1
第 4 章 正弦稳电路分析
4.3 基本元件 VAR相量形式和 KCL,KVL相量形式
4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳
4.2 正弦量的相量表示法
4.1 正 弦 量 的 基 本 概 念
4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率
4.6 正弦稳态电路中的中的 最 大 功 率 传 输返回
2
学 习 目 标
正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。
正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。
深刻理解正弦量的相量表示法。
深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。
正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。
能进行对称三相电路的计算。
3
4.1 正弦量的基本概念
4.1.1 正弦量的三要素若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。
以电流为例,正弦量的一般解析式为：
)s in ()( im tIti
波形如图 4-1所示图 4-1 正弦量的波形
4
图中 Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当 t=0时的相位 叫初相位，简称初相； ω叫正弦量的角频率。
因为正弦量每经历一个周期的时间 T,相位增加 2π,则角频率 ω,周期 T和频率?之间关系为：
fTfT
122 即
ω,T,?反映的都是正弦量变化的快慢,ω
越大，即?越大或 T越小，正弦量变化越快； ω越小，即?越小或 T越大，正弦量变化越慢。
把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。
t?
只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。
、、mI
5
用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负 T/2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于,且波形起点在原点左侧 ；反之 。
0 0
如图 4-2 所示,初相分别为 0,662、、
由图可见，初相为正值的正弦量，在 t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正弦量，在 t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。
6图 4-2
7
)s in ()(
)s in ()(
222
111
im
im
tIti
tIti
212112
2121
)()(
,),()(
iiiii
iiii
tt
tt
而把、初相各为、它们的相位各为
4.1.2,同频率正弦量的相位差设有两个同频率的正弦量为叫做它们的相位差 。 正弦量的相位是随时间变化的,但同频率的正弦量的相位差不变,等于它们的初相之差 。
初相相等的两个正弦量,它们的相位差为零
,这样的两个正弦量叫做同相 。 同相的正弦量同时达到零值,同时达到最大值,步调一致 。
两个正弦量的初相不等,相位差就不为零,不同时达到最大值,步调不一致,
1i2
8
如果,则表示 i1超前 i2 ;如果
，则表示 i1滞后 i2,如果,则两个正弦量正交；如果,则两个正弦量反相。12 2
12
012
012
同频率正弦量的相位差,不随时间变化,
与计时起点的选择无关 。 为了分析问题的方便
,在一些有关的同频率正弦量中,可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考,其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较,
即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差 。 在 n个正弦量中,只能选择一个为参考正弦量 。
如图 4-3（ a）,（ b）,（ c）,（ d） 分别表示两个正弦量同相,超前,正交,反相 。
9图 4 -3 i1与 i2同相、超前、正较、反相
10
4.1.3 正弦电流、电压的有效值
1,有效值周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量,分别作用于同一电阻,如果经过一个周期的时间产生相等的热量,则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小 。 电流,电压有效值用大写字母 I,U表示 。
根据有效值的定义，则有
RTR d t IiT 20 2
则周期电流的有效值为
T dtTI i0 21
11
2、正弦量的有效值
)s in ()( im tIti对于正弦电流,设
I
I
m
m
m
Tm
T
i
m
T
i
mT
I
I
t
T
I
dtt
T
I
dttI
70 7.0
2
2
2
)](2c o s1[
2
)(
2
0
2
0
2
0
22
1
s i n
同理
mm UUU 707.02
1
12
4.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法
4.2.1 复数的运算规律
22222
11111
rjbaA
rjbaA
复数的加减运算规律 。 两个复数相加 （ 或相减 ） 时,
将实部与实部相加 （ 或相减 ）,虚部与虚部相加 （ 或相减 ） 。 如：
相加,减的结果为：
A1± A2=（ a1+jb1） ± (a2+jb2)=(a1± a2)+j(b1± b2)
复数乘除运算规律：两个复数相乘,将模相乘,辐角相加；两个复数相除,将模相除,辐角相减 。
如：
13
2121
)(
212121 2121
rrerrererAA jjj
21
2
1
2
1
2
1
2
1
r
r
er
er
j
j
A
A
因为通常规定：逆时针的辐角为正,顺时针的辐角为负,则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量 。
特别地,复数 的模为 1,辐角为 。 把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角 。
je?
je
je
14
4.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示设有一复数它和一般的复数不同,它不仅是复数,而且辐角还是时间的函数,称为复指数函数 。 因为
)()( tjeAtA
tjtjjtj AeeeAeAtA )()(由于
)s i n ()c o s ()( )( tAjtAeAtA tj
可见 A(t)的虚部为正弦函数 。 这样就建立了正弦量和复数之间的关系 。 为用复数表示正弦信号找到了途径 。
tj
mm
tj
m
tjj
m
ttj
mu
eUIeUI
eUeI
UeItUtu
u
u
..
)(
2
2
]2[)s i n (2)(
15
式中同理
..,2 UUUeU
mj u 或?
..,2 IIIeI
mj i 或?
把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。
mUU
.,和例 已知 u1=141sin(ωt+60o)V,u 2 =70.7sin(ωt-45o)V 。
求：⑴ 求相量 ； (2) 求两电压之和的瞬时值 u(t)
（ 3） 画出相量图
。和
2
.
1 UU
VjeU
VjeU
j
j
)35.3535.35(504550
42
7.70
)6.8650(10 06010 0
32
14 1
45
2
60
1
＝＝＝
解（ 1）
16
Vttu
e
jjUUU
j
)31s i n (255.99)(
55.993155.99
)35.3535.35()6.8650(
31
21
（ 2）
（ 3） 相量图如图 4-4所示图 4-4
17
4.3 基本元件 VAR相量形式和 KCL,KVL相量形式
4.3.1 基本元件 VAR的相量形式在交流电路中,电压和电流是变动的,是时间的函数
。 电路元件不仅有耗能元件的电阻,而且有储能元件电感和电容 。 下面分别讨论它们的伏安关系式 （ 即 VAR）
的相量形式 。
1,电阻元件根据欧姆定律得到
Riu?
)s i n (2)s i n (2 iu tRItU
上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的,相量,波形图如图 4-5所示 。
18
其相量关系为：
iu IIUU
IRU
IRU
,
22
其中即图 4-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图
19
2,电容元件电容元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.,UCjI
将上式改写为：
90
1
90
ui
C
uui
IXI
CC
I
UCUI
CUCUjI
或即
I
通常把 XC= 定义为电容的容抗。
电容元件上，电流振幅为电压振幅的 ωC倍 。
C?
1
20图 4-6 电容元件的波形、相量图以上表明电容电流超前电容电压 90°，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图 4-6所示。
21
3、电感元件电感元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.,ILjU
由上式可得 U= ωLI =XLI
90iu
上式表明电感上电流滞后电压为 90° 。
通常把 XL=ωL定义为电感元件的感抗,它是电压有效值与电流有效值的比值即 XL=ωL。 对于一定的电感 L,当频率越高时,其所呈现的抗感越大,反之越小 。 在直流情况下,频率为零,
XL=0,电感相当于短路 。
22
图 4-7 电感元件的波形、相量图电感元件的波形、相量图如图 4-7所示。可以看出，电感上电流滞后电压为 90°。
23
4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳
4.4.1 复阻抗 设由 R,L,C串联组成无源二端电路。如图 4-
8所示，流过各元件的电流都为 I,各元件上电压分别为 uR(t),uL(t),uC(t),端口电压为 u (t)。
iu
图 4-8
24
因为 u (t)= uR(t)+u L(t)+ uC(t)
u
tj
CLRm
tj
Cm
tj
Lm
tj
Rm
tj
m
eUUUI
eUIeUIeUIeUI
2
)2()2()2()2(
即所以
ZI
jXRI
XXjRI
jXIjXIRIUUUU
CL
CLCLR
)(
)]([
)()(
Z
UI ＝即：
25
jXReZe
I
U
I
UZ
Ziu jj
)(
上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律 。 Z为该无源二端电路的复阻抗 （ 或阻抗 ）,它等于端口电压相量与端口电流相量之比,当频率一定时,
阻抗 Z是一个复常数,可表示为指数型或代数型,
即：
式中 ∣ Z∣ 称为阻抗的模，其中 X=XL-XC称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角，即
22 XR
I
UZ
Z?
R
XXa r c t g
R
Xa r c t g CL
iuZ
26
4.4.2 复导纳对于如图 4-9
所示 R,L,C
并联电路,根据相量形式得
KCL,得到：
CLR IIII
UY
UjBG
UBBjG
UjBUjBUG
UjBUjBUGI
CL
CL
CCLLR
][
)]([
)(
)(
图 4-9 RLC并联电路
27
zuiY
m
m
jj
j
j
ZU
I
U
I
Y
eYe
U
I
Ue
Ie
U
I
Y
Yui
u
i
,
1
.
)(
＝＝所以由于
Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。
∣ Y∣ 称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。
称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相位差，它也等于负的阻抗角。
y?
28
4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率
4.5.1 R,L,C元件的功率和能量
1,电阻元件的功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为 pR(t)= u(t)I(t)
设流过电阻元件的电流为
IR (t)=Im sinωt A
其电阻两端电压为
uR(t)=Im R sinωt =Umsinωt V
则瞬时功率为
29
pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt
=URIR（ 1-cos2ωt） W
由于 cos2ωt≤1,故此
pR（ t） =URIR（ 1-cos2ωt） ≥0
其瞬时功率的波形图如 4-10
所示。由图可见，
电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且 pR（ t）
≥0,说明电阻元件是耗能元件。
图 4-10 电阻元件的瞬时功率
30
电阻的平均功率
R
U
RIIU
dttIUIU
T
dttp
T
P
RRR
T
RRRR
T
R
2
2
00
2c o s
1
)(
1
可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。
2,电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为则电感电压为：
VtU
VtXItu
L
LLL
)
2
s in (2
)
2
s in (2)(
tAIti LL?s in2?
31
其瞬时功率为
tIU
ttIU
titutp
LL
LL
LLL
2s i n
s i n)
2
s i n (2
)()()(
上式表明,
电 感 元 件 的瞬 时 功 率 也是 以 两 倍 于电 压 的 频 率变 化 的 ； 且
pL(t)的值可正可负,其波形图如图 4-11
所示 。 图 4-11 电感元件的瞬时功率
32
02s i n1)(1
00
t d tIUTdttpTp LT LT LL?
从图上看出，当 uL(t),iL(t)都为正值时或都为负值时,pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当 pL(t) 为负时，
电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，
说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。
电感消耗的平均功率为：
电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。
33
tAIti cc?s in2)(?
VtU
VtXItu
C
ccc
)
2
s i n (2
)
2
s i n (2)(
3,电容元件的功率在电压,电流为关联参考方向下,设流过电容元件的电流为,
则电容电压为,
其瞬时功率为：
tIU
ttIUtitutp
cc
ccccc
2s i n
s i n)
2
s i n (2)()()(
34
uc(t),Ic(t),pc(t)的波形如图 4-12所示 。
Cui
图 4-12 电容元件的瞬时功率
35
从图上看出,pc(t),与 pL(t)波形图相似,电容元件只与外界交换能量而不消耗能量 。
电容的平均功率也为零，即：
T ccTc dttIUTdttpTp 00 0)2s i n(1)(1?
电感元件以磁场能量与外界进行能量交换,
电容元件是以电场能量与外界进行能量交换 。
36
4.5.2 二端电路的功率
1.瞬时功率在图 4-13所示二端电路中,设电流 i(t)及端口电压 u(t)在关联参考方向下,分别为：
iu
VtUtu
tAIti
u )s in (2)(
s in2)(
则二端电路的瞬时功率为：
图 4-13
)2c o s (c o s
)]2c o s ([ c o s
s i n2)s i n (2)()()(
uu
uu
u
tUIUI
tUI
tItUtitutp
37
上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，
第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图 4-14所示。
图 4-14 二端 RLC电路的瞬时功率
38
从图上看出,u(t)或 i(t)为零时,p(t)为零；当二者同号时,p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时,p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。
2,有功功率（也叫平均功率）和功率因素
Z
T
uu
T
UI
dttUIUI
T
dttp
T
p
c os
)]2c os (c os[
1
)(
1
0
0
39
式中 称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差,也叫功率因素角。
Z?cos
Z?
4.5.3 无功功率、视在功率和复功率无功功率用 Q表示，定义
ZUIQ?s in?
通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率,用 S表示,即
S=UI
Z?
40
P,Q,S之间存在如下关系
P
Q
ar c t g
UIQPS
SUIQ
SUIP
Z
ZZ
ZZ
22
s i ns i n
c o sc o s
工程上为了计算方便,把有功功率作为实部,
无功功率作为虚部,组成复数,称为复功率,
用 表示复功率,即
=P+jQ
~S
~S
41
4.6 正弦稳态电路的最大功率传输如图 4-15所示，交流电源的电压为,其内阻抗为 Zs=Rs+jxs,负载阻抗 ZL=RL+jXL,电路中电流为：
SU
2)()(
LsLs
S
Ls
S
XXjRR
U
ZZ
UI
电流有效值为：
图 5-15
22 )()(
LsLs
s
XXRR
UI
42
负载吸收的功率为：
L
LsLs
s
LL RXXRR
URIP
22
2
2
)()(
0
)(
)(2)(
4
2
2?
Ls
LLsLs
s
L
L
RR
RRRRRU
dR
dP
要求出 PL的最大值为此需求出 PL对 RL的导数，并使之为零，即：
由上式得到,（ RS+RL)2-2RL(RS+RL） =0
解得,RL=RS
43
负载获取最大功率的条件为：
*
SL
SL
SL
ZZ
RR
XX
即上式表明，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。此时最大功率为：
S
Sm
S
S
L R
U
R
UP
42
1
4
22
m a x
44
4.7 三相电路
4.7.1 三相电路的基本概念三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合,且单相交流电源的频率相等,
幅值 （ 最大值 ） 相等,相位彼此相差 120° 。
设第一相初相为 0°,第二相为 -120°,第三相为 120°,所以瞬时电动势为：
e1=Emsinωt
e2=Emsin（ ωt-120° ）
e3=Emsin（ ωt+120° ）
这样的电动势叫对称三相电动势。其相量图和波形图见图 4-16。
45
图 4-16 三相电源对称三相电动势相量和为零,即：
=0
由波形图可知,三相电动势对称时任一瞬间的代数和为零,即：
e1+e2+e3=0
321 EEE
46
4.7.2 三相电源的连接将三相电源按一定方式连接之后，
再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图 4-17所示。
低压配电系统中,
采用三根相线和一根中线输电,称为三相四线制；高压输电工程中,由三根相线组成输电,
称为三相三线制 。
每相绕组始端与图 4-17 星形连接末端之间的电压,也就是相线和中线之间的电压,
叫相电压,其瞬时值用 u1、
u2,u3表示,通用 up表示 。
47
任意两相线与相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用 u12,u23,u31表示，通用 ul表示。
由于 u12=u1-u2
u23=u2-u3
u31=u3-u1
其次，作出线电压和相电压的相量图，如图 4-18
所示。
图 4-18 星形连接线电压相电压的相量图由于 构成等腰三角形，所以
1221 UUU,、
48
所以同理
01.001.12,30330c o s302 UUU
0
3
.
31
.
0
2
.
23
.
303
303
UU
UU
一般写为
0.,303 pl UU
作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的 倍，且线电压相位比对应的相电压超前 30°。
3
49
4.7.3 三相负载的星形连接三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。
１,负载的星形连接如图 4-19所示是三相负载作星形莲接时的电路图 。
图 4-19 三相负载的星形连接
50
显然,在负载星形连接时,线电流等于相电流,即若三相负载对称,即 Z1=Z2=Z3=Zp,因各相电压对称,所以各相电流相等,即：
I1=I2=I3=IYP=
YPYl II?
P
YP
Z
U
由基尔霍夫电流定律知同时,三个相电流的相位差互为 120°,满足
00 321321 iiiIII 或
321 iiii N
51
略去电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，电源的线电压为负载相电压的 倍，即：3
YPl UU 3?
UYP为星形联接负载相电压。
三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，
即 I1,I2,I3,用表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用 IYP表示，
其方向与相电压方向一致；流过中线的电流叫中线电流，用 IN表示，其方向规定由负载中点 N/
流向电源中点 N。
YlI
52
这样,对称的三相负载作星形联接时,中线电流为零 。 这时,可以省略中线而成为三相三线制,并不影响电路工作 。
如果三相负载不对称,各相电流大小就不相等,相位差也不一定是 120°,中线电流不为零,此时就不能省去中线 。 否则会影响电路正常工作,甚至造成事故 。 所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外,中线上不准安装熔丝和开关 。
53
4.7.4 负载的三角形连接如图 4-20所示，将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间，称为三相负载的三角形连接。
不论负载对称与否，各相负载承受的电压均为对称的电源线电压。
图 4-20 三相负载的三角形连接
54
对于对称三相负载,相电压等于线电压,即
Lp UU P
P
P Z
UI?
同时,各相电压与各相电流的相位差也相同 。
即三相电流的相位差也互为 120° 。 各相电流的方向与该相的电压方向一致 。
由 KCL知
23313
12232
13121
iii
iii
iii
作出线电流和相电流的相量，如图 4-21所示。
相电流：
55
图 4-21三角形连接线电流和相电流的相量图从图中看出：各线电流在相位上比各相电流滞后 30°。
由于相电流对称，所以线电流也对称，各线电流之间相差
120°。
可以看出
Il=2I12cos30=
12
12 3
2
32 II?
56
所以
pL II 3
这些说明：对称三相负载呈三角形连接时,线电流的有效值为相电流有效值的 倍,线电流在相位上滞后于相电流 30° 。
3
4.7.3 三相电路的功率三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总和：
P=P1+P2+P3
Q=Q1+Q2+Q3
S=S1+S2+S3
当三相负载对称时，各相功率相等，总功率为一相功率的三倍。
57
通常,相电压和相电流不易测量,计算三相电路的功率时,是通过线电压和线电流来计算 。 不论负载作星形连接还是三角形连接,总的有功功率,无功功率和视在功率,计算三相负载总功率的公式是相同的,即：
ll
Zll
Zll
IUS
IUQ
IUP
3
s in3
c o s3
即：
ppp
Zppp
Zppp
IUSS
IUQQ
IUPP
33
s in33
c o s33
58
本 章 小 结本章的主要内容章有：正弦交流电路的基本概念及其分析计算,三相电路的分析计算 。
在学习正弦交流电路的基础上,重点解决四个问题：
1,利用复数概念,将正弦量用复数表示,使正弦交流电路的分析计算,化为相量运算 。
2,阻抗或导纳虽然不是正弦量,也能用复数表示,从而归结出相量形式的欧姆定律与基尔霍夫定律 。 以此为依据,使一切简单或复杂的直流电路的规律,原理,定理和方法都能适用于交流电路 。
3,交流电路的分析计算除了数值上的问题,还有相位问题 。
59
,4,三相电路是交流复杂电路的一种特殊形式,它的分析计算的依据仍然是基尔霍夫两条定律 。 特殊性在于三相电动势是对称的,因而电源和负载都有三角形和星形两种接法 。 我们只讨论了对称三相电路的计算 。
第 4 章 正弦稳电路分析
4.3 基本元件 VAR相量形式和 KCL,KVL相量形式
4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳
4.2 正弦量的相量表示法
4.1 正 弦 量 的 基 本 概 念
4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率
4.6 正弦稳态电路中的中的 最 大 功 率 传 输返回
2
学 习 目 标
正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。
正确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。
深刻理解正弦量的相量表示法。
深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。
正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。
能进行对称三相电路的计算。
3
4.1 正弦量的基本概念
4.1.1 正弦量的三要素若电压、电流是时间 t 的正弦函数，称为正弦交流电。
以电流为例,正弦量的一般解析式为：
)s in ()( im tIti
波形如图 4-1所示图 4-1 正弦量的波形
4
图中 Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量的相位，当 t=0时的相位 叫初相位，简称初相； ω叫正弦量的角频率。
因为正弦量每经历一个周期的时间 T,相位增加 2π,则角频率 ω,周期 T和频率?之间关系为：
fTfT
122 即
ω,T,?反映的都是正弦量变化的快慢,ω
越大，即?越大或 T越小，正弦量变化越快； ω越小，即?越小或 T越大，正弦量变化越慢。
把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。
t?
只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。
、、mI
5
用正弦函数表示正弦波形时，把波形图上原点前后正负 T/2内曲线由负变正经过零值的那一点作为正弦波的起点。初相角就是波形起点到坐标原点的角度，于是初相角不大于,且波形起点在原点左侧 ；反之 。
0 0
如图 4-2 所示,初相分别为 0,662、、
由图可见，初相为正值的正弦量，在 t=0时的值为正，起点在坐标原点之左；初相为负值后正弦量，在 t=0时的值为负，起点在坐标原点之右。
6图 4-2
7
)s in ()(
)s in ()(
222
111
im
im
tIti
tIti
212112
2121
)()(
,),()(
iiiii
iiii
tt
tt
而把、初相各为、它们的相位各为
4.1.2,同频率正弦量的相位差设有两个同频率的正弦量为叫做它们的相位差 。 正弦量的相位是随时间变化的,但同频率的正弦量的相位差不变,等于它们的初相之差 。
初相相等的两个正弦量,它们的相位差为零
,这样的两个正弦量叫做同相 。 同相的正弦量同时达到零值,同时达到最大值,步调一致 。
两个正弦量的初相不等,相位差就不为零,不同时达到最大值,步调不一致,
1i2
8
如果,则表示 i1超前 i2 ;如果
，则表示 i1滞后 i2,如果,则两个正弦量正交；如果,则两个正弦量反相。12 2
12
012
012
同频率正弦量的相位差,不随时间变化,
与计时起点的选择无关 。 为了分析问题的方便
,在一些有关的同频率正弦量中,可以选择其中的一个初相为零的正弦量为参考,其他正弦量的初相必须与这个参考正弦量的初相比较,
即以其他正弦量的初相等于它们和参考正弦量之间的相位差 。 在 n个正弦量中,只能选择一个为参考正弦量 。
如图 4-3（ a）,（ b）,（ c）,（ d） 分别表示两个正弦量同相,超前,正交,反相 。
9图 4 -3 i1与 i2同相、超前、正较、反相
10
4.1.3 正弦电流、电压的有效值
1,有效值周期量的有效值定义为：一个周期量和一个直流量,分别作用于同一电阻,如果经过一个周期的时间产生相等的热量,则这个周期量的有效值等于这个直流量的大小 。 电流,电压有效值用大写字母 I,U表示 。
根据有效值的定义，则有
RTR d t IiT 20 2
则周期电流的有效值为
T dtTI i0 21
11
2、正弦量的有效值
)s in ()( im tIti对于正弦电流,设
I
I
m
m
m
Tm
T
i
m
T
i
mT
I
I
t
T
I
dtt
T
I
dttI
70 7.0
2
2
2
)](2c o s1[
2
)(
2
0
2
0
2
0
22
1
s i n
同理
mm UUU 707.02
1
12
4.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法
4.2.1 复数的运算规律
22222
11111
rjbaA
rjbaA
复数的加减运算规律 。 两个复数相加 （ 或相减 ） 时,
将实部与实部相加 （ 或相减 ）,虚部与虚部相加 （ 或相减 ） 。 如：
相加,减的结果为：
A1± A2=（ a1+jb1） ± (a2+jb2)=(a1± a2)+j(b1± b2)
复数乘除运算规律：两个复数相乘,将模相乘,辐角相加；两个复数相除,将模相除,辐角相减 。
如：
13
2121
)(
212121 2121
rrerrererAA jjj
21
2
1
2
1
2
1
2
1
r
r
er
er
j
j
A
A
因为通常规定：逆时针的辐角为正,顺时针的辐角为负,则复数相乘相当于逆时针旋转矢量；复数相除相当于顺时针旋转矢量 。
特别地,复数 的模为 1,辐角为 。 把一个复数乘以 就相当于把此复数对应的矢量反时针方向旋转 角 。
je?
je
je
14
4.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示设有一复数它和一般的复数不同,它不仅是复数,而且辐角还是时间的函数,称为复指数函数 。 因为
)()( tjeAtA
tjtjjtj AeeeAeAtA )()(由于
)s i n ()c o s ()( )( tAjtAeAtA tj
可见 A(t)的虚部为正弦函数 。 这样就建立了正弦量和复数之间的关系 。 为用复数表示正弦信号找到了途径 。
tj
mm
tj
m
tjj
m
ttj
mu
eUIeUI
eUeI
UeItUtu
u
u
..
)(
2
2
]2[)s i n (2)(
15
式中同理
..,2 UUUeU
mj u 或?
..,2 IIIeI
mj i 或?
把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。
mUU
.,和例 已知 u1=141sin(ωt+60o)V,u 2 =70.7sin(ωt-45o)V 。
求：⑴ 求相量 ； (2) 求两电压之和的瞬时值 u(t)
（ 3） 画出相量图
。和
2
.
1 UU
VjeU
VjeU
j
j
)35.3535.35(504550
42
7.70
)6.8650(10 06010 0
32
14 1
45
2
60
1
＝＝＝
解（ 1）
16
Vttu
e
jjUUU
j
)31s i n (255.99)(
55.993155.99
)35.3535.35()6.8650(
31
21
（ 2）
（ 3） 相量图如图 4-4所示图 4-4
17
4.3 基本元件 VAR相量形式和 KCL,KVL相量形式
4.3.1 基本元件 VAR的相量形式在交流电路中,电压和电流是变动的,是时间的函数
。 电路元件不仅有耗能元件的电阻,而且有储能元件电感和电容 。 下面分别讨论它们的伏安关系式 （ 即 VAR）
的相量形式 。
1,电阻元件根据欧姆定律得到
Riu?
)s i n (2)s i n (2 iu tRItU
上式表明电阻两端的正弦电压和流过的正弦电流是同相的,相量,波形图如图 4-5所示 。
18
其相量关系为：
iu IIUU
IRU
IRU
,
22
其中即图 4-5 电阻元件的电压、电流相量及波形图
19
2,电容元件电容元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.,UCjI
将上式改写为：
90
1
90
ui
C
uui
IXI
CC
I
UCUI
CUCUjI
或即
I
通常把 XC= 定义为电容的容抗。
电容元件上，电流振幅为电压振幅的 ωC倍 。
C?
1
20图 4-6 电容元件的波形、相量图以上表明电容电流超前电容电压 90°，可以用相量图或波形图清楚地说明。如图 4-6所示。
21
3、电感元件电感元件上电压、电流之间的相量关系式为：
.,ILjU
由上式可得 U= ωLI =XLI
90iu
上式表明电感上电流滞后电压为 90° 。
通常把 XL=ωL定义为电感元件的感抗,它是电压有效值与电流有效值的比值即 XL=ωL。 对于一定的电感 L,当频率越高时,其所呈现的抗感越大,反之越小 。 在直流情况下,频率为零,
XL=0,电感相当于短路 。
22
图 4-7 电感元件的波形、相量图电感元件的波形、相量图如图 4-7所示。可以看出，电感上电流滞后电压为 90°。
23
4.4 复 阻 抗 与 复 导 纳
4.4.1 复阻抗 设由 R,L,C串联组成无源二端电路。如图 4-
8所示，流过各元件的电流都为 I,各元件上电压分别为 uR(t),uL(t),uC(t),端口电压为 u (t)。
iu
图 4-8
24
因为 u (t)= uR(t)+u L(t)+ uC(t)
u
tj
CLRm
tj
Cm
tj
Lm
tj
Rm
tj
m
eUUUI
eUIeUIeUIeUI
2
)2()2()2()2(
即所以
ZI
jXRI
XXjRI
jXIjXIRIUUUU
CL
CLCLR
)(
)]([
)()(
Z
UI ＝即：
25
jXReZe
I
U
I
UZ
Ziu jj
)(
上式是正弦稳态电路相量形式的欧姆定律 。 Z为该无源二端电路的复阻抗 （ 或阻抗 ）,它等于端口电压相量与端口电流相量之比,当频率一定时,
阻抗 Z是一个复常数,可表示为指数型或代数型,
即：
式中 ∣ Z∣ 称为阻抗的模，其中 X=XL-XC称为电抗，电抗和阻抗的单位都是欧姆。 称为阻抗角，它等于电压超前电流的相位角，即
22 XR
I
UZ
Z?
R
XXa r c t g
R
Xa r c t g CL
iuZ
26
4.4.2 复导纳对于如图 4-9
所示 R,L,C
并联电路,根据相量形式得
KCL,得到：
CLR IIII
UY
UjBG
UBBjG
UjBUjBUG
UjBUjBUGI
CL
CL
CCLLR
][
)]([
)(
)(
图 4-9 RLC并联电路
27
zuiY
m
m
jj
j
j
ZU
I
U
I
Y
eYe
U
I
Ue
Ie
U
I
Y
Yui
u
i
,
1
.
)(
＝＝所以由于
Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。
∣ Y∣ 称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。
称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相位差，它也等于负的阻抗角。
y?
28
4.5 正 弦 稳 态 中 的 功 率
4.5.1 R,L,C元件的功率和能量
1,电阻元件的功率设正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为 pR(t)= u(t)I(t)
设流过电阻元件的电流为
IR (t)=Im sinωt A
其电阻两端电压为
uR(t)=Im R sinωt =Umsinωt V
则瞬时功率为
29
pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2ωt
=URIR（ 1-cos2ωt） W
由于 cos2ωt≤1,故此
pR（ t） =URIR（ 1-cos2ωt） ≥0
其瞬时功率的波形图如 4-10
所示。由图可见，
电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且 pR（ t）
≥0,说明电阻元件是耗能元件。
图 4-10 电阻元件的瞬时功率
30
电阻的平均功率
R
U
RIIU
dttIUIU
T
dttp
T
P
RRR
T
RRRR
T
R
2
2
00
2c o s
1
)(
1
可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。
2,电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为则电感电压为：
VtU
VtXItu
L
LLL
)
2
s in (2
)
2
s in (2)(
tAIti LL?s in2?
31
其瞬时功率为
tIU
ttIU
titutp
LL
LL
LLL
2s i n
s i n)
2
s i n (2
)()()(
上式表明,
电 感 元 件 的瞬 时 功 率 也是 以 两 倍 于电 压 的 频 率变 化 的 ； 且
pL(t)的值可正可负,其波形图如图 4-11
所示 。 图 4-11 电感元件的瞬时功率
32
02s i n1)(1
00
t d tIUTdttpTp LT LT LL?
从图上看出，当 uL(t),iL(t)都为正值时或都为负值时,pL(t)为正，说明此时电感吸收电能并转化为磁场能量储存起来；反之，当 pL(t) 为负时，
电感元件向外释放能量。 pL(t) 的值正负交替，
说明电感元件与外电路不断地进行着能量的交换。
电感消耗的平均功率为：
电感消耗的平均功率为零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。
33
tAIti cc?s in2)(?
VtU
VtXItu
C
ccc
)
2
s i n (2
)
2
s i n (2)(
3,电容元件的功率在电压,电流为关联参考方向下,设流过电容元件的电流为,
则电容电压为,
其瞬时功率为：
tIU
ttIUtitutp
cc
ccccc
2s i n
s i n)
2
s i n (2)()()(
34
uc(t),Ic(t),pc(t)的波形如图 4-12所示 。
Cui
图 4-12 电容元件的瞬时功率
35
从图上看出,pc(t),与 pL(t)波形图相似,电容元件只与外界交换能量而不消耗能量 。
电容的平均功率也为零，即：
T ccTc dttIUTdttpTp 00 0)2s i n(1)(1?
电感元件以磁场能量与外界进行能量交换,
电容元件是以电场能量与外界进行能量交换 。
36
4.5.2 二端电路的功率
1.瞬时功率在图 4-13所示二端电路中,设电流 i(t)及端口电压 u(t)在关联参考方向下,分别为：
iu
VtUtu
tAIti
u )s in (2)(
s in2)(
则二端电路的瞬时功率为：
图 4-13
)2c o s (c o s
)]2c o s ([ c o s
s i n2)s i n (2)()()(
uu
uu
u
tUIUI
tUI
tItUtitutp
37
上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，
第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图 4-14所示。
图 4-14 二端 RLC电路的瞬时功率
38
从图上看出,u(t)或 i(t)为零时,p(t)为零；当二者同号时,p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时,p(t)为负，电路放出功率，图上阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能量多，说明电路有能量的消耗。
2,有功功率（也叫平均功率）和功率因素
Z
T
uu
T
UI
dttUIUI
T
dttp
T
p
c os
)]2c os (c os[
1
)(
1
0
0
39
式中 称为二端电路的功率因素，功率因素的值取决于电压与电流之间的相位差,也叫功率因素角。
Z?cos
Z?
4.5.3 无功功率、视在功率和复功率无功功率用 Q表示，定义
ZUIQ?s in?
通常将二端电路电压和电流有效值的乘积称为视在功率,用 S表示,即
S=UI
Z?
40
P,Q,S之间存在如下关系
P
Q
ar c t g
UIQPS
SUIQ
SUIP
Z
ZZ
ZZ
22
s i ns i n
c o sc o s
工程上为了计算方便,把有功功率作为实部,
无功功率作为虚部,组成复数,称为复功率,
用 表示复功率,即
=P+jQ
~S
~S
41
4.6 正弦稳态电路的最大功率传输如图 4-15所示，交流电源的电压为,其内阻抗为 Zs=Rs+jxs,负载阻抗 ZL=RL+jXL,电路中电流为：
SU
2)()(
LsLs
S
Ls
S
XXjRR
U
ZZ
UI
电流有效值为：
图 5-15
22 )()(
LsLs
s
XXRR
UI
42
负载吸收的功率为：
L
LsLs
s
LL RXXRR
URIP
22
2
2
)()(
0
)(
)(2)(
4
2
2?
Ls
LLsLs
s
L
L
RR
RRRRRU
dR
dP
要求出 PL的最大值为此需求出 PL对 RL的导数，并使之为零，即：
由上式得到,（ RS+RL)2-2RL(RS+RL） =0
解得,RL=RS
43
负载获取最大功率的条件为：
*
SL
SL
SL
ZZ
RR
XX
即上式表明，当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。此时最大功率为：
S
Sm
S
S
L R
U
R
UP
42
1
4
22
m a x
44
4.7 三相电路
4.7.1 三相电路的基本概念三相交流电源是三个单相交流电源按一定方式进行的组合,且单相交流电源的频率相等,
幅值 （ 最大值 ） 相等,相位彼此相差 120° 。
设第一相初相为 0°,第二相为 -120°,第三相为 120°,所以瞬时电动势为：
e1=Emsinωt
e2=Emsin（ ωt-120° ）
e3=Emsin（ ωt+120° ）
这样的电动势叫对称三相电动势。其相量图和波形图见图 4-16。
45
图 4-16 三相电源对称三相电动势相量和为零,即：
=0
由波形图可知,三相电动势对称时任一瞬间的代数和为零,即：
e1+e2+e3=0
321 EEE
46
4.7.2 三相电源的连接将三相电源按一定方式连接之后，
再向负载供电，通常采用星形连接方式，如图 4-17所示。
低压配电系统中,
采用三根相线和一根中线输电,称为三相四线制；高压输电工程中,由三根相线组成输电,
称为三相三线制 。
每相绕组始端与图 4-17 星形连接末端之间的电压,也就是相线和中线之间的电压,
叫相电压,其瞬时值用 u1、
u2,u3表示,通用 up表示 。
47
任意两相线与相线之间的电压，叫线电压，瞬时值用 u12,u23,u31表示，通用 ul表示。
由于 u12=u1-u2
u23=u2-u3
u31=u3-u1
其次，作出线电压和相电压的相量图，如图 4-18
所示。
图 4-18 星形连接线电压相电压的相量图由于 构成等腰三角形，所以
1221 UUU,、
48
所以同理
01.001.12,30330c o s302 UUU
0
3
.
31
.
0
2
.
23
.
303
303
UU
UU
一般写为
0.,303 pl UU
作星形连接时，三个相电压和三个线电压均为三相对称电压，各线电压的有效值为相电压有效值的 倍，且线电压相位比对应的相电压超前 30°。
3
49
4.7.3 三相负载的星形连接三相电路负载有星形连接和三角形连接两种方式。
１,负载的星形连接如图 4-19所示是三相负载作星形莲接时的电路图 。
图 4-19 三相负载的星形连接
50
显然,在负载星形连接时,线电流等于相电流,即若三相负载对称,即 Z1=Z2=Z3=Zp,因各相电压对称,所以各相电流相等,即：
I1=I2=I3=IYP=
YPYl II?
P
YP
Z
U
由基尔霍夫电流定律知同时,三个相电流的相位差互为 120°,满足
00 321321 iiiIII 或
321 iiii N
51
略去电线上的电压降，则各相负载的相电压就等于电源的相电压，这样，电源的线电压为负载相电压的 倍，即：3
YPl UU 3?
UYP为星形联接负载相电压。
三相电路中，流过每根相线的电流叫线电流，
即 I1,I2,I3,用表示，方向规定为由电源流向负载；而流过负载的电流叫相电流，用 IYP表示，
其方向与相电压方向一致；流过中线的电流叫中线电流，用 IN表示，其方向规定由负载中点 N/
流向电源中点 N。
YlI
52
这样,对称的三相负载作星形联接时,中线电流为零 。 这时,可以省略中线而成为三相三线制,并不影响电路工作 。
如果三相负载不对称,各相电流大小就不相等,相位差也不一定是 120°,中线电流不为零,此时就不能省去中线 。 否则会影响电路正常工作,甚至造成事故 。 所以三相四线制中除尽量使负载平衡运行之外,中线上不准安装熔丝和开关 。
53
4.7.4 负载的三角形连接如图 4-20所示，将三相负载分别接在三相电源的两根相线之间，称为三相负载的三角形连接。
不论负载对称与否，各相负载承受的电压均为对称的电源线电压。
图 4-20 三相负载的三角形连接
54
对于对称三相负载,相电压等于线电压,即
Lp UU P
P
P Z
UI?
同时,各相电压与各相电流的相位差也相同 。
即三相电流的相位差也互为 120° 。 各相电流的方向与该相的电压方向一致 。
由 KCL知
23313
12232
13121
iii
iii
iii
作出线电流和相电流的相量，如图 4-21所示。
相电流：
55
图 4-21三角形连接线电流和相电流的相量图从图中看出：各线电流在相位上比各相电流滞后 30°。
由于相电流对称，所以线电流也对称，各线电流之间相差
120°。
可以看出
Il=2I12cos30=
12
12 3
2
32 II?
56
所以
pL II 3
这些说明：对称三相负载呈三角形连接时,线电流的有效值为相电流有效值的 倍,线电流在相位上滞后于相电流 30° 。
3
4.7.3 三相电路的功率三相电路的功率等于各相负载吸收功率的总和：
P=P1+P2+P3
Q=Q1+Q2+Q3
S=S1+S2+S3
当三相负载对称时，各相功率相等，总功率为一相功率的三倍。
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通常,相电压和相电流不易测量,计算三相电路的功率时,是通过线电压和线电流来计算 。 不论负载作星形连接还是三角形连接,总的有功功率,无功功率和视在功率,计算三相负载总功率的公式是相同的,即：
ll
Zll
Zll
IUS
IUQ
IUP
3
s in3
c o s3
即：
ppp
Zppp
Zppp
IUSS
IUQQ
IUPP
33
s in33
c o s33
58
本 章 小 结本章的主要内容章有：正弦交流电路的基本概念及其分析计算,三相电路的分析计算 。
在学习正弦交流电路的基础上,重点解决四个问题：
1,利用复数概念,将正弦量用复数表示,使正弦交流电路的分析计算,化为相量运算 。
2,阻抗或导纳虽然不是正弦量,也能用复数表示,从而归结出相量形式的欧姆定律与基尔霍夫定律 。 以此为依据,使一切简单或复杂的直流电路的规律,原理,定理和方法都能适用于交流电路 。
3,交流电路的分析计算除了数值上的问题,还有相位问题 。
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,4,三相电路是交流复杂电路的一种特殊形式,它的分析计算的依据仍然是基尔霍夫两条定律 。 特殊性在于三相电动势是对称的,因而电源和负载都有三角形和星形两种接法 。 我们只讨论了对称三相电路的计算 。
