1
第 7章 谐 振 电 路
7.2 并联谐振电路
7.1 串联谐振电路返回
2
学习目标
1,掌握谐振的分类及谐振的条件 ;
2,理解谐振时总电流与分电流,总电压与各元件分电压之间的关系 ;
3,理解品质因素的概念；能通过谐振曲线判断 Q的大小 ;
3
7.1串联谐振电路如图 7-1电路中,回路在外加电压 us=USm sinω t作用下,电路中的复阻抗为：
)1( CLjRXjR
图 7-1 串联谐振电路
Z=
当改变电源频率,或者改变 L,C的值时都会使回路中电流达到最大值,使电抗
=0，
电路呈电阻性,此时我们就说电路发生谐振 。 由于是 R,L,C
元件串联,所以又叫串联谐振 。
CL
1?
4
Z
U
jXR
U
C
LjR
UI sss
)1(
外加电压 uS=USm sinωt,应用复数计算法得回路电流为：
其中，阻抗
zjeZZ
2222 )1(
CLRXRZ
为阻抗的模,Z
R
C
L
a r c t g
R
X
a r c t gZ?
1
Z?
。
为阻抗的角。
5
在某一特定频率时，若回路满足下列条件：
CLX 00
1
则电流 为最大值，回路发生谐振。
R
UII S
0
所以上式称为串联电路发生谐振的条件。
即当串联回路中容抗等于感抗时，称回路发生了串联谐振。这时频率称为串联谐振频率，用
fo 表示，相应的角频率用 ωo 表示，发生串联谐振的角频率 ωo和频率分别为：
Hz
LC
fsr a d
LC?
2
1/1
00 或
6
串联谐振电路具有如下特性：
（ 1） 谐振时,回路电抗 X=0,阻抗 Z=R为最小值,
且为纯电阻 。 而在其他频率时,回路电抗 X≠ 0，
当外加电压的频率 ω>ω 0时,ω L>,回路呈感性,当 ω<ω 0时,回路呈容性 。
s
s
oco
s
s
oLo
U
CR
j
CjR
U
Cj
IU
U
R
L
jLj
R
U
LjIU
000
0
00
111
（ 2） 谐振时,回路电流最大,即,且电流与外加电压 同相 。
（ 3） 电感及电容两端电压模值相等,且等于外加电压的 Q倍 。
C?
1
R
UI S
0 0
I
SU
7.1.2 频率特性
7
通常把 ω 0L/R（ 或 1/ω 0CR） 称为回路的品质因素,用 Q表示 。
串联揩振时,,,,与 的相位关系如图 7-2所示 。
0
RU?LOU?COU?
OU
OI
通常，回路的 Q值可达几十到几百，谐振时电感线圈和电容两端的电压可以比信号源电压大几十到几百倍，所以又叫电压谐振。
从图 7-2可以看出,超前为 90°,滞后 为
90°,与 相位相反。 图 7-2 串联谐振时电压和电流相量图
LOU
OI
COU
OI
LOU
COU
8
7.1.3 通频带
（ 1） 谐振曲线回路中电流幅值与外加电压频率之间的关系曲线称为谐振曲线。
在任意频率下回路电流 与谐振时回路电流之比为,
)(1
1
)(1
1
)
1
(
1
1
0
0
0
0
0
jQ
R
L
j
R
C
L
j
I
I
o
(4) 谐振时，能量只在 R上消耗，电容和电感之间进行磁场能量和电场能量的转换，电源和电路之间没有能量转换。
I
0I
9
20
0
2 )(1
1
Q
I
I
o
jI
I
O
1
1
式中,ξ=Q（ ） 具有失谐振量的含义，称为广义失谐量。模为：
O
O
据上式可以作出相应的谐振曲线，如图 7-3所示。
10
图 7-4 串联谐振时的通频带图 7-3 串联谐振时谐振曲线
（ 2） 通频带当外加信号电压的幅值不变，频率改变为
ω =ω 1或 ω =ω 2,此时回路电流等于谐振值的倍，如图 7-4所示。 ω 2-ω 1称为回路的通频带，其绝对值为：
2
1
2△ ω 0。 7=ω 2-ω 1或 2△ f0。 7=f2-f1
11
ω 1（ f1） 和 ω 2（ f2） 为通频带的边界角频率 （ 或边界频率 ） 。
回路中相对通频带为：
Qf
f
Q o
1212 7.0
0
7.0 或
可见，通频带与回路的品质因素 Q成反比,Q愈高，谐振曲线愈尖锐，回路的选择性愈好，但通频带愈窄。因此，对串联振荡回路来说，两者存在着矛盾。
12
7.2并联谐振电路
7.2.1 并联谐振串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的情况,如果信号源内阻很大,采用串联谐振电路将严重地降低回路的品质因素,使选择性显著变坏 （ 通频带过宽 ） 。 这样就必须采用并联谐振回路 。
在图 7-5 R-L-C并联电路中,电路的总导纳 Y为：
jBG
XX
j
R
jXjXR
YYYY
CL
CL
CLR
)
11
(
1
111
13
图 7-5 R-L-C并联谐振电路其导纳模为,
2
2 )
11(1
CL XXR
Y
相应的阻抗模：
22 )11()1(
1
CL XXR
Z
14
可以看出：只有当 XL=XC时 |Z|=R,电路呈电阻性 。 由于 R-L-C并联,所以这时又称为并联谐振 。
故并联谐振的条件是 XL=XC,即当 ω0L= 时发生并联谐振 。 其谐振频率为：
LCfLC o 2
11
0 或
CO?
1
并联谐振电路的特点为：
（ 1） XL=XC,|Z|=R,电路阻抗为纯电阻性 。
（ 2）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时，
总电流最小，其值为：
R
U
Z
UI
O
15
（ 3） 电感和电容上电流相等,其电流为总电流的 Q倍,
即：
式中 Q称为并联谐振电路的品质因素，其值为：
0
00
QILRRULUII LC
CR
L
RQ
O
O
因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相。并联谐振电路的电流及各电压相位关系如图 7-6所示。
图 7-6 并联谐振时电压和电流相量图
16
（ 4） 谐振时激励电流全部通过电阻支路,电感与电容支路的电流大小相等,相位相反,使图 7-
5中 A,B间相当于开路,所以并联谐振又称为电流谐振 。
7.2.2.电感线圈和电容器的并联谐振电路工程上广泛应用电感线圈与电容器组成并联谐振电路,由于实际电感线圈的电阻不可忽略,与电容器并联时,其电路模型如图 7-6所示 。 图 7-6 电感与电容的并联谐振电路
17
其相应的回路阻抗为：
)
1
(
1
)(
1
1
)(
Cj
LjR
Cj
LjR
Cj
LjR
Cj
LjR
Z
18
图 7-7 L C并联谐振时电压电流相量图从图相量中看出即：
整理后：
s inRLC II?
2222
L
L
Lc XR
X
XR
U
X
U
2
0
2
0
0 )( LR
LC
上式就是发生谐振的条件。可以得到谐振时的角频率为,2
2
0
1
L
R
LC
其电压电流相量图如图 7-7所示
19
可以看出,不论 R,L,ω为何值,调节电容量 C总可以达到谐振,但要调节激励频率使电路发生谐振,必须使 （ ω0才有可能为实数 ）,即 R< 。 在 时,并联谐振的近似条件为 。
01 2
2
LRLC
C
L
2
21
L
R
LC 远大于
CL 0
0
1?
20
品质因素,Q=ω 0 L/R=1/ω 0CR
谐振特点,I0=Us/R（ 最大 ）
UR=Us
Z0=R(最小 )
UL0=UC0=QUs
小 结
sr a dLC /10
1、在 RLC串联谐振电路中其谐振角频率为：
21
2、在 RLC并联谐振电路中其谐振角频率 (频率 )为：
LCfLC o 2
11
0 或谐振特点：
（ 1） XL=XC,|Z|=R,电路阻抗为纯电阻性。
（ 2）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时，
总电流最小，其值为：
R
U
Z
UI
O
总电流与电源电压同相。
22
3,在电感和电容并联的谐振电路中谐振角频率,
品质因素 Q=ω 0 L/R=1/ω 0CR=
谐振特点 Z0= R0 =L/RC=Q (最大 )
sr a dLC /10
R
CL
CL
U0 = R0Is
IC0=IL0=QIs
第 7章 谐 振 电 路
7.2 并联谐振电路
7.1 串联谐振电路返回
2
学习目标
1,掌握谐振的分类及谐振的条件 ;
2,理解谐振时总电流与分电流,总电压与各元件分电压之间的关系 ;
3,理解品质因素的概念；能通过谐振曲线判断 Q的大小 ;
3
7.1串联谐振电路如图 7-1电路中,回路在外加电压 us=USm sinω t作用下,电路中的复阻抗为：
)1( CLjRXjR
图 7-1 串联谐振电路
Z=
当改变电源频率,或者改变 L,C的值时都会使回路中电流达到最大值,使电抗
=0，
电路呈电阻性,此时我们就说电路发生谐振 。 由于是 R,L,C
元件串联,所以又叫串联谐振 。
CL
1?
4
Z
U
jXR
U
C
LjR
UI sss
)1(
外加电压 uS=USm sinωt,应用复数计算法得回路电流为：
其中，阻抗
zjeZZ
2222 )1(
CLRXRZ
为阻抗的模,Z
R
C
L
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1
Z?
。
为阻抗的角。
5
在某一特定频率时，若回路满足下列条件：
CLX 00
1
则电流 为最大值，回路发生谐振。
R
UII S
0
所以上式称为串联电路发生谐振的条件。
即当串联回路中容抗等于感抗时，称回路发生了串联谐振。这时频率称为串联谐振频率，用
fo 表示，相应的角频率用 ωo 表示，发生串联谐振的角频率 ωo和频率分别为：
Hz
LC
fsr a d
LC?
2
1/1
00 或
6
串联谐振电路具有如下特性：
（ 1） 谐振时,回路电抗 X=0,阻抗 Z=R为最小值,
且为纯电阻 。 而在其他频率时,回路电抗 X≠ 0，
当外加电压的频率 ω>ω 0时,ω L>,回路呈感性,当 ω<ω 0时,回路呈容性 。
s
s
oco
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U
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CjR
U
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000
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00
111
（ 2） 谐振时,回路电流最大,即,且电流与外加电压 同相 。
（ 3） 电感及电容两端电压模值相等,且等于外加电压的 Q倍 。
C?
1
R
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0 0
I
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7.1.2 频率特性
7
通常把 ω 0L/R（ 或 1/ω 0CR） 称为回路的品质因素,用 Q表示 。
串联揩振时,,,,与 的相位关系如图 7-2所示 。
0
RU?LOU?COU?
OU
OI
通常，回路的 Q值可达几十到几百，谐振时电感线圈和电容两端的电压可以比信号源电压大几十到几百倍，所以又叫电压谐振。
从图 7-2可以看出,超前为 90°,滞后 为
90°,与 相位相反。 图 7-2 串联谐振时电压和电流相量图
LOU
OI
COU
OI
LOU
COU
8
7.1.3 通频带
（ 1） 谐振曲线回路中电流幅值与外加电压频率之间的关系曲线称为谐振曲线。
在任意频率下回路电流 与谐振时回路电流之比为,
)(1
1
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1
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(4) 谐振时，能量只在 R上消耗，电容和电感之间进行磁场能量和电场能量的转换，电源和电路之间没有能量转换。
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9
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O
1
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式中,ξ=Q（ ） 具有失谐振量的含义，称为广义失谐量。模为：
O
O
据上式可以作出相应的谐振曲线，如图 7-3所示。
10
图 7-4 串联谐振时的通频带图 7-3 串联谐振时谐振曲线
（ 2） 通频带当外加信号电压的幅值不变，频率改变为
ω =ω 1或 ω =ω 2,此时回路电流等于谐振值的倍，如图 7-4所示。 ω 2-ω 1称为回路的通频带，其绝对值为：
2
1
2△ ω 0。 7=ω 2-ω 1或 2△ f0。 7=f2-f1
11
ω 1（ f1） 和 ω 2（ f2） 为通频带的边界角频率 （ 或边界频率 ） 。
回路中相对通频带为：
Qf
f
Q o
1212 7.0
0
7.0 或
可见，通频带与回路的品质因素 Q成反比,Q愈高，谐振曲线愈尖锐，回路的选择性愈好，但通频带愈窄。因此，对串联振荡回路来说，两者存在着矛盾。
12
7.2并联谐振电路
7.2.1 并联谐振串联谐振回路适用于信号源内阻等于零或很小的情况,如果信号源内阻很大,采用串联谐振电路将严重地降低回路的品质因素,使选择性显著变坏 （ 通频带过宽 ） 。 这样就必须采用并联谐振回路 。
在图 7-5 R-L-C并联电路中,电路的总导纳 Y为：
jBG
XX
j
R
jXjXR
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CL
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)
11
(
1
111
13
图 7-5 R-L-C并联谐振电路其导纳模为,
2
2 )
11(1
CL XXR
Y
相应的阻抗模：
22 )11()1(
1
CL XXR
Z
14
可以看出：只有当 XL=XC时 |Z|=R,电路呈电阻性 。 由于 R-L-C并联,所以这时又称为并联谐振 。
故并联谐振的条件是 XL=XC,即当 ω0L= 时发生并联谐振 。 其谐振频率为：
LCfLC o 2
11
0 或
CO?
1
并联谐振电路的特点为：
（ 1） XL=XC,|Z|=R,电路阻抗为纯电阻性 。
（ 2）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时，
总电流最小，其值为：
R
U
Z
UI
O
15
（ 3） 电感和电容上电流相等,其电流为总电流的 Q倍,
即：
式中 Q称为并联谐振电路的品质因素，其值为：
0
00
QILRRULUII LC
CR
L
RQ
O
O
因为纯电阻电路，故总电流与电源电压同相。并联谐振电路的电流及各电压相位关系如图 7-6所示。
图 7-6 并联谐振时电压和电流相量图
16
（ 4） 谐振时激励电流全部通过电阻支路,电感与电容支路的电流大小相等,相位相反,使图 7-
5中 A,B间相当于开路,所以并联谐振又称为电流谐振 。
7.2.2.电感线圈和电容器的并联谐振电路工程上广泛应用电感线圈与电容器组成并联谐振电路,由于实际电感线圈的电阻不可忽略,与电容器并联时,其电路模型如图 7-6所示 。 图 7-6 电感与电容的并联谐振电路
17
其相应的回路阻抗为：
)
1
(
1
)(
1
1
)(
Cj
LjR
Cj
LjR
Cj
LjR
Cj
LjR
Z
18
图 7-7 L C并联谐振时电压电流相量图从图相量中看出即：
整理后：
s inRLC II?
2222
L
L
Lc XR
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X
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2
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0 )( LR
LC
上式就是发生谐振的条件。可以得到谐振时的角频率为,2
2
0
1
L
R
LC
其电压电流相量图如图 7-7所示
19
可以看出,不论 R,L,ω为何值,调节电容量 C总可以达到谐振,但要调节激励频率使电路发生谐振,必须使 （ ω0才有可能为实数 ）,即 R< 。 在 时,并联谐振的近似条件为 。
01 2
2
LRLC
C
L
2
21
L
R
LC 远大于
CL 0
0
1?
20
品质因素,Q=ω 0 L/R=1/ω 0CR
谐振特点,I0=Us/R（ 最大 ）
UR=Us
Z0=R(最小 )
UL0=UC0=QUs
小 结
sr a dLC /10
1、在 RLC串联谐振电路中其谐振角频率为：
21
2、在 RLC并联谐振电路中其谐振角频率 (频率 )为：
LCfLC o 2
11
0 或谐振特点：
（ 1） XL=XC,|Z|=R,电路阻抗为纯电阻性。
（ 2）谐振时，因阻抗最大，在电源电压一定时，
总电流最小，其值为：
R
U
Z
UI
O
总电流与电源电压同相。
22
3,在电感和电容并联的谐振电路中谐振角频率,
品质因素 Q=ω 0 L/R=1/ω 0CR=
谐振特点 Z0= R0 =L/RC=Q (最大 )
sr a dLC /10
R
CL
CL
U0 = R0Is
IC0=IL0=QIs
