第4章 不定积分
§4.1 不定积分的概念教学内容：原函数与不定积分的概念教学目标：理解原函数与不定积分的概念教学要点：
重点：原函数与不定积分的概念难点：不定积分的概念教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在第2章，我们学习了如何求一个函数的导函数或微分的问题。在本章，我们将讨论它的反问题：已知某个函数的导函数，求，使得。这是积分学的基本问题之一。在科学技术和经济管理的许多理论和应用问题中也经常需要解决这类问题。
② 讲授新课：
4.1 原函数定义4.1 设是定义在区间(a,b)内的已知函数。如果存在函数，使对于(x∈(a,b)，都有
或 ，
则称是在(a,b)上的一个原函数。
例1 设函数，x∈(-∞,∞)。由于函数满足，所以是的一个原函数。不难看出，，（为任意常数）都是的原函数。
由此例可以看出：如果函数有一个原函数，则就有无穷多个原函数，而这些原函数之间仅差一个常数。实际上，如果是的一个原函数，则
（为任意常数）。
所以也是的原函数。
另一方面，如果和都是的原函数，即
，
则由Lagrange中值定理的推论可知，和仅差一常数，即存在常数，使得
。
一般，如果是的一个原函数，则的全部原函数就是（为任意常数）。
4.1.2 不定积分定义4.2 函数的全部原函数，称为的不定积分，记作
。
其中“∫”称为积分号，x称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式。
由定义4.2可知：如果是的一个原函数，则
,（为任意常数）。
其中称为积分常数。因此，求函数的不定积分，只需求出的一个原函数再加上积分常数。
例2 求函数的不定积分。
解 因为(或)，所以
(为任意常数)
例3 求函数的不定积分。
解 当时，。所以
当时，。所以
这两种情形可以合并写成
可以证明：如果被积函数在某区间上连续，则在此区间上一定有原函数。由于初等函数在其定义区间内必连续，所以初等函数在其定义区间内都有原函数。
4.1.3 不定积分的几何意义如果是的一个原函数，则的不定积分对于每一个给定的常数，表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为的一条积分曲线。由于可以取任意值，因此不定积分表示的一族积分曲线，而其中任意一条积分曲线都可以由曲线沿轴方向上、下平移得到。或者说，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线的切线都是互相平行的。
例4 设曲线过点，并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。
解 设所求曲线方程为。由题设条件，过曲线上任意一点的切线斜率为
所以，是的一个原函数，因为
故。又曲线过点，有
，即
于是所求曲线方程为
③ 巩固练习：Ex4 Q1~2
④ 课节小结：设函数是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数，对于该区间上每一点都有或，则称是在该区间上的一个原函数。
的不定积分是的全部原函数。即
⑤ 课后作业：
§4.2 不定积分的性质和基本积分公式教学内容：不定积分的性质和基本积分公式教学目标：掌握不定积分的性质和基本积分公式教学要点：
重点：不定积分的性质和基本积分公式难点：基本积分公式和直接积分法教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
② 讲授新课：
4.2.1 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以直接得不定积分的下列性质：
性质1 不定积分与求导数或微分互为逆运算。
⑴ 或 。
⑵ 或 。
即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）；一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个常数。
性质2 被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前。
（，常数）。
性质3 两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和。
。
这一结论可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形，即
。
4.2.2 基本积分表由于不定积分是求导数（或微分）的逆运算，所以根据导数基本公式就得到对应的积分公式。
基本积分表 导数公式
1． （为常数）； ；
2．； ；
3．； ；
4．； ；
5．； ；
6．； ；
7．； ；
8．； ；
9．； ；
10．； ；
11．； ；
上面的11个基本积分公式是计算不定积分的基础，必须熟记。利用基本积分表和不定积分的性质，可以直接计算一些较简单的不定积分，这种方法一般称之为直接积分法。
例1 求。
例2 求。
例3 求。
例4 求。
例5 求。
注意：当不定积分不能直接应用积分表和不定积分的性质进行计算时，需先将被积函数化简或变形再进行计算。计算的结果是否正确，只需对结果求导，看其导数是否等于被积函数。
③ 巩固练习：Ex4 Q3单号题
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex4 Q3双号题
§4.3 换元积分法教学内容：不定积分的换元积分法教学目标：掌握不定积分的换元积分法教学要点：
重点：不定积分的换元积分法难点：不定积分的换元积分法教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在许多情况下，一些简单的不定积分也难以用直接积分法求出。例如，求，等。这节我们将进一步学习换元积分法。
② 讲授新课：
4.3.1 第一类换元法设所求的不定积分可以写成或的形式，则引入新变量，令。上面的不定积分就化为。
如果，和都是连续函数，并且容易求得的一个原函数，则
，
于是
。 (4.3.1)
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1)的正确性。实际上，由
，
可知公式(4.3.1)成立。利用公式(4.3.1)来计算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分法。
例1 求。
例2 求。
注意：在对变量替换比较熟练后，可以不必写出新设的积分变量，而直接凑微分。
例3 求。
例4 求。
例5 求。
例6 求。
例7 求。
例8 求。
为了熟练地掌握求积分的第一类换元法，我们把应用第一类换元法的常见的积分类型总结如下：
1．，
2．，
3．；
4．；
5．，
；
6．，
。
其中，不定积分可由基本积分表直接求出。
4.3.2 第二类换元法如果不定积分不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量，并选择代换，其中可导，且连续，将不定积分化为。
如果容易求得，而的反函数存在且可导，则
，
再将代入上面的，回到原积分变量，有
,(4.3.2)
这类求不定积分的方法，称为第二换元法。不难看出，这一方法是把第一类换元法反过来使用，只是在不同情况下同一公式的两种不同的使用方式。
例9 求。
例10 求。
例11 求。
第二类换元法常常用于被积函数中含有根式的情形，常用的变量替换可总结如下：
1,被积函数为，则令，其中为，的最小公倍数。
2,被积函数为，则令。
3,被积函数为，则令。
4,被积函数为，则令。
5,被积函数为，则令。
在作三角替换时，可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系，以返回原积分变量。
③ 巩固练习：Ex4 Q4
④ 课节小结：
第一换元积分法：设，则
其中可导，连续。
第二换元积分法：设，可导，连续，
⑤ 课后作业：Ex4 Q5
§4.4 分部积分法教学内容：不定积分的分部积分法教学目标：掌握不定积分的分部积分法教学要点：
重点：不定积分的分部积分法难点：不定积分的分部积分法教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
利用换元积分法可以求许多函数的不定积分。然而，还有许多不定积分，如，等都不能利用基本积分表和换元积分法计算。本节将讨论另一个求不定积分的基本方法——分部积分法。
② 讲授新课：
设，具有连续导数。根据乘积的微分公式，即。
对上式两边积分，可得
。 (4.4.1)
(4.4.1)式称为分部积分公式。这一公式说明，如果计算积分较困难，而积分易于计算，则可以使用分部积分法计算。
例1 求。
解 设，，则，。所以
。
例2 求。
解 设，，则，，所以
。
由上两例可以看出，应用分部积分法求积分时，关键在于适当地选取和。和的选取应注意：易于由直接求得，而比易于计算。在初步掌握分部积分法后，可不必明确地设出和，而直接应用公式。在一些较复杂的积分问题中，有可能多次应用分部积分法。
例3 求。
解
在有些积分中，需要多次应用分部积分法。如上例中就两次运用了分部积分法。
例4 求。
解
上式右端第三项恰是所求的不定积分，移项后，有
所以 。
此处应注意移项后，等式的右端已不含积分项，必须加上任意常数，而最后结果中的。同时，在第二次应用分部积分法时，与的选取要与第一次保持一致，否则将回到原积分。
为便于读者掌握分部积分法，下面列出应用分部积分法的常见积分形式及，的选取方法：
1．，，（，）应使用分部积分法计算。一般，设，而被积表达式的其余部分设为。
2．，，（）应利用分部积分法计算。一般，设，被积表达式的其余部分设为。
在前一节和本节所总结的积分方法应灵活运用，切忌死套公式。有的问题往往需换元法与分部积分法兼用才能求得最终结果。
例5 求。
解 先用换元法，设，则，。所以
（用分部积分法）
例6 求。
解 先用换元法，设，则，，。因此，原积分
（用分部积分法）
③ 巩固练习：Ex4 Q6
④ 课节小结：
分部积分列表解法：正负交错，左导右积；相乘求和，最后一积。
⑤ 课后作业：Ex4 Q7
§4.5 微分方程初步教学内容：微分方程的概念，简单的一阶微分方程。
教学目标：了解微分方程的概念，会解简单的一阶微分方程。
教学要点：
重点：微分方程的概念，简单的一阶微分方程。
难点：解简单的一阶微分方程教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在科学技术和经济管理的许多问题中，往往需要求出所涉及的变量间的函数关系，一些较简单的函数关系可以由实际问题的特点直接确定。但是,在一些较复杂的问题中，我们只能确定含有求知函数的导数或微分的方程，通过求解这样的方程确定该函数。这种含有未知函数导数或微分的方程就称为微分方程。微分方程的理论已成为数学学科的一个重要分支。
② 讲授新课：
4.5.1 基本概念定义4.3 含有求知函数的导数或微分的方程，称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。微分方程中出现的求知函数导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶。
本节仅讨论一阶微分方程，其一般形式为
。
定义4.4 如果一个函数代入微分方程后，使得方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解。
一般，如果一阶微分方程的解中含有一个任意常数，则称此解为微分方程的通解，在通解中，如果可确定任意常数的值，所得到的解称为微分方程的特解。为了确定任意常数的值，通常需给出时未知函数对应的值，记作或。这一条件称为初始条件。
4.5.2 可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以化为
(4.5.1)
的形式，则称为可分离变量的微分方程。微分方程(4.5.1)称为变量已分离的微分方程。
对于变量已分离的微分方程(4.5.1)，可直接求得其通解。实际上，在(4.5.1)式两边积分，得
,(4.5.2)
其中是任意常数。(4.5.2)就是微分方程(4.5.1)的通解表达式。应注意，在本节，不定积分，分别表示和的一个原函数，任意常数要单独写出来。
可分离变量的微分方程往往具有
或
的形式。经过代数运算，它们都可以化为(4.5.1)的形式。此外，在求微分方程的通解时，为使通解的形式简单，往往需要根据问题的特点把任意常数写成某种特殊的形式。
例4 设某厂生产某种商品的边际收益函数为，其中为该产品的产出量。如果该产品可在市场上全部售出，求总收益函数。
解 是变量已分离的微分方程。两边积分得
。
当，即产出为零时，应有。由此初始条件可得。所以，总收益函数为
。
例5 随着我国经济的高速增长，环境污染问题已成为大家共同关注的问题。本例说明如何运用微分方程来研究不污染问题。
设某水库的现有库存量为(单位：km3)，水库已被严重污染。经计算，目前污染物总量已达(单位)：吨，且污染物均匀地分散在水中。如果现已不再向水库排污，清水以不变的速度(单位：km3/年)流入，并立即和水库的水相混合，水库的水以同样的速度流出。如果记当前的时刻。
⑴ 求在时刻，水库中残留污染物的数量。
⑵ 问需经多少年才能使水库中污染物的数量降至原来的10%。
解 ⑴ 根据题意，在时刻，的变化率＝－污染物的流出速度。其中负号表示禁止排污后，将随时间逐渐减少。这时，污物的质量浓度为。因为水库的水以速度流出，所以污染物流出速度＝污水流出速度＝。
由此可得微分方程
这是一个可分离变量的微分方程。分离变量得
两边积分，得
即 ，。
由题意，初始条件为，代入上式，得，故微分方程的特解为
⑵ 当污染物降到原来的10%时，有。代入上式得
解得(年)。
例如，当水库的库存量(km3)，流入(出)速度为150(km3/年)时，可得(年)。
4.5.3 一阶线性微分方程未知函数及其导数都是一次的微分方程，称为一阶线性微分方程。一阶线性微分方程的一般形式为
。 (4.5.3)
如果，(4.5.3)式化为
。 (4.5.4)
(4.5.4)式称为一阶线性齐次微分方程。当时，(4.5.3)式称为一阶线性非齐次微分方程。
一阶线性齐次微分方程的通解
(4.5.4)是可分离变量的微分方程。分离变量后，(4.5.4)式化为
。
两边积分，得
，
所以方程(4.5.4)的通解为
。 (4.5.5)
一阶线性非齐次微分方程的通解
(4.5.3)的通解可以利用“常数变易法”得到：首先求得微分方程(4.5.3)对应的一阶线性齐次方程的通解(4.5.5)，然后将(4.5.5)式中的任意常数换为待定的函数。即设方程(4.5.3)的通解为
。 (4.5.6)
因此
。 (4.5.7)
将(4.5.6)式和(4.5.7)式代入(4.5.3)，得
，
即 ，
两边积分，得
，
将上式代入(4.5.6)式，得
。 (4.5.8)
可以验证，(4.5.8)就是非齐次方程(4.5.3)的通解。
例6 求微分方程的通解。
解 此方程为一阶线性非齐次微分方程，先解对应的一阶线性齐次方程
可得其通解为。
利用“常数变易法”，令原方程的通解为
则 。
将和代入原方程，原方程化为
即
所以
于是原方程的通解为
此方程也可以用公式直接求解。
例7 求微分方程的通解。
解法1 此方程是一阶线性齐次微分方程。利用“常数变易法”，先求对应的齐次方程的通解。由
分离变量，得
两边积分，得
因此，对应的齐次方程的通解为
。
令，则。将和代入原方程，得
即
两边积分，得，所以原方程的通解
解法2 用公式(4.5.8)求方程的通解，由于
，
易求
代入公式(4.5.8)，则原方程的通解为
③ 巩固练习：Ex4 Q8~11
④ 课节小结：变量已分离的微分方程一般形式为
两边积分可求得方程的通解。
一阶线性非齐次方程一般形式为
可用常数变易法或公式法求其通解。
⑤ 课后作业：Ex4 Q12~14
第5章 定积分
§5.1 定积分的概念教学内容：定积分的概念，定积分的基本性质。
教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质。
教学要点：
重点：定积分的概念，定积分的基本性质。
难点：定积分的概念教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在科学技术和经济学的许多问题中，经常需要计算某些“和式的极限”。定积分就是从各种计算“和式的极限”问题抽象出的数学概念，它与不定积分是两个不同的数学概念。但是，微积分基本定理则把这两个概念联系起来，解决了积分的计算问题，使定积分得到了广泛的应用。
② 讲授新课：
5.1.1 引例例1 曲边梯形的面积 由区间上的连续曲线 ,轴与直线，所围成的平面图形称为曲边梯形。 （如图）
由于曲边梯形的高在区间 上的变化，故不能利用矩形面积公式直接计算。为了计算曲边梯形的面积，我们设法把区间分划为若干个小区间，在每一小区间上的曲边梯形可近似地看做矩形，矩形的高就取做小区间上某点的函数值。于是，每一小区间上的曲边梯形面积近似地等于该小区间上小矩形的面积。所有这些小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值。如果把无限细分，使每一小区间长度趋于零，这时，所有小矩形面积之和的极限就可定义为该曲边梯形的面积。现将这一过程详述如下：
⑴ 用分点把区间 分成几个小区间：
，，…，，
其中第个小区间长度为。
过每一分点 作轴的垂线，把曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小曲边梯形的面积记为。于是曲边梯形的面积等于。
⑵ 在每一小区间上任取一点，以为底边、为高作小矩形（如图），其面积
。
当很小时，，因此，曲边梯形的面积近似地等于所有小矩形面积之和
。
⑶ 如果分点个数无限增大（即），且趋于零时，的极限就是曲边梯形的面积，即
。
例2 大型企业集团的收益是随时流入的。因此，这一收益可以表示为一个连续的收入流。设为收入流在时刻的变化率（单位：元/年），现需计算从现在到年内的总收入。
在处理这一问题时，考虑到时间因素，就需要计算这一收入的现值。设利息是以连续复利计算，从到年内的利率为，则计算过程如下：
⑴ 用分点把区间划分为个小区间：
，，…，
其中第个小区间长度为
⑵ 当每个都很小时，可以认为收入流的变化率在上的变化不大。所以，任取，则可近似当做上的收入流的变化率。于是在上的收入≈收入流变化率×时间≈
从现在开始，这笔收入是在第年时取得的，因此，需把这笔收入折成现值。所以在上收入的现值≈
记 。并把所有小区间上收入的现值相加，得到从到年该公司总收入现值的近似值：
⑶ 如果分点个数无限增大（即），且趋于零时，和数的极限就是总收入的现值。即
上面的两个例子的实际背景完全不同，但都需求某一和式的极限，处理问题的方法完全一样。由此可一般地讨论这类问题，并得到了定积分的概念。
5.1.2 定积分的概念定义5.1 （微元分析SlowBird）设函数在区间上有定义。用点把区间分成几个小区间：
，，…，，
记。在每一小区间 上任取一点 ，
称为积分和。如果当无限增大，且中最大者（）时，的极限存在，且极限值与的划分方法及点的取法无关，则称函数在区间上可积，此极限值称为函数在区间上的定积分，记作，即
=，
其中称为被积函数，称为积分区间；称为积分下限，称为积分上限，称为积分变量，称为被积表达式。
由定义5.1知曲边梯形AabB的面积S是曲边方程y=f(x)在区间[a,b]上的定积分，即
S=。
对于定积分的概念，应注意以下几点：
⑴ 函数在区间上的定积分是积分和的极限，如果这一极限存在，则它是一个确定的常量。它只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量使用字母的选取无关。
=。 (5.1.1)
⑵ 在定积分的定义中，总是假设，如果，我们规定
=- (5.1.2)
即互换积分的上、下限，定积分要变号。
如果，由(5.1.2)可得
=0。 (5.1.3)
⑶ 可以证明：如果在区间上可积，则在区间上有界，即函数有界是其可积的必要条件。
这一结论也可以叙述为：如果函数在区间上无界，则在上不可积。
（SlowBird注：可积必有界，无界不可积。）
5.1.3 定积分的性质由定积分的定义，可以直接推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的。
性质1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即
=-k。
性质2 两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即
=±，
这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情况。
性质3 对任意的点，有
=+。
这一性质称为定积分的可加性，应注意，的任意性意味着不论还是，这一性质均成立。
性质4 如果在区间上，恒有，则
≤。
性质5 如果被积函数，则
。
性质6 如果函数在上有最大值和最小值，则
。
性质7（积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在内至少有一点，使得
，。 (5.1.4)
这一性质的几何意义是：由曲线，轴和直线，所围成的曲边梯形面积等于区间上某个矩形的面积，这个矩形的底是区间，其高为区间内某一点处的函数值。
由(5.1.4)式得到的
，
称为函数在区间上的平均值。
③ 巩固练习：Ex5 Q1
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex5 Q2
§5.2 微积分基本性质教学内容：变上限定积分的概念及其导数计算，Newton-Leibniz公式教学目标：掌握变上限定积分的概念及其导数计算，熟练运用Newton-Leibniz公式计算定积分。
教学要点：
重点：变上限定积分的概念及其导数计算，Newton-Leibniz公式难点：变上限定积分的概念及其导数计算教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
如果函数在区间上可积，利用定积分的定义来计算是十分繁重的工作。由Newton和Leibniz提出的微积分基本定理则把定积分与不定积分两个不同的概念联系起来，解决了定积分的计算问题。
② 讲授新课：
5.2.1 变上限定积分设函数在区间上连续，对于任意的，在区间上也连续，所以在区间上也可积。定积分的值依赖上限，因此它是定义在上的的函数。记
，，
则称为变上限定积分。
定理5.1 如果函数在区间上连续，则
以x为积分上限的定积分，的导数等于被积函数在积分上限处的值。即
。 (5.2.1)
证 根据导数的定义
。 (5.2.2)
而
=
=
=
= （积分中值定理）。
把上述结果代入(5.2.2)式，并注意到时，，得
由定理5.1可知：如果函数在区间上连续，则函数就是在区间上的一个原函数。定理5.1不仅在证明微积分基本定理时有重要作用，在讨论函数本身的性质时，也有重要作用。
例1 计算。
解 。
例2 求。
解 当时，此极限为型不定式，利用L’Hospital法则，有
例3 计算。
解 设，则
由此可知，是的复合函数，利用复合函数求导公式得
一般，我们可以证明：如果可导，则
。
在计算有关导数时，可把上述结果作为公式使用。
5.2.2 微积分基本定理定理5.2 设在区间上连续，是的一个原函数，则
。 (5.2.3)
证 由定理5.1，函数是的一个原函数，而函数也是的一个原函数。所以与在上仅差一个常数，即
。 (5.2.4)
在(5.2.4)式中令，得 ，
即 ，
故。于是(5.2.4)式化为
。
即 。
在上式中令，则
，
即 。
为了方便，我们通常把记为。所以(5.2.3)又可写成
。
定理5.2通常称为微积分基本定理，公式(5.2.3)称为Newton-Leibniz公式。这一定理揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系。Newton-Leibniz公式则为定积分的计算提供了有效的计算方法。确切地说，要求函数在区间上的定积分，只需求出在区间上的一个原函数，然后计算就可以了，在求函数的原函数时，可直接利用基本积分表。
例4 计算。
例5 计算。
例6 计算。
当被积函数为分段函数或含绝对值符号时，应利用定积分的可加性把积分区间分为若干个子区间。分别在各子区间上求定积分，从而求得原定积分。
应注意，在运用Newton-Leibniz公式时，如果被积函数在积分区间上不满足可积条件，则不能利用该公式。例如，在区间上函数在上不可积，不能用Newton-Leibniz公式计算。对这类积分的深入讨论已超出了本教材的要求。
③ 巩固练习：Ex5 Q5
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：
§5.3 定积分的计算教学内容：定积分的换元积分法和分部积分法教学目标：熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法教学要点：
重点：定积分的换元积分法和分部积分法难点：定积分的换元积分法和分部积分法教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
Newton-Leibniz公式
② 讲授新课：
5.3.1 定积分的换元积分法在第4章，我们学习了用换元积分法求已知函数的原函数。在某些条件下换元积分法也可以用来计算定积分。
定理5.3 设函数在区间上连续，作变换，如果
⑴ 在区间上有连续导数；
⑵ 当在区间上变化时，的值从单调地变到。则
。 (5.3.1)
(5.3.1)式称为定积分的换元公式。
证 因为在区间上连续，所以在上可积。设的一个原函数为，由Newton-Leibniz公式，有
由条件⑴和⑵，函数在区间上可积，其原函数为。这是因为
因此，有
于是，有
在应用定积分的换元法公式(5.3.1)时，应注意：
⑴ 从左到右应用公式(5.3.1)时，相当于不定积分的第二换元法。计算时，用把原积分变量换为新变量，积分限也必须由和换为新变量的积分限和，而不用代回原积分变量。这与不定积分的第二换元法是完全不同的。（SlowBird注：换元必换限）
⑵ 从右到左应用公式(5.3.1)时，相当于不定积分的第一换元法（凑微分法），一般不用设出新的积分变量。这时，原积分的上、下限不需改变。只要求出被积函数的一个原函数，就可直接应用Newton-Leibniz公式求出定积分的值。
例1 计算。
例2 计算。
例3 计算。
例4 设函数在区间上连续，则
⑴ 当为偶函数时，=2
⑵ 当为奇函数时，=0。
证 ⑴ 由定积分的可加性，有
=+。 (5.3.2)
对于等号右端的第一项，令，则。且当时，；当时，。于是，
=-=
所以，(5.3.2)式可化为
=+=2。
⑵ 类似于⑴的证明，请学生自行完成。
本例的结果可以作为定理使用。在计算对称区间上的定积分时，如果能判定被积函数的奇偶性，利用这一结果可使计算简化。
例5 计算。
③ 巩固练习：Ex5 Q6~7
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex5 Q8
§5.3 无限区间上的广义积分教学内容：无限区间上的广义积分教学目标：掌握无限区间上的广义积分的计算方法教学要点：
重点：无限区间上的广义积分难点：无限区间上的广义积分教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在前面各节所讨论的定积分都是可积函数在有限区间上求积分。在概率论和其它一些问题中，经常需要讨论无限区间上的积分。因此，我们将定积分的概念推广到无限区间。这类积分称为无限区间上的广义积分。
② 讲授新课：
定义5.2 设函数在区间上连续，如果
。
存在，则称此极限值为在区间上的广义积分。记作
=。 (5.4.1)
这时也称广义积分存在或收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分发散。
类似地，可以定义函数在和上的广义积分：
= (5.4.2)
=+ (5.4.3)
其中。
在(5.4.2)式中，如果等式右端极限存在，则称广义积分收敛；否则，就称广义积分发散。
在(5.4.3)式中，如果等式右端的两个极限都存在，则称广义积分收敛，否则，称广义积分发散。
上述三种广义积分都称为无限区间上的广义积分。
例1 计算广义积分。
解
。
注意：为了方便，在计算过程中可以省去极限符号。例如，例1的计算过程可以写成
即约定。
例2 计算广义积分。
解 。
因为 。
而 。
所以 。
例3 计算广义积分。
解
在计算时，应用了L’Hospotal法则。
③ 巩固练习：Ex5 Q9
④ 课节小结：无限区间上的广义积分，原则上是把它化为一个定积分，再通过求极限的方法确定该广义积分是否收敛。在广义积分收敛时，就求出了该广义积分的值。
⑤ 课后作业：
§5.5 定积分的应用教学内容：定积分计算平面图形的面积，定积分在经济管理中的应用。
教学目标：会利用定积分计算平面图形的面积，了解定积分在经济管理中的应用。
教学要点,
重点：定积分计算平面图形的面积难点：定积分在经济管理中的应用教学方法：电化教学教学时数：2
教学工具：课件教学设计：
① 复习引导：
定积分的几何意义，微元分析
② 讲授新课：
5.5.1 平面图形的面积在本节5.1节例1中，我们已经知道由曲线，轴和直线，所围成的曲边梯形的面积为，下面讨论更为一般的情况。
设函数，在区间上连续，并且在上有
，，
则曲线，与直线，所围成的图形面积应该是两个曲边梯形面积的差。因此
=曲边梯形的面积－曲边梯形的面积
=－
即 (5.5.1)
公式(5.5.1)也适用于曲线，不全在轴上的情形。例如在图5-4中，如果将轴向下平移，使两条曲线都位于新轴上方，在新坐标系中曲线方程为和。所以，该图形的面积
=。
特别地，当时，由曲线，轴与直线，所围成的图形面积（图5-5）为
。
类似地分析可以得到：由连续曲线， 与直线，所围成的平面图形的面积（图5-6）为
(5.5.2)
例1 求曲线，与直线所围的平面图形的面积。
例2 求曲线与直线所围成的平面图形的面积。
例3 求在区间上曲线与之间所围成的平面图形面积。
求若干条曲线围成的平面图形面积的步骤：
⑴ 画草图：在平面直角坐标系中，画出有关曲线，确定各曲线所围成的平面区域。
⑵ 求各曲线交点的坐标：求解每两条曲线方程所构成的方程组，得到各交点的坐标。
⑶ 求面积：利用(5.5.1)或(5.5.2)，适当地选择积分变量，确定积分的上、下限，列式计算出平面图形面积。
5.5.2 经济应用问题举例当已知边际函数或变化率，求总量函数或总量函数在某个范围内的总量时，经常应用定积分进行计算。
例4 设某产品的生产是连续进行的，总产量是时间t的函数。如果总产量的变化率为
（单位：吨/日）
求投产后从t=3到t=30这27天的总产量。
解 总产量Q(t)是其变化率Q’(t)的原函数，所以从t=3到t=30这27天的总产量为
=
≈24.9（吨）。
例5 设某种产品边际收入函数为，其中Q为销售量，R=R(Q)为总收入，求该产品的总收入函数。
解 总收入函数
=
=
=
=
=。
③ 巩固练习：Ex5 Q10~11
④ 课节小结：定积分可应用于求平面图形的面积，或在已知某经济的变化率或边际函数时，求总量函数或总量函数在一定范围内的增量。
⑤ 课后作业：Ex5 Q12
第6章 多元函数微分学
§6.1 二元函数的极限与连续教学内容：空间直角坐标系的概念，二元函数的概念、二元函数的极限与连续的概念和性质。
教学目标：了解空间直角坐标系的概念，理解二元函数的概念，了解二元函数的极限与连续的概念和性质。
教学要点：
重点：二元函数的概念，二元函数的极限与连续的概念和性质。
难点：二元函数的极限与连续的概念和性质教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在自然科学和经济管理的许多问题中，一个函数往往依赖于多个自变量，这就需要研究多元函数。多元函数微分学是一元函数微分学的推广和发展。本章将简要介绍二元函数微分学的基本理论、方法及其在经常管理中的应用。
② 讲授新课：
6.1.1 空间直角坐标系简介在一元微积分学中，我们利用平面直角坐标系把平面上的点与有序实数对相对应，把平面上的曲线与方程相对应，使我们非常方便地研究了一元函数的性质。为了研究二元函数，就需要引入空间直角坐标系。
过空间中的一个定点，作三条相互垂直的数轴，，，规定为原点，并按下述方法规定三条数轴的正向：将右手伸直，拇指向上的方向为轴的正向，其余四指的指向为轴的正向，四指弯曲90o后的指向为轴的正向。这样建立的空间直角坐标称为右手系。三条数轴分别称为轴（横轴）、轴（纵轴）和轴（立轴）。三条坐标轴中的任意两条确定的平面，称为坐标平面。由轴和轴确定的平面称为平面；，是轴和轴确定的平面称为平面；由轴和轴确定的平面称为平面。三个坐标平面将空间分为8个部分，每一部分称为卦限。
在平面直角坐标系中，平面上的一点与对一对有序实数对相对应。类似地，空间直角坐标系中的一点与一个三元有序数组相对应：设是空间中的一个已知点，过点作三个平面，分别与轴、轴和轴垂直。三个平面与三条轴的交点（垂足）分别记为，，。设，，，则唯一确定了一个三元有序数组；反之，如果给定一个三元有序数组，则分别在轴、轴、轴上取坐标为、、的点、、，然后过点、、分别作与轴、轴、轴的垂直平面，三个平面的交点就是有序数组所确定的唯一的点。于是空间中的一点与有序数组建立一一对应关系。有序数组称为点的坐标；、、分别称为点M的横坐标、纵坐标和立坐标。
不难看出，坐标原点的坐标为；轴上点的坐标为；轴上点的坐标为；轴上点的坐标为。
如果设和为空间中的两点，可以证明：这两点间距离为
特别地，点与原点的距离为
不难看出，上述两个公式是平面直角坐标系中两点间距离公式的推广。
6.1.2 曲面与方程在平面解析几何中，坐标平面上的一条曲线与方程相对应。类似地，在空间直角坐标系中，可以建立空间曲面与含有三个变量的方程的对应关系。
定义6.1 如果曲面上任意一点的坐标都满足方程，而不在曲面上的点的坐标都不满足方程，则方程称为曲面的方程，而曲面称为方程所对应的图形。
例1 设一个球面的球心为，半径为，求此球面的方程。
解 设球面上任意一点为到球心的距离为，即。由两点距离公式，有
化简得球面方程：
特别地，以原点为球心，为半径的球面方程为
可以看出：空间中的球面方程是平面上圆的方程的推广。
例2 求与坐标平面距离恒等于的平面方程。
解 设平面上的任意一点为，则点以平面的距离为，所以，而，可取任意实数。于是所求平面方程为和。这是与平面平行且距离为的平面。
类似的分析可知：，分别表示为平面，平面平行的平面。
6.1.3 二元函数定义6.2 设是平面上的一个非空点集，是一个对应法则，如果对于每个点，都可由对应法则得到唯一的实数z与之对应，则称z是变量，的二元函数，记为
变量，称为自变量；称为因变量；集合称为函数的定义域。对应的函数值的集合
称为该函数的值域。
例1 设圆柱体的底面半径为，高为，则圆柱体积
这是一个以，为自变量，为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
值域为
例2 某企业生产某种产品的产量与投入的劳动力和资金有下面的关系：
其中，，均为正常数，则产量是劳动投入和资金投入的函数。在经济学理论中，这一函数称为Kobb-Douglas函数。根据问题的经济意义，函数的定义域为
值域为
例3 求函数的定义域，并用图形表示。
解 由已知函数，自变量x，y应满足
即
于是，函数定义域为
二元函数的定义域在几何上往往是一个平面区域。
平面区域是坐标平面上满足某些条件的点的集合，围成平面区域的曲线称为该区域的边界。包含边界的平面区域称为闭区域；不含边界的平面区域称为开区域；包含部分边界的平面区域称为半开区域。如果一个区域总可以被包含在一个以原点为圆心的一个圆域内部，则此区域称为有界区域，否则称之为无界区域。
与一元函数的定义域相比较：一元函数的定义域是数轴上的点集，一般可用区间表示。而二元函数的定义域则要复杂得多。一元函数通常表示平面上的一条曲线，而二元函数则表示空间中的一个曲面，这一曲面是由点，组成的点集，这一曲面称为的图形。
例如，二元函数表示以原点O为球心，半径为2的上半球面。
6.1.4 二元函数的极限与连续一元函数的极限和连续的概念可以推广到二元函数的情形。
设为平面上下的一点，以为圆心，为半径的开圆域：
称为点的邻域。
定义6.3 如果函数在点的某一邻域内有定义（在点可除外），当点以任意方式趋近于点时，对应的函数值就无限趋近于一个常数，则称当趋于时函数以为极限，记作
当点以任何方式无限趋于，是指平面上的点以任何路径无限趋近。这比一元函数极限概念中趋于要复杂得多。因此，本教材不再深入讨论二元函数的极限问题。
定义6.4 设函数在点的某一邻域内有定义，并且
则称函数在点处连续，否则称函数在点处间断。点称为该函数的间断点。
如果函数在平面区域内的每一都连续，则称该函数在区域内连续。
二元函数的连续性的概念与一元函数类似的，并且具有类似的性质：在区域内连续的二元函数的图形是空间中的一连续曲面；二元连续函数经过有限次的四则运算后仍为二元连续函数；定义在有界闭区域上的连续函数一定可以在上取得最大值和最小值。
③ 巩固练习：Ex6 Q1~3
④ 课节小结：
1、空间直角坐标系空间直角坐标系的引入，使空间中的点与有序实数组，空间的曲面与方程建立了相应的对应关系。这为研究二元函数性质提供了直观的几何解释。
2、二元函数的极和连续二元函数的定义与一元函数的定义类似，但更应注意它们之间的差异。一元函数的定义域是数轴上的点集；二元函数的定义域一般是平面上的点集。在讨论一元函数在处的极限和连续性时，点趋于的方式只有从点的左右两个方向没数轴趋于；但在讨论二元函数在点处的极限和连续性时，点趋于，则可以有无穷多种方式和路径在平面上趋于。因此，对二元函数极限和连续问题的讨论要比一元函数复杂得多。
⑤ 课后作业：Ex6 Q4
§6.2 偏导数与全微分教学内容：二元函数的偏导数与全微分教学目标：理解二元函数的偏导数与全微分的概念，掌握求二元函数的偏导数与全微分的方法。
教学要点：
重点：二元函数的偏导数与全微分的概念难点：求二元函数的偏导数与全微分的方法教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
对于二元函数，当自变量，发生变化，函数值将随之变化，这就需要进一步讨论函数改变时及变化率的问题。
② 讲授新课：
6.2.1 偏导数设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在取得改变量（），而自变量保持不变时，函数相应的改变量
称为函数关于的偏增量。类似地，函数关于的偏增量为
当自变量，分别在，取得改变量，时，函数相应的改变量
称为函数的全增量。
定义6.5 设函数在点的某一邻域内有定义，如果极限
存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作
或或或
类似地，如果极限
存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作
或或或
如果函数在平面区域内的每一点处都存在对（或）的偏导数，则称函数在内存在对（或）的偏导函数，简称函数在内有偏导数，记作
或或或
或或或
由定义6.5可知，函数在点处的偏导数就是函数在点处沿轴或轴方向的变化率；而求对于自变量（或）的偏导数时，只需将另一自变量（或）看作常数，直接利用一元函数求导公式和四则运算法则计算。
例1 设，求，，和。
解 ，
，
，
。
例2 设，求，。
解
。
类似可得
由上面的例子可以看出：函数对于或的偏导数仍是，的二元函数，如果，对自变量或的偏导数也存在，则它们的偏导数称为的二阶偏导数，记为
，，
，。
或简记为，，，或，，，。
当二阶偏导数，为，的连续偏导数时，可以证明。
例3 设，求，，，。
解
；
；
；
。
6.2.2 全微分在一元函数微分学中，函数的微分，并且当自变量的改变量时，函数相应的改变量与的差是比高阶的无穷小量。这一结论可以推广到二元函数的情形。
例4 设矩形的边长分别为，，则矩形面积
如果边长，分别取得改变量，，则面积的全增量：
上式右端中的是关于的线性函数，而当，时，是一个很小的量，或者说，当时，是比高阶的无穷小量。故可略去，而用近似地表示。我们把称为的微分，记为。即
一般地，我们可引入：
定义6.6 设函数对于自变量在点处的改变量，，对应的全增量
(6.2.3)
其中A，B是，的函数，与，无关；是比高阶的无穷小量。则称为函数在点处的全微分。记作或，即
(6.2.4)
这时，我们称函数在点处可微。
可以证明：如果函数在点的某一邻域内有连续偏导数和，则函数在点处可微，并且
(6.2.5)
由此结论可知，计算函数的全微分时，只需求出和再代入上式就可得到。由于全微分可以近似地表示全增量，于是
所以
(6.2.6)
这一结论在近似计算中有一定的应用。
例5 设，求⑴，⑵当，；，时，的值。
解 ⑴ ，，所以
⑵ 当，；，时，
例6 计算。
解 设，只需计算。由
，
有
当，；，时，
于是，由(6.2.6)有
③ 巩固练习：Ex6 Q5~6
④ 课节小结：求二元函数偏导数时，只需将一个自变量看作常数，对另一自变量运用一元函数求导公式和四则运算法则即可。但是，二元函数偏导数的存在不能保证二元函数连续。这与一元函数可导必连续是完全不同的。
二元函数的全微分概念类似于一元函数。在一元函数微分学中，可导即可微。但是，在二元函数中，两个偏导数，存在，也不能保证函数在点处可微。而在点处可微时，则偏导数，存在，并且全微分
二元函数的高阶偏导数是相应的低一阶偏导数的偏导数，由此定义可求，，，。但应注意：二阶混合导数不一定相等，只有在某些条件下它们才是相等的。可以证明：设函数在区域D内连续，并且存在一阶偏导数和二阶混合偏导数和，如果在点处，和连续，则
=
在本教材的例题和习题中，函数均满足这一结论的条件。
⑤ 课后作业：Ex6 Q7
§6.3 复合函数与隐函数的微分法教学内容：复合函数与隐函数的微分法教学目标：掌握复合函数与隐函数的微分法教学要点：
重点：复合函数与隐函数的微分法难点：复合函数与隐函数的微分法教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在一元函数微分学中，我们曾讨论了复合函数和隐函数的求导问题，本节将讨论二元函数中的类似问题。
② 讲授新课：
6.3.1 复合函数的微分法设函数，而，，于是通过中间变量，成为，的复合函数：
定理6.1 如果函数和在点的偏导数，和，都存在，且在对应于的点处，函数可微，则复合函数对和的偏导数存在，且
(6.3.1)
(6.3.2)
为了记忆和正确使用上述公式，可以画出变量关系图（图6-12）。从图中可以看出：，是自变量，，是中间变量。求复合函数z对其一个自变量（如）的偏导数时，可以从图6-12中找到由z经过中间变量到达的途径。由于由z到达的路径共有两条：和。沿第一条路径有；沿第二条路径有，两项相加即得(6.3.1)。类似地，由图6-12可得(6.3.2)。
利用这一方法就可以对各种复杂的情形正确运用定理6.1，而不必死记硬背。
例如，设，而，，因此函数z通过中间变量成为自变量的一元函数：
利用变量关系图6-13，根据定理6.1就得到
(6.3.3)
(6.3.3)也称为全导数公式。
例1 设，求，。
解 设，，则，因此
，
，，，
于是
。
。
例2 设，求，
解 设，，则，所以
6.3.2 隐函数的微分法如果方程能确定z是，的函数，且具有连续偏导数，则
利用复合函数微分法，有
，
如果，得
，
特别地，对于由方程确定的一元函数有类似的结果：当时，有
例1 设方程确定隐函数，求，。
解 设，则
，，
于是
，
应注意：应把原方程中所有项移到等号左边以得到，在计算偏导数时，要把其它的变量和z当做常量，在计算，时也应注意这一点。
例2 设方程确定隐函数，求。
解 设。则
，
。
于是
当然，我们仍可以利用在方程两边求导（或偏导数）的方法解上述问题。
③ 巩固练习：Ex6 Q8~10
④ 课节小结：在利用复合函数微分法时，应先分清变量间的关系：哪些是中间变量，哪些是自变量。一般，可画出变量关系图，明确复合关系，然后运用公式得到正确结果。
利用公式法求隐函数的偏导数时，则应先把方程化为（或）的形式，在计算，，要把，，看作独立的自变量，就可得到
,
⑤ 课后作业：Ex6 Q11~12
§6.4 二元函数的极值教学内容：二元函数极植的概念，二元函数极值的求法。
教学目标：了解二元函数极植的概念，会求二元函数的极值，会用Lagrange乘数法求解简单的条件极值问题。
教学要点：
重点：二元函数极植的概念，二元函数极值的求法。
难点：Lagrange乘数法求解简单的条件极值问题教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
二元函数的极值理论在经济管理中具有广泛应用，它的许多结论也适用于一般的元函数问题。
② 讲授新课：
6.4.1 无条件极值定义6.7 设函数在点的某一邻域内有定义，如果对邻域内的任意异于的点，总有
则称是函数的极大值；如果，总有
则称是函数的极小值。
函数的极大值和极小值统称为极值，使取得极值的点称为极值点。在求函数的极值时，如果没有其它任何限制条件，则此极值问题称为无条件极值问题。否则称之为条件极值问题。求一个函数的无条件极值，通常意味着在整个坐标平面或某个开区域内进行讨论。
例1 求的极值。
解 在点的某邻域内，对任意的点，有
所以，函数在处有极大值。这一结论的几何意义可参见图6-10。
例1比较简单，可以利用定义6.7直接判断。对于一般的二元函数极值问题，则可以利用下述定理进行计算。这些定理是一元函数极值理论的推广。
定理6.2（极值的必要条件） 如果函数在点处有极值，且在处存在一阶偏导数，则
,
使各一阶偏导数等于零的点称为驻点。但应注意：根据定理6.2，当函数存在一阶偏导数时，极值点必为驻点。但是，驻点未必是极值点。二元函数的极值也可能在偏导数不存在的点处达到。这与一元函数极值的有关结论十分相似的。
定理6.3（极值存在的充分条件） 如果函数在点的某一邻域内有二阶连续偏导数，且，。记
，，
则 ⑴ 当时，则不是极值；
⑵ 当，且时，则是极大值；
⑶ 当，且时，则是极小值；
⑷ 当时，不能判定是否为极值。这时，需要其它方法判定。
（证明略）。
例2 求函数的极值。
解 ，。令，。即解
可得驻点和。又
，，。
对于驻点，，，。所以
根据定理6.3，点不是极值点。
对于驻点，
，，
所以
根据定理6.3，函数在点处取得极小值。
6.4.2 条件极值在求函数的极值时，如果自变量，必须满足一定的条件，这样的极值问题称为条件极值问题。称为约束条件或约束方程。所求出的极值称为条件极值。
如果由约束条件可解出一个变量用另一变量表示的解析表达式，则可将此表达式代入中。则此条件极值问题就化为一元函数的无条件极值问题。但在许多情形，我们不能由约束条件解得这样的表达式，因此需研究其它的求解条件极值问题的方法——Lagrange乘数法。
首先构造Lagrange函数：
其中称为Lagrange乘数。然后，求的关于，，的偏导数，并令它们等于零。求解方程组：
此方程的解就是可能的极值点。最后判别是否为极值点。但是这一充分条件已超出本教材的要求。一般可以根据问题的实际背景直接判定。
例3 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料，销售收入（百万元）与报纸广告费用（百万元）和电视广告费用（百万元）之间的关系有如下的经验公式：
⑴ 如果不限制广告费用的支出，求最优广告策略。
⑵ 如果可供使用的广告费用为150万元，求相应的最优广告策略。
解 ⑴ 设该公司的净销售收入为
令
得驻点（百万元），（百万元）。又
，，，
所以，在点处，有
，。
所以，函数在处有极大值，因极大值点唯一，故在处也是最大值，即最优广告策略为报纸广告费为75万元，电视广告费为125万元。
⑵ 如果广告费限定为150万元，则需求函数在条件下的条件极值。设
解方程组
得，。根据问题的实际意义，在点处有条件极值。即将广告费全部用于电视广告，可使净收入最大。
③ 巩固练习：Ex6 Q13~16
④ 课节小结：在求二元函数的极值时，应按下述步骤进行：
⑴ 由函数极值存在的必要条件，求解
得到所有的驻点。
⑵ 对于每一驻点，计算的二阶偏导数在该点的值：
，，
⑶ 判断是否为极值点：利用极值的充分条件，有当时，是极值点。且时，函数有极大值；当时，函数有极小值。
当时，不是极值点。
当时，不能确定是否为极值点。
⑤ 课后作业：Ex6 Q17
§4.1 不定积分的概念教学内容：原函数与不定积分的概念教学目标：理解原函数与不定积分的概念教学要点：
重点：原函数与不定积分的概念难点：不定积分的概念教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在第2章，我们学习了如何求一个函数的导函数或微分的问题。在本章，我们将讨论它的反问题：已知某个函数的导函数，求，使得。这是积分学的基本问题之一。在科学技术和经济管理的许多理论和应用问题中也经常需要解决这类问题。
② 讲授新课：
4.1 原函数定义4.1 设是定义在区间(a,b)内的已知函数。如果存在函数，使对于(x∈(a,b)，都有
或 ，
则称是在(a,b)上的一个原函数。
例1 设函数，x∈(-∞,∞)。由于函数满足，所以是的一个原函数。不难看出，，（为任意常数）都是的原函数。
由此例可以看出：如果函数有一个原函数，则就有无穷多个原函数，而这些原函数之间仅差一个常数。实际上，如果是的一个原函数，则
（为任意常数）。
所以也是的原函数。
另一方面，如果和都是的原函数，即
，
则由Lagrange中值定理的推论可知，和仅差一常数，即存在常数，使得
。
一般，如果是的一个原函数，则的全部原函数就是（为任意常数）。
4.1.2 不定积分定义4.2 函数的全部原函数，称为的不定积分，记作
。
其中“∫”称为积分号，x称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式。
由定义4.2可知：如果是的一个原函数，则
,（为任意常数）。
其中称为积分常数。因此，求函数的不定积分，只需求出的一个原函数再加上积分常数。
例2 求函数的不定积分。
解 因为(或)，所以
(为任意常数)
例3 求函数的不定积分。
解 当时，。所以
当时，。所以
这两种情形可以合并写成
可以证明：如果被积函数在某区间上连续，则在此区间上一定有原函数。由于初等函数在其定义区间内必连续，所以初等函数在其定义区间内都有原函数。
4.1.3 不定积分的几何意义如果是的一个原函数，则的不定积分对于每一个给定的常数，表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为的一条积分曲线。由于可以取任意值，因此不定积分表示的一族积分曲线，而其中任意一条积分曲线都可以由曲线沿轴方向上、下平移得到。或者说，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线的切线都是互相平行的。
例4 设曲线过点，并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程。
解 设所求曲线方程为。由题设条件，过曲线上任意一点的切线斜率为
所以，是的一个原函数，因为
故。又曲线过点，有
，即
于是所求曲线方程为
③ 巩固练习：Ex4 Q1~2
④ 课节小结：设函数是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数，对于该区间上每一点都有或，则称是在该区间上的一个原函数。
的不定积分是的全部原函数。即
⑤ 课后作业：
§4.2 不定积分的性质和基本积分公式教学内容：不定积分的性质和基本积分公式教学目标：掌握不定积分的性质和基本积分公式教学要点：
重点：不定积分的性质和基本积分公式难点：基本积分公式和直接积分法教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
② 讲授新课：
4.2.1 不定积分的性质根据不定积分的定义，可以直接得不定积分的下列性质：
性质1 不定积分与求导数或微分互为逆运算。
⑴ 或 。
⑵ 或 。
即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）；一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个常数。
性质2 被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前。
（，常数）。
性质3 两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和。
。
这一结论可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形，即
。
4.2.2 基本积分表由于不定积分是求导数（或微分）的逆运算，所以根据导数基本公式就得到对应的积分公式。
基本积分表 导数公式
1． （为常数）； ；
2．； ；
3．； ；
4．； ；
5．； ；
6．； ；
7．； ；
8．； ；
9．； ；
10．； ；
11．； ；
上面的11个基本积分公式是计算不定积分的基础，必须熟记。利用基本积分表和不定积分的性质，可以直接计算一些较简单的不定积分，这种方法一般称之为直接积分法。
例1 求。
例2 求。
例3 求。
例4 求。
例5 求。
注意：当不定积分不能直接应用积分表和不定积分的性质进行计算时，需先将被积函数化简或变形再进行计算。计算的结果是否正确，只需对结果求导，看其导数是否等于被积函数。
③ 巩固练习：Ex4 Q3单号题
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex4 Q3双号题
§4.3 换元积分法教学内容：不定积分的换元积分法教学目标：掌握不定积分的换元积分法教学要点：
重点：不定积分的换元积分法难点：不定积分的换元积分法教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在许多情况下，一些简单的不定积分也难以用直接积分法求出。例如，求，等。这节我们将进一步学习换元积分法。
② 讲授新课：
4.3.1 第一类换元法设所求的不定积分可以写成或的形式，则引入新变量，令。上面的不定积分就化为。
如果，和都是连续函数，并且容易求得的一个原函数，则
，
于是
。 (4.3.1)
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1)的正确性。实际上，由
，
可知公式(4.3.1)成立。利用公式(4.3.1)来计算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分法。
例1 求。
例2 求。
注意：在对变量替换比较熟练后，可以不必写出新设的积分变量，而直接凑微分。
例3 求。
例4 求。
例5 求。
例6 求。
例7 求。
例8 求。
为了熟练地掌握求积分的第一类换元法，我们把应用第一类换元法的常见的积分类型总结如下：
1．，
2．，
3．；
4．；
5．，
；
6．，
。
其中，不定积分可由基本积分表直接求出。
4.3.2 第二类换元法如果不定积分不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量，并选择代换，其中可导，且连续，将不定积分化为。
如果容易求得，而的反函数存在且可导，则
，
再将代入上面的，回到原积分变量，有
,(4.3.2)
这类求不定积分的方法，称为第二换元法。不难看出，这一方法是把第一类换元法反过来使用，只是在不同情况下同一公式的两种不同的使用方式。
例9 求。
例10 求。
例11 求。
第二类换元法常常用于被积函数中含有根式的情形，常用的变量替换可总结如下：
1,被积函数为，则令，其中为，的最小公倍数。
2,被积函数为，则令。
3,被积函数为，则令。
4,被积函数为，则令。
5,被积函数为，则令。
在作三角替换时，可以利用直角三角形的边角关系确定有关三角函数的关系，以返回原积分变量。
③ 巩固练习：Ex4 Q4
④ 课节小结：
第一换元积分法：设，则
其中可导，连续。
第二换元积分法：设，可导，连续，
⑤ 课后作业：Ex4 Q5
§4.4 分部积分法教学内容：不定积分的分部积分法教学目标：掌握不定积分的分部积分法教学要点：
重点：不定积分的分部积分法难点：不定积分的分部积分法教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
利用换元积分法可以求许多函数的不定积分。然而，还有许多不定积分，如，等都不能利用基本积分表和换元积分法计算。本节将讨论另一个求不定积分的基本方法——分部积分法。
② 讲授新课：
设，具有连续导数。根据乘积的微分公式，即。
对上式两边积分，可得
。 (4.4.1)
(4.4.1)式称为分部积分公式。这一公式说明，如果计算积分较困难，而积分易于计算，则可以使用分部积分法计算。
例1 求。
解 设，，则，。所以
。
例2 求。
解 设，，则，，所以
。
由上两例可以看出，应用分部积分法求积分时，关键在于适当地选取和。和的选取应注意：易于由直接求得，而比易于计算。在初步掌握分部积分法后，可不必明确地设出和，而直接应用公式。在一些较复杂的积分问题中，有可能多次应用分部积分法。
例3 求。
解
在有些积分中，需要多次应用分部积分法。如上例中就两次运用了分部积分法。
例4 求。
解
上式右端第三项恰是所求的不定积分，移项后，有
所以 。
此处应注意移项后，等式的右端已不含积分项，必须加上任意常数，而最后结果中的。同时，在第二次应用分部积分法时，与的选取要与第一次保持一致，否则将回到原积分。
为便于读者掌握分部积分法，下面列出应用分部积分法的常见积分形式及，的选取方法：
1．，，（，）应使用分部积分法计算。一般，设，而被积表达式的其余部分设为。
2．，，（）应利用分部积分法计算。一般，设，被积表达式的其余部分设为。
在前一节和本节所总结的积分方法应灵活运用，切忌死套公式。有的问题往往需换元法与分部积分法兼用才能求得最终结果。
例5 求。
解 先用换元法，设，则，。所以
（用分部积分法）
例6 求。
解 先用换元法，设，则，，。因此，原积分
（用分部积分法）
③ 巩固练习：Ex4 Q6
④ 课节小结：
分部积分列表解法：正负交错，左导右积；相乘求和，最后一积。
⑤ 课后作业：Ex4 Q7
§4.5 微分方程初步教学内容：微分方程的概念，简单的一阶微分方程。
教学目标：了解微分方程的概念，会解简单的一阶微分方程。
教学要点：
重点：微分方程的概念，简单的一阶微分方程。
难点：解简单的一阶微分方程教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在科学技术和经济管理的许多问题中，往往需要求出所涉及的变量间的函数关系，一些较简单的函数关系可以由实际问题的特点直接确定。但是,在一些较复杂的问题中，我们只能确定含有求知函数的导数或微分的方程，通过求解这样的方程确定该函数。这种含有未知函数导数或微分的方程就称为微分方程。微分方程的理论已成为数学学科的一个重要分支。
② 讲授新课：
4.5.1 基本概念定义4.3 含有求知函数的导数或微分的方程，称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。微分方程中出现的求知函数导数（或微分）的最高阶数，称为微分方程的阶。
本节仅讨论一阶微分方程，其一般形式为
。
定义4.4 如果一个函数代入微分方程后，使得方程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解。
一般，如果一阶微分方程的解中含有一个任意常数，则称此解为微分方程的通解，在通解中，如果可确定任意常数的值，所得到的解称为微分方程的特解。为了确定任意常数的值，通常需给出时未知函数对应的值，记作或。这一条件称为初始条件。
4.5.2 可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以化为
(4.5.1)
的形式，则称为可分离变量的微分方程。微分方程(4.5.1)称为变量已分离的微分方程。
对于变量已分离的微分方程(4.5.1)，可直接求得其通解。实际上，在(4.5.1)式两边积分，得
,(4.5.2)
其中是任意常数。(4.5.2)就是微分方程(4.5.1)的通解表达式。应注意，在本节，不定积分，分别表示和的一个原函数，任意常数要单独写出来。
可分离变量的微分方程往往具有
或
的形式。经过代数运算，它们都可以化为(4.5.1)的形式。此外，在求微分方程的通解时，为使通解的形式简单，往往需要根据问题的特点把任意常数写成某种特殊的形式。
例4 设某厂生产某种商品的边际收益函数为，其中为该产品的产出量。如果该产品可在市场上全部售出，求总收益函数。
解 是变量已分离的微分方程。两边积分得
。
当，即产出为零时，应有。由此初始条件可得。所以，总收益函数为
。
例5 随着我国经济的高速增长，环境污染问题已成为大家共同关注的问题。本例说明如何运用微分方程来研究不污染问题。
设某水库的现有库存量为(单位：km3)，水库已被严重污染。经计算，目前污染物总量已达(单位)：吨，且污染物均匀地分散在水中。如果现已不再向水库排污，清水以不变的速度(单位：km3/年)流入，并立即和水库的水相混合，水库的水以同样的速度流出。如果记当前的时刻。
⑴ 求在时刻，水库中残留污染物的数量。
⑵ 问需经多少年才能使水库中污染物的数量降至原来的10%。
解 ⑴ 根据题意，在时刻，的变化率＝－污染物的流出速度。其中负号表示禁止排污后，将随时间逐渐减少。这时，污物的质量浓度为。因为水库的水以速度流出，所以污染物流出速度＝污水流出速度＝。
由此可得微分方程
这是一个可分离变量的微分方程。分离变量得
两边积分，得
即 ，。
由题意，初始条件为，代入上式，得，故微分方程的特解为
⑵ 当污染物降到原来的10%时，有。代入上式得
解得(年)。
例如，当水库的库存量(km3)，流入(出)速度为150(km3/年)时，可得(年)。
4.5.3 一阶线性微分方程未知函数及其导数都是一次的微分方程，称为一阶线性微分方程。一阶线性微分方程的一般形式为
。 (4.5.3)
如果，(4.5.3)式化为
。 (4.5.4)
(4.5.4)式称为一阶线性齐次微分方程。当时，(4.5.3)式称为一阶线性非齐次微分方程。
一阶线性齐次微分方程的通解
(4.5.4)是可分离变量的微分方程。分离变量后，(4.5.4)式化为
。
两边积分，得
，
所以方程(4.5.4)的通解为
。 (4.5.5)
一阶线性非齐次微分方程的通解
(4.5.3)的通解可以利用“常数变易法”得到：首先求得微分方程(4.5.3)对应的一阶线性齐次方程的通解(4.5.5)，然后将(4.5.5)式中的任意常数换为待定的函数。即设方程(4.5.3)的通解为
。 (4.5.6)
因此
。 (4.5.7)
将(4.5.6)式和(4.5.7)式代入(4.5.3)，得
，
即 ，
两边积分，得
，
将上式代入(4.5.6)式，得
。 (4.5.8)
可以验证，(4.5.8)就是非齐次方程(4.5.3)的通解。
例6 求微分方程的通解。
解 此方程为一阶线性非齐次微分方程，先解对应的一阶线性齐次方程
可得其通解为。
利用“常数变易法”，令原方程的通解为
则 。
将和代入原方程，原方程化为
即
所以
于是原方程的通解为
此方程也可以用公式直接求解。
例7 求微分方程的通解。
解法1 此方程是一阶线性齐次微分方程。利用“常数变易法”，先求对应的齐次方程的通解。由
分离变量，得
两边积分，得
因此，对应的齐次方程的通解为
。
令，则。将和代入原方程，得
即
两边积分，得，所以原方程的通解
解法2 用公式(4.5.8)求方程的通解，由于
，
易求
代入公式(4.5.8)，则原方程的通解为
③ 巩固练习：Ex4 Q8~11
④ 课节小结：变量已分离的微分方程一般形式为
两边积分可求得方程的通解。
一阶线性非齐次方程一般形式为
可用常数变易法或公式法求其通解。
⑤ 课后作业：Ex4 Q12~14
第5章 定积分
§5.1 定积分的概念教学内容：定积分的概念，定积分的基本性质。
教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质。
教学要点：
重点：定积分的概念，定积分的基本性质。
难点：定积分的概念教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在科学技术和经济学的许多问题中，经常需要计算某些“和式的极限”。定积分就是从各种计算“和式的极限”问题抽象出的数学概念，它与不定积分是两个不同的数学概念。但是，微积分基本定理则把这两个概念联系起来，解决了积分的计算问题，使定积分得到了广泛的应用。
② 讲授新课：
5.1.1 引例例1 曲边梯形的面积 由区间上的连续曲线 ,轴与直线，所围成的平面图形称为曲边梯形。 （如图）
由于曲边梯形的高在区间 上的变化，故不能利用矩形面积公式直接计算。为了计算曲边梯形的面积，我们设法把区间分划为若干个小区间，在每一小区间上的曲边梯形可近似地看做矩形，矩形的高就取做小区间上某点的函数值。于是，每一小区间上的曲边梯形面积近似地等于该小区间上小矩形的面积。所有这些小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值。如果把无限细分，使每一小区间长度趋于零，这时，所有小矩形面积之和的极限就可定义为该曲边梯形的面积。现将这一过程详述如下：
⑴ 用分点把区间 分成几个小区间：
，，…，，
其中第个小区间长度为。
过每一分点 作轴的垂线，把曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小曲边梯形的面积记为。于是曲边梯形的面积等于。
⑵ 在每一小区间上任取一点，以为底边、为高作小矩形（如图），其面积
。
当很小时，，因此，曲边梯形的面积近似地等于所有小矩形面积之和
。
⑶ 如果分点个数无限增大（即），且趋于零时，的极限就是曲边梯形的面积，即
。
例2 大型企业集团的收益是随时流入的。因此，这一收益可以表示为一个连续的收入流。设为收入流在时刻的变化率（单位：元/年），现需计算从现在到年内的总收入。
在处理这一问题时，考虑到时间因素，就需要计算这一收入的现值。设利息是以连续复利计算，从到年内的利率为，则计算过程如下：
⑴ 用分点把区间划分为个小区间：
，，…，
其中第个小区间长度为
⑵ 当每个都很小时，可以认为收入流的变化率在上的变化不大。所以，任取，则可近似当做上的收入流的变化率。于是在上的收入≈收入流变化率×时间≈
从现在开始，这笔收入是在第年时取得的，因此，需把这笔收入折成现值。所以在上收入的现值≈
记 。并把所有小区间上收入的现值相加，得到从到年该公司总收入现值的近似值：
⑶ 如果分点个数无限增大（即），且趋于零时，和数的极限就是总收入的现值。即
上面的两个例子的实际背景完全不同，但都需求某一和式的极限，处理问题的方法完全一样。由此可一般地讨论这类问题，并得到了定积分的概念。
5.1.2 定积分的概念定义5.1 （微元分析SlowBird）设函数在区间上有定义。用点把区间分成几个小区间：
，，…，，
记。在每一小区间 上任取一点 ，
称为积分和。如果当无限增大，且中最大者（）时，的极限存在，且极限值与的划分方法及点的取法无关，则称函数在区间上可积，此极限值称为函数在区间上的定积分，记作，即
=，
其中称为被积函数，称为积分区间；称为积分下限，称为积分上限，称为积分变量，称为被积表达式。
由定义5.1知曲边梯形AabB的面积S是曲边方程y=f(x)在区间[a,b]上的定积分，即
S=。
对于定积分的概念，应注意以下几点：
⑴ 函数在区间上的定积分是积分和的极限，如果这一极限存在，则它是一个确定的常量。它只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量使用字母的选取无关。
=。 (5.1.1)
⑵ 在定积分的定义中，总是假设，如果，我们规定
=- (5.1.2)
即互换积分的上、下限，定积分要变号。
如果，由(5.1.2)可得
=0。 (5.1.3)
⑶ 可以证明：如果在区间上可积，则在区间上有界，即函数有界是其可积的必要条件。
这一结论也可以叙述为：如果函数在区间上无界，则在上不可积。
（SlowBird注：可积必有界，无界不可积。）
5.1.3 定积分的性质由定积分的定义，可以直接推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的。
性质1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即
=-k。
性质2 两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即
=±，
这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情况。
性质3 对任意的点，有
=+。
这一性质称为定积分的可加性，应注意，的任意性意味着不论还是，这一性质均成立。
性质4 如果在区间上，恒有，则
≤。
性质5 如果被积函数，则
。
性质6 如果函数在上有最大值和最小值，则
。
性质7（积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在内至少有一点，使得
，。 (5.1.4)
这一性质的几何意义是：由曲线，轴和直线，所围成的曲边梯形面积等于区间上某个矩形的面积，这个矩形的底是区间，其高为区间内某一点处的函数值。
由(5.1.4)式得到的
，
称为函数在区间上的平均值。
③ 巩固练习：Ex5 Q1
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex5 Q2
§5.2 微积分基本性质教学内容：变上限定积分的概念及其导数计算，Newton-Leibniz公式教学目标：掌握变上限定积分的概念及其导数计算，熟练运用Newton-Leibniz公式计算定积分。
教学要点：
重点：变上限定积分的概念及其导数计算，Newton-Leibniz公式难点：变上限定积分的概念及其导数计算教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
如果函数在区间上可积，利用定积分的定义来计算是十分繁重的工作。由Newton和Leibniz提出的微积分基本定理则把定积分与不定积分两个不同的概念联系起来，解决了定积分的计算问题。
② 讲授新课：
5.2.1 变上限定积分设函数在区间上连续，对于任意的，在区间上也连续，所以在区间上也可积。定积分的值依赖上限，因此它是定义在上的的函数。记
，，
则称为变上限定积分。
定理5.1 如果函数在区间上连续，则
以x为积分上限的定积分，的导数等于被积函数在积分上限处的值。即
。 (5.2.1)
证 根据导数的定义
。 (5.2.2)
而
=
=
=
= （积分中值定理）。
把上述结果代入(5.2.2)式，并注意到时，，得
由定理5.1可知：如果函数在区间上连续，则函数就是在区间上的一个原函数。定理5.1不仅在证明微积分基本定理时有重要作用，在讨论函数本身的性质时，也有重要作用。
例1 计算。
解 。
例2 求。
解 当时，此极限为型不定式，利用L’Hospital法则，有
例3 计算。
解 设，则
由此可知，是的复合函数，利用复合函数求导公式得
一般，我们可以证明：如果可导，则
。
在计算有关导数时，可把上述结果作为公式使用。
5.2.2 微积分基本定理定理5.2 设在区间上连续，是的一个原函数，则
。 (5.2.3)
证 由定理5.1，函数是的一个原函数，而函数也是的一个原函数。所以与在上仅差一个常数，即
。 (5.2.4)
在(5.2.4)式中令，得 ，
即 ，
故。于是(5.2.4)式化为
。
即 。
在上式中令，则
，
即 。
为了方便，我们通常把记为。所以(5.2.3)又可写成
。
定理5.2通常称为微积分基本定理，公式(5.2.3)称为Newton-Leibniz公式。这一定理揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系。Newton-Leibniz公式则为定积分的计算提供了有效的计算方法。确切地说，要求函数在区间上的定积分，只需求出在区间上的一个原函数，然后计算就可以了，在求函数的原函数时，可直接利用基本积分表。
例4 计算。
例5 计算。
例6 计算。
当被积函数为分段函数或含绝对值符号时，应利用定积分的可加性把积分区间分为若干个子区间。分别在各子区间上求定积分，从而求得原定积分。
应注意，在运用Newton-Leibniz公式时，如果被积函数在积分区间上不满足可积条件，则不能利用该公式。例如，在区间上函数在上不可积，不能用Newton-Leibniz公式计算。对这类积分的深入讨论已超出了本教材的要求。
③ 巩固练习：Ex5 Q5
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：
§5.3 定积分的计算教学内容：定积分的换元积分法和分部积分法教学目标：熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法教学要点：
重点：定积分的换元积分法和分部积分法难点：定积分的换元积分法和分部积分法教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
Newton-Leibniz公式
② 讲授新课：
5.3.1 定积分的换元积分法在第4章，我们学习了用换元积分法求已知函数的原函数。在某些条件下换元积分法也可以用来计算定积分。
定理5.3 设函数在区间上连续，作变换，如果
⑴ 在区间上有连续导数；
⑵ 当在区间上变化时，的值从单调地变到。则
。 (5.3.1)
(5.3.1)式称为定积分的换元公式。
证 因为在区间上连续，所以在上可积。设的一个原函数为，由Newton-Leibniz公式，有
由条件⑴和⑵，函数在区间上可积，其原函数为。这是因为
因此，有
于是，有
在应用定积分的换元法公式(5.3.1)时，应注意：
⑴ 从左到右应用公式(5.3.1)时，相当于不定积分的第二换元法。计算时，用把原积分变量换为新变量，积分限也必须由和换为新变量的积分限和，而不用代回原积分变量。这与不定积分的第二换元法是完全不同的。（SlowBird注：换元必换限）
⑵ 从右到左应用公式(5.3.1)时，相当于不定积分的第一换元法（凑微分法），一般不用设出新的积分变量。这时，原积分的上、下限不需改变。只要求出被积函数的一个原函数，就可直接应用Newton-Leibniz公式求出定积分的值。
例1 计算。
例2 计算。
例3 计算。
例4 设函数在区间上连续，则
⑴ 当为偶函数时，=2
⑵ 当为奇函数时，=0。
证 ⑴ 由定积分的可加性，有
=+。 (5.3.2)
对于等号右端的第一项，令，则。且当时，；当时，。于是，
=-=
所以，(5.3.2)式可化为
=+=2。
⑵ 类似于⑴的证明，请学生自行完成。
本例的结果可以作为定理使用。在计算对称区间上的定积分时，如果能判定被积函数的奇偶性，利用这一结果可使计算简化。
例5 计算。
③ 巩固练习：Ex5 Q6~7
④ 课节小结：
⑤ 课后作业：Ex5 Q8
§5.3 无限区间上的广义积分教学内容：无限区间上的广义积分教学目标：掌握无限区间上的广义积分的计算方法教学要点：
重点：无限区间上的广义积分难点：无限区间上的广义积分教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在前面各节所讨论的定积分都是可积函数在有限区间上求积分。在概率论和其它一些问题中，经常需要讨论无限区间上的积分。因此，我们将定积分的概念推广到无限区间。这类积分称为无限区间上的广义积分。
② 讲授新课：
定义5.2 设函数在区间上连续，如果
。
存在，则称此极限值为在区间上的广义积分。记作
=。 (5.4.1)
这时也称广义积分存在或收敛；如果上述极限不存在，就称广义积分发散。
类似地，可以定义函数在和上的广义积分：
= (5.4.2)
=+ (5.4.3)
其中。
在(5.4.2)式中，如果等式右端极限存在，则称广义积分收敛；否则，就称广义积分发散。
在(5.4.3)式中，如果等式右端的两个极限都存在，则称广义积分收敛，否则，称广义积分发散。
上述三种广义积分都称为无限区间上的广义积分。
例1 计算广义积分。
解
。
注意：为了方便，在计算过程中可以省去极限符号。例如，例1的计算过程可以写成
即约定。
例2 计算广义积分。
解 。
因为 。
而 。
所以 。
例3 计算广义积分。
解
在计算时，应用了L’Hospotal法则。
③ 巩固练习：Ex5 Q9
④ 课节小结：无限区间上的广义积分，原则上是把它化为一个定积分，再通过求极限的方法确定该广义积分是否收敛。在广义积分收敛时，就求出了该广义积分的值。
⑤ 课后作业：
§5.5 定积分的应用教学内容：定积分计算平面图形的面积，定积分在经济管理中的应用。
教学目标：会利用定积分计算平面图形的面积，了解定积分在经济管理中的应用。
教学要点,
重点：定积分计算平面图形的面积难点：定积分在经济管理中的应用教学方法：电化教学教学时数：2
教学工具：课件教学设计：
① 复习引导：
定积分的几何意义，微元分析
② 讲授新课：
5.5.1 平面图形的面积在本节5.1节例1中，我们已经知道由曲线，轴和直线，所围成的曲边梯形的面积为，下面讨论更为一般的情况。
设函数，在区间上连续，并且在上有
，，
则曲线，与直线，所围成的图形面积应该是两个曲边梯形面积的差。因此
=曲边梯形的面积－曲边梯形的面积
=－
即 (5.5.1)
公式(5.5.1)也适用于曲线，不全在轴上的情形。例如在图5-4中，如果将轴向下平移，使两条曲线都位于新轴上方，在新坐标系中曲线方程为和。所以，该图形的面积
=。
特别地，当时，由曲线，轴与直线，所围成的图形面积（图5-5）为
。
类似地分析可以得到：由连续曲线， 与直线，所围成的平面图形的面积（图5-6）为
(5.5.2)
例1 求曲线，与直线所围的平面图形的面积。
例2 求曲线与直线所围成的平面图形的面积。
例3 求在区间上曲线与之间所围成的平面图形面积。
求若干条曲线围成的平面图形面积的步骤：
⑴ 画草图：在平面直角坐标系中，画出有关曲线，确定各曲线所围成的平面区域。
⑵ 求各曲线交点的坐标：求解每两条曲线方程所构成的方程组，得到各交点的坐标。
⑶ 求面积：利用(5.5.1)或(5.5.2)，适当地选择积分变量，确定积分的上、下限，列式计算出平面图形面积。
5.5.2 经济应用问题举例当已知边际函数或变化率，求总量函数或总量函数在某个范围内的总量时，经常应用定积分进行计算。
例4 设某产品的生产是连续进行的，总产量是时间t的函数。如果总产量的变化率为
（单位：吨/日）
求投产后从t=3到t=30这27天的总产量。
解 总产量Q(t)是其变化率Q’(t)的原函数，所以从t=3到t=30这27天的总产量为
=
≈24.9（吨）。
例5 设某种产品边际收入函数为，其中Q为销售量，R=R(Q)为总收入，求该产品的总收入函数。
解 总收入函数
=
=
=
=
=。
③ 巩固练习：Ex5 Q10~11
④ 课节小结：定积分可应用于求平面图形的面积，或在已知某经济的变化率或边际函数时，求总量函数或总量函数在一定范围内的增量。
⑤ 课后作业：Ex5 Q12
第6章 多元函数微分学
§6.1 二元函数的极限与连续教学内容：空间直角坐标系的概念，二元函数的概念、二元函数的极限与连续的概念和性质。
教学目标：了解空间直角坐标系的概念，理解二元函数的概念，了解二元函数的极限与连续的概念和性质。
教学要点：
重点：二元函数的概念，二元函数的极限与连续的概念和性质。
难点：二元函数的极限与连续的概念和性质教学方法：
教学时数：2
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在自然科学和经济管理的许多问题中，一个函数往往依赖于多个自变量，这就需要研究多元函数。多元函数微分学是一元函数微分学的推广和发展。本章将简要介绍二元函数微分学的基本理论、方法及其在经常管理中的应用。
② 讲授新课：
6.1.1 空间直角坐标系简介在一元微积分学中，我们利用平面直角坐标系把平面上的点与有序实数对相对应，把平面上的曲线与方程相对应，使我们非常方便地研究了一元函数的性质。为了研究二元函数，就需要引入空间直角坐标系。
过空间中的一个定点，作三条相互垂直的数轴，，，规定为原点，并按下述方法规定三条数轴的正向：将右手伸直，拇指向上的方向为轴的正向，其余四指的指向为轴的正向，四指弯曲90o后的指向为轴的正向。这样建立的空间直角坐标称为右手系。三条数轴分别称为轴（横轴）、轴（纵轴）和轴（立轴）。三条坐标轴中的任意两条确定的平面，称为坐标平面。由轴和轴确定的平面称为平面；，是轴和轴确定的平面称为平面；由轴和轴确定的平面称为平面。三个坐标平面将空间分为8个部分，每一部分称为卦限。
在平面直角坐标系中，平面上的一点与对一对有序实数对相对应。类似地，空间直角坐标系中的一点与一个三元有序数组相对应：设是空间中的一个已知点，过点作三个平面，分别与轴、轴和轴垂直。三个平面与三条轴的交点（垂足）分别记为，，。设，，，则唯一确定了一个三元有序数组；反之，如果给定一个三元有序数组，则分别在轴、轴、轴上取坐标为、、的点、、，然后过点、、分别作与轴、轴、轴的垂直平面，三个平面的交点就是有序数组所确定的唯一的点。于是空间中的一点与有序数组建立一一对应关系。有序数组称为点的坐标；、、分别称为点M的横坐标、纵坐标和立坐标。
不难看出，坐标原点的坐标为；轴上点的坐标为；轴上点的坐标为；轴上点的坐标为。
如果设和为空间中的两点，可以证明：这两点间距离为
特别地，点与原点的距离为
不难看出，上述两个公式是平面直角坐标系中两点间距离公式的推广。
6.1.2 曲面与方程在平面解析几何中，坐标平面上的一条曲线与方程相对应。类似地，在空间直角坐标系中，可以建立空间曲面与含有三个变量的方程的对应关系。
定义6.1 如果曲面上任意一点的坐标都满足方程，而不在曲面上的点的坐标都不满足方程，则方程称为曲面的方程，而曲面称为方程所对应的图形。
例1 设一个球面的球心为，半径为，求此球面的方程。
解 设球面上任意一点为到球心的距离为，即。由两点距离公式，有
化简得球面方程：
特别地，以原点为球心，为半径的球面方程为
可以看出：空间中的球面方程是平面上圆的方程的推广。
例2 求与坐标平面距离恒等于的平面方程。
解 设平面上的任意一点为，则点以平面的距离为，所以，而，可取任意实数。于是所求平面方程为和。这是与平面平行且距离为的平面。
类似的分析可知：，分别表示为平面，平面平行的平面。
6.1.3 二元函数定义6.2 设是平面上的一个非空点集，是一个对应法则，如果对于每个点，都可由对应法则得到唯一的实数z与之对应，则称z是变量，的二元函数，记为
变量，称为自变量；称为因变量；集合称为函数的定义域。对应的函数值的集合
称为该函数的值域。
例1 设圆柱体的底面半径为，高为，则圆柱体积
这是一个以，为自变量，为因变量的二元函数。根据问题的实际意义，函数的定义域为
值域为
例2 某企业生产某种产品的产量与投入的劳动力和资金有下面的关系：
其中，，均为正常数，则产量是劳动投入和资金投入的函数。在经济学理论中，这一函数称为Kobb-Douglas函数。根据问题的经济意义，函数的定义域为
值域为
例3 求函数的定义域，并用图形表示。
解 由已知函数，自变量x，y应满足
即
于是，函数定义域为
二元函数的定义域在几何上往往是一个平面区域。
平面区域是坐标平面上满足某些条件的点的集合，围成平面区域的曲线称为该区域的边界。包含边界的平面区域称为闭区域；不含边界的平面区域称为开区域；包含部分边界的平面区域称为半开区域。如果一个区域总可以被包含在一个以原点为圆心的一个圆域内部，则此区域称为有界区域，否则称之为无界区域。
与一元函数的定义域相比较：一元函数的定义域是数轴上的点集，一般可用区间表示。而二元函数的定义域则要复杂得多。一元函数通常表示平面上的一条曲线，而二元函数则表示空间中的一个曲面，这一曲面是由点，组成的点集，这一曲面称为的图形。
例如，二元函数表示以原点O为球心，半径为2的上半球面。
6.1.4 二元函数的极限与连续一元函数的极限和连续的概念可以推广到二元函数的情形。
设为平面上下的一点，以为圆心，为半径的开圆域：
称为点的邻域。
定义6.3 如果函数在点的某一邻域内有定义（在点可除外），当点以任意方式趋近于点时，对应的函数值就无限趋近于一个常数，则称当趋于时函数以为极限，记作
当点以任何方式无限趋于，是指平面上的点以任何路径无限趋近。这比一元函数极限概念中趋于要复杂得多。因此，本教材不再深入讨论二元函数的极限问题。
定义6.4 设函数在点的某一邻域内有定义，并且
则称函数在点处连续，否则称函数在点处间断。点称为该函数的间断点。
如果函数在平面区域内的每一都连续，则称该函数在区域内连续。
二元函数的连续性的概念与一元函数类似的，并且具有类似的性质：在区域内连续的二元函数的图形是空间中的一连续曲面；二元连续函数经过有限次的四则运算后仍为二元连续函数；定义在有界闭区域上的连续函数一定可以在上取得最大值和最小值。
③ 巩固练习：Ex6 Q1~3
④ 课节小结：
1、空间直角坐标系空间直角坐标系的引入，使空间中的点与有序实数组，空间的曲面与方程建立了相应的对应关系。这为研究二元函数性质提供了直观的几何解释。
2、二元函数的极和连续二元函数的定义与一元函数的定义类似，但更应注意它们之间的差异。一元函数的定义域是数轴上的点集；二元函数的定义域一般是平面上的点集。在讨论一元函数在处的极限和连续性时，点趋于的方式只有从点的左右两个方向没数轴趋于；但在讨论二元函数在点处的极限和连续性时，点趋于，则可以有无穷多种方式和路径在平面上趋于。因此，对二元函数极限和连续问题的讨论要比一元函数复杂得多。
⑤ 课后作业：Ex6 Q4
§6.2 偏导数与全微分教学内容：二元函数的偏导数与全微分教学目标：理解二元函数的偏导数与全微分的概念，掌握求二元函数的偏导数与全微分的方法。
教学要点：
重点：二元函数的偏导数与全微分的概念难点：求二元函数的偏导数与全微分的方法教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
对于二元函数，当自变量，发生变化，函数值将随之变化，这就需要进一步讨论函数改变时及变化率的问题。
② 讲授新课：
6.2.1 偏导数设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在取得改变量（），而自变量保持不变时，函数相应的改变量
称为函数关于的偏增量。类似地，函数关于的偏增量为
当自变量，分别在，取得改变量，时，函数相应的改变量
称为函数的全增量。
定义6.5 设函数在点的某一邻域内有定义，如果极限
存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作
或或或
类似地，如果极限
存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作
或或或
如果函数在平面区域内的每一点处都存在对（或）的偏导数，则称函数在内存在对（或）的偏导函数，简称函数在内有偏导数，记作
或或或
或或或
由定义6.5可知，函数在点处的偏导数就是函数在点处沿轴或轴方向的变化率；而求对于自变量（或）的偏导数时，只需将另一自变量（或）看作常数，直接利用一元函数求导公式和四则运算法则计算。
例1 设，求，，和。
解 ，
，
，
。
例2 设，求，。
解
。
类似可得
由上面的例子可以看出：函数对于或的偏导数仍是，的二元函数，如果，对自变量或的偏导数也存在，则它们的偏导数称为的二阶偏导数，记为
，，
，。
或简记为，，，或，，，。
当二阶偏导数，为，的连续偏导数时，可以证明。
例3 设，求，，，。
解
；
；
；
。
6.2.2 全微分在一元函数微分学中，函数的微分，并且当自变量的改变量时，函数相应的改变量与的差是比高阶的无穷小量。这一结论可以推广到二元函数的情形。
例4 设矩形的边长分别为，，则矩形面积
如果边长，分别取得改变量，，则面积的全增量：
上式右端中的是关于的线性函数，而当，时，是一个很小的量，或者说，当时，是比高阶的无穷小量。故可略去，而用近似地表示。我们把称为的微分，记为。即
一般地，我们可引入：
定义6.6 设函数对于自变量在点处的改变量，，对应的全增量
(6.2.3)
其中A，B是，的函数，与，无关；是比高阶的无穷小量。则称为函数在点处的全微分。记作或，即
(6.2.4)
这时，我们称函数在点处可微。
可以证明：如果函数在点的某一邻域内有连续偏导数和，则函数在点处可微，并且
(6.2.5)
由此结论可知，计算函数的全微分时，只需求出和再代入上式就可得到。由于全微分可以近似地表示全增量，于是
所以
(6.2.6)
这一结论在近似计算中有一定的应用。
例5 设，求⑴，⑵当，；，时，的值。
解 ⑴ ，，所以
⑵ 当，；，时，
例6 计算。
解 设，只需计算。由
，
有
当，；，时，
于是，由(6.2.6)有
③ 巩固练习：Ex6 Q5~6
④ 课节小结：求二元函数偏导数时，只需将一个自变量看作常数，对另一自变量运用一元函数求导公式和四则运算法则即可。但是，二元函数偏导数的存在不能保证二元函数连续。这与一元函数可导必连续是完全不同的。
二元函数的全微分概念类似于一元函数。在一元函数微分学中，可导即可微。但是，在二元函数中，两个偏导数，存在，也不能保证函数在点处可微。而在点处可微时，则偏导数，存在，并且全微分
二元函数的高阶偏导数是相应的低一阶偏导数的偏导数，由此定义可求，，，。但应注意：二阶混合导数不一定相等，只有在某些条件下它们才是相等的。可以证明：设函数在区域D内连续，并且存在一阶偏导数和二阶混合偏导数和，如果在点处，和连续，则
=
在本教材的例题和习题中，函数均满足这一结论的条件。
⑤ 课后作业：Ex6 Q7
§6.3 复合函数与隐函数的微分法教学内容：复合函数与隐函数的微分法教学目标：掌握复合函数与隐函数的微分法教学要点：
重点：复合函数与隐函数的微分法难点：复合函数与隐函数的微分法教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
在一元函数微分学中，我们曾讨论了复合函数和隐函数的求导问题，本节将讨论二元函数中的类似问题。
② 讲授新课：
6.3.1 复合函数的微分法设函数，而，，于是通过中间变量，成为，的复合函数：
定理6.1 如果函数和在点的偏导数，和，都存在，且在对应于的点处，函数可微，则复合函数对和的偏导数存在，且
(6.3.1)
(6.3.2)
为了记忆和正确使用上述公式，可以画出变量关系图（图6-12）。从图中可以看出：，是自变量，，是中间变量。求复合函数z对其一个自变量（如）的偏导数时，可以从图6-12中找到由z经过中间变量到达的途径。由于由z到达的路径共有两条：和。沿第一条路径有；沿第二条路径有，两项相加即得(6.3.1)。类似地，由图6-12可得(6.3.2)。
利用这一方法就可以对各种复杂的情形正确运用定理6.1，而不必死记硬背。
例如，设，而，，因此函数z通过中间变量成为自变量的一元函数：
利用变量关系图6-13，根据定理6.1就得到
(6.3.3)
(6.3.3)也称为全导数公式。
例1 设，求，。
解 设，，则，因此
，
，，，
于是
。
。
例2 设，求，
解 设，，则，所以
6.3.2 隐函数的微分法如果方程能确定z是，的函数，且具有连续偏导数，则
利用复合函数微分法，有
，
如果，得
，
特别地，对于由方程确定的一元函数有类似的结果：当时，有
例1 设方程确定隐函数，求，。
解 设，则
，，
于是
，
应注意：应把原方程中所有项移到等号左边以得到，在计算偏导数时，要把其它的变量和z当做常量，在计算，时也应注意这一点。
例2 设方程确定隐函数，求。
解 设。则
，
。
于是
当然，我们仍可以利用在方程两边求导（或偏导数）的方法解上述问题。
③ 巩固练习：Ex6 Q8~10
④ 课节小结：在利用复合函数微分法时，应先分清变量间的关系：哪些是中间变量，哪些是自变量。一般，可画出变量关系图，明确复合关系，然后运用公式得到正确结果。
利用公式法求隐函数的偏导数时，则应先把方程化为（或）的形式，在计算，，要把，，看作独立的自变量，就可得到
,
⑤ 课后作业：Ex6 Q11~12
§6.4 二元函数的极值教学内容：二元函数极植的概念，二元函数极值的求法。
教学目标：了解二元函数极植的概念，会求二元函数的极值，会用Lagrange乘数法求解简单的条件极值问题。
教学要点：
重点：二元函数极植的概念，二元函数极值的求法。
难点：Lagrange乘数法求解简单的条件极值问题教学方法：
教学时数：4
教学工具：
教学设计：
① 复习引导：
二元函数的极值理论在经济管理中具有广泛应用，它的许多结论也适用于一般的元函数问题。
② 讲授新课：
6.4.1 无条件极值定义6.7 设函数在点的某一邻域内有定义，如果对邻域内的任意异于的点，总有
则称是函数的极大值；如果，总有
则称是函数的极小值。
函数的极大值和极小值统称为极值，使取得极值的点称为极值点。在求函数的极值时，如果没有其它任何限制条件，则此极值问题称为无条件极值问题。否则称之为条件极值问题。求一个函数的无条件极值，通常意味着在整个坐标平面或某个开区域内进行讨论。
例1 求的极值。
解 在点的某邻域内，对任意的点，有
所以，函数在处有极大值。这一结论的几何意义可参见图6-10。
例1比较简单，可以利用定义6.7直接判断。对于一般的二元函数极值问题，则可以利用下述定理进行计算。这些定理是一元函数极值理论的推广。
定理6.2（极值的必要条件） 如果函数在点处有极值，且在处存在一阶偏导数，则
,
使各一阶偏导数等于零的点称为驻点。但应注意：根据定理6.2，当函数存在一阶偏导数时，极值点必为驻点。但是，驻点未必是极值点。二元函数的极值也可能在偏导数不存在的点处达到。这与一元函数极值的有关结论十分相似的。
定理6.3（极值存在的充分条件） 如果函数在点的某一邻域内有二阶连续偏导数，且，。记
，，
则 ⑴ 当时，则不是极值；
⑵ 当，且时，则是极大值；
⑶ 当，且时，则是极小值；
⑷ 当时，不能判定是否为极值。这时，需要其它方法判定。
（证明略）。
例2 求函数的极值。
解 ，。令，。即解
可得驻点和。又
，，。
对于驻点，，，。所以
根据定理6.3，点不是极值点。
对于驻点，
，，
所以
根据定理6.3，函数在点处取得极小值。
6.4.2 条件极值在求函数的极值时，如果自变量，必须满足一定的条件，这样的极值问题称为条件极值问题。称为约束条件或约束方程。所求出的极值称为条件极值。
如果由约束条件可解出一个变量用另一变量表示的解析表达式，则可将此表达式代入中。则此条件极值问题就化为一元函数的无条件极值问题。但在许多情形，我们不能由约束条件解得这样的表达式，因此需研究其它的求解条件极值问题的方法——Lagrange乘数法。
首先构造Lagrange函数：
其中称为Lagrange乘数。然后，求的关于，，的偏导数，并令它们等于零。求解方程组：
此方程的解就是可能的极值点。最后判别是否为极值点。但是这一充分条件已超出本教材的要求。一般可以根据问题的实际背景直接判定。
例3 某化妆品公司可以通过报纸和电视台做销售化妆品的广告。根据统计资料，销售收入（百万元）与报纸广告费用（百万元）和电视广告费用（百万元）之间的关系有如下的经验公式：
⑴ 如果不限制广告费用的支出，求最优广告策略。
⑵ 如果可供使用的广告费用为150万元，求相应的最优广告策略。
解 ⑴ 设该公司的净销售收入为
令
得驻点（百万元），（百万元）。又
，，，
所以，在点处，有
，。
所以，函数在处有极大值，因极大值点唯一，故在处也是最大值，即最优广告策略为报纸广告费为75万元，电视广告费为125万元。
⑵ 如果广告费限定为150万元，则需求函数在条件下的条件极值。设
解方程组
得，。根据问题的实际意义，在点处有条件极值。即将广告费全部用于电视广告，可使净收入最大。
③ 巩固练习：Ex6 Q13~16
④ 课节小结：在求二元函数的极值时，应按下述步骤进行：
⑴ 由函数极值存在的必要条件，求解
得到所有的驻点。
⑵ 对于每一驻点，计算的二阶偏导数在该点的值：
，，
⑶ 判断是否为极值点：利用极值的充分条件，有当时，是极值点。且时，函数有极大值；当时，函数有极小值。
当时，不是极值点。
当时，不能确定是否为极值点。
⑤ 课后作业：Ex6 Q17
