第 6章 代数系统第 6章 代数系统
6.1 代数系统的基本概念
6.2 二元运算的性质
6.3 子代数和积代数返回总目录第 6章 代数系统
6.1代数系统的基本概念
6.1.1运算
1.运算的定义定义 6.1.1 设 A是非空集合，从笛卡尔积 A× A×? × A到
A的映射 f称为集合 A上的 n元运算。简称为 n元运算。
在定义 6.1.1中，当 n=1时,f称为集合 A上的一元运算；
当 n=2时,f称为集合 A上的二元运算。
在讨论抽象运算时,,运算,常记为,*”,,°” 等。
设 *是 二元运算，如果 a与 b运算得到 c，记作 a*b=c；若 *是 一元运算,a的运算结果记作 *a或 *(a)。
第 6章 代数系统第 6章 代数系统设 A=?1,a,?，其中,a是非零实数。 f,A→ A，定义为,?a?A,f(a)= 。容易看出 f是 A上的一元运算。
又如,f,N× N→N,定义为,?m,n?N,f(m,n)=m＋ n，
f是自然数集合 N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法不是自然数集合 N上的二元运算，因为两个自然数相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自然数集合 N上的二元运算。
通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合 A上的运算必须满足以下两点：
① A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟一的。
② A中任何元素的运算结果都属于 A。 A中任何元素的运算结果都属于 A通常 称为运算在 A是封闭的。
a
1
a
1
第 6章 代数系统
【 例 6.1】 设 N为自然数集合,*和 °是 N× N到 N映射,规定为,?m,n?N，
m?n=min?m,n?
m°n=max?m,n?
则?和 °是 N上的二元运算 。
【 例 6.2】 设 Nk=?0,1,?,k-1?。 Nk上的二元运算 +k定义为：
对于 Nk中的任意两个元素 i和 j,有称二元运算 +k为模 k加法 。
kjikji
kjijiji
k
第 6章 代数系统
kji
kji
kji
jiji
k
的余数除以称二元运算 × k为模 k的乘法 。
模 k加法 +k和模 k乘法 × k是两种重要的二元运算 。
在 N7=?0,1,2,3,4,5,6?中,有 4+72=6,4+75=2。 如果把 N7
中的元素,0,1,2,3,4,5,6分别看作是：星期日,星期一,星期二,星期三,星期四,星期五,星期六 。 那么
4+72=6可解释为：星期四再过两天后是星期六； 4+75=2可解释为：星期四再过五天后是星期二 。 这是模 7加法实际意义的一种解释 。
Nk上的二元运算 × k定义为：对于 Nk中的任意两个元素 i和
j,有第 6章 代数系统
2.运算的表示表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。
解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如
f(a)=,
a
1
kjikji
kjijiji
k
运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。
经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算,特别当有限集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时,借助于运算表来定义二元运算会带来方便 。 另外,运算表还便于对二元运算的某些性质进行讨论,更形象地了解二元运算的有关特征 。
设 N4=?0,1,2,3?,N4上的模 4加法＋ 4可以用 运算表表示,
它的运算表如表 6.1所示 。 N4上的模 4乘法 × 4也可以用 运算表表示,它的运算表如表 6.2所示 。
第 6章 代数系统表 6.1
+4 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
表 6.2
× 4 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
第 6章 代数系统
6.1.2代数系统定义 6.1.2 一个非空集合 A连同若干个定义在该集合上的运算?1,?2,?,?k 所组成的系统称为一个代数系统,记作
<A,?1,?2,?,?k>。
根据定义 6.1.2,一个代数系统需要满足下面两个条件：
① 有一个非空集合 A。
② 有一些定义在集合 A上的运算 。
集合和定义在集合 A上的运算是一个代数系统的两个要素,缺一不可 。
【 例 6.3】 设 B是一个集合,A=P (B)是 A幂集合 。 集合的求补运算是 A上的一元运算,集合的并和交运算是 A上的是二元运算 。 于是 <A,∪,∩,~>构成一个代数系统,该代数系常称为集合代数 。
【 例 6.4】 设 R-?0?是全体非零实数集合,*是 R-?0?上二元运算,定义为,?a,b? R-?0?,a*b=b。 则 <R-?0?,*>是代数系统 。
第 6章 代数系统
6.2 二元运算的性质
6.2.1运算的基本性质
1.交换律定义 6.2.1 设 *是非空集合 A上的二元运算,如果对于任意的 a,b?A,有 a?b=b?a,则称二元运算?在 A上是可交换的,也称二元运算 *在 A上满足交换律 。
例如,设 R为实数集合,对于任意的 a,b?R,规定
a?b=(a–b)2
a°b=a2+b2
a?b=a+b–ab
则运算?,°和?都是可交换的 。
2.结合律定义 6.2.2 设 *是非空集合 A上的二元运算,如果对于任意的 a,b,c?A,有 (a*b)*c=a*(b*c),则称二元运算 *在 A上是可结合的,也称二元运算?在 A上满足结合律返回章目录第 6章 代数系统实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律；
矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律；向量的内积、外积是二元运算，但不满足结合律。
【 例 6.5】 设 *是非空集合 A上的二元运算,定义为：
a,b?A,a?b=b。 证明运算 *是可结合的 。
证明,对于任意的 a,b,c?A，
有 (a?b)?c=c,而 a?(b?c)=a?c=c,故有 (a?b)?c=a?(b?c)，
即运算?是可结合的 。
当二元运算 *在 A上适合结合律时，在只有该运算符的表达式中，表示运算顺序的括号常被省略。所以将 (x*y)*z
=x*(y*z)常写成 x*y*z。这样，可以令
个n
n aaaa
第 6章 代数系统当运算 *满足结合律时,an的也可以递归定义如下：
⑴ a1=a
⑵ an+1=an?a
由此利用数学归纳法,不难证明下列的公式：
⑴ am?an= am+n
⑵ (am)n= amn
3.分配律定义 6.2.3 设 *和是非空集合 A上的两个二元运算,如果对于任意 a,b,c?A,有
a*(b°c)=(a*b)°(a*c) (左分配律 )
(b°c)*a=(b*a)°(c*a) (右分配律 )
则称运算 *对运算是可分配的。也称运算 *对运算满足分配律。
第 6章 代数系统
【 例 6.6】 设 A=?0,1?,*和 °都是 A上的二元运算,定义为,0?0=1*1=0,0*1=1*0=1
0°0=0°1=1°0=0,1°1=1
则容易验证 °对于运算 *是可分配的,但 *对于运算 °是不可分配的 。 如 1*(0°1)=1≠0=(1*0)°(1*1)
定理 6.2.1设 *和 °是非空集合 A上的两个二元运算,*是可交换的 。 如果 *对于运算 °满足左分配律或右分配律,则运算
*对于运算 °是可分配的 。
证明,设 *对于运算 °满足左分配律,且?是可交换的,
则对于任意 a,b,c?A,有
(b°c)?a=a?(b°c)=(a?b)°(a?c)=(b?a)°(c?a)
即 (b°c)?a=(b?a)°(c?a)
故?对于运算 °是可分配的 。
同理可证另一半 。
第 6章 代数系统
4.吸收律定义 6.2.4 设 *和 °是非空集合 A上的两个可交换的二元运算,如果对于任意 a,b?A,有
a*(a°b)=a
a°(a*b)=a
则称运算?和运算 °满足吸收律 。
【 例 6.7】 设 N为自然数集合,*和 °是集合 N上的二元运算,定义为,?a?N,?b?N
a*b=max(a,b),a°b=min(a,b)
验证运算 *和 °适合吸收律 。
解,?a?N,?b?N
若 a＞ b,a*(a°b)=a*min(a,b)=a*b=max(a,b)=a
若 a＜ b,a*(a°b)=a*min(a,b)=a*a=max(a,a)=a
若 a＝ b,a*(a°b)=a*min(a,b)=a*a=max(a,a)=a
即 a*(a°b)=a 同理可证 a°(a*b)=a
因此运算 *和 °适合吸收律 。
第 6章 代数系统
5.幂等律定义 6.2.5 设 *是非空集合 A上的二元运算,如果对于任意的
a?A,有 a?a=a,则称运算 *是幂等的或运算?满足幂等律 。 如果 A的某个元素 a满足 a?a=a,则称 a为运算 *的幂等元 。
易见，集合的并、交运算满足幂等律，每一个集合都是幂等元。由定义 6.2.5不难证明下面定理。
定理 6.2.2 设?是非空集合 A上的二元运算,a为运算?的幂等元,对任意的正整数 n,则 an=a。
6.2.2特殊元素
1.幺元定义 6.2.6 设?是定义在集合 A上的二元运算，如果有一个
el?A，对于任意的 a?A，有 el? a=a，则称 el为 A中关于运算?的左单位 元或 左幺元；如果有一个 er?A，对于任意的 a?A，有 a?
er=a，则称 er为 A中关于运算?的 右 单位元或右幺元；如果在 A
中有一个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为 A中关于运算?的单位元或幺元。
第 6章 代数系统定理 6.2.3 设?是定义在集合 A上的二元运算,el为 A中关于运算?的左幺元,er为 A中关于运算?的右幺元,则 el=er=e，
且 A中的幺元是惟一的 。
证明,因为 el和 er分别是 A中关于运算?的左幺元和右幺元,所以
el=el? er=er=e
设另一幺元 e1?A,则
e1=e1?e=e
2.零元定义 6.2.7 设?是集合 A上的二元运算，如果有一个 θl?A，
对于任意的 a?A都有 θl?a=θl，则称 θl为 A中关于运算?的左零元；如果有一个 θr?A，对于任意的 a?A，都有 a?θr=θr，则称 θr为 A中关于运算?的右零元；如果 A中有一个元素 θ?A，它既是左零元又是右零元，则称 θ为 A中关于运算?的零元。
第 6章 代数系统定理 6.2.4 设?是集合 A上的二元运算,θl为 A中关于运算?
的左零元,θr为 A中关于运算?的右零元,则 θl=θr=θ,且 A中的零元是惟一的 。
证明,因为 θl和 θr分别是 A中关于运算?的左零元和右零元,所以
θl=θl?θr=θr=θ
设另一零元 θ1?A,则 θ1=θ1?θ=θ
定理 6.2.5 设?是集合 A上的二元运算,集合 A中元素的个数大于 1。 如果 A中存在幺元 e和零元 θ,则 e≠θ。
证明,用反证法。设 e=θ，那么对于任意的 a?A，必有
a=e?a=θ?a=θ，
于是 A中的所有元素都是零元?，与 A中至少有两个元素矛盾。
第 6章 代数系统
3.逆元定义 6.2.8 设?是集合 A上的二元运算,e为 A中关于运算?
的幺元 。 如果对于 A中的元素 a存在着 A中的某个元素 b,使得 b?a=e,那么称 b为 a的左逆元；如果存在 A中的某个元素 b，
使得 a?b=e,那么称 b为 a的右逆元；如果存在着 A中的某个元素 b,它既是 a的左逆元又是 a的右逆元,那么称 b为 a的逆元 。 a的逆元记为 a–1。 如果 a?A存在逆元 a–1?A,那么称 a为可逆元 。
一般地说,一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元 。 一个元素可以有左逆元而没有右逆元,同样可以有右逆元而没有左逆元 。 甚至一个元素的左逆元或者右逆元还可以不是惟一的 。
定理 6.2.6 设?为 A中的一个二元运算,A中存在幺元 e且每个元素都有左逆元 。 如果?是可结合的运算,则在 A中任何元素的左逆元必定是该元素的右逆元,且每个元素的逆元是惟一的 。
第 6章 代数系统证明,设 a,b,c?A,b是 a的左逆元,c是 b的左逆元 。 于是 (b?a)?b=e?b=b,所以
e=c?b=c?((b?a)?b)=(c?(b?a))?b
=((c?b)?a)?b=(e?a)?b=a?b
因此,b也是 a的右逆元 。
设元素 a有两个逆元 b和 d,那么
b=b?e=b?(a?d)=(b?a)?d=e?d=d
故 a的逆元是惟一的 。
4.消去律定义 6.2.9 设?是集合 A上的二元运算,θ为 A中关于运算
的零元,?a,b,c?A,a≠ θ。 如果
⑴ 若 a?b=a?c,便有 b=c,则称运算?满足左消去律,称
a为运算?的左可消元 。
⑵ 若 b?a=c?a,便有 b=c,则称运算?满足右消去律,称
a为运算?的右可消元 。
第 6章 代数系统若运算?既满足左消去律又满足右消去律,则称运算?满足消去律,称 a为运算?的可消元 。
注意可消元 a不能是零元 θ。
定理 6.2.7 设?是 A中可结合的二元运算,如果 a的逆存在且 a≠ θ,则 a为关于?的可消元 。
证明,设 b,c?A,且有 a?b=a?c或 b?a=c?a。 由于?为可结合的二元运算,a的逆存在且 a≠ θ,则
a–1?(a? b)=(a–1?a)? b=e? b=b
a–1?(a? c)=(a–1? a)? c=e? c=c
而 a–1?(a? b)=a–1?(a? c)
于是 b=c,同理由 b?a=c?a,得 b=c,故 a为关于?的可消元 。
第 6章 代数系统
【 例 6.8】 实数集 R上的下列二元运算是否满足结合律和交换律？
⑴ a?b=a+b?ab ⑵ a°b= (a+b)
解,⑴ 因为?a,b,c?R,有
(a?b)?c=(a+b-ab)?c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c
=a+b+c-ab-ac-bc+abc
又 a?(b?c)=a?(b+c-bc)=a+b+c-bc-a(b+c-bc)
=a+b+c-ab-ac-bc+abc
所以 (a?b)?c=a?(b?c)
因此运算?满足结合律 。
又 a?b=a+b?ab=b+a?ba=b?a
所以运算?满足交换律 。
⑵ 因为?a,b,c?R,有
(a°b)°c= (a+b)°c= ( (a+b)+c)= (a+b+2c)
2
1
2
1 21 21 41
第 6章 代数系统
a°(b°c)=a° (b+c)= (a+ (b+c))= (2a+b+c)
在一般情况下
(a+b+2c) ≠ (2a+b+c)
所以运算 °不满足结合律 。 而
a°b= (a+b)= (b+a)=b°a
所以运算 °满足交换律 。
【 例 6.9】 在例 6.8中,运算 *是否有单位元,零元和幂等元？ 若有单位元,哪些元素有逆元？
解,运算?的定义为,a?b=a+b?ab
⑴ 若 e是单位元,则对任意元素 a?R,有 a?e=e?a=a,由于元素?是可交换的,仅考虑 e?a=a,即 e?a=e+a?ea=a,于是 e?ea=0,即 e(1?a)=0。 由于 a是任意的,要使上式成立,
只有 e=0。 因此 0是运算?的单位元 。
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
第 6章 代数系统
⑵ 若 θ是零元,则对任意元素 a?R,有 a?θ=θ?a=θ。 仅考虑 θ?a=θ,即 θ?a=θ+a?θa=θ,于是 a?aθ=0,即 a(1?θ)=0。
由于 a是任意的,要使上式成立,只有 θ=1。 因此 1是运算?的零元 。
⑶若 a?R是幂等元，则应有 a?a=a，即 a+a?a2=a。于是
a?aa=0，即 a(1?a)=0。要使上式成立，只有 a=0或 a=1。因此 0或 1是运算?的幂等元。
⑷ 设 b是 a的逆元,则应有 a?b=a+b?ab=0(?的单位元 ),于是 b=,因此对于 R中的任何元素 a(只要 a≠1)均有逆元,其逆元是 。
1?a
a
1?a
a
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6.3子代数和积代数定义 6.3.1 如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是同类型的代数系统 。
例如,V1=?R,＋,?,-,0,1?
V2=?P(A),∪,∩,~,?,A?
V1和 V2都含有两个二元运算,一个一元运算和两个代数常数,它们是同类型的代数系统 。
同类型的代数系统仅仅是构成成分相同,不一定具有相同的运算性质 。
定义 6.3.2 设 V=<A,?1,?2,?,?k>是代数系统,B?A。 如果
1,?2,?,?k都在 B上封闭,B和 A含有相同的代数常数,则称代数系统 <A,?1,?2,?,?k>是 V的子代数系统,简称子代数 。
第 6章 代数系统例如?I,＋,0?是代数系统,N?I,加法在 N上封闭,
0?N,所以?N,＋,0?是?I,＋,0?的子代数,当然?N,＋?也是
I,＋?的子代数 。
N-?0?,＋?是?I,＋?的子代数,但不是?I,＋,0?的子代数,因为?I,＋,0?中的代数常数 0?N-?0?。
【 例 6.10】 设 I是整数集合,＋是普通加法,?I,＋,0?是代数系统,设 B=?x|x=2n∧ n?I?,证明?B,＋,0?是?I,＋,0?的子代数 。
证明,任取 B的两个元素 2n1和 2n2,n1?I,n2?I。
2n1＋ 2n2=2(n1＋ n2)?B n1＋ n2?I
所以,加法＋在 B上封闭 。
又 0=2× 0?B
所以?B,＋,0?是?I,＋,0?的子代数 。
第 6章 代数系统定义 6.3.3 设 V1=?A,*?和 V2=?B,°?是两个代数系统,其中
*和 °是二元运算 。?a1,b1A× B和a2,b2A× B,A× B
上的二元运算 △ 定义为：
a1,b1?△?a2,b2?=?a1*a2,b1°b2?
代数系统?A× B,△?称为 V1 到 V2 的积代数或直积,记为
V1× V2
【 例 6.11】 设 V1=?A,*?和 V2=?B,°?是两个代数系统,其中 A=?a,b?,A上的二元运算 *如表 6.7所示,B=?x,y,z?,B上的二元运算 °如表 6.8所示 。 试求 V1× V2
表 6.7
* a b
a a b
b b a
表 6.8
x y z
x x y z
y y y z
z z z z
第 6章 代数系统解,V1× V2=?A× B,△?,其中
A× B=a,x?,?a,y?,?a,z?,?b,x?,?b,y?,?b,z，
二元运算 △ 如表 6.9所示 。
表 6.9
△ <a,x> <a,y> <a,z> <b,x> <b,y> <b,z>
<a,x> <a,x> <a,y> <a,z> <b,x> <b,y> <b,z>
<a,y> <a,y> <a,y> <a,z> <b,y> <b,y> <b,z>
<a,z> <a,z> <a,z> <a,z> <b,z> <b,z> <b,z>
<b,x> <b,x> <b,y> <b,z> <a,x> <a,y> <a,z>
<b,y> <b,y> <b,y> <b,z> <a,y> <a,y> <a,z>
<b,z> <b,z> <b,z> <b,z> <a,z> <a,z> <a,z>
第 6章 代数系统定义 6.3.4 设 V1=?A,?,°?和 V2=?B,?,◎?是两个代数系统,
其中?,°,?和 ◎ 都是二元运算 。?a1,b1?,?a2,b2A× B，
定义 A× B上的二元运算 △ 和 □ 为：
a1,b1?△?a2,b2?=?a1*a2,b1?b2?
a1,b1?□?a2,b2?=?a1°a2,b1◎ b2?
代数系统?A× B,△,□?称为 V1到 V2的积代数或直积 。 记为
V1× V2。
定理 6.3.1 设 V1=?A,和 V2=?B,°?是两个代数系统,其中?
和 °都是二元运算 。 代数系统?A× B,△?为 V1到 V2的积代数 。
那么
⑴ 若运算?在 A上封闭且 °在 B上封闭,则运算 △ 也在 A× B
上封闭 。
⑵ 若运算?和 °可交换,则运算 △ 也可交换 。
⑶ 若运算?和 °可结合,则运算 △ 也可结合 。
第 6章 代数系统
⑷ 若运算 *和 °分别有单位元 e1和 e2,则运算 △ 有单位元 <e1,e2>
⑸?a?A,?b?B分别对运算 *和 °有逆元 a–1和 b–1,则
<a,b>?A× B对运算 △ 有逆元 <a–1,b–1>。
证明,⑴a1,b1A× B,a2,b2A× B,则 a1,a2?A，
b1,b2?B,于是 a1*a2?A,b1 b2?B,所以,
a1,b1?△?a2,b2?=?a1*a2,b1 b2A× B
运算 △ 在 A× B上封闭 。
⑵a1,b1A× B,a2,b2A× B，
a1,b1?△?a2,b2?=?a1*a2,b1°b2?=?a2*a1,b2°b1?
=?a2,b2?△?a1,b1?
所以 △ 可交换 。
第 6章 代数系统
⑶ 类似 ⑵ 可证明 。
⑷a,bA× B
a,b?△ <e1,e2>=?a*e1,b° e2?=?a,b?
<e1,e2>△?a,b?=?e1*a,e2° b?=?a,b?
所以 <e1,e2>是笛卡尔积 A× B关于运算 △ 单位元 。
⑸a,bA× B
a,b?△ <a–1,b–1>=?a*a–1,b°b–1?=<e1,e2>
<a–1,b–1>△?a,b?=<a–1*a,b–1°b>=<e1,e2>
所以?a,b?–1=<a–1,b–1>。
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6.1 代数系统的基本概念
6.2 二元运算的性质
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6.1代数系统的基本概念
6.1.1运算
1.运算的定义定义 6.1.1 设 A是非空集合，从笛卡尔积 A× A×? × A到
A的映射 f称为集合 A上的 n元运算。简称为 n元运算。
在定义 6.1.1中，当 n=1时,f称为集合 A上的一元运算；
当 n=2时,f称为集合 A上的二元运算。
在讨论抽象运算时,,运算,常记为,*”,,°” 等。
设 *是 二元运算，如果 a与 b运算得到 c，记作 a*b=c；若 *是 一元运算,a的运算结果记作 *a或 *(a)。
第 6章 代数系统第 6章 代数系统设 A=?1,a,?，其中,a是非零实数。 f,A→ A，定义为,?a?A,f(a)= 。容易看出 f是 A上的一元运算。
又如,f,N× N→N,定义为,?m,n?N,f(m,n)=m＋ n，
f是自然数集合 N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法不是自然数集合 N上的二元运算，因为两个自然数相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自然数集合 N上的二元运算。
通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合 A上的运算必须满足以下两点：
① A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟一的。
② A中任何元素的运算结果都属于 A。 A中任何元素的运算结果都属于 A通常 称为运算在 A是封闭的。
a
1
a
1
第 6章 代数系统
【 例 6.1】 设 N为自然数集合,*和 °是 N× N到 N映射,规定为,?m,n?N，
m?n=min?m,n?
m°n=max?m,n?
则?和 °是 N上的二元运算 。
【 例 6.2】 设 Nk=?0,1,?,k-1?。 Nk上的二元运算 +k定义为：
对于 Nk中的任意两个元素 i和 j,有称二元运算 +k为模 k加法 。
kjikji
kjijiji
k
第 6章 代数系统
kji
kji
kji
jiji
k
的余数除以称二元运算 × k为模 k的乘法 。
模 k加法 +k和模 k乘法 × k是两种重要的二元运算 。
在 N7=?0,1,2,3,4,5,6?中,有 4+72=6,4+75=2。 如果把 N7
中的元素,0,1,2,3,4,5,6分别看作是：星期日,星期一,星期二,星期三,星期四,星期五,星期六 。 那么
4+72=6可解释为：星期四再过两天后是星期六； 4+75=2可解释为：星期四再过五天后是星期二 。 这是模 7加法实际意义的一种解释 。
Nk上的二元运算 × k定义为：对于 Nk中的任意两个元素 i和
j,有第 6章 代数系统
2.运算的表示表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。
解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如
f(a)=,
a
1
kjikji
kjijiji
k
运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。
经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算,特别当有限集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时,借助于运算表来定义二元运算会带来方便 。 另外,运算表还便于对二元运算的某些性质进行讨论,更形象地了解二元运算的有关特征 。
设 N4=?0,1,2,3?,N4上的模 4加法＋ 4可以用 运算表表示,
它的运算表如表 6.1所示 。 N4上的模 4乘法 × 4也可以用 运算表表示,它的运算表如表 6.2所示 。
第 6章 代数系统表 6.1
+4 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
表 6.2
× 4 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
第 6章 代数系统
6.1.2代数系统定义 6.1.2 一个非空集合 A连同若干个定义在该集合上的运算?1,?2,?,?k 所组成的系统称为一个代数系统,记作
<A,?1,?2,?,?k>。
根据定义 6.1.2,一个代数系统需要满足下面两个条件：
① 有一个非空集合 A。
② 有一些定义在集合 A上的运算 。
集合和定义在集合 A上的运算是一个代数系统的两个要素,缺一不可 。
【 例 6.3】 设 B是一个集合,A=P (B)是 A幂集合 。 集合的求补运算是 A上的一元运算,集合的并和交运算是 A上的是二元运算 。 于是 <A,∪,∩,~>构成一个代数系统,该代数系常称为集合代数 。
【 例 6.4】 设 R-?0?是全体非零实数集合,*是 R-?0?上二元运算,定义为,?a,b? R-?0?,a*b=b。 则 <R-?0?,*>是代数系统 。
第 6章 代数系统
6.2 二元运算的性质
6.2.1运算的基本性质
1.交换律定义 6.2.1 设 *是非空集合 A上的二元运算,如果对于任意的 a,b?A,有 a?b=b?a,则称二元运算?在 A上是可交换的,也称二元运算 *在 A上满足交换律 。
例如,设 R为实数集合,对于任意的 a,b?R,规定
a?b=(a–b)2
a°b=a2+b2
a?b=a+b–ab
则运算?,°和?都是可交换的 。
2.结合律定义 6.2.2 设 *是非空集合 A上的二元运算,如果对于任意的 a,b,c?A,有 (a*b)*c=a*(b*c),则称二元运算 *在 A上是可结合的,也称二元运算?在 A上满足结合律返回章目录第 6章 代数系统实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律；
矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律；向量的内积、外积是二元运算，但不满足结合律。
【 例 6.5】 设 *是非空集合 A上的二元运算,定义为：
a,b?A,a?b=b。 证明运算 *是可结合的 。
证明,对于任意的 a,b,c?A，
有 (a?b)?c=c,而 a?(b?c)=a?c=c,故有 (a?b)?c=a?(b?c)，
即运算?是可结合的 。
当二元运算 *在 A上适合结合律时，在只有该运算符的表达式中，表示运算顺序的括号常被省略。所以将 (x*y)*z
=x*(y*z)常写成 x*y*z。这样，可以令
个n
n aaaa
第 6章 代数系统当运算 *满足结合律时,an的也可以递归定义如下：
⑴ a1=a
⑵ an+1=an?a
由此利用数学归纳法,不难证明下列的公式：
⑴ am?an= am+n
⑵ (am)n= amn
3.分配律定义 6.2.3 设 *和是非空集合 A上的两个二元运算,如果对于任意 a,b,c?A,有
a*(b°c)=(a*b)°(a*c) (左分配律 )
(b°c)*a=(b*a)°(c*a) (右分配律 )
则称运算 *对运算是可分配的。也称运算 *对运算满足分配律。
第 6章 代数系统
【 例 6.6】 设 A=?0,1?,*和 °都是 A上的二元运算,定义为,0?0=1*1=0,0*1=1*0=1
0°0=0°1=1°0=0,1°1=1
则容易验证 °对于运算 *是可分配的,但 *对于运算 °是不可分配的 。 如 1*(0°1)=1≠0=(1*0)°(1*1)
定理 6.2.1设 *和 °是非空集合 A上的两个二元运算,*是可交换的 。 如果 *对于运算 °满足左分配律或右分配律,则运算
*对于运算 °是可分配的 。
证明,设 *对于运算 °满足左分配律,且?是可交换的,
则对于任意 a,b,c?A,有
(b°c)?a=a?(b°c)=(a?b)°(a?c)=(b?a)°(c?a)
即 (b°c)?a=(b?a)°(c?a)
故?对于运算 °是可分配的 。
同理可证另一半 。
第 6章 代数系统
4.吸收律定义 6.2.4 设 *和 °是非空集合 A上的两个可交换的二元运算,如果对于任意 a,b?A,有
a*(a°b)=a
a°(a*b)=a
则称运算?和运算 °满足吸收律 。
【 例 6.7】 设 N为自然数集合,*和 °是集合 N上的二元运算,定义为,?a?N,?b?N
a*b=max(a,b),a°b=min(a,b)
验证运算 *和 °适合吸收律 。
解,?a?N,?b?N
若 a＞ b,a*(a°b)=a*min(a,b)=a*b=max(a,b)=a
若 a＜ b,a*(a°b)=a*min(a,b)=a*a=max(a,a)=a
若 a＝ b,a*(a°b)=a*min(a,b)=a*a=max(a,a)=a
即 a*(a°b)=a 同理可证 a°(a*b)=a
因此运算 *和 °适合吸收律 。
第 6章 代数系统
5.幂等律定义 6.2.5 设 *是非空集合 A上的二元运算,如果对于任意的
a?A,有 a?a=a,则称运算 *是幂等的或运算?满足幂等律 。 如果 A的某个元素 a满足 a?a=a,则称 a为运算 *的幂等元 。
易见，集合的并、交运算满足幂等律，每一个集合都是幂等元。由定义 6.2.5不难证明下面定理。
定理 6.2.2 设?是非空集合 A上的二元运算,a为运算?的幂等元,对任意的正整数 n,则 an=a。
6.2.2特殊元素
1.幺元定义 6.2.6 设?是定义在集合 A上的二元运算，如果有一个
el?A，对于任意的 a?A，有 el? a=a，则称 el为 A中关于运算?的左单位 元或 左幺元；如果有一个 er?A，对于任意的 a?A，有 a?
er=a，则称 er为 A中关于运算?的 右 单位元或右幺元；如果在 A
中有一个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为 A中关于运算?的单位元或幺元。
第 6章 代数系统定理 6.2.3 设?是定义在集合 A上的二元运算,el为 A中关于运算?的左幺元,er为 A中关于运算?的右幺元,则 el=er=e，
且 A中的幺元是惟一的 。
证明,因为 el和 er分别是 A中关于运算?的左幺元和右幺元,所以
el=el? er=er=e
设另一幺元 e1?A,则
e1=e1?e=e
2.零元定义 6.2.7 设?是集合 A上的二元运算，如果有一个 θl?A，
对于任意的 a?A都有 θl?a=θl，则称 θl为 A中关于运算?的左零元；如果有一个 θr?A，对于任意的 a?A，都有 a?θr=θr，则称 θr为 A中关于运算?的右零元；如果 A中有一个元素 θ?A，它既是左零元又是右零元，则称 θ为 A中关于运算?的零元。
第 6章 代数系统定理 6.2.4 设?是集合 A上的二元运算,θl为 A中关于运算?
的左零元,θr为 A中关于运算?的右零元,则 θl=θr=θ,且 A中的零元是惟一的 。
证明,因为 θl和 θr分别是 A中关于运算?的左零元和右零元,所以
θl=θl?θr=θr=θ
设另一零元 θ1?A,则 θ1=θ1?θ=θ
定理 6.2.5 设?是集合 A上的二元运算,集合 A中元素的个数大于 1。 如果 A中存在幺元 e和零元 θ,则 e≠θ。
证明,用反证法。设 e=θ，那么对于任意的 a?A，必有
a=e?a=θ?a=θ，
于是 A中的所有元素都是零元?，与 A中至少有两个元素矛盾。
第 6章 代数系统
3.逆元定义 6.2.8 设?是集合 A上的二元运算,e为 A中关于运算?
的幺元 。 如果对于 A中的元素 a存在着 A中的某个元素 b,使得 b?a=e,那么称 b为 a的左逆元；如果存在 A中的某个元素 b，
使得 a?b=e,那么称 b为 a的右逆元；如果存在着 A中的某个元素 b,它既是 a的左逆元又是 a的右逆元,那么称 b为 a的逆元 。 a的逆元记为 a–1。 如果 a?A存在逆元 a–1?A,那么称 a为可逆元 。
一般地说,一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元 。 一个元素可以有左逆元而没有右逆元,同样可以有右逆元而没有左逆元 。 甚至一个元素的左逆元或者右逆元还可以不是惟一的 。
定理 6.2.6 设?为 A中的一个二元运算,A中存在幺元 e且每个元素都有左逆元 。 如果?是可结合的运算,则在 A中任何元素的左逆元必定是该元素的右逆元,且每个元素的逆元是惟一的 。
第 6章 代数系统证明,设 a,b,c?A,b是 a的左逆元,c是 b的左逆元 。 于是 (b?a)?b=e?b=b,所以
e=c?b=c?((b?a)?b)=(c?(b?a))?b
=((c?b)?a)?b=(e?a)?b=a?b
因此,b也是 a的右逆元 。
设元素 a有两个逆元 b和 d,那么
b=b?e=b?(a?d)=(b?a)?d=e?d=d
故 a的逆元是惟一的 。
4.消去律定义 6.2.9 设?是集合 A上的二元运算,θ为 A中关于运算
的零元,?a,b,c?A,a≠ θ。 如果
⑴ 若 a?b=a?c,便有 b=c,则称运算?满足左消去律,称
a为运算?的左可消元 。
⑵ 若 b?a=c?a,便有 b=c,则称运算?满足右消去律,称
a为运算?的右可消元 。
第 6章 代数系统若运算?既满足左消去律又满足右消去律,则称运算?满足消去律,称 a为运算?的可消元 。
注意可消元 a不能是零元 θ。
定理 6.2.7 设?是 A中可结合的二元运算,如果 a的逆存在且 a≠ θ,则 a为关于?的可消元 。
证明,设 b,c?A,且有 a?b=a?c或 b?a=c?a。 由于?为可结合的二元运算,a的逆存在且 a≠ θ,则
a–1?(a? b)=(a–1?a)? b=e? b=b
a–1?(a? c)=(a–1? a)? c=e? c=c
而 a–1?(a? b)=a–1?(a? c)
于是 b=c,同理由 b?a=c?a,得 b=c,故 a为关于?的可消元 。
第 6章 代数系统
【 例 6.8】 实数集 R上的下列二元运算是否满足结合律和交换律？
⑴ a?b=a+b?ab ⑵ a°b= (a+b)
解,⑴ 因为?a,b,c?R,有
(a?b)?c=(a+b-ab)?c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c
=a+b+c-ab-ac-bc+abc
又 a?(b?c)=a?(b+c-bc)=a+b+c-bc-a(b+c-bc)
=a+b+c-ab-ac-bc+abc
所以 (a?b)?c=a?(b?c)
因此运算?满足结合律 。
又 a?b=a+b?ab=b+a?ba=b?a
所以运算?满足交换律 。
⑵ 因为?a,b,c?R,有
(a°b)°c= (a+b)°c= ( (a+b)+c)= (a+b+2c)
2
1
2
1 21 21 41
第 6章 代数系统
a°(b°c)=a° (b+c)= (a+ (b+c))= (2a+b+c)
在一般情况下
(a+b+2c) ≠ (2a+b+c)
所以运算 °不满足结合律 。 而
a°b= (a+b)= (b+a)=b°a
所以运算 °满足交换律 。
【 例 6.9】 在例 6.8中,运算 *是否有单位元,零元和幂等元？ 若有单位元,哪些元素有逆元？
解,运算?的定义为,a?b=a+b?ab
⑴ 若 e是单位元,则对任意元素 a?R,有 a?e=e?a=a,由于元素?是可交换的,仅考虑 e?a=a,即 e?a=e+a?ea=a,于是 e?ea=0,即 e(1?a)=0。 由于 a是任意的,要使上式成立,
只有 e=0。 因此 0是运算?的单位元 。
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
第 6章 代数系统
⑵ 若 θ是零元,则对任意元素 a?R,有 a?θ=θ?a=θ。 仅考虑 θ?a=θ,即 θ?a=θ+a?θa=θ,于是 a?aθ=0,即 a(1?θ)=0。
由于 a是任意的,要使上式成立,只有 θ=1。 因此 1是运算?的零元 。
⑶若 a?R是幂等元，则应有 a?a=a，即 a+a?a2=a。于是
a?aa=0，即 a(1?a)=0。要使上式成立，只有 a=0或 a=1。因此 0或 1是运算?的幂等元。
⑷ 设 b是 a的逆元,则应有 a?b=a+b?ab=0(?的单位元 ),于是 b=,因此对于 R中的任何元素 a(只要 a≠1)均有逆元,其逆元是 。
1?a
a
1?a
a
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6.3子代数和积代数定义 6.3.1 如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是同类型的代数系统 。
例如,V1=?R,＋,?,-,0,1?
V2=?P(A),∪,∩,~,?,A?
V1和 V2都含有两个二元运算,一个一元运算和两个代数常数,它们是同类型的代数系统 。
同类型的代数系统仅仅是构成成分相同,不一定具有相同的运算性质 。
定义 6.3.2 设 V=<A,?1,?2,?,?k>是代数系统,B?A。 如果
1,?2,?,?k都在 B上封闭,B和 A含有相同的代数常数,则称代数系统 <A,?1,?2,?,?k>是 V的子代数系统,简称子代数 。
第 6章 代数系统例如?I,＋,0?是代数系统,N?I,加法在 N上封闭,
0?N,所以?N,＋,0?是?I,＋,0?的子代数,当然?N,＋?也是
I,＋?的子代数 。
N-?0?,＋?是?I,＋?的子代数,但不是?I,＋,0?的子代数,因为?I,＋,0?中的代数常数 0?N-?0?。
【 例 6.10】 设 I是整数集合,＋是普通加法,?I,＋,0?是代数系统,设 B=?x|x=2n∧ n?I?,证明?B,＋,0?是?I,＋,0?的子代数 。
证明,任取 B的两个元素 2n1和 2n2,n1?I,n2?I。
2n1＋ 2n2=2(n1＋ n2)?B n1＋ n2?I
所以,加法＋在 B上封闭 。
又 0=2× 0?B
所以?B,＋,0?是?I,＋,0?的子代数 。
第 6章 代数系统定义 6.3.3 设 V1=?A,*?和 V2=?B,°?是两个代数系统,其中
*和 °是二元运算 。?a1,b1A× B和a2,b2A× B,A× B
上的二元运算 △ 定义为：
a1,b1?△?a2,b2?=?a1*a2,b1°b2?
代数系统?A× B,△?称为 V1 到 V2 的积代数或直积,记为
V1× V2
【 例 6.11】 设 V1=?A,*?和 V2=?B,°?是两个代数系统,其中 A=?a,b?,A上的二元运算 *如表 6.7所示,B=?x,y,z?,B上的二元运算 °如表 6.8所示 。 试求 V1× V2
表 6.7
* a b
a a b
b b a
表 6.8
x y z
x x y z
y y y z
z z z z
第 6章 代数系统解,V1× V2=?A× B,△?,其中
A× B=a,x?,?a,y?,?a,z?,?b,x?,?b,y?,?b,z，
二元运算 △ 如表 6.9所示 。
表 6.9
△ <a,x> <a,y> <a,z> <b,x> <b,y> <b,z>
<a,x> <a,x> <a,y> <a,z> <b,x> <b,y> <b,z>
<a,y> <a,y> <a,y> <a,z> <b,y> <b,y> <b,z>
<a,z> <a,z> <a,z> <a,z> <b,z> <b,z> <b,z>
<b,x> <b,x> <b,y> <b,z> <a,x> <a,y> <a,z>
<b,y> <b,y> <b,y> <b,z> <a,y> <a,y> <a,z>
<b,z> <b,z> <b,z> <b,z> <a,z> <a,z> <a,z>
第 6章 代数系统定义 6.3.4 设 V1=?A,?,°?和 V2=?B,?,◎?是两个代数系统,
其中?,°,?和 ◎ 都是二元运算 。?a1,b1?,?a2,b2A× B，
定义 A× B上的二元运算 △ 和 □ 为：
a1,b1?△?a2,b2?=?a1*a2,b1?b2?
a1,b1?□?a2,b2?=?a1°a2,b1◎ b2?
代数系统?A× B,△,□?称为 V1到 V2的积代数或直积 。 记为
V1× V2。
定理 6.3.1 设 V1=?A,和 V2=?B,°?是两个代数系统,其中?
和 °都是二元运算 。 代数系统?A× B,△?为 V1到 V2的积代数 。
那么
⑴ 若运算?在 A上封闭且 °在 B上封闭,则运算 △ 也在 A× B
上封闭 。
⑵ 若运算?和 °可交换,则运算 △ 也可交换 。
⑶ 若运算?和 °可结合,则运算 △ 也可结合 。
第 6章 代数系统
⑷ 若运算 *和 °分别有单位元 e1和 e2,则运算 △ 有单位元 <e1,e2>
⑸?a?A,?b?B分别对运算 *和 °有逆元 a–1和 b–1,则
<a,b>?A× B对运算 △ 有逆元 <a–1,b–1>。
证明,⑴a1,b1A× B,a2,b2A× B,则 a1,a2?A，
b1,b2?B,于是 a1*a2?A,b1 b2?B,所以,
a1,b1?△?a2,b2?=?a1*a2,b1 b2A× B
运算 △ 在 A× B上封闭 。
⑵a1,b1A× B,a2,b2A× B，
a1,b1?△?a2,b2?=?a1*a2,b1°b2?=?a2*a1,b2°b1?
=?a2,b2?△?a1,b1?
所以 △ 可交换 。
第 6章 代数系统
⑶ 类似 ⑵ 可证明 。
⑷a,bA× B
a,b?△ <e1,e2>=?a*e1,b° e2?=?a,b?
<e1,e2>△?a,b?=?e1*a,e2° b?=?a,b?
所以 <e1,e2>是笛卡尔积 A× B关于运算 △ 单位元 。
⑸a,bA× B
a,b?△ <a–1,b–1>=?a*a–1,b°b–1?=<e1,e2>
<a–1,b–1>△?a,b?=<a–1*a,b–1°b>=<e1,e2>
所以?a,b?–1=<a–1,b–1>。
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