第 7章 群、环和域第 7章 群、环和域
7.1 半群和独异点
7.2 群与阿贝尔群
7.3 子群
7.4 陪集和拉格朗日定理
7.5 正规子群
7.6 同态和同构
7.7 循环群
7.8 置换群
7.9 环与域 返回总目录第 7章 群、环和域第 7章 群、环和域
7.1半群和独异点
7.1.1广群和半群代数系统 <S,*>又称为广群 。
定义 7.1.1 设 <S,*>是代数系统,*是 S上的二元运算,如果 *满足结合律,则称代数系统 <S,*>为半群 。
例如,代数系统 <I,＋ >,?R,,<P(a),∪ >,<P(a),∩>、
<Nk,＋ k>和 <Nk,× k>都是半群 。
半群是一个非空集合和一个定义在其上的可结合二元运算组成的代数系统。设 <S,*>是半群，如果运算 *又满足交换律，则称半群 <S,*>为可换半群。若 S为有限集合，则半群
<S,*>称为有限半群。
定理 7.1.1 设 <S,*>是半群,*是 S上的二元运算,B?S，
如果 *在 B上是封闭的,则?B,*?也是半群 。
第 7章 群、环和域证明,因为 *在 B上是封闭的,所以 *是 B上的二元运算 。
B,*?是代数系统 。a,b,c?B,由于 B?S,所以 a,b,c?S,又由于?S,*?是半群,所以 (a*b)*c=a*(b*c),故?B,*?是半群 。
定义 7.1.2 定理 7.1.1中的半群?B,*?叫做半群?S,*?的子半群 。
例如,因为 Q?R且乘法在有理数集上是封闭的,由定理
7.1.1和定义 7.1.2,?Q,是?R,的子半群,所以?Q,是半群 。
类似的可以证明?N,,?[0,1],和?(0,1),是半群 。
定理 7.1.2 设?S,*?是半群,S是有限集,则必有 a?S,使得 a*a=a
证明,?b?S,由 *在 S上的封闭性知：
b2=b*b?S
b3=b2*b?S
第 7章 群、环和域因为 S是有限集,所以必有 i＜ j使
bi=bj 令 p=j–i,则 p=j–i≥1,而 j=p＋ i
bi=bj=bp+i=bp*bi
于是下式成立：
bq=bp*bq q≥i
因为 p=j–i≥1,总可以找到 k≥1,使得 kp≥i
对于 S中的元素 bkp,就有
bkp=bp*bkp
=bp*(bp*bkp)
=b2p*bkp
=b2p*(bp*bkp)
=?
=bkp*bkp
令 a=bkp,a*a=a
第 7章 群、环和域设 I＋ 是正整数集合,＋是 I＋ 上的普通加法,加法在正整数集合 I＋ 上封闭且适合结合律 。 所以?I＋,＋?是半群 。 但因 I＋
是无限集,所以 I＋ 中没有幂等元 。
【 例 7.1】 设 R是实数集,定义 R上的二元运算 *为：
x,y?R,x*y=x|y|
其中 x|y|为实数 x与实数 y的绝对值的乘法运算,证明 <R,*>是一个半群 。
证明,显然,?x,y?R,则 x|y|?R,故运算 *在 R上封闭 。
接下来只需验证 *满足结合律 。x,y,z?R,有
(x?y)?z=(x?y)|z|=(x|y|)|z|=x|y||z|
x?(y?z)=x|y?z|=x|y|z||=x|y||z|
所以,(x?y)?z=x?(y?z),故 <R,*>是一个半群 。
7.1.2 独异点定义 7.1.3 设?G,*?是半群,如果运算 *的单位元 e?G，
则称半群?G,*?为含幺半群或独异点 。
第 7章 群、环和域若?G,*?为独异点,且 *是可交换的,则称?G,*?为可换的独异点 。
例如,设 A是任一集合,P (A)是 A的幂集合 。 集合 并 运算
∪ 在 P (A)上是封闭的,并 运算 ∪ 的 单位元P (A),所以半群 <P (A),∪ >是 独异点 ；交 运算 ∩在 P (A)上也是封闭的,交运算 ∩的 单位元 A?P (A),所以半群 <P (A),∩>也 是独异点 。
显然,并 运算 ∪ 和 交 运算 ∩满足交换律 。 所以,它们都是可交换独异点 。
定理 7.1.3 设?G,*?是可交换的独异点,H为其所有幂等元的集合,则?H,*?为独异点 。
证明,?a,b?H,于是 a*a=a,b*b=b。 由 *是可交换的,
从而 (a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a
=a*(b*a)=(a*a)*b=a*b
于是 a*b?H,即 *在 H上封闭,显然 H?G,根据定理 7.1.1，
H,*?是半群 。
因 e*e=e,故 e?H。 所以?H,*?为独异点 。
第 7章 群、环和域定理 7.1.4 设?G,*?是独异点,则在 *的运算表中任何两行两列都不相同 。
证明,先证明任何两列不相同 。
设运算 *的单位元是 e?G,?x?G,?y?G,x≠y
因为 e*x=x,e*y=y,所以 e*x≠e*y,这说明 e所在行的元素是两两互不相同的且都是 G的元素 。 故在 *的运算表中任何两列是不相同的,至少 e所在行互不相同 。
类似地可证任何两行是不相同的 。
前面说过,<Nk,＋ k>和 <Nk,× k>是半群 。 根据表 6.1和表
6.2,N4上的模 4加法＋ 4有 单位元 0,N4上的模 4乘法 × 4有 单位元 1,所以 <N4,＋ 4>和 <N4,× 4>都是独异点 。 在＋ 4和 × 4运算表中任何两行两列都不相同 。 参看 表 6.1和表 6.2。
定理 7.1.5设 <G,*>是独异点,?a,b?G且 a,b均有逆元,
则第 7章 群、环和域
⑴ (a–1)–1=a
⑵ a*b有逆元，且 (a*b)–1=b–1*a–1
证明,⑴ 因 a*a–1=a–1*a=e，故 (a–1)–1=a
⑵ 因 (a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1
=a*e*a–1=a*a–1=e
又
(b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b)
=b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e
故
(a*b)–1=b–1*a–1
定义 7.1.4 设 <G,*>是半群,如果它的每个元素均为 G
的某元素 a的某一方幂,则称半群 <G,*>为由 a所生成的循环半群,而 a称为半群 <G,*>的生成元素,并记 (a)。
定理 7.1.6 一个循环半群一定是可换半群 。
第 7章 群、环和域证明,设 <G,*>为由 a所生成的循环半群,?x,y?G,则
x=am,y=an,于是
x*y=am*an=am+n=an+m =an*am=y*x
即 <G,*>是可换半群。
7.2群与阿贝尔群
7.2.1群的定义和性质定义 7.2.1 设?G,*?是代数系统,其中,G是非空集合,
*是 G上二元运算 。 如果
⑴ 运算 *在 G上是可结合的 。
⑵ 运算 *的单位元 e?G。
⑶?x?G,有 x–1?G。
则称?G,*?为群。有时也可将群?G,*?简称为群 G。
根据定义，广群是一个非空集合和一个定义在非空集合的二元运算组成；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。
返回章目录第 7章 群、环和域普通加法＋在 I上是封闭的和可结合的,在 I中有关于加法的单位元 0,?x?I,有 x–1＝ –x?I,所以?I,＋?是群 。 该群叫做整数加法群 。
乘法?在 Q-?0?上也是封闭的和可结合的,在 Q-?0?中有关于乘法的单位元 1,?x?Q-?0?,有 x–1＝?Q-?0?,所以
Q-?0?,是群 。
用同样的办法可以证明?R,＋?是群,其中 0是单位元,
x?R,x–1＝ –x?R。 群?R,＋?叫做实数加法群；但?R,不是群,因为对普通乘法,0的逆元是不存在的；而?R-?0?,
是群,其中 1是单位元,x?R-?0?,有 x–1=?R-?0?。
【 例 7.2】 设 G＝?e,a,b,c?,表 7.1给出了 *的运算表 。 证明
G,*?是群 。
x
1
x
1
第 7章 群、环和域证明,由表 7.1可以看出,*运算是封闭的和可结合的，在 G中有关于
*的单位元 e。 G中每个元素都是自己的逆元，即 e–1=e,a–1=a,b–1=b，
c–1=c。所以?G,*?是群。
例 7.2中的群?G,*?叫做 Klein 四元群，简称四元群。 Klein 四元群有以下 4个特点：
表 7.1
* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
⑴ e为 G中的单位元 。
⑵ *运算是可交换的 。
⑶ G中每个元素的逆元都是自己 。
⑷ a,b,c三个元素中任何两个元素的 *运算结果都等于第三个元素 。
由于群 G中有幺元且每一个元素都有逆元,所以可以定义 G中元素的 0次幂和负整数次幂 。 定义 x0=e,?x?G,n?I+，
定义 x–n＝ (x–1)n
第 7章 群、环和域这样以来,可以将 6.2节中关于 xn的定义推广为：
x0=e
x1=x
xn+1=xn *x n为正整数 。
x–n＝ (x–1)n n为正整数 。
定义 7.2.2 设 <G,*>是 群,如果它的子代数 <H,*>也是群,
则称 <H,*>是 <G,*>的子群 。
定义 7.2.3 设 <G,*>是 群,如果 G是有限集,则 <G,*>称为有限群,如果 G是无限集,则 <G,*>称为无限群 。 基数 |G|
称为群 <G,*>的阶数,简称群 G的 阶 。
定理 7.2.1 群中不可能有零元 。
证明,当群的阶为 1时,惟一元素为幺元 。 设 |G|＞ 1且群
<G,*>有零元 θ。 那么对群中任何元素 x?G,都有 x?θ=θ?x
=θ≠e,所以,零元 θ就不存在逆元,这与 <G,*>是群相矛盾 。
第 7章 群、环和域定理 7.2.2 设 <G,*>是群，对于 a,b?G，必存在惟一的
x?G,使得 a?x=b。
证明,设 a的逆元是 a–1,令 x= a –1?b,则
a?x=a?(a –1?b)=(a?a –1)?b=e?b=b
若另有一解 x1,满足 a?x1=b,则 a –1?(a?x1)=a –1?b
即 x1=a –1?b=x。
定理 7.2.3 设 <G,*>是群,对于任意的 a,b,c?G,如果有
a?b=a?c或者 b?a=c?a,则必有 b=c。
证明,设 a?b=a?c,且 a的逆元是 a –1,则有
a –1?(a?b)=a –1?(a?c)
(a –1?a)?b=(a –1?a)?c
即 e?b=e?c,故 b=c； 当 b?a=c?a时,同样可证得 b=c。
,对于任意的 a,b,c?G,如果有 a?b=a?c或者 b?a=c?a,则必有 b=c。,就是第 6章讲的消去律 。 所以,定理 7.2.3可理解为：群中满足消去律 。
第 7章 群、环和域定理 7.2.4 在群 <G,*>中,除幺元 e外,不可能有别的幂等元 。
证明,因为 e?e=e,所以 e是幂等元 。 设 a?G且 a?a=a，
则有 a=e?a=(a –1?a)?a=a –1?(a?a)=a –1?a=e
即 a=e。
7.2.2阿贝尔群定义 7.2.4 设 <G,*>是群,如果二元运算 *是可交换的,
则称该群为阿贝尔 (Abel)群,或称可交换群 。
整数加法群?I,＋?中的加法运算是可交换的,所以,整数加法群是阿贝尔群,群?R-?0?,中的乘法运算也是可交换的,所以,?R-?0?,也是阿贝尔群 。
定理 7.2.5设 <G,*>是群，则 <G,*>是阿贝尔群的充要条件是对任意的 a,b?G,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
证明,?设 <G,*>是阿贝尔群，下证对任意的 a,b?G,有
(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
第 7章 群、环和域对任意的 a,b?G,有 a*b=b*a,因此,
(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)
即 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
设对任意 a,b?G,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),下证
<G,*>是阿贝尔群 。
a?b=e*(a*b)*e
=(a –1*a)*(a*b)*(b*b–1)
=a –1?(a?(a*b)*b)*b –1
=a –1*((a*a)*(b*b))*b–1
=a–1?((a*b)*(a*b))*b–1
=(a –1?a)*(b*a)*(b*b–1)
=e*(b*a)*e=b*a
即得 a*b=b*a,因此群 <G,*>是阿贝尔群 。
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7.3 子群
7.3.1子群的概念定义 7.3.1 设 <G,*>是群,H是 G的非空子集，如果 <H,*>
也构成群，则称 <H,*>是 <G,*>的子群。
由 子群的定义可以看出,如果 H是 G的非空子集,考察
H,*?是否是群?G,*?的子群,应当验证：
⑴ 运算 *在 H上封闭 。
⑵ 群 G中的幺元 e?H。
⑶?x?S,有 x–1?H
定理 7.3.1 设 <G,*>是一个群,<H,*>是 <G,*>的子群，
则 <G,*>中的幺元 e必定也是 <H,*>中的幺元。
证明,设 <H,*>中的幺元为 e1，对于任意 a?H?G，有
e1*a=a=e*a
由消去律得 e1=e。
第 7章 群、环和域如果?G,*?是群,其中 e单位元 。e?和 G都是 G的非空子集,e?,*?和?G,*?也都构成群,它们是?G,*?的子群,这是两个特殊的子群 。
定义 7.3.2 设?G,*?是群,e?,*?和?G,*?是?G,*?的子群,称为群?G,*?的平凡子群 。
7.3.2 子群的判定用定义证明?H,*?是群?G,*?的子群,要验证三个条件 。
下面的定理说明,在有限 群中,只需 验证一个条件也能证明
H,*?是群?G,*?的子群 。
定理 7.3.2 设?G,*>是群,A是 G的非空子集，如果 A是一个有限集，只要运算 *在 A上封闭，则 <A,*>是?G,*>的子群。
证明,?G,*?是群,则?G,*?是半群,由定理 7.1.1知
A,*?是半群 。 以下证明 A中有幺元 e且 A中每一个元素都有逆元 。
⑴ 证明 A中有幺元 e。
第 7章 群、环和域
b?a,因为运算 *在 a上封闭,所以
b2=b*b?a
b3=b2*b?a
由于 A是有限集,所以必存在正整 i和 j,不妨设 i＜ j,使得 bi=bj
从而有 bi=bi*bj–i和 bi=bj–i*bi
根据群中的消去律得 bj–i=e,即 bj–i是群?G,*?的幺元 。 且这个幺元也在 G的非空子集 A中 。
⑵ 证明 S中每一个元素都有逆元 。
如果 j–i＞ 1,那么 bj–i=b*bj–i–1和 bj–i=bj–i–1*b,即 bj–i–1是 b
的逆元,b–1= bj–i–1且 bj–i–1?A。
如果 j–i=1,b=bj–i,那么 b是幺元 。 所以 b–1= b。
【 例 7.3】 求群 <N6,＋ 6>的所有非平凡子群 。
第 7章 群、环和域解,作 N6=?0,1,2,3,4,5?
上模 6加法＋ 6的运算表,
如表 7.2所示 。 取 N6的子集
S1=?0,2,4?和 S2=?0,3?,它们的运算表是表 7.3和表 7.4。
从表中可以看出,模 6加法
＋ 6在 S1和 S2上封闭 。 所以
<S1,＋ 6>和 <S2,＋ 6>是群 <N6,
＋ 6>的子群 。
表 7.2
+6 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
表 7.3
+6 0 3
0 0 3
3 3 0
表 7.4
+6 0 2 4
0 0 2 4
2 2 4 0
4 4 0 2
第 7章 群、环和域定理 7.3.3 设?G,*>是群,H是 G的非空子集，如果对于 H
中的任意两元素 a和 b有 a*b –1?H，则 <H,*>是?G,*>的子群。
证明,首先证明 G中的幺元 e也是 H中的幺元 。
任取 H中的元素 a,因为 a?H?G,所以 e=a*a –1?H且
a*e=e*a=a,即 e是 H中的幺元 。
其次证明在 H中的每一元素都有逆 。 对任意 a?H,因为
e?H,所以 e*a –1?H,即 a –1?H。
最后证明 *在 H上封闭 。 对任意的 a,b?H,由上可知
b –1?H,而 b=(b –1) –1,所以 a*b=a *(b –1) –1?H。
因此,?H,*>是?G,*>的子群 。
7.3.3 元素的阶及其性质定义 7.3.3 设?G,*?是群,a是 G中的元素 。 如果存在正整数 n,使得 an=e,则称元素 a为有限阶元素,满足上述条件的最小正整数 n称为元素 a的阶数,记为 |a|=n；如果不存在这样的正整数 n,则称 a为无限阶元素 。
第 7章 群、环和域显然,幺元 e的阶数为 1。
定理 7.3.4 如果群?G,*>的一个元素 a的阶是 r,则 ak=e当且仅当 k是 r的倍数 。
证明,?设 ak=e,下证 k是 r的倍数 。
设 k=tr+q(0≤q＜ r)，
e=ak=atr+q=atr*aq=(ar)t*aq=(e)t*aq=e*aq=aq,但是 r是使得
ar=e的最小的正整数,故 q=0,即 k=tr。
设 k是 r的倍数,即 k=tr,下证 ak=e
ak =atr=(ar)t=et=e。
定理 7.3.5 群中任何元素和它的逆元的阶数相同 。
证明,设 a是群中任意元素,a的阶数为 n,即 an=e(e为群的幺元 )。 而 (a–1)n=(an)–1=e–1=e。 所以 a–1为有限阶元素 。 设 a–1
的阶数为 m,m＜ n。 因为 am=((am)–1)–1=((a–1)m)–1=e–1=e。 这与 a
的阶数为 n相矛盾 。 所以 a–1的阶数为 n。
定理 7.3.6 设?G,*?是 n阶群,a是 G中的任意元素,|a|=k，
则 k≤n。
第 7章 群、环和域证明,因为 |G|=n,在 n＋ 1个元素 a,a2,?,an,an?1中至少有两个相同 。 设 ai=aj,1≤i＜ j≤n＋ 1。 aj–i=aj*a–i=ai*a–i
=e,1≤j–i≤n。 由定理 7.3.4,k≤j–i≤n。 所以 k≤n。
定理 7.3.7 设?G,*?是群,a?G,|a|=k,令 S=?a,a2,?,ak?，
则?S,*?是?G,*?的子群 。
证明,?ai?S,?aj?S，
当 i?j≤k时,ai*aj=ai?j?S
当 i?j＞ k时,ai*aj=ak* ai?j–k=e*ai?j–k=ai?j–k?S
所以 *在 S上封闭。根据定理 7.3.2,?S,*?是?G,*?的子群。
7.4 陪集和拉格朗日定理定义 7.4.1 设 <H,*>是群 <G,*>的子群,a是 G中任意一个元素,则称集合 Ha=?h*a|h?H? (aH=?a*h|h?H?)为由 a确定的子群?H,*?在群?G,*?中的右 (左 )陪集,简称为 H关于 a的右
(左 )陪集,a叫做右 (左 )陪集 Ha(aH)的代表元 。
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【 例 7.4】 设?G,*?是 Klein四元群,其中,G=?e,a,b,c?，
二元运算 *的运算表如表 7.1所示 。 令 H=?e,a?,?H,*?是?G,*?
子群 。 试求子群?H,*?在群?G,*?中的左陪集 eH,aH,bH,cH和右陪集 He,Ha,Hb,Hc
解,eH=?e*e,e*a?=?e,a?=H
aH=?a*e,a*a?=?a,e?=eH=H
bH=?b*e,b*a?=?b,c?
cH=? c*e,c*a?=?c,b?=bH
He=? e*e,a*e?=?e,a?=H
Ha=?e*a,a*a?=?a,e?=He=H
Hb=?e*b,a*b?=?b,c?
Hc=? e*c,a*c?=?c,b?=Hb
以下讨论右陪集的性质：
定理 7.4.1 设?H,*?是群?G,*?的子群,H的右陪集具有下述性质：
第 7章 群、环和域
⑴?a?Ha,H=He。
⑵ Ha与 H的基数相同 。
⑶?x?Ha,都有 Hx=Ha。 这一性质表明 Ha的代表元可在
Ha中任意选取 。
⑷ Ha=Hb的充分必要条件是 a*b –1?H。
⑸ 对于 H的任意两个右陪集 Ha,Hb,则 Ha=Hb或 Ha∩Hb
=?
证明 ⑴ 因为 a=e*ah*a|h?H?,所以 a?Ha。
又 He=?h*e|h?H?=?h|h?H?=H,所以 He=H。
⑵?h1,h2?H,且 h1≠h2,则 h1*a≠h2*a,否则,按消去律
h1=h2。 设 f,H→ Ha,f(h)=h*a。 可以证明 f是 H到 Ha的双射 。
故 Ha与 H的基数相同,即 |Ha|=|H|。
⑶?x?Ha,令 x=h1*a,h1?H。 于是?h*x?Hx,则有 h *x
=h*(h1*a)=(h*h1)*a,由于 H是子群,所以 h*h1?H。 于是
(h*h1)*a?Ha,即 h*x?Ha。 Hx?Ha。 同样可证 Ha?Hx,这就证明了 Hx=Ha。
第 7章 群、环和域
⑷ 充分性 。 若 a*b –1?H,则存在 h1?H,使得 a*b–1=h1，
于是有 a=h1*b?Hb。 由 ⑶ 得 Ha=Hb。
必要性 。 若 Ha=Hb,由 ⑴ 得 a?Ha=Hb,于是存在 h?H，
使得 a=h*b。 故 a*b –1?H。
⑸ 若 x?Ha∩Hb,x?Ha且 x?Hb,则?h1,h2?H,使 x=h1*a
=h2*b；于是 a*b –1=h1–1*h2?H。 由 ⑶ 得 Ha=Hb。 这就证明了对于 H的任意两个右陪集 Ha,Hb,则 Ha=Hb或 Ha∩Hb=?。
定理 7.4.2 设 <G,*>是有限群,<H,*>是 <G,*>的子群,则
G可以表示成两两不相交的的右陪集的并 。 即存在一个正整数 m,使得 G=Ha1∪ Ha2∪? ∪ Ham,其中,Hai∩Haj=?,i≠j，
i,j=1,2,?,m。
证明,因为 <G,*>是有限群，所以 <H,*>在 <G,*>中的右陪集个数有限。设所有不同的右陪集为 Ha1,Ha2,?,Ham，
共 m个。x?G，则有 x?Hx?Ha1∪ Ha2∪? ∪ Ham，故
G?Ha1∪ Ha2∪? ∪ Ham
第 7章 群、环和域又显然 Ha1∪ Ha2∪ … ∪ Ham?G
所以 G=Ha1∪ Ha2∪ … ∪ Ham
由 定理 7.4.1的 ⑸ 得 Ha1,Ha2,?,Ham是两两不相交的 。
例如,设?G,*?是 Klein四元群,其中,G=?e,a,b,c?。 令
H=?e,a?,?H,*?是?G,*?子群 。 子群?H,*?在群?G,*?中的右陪集有两个,He=Ha=?e,a?,Hb=Hc=?b,c?。
G=?e,a,b,c?=?e,a?∪?b,c?= He∪ Hb,而?e,a?∩?b,c?=?。
当 <G,*>是无限群时,对于 <G,*>的子群 <H,*>仍可以考虑它的全部不同的右陪集的集合,设为?Hxi|xi?G?,它可以是有限的或无限的 。 类似定理 7.4.2有
G=Hx1∪ Hx2∪? ∪ Hxm∪?
其中,Hxi∩Hxj=?,i≠j,i,j=1,2,?,m,?
以上是右陪集的一些性质 。 左陪集也有类似性质,限于篇幅这里就不赘述了,由读者总结 。
第 7章 群、环和域一般地说,对于群?G,*?的子群?H,*?不能保证 aH=Ha，
但对某些子群?H,*?有 aH=Ha。 称这些子群为正规子群 。 关于正规子群的详细内容将在下一节中介绍 。
尽管?H,*?在?G,*?中的左陪集和右陪集是不一定相等的,
但是,可以证明?H,*?在?G,*?中的左陪集数和右陪集数是相等的 。 今后不再区分左陪集数和右陪集数,统称为?H,*?在
G,*?中的陪集数,记为 |G:H|
定理 7.4.3(Lagrange定理 )设?G,*?是有限群,?H,*?是
G,*?的子群 。 则 |H|是 |G|的因子 。
证明,设?H,*?在?G,*?中的陪集数 |G:H|=r,并设全部不同的右陪集为 Ha1,Ha2,? Har。 由 定理 7.4.2知,它们两两不相交的且 G=Ha1∪ Ha2∪? ∪ Har于是
|G|=|Ha1|+|Ha2|+? +|Har|=|H|+|H|+? +|H|=r|H|
即 |G|=r|H|。
第 7章 群、环和域
Lagrange定理表明，对一个有限群 G,G的子群的阶只可能是 G的阶的因子。
例如,若 G是 4阶群,则 G至多只可能有阶数为 1,2,4的子群,而绝不会有阶为 3的子群；若 G是 6阶群,则 G至多只可能有阶数为 1,2,3,6的子群,而绝不会有阶为 4或 5的子群；
若 G是 5阶群,则 G只是有阶数为 1,5的子群,而绝不会有阶为 2,3,4的子群 。 由 定理 7.4.3可得到如下重要推论 。
推论 1 设 G是 n阶群,对于任意的 a?G,则 a的阶 |a|是 n的因子,且 G中任意元素 x都适合方程 xn=e。
证明,设 |a|=k,S=?a,a2,?,ak?,根据定理 7.3.7,?S,*?
是?G,*?的子群且 |S|=k,由 Lagrange定理 (定理 7.4.3)可得 k是 n
的因子 。
因为 k是 n的因子,所以存在整数 m,使得 n=km。 于是
an=(ak)m=em=e。
第 7章 群、环和域推论 2 设 <G,*>是 n阶有限群,n是素数 。a?G,a≠e，
则 |a|=n且 G=?a,a2,?,an?
证明,设 |a|=k,因为 a≠e,所以 2≤k；由定理 7.3.6知 k≤n，
设 k≠n,则 2≤k＜ n。 又由推论 1知,k为 n的因子,即素数 n有一个大于等于 2且小于 n的因子 k,这与 n是素数矛盾 。 所以
k=n。
令 S=?a,a2,?,an?,由定理 7.3.7知?S,*?是?G,*?的子群,
S?G。 而 |S|=n=|G|。 所以 G=S=?a,a2,?,an?。
下面举几个例子，通过这些例子看到此定理 7.4.3及其推论的一些简单应用。
【 例 7.5】 证明 10阶群中必含有 5阶元 。
证明,设 <G,*>是 10阶群,由推论 1知 G中的元素只可能是 1阶 (幺元 ),2阶,5阶或 10阶元 。
若 G中含有 10阶元,设这个 10阶元是 a,e=a10=(a2)5,则
a2是 5阶元 。
若 G中不含 10阶元,那么 G中非幺元的阶数只能是 2或 5。
第 7章 群、环和域如果 G中无 5阶元,只有 2阶元,即?a?G,有 a2=e。 则
(a*b)*(a*b)=e=e*e=(a*a)*(b*b),根据定理 7.2.5,G是阿贝尔群 。 取 G中两个不同的 2阶元 a和 b,令 H=?e,a,b,a*b?
易证 <H,*>是 <G,*>的子群,但 |H|=4,|G|=10，
与 Lagrange定理矛盾 。
【 例 7.6】 证明阶数小于 6的群都是阿贝尔群 。
证明,设 <G,*>是阶小于 6的群 。
若 |G|=1,则群 <G,*>是平凡的,显然是阿贝尔群 。
若 |G|是素数,即 |G|是 2,3和 5。 由推论 2知
G=?a,a2,?,ak?,其中 k=2,3,5。ai?G,?aj?G，
ai*aj= ai?j=aj*ai,所以 <G,*> 阿贝尔群 。
若 |G|=4，若 G中含有 4阶元，比如说 a，则 G=?a,a2,a3,a4?。
由刚才的分析可知 <G,*>是阿贝尔群。若 G中不含 4阶元，根据 Lagrange定理,G中只含 1阶和 2阶元，即?a?G，有 a2=e。
则 (a*b)*(a*b)=e=e*e=(a*a)*(b*b)，根据定理 7.2.5,G是阿贝尔群。
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7.5正规子群定义 7.5.1 设?G,*?是群,?H,*?是?G,*?的子群,如果对于任意 a?G,都有 aH=Ha成立,则称?H,*?是?G,*?的正规子群 (或称为不变子群 )。
【 例 7.7】 设?G,*?是群,令 H=?e?,?H,*?是?G,*?的一个平凡子群 。 证明?H,*?是?G,*?的正规子群 。
证明,?a?G,aH=?a*e?=?a?=?e*a?=Ha,所以?H,*?是
G,*?的正规子群 。
【 例 7.8】 设?G,*?是群,?G,*?是?G,*?的一个平凡子群 。
证明?G,*?是?G,*?的正规子群 。
证明,?a?G,?b?aG,?g?G,b=a*g，而 G是群，于是 b=a*g?G，所以 aG?G；?b?G，令 g=a–1*b，则 g?G，于是 b=a*g?aG，所以 G?aG，故 aG=G。类似的可以证明 G=Ga。
故 aG=G=Ga。G,*?是?G,*?的正规子群。
从例 7.7和例 7.8可以看出,群的平凡子群是正规子群,这第 7章 群、环和域说明任何群都存在正规子群 。
群的非平凡子群,有的是正规子群,有的不是 。
【 例 7.9】 证明阿贝尔群的子群都是正规子群 。
证明,设?G,*?是阿贝尔群,?H,*?是?G,*?的子群 。
a?G，
aH=?a*h| h?H?=?h*a| h?H?=Ha
所以,?H,*?是?G,*?的正规子群 。
定理 7.5.1 设?H,*?是群?G,*?的子群,则下列命题等价 。
⑴?H,*?是?G,*?的正规子群 。
⑵?g?G,有 gH=Hg。
⑶?g?G,有 H=g–1Hg,其中,g–1Hg=?g–1*h*g|h?H?。
⑷?g?G,?h?H,有 g–1*h*g?H。
证明,⑴ 与 ⑵ 的等价性是显然的 。
证 ⑵ 与 ⑶ 的等价性,先由 ⑵ 推 ⑶ 。
若?g?G,有 gH=Hg,则?h?H,有 g*h?gH=Hg,所以第 7章 群、环和域
g*h?Hg。于是存在 h1?H，使得 g*h=h1*g，
于是 h=g–1*h1*g?g–1Hg。这样便有 H?g–1Hg。
g–1*h*g?g–1Hg,其中 h?H,h*g?Hg,由 Hg=gH知,
h1?H使得 h*g=g*h1,从而有 g–1*h*g=h1?H,即 g–1*h*g?H。
这就证明了 g–1Hg?H
由此得知,?g?G,有 g–1Hg=H。
由 ⑶ 推 ⑵ 。 若?g?G,?h?H,有 g –1*h*g?H,则?h?H，
存在 h1?H,使得 h1=g–1*h*g,于是 h*g=g*h1?gH。 由于 h是 H
中的任意元素,所以 Hg?gH。
同理可证 gH?Hg,即 gH=Hg。
⑶ 与 ⑷ 的等价性是显然的,证明从略 。
利用定理 7.5.1可判别子群 H是否是正规子群 。 尤其该定理的结论 ⑷,它把判断 H是否是正规子群归结到计算元素
g–1hg是否在 H中,这样有时是很方便的 。 下面再看几个应用定理 7.5.1来判断 H是否是正规子群的例子 。
第 7章 群、环和域
【 例 7.10】 设 G是全体 n× n实可逆矩阵关于矩阵乘法的群,令 G中全体行列式为 1的矩阵集合 H=?X|X?G,|X|=1?，
证明 H是 G的正规子群 。
证明,这是因为?A?G,?X?H,有所以 A–1XA?H,即 H是 G的正规子群 。
【 例 7.11】 设?N,*?是?G,*?的正规子群,?H,*?是?G,*?
的子群,证明：
⑴?NH,*?是?G,*?的子群,
其中,NH=?n*h|?n?N,h?H?
⑵ 若?H,*?是?G,*?的正规子群,则?NH,*?是?G,*?的正规子群 。
证明,⑴ 显然,NH是 G的非空子集 。a,b?NH,设
a=n1*h1,b=n2 *h2,这里 n1,n2?N,h1,h2?H。 则
1 || || || || 1 || || || || 11 XAXAAXAXAA
第 7章 群、环和域
a * b–1=n1*h1* (n2*h2)–1=n1*h1*(h2–1*n2–1)=n1*(h1*h2–1)*n2–1
由?H,*?是?G,*?的子群得 h=h1*h2–1?H。 又由?N,*?是?G,*?
的正规子群,知 h*n2–1?hN=Nh,于是有 n?N,使 h*n2–1=n*h。
故
a*b–1=n1*(h1*n2–1)=n1*(n*h)=(n1*n)*h?NH
由于群的判别条件知,?NH,*?是?G,*?的子群 。
⑵ 若?H,*?也是?G,*?的正规子群,则?a?G,?n*h?NH，
有
a–1*(n*h)*a=a–1*n*(a*a–1)*h*a=(a–1*n*a)*(a–1*h*a)
由于?H,*?是?G,*?的正规子群,?N,*?是?G,*?的正规子群,
则有 a–1*n*a?N,a–1*h*a?H。 于是
a–1*(n*h)*a=(a–1*n*a)*(a–1*h*a)?NH
由定理 7.5.1得,?NH,*?也是?G,*?的正规子群。
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7.6 同态和同构
7.6.1代数系统的同态和同构定义 7.6.1 设 <A,*>和 <B,°>是两个代数系统,*和 °分别是 A和 B上的二元运算,f是从 a到 B的一个映射,?a1,a2?a有
f (a1*a2)＝ f (a1)°f (a2)
则称 f为由代数系统 <A,*>到 <B,°>的一个同态映射,简称同态；称代数系统 <A,*>与 <B,°>同态,记作 <A,*> ~ <B,°>。 把
<f(A),°>称为 <A,*>的同态像 。 其中
f(a)＝?f (a) | a?A?
若 f,A→ B是单射,则称 f为由 <A,*>到 <B,°>的一个单同态映射,并称 <A,*>与 <B,°>单同态 。
若 f,A→ B是满射,则称 f为由 <A,*>到 <B,°>的一个满同态映射,并称 <A,*>与 <B,°> 满同态 。
若 f,A→ B是双射,则称 f为由 <A,*>到 <B,°>的一个同构映射,并称 <A,*>与 <B,°>同构 。 记为 <A,*>≌ <B,°>。
第 7章 群、环和域
【 例 7.12】 设 <I,＋ >和 <R,× >是代数系统，其中，＋,×
是数的加法和乘法,I是整数集,R是实数集。 f,I→ R，定义为,?x?I,
判断 f是不是代数系统 <I,＋ >到 <R,× >的同态？如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像。
解,?x,y?I，
当 x和 y都是偶数时,f (x+y)=1=1× 1=f (x)× f (y)
当 x是偶数和 y是奇数时,f (x+y)=-1=1× (-1)=f (x)× f (y)
当 x是奇数和 y是偶数时,f (x+y)=-1=(-1)× 1=f (x)× f (y)
当 x和 y都是奇数时,f (x+y)=1=(-1)× (-1)=f (x)× f (y)
即 f (x+y)=f (x)× f (y),所以 f是同态函数 。
因为任何偶数的函数值为 1，故 f不是单射；又 ranf=?-1,
1R，故 f不是满射。 所以不是单同态，不是满同态，也不是同构。同态像 <f(I),× >是 <?-1,1?,× >。
为奇数为偶数
x
xxf
1
1)(
第 7章 群、环和域
【 例 7.13】 设 <R+,× >和 <R,＋ >是代数系统，其中，＋,
× 是数的加法和乘法,R+是正实数集,R是实数集。
f,R+→ R，定义为,?x?R+,f (x)=lnx
判断 f是不是代数系统 <R+,× >到 <R,＋ >的同态？如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像。
解,?x,y?R+,f (x?y)=ln(xy)=lnx+lny，故 f(x)=lnx是同态函数。又因为 f (x)=lnx是严格单调函数，只要?x,y? R+，
x≠y有
f (x)=lnx≠lny=f (y)
所以,f (x)=lnx单射。再由 f(R+)=R，故 f(x)=lnx是满射，
最后得到 f(x)=lnx是双射。所以是单同态，满同态和同构。
同态像 <f (R+),＋ >是 <R,＋ >。
【 例 7.14】 设 R为实数集，＋和 × 分别为 R上的加法和乘法运算，证明 <R,＋ >与 <R,× >同态。
证明,?x?R,设 f(x)=2x,对任意 y,z?R有第 7章 群、环和域
f(y+z)=2y+z=2y× 2z=f(y)× f(z)
故 <R,＋ >与 <R,× >同态。
两个代数系统间的同态,不仅适用于具有一个二元运算的代数系统,也可以推广到具有多个二元运算的代数系统 。
例如,对于具有两个二元运算的代数系统 <X,*,°>和
<Y,⊙,◎ >的同态定义如下：
若存在一个映射 f,X→ Y,使得对任意 x1,x2?X,有
f(x1*x2)=f(x1)⊙ f(x2)
f(x1°x2)=f(x1)◎ f(x2)
则称 f是从 <X,*,°>到 <Y,⊙,◎ >的同态映射,并称 <X,*,°>
与 <Y,⊙,◎ >同态 。
定义 7.6.2 设 <A,*>是代数系统,*是 A上的二元运算，如果 f是由 <A,*>到 <A,*>的同 态，则称 f是自同态。如果 f是由
<A,*>到 <A,*>的同构，则称 f是自同构。
第 7章 群、环和域
【 例 7.15】 设 <G,*>是 n阶阿贝尔群,令 f是从 G到 G的一个映射,定义为,f(x) =x–1,验证 f是自同构 。
证明,?x,y?G，
f(x*y)=(x*y)–1 =y–1* x–1= x–1*y–1 =f(x)* f(y)
当 x≠y时,如果 x–1=y–1,则 x=(x–1)–1=( y–1)–1=y,矛盾 。 所以 x–1≠y–1,即 f(x)≠f(y),f是单同态 。x?G,x=(x–1)–1，
x–1?G,使 f(x–1) = (x–1)–1= x,故 f是满同态 。 从而 f是自同构 。
定理 7.6.1 设 G是所有代数系统的集合,则 G中代数系统之间的同构关系是 G上的等价关系 。
证明,?<A,*>?G,恒等映射 IA是由 A到 A的双射函数,
显然,IA是由 <A,*>到 <A,*>同构,所以 <A,*>≌ <A,*>,即自反性成立 。
设 <A,*>≌ <B,°>,设 g是由 <A,*>到 <B,°>的同构映射,则
g–1是由 <B,°>到 <A,*>的同构映射,<B,°>≌ <A,*>,即对称性成立 。
第 7章 群、环和域
设 <A,*>≌ <B,°>且 <B,°>≌ <C,?>,f是由 <A,*>到 <B,°>
的同构映射,g是由 <B,°>到 <C,?>的同构映射,则 g°f是由
<A,*>到 <C,?>的同构映射,<A,*>≌ <C,?>,即传递性成立 。
所以 G中代数系统之间的同构关系是等价关系 。
定理 7.6.2 设 f为由代数系统 <A,*>到代数系统 <B,°>的一个同态映射 。
⑴ 如果 <A,*>是半群,那么同态像 <f(A),°>也是半群 。
⑵ 如果 <A,*>是独异点,那么同态像 <f(A),°>也是独异点 。
⑶ 如果 <A,*>是群,那么同态像 <f(A),°>也是群 。
证明,⑴ 设 <A,*>是半群,?a,b?f(A),必有 x,y?A,使
f(x)=a,f(y)=b
因为 <A,*>是半群,必有 x*y?A,于是
a°b=f(x)°f(y)=f(x*y)?f(A),即 °在 f(A)上封闭 。
a,b,c?f(A),必有 x,y,z?A,使得 f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c
第 7章 群、环和域
(a°b)°c=(f(x)°f(y))°f(z)=f(x*y)°f(z)=f((x*y)*z)=f(x*(y*z))
=f(x)°f (y*z)=f(x)°(f(y)°f(z))=a°(b°c)
即 °在 f(A)上满足结合律 。
所以 <f(A),°>是半群 。
⑵ 设 <A,*>是独异点,e是 A中的幺元 。a?f(A),必有
x?A,使得 f(x)=a,于是
a°f(e)=f(x)°f(e)=f(x*e)=f(x)=a
f(e)°a=f(e)°f(x)=f(e*x)=f(x)=a
即 f(e)是 f(A)中的幺元 。
因此 <f(A),°>是独异点 。
⑶ 设 <A,*>是群,?a?f(A),必有 x?A,使得 f(x)=a,因为 <A,*>是群,x–1?A且 f(x–1)?f(A),于是
a°f(x–1)=f(x)°f(x–1)=f(x*x–1)=f(e)
f(x–1)°a=f(x–1)°f(x)=f(x–1*x)=f(e)
所以 a –1= f(x)–1=f(x–1)?f(A)。
因此 <f(A),°>是群 。
第 7章 群、环和域推论 设 f为由代数系统 <A,*>到代数系统 <B,°>的满同态,
⑴ 如果 <A,*>是半群,那么 <B,°>也是半群 。
⑵ 如果 <A,*>是独异点,那么 <B,°>也是独异点 。
⑶ 如果 <A,*>是群,那么 <B,°>也是群 。
7.6.2 群的同态和同构定理 7.6.3 设 <G1,*>和 <G2,°>是群,e1和 e2分别是 G1和 G2
中的幺元,f为由群 <G1,*>到 <G2,°>的一个同态映射,则
⑴ f(e1)=e2
⑵?a?G1,f(a–1)=f(a)–1
证明,⑴ f(e1)°f(e1)=f(e1*e1)=f(e1)=f(e1)°e2,由群的消去律有 f(e1)=e2
⑵?a?G1,f(a–1)°f(a)=f(a–1*a)=f(e1)=e2
f (a)°f(a–1)=f(a*a–1)=f(e1)=e2
因此 f(a–1)＝ f(a)–1
第 7章 群、环和域利用定理 7.6.3可以证明两个群是不同构的。请看下面的例题。
【 例 7.16】 设?Q,＋?是有理数加法群,? Q-?0?,是非零有理数乘法群，试证明群?Q,＋?和群?Q-?0?,不同构。
证明,假设群?Q-?0?,和群?Q,＋?同构,同构映射为
f,Q-?0?→ Q,由定理 7.6.3知 f(1)=0,于是 f(–1)＋ f(–1)
=f((–1)?(–1))=f(1)=0,从而 f(–1)=0,f不是双 射,与 f是同构映射矛盾 。 所以群?Q,＋?和群?Q-?0?,不同构 。
定理 7.6.4 设 f为由群 <G1,*>到群 <G2,°>的一个同态映射,
如果 <H,*>是 <G1,*>的子群,则 <f(H),°>也是 <G2,°>的子群 。
证明,设 e1和 e2分别是 G1和 G2中的幺元,由定理 7.6.3知
e2=f(e1)?f(H),所以 f(H)非空 。a,b?f(H),必有 x,y?H,使得
f(x)=a,f(y)=b,于是
a°b–1=f(x)°f(y)–1=f(x)°f(y–1)=f(x*y–1)
由于 <H,*>是 <G1,*>的子群,所以 x*y–1?H，
因此 f(x*y–1)?f(H),从而 <f(H),°>是 <G2,°>的子群 。
第 7章 群、环和域定理 7.6.5 设 f为由群 <G1,*>到群 <G2,°>的一个满同态映射,如果 <H,*>是 <G1,*>的正规子群 。 则 <f(H),>也是 <G2,°>
的正规子群 。
证明,由定理 7.6.4知 <f(H),°>是 <G2,°>的子群。
a?f(H),必有 x?H,使得 f(x)=a。g?G2,由于 f是满射,必有 y?G1,使得 f(y)=g。 有
g°a°g–1=f(y)°f(x)°f(y)–1=f(y)°f(x)°f(y–1)=f(y*x*y–1)
因为 <H,*>是 <G1,*>的正规子群,y*x*y–1?H,从而
g°a°g–1?f(H)。
这就证明了 <f(H),° >是 <G2,° >的正规子群 。
定义 7.6.3 设 f为由群 <G1,*>到群 <G2,°>的一个同态映射,
e2是 <G2,°>的幺元 。 令 Ker(f)=?x|x?G1∧ f(x)=e2?,称集合
Ker(f)为同态映射 f的核,简称为 f的同态核 。
【 例 7.17】 设?R,＋?是实数加法群,?R-?0?,是非零实数乘法群,f是从 R到 R-?0?的一个映射，定义为,f(x)=ex。
证明 f是由?R,＋?到?R-?0?,的同态；求出 f的同态核 Ker(f)。
第 7章 群、环和域证明,?x,y?R,f(x＋ y)=ex?y =ex?ey=f(x)?f(y)。所以 f是由
R,＋?到?R-?0?,的同态。
Ker(f) =?x|x?R∧ f (x)=1?=?x|x?R∧ ex=1?=?0?
【 例 7.18】 设 <G1,*>和 <G2,°>是群,e2是 <G2,°>的幺元,
令 f是从 G1到 G2的一个映射,定义为,?x?G1,f(x)=e2。 验证
f是由 <G1,*>到 <G2,°>的同态；求出 f的同态核 Ker(f)。
证明,?x,y?G1
f(x*y)=e2=e2 ° e2=f(x)°f(y)。所以 f是由 <G1,*>到 <G2,°>的同态。
Ker(f)=G1
例 7.18中的同态 f叫做零同态。
定理 7.6.6 设 f为由群 <G1,*>到群 <G2,°>的一个同态映射，
则?Ker(f),*?是 <G1,*>的正规子群。
第 7章 群、环和域证明,设 e1和 e2分别是群 <G1,*>和群 <G2,°>的幺元。由定理 7.6.3知 f(e1)=e2，所以 e1?Ker(f)，故 Ker(f)不空。
a,b?Ker(f),f(a*b–1)=f(a)°f(b–1)=f(a)°f(b)–1
=e2°e2–1=e2°e2=e2
因此 a*b–1?Ker(f)。Ker(f),*?是 <G1,*>的子群。
a?Ker(f),?x?G1
f(x*a*x–1)=f(x)°f(a)°f(x–1)=f(x)°e2°f(x–1)
=f(x)°f(x–1)=f(x*x–1)=f(e1)=e2
所以 x*a*x–1?Ker(f),?Ker(f),*?是 <G1,*>的正规子群。
定理 7.6.7 设 f为由群 <G1,*>到群 <G2,°>的一个同态映射，
e1和 e2分别是群 <G1,*>和群 <G2,°>的幺元。则 f是单同态的充分必要条件是 Ker(f)＝?e1?。
证明,设 f是单同态，下证 Ker(f)=?e1?
由定理 7.6.3知?e1Ker(f)，只需证明 Ker(f)e1?，设
Ker(f)e1?,?a?Ker(f),a≠e1,f(a)=e2，而由定理 7.6.3
第 7章 群、环和域知,f(e1)=e2，与 f是单同态矛盾。故 Ker(f)e1?。
这就证明了 Ker(f)＝?e1?
设 Ker(f)＝?e1?，下证 f是单同态。
a,b?G1，设 f(a)＝ f(b)，
f(a*b–1)=f(a)°f(b–1)=f(a)°f(b)–1=f(a)°f(a)–1=e2
于是 a*b–1?Ker(f)，因为 Ker(f)＝?e1?，所以 a*b–1=e1,a=b。
即 f是单射，因此 f是单同态。
【 例 7.19】 设 <G1,*>和 <G2,°>是群,e1 和 e2 分别是群
<G1,*>和群 <G2,°>的幺元,而 <G1× G2,?>是群 <G1,*>和群
<G2,°>直积,其中?定义为,?a1,b1a2,b2?=?a1*a2,b1°b2?
根据定理 6.3.1,<G1× G2,?>也是群,其幺元是?e1,e2?，
a,b?–1=?a–1,b–1?
令 f是从 G1× G2到 G1的一个映射,定义为,f(?a,b?)=a
验证 f是由 <G1× G2,?>到 <G1,*>的满同态；求出 f的同态核 Ker(f)；证明同态核 Ker(f) 是 <G1× G2,?>正规子群 。
证明,⑴先证 f是由 <G1× G2,?>到 <G1,*>的满同态。
第 7章 群、环和域
a1,b1?,?a2,b2G1× G2
f(?a1,b1a2,b2?)=f(?a1*a2,b1°b2?)=a1*a2
=f(?a1,b1?)*f(?a2,b2?)
所以 f是由 <G1× G2,?>到 <G1,*>的同态。
a?G1,?b?G2,?a,bG1× G2,使 f(?a,b?)=a,所以 f
是满同态 。
⑵求 f的同态核 Ker(f)
设?a,bKer(f)=x,y? |?x,yG1× G2∧ f(?x,y?)=e1?，则
f(?a,b?)=e1，又由 f的定义 f(?a,b?)=a，于是 a=e1，即 Ker(f)中的元素的第一分量为 e1。所以
Ker(f)=e1,y? | y?G2?=?e1?× G2
⑶ 由定理 7.6.6知 <Ker(f),?>是 <G1× G2,?>正规子群。
返回章目录第 7章 群、环和域
7.7循环群定义 7.7.1 设?G,*?为群,若在 G中存在一个元素 a,使得
G中的任意元素都由 a的幂表示,则称群?G,*?为循环群,并记 (a)。 元素 a称为循环群 G的生成元 。
设?G,*?为循环群,元素 a为循环群 G的生成元 。 若元素
a为有限阶元素,元素 a的阶数 |a|=r称为 a的周期,若 a为无限阶元素,则称 a的周期为无限的 。
【 例 7.20】 证明代数系统 <N6,＋ 6>是循环群 。
证明,前面已经说明 <N6,＋ 6>是群,0是单位元 。 0的逆元是 0,?x?N6且 x≠0,x–1=6–x。 考察 1?N6
11=1
12=1＋ 61=2
13=12＋ 61=2＋ 61=3
14=13＋ 61=3＋ 61=4
第 7章 群、环和域
15=14＋ 61=4＋ 61=5
16=15＋ 61=5＋ 61=0
由此可见,元素 1是群 <N6,＋ 6>的生成元,N6=(1)，
<N6,＋ 6>是循环群 。 可以验证 5也是群 <N6,＋ 6>的生成元 。
【 例 7.21】 证明整数加法群?I,＋?是循环群 。
证明,前面已证?I,＋?是群,0是单位元 。 考察 1?I
10=0
11=1
12=1＋ 1=2
13=12＋ 1=3
1–1= –1
1–2=(1–1)2=(–1)＋ (–1)=–2
1–n= –n
第 7章 群、环和域由此可见,元素 1是群?I,＋?的生成元,I=(1),?I,＋?是循环群 。 可以验证 –1也是群?I,＋?的生成元 。
设?G,*?是群,a?G,|a|=k,令 S=?a,a2,?,ak?,根据定理
7.3.7,?S,*?是?G,*?的子群,显然?G,*?的子群?S,*?是循环群,它的生成元是 a,S=(a)
定理 7.7.1 任何循环群必定是阿贝尔群 。
证明,设?G,*?是循环群,它的生成元是 a,那么对于任意的 x,y?G,必有 r,s?I,使得 x=ar,y=as而且
x*y=ar*as=ar+s=sr*ar=y*x
因此?G,*?是阿贝尔群 。
定理 7.7.2 设?G,*?是无限循环群,a是生成元,则 a也是无限阶元素 。
证明,设 a为有限阶元,|a|=n,令 S=?a,a2,?,an?,an=e，
am?G,m=nq＋ s,q,s是整数且 0≤s＜ n，
am=anq?s=(a n)q*as=(e)q*as=e*as=as?S,G?S,矛盾 。
所以 a是无限阶的 。
第 7章 群、环和域整数加法群?I,＋?是无限循环群,其生成元是 1或 –1,它们是无限阶 元 。
对于有限循环群,有下面的定理 。
定理 7.7.3 设?G,*?是 n阶循环群,a是生成元,则 a的阶数也是 n。
证明,用反证法,设生成元 a的阶数为 k,k≠n,由定理
7.3.6知 k＜ n,由于 ak=e,ak?1=ak*a=e*a=a,ak?2=ak*a2=e*a2
=a2,?,所以 a的幂只能是 G中的 k个元素 a,a2,a3,?,ak,而不能表示 G中的所有元素,与 a是 G的生成元相矛盾 。
在 例 7.20中,群 <N6,＋ 6>是 6阶循环群,其生成元 1和 5，
16=0,56=0,它们都是 6阶元 。
定理 7.7.4 设?G,*?是 n阶循环群,e是单位元,a是生成元 。
则 G=?a,a2,?,an?。
证明,令 S=?a,a2,?,an?。ai?S,因为 a是 G的元素,*在
G上封闭,所以 ai?G,从而 S?G
第 7章 群、环和域以下证明 S中的元素是两两互不相同的 。 假设 ai=aj,其中 1≤i＜ j≤n。 于是 ai=aj=ai*aj–i,1≤j–i＜ n,即 ai*e=ai*aj–i,有消去律得 aj–i=e,这与 a的阶数是 n矛盾 。 所以 S中的元素是两两互不相同的 。 故 |G|=|S|=n,G=S=?a,a2,?,an?。
在例 7.20中,群 <N6,＋ 6>是 6阶循环群,其生成元是 1和 5，
N6=?1,12,13,14,15,16?=?5,52,53,54,55,56?=?0,1,2,3,4,5?
定理 7.7.5 设?G,*?是 n阶循环群,a是 G的元素,如果 a的阶数是 n,则 a是群?G,*?的一个生成元 。
证明,令 S=?a,a2,?,an?。 由定理 7.7.4的证明过程知 S=G。
所以?x?G,?ai?S,使 x=ai,根据定义 7.7.1,a是群?G,*?的一个生成元 。
定理 7.7.6设?G,*?是无限循环群,a是生成元,则群?G,*?
的生成元只有 a和 a–1两个 。
证明,根据定义 7.7.1,G=(a)=?ak|k?I?,?ak?G,ak=
(a–1)–k,即 G中的任何元素都可以表示成 a–1的整数次幂,所以
a–1是生成元 。
第 7章 群、环和域再证 G中只有 a和 a–1两个生成元 。 假设 b也是群?G,*?的生成元 。 即 G=(b)=?bk|k?I?,a?G=(b),?t?I使得 a=bt,又由于 b?G=(a),?s?I使 b=as,从而得到 a=bt=(as)t=ast,e=a*a–1
=ast*a–1=ast–1,因为 a是无限循环群的生成元,所以 st–1=0，
st=1,从而推出 s=t=1或 s=t=–1,即 b=a或 b=a–1。 所以 G中只有 a和 a–1两个生成元 。
下面介绍循环群的子群的性质 。
定理 7.7.7 设?G,*?是循环群,a是生成元,如果?H,*?是
G,*?的子群 。 则?H,*?也是循环群 。
证明,若?H,*?是?G,*?的平凡子群,则 H=G或 H=?e?。
当 H=G时,显然?H,*?是循环群；当 H=?e?时,e是生成元 。
所以?H,*?是循环群 。
若?H,*?不是?G,*?的平凡子群 。 由于 H不空,?ak?H，
k≠ 0(即 ak≠ e),(ak)–1?H。 从而 H含有 a的某些正整数次幂,
令 A=?k| ak?H∧ k≥ 1∧ k?I?,则 A不空,从而有最小者,设第 7章 群、环和域最小者为 r。 以下证明 ar是子群?H,*?的生成元 。am?H,如果 r不能整除 m,则 m=rq＋ s,q是整数,0＜ s＜ r,am=a rq?s
=(a r)q*as,as=((a r)q)–1*am?H,s?A。 但 s＜ r,这与 r是 A中最小者矛盾 。 此矛盾表明,?am?H,r能整除 m,即 am=arq
=(ar)q,所以 a r是子群?H,*?的生成元,?H,*?也是循环群 。
7.8置换群本节讨论置换群,置换群在群的同构中扮演着极重要的角色 。 在正式讨论置换群以前,先作一些必要的准备 。
定义 7.8.1设 S=?a1,a2,?,an?是一个非空集合,双射函数?：
S→ S称为集合 S上的 n元置换,常记为：
)()()( 21
21
n
n
aaa
aaa
返回章目录第 7章 群、环和域例如 S=?1,2,3,4?，则
2431
4321
2134
4321
都是 4元置换 。
由于?是双射,? (a1),? (a2),?,? (an)都是 S的元素且互不相同 。 因此? (a1),? (a2),?,? (an)必为 a1,a2,?,an的一个排列 。
而 a1,a2,?,an的排列总数是 n?个,因此集合 S上的 n元置换有 n?
个 。
设 S=?a1,a2?,an?,集合 S上的所有 n元置换组成的集合记为 Sn。
【 例 7.22】 设 S=?1,2,3?,试求集合 S上的所有 3元置换和
S3
解,S上的 6个 3元置换为：
第 7章 群、环和域
0=
321
321?1=
231
321
2=
312
321
3=
132
321
4=
213
321
5=
123
321
S3=0,?1,?2,?3,?4,?5?
定义 7.8.2 设 S=?a1,a2,?,an?是一个非空集合,?,?是集合 S上的 n元置换,则?和?的左复合函数?°?也是 S上的 n元第 7章 群、环和域置换，称为?和?的左复合置换，简称?和?的复合置换，记为
°?。
例如,例 7.22中的?2和?3的左复合为：
2°?3= ° =
312
321
132
321
231
321
定理 7.8.1 设 S=?a1,a2,?,an?是一个非空集合,Sn是集合 S
上的所有 n元置换组成的集合,是 S上 n元置换的复合 置换 运算 。 则?Sn,°?是群 。
证明,先证明二元运算 °在 S上是封闭的 。
i,?j?Sn,由置换的定义,?i和?j是 S到 S的双射函数,
而双射函数的左复合函数?i°?j仍然是 S到 S的双射函数,再由置换的定义,?i°?j?Sn
再证明二元运算 °在 S上是可结合的 。
由定理 5.2.5知函数的左复合是可结合的,所以置换的左第 7章 群、环和域复合 °在 S上也是可结合的。
其次证明 Sn有关于左复合运算 °的幺元 。
S上的恒等函数 IS是 S到 S的双射函数,它是 S上的 n元置换,是关于左复合运算 °的幺元 。 左复合运算 °的幺元常叫做幺置换,记为?0
最后证明Sn,–1?Sn，
Sn,?是 S到 S的双射函数,设?是?的逆函数,它是 S
到 S的双射函数,因而?是 S上的 n元置换 。°?=?°? =?0,所以?–1=Sn
综上所述,?Sn,°?是群 。
定义 7.8.3 设 S=?a1,a2,?,an?是一个非空集合,Sn是集合
S上的所有 n元置换组成的集合,°是 Sn上 n元置换的复合运算 。
则群?Sn,°?称为 S上的对称群 。Sn,°?的子群称为 S上的置换群 。
第 7章 群、环和域
【 例 7.23】 设 S=?1,2,3?,S3=0,?1,?2,?3,?4,?5?是 S 上的所有 3元置换组成的集合。 °是 S上的 3元置换的左复合运算。
验证?S3,°?是群。找出 S上的所有置换群。
证明,左复合运算 °的运算表如 表 7.5所示 。从表中可看出 °在 S3上是封闭的，满足结合律,?0是幺元,?0,?1,?2,?5的逆元是其自身。3和?4互为逆元。所以?S3,°?是群。
0?,°?,0,?1?,°?,0,?2?,°?,0,?5?,°?，
0,?3,?4?,°?都是?Sn,°?的子群，即都是 S上的置换群。显然?0是 1阶元,?1,?2,?5是 2阶元,?3,?4是 3阶元第 7章 群、环和域表 7.5
0?1?2?3?4?5
0?0?1?2?3?4?5
1?1?0?3?2?5?4
2?2?4?0?5?1?3
3?3?5?1?4?0?2
4?4?2?5?0?3?1
5?5?3?4?1?2?0
第 7章 群、环和域定义 7.8.4 设 S=?a1,a2?,an?是一个非空集合,?G,?是
S上的一个置换群 。
R=a,b?|?(a)=b∧G?
称 R是置换群?G,?导出的 S上的二元关系 。
【 例 7.24】 设 S=?1,2,3,4?,G=0,?1,?2,?3?,其中
4321
4321
0
4312
4321
1?
3421
4321
2?
3412
4321
3?
验证?G,°?是 S上的一个置换群,找出置换群?G,°?导出的 S上的二元关系 R。
证明,先证?G,°?是?S4,°?的子群 。
第 7章 群、环和域表 7.6是运算
°在 G上的运算表。
从表中可看出 °在
G上是封闭的。
根据定理 7.3.2，
G,是?S4,的子群，即?G,是
S上的一个置换群。
表 7.6
0?1?2?3
0?0?1?2?3
1?1?0?3?2
2?2?3?0?1
3?3?2?1?0
置换群?G,导出的 S上的二元关系
R=1,1?,?2,2?,?3,3?,?4,4∪1,2?,?2,1?,?3,3?,?4,4
∪1,1?,?2,2?,?3,4?,?4,3∪1,2?,?2,1?,?3,4?,?4,3
=1,1?,?2,2?,?3,3?,?4,4?,?1,2?,?2,1?,?3,4?,?4,3
=?1,2?×?1,2?∪?3,4?×?3,4?
第 7章 群、环和域定理 7.8.2 设 S=?a1,a2,?,an?是一个非空集合,?G,是 S
上的一个置换群。 R=a,b?|?(a)=b∧G?是?G,导出的 S
上的二元关系，则 R是 S上的等价关系。
证明,?x?S,幺置换?0?G,?0(x)=x,所以?x,xR,R
是 S上的自反关系 。
x,yR,G使得?(x)=y,由于?G,是群,所以
–1?G,?–1(y)=x,故?y,xR,即 R是对称的 。
x,yR,y,zR,有?1,?2?G使得?1(x)=y和?2(y)=z，
由于?G,°?是群,?2°?1?G,?21(x)=?2?(?1(x))=?2(y)=z,故
x,zR,即 R是传递的 。
因此 R是 S上的等价关系 。
若 R是 S上的等价关系,S关于 R的商集 S/R是 S的一个划分 。
在例 7.24中,置换群?G,°?导出的 S上的二元关系 R是等价关系 。 S关于 R的商集 S/R=1,2?,?3,4是 S的一个划分,
1,2?和?3,4?都是等价类 。
返回章目录第 7章 群、环和域
7.9环与域
7.9.1环的定义及基本性质定义 7.9.1 设?A,＋,是有两个二元运算的代数系统,满足：
⑴?A,＋?是阿贝尔群 。
⑵?A,是半群 。
⑶ 运算?对运算＋是可分配的,即?a,b,c?A
a?(b＋ c)=(a?b)＋ (a?c) (左分配律 )
(b＋ c)?a=(b?a)＋ (c?a) (右分配律 )
则称代数系统?A,＋,为环 。
为了区别环中的两个运算,通常称＋运算为环中的加法,
运算为环中的乘法 。
设 R是实数集合,＋是实数集合上的普通加法,?是实数集合上的普通乘法 。R,＋?是阿贝尔群,?R,是半群,?对
＋是可分配的 。 于是?R,＋,是环 。 类似地,对于有理数集第 7章 群、环和域合 Q和整数集合 I，代数系统?Q,＋,和?I,＋,也是环。它们分别叫做实数环、有理数环和整数环。
设 Mn(I)是元素为整数的所有 n阶方阵组成的集合,＋是 n
阶方阵的加法,?是 n阶方阵的乘法 。 方阵的加法＋在 Mn(I)是上封闭的,可结合的,n阶零方阵是方阵加法的幺元,每个 n
阶方阵都有加法逆元,方阵的加法是可交换的,所以?Mn(I),
＋?是阿贝尔群；方阵的乘法?在 Mn(I)上是封闭的和可结合的,
所以?Mn(I),是半群,方阵的乘法?对方阵的加法＋是可分配的 。 于是?Mn(I),＋,是环 。
设 A非空集合,P (A)是集合 A的幂集合,∪ 和 ∩是集合的并和交运算,已经证明?P (A),∪?是阿贝尔群,?P (A),∩?是半群,∩对 ∪ 是可分配的 。 所以?P (A),∪,∩?是环 。
设 Nk=?0,1,?,k-1?,＋ k是 Nk上的模 k加法,× k是 Nk上的模 k乘法,前面已经证明?Nk,＋ k?是阿贝尔群,?Nk,× k?是半群,
可以证明 × k对＋ k是可分配的 。 所以?Nk,＋ k,× k?是环,叫做模 k整数环 。
第 7章 群、环和域为了叙述方便，今后将环中加法的单位元记作 0，乘法的单位元记作 1(对于某些环中的乘法不存在单位元 )。对环中的任何元素 x，称 x的加法逆元为负元，记作 –x。若 x存在乘法逆元，则将它称为 x的逆元，记为 x–1。用 x–y表示 x?(–y)。
用 nx表示 。 用 xn表示 。
定理 7.9.1 设?A,＋,是 环,则对任意的 a,b,c?A,下列结论成立：
⑴ a?0=0?a=0
⑵ a?(–b)=(–a)?b =–(a?b)
⑶ (–a)?(–b)=a?b
⑷ a?(b–c)=(a?b)–(a?c)
⑸ (b–c)?a=(b?a)– (c?a)
x
+++
个n
xxx
x
· ··
个n
xxx
第 7章 群、环和域证明,⑴ a?0+0=a?0=a?(0+0)=(a?0)+(a?0)
由消去律得 a?0=0
同理可证 0?a=0
⑵ a?b+a?(–b)=a?(b+(–b))=a?0=0,所以 –(a?b)=a?(–b)
同理可证 –(a?b)=(–a)?b
⑶ a?(–b)+(–a)?(–b)=(a+(–a))?(–b)=0?(–b)=0,所以,
–(a?(–b))=(–a)?(–b)
a?(–b)+a?b = a?((–b)+b)=a?0=0,所以,–(a?(–b))=a?b
于是 (–a)?(–b)=–(a?(–b))=a?b
⑷ a?(b–c)=a?(b+(–c))=(a?b)+(a?(–c))=(a?b)+(–(a?c))
=(a?b)–(a?c)
⑸ (b–c)?a=(b+(–c))?a=(b?a)+((–c)?a)=(b?a)+(–(c?a))
=(b?a)–(c?a)
第 7章 群、环和域
7.9.2几个常见的特殊环以下定义一些常见的特殊环 。
定义 7.9.2 设?A,＋,是环 。
⑴ 如果?A,是可交换的,则称?A,＋,为交换环 。
⑵ 如果?A,含有幺元,则称?A,＋,为含幺环 。
⑶ 如果?a,b?A,a?b=0,必有 a=0或 b=0,则称?A,＋,
为无零因子环 。
定义 7.9.3 设?A,＋,是环 。 如果?A,＋,是交换环,含幺环和无零因子环 。 则称?A,＋,是整环 。
在实数环?R,＋,中,因为实数上的乘法是可交换的,R
中含有乘法幺元 1,?a,b?R,a?b=0,必有 a=0 或 b=0,所以实数环是交换环,含幺环,无零因子环,也是整环 。 类似地,
有理数环?Q,＋,和整数环?I,＋,也是交换环,含幺环,无零因子环和整环 。
在环?Mn(I),＋,中,因为 Mn(I)中含有矩阵乘法幺元 n阶第 7章 群、环和域单位阵，所以它是含幺环，由于矩阵乘法是不可交换的，所以该环不是交换环，也不是无零因子环和整环。
在环?P(A),∪,∩?中,因为交运算可交换的,P(A)中含有交运算的幺元 A,所以它是交换环和含幺环 。 但 P(A)的两个非空元素的交集可能是空集,所以它不是无零因子环和整环 。
在环?Nk,＋ k,× k?中,模 k乘法 × k是可交换的,Nk中含有模 k乘法的幺元 1,所以它是交换环和含幺环 。 当 k=6时,
2× 63=0,所以?N6,＋ 6,× 6?不是无零因子环和整环 。 一般地说,当 k不是素数时,?Nk,＋ k,× k?是交换环和含幺环,但不是无零因子环和整环 。 当 k是质数时,?Nk,＋ k,× k?是交换环和含幺环,也是无零因子环和整环 。
下面给出一个环是无零因子环的充分必要条件 。
定理 7.9.2 设?A,＋,是环,?A,＋,是无零因子环的充分必要条件是环中的乘法适合消去律 。
第 7章 群、环和域即?a,b,c?A,a≠0,每当
a?b=a?c 就有 b=c
b?a=c?a 就有 b=c
证明,设?A,＋,是无零因子环,a≠0和 a?b=a?c
a?(b–c)=a?b–a?c=a?b–a?b=0
由于?A,＋,是无零因子环,a≠0,必有 b–c=0,即 b=c
设环?A,＋,中的乘法适合消去律,a?b=0且 a≠0
a?b=0=a?0
利用乘法的消去律得 b=0,即?A,＋,是无零因子环 。
定义 7.9.4 设 V1=?A,*,°?和 V2=?B,?,◎?是两环,其中 *、
°,?和 ◎ 都是二元运算 。?a1,b1a× B和a2,b2A× B，
定义 A× B上的二元运算?和 □ 为：
a1,b1a2,b2?=?a1*a2,b1?b2?
a1,b1?□?a2,b2?=?a1°a2,b1◎ b2?
代数系统 V1× V2=?A× B,?,□?称为环 V1到环 V2的直积 。
第 7章 群、环和域根据定理 6.3.1,?A× B,是阿贝尔群,?A× B,□?是半群,可以证明运算 □ 对运算?满足分配律 。 所以代数系统
V1× V2是环 。
如果 V1和 V2是可换环,由定理 6.3.1,代数系统 V1× V2也是可换环 。 同样,如果 V1和 V2是含幺环,代数系统 V1× V2也是含幺环 。
7.9.3子环定义 7.9.5 设?A,＋,是环,S是 A的非空子集 。 如果?S,＋,
也构成环,则称?S,＋,是环?A,＋,的子环 。 如果?S,＋,
是?A,＋,的子环,并且 S?A,则称?S,＋,是?A,＋,的真子环 。
显然,有理数环?Q,＋,和整数环?I,＋,是实数环?R,
＋,的子环,且是真子环 。
根据子群和子半群的判定定理可得到子环的判定定理 。
第 7章 群、环和域定理 7.9.3 设?A,＋,是环,S是 A的非空子集 。 如果
⑴?a,b?S,a–b?S
⑵?a,b?S,a?b?S
则?S,＋,是?A,＋,的子环 。
证明,由定理 7.3.3和 ⑴,?S,＋?是?A,＋?的 子群,因而
S,＋?是群 。 因为?A,＋?是 Abel群,故?S,＋?也是 Abel群 。
根据定理 7.1.1和 ⑵,?S,是?A,子半群,因而?S,是半群 。
乘法?对加法＋的分配律在 S中也成立 。
所以,?S,＋,是环,因而?S,＋,是?A,＋,的子环 。
第 7章 群、环和域
7.9.4域定义 7.9.6 设?A,＋,是代数系统,满足：
⑴?A,＋?是阿贝尔群 。
⑵?A–?0?,是阿贝尔群 。
⑶ 运算?对运算＋是可分配的 。
则称代数系?A,＋,是域 。
例如,在实数环?R,＋,中,?R,＋?是阿贝尔群 。 运算?
在集合 R–?0?上封闭,满足结合律和交换律,集合 R–?0?中有乘法幺元 1,?x?R–?0?,x–1=?R–?0?,代数系统?R–
0?,也是阿贝尔群 。 所以,?R,＋,是域,叫实数域 。 有理数环?Q,＋,也是域,叫有理数域 。
因为?I–?0?,不是群,所以整数环?I,＋,不是域 。
整环和域有下列的关系 。
第 7章 群、环和域定理 7.9.4 域一定是整环 。
证明,设代数系统?A,＋,是域,下证?A,＋,是整环 。
因为?A,＋?是群,加法幺元 0?A
a,b?A,如果 a≠0 且 b≠0,即 a,b?A–?0?,因为? A–
0?,是群,a?b?A–?0?,故 a?b?A。 如果 a=0或 b=0,由定理
7.9.1⑴ 知 a?b=0?A。 所以乘法?在 A上封闭 。
a,b,c?A,如果 a,b,c?A–?0?,因为?A–?0?,是群,故
(a?b)?c=a?(b?c)。 如果 a,b,c中有一个为 0,则 (a?b)?c=0=a?(b?c)。
所以乘法?在 a上满足结合律 。 即?A,是半群 。
乘法?的幺元 1?A–?0A,即 1?A。 即?A,是含幺半群 。
a,b?A,a?b=0,如果 a≠0且 b≠0,因为?A–?0?,是群,
a?b?A–?0?,即 a?b≠0,矛盾,所以,a=0 或 b=0,即?A,中无零因子 。
这就证明了?A,＋,是整环 。
第 7章 群、环和域例如,实数域?R,＋,和有理数域?Q,＋,都是整环 。
定理 7.9.5 有限整环一定是域 。
证明,设代数系统?A,＋,是有限整环,证明?A,＋,是域 。 即证明?A–?0?,是阿贝尔群 。
因为?A,＋?是群,加法幺元 0?A
a,b?A–?0?,a,b?A,a≠0且 b≠0,因为?A,＋,是无零因子环,所以 a?b≠0且 a?b?A,即 a?b?A–?0?。 乘法运算?在 A–
0?上封闭 。
由于?A,是半群,乘法运算?在 A上满足结合律 。 而 A–
0A,所以乘法运算?在 A–?0?上也满足结合律 。
第 7章 群、环和域因为?A,是含幺半群,A中必有幺元,由定理 7.9.1⑴ 得
a?A,a?0=0?a=0,故 0不是乘法的幺元 。 所以 A–?0?中一定有乘法的幺元 。
乘法运算?在 A–?0?上可交换是显然的 。
以下证明 A–?0?中的每一个元素都存在逆元 。
令 A–?0?=?e,a1,a2,?,an?,e乘法幺元 。ai?A–?0?,考察以下的 n+1个元素,ai?e,ai?a1,ai?a2,?,ai?an。 由于乘法运算
的封闭性,ai?e,ai?a1,ai?a2,?,ai?an都属于 A–?0?,又由于 A–
0?中无零因子,乘法运算?满足消去律,所以这 n+1个元素是互不相同的,即 A–?0?=? ai?e,ai?a1,ai?a2,?,ai?an?,因此必有 ai?ak=e,由于?在 A–?0?上是可交换的,所以有 ak?ai=e,于是 ai的逆元为 ak?A–?0?
所以?A–?0?,是阿贝尔群 。
第 7章 群、环和域
7.9.5环和域的同态定义 7.9.7设 V1=?A,*,°?和 V2=?B,?,◎?是两环,其中 *,°、
和 ◎ 都是二元运算 。 f是从 A到 B的一个映射,使得对任意的
a,b?A有
f(a*b)=f(a)?f(b)
f(a°b)=f(a)◎ f(b)
则称 f是环 V1到环 V2的同态映射 。 如果 f是单射,满射和双射,
分别称 f是单同态,满同态和同构 。 称?f(A),?,◎?是?A,*,°?的同态像 。
【 例 7.26】 设?I,＋,是整数环,其中,I是整数集,＋和
是整数集上的普通加法和乘法 。 设?N2,＋ 2,× 2?是模 2整数环,
其中,N2=?0,1?,＋ 2是模 2加法,× 2是模 2乘法 。 设 f,I→ N2，
定义为
f (x) =
为奇数为偶数
x
x
1
0
第 7章 群、环和域证明 f是?I,＋,到?N2,＋ 2,× 2?的同态,求出?I,＋,的同态像 。
证明,?x,y?I,用与例 7.12类似的方法容易证明 f(x＋ y)
=f(x)＋ 2f(y)
以下证明 f(x?y)=f(x)× 2f(y)
如果 x和 y都能被 2整除,则 x?y也能被 2整除,这时
f(x?y)=0=0× 20=f(x)× 2f(y)
如果 x和 y都不能被 2整除,则 x?y也不能被 2整除,这时
f(x?y)=1=1× 21=f(x)× 2f(y)
如果 x和 y中仅有一个能被 2整除,则 x?y能被 2整除,这时
f(x?y)=0=0× 21=f(x)× 2f(y) 或
f(x?y)=0=1× 20=f(x)× 2f(y)
所以 f是?I,＋,到?N2,＋ 2,× 2?的同态 。 显然?I,＋,的同态像?f(I),＋ 2,× 2?就是?N2,＋ 2,× 2?
第 7章 群、环和域定理 7.9.6 任何环的同态像是环。
证明,设?A,*,°?是环,?B,?,◎?是?A,*,°?在同态映射 f
下的同态像。
由定理 7.6.2知?B,是阿贝尔群,?B,◎?半群 。
a,b,c?B,?a1,b1,c1?A,使得 f(a1)=a,f(b1)=b,f(c1)=c。
a◎ (b?c)=f(a1)◎ (f(b1)?f(c1))=f(a1)◎ f(b1*c1)
=f(a1°(b1* c1))=f((a1°b1)*(a1°c1))
=f(a1°b1)?f(a1°c1))=(f(a1)◎ f(b1))?(f(a1)◎ f(c1))
=(a◎ b)?( a◎ c)
同理可证 (b?c)◎ a=(b◎ a)?(c◎ a)
所以?B,?,◎?是环 。
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7.1 半群和独异点
7.2 群与阿贝尔群
7.3 子群
7.4 陪集和拉格朗日定理
7.5 正规子群
7.6 同态和同构
7.7 循环群
7.8 置换群
7.9 环与域 返回总目录第 7章 群、环和域第 7章 群、环和域
7.1半群和独异点
7.1.1广群和半群代数系统 <S,*>又称为广群 。
定义 7.1.1 设 <S,*>是代数系统,*是 S上的二元运算,如果 *满足结合律,则称代数系统 <S,*>为半群 。
例如,代数系统 <I,＋ >,?R,,<P(a),∪ >,<P(a),∩>、
<Nk,＋ k>和 <Nk,× k>都是半群 。
半群是一个非空集合和一个定义在其上的可结合二元运算组成的代数系统。设 <S,*>是半群，如果运算 *又满足交换律，则称半群 <S,*>为可换半群。若 S为有限集合，则半群
<S,*>称为有限半群。
定理 7.1.1 设 <S,*>是半群,*是 S上的二元运算,B?S，
如果 *在 B上是封闭的,则?B,*?也是半群 。
第 7章 群、环和域证明,因为 *在 B上是封闭的,所以 *是 B上的二元运算 。
B,*?是代数系统 。a,b,c?B,由于 B?S,所以 a,b,c?S,又由于?S,*?是半群,所以 (a*b)*c=a*(b*c),故?B,*?是半群 。
定义 7.1.2 定理 7.1.1中的半群?B,*?叫做半群?S,*?的子半群 。
例如,因为 Q?R且乘法在有理数集上是封闭的,由定理
7.1.1和定义 7.1.2,?Q,是?R,的子半群,所以?Q,是半群 。
类似的可以证明?N,,?[0,1],和?(0,1),是半群 。
定理 7.1.2 设?S,*?是半群,S是有限集,则必有 a?S,使得 a*a=a
证明,?b?S,由 *在 S上的封闭性知：
b2=b*b?S
b3=b2*b?S
第 7章 群、环和域因为 S是有限集,所以必有 i＜ j使
bi=bj 令 p=j–i,则 p=j–i≥1,而 j=p＋ i
bi=bj=bp+i=bp*bi
于是下式成立：
bq=bp*bq q≥i
因为 p=j–i≥1,总可以找到 k≥1,使得 kp≥i
对于 S中的元素 bkp,就有
bkp=bp*bkp
=bp*(bp*bkp)
=b2p*bkp
=b2p*(bp*bkp)
=?
=bkp*bkp
令 a=bkp,a*a=a
第 7章 群、环和域设 I＋ 是正整数集合,＋是 I＋ 上的普通加法,加法在正整数集合 I＋ 上封闭且适合结合律 。 所以?I＋,＋?是半群 。 但因 I＋
是无限集,所以 I＋ 中没有幂等元 。
【 例 7.1】 设 R是实数集,定义 R上的二元运算 *为：
x,y?R,x*y=x|y|
其中 x|y|为实数 x与实数 y的绝对值的乘法运算,证明 <R,*>是一个半群 。
证明,显然,?x,y?R,则 x|y|?R,故运算 *在 R上封闭 。
接下来只需验证 *满足结合律 。x,y,z?R,有
(x?y)?z=(x?y)|z|=(x|y|)|z|=x|y||z|
x?(y?z)=x|y?z|=x|y|z||=x|y||z|
所以,(x?y)?z=x?(y?z),故 <R,*>是一个半群 。
7.1.2 独异点定义 7.1.3 设?G,*?是半群,如果运算 *的单位元 e?G，
则称半群?G,*?为含幺半群或独异点 。
第 7章 群、环和域若?G,*?为独异点,且 *是可交换的,则称?G,*?为可换的独异点 。
例如,设 A是任一集合,P (A)是 A的幂集合 。 集合 并 运算
∪ 在 P (A)上是封闭的,并 运算 ∪ 的 单位元P (A),所以半群 <P (A),∪ >是 独异点 ；交 运算 ∩在 P (A)上也是封闭的,交运算 ∩的 单位元 A?P (A),所以半群 <P (A),∩>也 是独异点 。
显然,并 运算 ∪ 和 交 运算 ∩满足交换律 。 所以,它们都是可交换独异点 。
定理 7.1.3 设?G,*?是可交换的独异点,H为其所有幂等元的集合,则?H,*?为独异点 。
证明,?a,b?H,于是 a*a=a,b*b=b。 由 *是可交换的,
从而 (a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a
=a*(b*a)=(a*a)*b=a*b
于是 a*b?H,即 *在 H上封闭,显然 H?G,根据定理 7.1.1，
H,*?是半群 。
因 e*e=e,故 e?H。 所以?H,*?为独异点 。
第 7章 群、环和域定理 7.1.4 设?G,*?是独异点,则在 *的运算表中任何两行两列都不相同 。
证明,先证明任何两列不相同 。
设运算 *的单位元是 e?G,?x?G,?y?G,x≠y
因为 e*x=x,e*y=y,所以 e*x≠e*y,这说明 e所在行的元素是两两互不相同的且都是 G的元素 。 故在 *的运算表中任何两列是不相同的,至少 e所在行互不相同 。
类似地可证任何两行是不相同的 。
前面说过,<Nk,＋ k>和 <Nk,× k>是半群 。 根据表 6.1和表
6.2,N4上的模 4加法＋ 4有 单位元 0,N4上的模 4乘法 × 4有 单位元 1,所以 <N4,＋ 4>和 <N4,× 4>都是独异点 。 在＋ 4和 × 4运算表中任何两行两列都不相同 。 参看 表 6.1和表 6.2。
定理 7.1.5设 <G,*>是独异点,?a,b?G且 a,b均有逆元,
则第 7章 群、环和域
⑴ (a–1)–1=a
⑵ a*b有逆元，且 (a*b)–1=b–1*a–1
证明,⑴ 因 a*a–1=a–1*a=e，故 (a–1)–1=a
⑵ 因 (a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1
=a*e*a–1=a*a–1=e
又
(b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b)
=b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e
故
(a*b)–1=b–1*a–1
定义 7.1.4 设 <G,*>是半群,如果它的每个元素均为 G
的某元素 a的某一方幂,则称半群 <G,*>为由 a所生成的循环半群,而 a称为半群 <G,*>的生成元素,并记 (a)。
定理 7.1.6 一个循环半群一定是可换半群 。
第 7章 群、环和域证明,设 <G,*>为由 a所生成的循环半群,?x,y?G,则
x=am,y=an,于是
x*y=am*an=am+n=an+m =an*am=y*x
即 <G,*>是可换半群。
7.2群与阿贝尔群
7.2.1群的定义和性质定义 7.2.1 设?G,*?是代数系统,其中,G是非空集合,
*是 G上二元运算 。 如果
⑴ 运算 *在 G上是可结合的 。
⑵ 运算 *的单位元 e?G。
⑶?x?G,有 x–1?G。
则称?G,*?为群。有时也可将群?G,*?简称为群 G。
根据定义，广群是一个非空集合和一个定义在非空集合的二元运算组成；半群是一个具有结合运算的广群；独异点是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。
返回章目录第 7章 群、环和域普通加法＋在 I上是封闭的和可结合的,在 I中有关于加法的单位元 0,?x?I,有 x–1＝ –x?I,所以?I,＋?是群 。 该群叫做整数加法群 。
乘法?在 Q-?0?上也是封闭的和可结合的,在 Q-?0?中有关于乘法的单位元 1,?x?Q-?0?,有 x–1＝?Q-?0?,所以
Q-?0?,是群 。
用同样的办法可以证明?R,＋?是群,其中 0是单位元,
x?R,x–1＝ –x?R。 群?R,＋?叫做实数加法群；但?R,不是群,因为对普通乘法,0的逆元是不存在的；而?R-?0?,
是群,其中 1是单位元,x?R-?0?,有 x–1=?R-?0?。
【 例 7.2】 设 G＝?e,a,b,c?,表 7.1给出了 *的运算表 。 证明
G,*?是群 。
x
1
x
1
第 7章 群、环和域证明,由表 7.1可以看出,*运算是封闭的和可结合的，在 G中有关于
*的单位元 e。 G中每个元素都是自己的逆元，即 e–1=e,a–1=a,b–1=b，
c–1=c。所以?G,*?是群。
例 7.2中的群?G,*?叫做 Klein 四元群，简称四元群。 Klein 四元群有以下 4个特点：
表 7.1
* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
⑴ e为 G中的单位元 。
⑵ *运算是可交换的 。
⑶ G中每个元素的逆元都是自己 。
⑷ a,b,c三个元素中任何两个元素的 *运算结果都等于第三个元素 。
由于群 G中有幺元且每一个元素都有逆元,所以可以定义 G中元素的 0次幂和负整数次幂 。 定义 x0=e,?x?G,n?I+，
定义 x–n＝ (x–1)n
第 7章 群、环和域这样以来,可以将 6.2节中关于 xn的定义推广为：
x0=e
x1=x
xn+1=xn *x n为正整数 。
x–n＝ (x–1)n n为正整数 。
定义 7.2.2 设 <G,*>是 群,如果它的子代数 <H,*>也是群,
则称 <H,*>是 <G,*>的子群 。
定义 7.2.3 设 <G,*>是 群,如果 G是有限集,则 <G,*>称为有限群,如果 G是无限集,则 <G,*>称为无限群 。 基数 |G|
称为群 <G,*>的阶数,简称群 G的 阶 。
定理 7.2.1 群中不可能有零元 。
证明,当群的阶为 1时,惟一元素为幺元 。 设 |G|＞ 1且群
<G,*>有零元 θ。 那么对群中任何元素 x?G,都有 x?θ=θ?x
=θ≠e,所以,零元 θ就不存在逆元,这与 <G,*>是群相矛盾 。
第 7章 群、环和域定理 7.2.2 设 <G,*>是群，对于 a,b?G，必存在惟一的
x?G,使得 a?x=b。
证明,设 a的逆元是 a–1,令 x= a –1?b,则
a?x=a?(a –1?b)=(a?a –1)?b=e?b=b
若另有一解 x1,满足 a?x1=b,则 a –1?(a?x1)=a –1?b
即 x1=a –1?b=x。
定理 7.2.3 设 <G,*>是群,对于任意的 a,b,c?G,如果有
a?b=a?c或者 b?a=c?a,则必有 b=c。
证明,设 a?b=a?c,且 a的逆元是 a –1,则有
a –1?(a?b)=a –1?(a?c)
(a –1?a)?b=(a –1?a)?c
即 e?b=e?c,故 b=c； 当 b?a=c?a时,同样可证得 b=c。
,对于任意的 a,b,c?G,如果有 a?b=a?c或者 b?a=c?a,则必有 b=c。,就是第 6章讲的消去律 。 所以,定理 7.2.3可理解为：群中满足消去律 。
第 7章 群、环和域定理 7.2.4 在群 <G,*>中,除幺元 e外,不可能有别的幂等元 。
证明,因为 e?e=e,所以 e是幂等元 。 设 a?G且 a?a=a，
则有 a=e?a=(a –1?a)?a=a –1?(a?a)=a –1?a=e
即 a=e。
7.2.2阿贝尔群定义 7.2.4 设 <G,*>是群,如果二元运算 *是可交换的,
则称该群为阿贝尔 (Abel)群,或称可交换群 。
整数加法群?I,＋?中的加法运算是可交换的,所以,整数加法群是阿贝尔群,群?R-?0?,中的乘法运算也是可交换的,所以,?R-?0?,也是阿贝尔群 。
定理 7.2.5设 <G,*>是群，则 <G,*>是阿贝尔群的充要条件是对任意的 a,b?G,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
证明,?设 <G,*>是阿贝尔群，下证对任意的 a,b?G,有
(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
第 7章 群、环和域对任意的 a,b?G,有 a*b=b*a,因此,
(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)
即 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)
设对任意 a,b?G,有 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b),下证
<G,*>是阿贝尔群 。
a?b=e*(a*b)*e
=(a –1*a)*(a*b)*(b*b–1)
=a –1?(a?(a*b)*b)*b –1
=a –1*((a*a)*(b*b))*b–1
=a–1?((a*b)*(a*b))*b–1
=(a –1?a)*(b*a)*(b*b–1)
=e*(b*a)*e=b*a
即得 a*b=b*a,因此群 <G,*>是阿贝尔群 。
返回章目录第 7章 群、环和域
7.3 子群
7.3.1子群的概念定义 7.3.1 设 <G,*>是群,H是 G的非空子集，如果 <H,*>
也构成群，则称 <H,*>是 <G,*>的子群。
由 子群的定义可以看出,如果 H是 G的非空子集,考察
H,*?是否是群?G,*?的子群,应当验证：
⑴ 运算 *在 H上封闭 。
⑵ 群 G中的幺元 e?H。
⑶?x?S,有 x–1?H
定理 7.3.1 设 <G,*>是一个群,<H,*>是 <G,*>的子群，
则 <G,*>中的幺元 e必定也是 <H,*>中的幺元。
证明,设 <H,*>中的幺元为 e1，对于任意 a?H?G，有
e1*a=a=e*a
由消去律得 e1=e。
第 7章 群、环和域如果?G,*?是群,其中 e单位元 。e?和 G都是 G的非空子集,e?,*?和?G,*?也都构成群,它们是?G,*?的子群,这是两个特殊的子群 。
定义 7.3.2 设?G,*?是群,e?,*?和?G,*?是?G,*?的子群,称为群?G,*?的平凡子群 。
7.3.2 子群的判定用定义证明?H,*?是群?G,*?的子群,要验证三个条件 。
下面的定理说明,在有限 群中,只需 验证一个条件也能证明
H,*?是群?G,*?的子群 。
定理 7.3.2 设?G,*>是群,A是 G的非空子集，如果 A是一个有限集，只要运算 *在 A上封闭，则 <A,*>是?G,*>的子群。
证明,?G,*?是群,则?G,*?是半群,由定理 7.1.1知
A,*?是半群 。 以下证明 A中有幺元 e且 A中每一个元素都有逆元 。
⑴ 证明 A中有幺元 e。
第 7章 群、环和域
b?a,因为运算 *在 a上封闭,所以
b2=b*b?a
b3=b2*b?a
由于 A是有限集,所以必存在正整 i和 j,不妨设 i＜ j,使得 bi=bj
从而有 bi=bi*bj–i和 bi=bj–i*bi
根据群中的消去律得 bj–i=e,即 bj–i是群?G,*?的幺元 。 且这个幺元也在 G的非空子集 A中 。
⑵ 证明 S中每一个元素都有逆元 。
如果 j–i＞ 1,那么 bj–i=b*bj–i–1和 bj–i=bj–i–1*b,即 bj–i–1是 b
的逆元,b–1= bj–i–1且 bj–i–1?A。
如果 j–i=1,b=bj–i,那么 b是幺元 。 所以 b–1= b。
【 例 7.3】 求群 <N6,＋ 6>的所有非平凡子群 。
第 7章 群、环和域解,作 N6=?0,1,2,3,4,5?
上模 6加法＋ 6的运算表,
如表 7.2所示 。 取 N6的子集
S1=?0,2,4?和 S2=?0,3?,它们的运算表是表 7.3和表 7.4。
从表中可以看出,模 6加法
＋ 6在 S1和 S2上封闭 。 所以
<S1,＋ 6>和 <S2,＋ 6>是群 <N6,
＋ 6>的子群 。
表 7.2
+6 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
表 7.3
+6 0 3
0 0 3
3 3 0
表 7.4
+6 0 2 4
0 0 2 4
2 2 4 0
4 4 0 2
第 7章 群、环和域定理 7.3.3 设?G,*>是群,H是 G的非空子集，如果对于 H
中的任意两元素 a和 b有 a*b –1?H，则 <H,*>是?G,*>的子群。
证明,首先证明 G中的幺元 e也是 H中的幺元 。
任取 H中的元素 a,因为 a?H?G,所以 e=a*a –1?H且
a*e=e*a=a,即 e是 H中的幺元 。
其次证明在 H中的每一元素都有逆 。 对任意 a?H,因为
e?H,所以 e*a –1?H,即 a –1?H。
最后证明 *在 H上封闭 。 对任意的 a,b?H,由上可知
b –1?H,而 b=(b –1) –1,所以 a*b=a *(b –1) –1?H。
因此,?H,*>是?G,*>的子群 。
7.3.3 元素的阶及其性质定义 7.3.3 设?G,*?是群,a是 G中的元素 。 如果存在正整数 n,使得 an=e,则称元素 a为有限阶元素,满足上述条件的最小正整数 n称为元素 a的阶数,记为 |a|=n；如果不存在这样的正整数 n,则称 a为无限阶元素 。
第 7章 群、环和域显然,幺元 e的阶数为 1。
定理 7.3.4 如果群?G,*>的一个元素 a的阶是 r,则 ak=e当且仅当 k是 r的倍数 。
证明,?设 ak=e,下证 k是 r的倍数 。
设 k=tr+q(0≤q＜ r)，
e=ak=atr+q=atr*aq=(ar)t*aq=(e)t*aq=e*aq=aq,但是 r是使得
ar=e的最小的正整数,故 q=0,即 k=tr。
设 k是 r的倍数,即 k=tr,下证 ak=e
ak =atr=(ar)t=et=e。
定理 7.3.5 群中任何元素和它的逆元的阶数相同 。
证明,设 a是群中任意元素,a的阶数为 n,即 an=e(e为群的幺元 )。 而 (a–1)n=(an)–1=e–1=e。 所以 a–1为有限阶元素 。 设 a–1
的阶数为 m,m＜ n。 因为 am=((am)–1)–1=((a–1)m)–1=e–1=e。 这与 a
的阶数为 n相矛盾 。 所以 a–1的阶数为 n。
定理 7.3.6 设?G,*?是 n阶群,a是 G中的任意元素,|a|=k，
则 k≤n。
第 7章 群、环和域证明,因为 |G|=n,在 n＋ 1个元素 a,a2,?,an,an?1中至少有两个相同 。 设 ai=aj,1≤i＜ j≤n＋ 1。 aj–i=aj*a–i=ai*a–i
=e,1≤j–i≤n。 由定理 7.3.4,k≤j–i≤n。 所以 k≤n。
定理 7.3.7 设?G,*?是群,a?G,|a|=k,令 S=?a,a2,?,ak?，
则?S,*?是?G,*?的子群 。
证明,?ai?S,?aj?S，
当 i?j≤k时,ai*aj=ai?j?S
当 i?j＞ k时,ai*aj=ak* ai?j–k=e*ai?j–k=ai?j–k?S
所以 *在 S上封闭。根据定理 7.3.2,?S,*?是?G,*?的子群。
7.4 陪集和拉格朗日定理定义 7.4.1 设 <H,*>是群 <G,*>的子群,a是 G中任意一个元素,则称集合 Ha=?h*a|h?H? (aH=?a*h|h?H?)为由 a确定的子群?H,*?在群?G,*?中的右 (左 )陪集,简称为 H关于 a的右
(左 )陪集,a叫做右 (左 )陪集 Ha(aH)的代表元 。
返回章目录第 7章 群、环和域
【 例 7.4】 设?G,*?是 Klein四元群,其中,G=?e,a,b,c?，
二元运算 *的运算表如表 7.1所示 。 令 H=?e,a?,?H,*?是?G,*?
子群 。 试求子群?H,*?在群?G,*?中的左陪集 eH,aH,bH,cH和右陪集 He,Ha,Hb,Hc
解,eH=?e*e,e*a?=?e,a?=H
aH=?a*e,a*a?=?a,e?=eH=H
bH=?b*e,b*a?=?b,c?
cH=? c*e,c*a?=?c,b?=bH
He=? e*e,a*e?=?e,a?=H
Ha=?e*a,a*a?=?a,e?=He=H
Hb=?e*b,a*b?=?b,c?
Hc=? e*c,a*c?=?c,b?=Hb
以下讨论右陪集的性质：
定理 7.4.1 设?H,*?是群?G,*?的子群,H的右陪集具有下述性质：
第 7章 群、环和域
⑴?a?Ha,H=He。
⑵ Ha与 H的基数相同 。
⑶?x?Ha,都有 Hx=Ha。 这一性质表明 Ha的代表元可在
Ha中任意选取 。
⑷ Ha=Hb的充分必要条件是 a*b –1?H。
⑸ 对于 H的任意两个右陪集 Ha,Hb,则 Ha=Hb或 Ha∩Hb
=?
证明 ⑴ 因为 a=e*ah*a|h?H?,所以 a?Ha。
又 He=?h*e|h?H?=?h|h?H?=H,所以 He=H。
⑵?h1,h2?H,且 h1≠h2,则 h1*a≠h2*a,否则,按消去律
h1=h2。 设 f,H→ Ha,f(h)=h*a。 可以证明 f是 H到 Ha的双射 。
故 Ha与 H的基数相同,即 |Ha|=|H|。
⑶?x?Ha,令 x=h1*a,h1?H。 于是?h*x?Hx,则有 h *x
=h*(h1*a)=(h*h1)*a,由于 H是子群,所以 h*h1?H。 于是
(h*h1)*a?Ha,即 h*x?Ha。 Hx?Ha。 同样可证 Ha?Hx,这就证明了 Hx=Ha。
第 7章 群、环和域
⑷ 充分性 。 若 a*b –1?H,则存在 h1?H,使得 a*b–1=h1，
于是有 a=h1*b?Hb。 由 ⑶ 得 Ha=Hb。
必要性 。 若 Ha=Hb,由 ⑴ 得 a?Ha=Hb,于是存在 h?H，
使得 a=h*b。 故 a*b –1?H。
⑸ 若 x?Ha∩Hb,x?Ha且 x?Hb,则?h1,h2?H,使 x=h1*a
=h2*b；于是 a*b –1=h1–1*h2?H。 由 ⑶ 得 Ha=Hb。 这就证明了对于 H的任意两个右陪集 Ha,Hb,则 Ha=Hb或 Ha∩Hb=?。
定理 7.4.2 设 <G,*>是有限群,<H,*>是 <G,*>的子群,则
G可以表示成两两不相交的的右陪集的并 。 即存在一个正整数 m,使得 G=Ha1∪ Ha2∪? ∪ Ham,其中,Hai∩Haj=?,i≠j，
i,j=1,2,?,m。
证明,因为 <G,*>是有限群，所以 <H,*>在 <G,*>中的右陪集个数有限。设所有不同的右陪集为 Ha1,Ha2,?,Ham，
共 m个。x?G，则有 x?Hx?Ha1∪ Ha2∪? ∪ Ham，故
G?Ha1∪ Ha2∪? ∪ Ham
第 7章 群、环和域又显然 Ha1∪ Ha2∪ … ∪ Ham?G
所以 G=Ha1∪ Ha2∪ … ∪ Ham
由 定理 7.4.1的 ⑸ 得 Ha1,Ha2,?,Ham是两两不相交的 。
例如,设?G,*?是 Klein四元群,其中,G=?e,a,b,c?。 令
H=?e,a?,?H,*?是?G,*?子群 。 子群?H,*?在群?G,*?中的右陪集有两个,He=Ha=?e,a?,Hb=Hc=?b,c?。
G=?e,a,b,c?=?e,a?∪?b,c?= He∪ Hb,而?e,a?∩?b,c?=?。
当 <G,*>是无限群时,对于 <G,*>的子群 <H,*>仍可以考虑它的全部不同的右陪集的集合,设为?Hxi|xi?G?,它可以是有限的或无限的 。 类似定理 7.4.2有
G=Hx1∪ Hx2∪? ∪ Hxm∪?
其中,Hxi∩Hxj=?,i≠j,i,j=1,2,?,m,?
以上是右陪集的一些性质 。 左陪集也有类似性质,限于篇幅这里就不赘述了,由读者总结 。
第 7章 群、环和域一般地说,对于群?G,*?的子群?H,*?不能保证 aH=Ha，
但对某些子群?H,*?有 aH=Ha。 称这些子群为正规子群 。 关于正规子群的详细内容将在下一节中介绍 。
尽管?H,*?在?G,*?中的左陪集和右陪集是不一定相等的,
但是,可以证明?H,*?在?G,*?中的左陪集数和右陪集数是相等的 。 今后不再区分左陪集数和右陪集数,统称为?H,*?在
G,*?中的陪集数,记为 |G:H|
定理 7.4.3(Lagrange定理 )设?G,*?是有限群,?H,*?是
G,*?的子群 。 则 |H|是 |G|的因子 。
证明,设?H,*?在?G,*?中的陪集数 |G:H|=r,并设全部不同的右陪集为 Ha1,Ha2,? Har。 由 定理 7.4.2知,它们两两不相交的且 G=Ha1∪ Ha2∪? ∪ Har于是
|G|=|Ha1|+|Ha2|+? +|Har|=|H|+|H|+? +|H|=r|H|
即 |G|=r|H|。
第 7章 群、环和域
Lagrange定理表明，对一个有限群 G,G的子群的阶只可能是 G的阶的因子。
例如,若 G是 4阶群,则 G至多只可能有阶数为 1,2,4的子群,而绝不会有阶为 3的子群；若 G是 6阶群,则 G至多只可能有阶数为 1,2,3,6的子群,而绝不会有阶为 4或 5的子群；
若 G是 5阶群,则 G只是有阶数为 1,5的子群,而绝不会有阶为 2,3,4的子群 。 由 定理 7.4.3可得到如下重要推论 。
推论 1 设 G是 n阶群,对于任意的 a?G,则 a的阶 |a|是 n的因子,且 G中任意元素 x都适合方程 xn=e。
证明,设 |a|=k,S=?a,a2,?,ak?,根据定理 7.3.7,?S,*?
是?G,*?的子群且 |S|=k,由 Lagrange定理 (定理 7.4.3)可得 k是 n
的因子 。
因为 k是 n的因子,所以存在整数 m,使得 n=km。 于是
an=(ak)m=em=e。
第 7章 群、环和域推论 2 设 <G,*>是 n阶有限群,n是素数 。a?G,a≠e，
则 |a|=n且 G=?a,a2,?,an?
证明,设 |a|=k,因为 a≠e,所以 2≤k；由定理 7.3.6知 k≤n，
设 k≠n,则 2≤k＜ n。 又由推论 1知,k为 n的因子,即素数 n有一个大于等于 2且小于 n的因子 k,这与 n是素数矛盾 。 所以
k=n。
令 S=?a,a2,?,an?,由定理 7.3.7知?S,*?是?G,*?的子群,
S?G。 而 |S|=n=|G|。 所以 G=S=?a,a2,?,an?。
下面举几个例子，通过这些例子看到此定理 7.4.3及其推论的一些简单应用。
【 例 7.5】 证明 10阶群中必含有 5阶元 。
证明,设 <G,*>是 10阶群,由推论 1知 G中的元素只可能是 1阶 (幺元 ),2阶,5阶或 10阶元 。
若 G中含有 10阶元,设这个 10阶元是 a,e=a10=(a2)5,则
a2是 5阶元 。
若 G中不含 10阶元,那么 G中非幺元的阶数只能是 2或 5。
第 7章 群、环和域如果 G中无 5阶元,只有 2阶元,即?a?G,有 a2=e。 则
(a*b)*(a*b)=e=e*e=(a*a)*(b*b),根据定理 7.2.5,G是阿贝尔群 。 取 G中两个不同的 2阶元 a和 b,令 H=?e,a,b,a*b?
易证 <H,*>是 <G,*>的子群,但 |H|=4,|G|=10，
与 Lagrange定理矛盾 。
【 例 7.6】 证明阶数小于 6的群都是阿贝尔群 。
证明,设 <G,*>是阶小于 6的群 。
若 |G|=1,则群 <G,*>是平凡的,显然是阿贝尔群 。
若 |G|是素数,即 |G|是 2,3和 5。 由推论 2知
G=?a,a2,?,ak?,其中 k=2,3,5。ai?G,?aj?G，
ai*aj= ai?j=aj*ai,所以 <G,*> 阿贝尔群 。
若 |G|=4，若 G中含有 4阶元，比如说 a，则 G=?a,a2,a3,a4?。
由刚才的分析可知 <G,*>是阿贝尔群。若 G中不含 4阶元，根据 Lagrange定理,G中只含 1阶和 2阶元，即?a?G，有 a2=e。
则 (a*b)*(a*b)=e=e*e=(a*a)*(b*b)，根据定理 7.2.5,G是阿贝尔群。
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7.5正规子群定义 7.5.1 设?G,*?是群,?H,*?是?G,*?的子群,如果对于任意 a?G,都有 aH=Ha成立,则称?H,*?是?G,*?的正规子群 (或称为不变子群 )。
【 例 7.7】 设?G,*?是群,令 H=?e?,?H,*?是?G,*?的一个平凡子群 。 证明?H,*?是?G,*?的正规子群 。
证明,?a?G,aH=?a*e?=?a?=?e*a?=Ha,所以?H,*?是
G,*?的正规子群 。
【 例 7.8】 设?G,*?是群,?G,*?是?G,*?的一个平凡子群 。
证明?G,*?是?G,*?的正规子群 。
证明,?a?G,?b?aG,?g?G,b=a*g，而 G是群，于是 b=a*g?G，所以 aG?G；?b?G，令 g=a–1*b，则 g?G，于是 b=a*g?aG，所以 G?aG，故 aG=G。类似的可以证明 G=Ga。
故 aG=G=Ga。G,*?是?G,*?的正规子群。
从例 7.7和例 7.8可以看出,群的平凡子群是正规子群,这第 7章 群、环和域说明任何群都存在正规子群 。
群的非平凡子群,有的是正规子群,有的不是 。
【 例 7.9】 证明阿贝尔群的子群都是正规子群 。
证明,设?G,*?是阿贝尔群,?H,*?是?G,*?的子群 。
a?G，
aH=?a*h| h?H?=?h*a| h?H?=Ha
所以,?H,*?是?G,*?的正规子群 。
定理 7.5.1 设?H,*?是群?G,*?的子群,则下列命题等价 。
⑴?H,*?是?G,*?的正规子群 。
⑵?g?G,有 gH=Hg。
⑶?g?G,有 H=g–1Hg,其中,g–1Hg=?g–1*h*g|h?H?。
⑷?g?G,?h?H,有 g–1*h*g?H。
证明,⑴ 与 ⑵ 的等价性是显然的 。
证 ⑵ 与 ⑶ 的等价性,先由 ⑵ 推 ⑶ 。
若?g?G,有 gH=Hg,则?h?H,有 g*h?gH=Hg,所以第 7章 群、环和域
g*h?Hg。于是存在 h1?H，使得 g*h=h1*g，
于是 h=g–1*h1*g?g–1Hg。这样便有 H?g–1Hg。
g–1*h*g?g–1Hg,其中 h?H,h*g?Hg,由 Hg=gH知,
h1?H使得 h*g=g*h1,从而有 g–1*h*g=h1?H,即 g–1*h*g?H。
这就证明了 g–1Hg?H
由此得知,?g?G,有 g–1Hg=H。
由 ⑶ 推 ⑵ 。 若?g?G,?h?H,有 g –1*h*g?H,则?h?H，
存在 h1?H,使得 h1=g–1*h*g,于是 h*g=g*h1?gH。 由于 h是 H
中的任意元素,所以 Hg?gH。
同理可证 gH?Hg,即 gH=Hg。
⑶ 与 ⑷ 的等价性是显然的,证明从略 。
利用定理 7.5.1可判别子群 H是否是正规子群 。 尤其该定理的结论 ⑷,它把判断 H是否是正规子群归结到计算元素
g–1hg是否在 H中,这样有时是很方便的 。 下面再看几个应用定理 7.5.1来判断 H是否是正规子群的例子 。
第 7章 群、环和域
【 例 7.10】 设 G是全体 n× n实可逆矩阵关于矩阵乘法的群,令 G中全体行列式为 1的矩阵集合 H=?X|X?G,|X|=1?，
证明 H是 G的正规子群 。
证明,这是因为?A?G,?X?H,有所以 A–1XA?H,即 H是 G的正规子群 。
【 例 7.11】 设?N,*?是?G,*?的正规子群,?H,*?是?G,*?
的子群,证明：
⑴?NH,*?是?G,*?的子群,
其中,NH=?n*h|?n?N,h?H?
⑵ 若?H,*?是?G,*?的正规子群,则?NH,*?是?G,*?的正规子群 。
证明,⑴ 显然,NH是 G的非空子集 。a,b?NH,设
a=n1*h1,b=n2 *h2,这里 n1,n2?N,h1,h2?H。 则
1 || || || || 1 || || || || 11 XAXAAXAXAA
第 7章 群、环和域
a * b–1=n1*h1* (n2*h2)–1=n1*h1*(h2–1*n2–1)=n1*(h1*h2–1)*n2–1
由?H,*?是?G,*?的子群得 h=h1*h2–1?H。 又由?N,*?是?G,*?
的正规子群,知 h*n2–1?hN=Nh,于是有 n?N,使 h*n2–1=n*h。
故
a*b–1=n1*(h1*n2–1)=n1*(n*h)=(n1*n)*h?NH
由于群的判别条件知,?NH,*?是?G,*?的子群 。
⑵ 若?H,*?也是?G,*?的正规子群,则?a?G,?n*h?NH，
有
a–1*(n*h)*a=a–1*n*(a*a–1)*h*a=(a–1*n*a)*(a–1*h*a)
由于?H,*?是?G,*?的正规子群,?N,*?是?G,*?的正规子群,
则有 a–1*n*a?N,a–1*h*a?H。 于是
a–1*(n*h)*a=(a–1*n*a)*(a–1*h*a)?NH
由定理 7.5.1得,?NH,*?也是?G,*?的正规子群。
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7.6 同态和同构
7.6.1代数系统的同态和同构定义 7.6.1 设 <A,*>和 <B,°>是两个代数系统,*和 °分别是 A和 B上的二元运算,f是从 a到 B的一个映射,?a1,a2?a有
f (a1*a2)＝ f (a1)°f (a2)
则称 f为由代数系统 <A,*>到 <B,°>的一个同态映射,简称同态；称代数系统 <A,*>与 <B,°>同态,记作 <A,*> ~ <B,°>。 把
<f(A),°>称为 <A,*>的同态像 。 其中
f(a)＝?f (a) | a?A?
若 f,A→ B是单射,则称 f为由 <A,*>到 <B,°>的一个单同态映射,并称 <A,*>与 <B,°>单同态 。
若 f,A→ B是满射,则称 f为由 <A,*>到 <B,°>的一个满同态映射,并称 <A,*>与 <B,°> 满同态 。
若 f,A→ B是双射,则称 f为由 <A,*>到 <B,°>的一个同构映射,并称 <A,*>与 <B,°>同构 。 记为 <A,*>≌ <B,°>。
第 7章 群、环和域
【 例 7.12】 设 <I,＋ >和 <R,× >是代数系统，其中，＋,×
是数的加法和乘法,I是整数集,R是实数集。 f,I→ R，定义为,?x?I,
判断 f是不是代数系统 <I,＋ >到 <R,× >的同态？如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像。
解,?x,y?I，
当 x和 y都是偶数时,f (x+y)=1=1× 1=f (x)× f (y)
当 x是偶数和 y是奇数时,f (x+y)=-1=1× (-1)=f (x)× f (y)
当 x是奇数和 y是偶数时,f (x+y)=-1=(-1)× 1=f (x)× f (y)
当 x和 y都是奇数时,f (x+y)=1=(-1)× (-1)=f (x)× f (y)
即 f (x+y)=f (x)× f (y),所以 f是同态函数 。
因为任何偶数的函数值为 1，故 f不是单射；又 ranf=?-1,
1R，故 f不是满射。 所以不是单同态，不是满同态，也不是同构。同态像 <f(I),× >是 <?-1,1?,× >。
为奇数为偶数
x
xxf
1
1)(
第 7章 群、环和域
【 例 7.13】 设 <R+,× >和 <R,＋ >是代数系统，其中，＋,
× 是数的加法和乘法,R+是正实数集,R是实数集。
f,R+→ R，定义为,?x?R+,f (x)=lnx
判断 f是不是代数系统 <R+,× >到 <R,＋ >的同态？如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像。
解,?x,y?R+,f (x?y)=ln(xy)=lnx+lny，故 f(x)=lnx是同态函数。又因为 f (x)=lnx是严格单调函数，只要?x,y? R+，
x≠y有
f (x)=lnx≠lny=f (y)
所以,f (x)=lnx单射。再由 f(R+)=R，故 f(x)=lnx是满射，
最后得到 f(x)=lnx是双射。所以是单同态，满同态和同构。
同态像 <f (R+),＋ >是 <R,＋ >。
【 例 7.14】 设 R为实数集，＋和 × 分别为 R上的加法和乘法运算，证明 <R,＋ >与 <R,× >同态。
证明,?x?R,设 f(x)=2x,对任意 y,z?R有第 7章 群、环和域
f(y+z)=2y+z=2y× 2z=f(y)× f(z)
故 <R,＋ >与 <R,× >同态。
两个代数系统间的同态,不仅适用于具有一个二元运算的代数系统,也可以推广到具有多个二元运算的代数系统 。
例如,对于具有两个二元运算的代数系统 <X,*,°>和
<Y,⊙,◎ >的同态定义如下：
若存在一个映射 f,X→ Y,使得对任意 x1,x2?X,有
f(x1*x2)=f(x1)⊙ f(x2)
f(x1°x2)=f(x1)◎ f(x2)
则称 f是从 <X,*,°>到 <Y,⊙,◎ >的同态映射,并称 <X,*,°>
与 <Y,⊙,◎ >同态 。
定义 7.6.2 设 <A,*>是代数系统,*是 A上的二元运算，如果 f是由 <A,*>到 <A,*>的同 态，则称 f是自同态。如果 f是由
<A,*>到 <A,*>的同构，则称 f是自同构。
第 7章 群、环和域
【 例 7.15】 设 <G,*>是 n阶阿贝尔群,令 f是从 G到 G的一个映射,定义为,f(x) =x–1,验证 f是自同构 。
证明,?x,y?G，
f(x*y)=(x*y)–1 =y–1* x–1= x–1*y–1 =f(x)* f(y)
当 x≠y时,如果 x–1=y–1,则 x=(x–1)–1=( y–1)–1=y,矛盾 。 所以 x–1≠y–1,即 f(x)≠f(y),f是单同态 。x?G,x=(x–1)–1，
x–1?G,使 f(x–1) = (x–1)–1= x,故 f是满同态 。 从而 f是自同构 。
定理 7.6.1 设 G是所有代数系统的集合,则 G中代数系统之间的同构关系是 G上的等价关系 。
证明,?<A,*>?G,恒等映射 IA是由 A到 A的双射函数,
显然,IA是由 <A,*>到 <A,*>同构,所以 <A,*>≌ <A,*>,即自反性成立 。
设 <A,*>≌ <B,°>,设 g是由 <A,*>到 <B,°>的同构映射,则
g–1是由 <B,°>到 <A,*>的同构映射,<B,°>≌ <A,*>,即对称性成立 。
第 7章 群、环和域
设 <A,*>≌ <B,°>且 <B,°>≌ <C,?>,f是由 <A,*>到 <B,°>
的同构映射,g是由 <B,°>到 <C,?>的同构映射,则 g°f是由
<A,*>到 <C,?>的同构映射,<A,*>≌ <C,?>,即传递性成立 。
所以 G中代数系统之间的同构关系是等价关系 。
定理 7.6.2 设 f为由代数系统 <A,*>到代数系统 <B,°>的一个同态映射 。
⑴ 如果 <A,*>是半群,那么同态像 <f(A),°>也是半群 。
⑵ 如果 <A,*>是独异点,那么同态像 <f(A),°>也是独异点 。
⑶ 如果 <A,*>是群,那么同态像 <f(A),°>也是群 。
证明,⑴ 设 <A,*>是半群,?a,b?f(A),必有 x,y?A,使
f(x)=a,f(y)=b
因为 <A,*>是半群,必有 x*y?A,于是
a°b=f(x)°f(y)=f(x*y)?f(A),即 °在 f(A)上封闭 。
a,b,c?f(A),必有 x,y,z?A,使得 f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c
第 7章 群、环和域
(a°b)°c=(f(x)°f(y))°f(z)=f(x*y)°f(z)=f((x*y)*z)=f(x*(y*z))
=f(x)°f (y*z)=f(x)°(f(y)°f(z))=a°(b°c)
即 °在 f(A)上满足结合律 。
所以 <f(A),°>是半群 。
⑵ 设 <A,*>是独异点,e是 A中的幺元 。a?f(A),必有
x?A,使得 f(x)=a,于是
a°f(e)=f(x)°f(e)=f(x*e)=f(x)=a
f(e)°a=f(e)°f(x)=f(e*x)=f(x)=a
即 f(e)是 f(A)中的幺元 。
因此 <f(A),°>是独异点 。
⑶ 设 <A,*>是群,?a?f(A),必有 x?A,使得 f(x)=a,因为 <A,*>是群,x–1?A且 f(x–1)?f(A),于是
a°f(x–1)=f(x)°f(x–1)=f(x*x–1)=f(e)
f(x–1)°a=f(x–1)°f(x)=f(x–1*x)=f(e)
所以 a –1= f(x)–1=f(x–1)?f(A)。
因此 <f(A),°>是群 。
第 7章 群、环和域推论 设 f为由代数系统 <A,*>到代数系统 <B,°>的满同态,
⑴ 如果 <A,*>是半群,那么 <B,°>也是半群 。
⑵ 如果 <A,*>是独异点,那么 <B,°>也是独异点 。
⑶ 如果 <A,*>是群,那么 <B,°>也是群 。
7.6.2 群的同态和同构定理 7.6.3 设 <G1,*>和 <G2,°>是群,e1和 e2分别是 G1和 G2
中的幺元,f为由群 <G1,*>到 <G2,°>的一个同态映射,则
⑴ f(e1)=e2
⑵?a?G1,f(a–1)=f(a)–1
证明,⑴ f(e1)°f(e1)=f(e1*e1)=f(e1)=f(e1)°e2,由群的消去律有 f(e1)=e2
⑵?a?G1,f(a–1)°f(a)=f(a–1*a)=f(e1)=e2
f (a)°f(a–1)=f(a*a–1)=f(e1)=e2
因此 f(a–1)＝ f(a)–1
第 7章 群、环和域利用定理 7.6.3可以证明两个群是不同构的。请看下面的例题。
【 例 7.16】 设?Q,＋?是有理数加法群,? Q-?0?,是非零有理数乘法群，试证明群?Q,＋?和群?Q-?0?,不同构。
证明,假设群?Q-?0?,和群?Q,＋?同构,同构映射为
f,Q-?0?→ Q,由定理 7.6.3知 f(1)=0,于是 f(–1)＋ f(–1)
=f((–1)?(–1))=f(1)=0,从而 f(–1)=0,f不是双 射,与 f是同构映射矛盾 。 所以群?Q,＋?和群?Q-?0?,不同构 。
定理 7.6.4 设 f为由群 <G1,*>到群 <G2,°>的一个同态映射,
如果 <H,*>是 <G1,*>的子群,则 <f(H),°>也是 <G2,°>的子群 。
证明,设 e1和 e2分别是 G1和 G2中的幺元,由定理 7.6.3知
e2=f(e1)?f(H),所以 f(H)非空 。a,b?f(H),必有 x,y?H,使得
f(x)=a,f(y)=b,于是
a°b–1=f(x)°f(y)–1=f(x)°f(y–1)=f(x*y–1)
由于 <H,*>是 <G1,*>的子群,所以 x*y–1?H，
因此 f(x*y–1)?f(H),从而 <f(H),°>是 <G2,°>的子群 。
第 7章 群、环和域定理 7.6.5 设 f为由群 <G1,*>到群 <G2,°>的一个满同态映射,如果 <H,*>是 <G1,*>的正规子群 。 则 <f(H),>也是 <G2,°>
的正规子群 。
证明,由定理 7.6.4知 <f(H),°>是 <G2,°>的子群。
a?f(H),必有 x?H,使得 f(x)=a。g?G2,由于 f是满射,必有 y?G1,使得 f(y)=g。 有
g°a°g–1=f(y)°f(x)°f(y)–1=f(y)°f(x)°f(y–1)=f(y*x*y–1)
因为 <H,*>是 <G1,*>的正规子群,y*x*y–1?H,从而
g°a°g–1?f(H)。
这就证明了 <f(H),° >是 <G2,° >的正规子群 。
定义 7.6.3 设 f为由群 <G1,*>到群 <G2,°>的一个同态映射,
e2是 <G2,°>的幺元 。 令 Ker(f)=?x|x?G1∧ f(x)=e2?,称集合
Ker(f)为同态映射 f的核,简称为 f的同态核 。
【 例 7.17】 设?R,＋?是实数加法群,?R-?0?,是非零实数乘法群,f是从 R到 R-?0?的一个映射，定义为,f(x)=ex。
证明 f是由?R,＋?到?R-?0?,的同态；求出 f的同态核 Ker(f)。
第 7章 群、环和域证明,?x,y?R,f(x＋ y)=ex?y =ex?ey=f(x)?f(y)。所以 f是由
R,＋?到?R-?0?,的同态。
Ker(f) =?x|x?R∧ f (x)=1?=?x|x?R∧ ex=1?=?0?
【 例 7.18】 设 <G1,*>和 <G2,°>是群,e2是 <G2,°>的幺元,
令 f是从 G1到 G2的一个映射,定义为,?x?G1,f(x)=e2。 验证
f是由 <G1,*>到 <G2,°>的同态；求出 f的同态核 Ker(f)。
证明,?x,y?G1
f(x*y)=e2=e2 ° e2=f(x)°f(y)。所以 f是由 <G1,*>到 <G2,°>的同态。
Ker(f)=G1
例 7.18中的同态 f叫做零同态。
定理 7.6.6 设 f为由群 <G1,*>到群 <G2,°>的一个同态映射，
则?Ker(f),*?是 <G1,*>的正规子群。
第 7章 群、环和域证明,设 e1和 e2分别是群 <G1,*>和群 <G2,°>的幺元。由定理 7.6.3知 f(e1)=e2，所以 e1?Ker(f)，故 Ker(f)不空。
a,b?Ker(f),f(a*b–1)=f(a)°f(b–1)=f(a)°f(b)–1
=e2°e2–1=e2°e2=e2
因此 a*b–1?Ker(f)。Ker(f),*?是 <G1,*>的子群。
a?Ker(f),?x?G1
f(x*a*x–1)=f(x)°f(a)°f(x–1)=f(x)°e2°f(x–1)
=f(x)°f(x–1)=f(x*x–1)=f(e1)=e2
所以 x*a*x–1?Ker(f),?Ker(f),*?是 <G1,*>的正规子群。
定理 7.6.7 设 f为由群 <G1,*>到群 <G2,°>的一个同态映射，
e1和 e2分别是群 <G1,*>和群 <G2,°>的幺元。则 f是单同态的充分必要条件是 Ker(f)＝?e1?。
证明,设 f是单同态，下证 Ker(f)=?e1?
由定理 7.6.3知?e1Ker(f)，只需证明 Ker(f)e1?，设
Ker(f)e1?,?a?Ker(f),a≠e1,f(a)=e2，而由定理 7.6.3
第 7章 群、环和域知,f(e1)=e2，与 f是单同态矛盾。故 Ker(f)e1?。
这就证明了 Ker(f)＝?e1?
设 Ker(f)＝?e1?，下证 f是单同态。
a,b?G1，设 f(a)＝ f(b)，
f(a*b–1)=f(a)°f(b–1)=f(a)°f(b)–1=f(a)°f(a)–1=e2
于是 a*b–1?Ker(f)，因为 Ker(f)＝?e1?，所以 a*b–1=e1,a=b。
即 f是单射，因此 f是单同态。
【 例 7.19】 设 <G1,*>和 <G2,°>是群,e1 和 e2 分别是群
<G1,*>和群 <G2,°>的幺元,而 <G1× G2,?>是群 <G1,*>和群
<G2,°>直积,其中?定义为,?a1,b1a2,b2?=?a1*a2,b1°b2?
根据定理 6.3.1,<G1× G2,?>也是群,其幺元是?e1,e2?，
a,b?–1=?a–1,b–1?
令 f是从 G1× G2到 G1的一个映射,定义为,f(?a,b?)=a
验证 f是由 <G1× G2,?>到 <G1,*>的满同态；求出 f的同态核 Ker(f)；证明同态核 Ker(f) 是 <G1× G2,?>正规子群 。
证明,⑴先证 f是由 <G1× G2,?>到 <G1,*>的满同态。
第 7章 群、环和域
a1,b1?,?a2,b2G1× G2
f(?a1,b1a2,b2?)=f(?a1*a2,b1°b2?)=a1*a2
=f(?a1,b1?)*f(?a2,b2?)
所以 f是由 <G1× G2,?>到 <G1,*>的同态。
a?G1,?b?G2,?a,bG1× G2,使 f(?a,b?)=a,所以 f
是满同态 。
⑵求 f的同态核 Ker(f)
设?a,bKer(f)=x,y? |?x,yG1× G2∧ f(?x,y?)=e1?，则
f(?a,b?)=e1，又由 f的定义 f(?a,b?)=a，于是 a=e1，即 Ker(f)中的元素的第一分量为 e1。所以
Ker(f)=e1,y? | y?G2?=?e1?× G2
⑶ 由定理 7.6.6知 <Ker(f),?>是 <G1× G2,?>正规子群。
返回章目录第 7章 群、环和域
7.7循环群定义 7.7.1 设?G,*?为群,若在 G中存在一个元素 a,使得
G中的任意元素都由 a的幂表示,则称群?G,*?为循环群,并记 (a)。 元素 a称为循环群 G的生成元 。
设?G,*?为循环群,元素 a为循环群 G的生成元 。 若元素
a为有限阶元素,元素 a的阶数 |a|=r称为 a的周期,若 a为无限阶元素,则称 a的周期为无限的 。
【 例 7.20】 证明代数系统 <N6,＋ 6>是循环群 。
证明,前面已经说明 <N6,＋ 6>是群,0是单位元 。 0的逆元是 0,?x?N6且 x≠0,x–1=6–x。 考察 1?N6
11=1
12=1＋ 61=2
13=12＋ 61=2＋ 61=3
14=13＋ 61=3＋ 61=4
第 7章 群、环和域
15=14＋ 61=4＋ 61=5
16=15＋ 61=5＋ 61=0
由此可见,元素 1是群 <N6,＋ 6>的生成元,N6=(1)，
<N6,＋ 6>是循环群 。 可以验证 5也是群 <N6,＋ 6>的生成元 。
【 例 7.21】 证明整数加法群?I,＋?是循环群 。
证明,前面已证?I,＋?是群,0是单位元 。 考察 1?I
10=0
11=1
12=1＋ 1=2
13=12＋ 1=3
1–1= –1
1–2=(1–1)2=(–1)＋ (–1)=–2
1–n= –n
第 7章 群、环和域由此可见,元素 1是群?I,＋?的生成元,I=(1),?I,＋?是循环群 。 可以验证 –1也是群?I,＋?的生成元 。
设?G,*?是群,a?G,|a|=k,令 S=?a,a2,?,ak?,根据定理
7.3.7,?S,*?是?G,*?的子群,显然?G,*?的子群?S,*?是循环群,它的生成元是 a,S=(a)
定理 7.7.1 任何循环群必定是阿贝尔群 。
证明,设?G,*?是循环群,它的生成元是 a,那么对于任意的 x,y?G,必有 r,s?I,使得 x=ar,y=as而且
x*y=ar*as=ar+s=sr*ar=y*x
因此?G,*?是阿贝尔群 。
定理 7.7.2 设?G,*?是无限循环群,a是生成元,则 a也是无限阶元素 。
证明,设 a为有限阶元,|a|=n,令 S=?a,a2,?,an?,an=e，
am?G,m=nq＋ s,q,s是整数且 0≤s＜ n，
am=anq?s=(a n)q*as=(e)q*as=e*as=as?S,G?S,矛盾 。
所以 a是无限阶的 。
第 7章 群、环和域整数加法群?I,＋?是无限循环群,其生成元是 1或 –1,它们是无限阶 元 。
对于有限循环群,有下面的定理 。
定理 7.7.3 设?G,*?是 n阶循环群,a是生成元,则 a的阶数也是 n。
证明,用反证法,设生成元 a的阶数为 k,k≠n,由定理
7.3.6知 k＜ n,由于 ak=e,ak?1=ak*a=e*a=a,ak?2=ak*a2=e*a2
=a2,?,所以 a的幂只能是 G中的 k个元素 a,a2,a3,?,ak,而不能表示 G中的所有元素,与 a是 G的生成元相矛盾 。
在 例 7.20中,群 <N6,＋ 6>是 6阶循环群,其生成元 1和 5，
16=0,56=0,它们都是 6阶元 。
定理 7.7.4 设?G,*?是 n阶循环群,e是单位元,a是生成元 。
则 G=?a,a2,?,an?。
证明,令 S=?a,a2,?,an?。ai?S,因为 a是 G的元素,*在
G上封闭,所以 ai?G,从而 S?G
第 7章 群、环和域以下证明 S中的元素是两两互不相同的 。 假设 ai=aj,其中 1≤i＜ j≤n。 于是 ai=aj=ai*aj–i,1≤j–i＜ n,即 ai*e=ai*aj–i,有消去律得 aj–i=e,这与 a的阶数是 n矛盾 。 所以 S中的元素是两两互不相同的 。 故 |G|=|S|=n,G=S=?a,a2,?,an?。
在例 7.20中,群 <N6,＋ 6>是 6阶循环群,其生成元是 1和 5，
N6=?1,12,13,14,15,16?=?5,52,53,54,55,56?=?0,1,2,3,4,5?
定理 7.7.5 设?G,*?是 n阶循环群,a是 G的元素,如果 a的阶数是 n,则 a是群?G,*?的一个生成元 。
证明,令 S=?a,a2,?,an?。 由定理 7.7.4的证明过程知 S=G。
所以?x?G,?ai?S,使 x=ai,根据定义 7.7.1,a是群?G,*?的一个生成元 。
定理 7.7.6设?G,*?是无限循环群,a是生成元,则群?G,*?
的生成元只有 a和 a–1两个 。
证明,根据定义 7.7.1,G=(a)=?ak|k?I?,?ak?G,ak=
(a–1)–k,即 G中的任何元素都可以表示成 a–1的整数次幂,所以
a–1是生成元 。
第 7章 群、环和域再证 G中只有 a和 a–1两个生成元 。 假设 b也是群?G,*?的生成元 。 即 G=(b)=?bk|k?I?,a?G=(b),?t?I使得 a=bt,又由于 b?G=(a),?s?I使 b=as,从而得到 a=bt=(as)t=ast,e=a*a–1
=ast*a–1=ast–1,因为 a是无限循环群的生成元,所以 st–1=0，
st=1,从而推出 s=t=1或 s=t=–1,即 b=a或 b=a–1。 所以 G中只有 a和 a–1两个生成元 。
下面介绍循环群的子群的性质 。
定理 7.7.7 设?G,*?是循环群,a是生成元,如果?H,*?是
G,*?的子群 。 则?H,*?也是循环群 。
证明,若?H,*?是?G,*?的平凡子群,则 H=G或 H=?e?。
当 H=G时,显然?H,*?是循环群；当 H=?e?时,e是生成元 。
所以?H,*?是循环群 。
若?H,*?不是?G,*?的平凡子群 。 由于 H不空,?ak?H，
k≠ 0(即 ak≠ e),(ak)–1?H。 从而 H含有 a的某些正整数次幂,
令 A=?k| ak?H∧ k≥ 1∧ k?I?,则 A不空,从而有最小者,设第 7章 群、环和域最小者为 r。 以下证明 ar是子群?H,*?的生成元 。am?H,如果 r不能整除 m,则 m=rq＋ s,q是整数,0＜ s＜ r,am=a rq?s
=(a r)q*as,as=((a r)q)–1*am?H,s?A。 但 s＜ r,这与 r是 A中最小者矛盾 。 此矛盾表明,?am?H,r能整除 m,即 am=arq
=(ar)q,所以 a r是子群?H,*?的生成元,?H,*?也是循环群 。
7.8置换群本节讨论置换群,置换群在群的同构中扮演着极重要的角色 。 在正式讨论置换群以前,先作一些必要的准备 。
定义 7.8.1设 S=?a1,a2,?,an?是一个非空集合,双射函数?：
S→ S称为集合 S上的 n元置换,常记为：
)()()( 21
21
n
n
aaa
aaa
返回章目录第 7章 群、环和域例如 S=?1,2,3,4?，则
2431
4321
2134
4321
都是 4元置换 。
由于?是双射,? (a1),? (a2),?,? (an)都是 S的元素且互不相同 。 因此? (a1),? (a2),?,? (an)必为 a1,a2,?,an的一个排列 。
而 a1,a2,?,an的排列总数是 n?个,因此集合 S上的 n元置换有 n?
个 。
设 S=?a1,a2?,an?,集合 S上的所有 n元置换组成的集合记为 Sn。
【 例 7.22】 设 S=?1,2,3?,试求集合 S上的所有 3元置换和
S3
解,S上的 6个 3元置换为：
第 7章 群、环和域
0=
321
321?1=
231
321
2=
312
321
3=
132
321
4=
213
321
5=
123
321
S3=0,?1,?2,?3,?4,?5?
定义 7.8.2 设 S=?a1,a2,?,an?是一个非空集合,?,?是集合 S上的 n元置换,则?和?的左复合函数?°?也是 S上的 n元第 7章 群、环和域置换，称为?和?的左复合置换，简称?和?的复合置换，记为
°?。
例如,例 7.22中的?2和?3的左复合为：
2°?3= ° =
312
321
132
321
231
321
定理 7.8.1 设 S=?a1,a2,?,an?是一个非空集合,Sn是集合 S
上的所有 n元置换组成的集合,是 S上 n元置换的复合 置换 运算 。 则?Sn,°?是群 。
证明,先证明二元运算 °在 S上是封闭的 。
i,?j?Sn,由置换的定义,?i和?j是 S到 S的双射函数,
而双射函数的左复合函数?i°?j仍然是 S到 S的双射函数,再由置换的定义,?i°?j?Sn
再证明二元运算 °在 S上是可结合的 。
由定理 5.2.5知函数的左复合是可结合的,所以置换的左第 7章 群、环和域复合 °在 S上也是可结合的。
其次证明 Sn有关于左复合运算 °的幺元 。
S上的恒等函数 IS是 S到 S的双射函数,它是 S上的 n元置换,是关于左复合运算 °的幺元 。 左复合运算 °的幺元常叫做幺置换,记为?0
最后证明Sn,–1?Sn，
Sn,?是 S到 S的双射函数,设?是?的逆函数,它是 S
到 S的双射函数,因而?是 S上的 n元置换 。°?=?°? =?0,所以?–1=Sn
综上所述,?Sn,°?是群 。
定义 7.8.3 设 S=?a1,a2,?,an?是一个非空集合,Sn是集合
S上的所有 n元置换组成的集合,°是 Sn上 n元置换的复合运算 。
则群?Sn,°?称为 S上的对称群 。Sn,°?的子群称为 S上的置换群 。
第 7章 群、环和域
【 例 7.23】 设 S=?1,2,3?,S3=0,?1,?2,?3,?4,?5?是 S 上的所有 3元置换组成的集合。 °是 S上的 3元置换的左复合运算。
验证?S3,°?是群。找出 S上的所有置换群。
证明,左复合运算 °的运算表如 表 7.5所示 。从表中可看出 °在 S3上是封闭的，满足结合律,?0是幺元,?0,?1,?2,?5的逆元是其自身。3和?4互为逆元。所以?S3,°?是群。
0?,°?,0,?1?,°?,0,?2?,°?,0,?5?,°?，
0,?3,?4?,°?都是?Sn,°?的子群，即都是 S上的置换群。显然?0是 1阶元,?1,?2,?5是 2阶元,?3,?4是 3阶元第 7章 群、环和域表 7.5
0?1?2?3?4?5
0?0?1?2?3?4?5
1?1?0?3?2?5?4
2?2?4?0?5?1?3
3?3?5?1?4?0?2
4?4?2?5?0?3?1
5?5?3?4?1?2?0
第 7章 群、环和域定义 7.8.4 设 S=?a1,a2?,an?是一个非空集合,?G,?是
S上的一个置换群 。
R=a,b?|?(a)=b∧G?
称 R是置换群?G,?导出的 S上的二元关系 。
【 例 7.24】 设 S=?1,2,3,4?,G=0,?1,?2,?3?,其中
4321
4321
0
4312
4321
1?
3421
4321
2?
3412
4321
3?
验证?G,°?是 S上的一个置换群,找出置换群?G,°?导出的 S上的二元关系 R。
证明,先证?G,°?是?S4,°?的子群 。
第 7章 群、环和域表 7.6是运算
°在 G上的运算表。
从表中可看出 °在
G上是封闭的。
根据定理 7.3.2，
G,是?S4,的子群，即?G,是
S上的一个置换群。
表 7.6
0?1?2?3
0?0?1?2?3
1?1?0?3?2
2?2?3?0?1
3?3?2?1?0
置换群?G,导出的 S上的二元关系
R=1,1?,?2,2?,?3,3?,?4,4∪1,2?,?2,1?,?3,3?,?4,4
∪1,1?,?2,2?,?3,4?,?4,3∪1,2?,?2,1?,?3,4?,?4,3
=1,1?,?2,2?,?3,3?,?4,4?,?1,2?,?2,1?,?3,4?,?4,3
=?1,2?×?1,2?∪?3,4?×?3,4?
第 7章 群、环和域定理 7.8.2 设 S=?a1,a2,?,an?是一个非空集合,?G,是 S
上的一个置换群。 R=a,b?|?(a)=b∧G?是?G,导出的 S
上的二元关系，则 R是 S上的等价关系。
证明,?x?S,幺置换?0?G,?0(x)=x,所以?x,xR,R
是 S上的自反关系 。
x,yR,G使得?(x)=y,由于?G,是群,所以
–1?G,?–1(y)=x,故?y,xR,即 R是对称的 。
x,yR,y,zR,有?1,?2?G使得?1(x)=y和?2(y)=z，
由于?G,°?是群,?2°?1?G,?21(x)=?2?(?1(x))=?2(y)=z,故
x,zR,即 R是传递的 。
因此 R是 S上的等价关系 。
若 R是 S上的等价关系,S关于 R的商集 S/R是 S的一个划分 。
在例 7.24中,置换群?G,°?导出的 S上的二元关系 R是等价关系 。 S关于 R的商集 S/R=1,2?,?3,4是 S的一个划分,
1,2?和?3,4?都是等价类 。
返回章目录第 7章 群、环和域
7.9环与域
7.9.1环的定义及基本性质定义 7.9.1 设?A,＋,是有两个二元运算的代数系统,满足：
⑴?A,＋?是阿贝尔群 。
⑵?A,是半群 。
⑶ 运算?对运算＋是可分配的,即?a,b,c?A
a?(b＋ c)=(a?b)＋ (a?c) (左分配律 )
(b＋ c)?a=(b?a)＋ (c?a) (右分配律 )
则称代数系统?A,＋,为环 。
为了区别环中的两个运算,通常称＋运算为环中的加法,
运算为环中的乘法 。
设 R是实数集合,＋是实数集合上的普通加法,?是实数集合上的普通乘法 。R,＋?是阿贝尔群,?R,是半群,?对
＋是可分配的 。 于是?R,＋,是环 。 类似地,对于有理数集第 7章 群、环和域合 Q和整数集合 I，代数系统?Q,＋,和?I,＋,也是环。它们分别叫做实数环、有理数环和整数环。
设 Mn(I)是元素为整数的所有 n阶方阵组成的集合,＋是 n
阶方阵的加法,?是 n阶方阵的乘法 。 方阵的加法＋在 Mn(I)是上封闭的,可结合的,n阶零方阵是方阵加法的幺元,每个 n
阶方阵都有加法逆元,方阵的加法是可交换的,所以?Mn(I),
＋?是阿贝尔群；方阵的乘法?在 Mn(I)上是封闭的和可结合的,
所以?Mn(I),是半群,方阵的乘法?对方阵的加法＋是可分配的 。 于是?Mn(I),＋,是环 。
设 A非空集合,P (A)是集合 A的幂集合,∪ 和 ∩是集合的并和交运算,已经证明?P (A),∪?是阿贝尔群,?P (A),∩?是半群,∩对 ∪ 是可分配的 。 所以?P (A),∪,∩?是环 。
设 Nk=?0,1,?,k-1?,＋ k是 Nk上的模 k加法,× k是 Nk上的模 k乘法,前面已经证明?Nk,＋ k?是阿贝尔群,?Nk,× k?是半群,
可以证明 × k对＋ k是可分配的 。 所以?Nk,＋ k,× k?是环,叫做模 k整数环 。
第 7章 群、环和域为了叙述方便，今后将环中加法的单位元记作 0，乘法的单位元记作 1(对于某些环中的乘法不存在单位元 )。对环中的任何元素 x，称 x的加法逆元为负元，记作 –x。若 x存在乘法逆元，则将它称为 x的逆元，记为 x–1。用 x–y表示 x?(–y)。
用 nx表示 。 用 xn表示 。
定理 7.9.1 设?A,＋,是 环,则对任意的 a,b,c?A,下列结论成立：
⑴ a?0=0?a=0
⑵ a?(–b)=(–a)?b =–(a?b)
⑶ (–a)?(–b)=a?b
⑷ a?(b–c)=(a?b)–(a?c)
⑸ (b–c)?a=(b?a)– (c?a)
x
+++
个n
xxx
x
· ··
个n
xxx
第 7章 群、环和域证明,⑴ a?0+0=a?0=a?(0+0)=(a?0)+(a?0)
由消去律得 a?0=0
同理可证 0?a=0
⑵ a?b+a?(–b)=a?(b+(–b))=a?0=0,所以 –(a?b)=a?(–b)
同理可证 –(a?b)=(–a)?b
⑶ a?(–b)+(–a)?(–b)=(a+(–a))?(–b)=0?(–b)=0,所以,
–(a?(–b))=(–a)?(–b)
a?(–b)+a?b = a?((–b)+b)=a?0=0,所以,–(a?(–b))=a?b
于是 (–a)?(–b)=–(a?(–b))=a?b
⑷ a?(b–c)=a?(b+(–c))=(a?b)+(a?(–c))=(a?b)+(–(a?c))
=(a?b)–(a?c)
⑸ (b–c)?a=(b+(–c))?a=(b?a)+((–c)?a)=(b?a)+(–(c?a))
=(b?a)–(c?a)
第 7章 群、环和域
7.9.2几个常见的特殊环以下定义一些常见的特殊环 。
定义 7.9.2 设?A,＋,是环 。
⑴ 如果?A,是可交换的,则称?A,＋,为交换环 。
⑵ 如果?A,含有幺元,则称?A,＋,为含幺环 。
⑶ 如果?a,b?A,a?b=0,必有 a=0或 b=0,则称?A,＋,
为无零因子环 。
定义 7.9.3 设?A,＋,是环 。 如果?A,＋,是交换环,含幺环和无零因子环 。 则称?A,＋,是整环 。
在实数环?R,＋,中,因为实数上的乘法是可交换的,R
中含有乘法幺元 1,?a,b?R,a?b=0,必有 a=0 或 b=0,所以实数环是交换环,含幺环,无零因子环,也是整环 。 类似地,
有理数环?Q,＋,和整数环?I,＋,也是交换环,含幺环,无零因子环和整环 。
在环?Mn(I),＋,中,因为 Mn(I)中含有矩阵乘法幺元 n阶第 7章 群、环和域单位阵，所以它是含幺环，由于矩阵乘法是不可交换的，所以该环不是交换环，也不是无零因子环和整环。
在环?P(A),∪,∩?中,因为交运算可交换的,P(A)中含有交运算的幺元 A,所以它是交换环和含幺环 。 但 P(A)的两个非空元素的交集可能是空集,所以它不是无零因子环和整环 。
在环?Nk,＋ k,× k?中,模 k乘法 × k是可交换的,Nk中含有模 k乘法的幺元 1,所以它是交换环和含幺环 。 当 k=6时,
2× 63=0,所以?N6,＋ 6,× 6?不是无零因子环和整环 。 一般地说,当 k不是素数时,?Nk,＋ k,× k?是交换环和含幺环,但不是无零因子环和整环 。 当 k是质数时,?Nk,＋ k,× k?是交换环和含幺环,也是无零因子环和整环 。
下面给出一个环是无零因子环的充分必要条件 。
定理 7.9.2 设?A,＋,是环,?A,＋,是无零因子环的充分必要条件是环中的乘法适合消去律 。
第 7章 群、环和域即?a,b,c?A,a≠0,每当
a?b=a?c 就有 b=c
b?a=c?a 就有 b=c
证明,设?A,＋,是无零因子环,a≠0和 a?b=a?c
a?(b–c)=a?b–a?c=a?b–a?b=0
由于?A,＋,是无零因子环,a≠0,必有 b–c=0,即 b=c
设环?A,＋,中的乘法适合消去律,a?b=0且 a≠0
a?b=0=a?0
利用乘法的消去律得 b=0,即?A,＋,是无零因子环 。
定义 7.9.4 设 V1=?A,*,°?和 V2=?B,?,◎?是两环,其中 *、
°,?和 ◎ 都是二元运算 。?a1,b1a× B和a2,b2A× B，
定义 A× B上的二元运算?和 □ 为：
a1,b1a2,b2?=?a1*a2,b1?b2?
a1,b1?□?a2,b2?=?a1°a2,b1◎ b2?
代数系统 V1× V2=?A× B,?,□?称为环 V1到环 V2的直积 。
第 7章 群、环和域根据定理 6.3.1,?A× B,是阿贝尔群,?A× B,□?是半群,可以证明运算 □ 对运算?满足分配律 。 所以代数系统
V1× V2是环 。
如果 V1和 V2是可换环,由定理 6.3.1,代数系统 V1× V2也是可换环 。 同样,如果 V1和 V2是含幺环,代数系统 V1× V2也是含幺环 。
7.9.3子环定义 7.9.5 设?A,＋,是环,S是 A的非空子集 。 如果?S,＋,
也构成环,则称?S,＋,是环?A,＋,的子环 。 如果?S,＋,
是?A,＋,的子环,并且 S?A,则称?S,＋,是?A,＋,的真子环 。
显然,有理数环?Q,＋,和整数环?I,＋,是实数环?R,
＋,的子环,且是真子环 。
根据子群和子半群的判定定理可得到子环的判定定理 。
第 7章 群、环和域定理 7.9.3 设?A,＋,是环,S是 A的非空子集 。 如果
⑴?a,b?S,a–b?S
⑵?a,b?S,a?b?S
则?S,＋,是?A,＋,的子环 。
证明,由定理 7.3.3和 ⑴,?S,＋?是?A,＋?的 子群,因而
S,＋?是群 。 因为?A,＋?是 Abel群,故?S,＋?也是 Abel群 。
根据定理 7.1.1和 ⑵,?S,是?A,子半群,因而?S,是半群 。
乘法?对加法＋的分配律在 S中也成立 。
所以,?S,＋,是环,因而?S,＋,是?A,＋,的子环 。
第 7章 群、环和域
7.9.4域定义 7.9.6 设?A,＋,是代数系统,满足：
⑴?A,＋?是阿贝尔群 。
⑵?A–?0?,是阿贝尔群 。
⑶ 运算?对运算＋是可分配的 。
则称代数系?A,＋,是域 。
例如,在实数环?R,＋,中,?R,＋?是阿贝尔群 。 运算?
在集合 R–?0?上封闭,满足结合律和交换律,集合 R–?0?中有乘法幺元 1,?x?R–?0?,x–1=?R–?0?,代数系统?R–
0?,也是阿贝尔群 。 所以,?R,＋,是域,叫实数域 。 有理数环?Q,＋,也是域,叫有理数域 。
因为?I–?0?,不是群,所以整数环?I,＋,不是域 。
整环和域有下列的关系 。
第 7章 群、环和域定理 7.9.4 域一定是整环 。
证明,设代数系统?A,＋,是域,下证?A,＋,是整环 。
因为?A,＋?是群,加法幺元 0?A
a,b?A,如果 a≠0 且 b≠0,即 a,b?A–?0?,因为? A–
0?,是群,a?b?A–?0?,故 a?b?A。 如果 a=0或 b=0,由定理
7.9.1⑴ 知 a?b=0?A。 所以乘法?在 A上封闭 。
a,b,c?A,如果 a,b,c?A–?0?,因为?A–?0?,是群,故
(a?b)?c=a?(b?c)。 如果 a,b,c中有一个为 0,则 (a?b)?c=0=a?(b?c)。
所以乘法?在 a上满足结合律 。 即?A,是半群 。
乘法?的幺元 1?A–?0A,即 1?A。 即?A,是含幺半群 。
a,b?A,a?b=0,如果 a≠0且 b≠0,因为?A–?0?,是群,
a?b?A–?0?,即 a?b≠0,矛盾,所以,a=0 或 b=0,即?A,中无零因子 。
这就证明了?A,＋,是整环 。
第 7章 群、环和域例如,实数域?R,＋,和有理数域?Q,＋,都是整环 。
定理 7.9.5 有限整环一定是域 。
证明,设代数系统?A,＋,是有限整环,证明?A,＋,是域 。 即证明?A–?0?,是阿贝尔群 。
因为?A,＋?是群,加法幺元 0?A
a,b?A–?0?,a,b?A,a≠0且 b≠0,因为?A,＋,是无零因子环,所以 a?b≠0且 a?b?A,即 a?b?A–?0?。 乘法运算?在 A–
0?上封闭 。
由于?A,是半群,乘法运算?在 A上满足结合律 。 而 A–
0A,所以乘法运算?在 A–?0?上也满足结合律 。
第 7章 群、环和域因为?A,是含幺半群,A中必有幺元,由定理 7.9.1⑴ 得
a?A,a?0=0?a=0,故 0不是乘法的幺元 。 所以 A–?0?中一定有乘法的幺元 。
乘法运算?在 A–?0?上可交换是显然的 。
以下证明 A–?0?中的每一个元素都存在逆元 。
令 A–?0?=?e,a1,a2,?,an?,e乘法幺元 。ai?A–?0?,考察以下的 n+1个元素,ai?e,ai?a1,ai?a2,?,ai?an。 由于乘法运算
的封闭性,ai?e,ai?a1,ai?a2,?,ai?an都属于 A–?0?,又由于 A–
0?中无零因子,乘法运算?满足消去律,所以这 n+1个元素是互不相同的,即 A–?0?=? ai?e,ai?a1,ai?a2,?,ai?an?,因此必有 ai?ak=e,由于?在 A–?0?上是可交换的,所以有 ak?ai=e,于是 ai的逆元为 ak?A–?0?
所以?A–?0?,是阿贝尔群 。
第 7章 群、环和域
7.9.5环和域的同态定义 7.9.7设 V1=?A,*,°?和 V2=?B,?,◎?是两环,其中 *,°、
和 ◎ 都是二元运算 。 f是从 A到 B的一个映射,使得对任意的
a,b?A有
f(a*b)=f(a)?f(b)
f(a°b)=f(a)◎ f(b)
则称 f是环 V1到环 V2的同态映射 。 如果 f是单射,满射和双射,
分别称 f是单同态,满同态和同构 。 称?f(A),?,◎?是?A,*,°?的同态像 。
【 例 7.26】 设?I,＋,是整数环,其中,I是整数集,＋和
是整数集上的普通加法和乘法 。 设?N2,＋ 2,× 2?是模 2整数环,
其中,N2=?0,1?,＋ 2是模 2加法,× 2是模 2乘法 。 设 f,I→ N2，
定义为
f (x) =
为奇数为偶数
x
x
1
0
第 7章 群、环和域证明 f是?I,＋,到?N2,＋ 2,× 2?的同态,求出?I,＋,的同态像 。
证明,?x,y?I,用与例 7.12类似的方法容易证明 f(x＋ y)
=f(x)＋ 2f(y)
以下证明 f(x?y)=f(x)× 2f(y)
如果 x和 y都能被 2整除,则 x?y也能被 2整除,这时
f(x?y)=0=0× 20=f(x)× 2f(y)
如果 x和 y都不能被 2整除,则 x?y也不能被 2整除,这时
f(x?y)=1=1× 21=f(x)× 2f(y)
如果 x和 y中仅有一个能被 2整除,则 x?y能被 2整除,这时
f(x?y)=0=0× 21=f(x)× 2f(y) 或
f(x?y)=0=1× 20=f(x)× 2f(y)
所以 f是?I,＋,到?N2,＋ 2,× 2?的同态 。 显然?I,＋,的同态像?f(I),＋ 2,× 2?就是?N2,＋ 2,× 2?
第 7章 群、环和域定理 7.9.6 任何环的同态像是环。
证明,设?A,*,°?是环,?B,?,◎?是?A,*,°?在同态映射 f
下的同态像。
由定理 7.6.2知?B,是阿贝尔群,?B,◎?半群 。
a,b,c?B,?a1,b1,c1?A,使得 f(a1)=a,f(b1)=b,f(c1)=c。
a◎ (b?c)=f(a1)◎ (f(b1)?f(c1))=f(a1)◎ f(b1*c1)
=f(a1°(b1* c1))=f((a1°b1)*(a1°c1))
=f(a1°b1)?f(a1°c1))=(f(a1)◎ f(b1))?(f(a1)◎ f(c1))
=(a◎ b)?( a◎ c)
同理可证 (b?c)◎ a=(b◎ a)?(c◎ a)
所以?B,?,◎?是环 。
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