵（9.2.1）表示的方程组为
将后n-r个未知量项移至等号的右端，得
其中为自由未知量。由于自由未知量可以任意取值，因此，方程组(9.1.1)有无穷多解。
综上所述，方程组(9.1.1)是否有解，关键在于增广矩阵（A B）化成阶梯形矩阵后非零行的行数与系数矩阵A化成阶梯形矩阵后非零行的行数是否相等。由矩阵的秩的定义可知，一个矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵后，其非零行的行数就是该矩阵的秩，因此，线性方程组是否有解，就可以用其系数矩阵和增广矩阵的秩来描述了。
线性方程组有解判别定理：
定理9.2（线性方程组有解判别定理） 线性方程组(9.1.1)有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即
r(A)=r(A B)
推论1 线性方程组（9.1.1）有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A B)=n
推论2 线性方程组(9.1.1)有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r(A B)<n
将上述结论应用到齐次线性方程组（9.1.2）上，则总有r(A)=r(A B)。因此齐次线性方程组一定有解。并且有推论3 齐次线性方程组(9.1.2)只有零解的充分必要条件是r(A)=n
推论4 齐次线性方程组(9.1.2)有非零解的充分必要条件是r(A)<n
特别地，当齐次线性方程组(9.1.2)中，方程个数少于未知量个数（m<n）时，必有r(A)<n。这时方程组（9.1.2）一定有非零解。
例题讲解：
例1、判别下列方程组是否有解？若有解，是有唯一解还是有无穷多解？
（1）
（2） （3）
解 （1）用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
（A B）=
因为r(A B)=4，r(A)=3，两者不等，所以方程组无解。
（2）用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
（A B）=
因为r(A B)=r(A)=2<n(=3)，所以方程组有无穷多解。
（3）用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
（A B）=
因为r(A B)=r(A)=3=n，所以方程组有唯一解。
例2、判别下列齐次方程组是否有非零解？
解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即
A=
因为r(A)=4=n，所以齐次方程组只有零解。
例3、问a、b取何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷多解？
解 由
（A B）=
可知，当a=5而时，r(A)=2，r(A B)=3，故方程组无解；
当时，r(A)=r(A B)=3，故方程组有唯一解；
当a=5而b=-3时，r(A)=r(A B)=2，故方程组有无穷多解。
例4、已知总成本y是产量x的二次函数
根据统计资料，产量与总成本之间有如表9—1所示的数据，求总成本函数中的a，b，c
表9—1 某厂阶段产量与总成本统计表时 期
第1期
第2期
第3期
产量x（千台）
6
10
20
总成本y（万元）
104
160
370
解 将代入已知二次函数模型中，得方程组
利用初等变换其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，再求解
（A B）=
方程组的解为：a=50，b=6，c=0.5。因此总成本函数为
本节小结：本节主要要掌握定理9.2(线性方程组有解判别定理)
课堂练习： 3、4 六、作业： 5、6、7
9.3 n维向量及其相关性教学内容：n维向量及其相关性教学目标：让学生掌握n维向量的定义、向量组线性相关及无关的定义教学重点：n维向量的定义、向量组线性相关及无关的定义及应用教学难点：n维向量组的相关及无关教学过程：
上节回顾及新课的导入：
用消元法可以解决线性方程组的求解问题。但为了对方程组的内在联系和解的结构等问题做进一步的讨论，我们引进n维向量以及与之有关的一些概念，这些概念也是深入学习线性代数的重要基础。
n维向量的定义：
在实际问题中有许多研究的对象要用n元有序数组来表示。如总结某个五年计划各年某产品产量的数据资料，分析某年各月利润总额的变动资料等，就分别要用到5元有序数组和12元有序数组。
n元线性方程，可以用一个n+1元有序数组
（
表示，n元线线性性方程组的一个解也可以用n元有序数组表示。
定义9.2 由n个数组成的n元有序数组
称为一个n维向量。记作。其中称为n维向量的第个分量。
向量一般用小写希腊字母等表示。
向量有时也以下面的形式给出：
一般的称为列向量，为行向量。
一个矩阵
中的每一列都是由三个有序数组成的，因此都可以以看作三维向量，我们把这四个三维向量 ，，，
称为矩阵A的列向量。同样A中的每一行都是由四个有序数组成的，因此亦都可以看作四维向量，我们把这三个四维向量。
2 1 3），（1 3 -4 4），（2 5 -3 7）
称为矩阵A的行向量。
由此可知，n维向量和矩阵（即列矩阵）是本质相同的两个概念。所以，在n维向量之间，我们规定n维向量相等、相加、数乘与列矩阵之间的相等、相加、数乘都是对应相同的。
n维向量的线性关系：
对于线性方程组
（9.3.2）
如果我们用向量的概念、向量的相等以及运算关系，可以把方程组（9.3.2）写成
（9.3.3）
于是线性方程组的求解问题就可以看成是求一组数，使等号右端的常数向量与等号左端的系数矩阵的列向量之间有(9.3.3)式的那种关系。
另一方面，我们用消元法解方程组(9.3.2)，就是要把它的增广矩阵化为阶梯形矩阵
这样做的目的之一就是把能化为零的行尽量化为零行，上面阶梯形矩阵中的第三行为零行，其实质就在于增广矩阵的第三行的行向量与前两行的行向量之间存在着以下关系 （2 5 -3 7）=（1 2 1 3）+（1 3 -4 4） （9.3.4）
由（9.3.3）式和(9.3.4)式可知，研究一个向量与另外一个向量之间是否存在这样或那样的关系是重要的。
1、定义9.3 设为m个n维向量，若有m个数，使得
= （9.3.5）
则称为的线性组合，或者称由线性表出。
二维向量组，称为二维（基本）单位向量组。任意一个二维向量都可以由，线性表出：
向量不是向量和的线性组合，因为对于任意的一组数
例3、n维零向量O=是任一n维向量组的线性组合，因为，取，则有 O=
例4、向量组中的任一向量都能由这个向量组线性表出,=
如果用列向量分别把线性方程组(9.3.2)的系数矩阵第列和常数项表示为
，，，
那么那么方程组(9.3.2)可以用向量形式表示为
若方程组（9.3.2）有解，则有
即向量可以由向量线性表出。反之，若存在数使得上式成立，则就是方程组(9.3.2)的一组解。
显然，上述分析完全适用于一般情形。因此有下述定理：
定理9.3 向量可以由向量组线性表出的充分必要条件是以为系数列向量、以为常数项向量的线性方程组有解。
例5、设，，，，判断向量能否由向量线性表出，若能够，写出它的一种表达式。
解 设，由此可得以为未知量的线性方程组
解此线性方程组，因为
显然方程组有解，即，所以
2、定义9.4 设为m个n维向量，若有不全为零的m个数，使得 =0 (9.3.6)
成立，则称向量组线性相关；否则，称向量组线性无关。也就是说，若仅当都等于零时，才能使(9.3.6)成立，则线性无关。
例6、证明向量组0，是线性相关的。
证 因为 1·0+0
其中系数1，0，0，0不全为零，所以0，是线性相关的。
例7、证明单位向量组，，，是线性无关的。
证 设O，即
（1 0 0 0）+（0 1 0 0）+（0 0 1 0）+（0 0 0 1）=O
由上式得唯一解根据定义9.3，线性无关。
可以证明，n维向量组是线性无关的，其中表示第个分量为1，其余分量为0的向量，我们称为n维单位向量组。
如果把定义9.4中的(9.3.6)式视为以为系数列向量、以为未知量的齐次线性方程组，那么由定义9.4可得定理9.4 关于向量组，若齐次线性方程组
=0 (9.3.7)
有非零解，则向量组线性相关；若齐次线性方程组（9.3.7）只有唯一的零解，则向量组线性无关。
例8、证明：若向量组线性无关，则向量组也线性无关。
证 设有数，使得
O
即 O
因为线性无关，所以
由于齐次线性方程组的系数行列式
因此，该齐次线性方程组只有零解，即向量组线性无关。
由定理9.4和9.2节中定理9.2的推论4，可得定理9.5 关于列（行）向量组，设矩阵
A=（）或A=（
若r(A)<m，则向量组线性相关；若r(A)=m，则向量组线性无关。
推论1 任意n+1个n维向量一定线性相关。
例9、判断下列向量组的相关性：
（1）=（1 –1 2） =（0 2 1） =（1 1 1）
（2）=（1 0 –1 2） =（-1 –1 2 –4） =（2 3 –5 10）
（3）=（1 3 2） =（-1 2 1） =（6 –5 4） =（8 7 –6）
解 （1）因为
r(A)=3=m，所以向量组线性无关。
（2）因为
r(B)=2<m，所以向量组线性相关。
由推论1知道，四个三维向量一定是线性相关的。
定理9.6 向量组线性相关的充分必要条件是：其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。
证明 必要性 若向量组线性相关，则存在不全为零的数，使得
=0
不妨设，则由上式可得
这说明向量可以由其余向量线性表出。
充分性 不妨设可以由其余向量线性表出，即存在，使得
=
移项得 -=0
因为系数，-1中至少有一个，所以向量组线性相关。
推论2 向量组线性无关的充分必要条件是：其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。
例10、证明：若一个向量组中的部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。
证 不妨设向量组中的部分向量线性相关，则存在不全为零的数，使得
0
从而有 0
其中不全为零，所以整个向量组线性相关。
由例10可以得到如下结论：
若一个向量组线性无关，则它的任意一个部分向量组也线性无关。
例11、设向量组线性无关，而向量组，线性相关，证明一定可以由线性表出。
证 因为向量组，线性相关，所以存在不全为零的数和，使得 +=0
若=0，则上式成为 =0
而不全为零，得线性相关，与条件矛盾。因此，于是 =
即可以由线性表出。
本节小结：本节内容虽长，但重点要掌握的只有n维向量的定义及n维向量组的线性相关与无关，掌握并理解定义是最主要的。一切实用皆源于最本质的含义。
课堂练习： 8、9、10、11、12
课后作业： 13、15
9.4 向量组的秩教学内容：向量组的秩教学目标：让学生掌握极大无关组的概念、向量组秩的概念及会求一个向量组的秩教学重点：极大无关组、向量组的秩的概念，求向量组的秩教学过程：
一、新课导入：对任意给定的一个n维向量组，在讨论其线性问题时，如何找出尽可能少的量去表示全体向量组呢？这就是本节要解决的问题。
二、极大无关组：
定义9.5 若向量组中的部分向量组满足：
（1）线性无关；
（2）向量组中的任意一个向量都可以由线性表出。
例1、设向量组，，，可以验证 向量组线性相关，但其中部分向量组线性无关，而且都可以由线性表出：
，，
所以为的一个极大无关组。
同样可以验证部分向量组也是的一个极大无关组。
特别地，若向量组本身线性无关，则该向量组就是极大无关组。例如n维单位向量是极大无关组。
一般地，向量组的极大无关组可能不止一个，但它们的共性是：极大无关组所含向量的个数却是相同的，我们表述成如下的定理。
定理9.7 向量组中若有多个极大无关组，则它们所含向量的个数是相同的。
三、向量组秩的概念：
定义9.6 向量组的极大无关组所含有向量的个数称为向量组的秩，记作 r()
如例1中的向量组的秩为r(=2，n维单位向量组的秩为r()=n
若一个向量组只含零向量，则规定它的秩为零。
若一个向量组线性无关，则 r（）=m；反之，若向量组的r（）=m，则一定线性无关。
对于一个向量组，如何求它的秩和极大无关组呢？
例2、对于构成下三角矩阵
的n个列向量所构成的向量组。因为r(A)=n，所以这n个列向量是线性无关的，故这个向量组的秩也为n。
对于构成阶梯形矩阵
的五个列向量，因为主元所在的第一、三、四列的列向量组是线性无关的，而若再加一个列向量就是线性相关的，所以这五个列向量构成的向量组的秩为3，极大无关组就是主元所在列的列向量组。
例3的结论对于一般的阶梯形矩阵都成立，即阶梯形矩阵的列向量组的秩等于非零行的行数，等于矩阵的秩，而主元所在列的列向量就构成极大无关组。
定理9.8 列向量组通过初等行变换不改变线性相关性。
因此，当矩阵不是阶梯形矩阵时，我们可以通过初等行变换将其化为阶梯形矩阵，再求出列向量组的秩和极大无关组，另外，由矩阵与向量组之间的关系可知，矩阵的秩就是列向量组中极大无关组的向量个数，又因为的列向量组就是A的行向量组，所以A的行向量组的秩就是的列向量组的秩，由定理9.8知，其又等于的秩，而的秩等于矩阵A的秩。
定理9.9 矩阵A的秩=矩阵A列向量组的秩=矩阵A的行向量组的秩总而言之，求一向量组的秩和极大无关组，可以把这些向量作为矩阵的列构成一个矩阵，用初等行变换将其化为阶梯形矩阵，则非零行的个数就是向量组的秩，主元所在列对应的原来向量组就是极大无关组。
设向量组
求向量组的秩及其一个极大无关组。
解 作矩阵A=（，用初等行变换把A化为阶梯形矩阵，即
所以r(=3，且为其中的一个极大无关组。
设向量组
求向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表出。
解法一 把向量看作一个矩阵A的列向量组，再用初等行变换把A化为阶梯形矩阵，即
由上面最后一个行简化阶梯形矩阵可知，向量组就是原向量组的一个极大无关组，且
解法二 把向量看作一个矩阵A的行向量组，再用初等行变换把A化为阶梯形矩阵，即
所以r(=3。由阶梯形矩阵的最后一行，得：
0
由此可得。即向量组就是原向量组的一个极大无关组。
四、本节小结：本节主要讲了极大无关组及向量组秩的概念，并用初等行变换求向量组的秩，要求会运用。
五、课后作业：仔细阅读课本。
9.5.1 齐次线性方程组解的结构教学内容：齐次线性方程组解的结构教学目标：让学生掌握齐次线性方程组解的结构表述教学重点：求齐次线性方程组的基础解系教学过程：
齐次线性方程组的解的性质：
齐次线性方程组
（9.5.1）
的矩阵形式为 AX=O
齐次线性方程组的解有以下两个性质：
性质1 若是齐次线性方程组AX=O的任意两个解，则也是AX=O的解。
证 因为是方程组AX=O的两个解，故有
AO A=O
A（）=A=O
所以是AX=O的解。
性质2 若是齐次线性方程组AX=O的一个解，则也是AX=O的解，其中是任意常数。
证 因为是方程组AX=O的解，故有
A（）=O
所以，是AX=O的解。
由性质1、2可知，齐次线性方程组AX=O解的线性组合也是它的解，即当是AX=O的s个解时，那么也是AX=O的解，其中是任意常数。
由此可知，若齐次线性方程组AX=O有非零解，则它就有无穷多个解，并且当我们能找出AX=O的有限几个线性无关的解向量，使得AX=O的每一个解都能由线性表出，那么齐次线性方程组AX=O的全部解就是 (9.5.3)
其中是任意常数。
齐次线性方程组的基础解系：
定义9.7 若齐次线性方程组AX=O的解向量满足：
（1）线性无关；
（2）AX=O的每一个解都能由线性表出，则把称为方程组AX=O的一个基础解系。
由定义9.6可知，方程组AX=O的基础解系就是其全部解向量的一个极大无关组。
当方程组AX=O的系数矩阵的秩r(A)=n（未知量个数）时，方程组只有零解，因此方程组不存在基础解系。而当r(A)<n时，有下列定理：
定理9.10 若齐次线性方程组AX=O的系数矩阵的秩r(A)=r<n，则方程组一定有基础解系，并且它的基础解系中解向量的个数为n-r
设齐次线性线性方程组
因为方程组的方程个数m=4，未知量n=5，m<n，所以方程组有非零解。为了求出方程组的基础解系，我们首先要找出方程组的一般解。因此先把方程组系数矩阵化为行简化阶梯形矩阵，即
方程组的一般解为
其中为自由未知量然后找出方程组的有限个线性无关解向量，令自由未知量分别取值。可以证明这样得到的两个解
它们不仅是线性无关的，而且方程组的每个解都能由线性表出，因此就是方程组的一个基础解系。
因为这个基础解系中含有2个解向量，另一方面方程组的自由未知量也有2个，而且自由未知量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩，所以齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数等于未知量的个数减去系数矩阵的秩。
求齐次线性方程组基础解系的一般步骤：
（1）把齐次线性方程组的系数矩阵A通过初等行变换化为行简化阶梯形矩阵；
（2）把行简化阶梯形矩阵中非主元列所对应的未知量作为自由未知量，写出方程组的一般解；
（3）用分别令自由未知量中的一个为1其余全部为0的办法，求出n-r个解向量，这n-r个解向量构成一个基础解系。
求齐次线性方程组：
的基础解系和全部解。
解 因为
方程组的一般解为
其中为自由未知量。
令，得
令，得
令，得
所以方程组的基础解系为，而全部解为
其中是任意常数。
本节小结：本节主要要掌握齐次线性方程组解的结构，会求一个齐次线性方程组的一般解和全部解。
课堂练习： 17、（1）（2）
课后作业： 17、（3）（4）
备注
9.5.2 非齐次线性方程组解的结构教学内容：非齐次线性方程组解的结构教学目标：让学生在掌握齐次线性方程组解的结构上，掌握非齐次线性方程组解的结构，会求非齐次线性方程组的一般解及全部解。
教学重点,非齐次线性方程组的一般解及全部解教学过程：
非齐次线性方程组的导出组：
非齐次线性方程组
（9.5.4）
的矩阵形式为 AX=B (9.5.5)
令B=O，得到的齐次线性方程组AX=O，称为非齐次线性方程组(9.5.4)的导出组。
方程组AX=B的解与它的导出组AX=O的解之间有着密切的联系，它们满足以下两个性质：
性质1 若是非齐次线性方程组AX=B的任意两个解，则是其导出组AX=O的一个解。
证 因为是方程组AX=B的两个解，故有
所以是AX=O的解。
性质2 若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，是其导出组AX=O的一个解，则是方程组AX=B的一个解。
证 因为是方程组AX=B的解，是其导出组AX=O的解，故有
A=B,A=O
A（）=A+A=B
所以是方程组AX=B的解。
非齐次线性方程组解的结构：
定理9.11 设是非齐次线性方程组AX=B的一个解，则方程组AX=B的任一解X可以表示成与其导出组AX=O的某个解之和：
X=+ （9.5.6）
证 把X表示为 X=+（X-）
令=（X-），由性质1可知为导出组AX=O的解。
根据定理9.11，对于非齐次线性方程组AX=B的解可以得到下面两个结论：
（1）若非齐次线性方程组AX=B有解，则只需要求出它的一个解（称为特解），并求出其导出组AX=O的一个基础解系，于是方程组AX=B的全部解可以表示为
X=+ （9.5.7）
其中是任意常数。
（2）若非齐次线性方程组AX=B有解，且它的导出组AX=O只有零解，方程组AX=B只有一个解；若其导出组AX=O有无穷多解，则方程组AX=B也有无穷多解。
求下列线性方程组的全部解
解 利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即
方程组的一般解为
其中是自由未知量令，得方程组的一个特解
方程组的导出组的一般解为
其中是自由未知量令，得导出组的解向量
令，得导出组的解向量
所以方程组的全部解为
X==++
其中是任意常数。
设非齐次线性方程组为
问a,b取何值时，方程组无解？有解？有解时求出其解。
解 对方程组的增广矩阵作初等行变换
（A B）=
（1）若 （A B）=
若，，则r(A)=r[(A B)]=3=n，故方程组有唯一解，且解为
,,
若，a=1且4b-2ab-1=0，即a=1，时，方程组有无穷多解，由
按照例3的步骤求得方程组的全部解为
其中是任意常数。
若，a=1但，即a=1，，时，因为r(A)=2，
r[(A B)]=3，所以方程组无解。
（2）若b=0，原方程组中的第二、三两个方程是矛盾方程，所以方程组无解。
本节小结：本节在上节的基础上，掌握非齐次线性方程组解的结构，会求其一般解及全部解。
课堂练习： 18
课后作业： 19
9.6 投入产出模型简介教学内容：投入产出模型简介教学目标：让学生利用所学知识去解决经济生活中的关于投入产出方面的问题教学重点：求直接消耗系数、平衡方程组的解、完全消耗系数及投入产出表的编制教学过程：
一、新课导入：前面我们学习了线性代数的基础知识，线性代数在经济管理和经济分析中有着广泛的应用。本节将简单介绍线性代数在投入产出模型中的应用。
二、投入产出模型：
实例：
假设一个经济系统是由n个产业部门组成的，将这n个产业部门以及它们之间的数量依存关系（报告期的统计数据）按一定顺序排列在一张表内，称为投入产出表。如下表，如果这些统计数据是以货币为统一价值单位，则编制投入产出表称为价值型投入产出表。
投入产出表
中 间 产 品
最 终 产 品
总 产 出
1 2 … n
中间投入
初 始 投 入
总 投 入
上表中表示第部门在生产过程中消耗第部门中间投入数量或第部门分配给第部门的中间产品数量，也称为部门间的流量；表示第个部门的总产出或总投入；表示第个部门可供社会消费和使用的最终产品数量；表示第部门的初始投入，初始投入是指各部门固定资产和劳动投入的数量。
上表中水平方向反映各部门产品按经济用途的使用情况。前?n行组成了一个横向长方形表,其中每一行都表示一个等式，即
(9.6.1)
称(9.6.1)式为分配平衡方程组.
上表的垂直方向反映各部门产品的价值构成，在表中前n?列组成了一个竖向长方形表,其中每一列都表示一个等式，即
(9.6.2)
称(9.6.2)式为消耗平衡方程组。
在利用数学方法研究经济问题中投入与产出关系时，一般把所研究的某一经济系统中各部门之间的数量依存关系反映在投入产出表中，并将这种关系用数学式子(即建立它们的数学模型)表示出来.从它们的数学模型来看，是研究某一经济系统中各部门之间的投入与产出关系的一种线性模型。我们将能够反映一个经济系统中各部门之间数量依存关系的投入产出表以及由此得到的平衡方程组统称为投入产出模型。
三、直接消耗系数定义9.8 第部门生产单位产品直接消耗第部门的产品量，称为第部门对第部门的直接消耗系数，记作，即
(9.6.3)
各部门之间的直接消耗系数构成的n阶矩阵，称为直接消耗系数矩阵，记作
直接消耗系数充分反映了各部门之间在生产技术上的数量依存关系。
由(9.6.3)式，得
代入分配平衡方程组(9.6.1)，得 (9.6.4)
代入消耗平衡方程组（9.6.2），得 (9.6.5)
分配平衡方程组(9.6.4)和消耗平衡方程组(9.6.5)的矩阵表示分别为
X=AX+Y 或（E-A）X=Y
X=CX+Z 或（E-C）X=Z
其中
例1、设某企业有三个生产部门，该企业在某一生产周期内各部门的生产消耗量和初始投入量如下表所示：
中 间 产 品
最终产品
总产品
1 2 3
中 间投 入
初 始 投 入
总 投 入
求：（1）各部门总产出；（2）各部门最终产品；（3）直接消耗系数矩阵A
解 （1）上表的消耗平衡方程组为
将和的值代入，得
（2）表中的分配平衡方程组为
将和的值代入，得
（3）由直接消耗系数公式和矩阵乘法运算规则，得
=
由直接消耗系数计算公式(9.6.3)可知，直接消耗系数矩阵A具有以下性质：
性质1 所有元素均非负，且
性质2 各列元素的绝对值之和均小于1，即
根据这两条性质，可以证明以下结论：
投入产出模型中的矩阵（E-A）和（E-C）都是可逆矩阵。
四、平衡方程组的解：
消耗平衡方程组的解消耗平衡方程组
若直接消耗系数是已知的数值，则
那么上式中的两组未知量中，只需知道其中一组数值就可求出另一组未知量的数值。
（1）若已知的数值，则求值的公式为
=
或表示成矩阵运算公式 Z=（E-C）X
（2）若已知的数值，则求值的公式为
=
成表示成矩阵运算公式
分配平衡方程组的解分配平衡方程组
若直接消耗系数是已知数值，则它就是一个线性方程组，用矩阵表示为
（E-A）X=Y
若已知的数值，则求值的矩阵运算公式为
Y=（E-A）X
（2）若已知的数值，由于矩阵（E-A）可逆，那么求值的矩阵运算公式为
X=
例2、由建筑队、电气队、机械队组成一个施工公司，他们商定在某一时期内互相提供服务，建筑队每单位产值分别需要电气队、机械队的0.1，0.3单位服务，电气队每单位产值分别需要建筑队、机械队的0.2?,0.4单位服务，机械队每单位产值分别需要建筑队、电气队的0.3，0.4单位服务。又知在该时期内，他们都对外服务，创造的产值分别为建筑队500万元，电气队700万元，机械队600万元。
问这一时期内，每个个工程队创造的总产出是多少？
求各工程队之间的中间投入和初始投入
解 （1）因为直接消耗系数矩阵和最终产品矩阵为
,
其分配平衡方程组为
用初等行变换将其增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，得
（A B）=
所以每个个工程队创造的总产出分别为=1256.49（万元），=1448.16（万元），=1556.20（万元）
（2）由直接消耗系数公式和矩阵乘法运算规则可知，各工程队之间的中间投入矩阵为
=
由消耗平衡方程组得
故各工程队的初始投入为（万元），（万元），
（万元）
五、完全消耗系数：
定义9.8 第部门生产单位产品时对第部门产品量的直接消耗和间接消耗之和，称为第部门对第部门的完全消耗系数，记作，即
（9.6.6）
其中表示间接消耗的总和。
各部门之间的完全消耗系数构成的n阶矩阵，称为完全消耗系数矩阵，记作
B=
公式(9.6.6)的矩阵表示为B=A+BA，利用矩阵运算
得到完全消耗系数矩阵的计算公式。
直接消耗系数仅仅反映了各部门之间产品的直接消耗关系，而完全消耗系数却能更深刻、更本质、更全面地反映各部门之间相互依存、相互制约的关系，它从最终产品和总产出的关系上阐明了经济活动规律，它准确、完全地反映了提供单位产品将对各部门产品的完全消耗量的需求，这对于最终产品确定之后，预测各部门的总产出是非常有用的。
已知某一经济系统的直接消耗系数矩阵
试求该系统的完全消耗系数矩阵B
解 因为，且
利用初等行变换求逆矩阵，即
（E-A E）=
所以
从前面的内容已经知道，直接消耗系数是对总产品而言的，完全消耗系数是对最终产品而言的，那么总产品与最终产品之间的关系是怎样的呢？由公式(9.6.7)，得
那么分配平衡方程组的解
上式说明，为了得到最终产品Y，要求各部门必须生产X=BY+EY的产品总量，只有当各部门生产的产品量达到这些数量，并去掉生产过程中的各种消耗后，才能得到各部门所需要的最终产品。
已知某一经济系统的完全消耗矩阵B和最终产品矩阵Y如下：
,
试求该系统的总产出矩阵X
解 因为
所以
六、投入产出表的编制：
投入产出模型在经济工作中的主要应用之一是为计划服务，它是加强综合平衡改进计划管理的重要工具之一。在利用投入产出模型编制计划以前，首先要确定计划期的直接消耗。一般是利用已有的统计资料编制报告期的投入产出表，然后求出其直接消耗系数和初始投入系数，利用已经求得的直接消耗系数和初始投入系数，结合计划期内的最终产品量，编制各部门的计划方案。
设某一经济系统报告期的直接消耗系数和初始投入系数分别为
如果其计划期的最终产品为Y=，那么计划期的投入产出表应如何编制呢？
解 因为
利用伴随矩阵求得
已知计划的最终产品为 ，那么
再利用公式，求出计划期各部门之间的中间产品，即
最后，分别用总产出去乘初始投入系数，求出计划期各部门的初始投入，即
,,
利用上述计算的结果，编制计划的投入产出表，见下表
某经济系统计划期投入产出表 （单位：亿元）
中 间 产 品
最终产品
总 产 品
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
中间投入
Ⅰ
335.8
343.4
0
1000
1679
Ⅱ
335.8
1030.2
568.2
1500
3434
Ⅲ
0
515.1
378.8
1000
1894
初 始 投 入
1007.4
1545.3
947
总 投 入
1679
3434
1894
利用投入产出方法制定计划方案的方法比较多，例5介绍的方法是一种最简单、方便的方法，这种方法归纳为以下几步：
决定计划期的最终产品量Y；
利用报告期的直接消耗系数矩阵A，求出逆矩阵，并利用公式
求出计划期的总产出量X；
3、利用公式
求出计划期各部门之间的中间产品；
4、利用公式
求出计划期各部门的初始投入；
5、根据上述结果，编制计划期的计划方案明细表（即投入产出表）
七、本节小结：本节主要讲了投入产出模型的定义，两类平衡方程组的三种表示，直接消耗系数和完全消耗系数的概念，以及投入产出表的编制，最后一点是重点要掌握的内容。
课堂练习： 20、21
课后作业： 22
备注
