第 5章 函数第 5章 函数
5.1 函数的基本概念
5.2 反函数和复合函数
5.3 集合的基数返回总目录第 5章 函数
5.1函数的基本概念定义 5.1.1设 A和 B是两个任意集合,f是 A到 B的二元关系，如果对于 A中的每一个元素 x，都存在 B中惟一元素 y，
使得?x,yf，则称 f是 A到 B的函数或映射。记为 f,A→B。
x,yf，常记为 y=f(x),x称为自变元或像源,y称为在 f作用下 x的函数值或像。
由函数的定义可以看出，函数是一种特殊的二元关系。若 f是 A到 B的函数。它与一般二元关系的区别如下：
①函数的定义中强调 A中的每一个元素 x有像，所以
A=dom f。 这称为像的存在性。
②函数的定义中还强调像 y是唯一的，称做像的惟一性。像的惟一性可以描述为：设 f(x1)=y1且 f(x2)=y2。如果
x1=x2，那么 y1=y2。或者，如果 y1≠y2，那么 x1≠x2。
第 5章 函 数第 5章 函数
【 例 5.2】 设 N为自然数集合，下列 N上的二元关系是否为函数？
f=x,2x? | x?N?
g=x,2? | x?N?
解,f和 g都是从自然数集合 N到自然数集合 N的函数，
常记为 f,N→N,f(x)=2x和 g,N→N,g(x)=2。
设 A和 B是两个任意集合,A× B任意子集是 A到 B的二元关系，但不一定是 A到 B的函数。当 A和 B是有限集时，
由定理 4.1.1的证明过程可以看出,A到 B的二元关系共有
2|A||B|个,A到 B的函数有多少个呢？以下研究这个问题。
设 A和 B是两个任意的集合,?f |f,A→B?是 A到 B的所有函数构成的集合，常记为 BA。读作 B上 A。
第 5章 函数
【 例 5.3】 设 A=?1,2,3?,B=?a,b?，求 BA。
解,由 A到 B的函数有以下 8个：
f0=1,a?,?2,a?,?3,a
f1=1,a?,?2,a?,?3,b
f2=1,a?,?2,b?,?3,a
f3=1,a?,?2,b?,?3,b
f4=1,b?,?2,a?,?3,a
f5=1,b?,?2,a?,?3,b
f6=1,b?,?2,b?,?3,a
f7=1,b?,?2,b?,?3,b
BA=? f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7?
A到 B的函数共 8个,8=23=|B||A|。
当 A和 B都是有限集时，这个结论可以推广。一般地说，若 |A|=m,|B|=n,则 |BA|=nm=|B||A|。
第 5章 函数定义 5.1.2 设 A和 B是两个任意的集合,f,A→B，
A1?A，集合?f(x) |x?A1?称为集合 A1在 f下的像，记为 f(A1)。
集合 A在 f下的像 f(A)=?f(x) |x?A?称为函数 f的像。显然，
函数 f的像 f(A)就是二元关系 f的值域，即 f(A)=ran f。
【 例 5.4】 设 f,?1,2,3?→?a,b?，
f=1,a?,?2,a?,?3,b,A1=?1,2?，
试求 A1在 f下的像 f(A1)和函数 f的像 f(A)。
解,f(A1)=?f(x) |x?A1?=?f(1),f(2)?=?a?
f(A)=?f(x) |x?A?=?f(1),f(2),f(3)?=?a,b?
第 5章 函数定义 5.1.3 设 f,A→B,g,C→D，若 A=C,B=D且
x?A，有 f(x)=g(x)，则称函数 f和 g相等，记为 f =g。
例如，函数 f,N→N,f(x)= x3
函数 g,?1,2,3?→N,g(x)=x3
虽然函数 f和 g有相同的表达式 x3，但是它们是两个不同的函数。
如果把 f和 g看成二元关系，
f?N× N，用列举法表示为：
0,0?,?1,1?,?2,8?,?3,27?,?4,64?,
g1,2,3?× N，用列举法表示为：
0,0?,?1,1?,?2,8?,?3,27
按二元关系相等的条件衡量，它们也是不等的。函数相等和二元关系相等是一致的。
第 5章 函数定义 5.1.4 设 f,A→B，若 f的值域 ran f =B，则称 f为满射。
设 f是 A到 B的函数，由定义不难看出，如果?y?B，都存在 x?A，使得 f(x)=y，则 f是满射函数。
例如,A=?a,b,c,d?,B=?1,2,3?,f是由 A到 B的函数，
定义为,f =a,1?,?b,1?,?c,3?,?d,2
因为 ran f=f(A)=?1,2,3?=B，所以 f是满射。图 5.2是 f的示意图。由图 5.2可得出如下的结论：
若 A,B是有限集,f,A→B
是满射，在 f的示意图中,B中每个元素至少是一个有向边的终点且 |A|≥|B|
第 5章 函数定义 5.1.5 设 f,A→B，若?y?ran f，存在惟一的 x?A，
使得 f(x)=y，则称 f为单射。
设 f是 A到 B的函数，由定义不难看出，如果对于 x1?A，
x2?A,f(x1)=y1,f(x2)=y2。
①当 y1=y2时，一定有 x1=x2，则 f是单射函数。
②当 x1≠x2时，一定有 y1≠y2，则 f是单射函数。
【 例 5.5】 设 f,?a,b?→?2,4,6?，定义
f =a,2?,?b,6
函数 f是否为单射？ f是否为满射？
第 5章 函数解,因为 f(a)=2,f(b)=6，所以 f是单射。因为 f 的值域 ran f =?2,6?≠?2,4,6?，所以 f不是满射。图 5.3是 f 的示意图。
由图 5.3可得出如下的结论：
若 A,B是有限集，
f,A→B是单射，在 f 的示意图中,B中每个像点是且仅是一条有向边的终点且 |A|≤|B|
第 5章 函数定义 5.1.6 设 f,A→B，若 f既是单射，又是满射，则称 f为双射。
例如,A=?1,2,3?,B=?a,b,c?,f =1,a?,?2,c?,?3,b，
f是 A到 B的双射函数，图 5.4是 f的示意图。
第 5章 函数若 A,B是有限集,f,A→B是双射，则 f一定是满射。
故 B中每个元素至少是一个有向边的终点； f 也是单射，故
B中每个像点是且仅是一条有向边的终点。所以，在双射函数的示意图中,B中每一个元素是且仅是一条有向边的终点。
若 A,B是有限集,f,A→B是双射，则 f 一定是满射，
所以 |A|≥|B|； f 也是单射，所以 |A|≤|B|。于是 |A|=|B|。
第 5章 函数
【 例 5.6】 判断下列函数是否为单射、满射或双射。
为什么？
⑴ f,R→R,f(x)= - x2+2x-1，其中,R是实数集合
⑵ f,I＋ →R,f(x)=ln x，其中,I＋ 是正整数集合
⑶ f,R→I,f(x)=[x]，其中,[x]是不大于 x的最大整数
⑷ f,R→R,f(x)= 2x+1
⑸ f,R＋ →R＋,f(x)=,其中,R＋ 是正实数集合 x
x 12?
第 5章 函数解,⑴ f(x)=-x2+2x-1= -(x-1)2,f 是开口向下的抛物线，
不是单调函数，所以不是单射。在 x =1处取得极大值 0，所以 f 不是满射。 f 既不是单射也不是满射。
⑵ f 是单调增加函数。因此是单射，但不是满射，因为
ran f =?ln 1,ln 2,R
⑶ f是满射，但不是单射，例如 f(1.5)=[1.5]=1，而 f(1.2)
=[1.2]=1
⑷ f是单调增加函数且 ran f =R，它既是单射，也是满射，
因此它是双射。
⑸ f 不是单射也不是满射。当 x→0时,f(x)→＋ ∞；而当
x→＋ ∞时,f(x)→＋ ∞。在 x=1处函数 f(x)取得极小值 f(1)
=2。 因此它既不是单射也不是满射。
第 5章 函数定义 5.1.7
⑴ 设 f,A→B，若?y?B,?x?A，都有 f(x)=y，则称 f
为常函数。
⑵设 IA是 A上的恒等关系，它是 A到 A的函数,IA叫做
A上的恒等函数。常记为 y=IA(x)。
⑶设 A是任意集合,A′?A,?x?A，定义,A→?0,1?
如下：
叫做 A′的特征函数。
⑷设 R是 A上的等价关系,[x]R是 x形成的 R等价类，
A/R是 A关于 R的商集,f,A→A/R，定义为,f(x)=[x]R，称 f
为 A到商集 A/R的自然函数或自然映射。
AAx
Axxx
A
0
1)(
)(xxA?
第 5章 函数例如，设 A=?a,b,c?,A′=?b?,B′=?a,b?，则
A′的特征函数 xA′=a,0?,?b,1?,?c,0。
B′的特征函数 xB′=a,1?,?b,1?,?c,0。
显然 A的每一个子集都对应一个特征函数。
又例如，设 A=?a,b,c?,A上的等价关系 R为：
R=a,a?,?b,b?,?b,c?,?c,b?,?c,c，
商集 A/R=a?,?b,c
f,A→A/R
f(a)=?a?
f(b)=f(c)=?b,c?
不同的等价关系确定不同的自然映射，其中恒等关系确定的自然映射是双射，而其它的自然映射一般地说是满射。
返回章目录第 5章 函数
5.2反函数和复合函数
5.2.1 反函数定理 5.2.1 设 f,A→B是双射函数，则 f 的逆关系 f C
是 B到 A的双射函数。
证明,先证逆关系 f C是 B到 A的函数。
因为 f 是函数，所以 f C是 B到 A的二元关系。以下证明 B到 A的二元关系 f C是 B到 A的函数。
⑴?y?B，因为 f,A→B是满射，所以,?x?A，使
x,yf，由逆关系的定义得,?y,x f C。
⑵设?y1,x1fC,?y2,x2 fC,y1=y2，由逆关系的定义知,?x1,y1f,?x2,y2 f，因为 f是单射，所以 x1=x2
故 f C是 B到 A的函数。
第 5章 函数再证 f C是满射。
由定理 4.2.7有 ran f C=dom f。又因为 f 是 A到 B的函数，
所以 dom f =A。于是 ran f C=A。所以 f C是 B到 A的满射。
最后证 f C是单射。
设?y1,x1f C,?y2,x2 f C且 x1=x2，由逆关系的定义有
x1,y1f,?x2,y2 f，又因为 f是函数，必有 y1=y2。
所以 f C是单射。
这就证明了 f C是双射函数。
第 5章 函数定义 5.2.1 设 f,A→B是双射函数,f的逆关系 f C是 B到 A
的双射函数。称双射函数 f C为 f的反函数，记为,f -1。
例如，设 A=?1,2,3?,B=?a,b,c?。
f=1,a?,?2,c?,?3,b
显然,f是 A到 B的双射函数。 f的逆关系
f C=a,1?,?c,2?,?b,3
是 B到 A的双射函数，记为 f -1,f –1是 f 的反函数。
又如 g=1,a?,?2,a?,?3,b也是 A到 B的函数，但 g不是满射，也不是单射，因而不是双射。逆关系
gC=a,1?,?a,2?,?b,3
不是 B到 A的函数。
第 5章 函数定理 5.2.2 设 f,A→B为双射函数,f -1,B→A是 f的反函数，则 (f -1)-1=f。
证明,由定理 5.2.1和定义 5.2.1知 (f -1)-1,A→B，且为双射。
x?A，设 f (x)=y，则 f -1(y)= x,(f -1)-1(x)= y= f(x)，
所以 (f -1)-1= f。
例如，设 A=?a,b,c?,B=?1,2,3?。 f,A→B为双射函数，
定义为：
f=a,2?,?b,3?,?c,1
则 f -1=2,a?,?3,b?,?1,c
(f -1 )-1=a,2?,?b,3?,?c,1= f
第 5章 函数
5.2.2 复合函数第 4章介绍了二元关系的复合运算。在那儿，二元关系的复合关系定义为：
设 X,Y,Z是集合,R?X× Y,S?Y× Z，集合
x,zx?X∧ z?Z∧ (?y)(y?Y∧?x,yR∧?y,zS)?
叫做 R和 S的复合关系。记为 R°S。即
R°S=x,zx?X∧ z?Z∧ (?y)(y?Y∧?x,yR∧?y,zS)?
将 R°S=x,zx?X∧ z?Z∧ (?y)(y?Y∧?x,yR∧?y,zS)?
记为 S°R，即
S°R=x,zx?X∧ z?Z∧ (?y)(y?Y∧?x,yR∧?y,zS)?
第 5章 函数前者叫做 R和 S的复合关系。为了与前者区别，后者叫做二元关系 S在二元关系 R左边的复合关系，简称为 S和 R的左复合关系。
前面已经讲过，函数是满足一定条件的二元关系，当然它可以进行左复合运算。函数的左复合关系描述为：
设 f,A→B,g,C→D，若 f(A)?C，集合
g°f=a,d?| a?A∧ d?D∧ (?b)(b?B∧?a,bf∧?b,dg)?
=a,d?| a?A∧ d?D∧ (?b)(b?B∧ b=f(a)∧ d=g(b))?
第 5章 函数定义 5.2.2 设 f,A→B,g,C→D，若 f(A)?C，集合
a,d?| a?A∧ d?D∧ (?b)(b?B∧ b=f(a)∧ d=g(b))?
称为函数 g在函数 f左边的复合关系，记为 g°f。
定理 5.2.3 设 f,A→B,g,C→D,f(A)?C,则函数 g在函数 f左边的复合关系 g°f是 A到 D的函数。
证明,?a?A，因为 f是 A到 B函数，必存在惟一的 b?B，
使得?a,bf。即 b=f(a)。而 b=f(a)?f(A)?C，故 b?C。又因为
g是 C到 D函数，必存在惟一的 d?D，使得?b,dg。即 d=g(b)。
故由定义 5.2.2,?a,dg°f，即 g°f(a) = d。
所以 g°f是 A到 D的函数。
第 5章 函数定义 5.2.3 设 f,A→B,g,C→D，若 f(A)?C，函数 g在函数 f左边的复合关系 g°f称为函数 g在函数 f左边可复合函数，简称为 g和 f的左复合函数或 g和 f的复合函数。仍然记为 g°f。 g°f
是 A到 D的函数。
推论 设 f,A→B,g,C→D,f(A)?C，则 g°f(x)=g(f(x))。
证明：由定理 5.2.3的证明过程可以看出,?a?A,b=f(a)
且 d=g(b),g°f(a)=d，于是,g°f(a)=d=g(b)=g(f(a))。
所以,g°f(x)=g(f(x))。
第 5章 函数定理 5.2.4 设 f,A→B,g,B→C,g f,A→C。
⑴ 如果 f和 g都是满射，则 g°f也是满射。
⑵ 如果 f和 g都是单射，则 g°f也是单射。
⑶ 如果 f和 g都是双射，则 g°f也是双射。
证明,⑴?c?C，因为 g是 B到 C的满射,?b?B，使
c=g(b)。又因为 f是 A到 B满射,?a?A，使 b=f(a)。于是，
g°f(a)=g(f(a))=g(b)=c，所以 g°f是满射。
⑵设 a1?A且 a2?A,a1≠a2，因为 f是 A到 B单射,f(a1)≠
f(a2),f(a1)?B,f(a2)?B。又因为 g是 B到 C单射，所以
g(f(a1))≠g(f(a2))，即 g°f(a1)≠g°f(a2)，故 g°f是单射。
⑶ f和 g都是双射，则 f和 g都是满射和单射，由⑴和⑵知，
g°f是满射和单射，故 g°f是双射。
第 5章 函数在第 4章的第 2节中定义了二元关系的复合运算，介绍了复合运算性质。这些性质有：
设 R?X× Y,S?Y× Z,T? Z× W。
① (R°S)°T=R°(S°T)
② R°IY=IX°R=R
③ R°RC =IX,RC°R=IY
④ (R°S)C=SC°RC
函数的 复合运算 也有类似的性质 。 以下几个定理介绍了这些性质 。
第 5章 函数定理 5.2.5 设 f,A→B,g,B→C,h,C→D,则
h°(g°f)=(h°g)°f
证明,由定义 5.2.3知,
g°f,A→C,h°(g°f),A→D。
类似地 h°g,B→D,(h°g)°f,A→D。
令 f(x)=y,g(y)=z,h(z)=u。
由定理 5.2.3的推论知,
g°f(x)=g(f(x))=g(y)=z,h°g(y)= h(g(y))=h(z)=u
h°(g°f)(x)=h°((g°f)(x))=h(z)=u
=h°g(y)=h°g(f(x))=(h°g)°f(x)
所以 h°(g°f)=(h°g)°f
因为函数的复合运算满足结合律,所以可略去函数复合运算中的括号,即用 h°g°f记 h°(g°f)=(h°g)°f,另外,还可以定义函数的幂,f 2= f°f,f 3= f°f°f,
第 5章 函数
【 例 5.8】 设 R 是实数集合,下面是 R到 R 的函数
f(x)=x+2,g(x)=x-2,h(x)=3x
先求 g和 f的复合函数 g°f,h和 g的复合函数 h°g。 再验证 h°(g°f)=(h°g)°f
解,显然 h°(g°f),R→R
(h°g)°f,R→R
g°f(x)=g(f(x))=g(x+2)=(x+2)-2=x
h°g(x)=h(g(x))=h(x-2)=3(x-2)=3x-6
h°(g°f)(x)=h°(g°f (x))=h(x)=3x
(h°g)°f (x)= h°g(f(x))=h°g(x＋ 2)=3(x＋ 2)-6=3x
所以 h°(g°f)(x)=(h°g)°f (x)
故 h°(g°f)=(h°g)°f
°
第 5章 函数定理 5.2.6 设 f,A→B,IA是 A上的恒等函数,IB是 B上的恒等函数,则 IB°f=f°IA=f
证明,先证 f°IA=f
由定义 5.2.3知,f°IA,A→B,再由定理 5.2.3的推论知
f°IA(x)=f°(IA(x))=f(x)
所以 f°IA=f
类似地可以证明 IB°f=f
定理 5.2.7设 f,A→B为双射函数,f－ 1,B→A是 f的反函数,则 f -1°f=IA,f°f -1=IB
证明,先证明 f -1°f=IA
由定义 5.2.3知 f-1°f,A→A。 IA,A→A。
x?A,设 f(x)=y,则 f -1(y)= x。
f -1°f(x)=f -1(f(x))= f -1(y)=x=IA(x)
所以 f -1° f=IA
类似地可以证明 f°f -1=IB
°
第 5章 函数
【 例 5.9】 设 A=?0,1,2?,B=?a,b,c?,f,A→B,定义为：
f=0,c?,?1,a?,?2,b,求 f–1,f-1°f和 f°f -1,验证
f -1°f=IA和 f°f -1=IB
解,f -1= a,1?,?b,2?,?c,0
f -1°f=0,0?,?1,1?,?2,2
f°f -1=a,a?,?b,b?,?c,c
f -1°f,A→A,IA,A→A
f -1°f(0)=0=IA(0),f -1°f(1)=1=IA(1),f -1°f(2)=2=IA(2)
所以 f -1°f=IA
f°f -1,B→B,IB,B→B
f°f -1(a)=a=IB(a),f°f -1(b)=b=IB(b),f°f -1(c)=c=IB(c)
所以 f°f -1=IB
°
第 5章 函数定理 5.2.8 设 f,A→B,g,B→C且 f和 g均为双射函数,
则 (g°f)-1=f -1°g-1
证明,⑴ 因为 f和 g均为双射函数,f -1和 g-1存在且
f -1,B→A,g-1,C→B
所以 f -1°g-1,C→A
另一方面,由定义 5.2.3知,g°f,A→C。
所以 (g°f )-1,C→A。
⑵?z?C,因为 g为双射函数,?y?B 使 g(y)=z,又因为 f
为双射函数,?x?A,使 f(x)=y，
于是,g°f(x)=g(f(x))=g(y)=z
故 (g°f)-1(z)=x。
另一方面,f -1(y)= x,g-1(z)= y。 于是,f -1°g-1(z)=
f -1°(g-1(z))=f -1(y)=x
所以 (g°f)-1=f -1°g-1
返回章目录第 5章 函数
5.3集合的基数
5.3.1集合的等势定义 5.3.1 设 A和 B是集合,如果存在 A到 B的双射函数,
则称集合 A和集合 B等势 。 记作 A~B。
设 A和 B是有限集合,A~B,则存在 A到 B的双射函数,
根据 5.1节中双射的性质,|A|=|B|。 即 A和 B中元素的个数相等 。
【 例 5.10】 设 I是整数集,N是自然数集 。 试证明 I~N。
证明,设 f,I→N,定义为：
0
0
12
2)(
x
x
x
xxf
第 5章 函数以下证明 f是 I到 N的双射函数 。
任取 n?N，若 n是偶数，有?I且 ≥0，
使 f( )=2? =n；
若 n是奇数，有?I且 ＜ 0，使 f( )=
-2?( )-1=n。 所以 f是满射。
2
n
2
n
2
n
2
n
2
1 n
2
1 n
2
1 n
2
1 n
按照这个定义将 I中的元素如下排列与 N中的元素对应：
I 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4?
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8?
第 5章 函数若有 n1?I,n2?I且 n1≠n2。 分下列 4种情况讨论：
⑴ 假定 n1≥0且 n2≥0,则 f(n1)-f(n2)=2n1-2n2=2(n1-n2)≠0，
所以 f(n1)≠f(n2)。
⑵ 假定 n1 ＜ 0 且 n2 ＜ 0,则 f(n1)-f(n2)=(-2n1-1)-(-2n2-
1)=2(n2-n1)≠0,所以 f(n1)≠f(n2)。
⑶ 假定 n1≥0且 n2＜ 0,则 f(n1)-f(n2)=2n1-(-2n2-1)=2(n1＋
n2)+1≠0(因为一个偶数与 1的和或差永远不能为 0),所以
f(n1)≠f(n2)。
⑷ 假定 n1＜ 0且 n2≥0,类似 ⑶,同样有 f(n1)≠f(n2)。
所以 f是单射 。 于是 f是 I到 N的双射函数 。
I~N
第 5章 函数定理 5.3.1设 A,B,C是任意三个集合 。 则集合的等势有下列性质 。
⑴ 自反性,即 A~A。
⑵ 对称性,即若 A~B,则 B~A。
⑶ 传递性,即若 A~B,B~C,则 A~C。
证明,仅证明 ⑶ 。
因为 A~B,B~C,由等势的定义知,存在双射函数 f：
A→B和双射函数 g,B→C,由定理 5.2.4知,g°f是 A到 C的双射函数 。
所以 A~C。
第 5章 函数
5.3.2有限集和无限集定义 5.3.2 如果集合 A与集合?0,1,2,?,n-1?(n是某个自然数 )等势,则称 A为有限集,如果集合 A不是有限集,则称
A为无限集 。
定理 5.3.2 自然数集 N是无限集 。
证明,?n?N,设 f是任意集合?0,1,2,?,n-1?到 N的函数,
令 k=1+max?f(0),f(1),?,f(n-1)?,k?N。x0,1,2,?,n-1?,
f(x)≠k。 因此,f不是从?0,1,2,?,n-1?到 N的满射函数 。 当然不是从?0,1,2,?,n-1?到 N的双射函数 。 因为 n和 f都是任意的,
所以,自然数集 N不是有限集,而是无限集 。
定理 5.3.3 有限集不与它的任何真子集等势 。
证明,设 A 为任一有限集,B?A,则 C=A-B≠?。
|B|=|A|-|C|＜ |A|,即 |A|≠|B|,根据 5.1节中双射的性质,A与 B
之间不存在双射函数 。 A与 B不等势 。
第 5章 函数定理 5.3.4 无限集必与其某个真子集等势 。
证明,首先证明在任何一个无限集 a中,一定能取出一系列元素 a1,a2,? 。
在 A中任取一个元素,记为 a1。 因为集合 A是无限集,
显然,集合 A-?a1?不空 。 再从 A-?a1?中取一个元素,记为
a2。 同样,集合 A-?a1,a2?不空 。 继续做下去,可从 A中取出一系列元素 a1,a2,? 。
记?=a-?a1,a2,,令?=?a2,a3,∪?,显然A。
f,A→?,定义为：
f(ai)=ai+1 i=1,2,?
f(x)=x x
显然,f是 A到?的双射 。 A~?
根据定理 5.3.3和定理 5.3.4可以给出有限集与无限集的另外一个定义如下：
不能和自己的任何真子集等势的集合称作有限集 。
能与自己的某个真子集等势的集合称作无限集 。
第 5章 函数
5.3.3集合的基数定义 5.3.3 将相互等势的集合归于同一类,对这样的每一类集合规定一个记号,称这个记号是这一类集合中每一个集合的基数或者势 。 集合 A的势记为 |A|。
根据定义 5.3.3,任何等势的集合具有相同的基数；而不等势的集合基数也不相同 。 规定有限集的势是该集合中元素的个数,空集的势为 0。
定义 5.3.4 设 N是自然数集合,凡与 N等势的集合称为可数集或可列集,也叫无限可数集或无限可列集 。 通常记可数集的基数为?0。 读作,阿列夫零,。
根据此定义，由例 5.10知自然数集合 N和整数集 I都是可数集,|N|=|I|=?0。
第 5章 函数定理 5.3.5 集合 A是可数集的充分必要条件是 A的全部元素可以排成一个无限序列 a0,a1,? 。
证明,设 A是可数集,下证 A的全部元素可以排成一个无序列 a0,a1,? 。
因为 A是可数集,由可数集的定义有 N~A。 由等势的定义知,存在 N到 A的双射函数 。 设 f,N→A是双射函数,令
an=f(n)?A。 则 a可写成一个无限序列 a0,a1,? 。
设 A的全部元素可以排成一个无限序列 a0,a1,?,下证 A
是可数集 。
因为 A的全部元素可以排成一个无限序列 a0,a1,?,所以可定义 N到 A一个双射函数 f(n)=an,故 A是可数集 。
该定理说明一个能用自然数编号的无限集是可数集 。
第 5章 函数
【 例 5.11】 设 N为自然数集,证明集合
M=?x|x=10n∧ n?N?
是可数集 。
证明,令 ai=10i,则集合 M可用列举法表示为：
M=?0,10,20,30,=? a0,a1,
M是能用自然数编号的无限集,根据定理 5.3.5,M是可数集 。
定理 5.3.6 任何无限集必含有可数子集 。
证明,设 A为无限集,则 A≠?,在 A中任取一个元素,
记为 a0。 因为集合 A是无限集,显然,集合 A-?a0?不空 。
再从 A-?a0?中取一个元素 a1。 同样 A-?a0,a1?不空 。 可以继续做下去,从 a中取出一系列元素 a0,a1,
令 A′=?a0,a1,
由定理 5.3.5知,A′是可数集 。 显然 A′?A。
第 5章 函数定理 5.3.7 可数集的无限子集仍为可数集 。
证明,设 a为可数集,它的元素编号如下：
a0,a1,?,an,?
任取 a的无限子集 B,在 a的元素中,从 a0开始逐个检查,将遇到的第一个 B的元素记为,第二个记为,? 。
因为 B是无限集,所以 B中的元素可排为,,?,,? 。
由定理 5.3.5,B是可数集 。
1ia
1ia 2ia
2ia
nia
第 5章 函数定理 5.3.8 可数个可数集的并集仍为可数集 。
证明,设可数个可数集分别为：
A0=? a00,a01,a02,a03,a04,
A1=? a10,a11,a12,a13,a14,
A2=? a20,a21,a22,a23,a24,
A3=? a30,a31,a32,a33,a34,
p+q=h称为元素 apq (p,q=0,1,2,? )的高度 。 对上述集合的所有元素,先按高度大小编号,在同一高度中按 q的值由小到大编号 。 这样就可以把并集 A0∪ A1∪ A2∪? 中所有的元素按下列顺序 (箭头所指顺序 )编成一列：
第 5章 函数
a00,a01,a02,a03,a04,?
↓ ↗ ↗ ↗ ↗
a10,a11,a12,a13,a14,?
↗ ↗ ↗
a20,a21,a22,a23,a24,?
↗ ↗
a30,a31,a32,a33,a34,?
a00; a10,a01; a20,a11,a02;?
因为 Ai,Aj可能有公共元素,这些公共元素在并集中是同一元素,在这一序列中去掉重复元素后的集合仍是可数的 。 所以并集 A0∪ A1∪ A2∪? 是可数集 。
第 5章 函数
【 例 5.12】 在直角坐标系下,两坐标 x,y均为整数的点 (x,y)称为格点 。 证明全体格点构成可数集 。
证明,对每个固定的整数 n,An=n,m?| m是整数?中的元素可排列为：
n,0?,?n,1?,?n,-1?,?n,2?,?n,-2?,?
所以 An是可数集 。 显然,右半平面上的格点全体构成的集合就是并集 A0∪ A1∪ A2∪?,这是可数个可数集的并,
因而是可数集 。
左半平面上的格点全体构成的集合就是并集 A-1∪ A-2
∪ A-3∪?,这也是可数个可数集的并,因而是可数集 。
因为可数集的并是可数集,所以平面上的格点全体构成的集合
A0∪ A1∪ A2∪? ∪ A-1∪ A-2∪ A-3∪?
是可数集 。
第 5章 函数
【 例 5.13】 证明有理数全体是可数集 。
证明,有理数 r可写成分数,其中 q≠0,p,q为互质的整数 。 把分数 记为序偶?p,q?,就成为平面上的格点 。
在平面上的全体格点构成的集合中删除 q=0和 p,q不互质的序偶得集合 S,S就是有理数集合,它是平面上的全体格点构成的集合的无限子集,而平面上的全体格点构成的集合是可数集 。 由定理 5.3.7 知,有理数全体是可数集 。
q
p
q
p
第 5章 函数定理 5.3.9 设 R为实数集,则集合?x| x?R∧ 0≤x≤1?是不可数集 。
证明,如果?x| x?R∧ 0＜ x≤1?是不可数集,那么?x|
x?R∧ 0≤x≤1?自然是不可数集 。 所以先证?x| x?R∧ 0＜ x≤1?
是不可数集 。
如果?x| x?R∧ 0＜ x≤1?是可数集,那么,其中所有实数可排成一数列,t1,t2,?,tn,?,将这些实数用十进制无限小数表示为：
t1=0.t11t12t13t14?
t2=0.t21t22t23t24?
t3=0.t31t32t33t34?
第 5章 函数其中所有 tij都是 0,1,2,?,9十个数字中的一个,
并且对每一个 i,ti=0.ti1ti2ti3ti4? 中无限项后不全为 0。
作十进制小数
a=0.a1a2a3a4?
其中 ai≠tii,ai≠0,ai≠9,i=1,2,? 。 这是办得到的 。 因为对任意的 i,如 tii=1,令 ai=2,如 tii≠1,那末取 ai=1就行了 。
于是所作成的数 a应该在集合?x| x?R∧ 0＜ x≤1?中,但不会在数列 t1,t2,?,tn,? 中,因为对于每个 n,an≠tnn,所以 a≠tn，
这和?ti|i=1,2,是区间?x| x?R∧ 0＜ x≤1?中实数全体的假设相矛盾 。 因此?x| x?R∧ 0＜ x≤1?是不可数集 。 从而?x|
x?R∧ 0≤x≤1?也是不可数集 。
定义 5.3.5 集合?x|x?R∧ 0≤x≤1?的基数称为连续点集的基数。记为?。读作,阿列夫,。
第 5章 函数
5.3.4集合基数的比较定义 5.3.6 若集合 A到集合 B存在一个单射,则称 A的基数不大于 B的基数或称 A的基数小于等于 B的基数,记为
|A|≤|B|。 若集合 A到集合 B存在一个单射,但不存在双射,则称 A的基数小于 B的基数,记为 |A|＜ |B|。
定理 5.3.10 设 A和 B是集合,如果 |A|≤|B|且 |B|≤|A|,则
|A|=|B|
证明从略 。
这个定理对证明集合的基数相同提供了有效方法 。 如果我们能够构造一单射函数 f,A→B,即说明有 |A|≤|B|。 另外,
如能够构造单射函数 f,B→A,即有 |B|≤|A|。 根据本定理就得到 |A|=|B|。
第 5章 函数
【 例 5.14】 证明区间 [0,1]与 (0,1)有相同的基数 。
证明,作单射函数
f,(0,1)→[0,1],f(x)=x |(0,1)|≤|[0,1]|
g,[0,1]→(0,1),f(x)= + |[0,1]|≤|(0,1)|
所以 |(0,1)|=|[0,1]|
定理 5.3.11 实数集 R的基数是?。
证明,先证集合 R1=?x|x?R∧ 0＜ x＜ 1?和实数集 R等势 。 作 R1到 R的函数 f,R1→R
f(x)=
因为正切函数 tg x在 R1中是单调递增的,所以 f是 R1到
R的双射函数 。 根据定义 5.3.1,R1~R,再由定义 5.3.3和定义 5.3.5,|R|=?。
2
x
2
1
2 12 －xtg
第 5章 函数
【 例 5.15】 设 A是自然数集合,B=(0,1),|A|＝ |N|=?0，
|B|=?,求证 |A× B|=?。
证明,设 R是实数集合 。 定义一个从 A× B到 R的函数 。
f (n,x)=n＋ x
显然 f是从 A× B到 R的单射函数,所以 |A× B|≤|R|,而
|R|=?,故 |A× B|≤?
此外,作函数 g,(0,1)→A× B,g(x)=?0,x?
因为 g是单射的,|(0,1)|≤|A× B|,而 |(0,1)|=?,故?≤|A× B|。
所以 |A× B|=?。
第 5章 函数定理 5.3.12 设 A是有限集合,则 |A|＜?0＜?。
证明,设 |A|=n,则 A～?0,1,2,?,n-1?。 定义函数
f,?0,1,2,?,n-1?→N(N为自然数 ),f(x)＝ x。
f是单射函数,故 |A|≤|N|=?0
在定理 5.3.2中已证得?0,1,2,?,n-1?到 N之间不存在双射函数,所以 |A|＜ |N|=?0,即 |A|＜?0。
又作函数
g,N→[0,1],g(n)=,g是单射函数,故 |N|≤?。
因为 N与 [0,1]间不存在双射函数,所以 |N|＜?,因此
0＜?。
|A|＜?0＜?成立 。
1
1
n
第 5章 函数定理 5.3.13 设 A是无限集合,则?0≤|A|。
证明,因为 A是无限集合,故 A必包含一个可数无限子集 A′,作函数 f,A′→A,f(x)=x,显然 f是 A′到 A单射函数,
所以 | A′ |≤|A|
而 | A′|=?0,从而?0≤|A|
我们在定理 5.3.12中已经证明了?0＜?。 在定理 5.3.13
中证明了,当 A是无限集合时,?0≤ |A|。 但是直到目前为止还没有人能够证明：有一个无限集的基数严格介于?0与
之间 。
第 5章 函数下面定理说明,没有最大的基数,也没有最大的集合 。
定理 5.3.14 设 A是集合,P (A)是 A的幂集合,则 |A|＜ |P (A)|
证明,⑴ 先证明 |A|≤|P (A)|
作函数 f,A→P (A),f(a)=?a?,f是 A到 P (A)单射,故 |A|≤|P
(A)|
⑵ 再证明 |A|≠|P (A)|
设 |A|=|P (A)|,则必存在 A到 P (A)双射函数,设为 g：
A→P (A)。 对于任意 a?A,必有 P (A)中惟一的 g(a)与之对应 。
第 5章 函数如果 a?g(a),称 a是 A的内部元素；若 a?g(a),称 a是
A的外部元素 。 令 S=?a|a?A∧ a?g(a)?,即 S是 A的外部元素集合 。 显然 S?A,故 S?P(A)。
因为 g是双射函数,故必有一个元素 b?A,使 g(b)=S。
若 b?S,则由 S的定义,b是 A的外部元素；又因为
g(b)=S,b?S=g(b),此时,由 A的内部元素的定义,b是 A
的内部元素 。 得出矛盾 。
若 b?S，,则由 S的定义,b是 A的内部元素；又因为
g(b)=S,b?S=g(b),此时,由 A的外部元素的定义,b是 A
的外部元素 。 又得出矛盾 。
故 |A|≠|P (A)|
由 ⑴ 和 ⑵ 得 |A|＜ |P (A)|
返回总目录返回章目录
5.1 函数的基本概念
5.2 反函数和复合函数
5.3 集合的基数返回总目录第 5章 函数
5.1函数的基本概念定义 5.1.1设 A和 B是两个任意集合,f是 A到 B的二元关系，如果对于 A中的每一个元素 x，都存在 B中惟一元素 y，
使得?x,yf，则称 f是 A到 B的函数或映射。记为 f,A→B。
x,yf，常记为 y=f(x),x称为自变元或像源,y称为在 f作用下 x的函数值或像。
由函数的定义可以看出，函数是一种特殊的二元关系。若 f是 A到 B的函数。它与一般二元关系的区别如下：
①函数的定义中强调 A中的每一个元素 x有像，所以
A=dom f。 这称为像的存在性。
②函数的定义中还强调像 y是唯一的，称做像的惟一性。像的惟一性可以描述为：设 f(x1)=y1且 f(x2)=y2。如果
x1=x2，那么 y1=y2。或者，如果 y1≠y2，那么 x1≠x2。
第 5章 函 数第 5章 函数
【 例 5.2】 设 N为自然数集合，下列 N上的二元关系是否为函数？
f=x,2x? | x?N?
g=x,2? | x?N?
解,f和 g都是从自然数集合 N到自然数集合 N的函数，
常记为 f,N→N,f(x)=2x和 g,N→N,g(x)=2。
设 A和 B是两个任意集合,A× B任意子集是 A到 B的二元关系，但不一定是 A到 B的函数。当 A和 B是有限集时，
由定理 4.1.1的证明过程可以看出,A到 B的二元关系共有
2|A||B|个,A到 B的函数有多少个呢？以下研究这个问题。
设 A和 B是两个任意的集合,?f |f,A→B?是 A到 B的所有函数构成的集合，常记为 BA。读作 B上 A。
第 5章 函数
【 例 5.3】 设 A=?1,2,3?,B=?a,b?，求 BA。
解,由 A到 B的函数有以下 8个：
f0=1,a?,?2,a?,?3,a
f1=1,a?,?2,a?,?3,b
f2=1,a?,?2,b?,?3,a
f3=1,a?,?2,b?,?3,b
f4=1,b?,?2,a?,?3,a
f5=1,b?,?2,a?,?3,b
f6=1,b?,?2,b?,?3,a
f7=1,b?,?2,b?,?3,b
BA=? f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7?
A到 B的函数共 8个,8=23=|B||A|。
当 A和 B都是有限集时，这个结论可以推广。一般地说，若 |A|=m,|B|=n,则 |BA|=nm=|B||A|。
第 5章 函数定义 5.1.2 设 A和 B是两个任意的集合,f,A→B，
A1?A，集合?f(x) |x?A1?称为集合 A1在 f下的像，记为 f(A1)。
集合 A在 f下的像 f(A)=?f(x) |x?A?称为函数 f的像。显然，
函数 f的像 f(A)就是二元关系 f的值域，即 f(A)=ran f。
【 例 5.4】 设 f,?1,2,3?→?a,b?，
f=1,a?,?2,a?,?3,b,A1=?1,2?，
试求 A1在 f下的像 f(A1)和函数 f的像 f(A)。
解,f(A1)=?f(x) |x?A1?=?f(1),f(2)?=?a?
f(A)=?f(x) |x?A?=?f(1),f(2),f(3)?=?a,b?
第 5章 函数定义 5.1.3 设 f,A→B,g,C→D，若 A=C,B=D且
x?A，有 f(x)=g(x)，则称函数 f和 g相等，记为 f =g。
例如，函数 f,N→N,f(x)= x3
函数 g,?1,2,3?→N,g(x)=x3
虽然函数 f和 g有相同的表达式 x3，但是它们是两个不同的函数。
如果把 f和 g看成二元关系，
f?N× N，用列举法表示为：
0,0?,?1,1?,?2,8?,?3,27?,?4,64?,
g1,2,3?× N，用列举法表示为：
0,0?,?1,1?,?2,8?,?3,27
按二元关系相等的条件衡量，它们也是不等的。函数相等和二元关系相等是一致的。
第 5章 函数定义 5.1.4 设 f,A→B，若 f的值域 ran f =B，则称 f为满射。
设 f是 A到 B的函数，由定义不难看出，如果?y?B，都存在 x?A，使得 f(x)=y，则 f是满射函数。
例如,A=?a,b,c,d?,B=?1,2,3?,f是由 A到 B的函数，
定义为,f =a,1?,?b,1?,?c,3?,?d,2
因为 ran f=f(A)=?1,2,3?=B，所以 f是满射。图 5.2是 f的示意图。由图 5.2可得出如下的结论：
若 A,B是有限集,f,A→B
是满射，在 f的示意图中,B中每个元素至少是一个有向边的终点且 |A|≥|B|
第 5章 函数定义 5.1.5 设 f,A→B，若?y?ran f，存在惟一的 x?A，
使得 f(x)=y，则称 f为单射。
设 f是 A到 B的函数，由定义不难看出，如果对于 x1?A，
x2?A,f(x1)=y1,f(x2)=y2。
①当 y1=y2时，一定有 x1=x2，则 f是单射函数。
②当 x1≠x2时，一定有 y1≠y2，则 f是单射函数。
【 例 5.5】 设 f,?a,b?→?2,4,6?，定义
f =a,2?,?b,6
函数 f是否为单射？ f是否为满射？
第 5章 函数解,因为 f(a)=2,f(b)=6，所以 f是单射。因为 f 的值域 ran f =?2,6?≠?2,4,6?，所以 f不是满射。图 5.3是 f 的示意图。
由图 5.3可得出如下的结论：
若 A,B是有限集，
f,A→B是单射，在 f 的示意图中,B中每个像点是且仅是一条有向边的终点且 |A|≤|B|
第 5章 函数定义 5.1.6 设 f,A→B，若 f既是单射，又是满射，则称 f为双射。
例如,A=?1,2,3?,B=?a,b,c?,f =1,a?,?2,c?,?3,b，
f是 A到 B的双射函数，图 5.4是 f的示意图。
第 5章 函数若 A,B是有限集,f,A→B是双射，则 f一定是满射。
故 B中每个元素至少是一个有向边的终点； f 也是单射，故
B中每个像点是且仅是一条有向边的终点。所以，在双射函数的示意图中,B中每一个元素是且仅是一条有向边的终点。
若 A,B是有限集,f,A→B是双射，则 f 一定是满射，
所以 |A|≥|B|； f 也是单射，所以 |A|≤|B|。于是 |A|=|B|。
第 5章 函数
【 例 5.6】 判断下列函数是否为单射、满射或双射。
为什么？
⑴ f,R→R,f(x)= - x2+2x-1，其中,R是实数集合
⑵ f,I＋ →R,f(x)=ln x，其中,I＋ 是正整数集合
⑶ f,R→I,f(x)=[x]，其中,[x]是不大于 x的最大整数
⑷ f,R→R,f(x)= 2x+1
⑸ f,R＋ →R＋,f(x)=,其中,R＋ 是正实数集合 x
x 12?
第 5章 函数解,⑴ f(x)=-x2+2x-1= -(x-1)2,f 是开口向下的抛物线，
不是单调函数，所以不是单射。在 x =1处取得极大值 0，所以 f 不是满射。 f 既不是单射也不是满射。
⑵ f 是单调增加函数。因此是单射，但不是满射，因为
ran f =?ln 1,ln 2,R
⑶ f是满射，但不是单射，例如 f(1.5)=[1.5]=1，而 f(1.2)
=[1.2]=1
⑷ f是单调增加函数且 ran f =R，它既是单射，也是满射，
因此它是双射。
⑸ f 不是单射也不是满射。当 x→0时,f(x)→＋ ∞；而当
x→＋ ∞时,f(x)→＋ ∞。在 x=1处函数 f(x)取得极小值 f(1)
=2。 因此它既不是单射也不是满射。
第 5章 函数定义 5.1.7
⑴ 设 f,A→B，若?y?B,?x?A，都有 f(x)=y，则称 f
为常函数。
⑵设 IA是 A上的恒等关系，它是 A到 A的函数,IA叫做
A上的恒等函数。常记为 y=IA(x)。
⑶设 A是任意集合,A′?A,?x?A，定义,A→?0,1?
如下：
叫做 A′的特征函数。
⑷设 R是 A上的等价关系,[x]R是 x形成的 R等价类，
A/R是 A关于 R的商集,f,A→A/R，定义为,f(x)=[x]R，称 f
为 A到商集 A/R的自然函数或自然映射。
AAx
Axxx
A
0
1)(
)(xxA?
第 5章 函数例如，设 A=?a,b,c?,A′=?b?,B′=?a,b?，则
A′的特征函数 xA′=a,0?,?b,1?,?c,0。
B′的特征函数 xB′=a,1?,?b,1?,?c,0。
显然 A的每一个子集都对应一个特征函数。
又例如，设 A=?a,b,c?,A上的等价关系 R为：
R=a,a?,?b,b?,?b,c?,?c,b?,?c,c，
商集 A/R=a?,?b,c
f,A→A/R
f(a)=?a?
f(b)=f(c)=?b,c?
不同的等价关系确定不同的自然映射，其中恒等关系确定的自然映射是双射，而其它的自然映射一般地说是满射。
返回章目录第 5章 函数
5.2反函数和复合函数
5.2.1 反函数定理 5.2.1 设 f,A→B是双射函数，则 f 的逆关系 f C
是 B到 A的双射函数。
证明,先证逆关系 f C是 B到 A的函数。
因为 f 是函数，所以 f C是 B到 A的二元关系。以下证明 B到 A的二元关系 f C是 B到 A的函数。
⑴?y?B，因为 f,A→B是满射，所以,?x?A，使
x,yf，由逆关系的定义得,?y,x f C。
⑵设?y1,x1fC,?y2,x2 fC,y1=y2，由逆关系的定义知,?x1,y1f,?x2,y2 f，因为 f是单射，所以 x1=x2
故 f C是 B到 A的函数。
第 5章 函数再证 f C是满射。
由定理 4.2.7有 ran f C=dom f。又因为 f 是 A到 B的函数，
所以 dom f =A。于是 ran f C=A。所以 f C是 B到 A的满射。
最后证 f C是单射。
设?y1,x1f C,?y2,x2 f C且 x1=x2，由逆关系的定义有
x1,y1f,?x2,y2 f，又因为 f是函数，必有 y1=y2。
所以 f C是单射。
这就证明了 f C是双射函数。
第 5章 函数定义 5.2.1 设 f,A→B是双射函数,f的逆关系 f C是 B到 A
的双射函数。称双射函数 f C为 f的反函数，记为,f -1。
例如，设 A=?1,2,3?,B=?a,b,c?。
f=1,a?,?2,c?,?3,b
显然,f是 A到 B的双射函数。 f的逆关系
f C=a,1?,?c,2?,?b,3
是 B到 A的双射函数，记为 f -1,f –1是 f 的反函数。
又如 g=1,a?,?2,a?,?3,b也是 A到 B的函数，但 g不是满射，也不是单射，因而不是双射。逆关系
gC=a,1?,?a,2?,?b,3
不是 B到 A的函数。
第 5章 函数定理 5.2.2 设 f,A→B为双射函数,f -1,B→A是 f的反函数，则 (f -1)-1=f。
证明,由定理 5.2.1和定义 5.2.1知 (f -1)-1,A→B，且为双射。
x?A，设 f (x)=y，则 f -1(y)= x,(f -1)-1(x)= y= f(x)，
所以 (f -1)-1= f。
例如，设 A=?a,b,c?,B=?1,2,3?。 f,A→B为双射函数，
定义为：
f=a,2?,?b,3?,?c,1
则 f -1=2,a?,?3,b?,?1,c
(f -1 )-1=a,2?,?b,3?,?c,1= f
第 5章 函数
5.2.2 复合函数第 4章介绍了二元关系的复合运算。在那儿，二元关系的复合关系定义为：
设 X,Y,Z是集合,R?X× Y,S?Y× Z，集合
x,zx?X∧ z?Z∧ (?y)(y?Y∧?x,yR∧?y,zS)?
叫做 R和 S的复合关系。记为 R°S。即
R°S=x,zx?X∧ z?Z∧ (?y)(y?Y∧?x,yR∧?y,zS)?
将 R°S=x,zx?X∧ z?Z∧ (?y)(y?Y∧?x,yR∧?y,zS)?
记为 S°R，即
S°R=x,zx?X∧ z?Z∧ (?y)(y?Y∧?x,yR∧?y,zS)?
第 5章 函数前者叫做 R和 S的复合关系。为了与前者区别，后者叫做二元关系 S在二元关系 R左边的复合关系，简称为 S和 R的左复合关系。
前面已经讲过，函数是满足一定条件的二元关系，当然它可以进行左复合运算。函数的左复合关系描述为：
设 f,A→B,g,C→D，若 f(A)?C，集合
g°f=a,d?| a?A∧ d?D∧ (?b)(b?B∧?a,bf∧?b,dg)?
=a,d?| a?A∧ d?D∧ (?b)(b?B∧ b=f(a)∧ d=g(b))?
第 5章 函数定义 5.2.2 设 f,A→B,g,C→D，若 f(A)?C，集合
a,d?| a?A∧ d?D∧ (?b)(b?B∧ b=f(a)∧ d=g(b))?
称为函数 g在函数 f左边的复合关系，记为 g°f。
定理 5.2.3 设 f,A→B,g,C→D,f(A)?C,则函数 g在函数 f左边的复合关系 g°f是 A到 D的函数。
证明,?a?A，因为 f是 A到 B函数，必存在惟一的 b?B，
使得?a,bf。即 b=f(a)。而 b=f(a)?f(A)?C，故 b?C。又因为
g是 C到 D函数，必存在惟一的 d?D，使得?b,dg。即 d=g(b)。
故由定义 5.2.2,?a,dg°f，即 g°f(a) = d。
所以 g°f是 A到 D的函数。
第 5章 函数定义 5.2.3 设 f,A→B,g,C→D，若 f(A)?C，函数 g在函数 f左边的复合关系 g°f称为函数 g在函数 f左边可复合函数，简称为 g和 f的左复合函数或 g和 f的复合函数。仍然记为 g°f。 g°f
是 A到 D的函数。
推论 设 f,A→B,g,C→D,f(A)?C，则 g°f(x)=g(f(x))。
证明：由定理 5.2.3的证明过程可以看出,?a?A,b=f(a)
且 d=g(b),g°f(a)=d，于是,g°f(a)=d=g(b)=g(f(a))。
所以,g°f(x)=g(f(x))。
第 5章 函数定理 5.2.4 设 f,A→B,g,B→C,g f,A→C。
⑴ 如果 f和 g都是满射，则 g°f也是满射。
⑵ 如果 f和 g都是单射，则 g°f也是单射。
⑶ 如果 f和 g都是双射，则 g°f也是双射。
证明,⑴?c?C，因为 g是 B到 C的满射,?b?B，使
c=g(b)。又因为 f是 A到 B满射,?a?A，使 b=f(a)。于是，
g°f(a)=g(f(a))=g(b)=c，所以 g°f是满射。
⑵设 a1?A且 a2?A,a1≠a2，因为 f是 A到 B单射,f(a1)≠
f(a2),f(a1)?B,f(a2)?B。又因为 g是 B到 C单射，所以
g(f(a1))≠g(f(a2))，即 g°f(a1)≠g°f(a2)，故 g°f是单射。
⑶ f和 g都是双射，则 f和 g都是满射和单射，由⑴和⑵知，
g°f是满射和单射，故 g°f是双射。
第 5章 函数在第 4章的第 2节中定义了二元关系的复合运算，介绍了复合运算性质。这些性质有：
设 R?X× Y,S?Y× Z,T? Z× W。
① (R°S)°T=R°(S°T)
② R°IY=IX°R=R
③ R°RC =IX,RC°R=IY
④ (R°S)C=SC°RC
函数的 复合运算 也有类似的性质 。 以下几个定理介绍了这些性质 。
第 5章 函数定理 5.2.5 设 f,A→B,g,B→C,h,C→D,则
h°(g°f)=(h°g)°f
证明,由定义 5.2.3知,
g°f,A→C,h°(g°f),A→D。
类似地 h°g,B→D,(h°g)°f,A→D。
令 f(x)=y,g(y)=z,h(z)=u。
由定理 5.2.3的推论知,
g°f(x)=g(f(x))=g(y)=z,h°g(y)= h(g(y))=h(z)=u
h°(g°f)(x)=h°((g°f)(x))=h(z)=u
=h°g(y)=h°g(f(x))=(h°g)°f(x)
所以 h°(g°f)=(h°g)°f
因为函数的复合运算满足结合律,所以可略去函数复合运算中的括号,即用 h°g°f记 h°(g°f)=(h°g)°f,另外,还可以定义函数的幂,f 2= f°f,f 3= f°f°f,
第 5章 函数
【 例 5.8】 设 R 是实数集合,下面是 R到 R 的函数
f(x)=x+2,g(x)=x-2,h(x)=3x
先求 g和 f的复合函数 g°f,h和 g的复合函数 h°g。 再验证 h°(g°f)=(h°g)°f
解,显然 h°(g°f),R→R
(h°g)°f,R→R
g°f(x)=g(f(x))=g(x+2)=(x+2)-2=x
h°g(x)=h(g(x))=h(x-2)=3(x-2)=3x-6
h°(g°f)(x)=h°(g°f (x))=h(x)=3x
(h°g)°f (x)= h°g(f(x))=h°g(x＋ 2)=3(x＋ 2)-6=3x
所以 h°(g°f)(x)=(h°g)°f (x)
故 h°(g°f)=(h°g)°f
°
第 5章 函数定理 5.2.6 设 f,A→B,IA是 A上的恒等函数,IB是 B上的恒等函数,则 IB°f=f°IA=f
证明,先证 f°IA=f
由定义 5.2.3知,f°IA,A→B,再由定理 5.2.3的推论知
f°IA(x)=f°(IA(x))=f(x)
所以 f°IA=f
类似地可以证明 IB°f=f
定理 5.2.7设 f,A→B为双射函数,f－ 1,B→A是 f的反函数,则 f -1°f=IA,f°f -1=IB
证明,先证明 f -1°f=IA
由定义 5.2.3知 f-1°f,A→A。 IA,A→A。
x?A,设 f(x)=y,则 f -1(y)= x。
f -1°f(x)=f -1(f(x))= f -1(y)=x=IA(x)
所以 f -1° f=IA
类似地可以证明 f°f -1=IB
°
第 5章 函数
【 例 5.9】 设 A=?0,1,2?,B=?a,b,c?,f,A→B,定义为：
f=0,c?,?1,a?,?2,b,求 f–1,f-1°f和 f°f -1,验证
f -1°f=IA和 f°f -1=IB
解,f -1= a,1?,?b,2?,?c,0
f -1°f=0,0?,?1,1?,?2,2
f°f -1=a,a?,?b,b?,?c,c
f -1°f,A→A,IA,A→A
f -1°f(0)=0=IA(0),f -1°f(1)=1=IA(1),f -1°f(2)=2=IA(2)
所以 f -1°f=IA
f°f -1,B→B,IB,B→B
f°f -1(a)=a=IB(a),f°f -1(b)=b=IB(b),f°f -1(c)=c=IB(c)
所以 f°f -1=IB
°
第 5章 函数定理 5.2.8 设 f,A→B,g,B→C且 f和 g均为双射函数,
则 (g°f)-1=f -1°g-1
证明,⑴ 因为 f和 g均为双射函数,f -1和 g-1存在且
f -1,B→A,g-1,C→B
所以 f -1°g-1,C→A
另一方面,由定义 5.2.3知,g°f,A→C。
所以 (g°f )-1,C→A。
⑵?z?C,因为 g为双射函数,?y?B 使 g(y)=z,又因为 f
为双射函数,?x?A,使 f(x)=y，
于是,g°f(x)=g(f(x))=g(y)=z
故 (g°f)-1(z)=x。
另一方面,f -1(y)= x,g-1(z)= y。 于是,f -1°g-1(z)=
f -1°(g-1(z))=f -1(y)=x
所以 (g°f)-1=f -1°g-1
返回章目录第 5章 函数
5.3集合的基数
5.3.1集合的等势定义 5.3.1 设 A和 B是集合,如果存在 A到 B的双射函数,
则称集合 A和集合 B等势 。 记作 A~B。
设 A和 B是有限集合,A~B,则存在 A到 B的双射函数,
根据 5.1节中双射的性质,|A|=|B|。 即 A和 B中元素的个数相等 。
【 例 5.10】 设 I是整数集,N是自然数集 。 试证明 I~N。
证明,设 f,I→N,定义为：
0
0
12
2)(
x
x
x
xxf
第 5章 函数以下证明 f是 I到 N的双射函数 。
任取 n?N，若 n是偶数，有?I且 ≥0，
使 f( )=2? =n；
若 n是奇数，有?I且 ＜ 0，使 f( )=
-2?( )-1=n。 所以 f是满射。
2
n
2
n
2
n
2
n
2
1 n
2
1 n
2
1 n
2
1 n
按照这个定义将 I中的元素如下排列与 N中的元素对应：
I 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4?
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8?
第 5章 函数若有 n1?I,n2?I且 n1≠n2。 分下列 4种情况讨论：
⑴ 假定 n1≥0且 n2≥0,则 f(n1)-f(n2)=2n1-2n2=2(n1-n2)≠0，
所以 f(n1)≠f(n2)。
⑵ 假定 n1 ＜ 0 且 n2 ＜ 0,则 f(n1)-f(n2)=(-2n1-1)-(-2n2-
1)=2(n2-n1)≠0,所以 f(n1)≠f(n2)。
⑶ 假定 n1≥0且 n2＜ 0,则 f(n1)-f(n2)=2n1-(-2n2-1)=2(n1＋
n2)+1≠0(因为一个偶数与 1的和或差永远不能为 0),所以
f(n1)≠f(n2)。
⑷ 假定 n1＜ 0且 n2≥0,类似 ⑶,同样有 f(n1)≠f(n2)。
所以 f是单射 。 于是 f是 I到 N的双射函数 。
I~N
第 5章 函数定理 5.3.1设 A,B,C是任意三个集合 。 则集合的等势有下列性质 。
⑴ 自反性,即 A~A。
⑵ 对称性,即若 A~B,则 B~A。
⑶ 传递性,即若 A~B,B~C,则 A~C。
证明,仅证明 ⑶ 。
因为 A~B,B~C,由等势的定义知,存在双射函数 f：
A→B和双射函数 g,B→C,由定理 5.2.4知,g°f是 A到 C的双射函数 。
所以 A~C。
第 5章 函数
5.3.2有限集和无限集定义 5.3.2 如果集合 A与集合?0,1,2,?,n-1?(n是某个自然数 )等势,则称 A为有限集,如果集合 A不是有限集,则称
A为无限集 。
定理 5.3.2 自然数集 N是无限集 。
证明,?n?N,设 f是任意集合?0,1,2,?,n-1?到 N的函数,
令 k=1+max?f(0),f(1),?,f(n-1)?,k?N。x0,1,2,?,n-1?,
f(x)≠k。 因此,f不是从?0,1,2,?,n-1?到 N的满射函数 。 当然不是从?0,1,2,?,n-1?到 N的双射函数 。 因为 n和 f都是任意的,
所以,自然数集 N不是有限集,而是无限集 。
定理 5.3.3 有限集不与它的任何真子集等势 。
证明,设 A 为任一有限集,B?A,则 C=A-B≠?。
|B|=|A|-|C|＜ |A|,即 |A|≠|B|,根据 5.1节中双射的性质,A与 B
之间不存在双射函数 。 A与 B不等势 。
第 5章 函数定理 5.3.4 无限集必与其某个真子集等势 。
证明,首先证明在任何一个无限集 a中,一定能取出一系列元素 a1,a2,? 。
在 A中任取一个元素,记为 a1。 因为集合 A是无限集,
显然,集合 A-?a1?不空 。 再从 A-?a1?中取一个元素,记为
a2。 同样,集合 A-?a1,a2?不空 。 继续做下去,可从 A中取出一系列元素 a1,a2,? 。
记?=a-?a1,a2,,令?=?a2,a3,∪?,显然A。
f,A→?,定义为：
f(ai)=ai+1 i=1,2,?
f(x)=x x
显然,f是 A到?的双射 。 A~?
根据定理 5.3.3和定理 5.3.4可以给出有限集与无限集的另外一个定义如下：
不能和自己的任何真子集等势的集合称作有限集 。
能与自己的某个真子集等势的集合称作无限集 。
第 5章 函数
5.3.3集合的基数定义 5.3.3 将相互等势的集合归于同一类,对这样的每一类集合规定一个记号,称这个记号是这一类集合中每一个集合的基数或者势 。 集合 A的势记为 |A|。
根据定义 5.3.3,任何等势的集合具有相同的基数；而不等势的集合基数也不相同 。 规定有限集的势是该集合中元素的个数,空集的势为 0。
定义 5.3.4 设 N是自然数集合,凡与 N等势的集合称为可数集或可列集,也叫无限可数集或无限可列集 。 通常记可数集的基数为?0。 读作,阿列夫零,。
根据此定义，由例 5.10知自然数集合 N和整数集 I都是可数集,|N|=|I|=?0。
第 5章 函数定理 5.3.5 集合 A是可数集的充分必要条件是 A的全部元素可以排成一个无限序列 a0,a1,? 。
证明,设 A是可数集,下证 A的全部元素可以排成一个无序列 a0,a1,? 。
因为 A是可数集,由可数集的定义有 N~A。 由等势的定义知,存在 N到 A的双射函数 。 设 f,N→A是双射函数,令
an=f(n)?A。 则 a可写成一个无限序列 a0,a1,? 。
设 A的全部元素可以排成一个无限序列 a0,a1,?,下证 A
是可数集 。
因为 A的全部元素可以排成一个无限序列 a0,a1,?,所以可定义 N到 A一个双射函数 f(n)=an,故 A是可数集 。
该定理说明一个能用自然数编号的无限集是可数集 。
第 5章 函数
【 例 5.11】 设 N为自然数集,证明集合
M=?x|x=10n∧ n?N?
是可数集 。
证明,令 ai=10i,则集合 M可用列举法表示为：
M=?0,10,20,30,=? a0,a1,
M是能用自然数编号的无限集,根据定理 5.3.5,M是可数集 。
定理 5.3.6 任何无限集必含有可数子集 。
证明,设 A为无限集,则 A≠?,在 A中任取一个元素,
记为 a0。 因为集合 A是无限集,显然,集合 A-?a0?不空 。
再从 A-?a0?中取一个元素 a1。 同样 A-?a0,a1?不空 。 可以继续做下去,从 a中取出一系列元素 a0,a1,
令 A′=?a0,a1,
由定理 5.3.5知,A′是可数集 。 显然 A′?A。
第 5章 函数定理 5.3.7 可数集的无限子集仍为可数集 。
证明,设 a为可数集,它的元素编号如下：
a0,a1,?,an,?
任取 a的无限子集 B,在 a的元素中,从 a0开始逐个检查,将遇到的第一个 B的元素记为,第二个记为,? 。
因为 B是无限集,所以 B中的元素可排为,,?,,? 。
由定理 5.3.5,B是可数集 。
1ia
1ia 2ia
2ia
nia
第 5章 函数定理 5.3.8 可数个可数集的并集仍为可数集 。
证明,设可数个可数集分别为：
A0=? a00,a01,a02,a03,a04,
A1=? a10,a11,a12,a13,a14,
A2=? a20,a21,a22,a23,a24,
A3=? a30,a31,a32,a33,a34,
p+q=h称为元素 apq (p,q=0,1,2,? )的高度 。 对上述集合的所有元素,先按高度大小编号,在同一高度中按 q的值由小到大编号 。 这样就可以把并集 A0∪ A1∪ A2∪? 中所有的元素按下列顺序 (箭头所指顺序 )编成一列：
第 5章 函数
a00,a01,a02,a03,a04,?
↓ ↗ ↗ ↗ ↗
a10,a11,a12,a13,a14,?
↗ ↗ ↗
a20,a21,a22,a23,a24,?
↗ ↗
a30,a31,a32,a33,a34,?
a00; a10,a01; a20,a11,a02;?
因为 Ai,Aj可能有公共元素,这些公共元素在并集中是同一元素,在这一序列中去掉重复元素后的集合仍是可数的 。 所以并集 A0∪ A1∪ A2∪? 是可数集 。
第 5章 函数
【 例 5.12】 在直角坐标系下,两坐标 x,y均为整数的点 (x,y)称为格点 。 证明全体格点构成可数集 。
证明,对每个固定的整数 n,An=n,m?| m是整数?中的元素可排列为：
n,0?,?n,1?,?n,-1?,?n,2?,?n,-2?,?
所以 An是可数集 。 显然,右半平面上的格点全体构成的集合就是并集 A0∪ A1∪ A2∪?,这是可数个可数集的并,
因而是可数集 。
左半平面上的格点全体构成的集合就是并集 A-1∪ A-2
∪ A-3∪?,这也是可数个可数集的并,因而是可数集 。
因为可数集的并是可数集,所以平面上的格点全体构成的集合
A0∪ A1∪ A2∪? ∪ A-1∪ A-2∪ A-3∪?
是可数集 。
第 5章 函数
【 例 5.13】 证明有理数全体是可数集 。
证明,有理数 r可写成分数,其中 q≠0,p,q为互质的整数 。 把分数 记为序偶?p,q?,就成为平面上的格点 。
在平面上的全体格点构成的集合中删除 q=0和 p,q不互质的序偶得集合 S,S就是有理数集合,它是平面上的全体格点构成的集合的无限子集,而平面上的全体格点构成的集合是可数集 。 由定理 5.3.7 知,有理数全体是可数集 。
q
p
q
p
第 5章 函数定理 5.3.9 设 R为实数集,则集合?x| x?R∧ 0≤x≤1?是不可数集 。
证明,如果?x| x?R∧ 0＜ x≤1?是不可数集,那么?x|
x?R∧ 0≤x≤1?自然是不可数集 。 所以先证?x| x?R∧ 0＜ x≤1?
是不可数集 。
如果?x| x?R∧ 0＜ x≤1?是可数集,那么,其中所有实数可排成一数列,t1,t2,?,tn,?,将这些实数用十进制无限小数表示为：
t1=0.t11t12t13t14?
t2=0.t21t22t23t24?
t3=0.t31t32t33t34?
第 5章 函数其中所有 tij都是 0,1,2,?,9十个数字中的一个,
并且对每一个 i,ti=0.ti1ti2ti3ti4? 中无限项后不全为 0。
作十进制小数
a=0.a1a2a3a4?
其中 ai≠tii,ai≠0,ai≠9,i=1,2,? 。 这是办得到的 。 因为对任意的 i,如 tii=1,令 ai=2,如 tii≠1,那末取 ai=1就行了 。
于是所作成的数 a应该在集合?x| x?R∧ 0＜ x≤1?中,但不会在数列 t1,t2,?,tn,? 中,因为对于每个 n,an≠tnn,所以 a≠tn，
这和?ti|i=1,2,是区间?x| x?R∧ 0＜ x≤1?中实数全体的假设相矛盾 。 因此?x| x?R∧ 0＜ x≤1?是不可数集 。 从而?x|
x?R∧ 0≤x≤1?也是不可数集 。
定义 5.3.5 集合?x|x?R∧ 0≤x≤1?的基数称为连续点集的基数。记为?。读作,阿列夫,。
第 5章 函数
5.3.4集合基数的比较定义 5.3.6 若集合 A到集合 B存在一个单射,则称 A的基数不大于 B的基数或称 A的基数小于等于 B的基数,记为
|A|≤|B|。 若集合 A到集合 B存在一个单射,但不存在双射,则称 A的基数小于 B的基数,记为 |A|＜ |B|。
定理 5.3.10 设 A和 B是集合,如果 |A|≤|B|且 |B|≤|A|,则
|A|=|B|
证明从略 。
这个定理对证明集合的基数相同提供了有效方法 。 如果我们能够构造一单射函数 f,A→B,即说明有 |A|≤|B|。 另外,
如能够构造单射函数 f,B→A,即有 |B|≤|A|。 根据本定理就得到 |A|=|B|。
第 5章 函数
【 例 5.14】 证明区间 [0,1]与 (0,1)有相同的基数 。
证明,作单射函数
f,(0,1)→[0,1],f(x)=x |(0,1)|≤|[0,1]|
g,[0,1]→(0,1),f(x)= + |[0,1]|≤|(0,1)|
所以 |(0,1)|=|[0,1]|
定理 5.3.11 实数集 R的基数是?。
证明,先证集合 R1=?x|x?R∧ 0＜ x＜ 1?和实数集 R等势 。 作 R1到 R的函数 f,R1→R
f(x)=
因为正切函数 tg x在 R1中是单调递增的,所以 f是 R1到
R的双射函数 。 根据定义 5.3.1,R1~R,再由定义 5.3.3和定义 5.3.5,|R|=?。
2
x
2
1
2 12 －xtg
第 5章 函数
【 例 5.15】 设 A是自然数集合,B=(0,1),|A|＝ |N|=?0，
|B|=?,求证 |A× B|=?。
证明,设 R是实数集合 。 定义一个从 A× B到 R的函数 。
f (n,x)=n＋ x
显然 f是从 A× B到 R的单射函数,所以 |A× B|≤|R|,而
|R|=?,故 |A× B|≤?
此外,作函数 g,(0,1)→A× B,g(x)=?0,x?
因为 g是单射的,|(0,1)|≤|A× B|,而 |(0,1)|=?,故?≤|A× B|。
所以 |A× B|=?。
第 5章 函数定理 5.3.12 设 A是有限集合,则 |A|＜?0＜?。
证明,设 |A|=n,则 A～?0,1,2,?,n-1?。 定义函数
f,?0,1,2,?,n-1?→N(N为自然数 ),f(x)＝ x。
f是单射函数,故 |A|≤|N|=?0
在定理 5.3.2中已证得?0,1,2,?,n-1?到 N之间不存在双射函数,所以 |A|＜ |N|=?0,即 |A|＜?0。
又作函数
g,N→[0,1],g(n)=,g是单射函数,故 |N|≤?。
因为 N与 [0,1]间不存在双射函数,所以 |N|＜?,因此
0＜?。
|A|＜?0＜?成立 。
1
1
n
第 5章 函数定理 5.3.13 设 A是无限集合,则?0≤|A|。
证明,因为 A是无限集合,故 A必包含一个可数无限子集 A′,作函数 f,A′→A,f(x)=x,显然 f是 A′到 A单射函数,
所以 | A′ |≤|A|
而 | A′|=?0,从而?0≤|A|
我们在定理 5.3.12中已经证明了?0＜?。 在定理 5.3.13
中证明了,当 A是无限集合时,?0≤ |A|。 但是直到目前为止还没有人能够证明：有一个无限集的基数严格介于?0与
之间 。
第 5章 函数下面定理说明,没有最大的基数,也没有最大的集合 。
定理 5.3.14 设 A是集合,P (A)是 A的幂集合,则 |A|＜ |P (A)|
证明,⑴ 先证明 |A|≤|P (A)|
作函数 f,A→P (A),f(a)=?a?,f是 A到 P (A)单射,故 |A|≤|P
(A)|
⑵ 再证明 |A|≠|P (A)|
设 |A|=|P (A)|,则必存在 A到 P (A)双射函数,设为 g：
A→P (A)。 对于任意 a?A,必有 P (A)中惟一的 g(a)与之对应 。
第 5章 函数如果 a?g(a),称 a是 A的内部元素；若 a?g(a),称 a是
A的外部元素 。 令 S=?a|a?A∧ a?g(a)?,即 S是 A的外部元素集合 。 显然 S?A,故 S?P(A)。
因为 g是双射函数,故必有一个元素 b?A,使 g(b)=S。
若 b?S,则由 S的定义,b是 A的外部元素；又因为
g(b)=S,b?S=g(b),此时,由 A的内部元素的定义,b是 A
的内部元素 。 得出矛盾 。
若 b?S，,则由 S的定义,b是 A的内部元素；又因为
g(b)=S,b?S=g(b),此时,由 A的外部元素的定义,b是 A
的外部元素 。 又得出矛盾 。
故 |A|≠|P (A)|
由 ⑴ 和 ⑵ 得 |A|＜ |P (A)|
返回总目录返回章目录
