2003 - 10 - 4
《数字电子技术基础课程教学辅助系统》
是助教型多媒体课件，供教师上课使用。
本课件是模拟课件的姐妹篇，目前正在联系出版，考虑版权问题，网上只给出了一小部分课程内容。供评审专家审阅。
用鼠标点击左下方或右下方的播放按键，即可播放。按盘上的,?,键，前进；
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1.4 卡诺图化简法
1.4.1 卡诺图
1.3.2 逻辑函数如何填入卡诺图
1.3.3 卡诺图化简步骤
mi 1.4 卡诺图化简法
1.4.1 卡诺图
1.4.1.1 卡诺图的构成卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图,每一个最小项占有一个小方格 。 因为最小项的数目与变量数有关,设变量数为 n
,则最小项的数目为 2n 。 二个变量的卡诺图见下图所示 。 图中第一行表示,第二行表示 A； 第一列表示,第二列表示 B。
这样四个小方格就由四个最小项分别对号占有,行和列的符号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中 。
A B
A
B
A
B
A B A B
A B A B
( )a
1
1
0
0
0 0 0 1
1 0 1 1
( )b
A
B
0 1
2 3
mi
掌握卡诺图的构成特点,就可以从印在表格旁边的 AB,CD的,0”,,1” 值直接写出最小项的文字符号内容 。 例如在四变量卡诺图中,第四行第二列相交的小方格 。
0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 3 2
6754
12 13 15 14
8 9 11 10
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 000 0 100 1 100 1 000
0 010 0 110 1 110 1 010
0 011 0 111 1 111 1 011
0 001 0 101 1 101 1 001
表格第四行的,AB”标为,10”，应记为
，第二列的,CD”标为,01”，记为
，
所以该小格为 。
BA DC
DCBA
1
0
0 0 0 1 1 1
( ) b
1 0
B C
A
0 00
0 01
10 0 1 10 1 00
0 11 1 11 1 01
0 1 3 2
6754
( ) a
A
A
B C B C B C B C
A B C A A AB C B C B C
A B C A B C A B C A B C
这是三变量卡诺图
mi 1.4.1.2 邻接与化简的关系卡诺图为什么可以用来化简？ 这与最小项的排列满足邻接关系有关 。 因为在最小项相加时,相邻两项就可以提出项,从而消去一个变量 。 以四变量为例,m12与 m13相邻接,则 m12+m13为：
CABDDCABDCABDCAB )(
0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 3 2
6754
12 13 15 14
8 9 11 10
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 000 0 100 1 100 1 000
0 010 0 110 1 110 1 010
0 011 0 111 1 111 1 011
0 001 0 101 1 101 1 001
卡诺图的是按邻接规律构建的，在几何位置上相邻的小格是邻接的。同时，第一行和第四行也是邻接的；
第一列和第四列也是邻接的；
四个角也是邻接的。
所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合，就也可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。
ABC
BCD
ABD
mi 1.4.2 逻辑函数如何填入卡诺图1.4.2.1 与项如何填入卡诺图例如,将逻辑式填入卡诺图。它为一个三变量的逻辑式，结果见下图。
CABCBACBAP),,(
10
A B
C
0
0
1
0 0
0
0
100
0 1
11
1 0
00
1
1
CBA
11
0
1
CAB
1,与项是最小项的形式与项是最小项时，按最小项编号的位置直接填入。
mi
与项不是最小项的形式,按邻接关系直接填入卡诺图 。 例如
2,与项不是最小项的形式
AB DCDADCBAP),,,(
先填,CDA 这是 CD;这是 A,
所以 处于第一第二行和第三列的交点上（二行一列）。
CDA
再填,ABD 这是 AB,这是 D 。
0 0 0 1 1 1 1 0
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1 11
0
0
11
所以 处于第一第二行和第三列的交点上（二行一列）。
所以 ABD处于第三行和第二、第三列的交点上（一行二列）。
1
1
3
7
151 113
0 0
mi 0 0 0 1 1 1 1 0
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
例：将逻辑式 P= + 填入卡诺图CB DB
先填,CB 这是 B,这是 ；C
11
11
1
1
0 0
CB 这一与项处于第二、
第三行和第一、第二列的交点处（二行二列）。
DB再填,B这是,D这是 。
0
0
00
DB 这一与项处于第一、
第四行和第一、第四列的交点处（二行二列）。
1
11
1
mi
例：将逻辑式 填入卡诺图DABCBP
A B
0 0 0 1 1 1 1 0
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1 1
11
C
B BC
11
AB
D
ABD
填 CB
填 DAB
mi
0 0 0 1 1 1 1 0
1
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1
1
1
0 0 0 1 1 1 1 0
1
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1
1 1
1 1
11
例：将逻辑式 填入卡诺图CABP
AB D
由上述各例题可以看出，与项中变量数越少，在卡诺图中占的小格越多；
最小项在卡诺图中占 1个小格；与最小项相比，少一个变量占二个小格；少二个变量占四个小格；少三个变量占八个小格,… 。
mi 卡诺图中的与项对应的小格，只能一个一组；二个一组；四个一组；八个一组,…,即按 2i的规律组成矩形带。 i为缺少的变量数。以四变量为例，与项只有一个变量，即缺 3个变量，应占 23个小格，且组成一个矩形带；与项只有二个变量，
即缺 2个变量，应占 22个小格，且组成一个矩形带；与项只有三个变量，即缺 1个变量，应占 21个小格，且组成一个矩形带。
我们的任务是化简逻辑函数，将与或型逻辑函数填入卡诺图后，这样原来的逻辑函数就以最小项的面貌出现在卡诺图中。然后，经过重新组合，将具有,1”的小格按照 2i 的规律尽可能大地圈成矩形带。这样新得到的逻辑函数可能会更简单一些。
下面我们来讨论如何用卡诺图进行化简。也就是如何重新组合带有,1”的小格，如何尽可能大地圈成矩形带，以得到最简与或逻辑式。
mi 1.4.3 卡诺图化简步骤
1.4.3.1 如何使与项最简由前面的讨论可知，卡诺图中的矩形带包括的小格越多，
对应的与项的变量数就越少。所以一个需要化简的逻辑函数，
填入卡诺图后，经过重新组合，圈出的矩形带应越大越好。
CACBAP
该逻辑式是否最简？ 显然不是最简形式,因为
CBCACBA
ABACCACBAP
)(
)(
0 0 0 1 1 1 1 0
1
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1
11
1 1
显然 对应下面四个小格；
对应上面四个小格，中间二个小格被覆盖，属于公共享有。
CA CB
所以，为使与项最简，圈矩形带时，小格可以公用，互相覆盖。
例如左图若把上面两个小方格圈在一起有,下面四个小方格圈在一起有,于是逻辑式为：
CBA
CA
CB
CA
mi 1.4.3.2 关于覆盖0 0 0 1 1 1 1 0
1
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1
1
1
111
1
但是在小格覆盖时，需要注意，每一个矩形带中至少要有一个小格是独立的，即没有被其他矩形带所覆盖。
CBA
CDA
ABC
DCA
BD
例如下图中，四个矩形带对应的与项分别是
CBA
CDA
ABC
中间的四个小格圈成的矩形带对应的与项 BD虽然最简,但 BD 对应的四个小格一一被其他四个矩形带所覆盖，
所以就应从最简与或式中取消，
最简与或式为
DCAA B CCDACBAP
DCA
mi 总之,一个矩形带中的所有小格最少要有一个未被覆盖,
这个矩形带所代表的与项才是化简后的与或型逻辑式中不可缺少的项 。 反之,一个矩形带中的所有小格都被其它矩形带所覆盖,那么这个矩形带所代表的与项就不是独立的,如果写入与或型逻辑式中就是多余的 。
卡诺图化简法的步骤如下：
1,逻辑式填入卡诺图,如果逻辑式不是与或型,
先将逻辑式转换为与或型 。
2,照最小的原则,尽可能将矩形带圈大一些 。
3,选出至少有一个小格是独立的矩形带,写出它们所对应的最简与项的逻辑和 。
4,如有遗漏,添上遗漏小格所对应的一个最简与项,它们的逻辑和就是最简化的与或型逻辑式 。
动画 1-1 动画 1-2
mi 例,化简 DBADCAA B CBAP
0 0 0 1 1 1 1 0
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0 1 1
1
1
1 1
11 1110
1 1
1 1
0 1
0
0
1 1
0 0
0 0 0 1 1 1 1 0
1
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1
11
1
1
11
1
1
化简结果
DCADBACBAP
0 0011 11 0
18 19 17 16
20212322
30 31 29 28
26 27 25 24
1 000 1100 0 100 0 000
1 010 1 110 0 110 0 010
1 011 1 111 0 111 0 011
1 001 1 101 0 101 0 001
mi
0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 3 2
6754
12 13 15 14
8 9 11 10
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 000 0 100 1 100 1 000
0 010 0 110 1 110 1 010
0 011 0 111 1 111 1 011
0 001 0 101 1 101 1 001
E E
最小项编号变量按 EABCD顺序
0 0011 11 0
18 19 17 16
20212322
30 31 29 28
26 27 25 24
1 000 1100 0 100 0 000
1 010 1 110 0 110 0 010
1 011 1 111 0 111 0 011
1 001 1 101 0 101 0 001
轴这是一个五变量的逻辑函数，先看五变量卡诺图的构成，五变量卡诺图是在四变量卡诺图的基础上翻转构成的。
例,化简逻辑函数 ECDECBDCBBAACP
动画 1-3
我们将逻辑函数中带有 的与项填入轴左侧的 四变量卡诺图中；将带有 E 的与项填入轴右侧的 E 四变量卡诺图中；
不带变量 E 的与项填入以轴为对称的二个四变量卡诺图中。
EE
《数字电子技术基础课程教学辅助系统》
是助教型多媒体课件，供教师上课使用。
本课件是模拟课件的姐妹篇，目前正在联系出版，考虑版权问题，网上只给出了一小部分课程内容。供评审专家审阅。
用鼠标点击左下方或右下方的播放按键，即可播放。按盘上的,?,键，前进；
按,?,键后退；按,Es c,键，再用鼠标点击屏幕右上角的,?,,可退出。在播动画时，
如提示有病毒，可按,确定,键播放。
1.4 卡诺图化简法
1.4.1 卡诺图
1.3.2 逻辑函数如何填入卡诺图
1.3.3 卡诺图化简步骤
mi 1.4 卡诺图化简法
1.4.1 卡诺图
1.4.1.1 卡诺图的构成卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图,每一个最小项占有一个小方格 。 因为最小项的数目与变量数有关,设变量数为 n
,则最小项的数目为 2n 。 二个变量的卡诺图见下图所示 。 图中第一行表示,第二行表示 A； 第一列表示,第二列表示 B。
这样四个小方格就由四个最小项分别对号占有,行和列的符号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中 。
A B
A
B
A
B
A B A B
A B A B
( )a
1
1
0
0
0 0 0 1
1 0 1 1
( )b
A
B
0 1
2 3
mi
掌握卡诺图的构成特点,就可以从印在表格旁边的 AB,CD的,0”,,1” 值直接写出最小项的文字符号内容 。 例如在四变量卡诺图中,第四行第二列相交的小方格 。
0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 3 2
6754
12 13 15 14
8 9 11 10
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 000 0 100 1 100 1 000
0 010 0 110 1 110 1 010
0 011 0 111 1 111 1 011
0 001 0 101 1 101 1 001
表格第四行的,AB”标为,10”，应记为
，第二列的,CD”标为,01”，记为
，
所以该小格为 。
BA DC
DCBA
1
0
0 0 0 1 1 1
( ) b
1 0
B C
A
0 00
0 01
10 0 1 10 1 00
0 11 1 11 1 01
0 1 3 2
6754
( ) a
A
A
B C B C B C B C
A B C A A AB C B C B C
A B C A B C A B C A B C
这是三变量卡诺图
mi 1.4.1.2 邻接与化简的关系卡诺图为什么可以用来化简？ 这与最小项的排列满足邻接关系有关 。 因为在最小项相加时,相邻两项就可以提出项,从而消去一个变量 。 以四变量为例,m12与 m13相邻接,则 m12+m13为：
CABDDCABDCABDCAB )(
0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 3 2
6754
12 13 15 14
8 9 11 10
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
0 000 0 100 1 100 1 000
0 010 0 110 1 110 1 010
0 011 0 111 1 111 1 011
0 001 0 101 1 101 1 001
卡诺图的是按邻接规律构建的，在几何位置上相邻的小格是邻接的。同时，第一行和第四行也是邻接的；
第一列和第四列也是邻接的；
四个角也是邻接的。
所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合，就也可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。
ABC
BCD
ABD
mi 1.4.2 逻辑函数如何填入卡诺图1.4.2.1 与项如何填入卡诺图例如,将逻辑式填入卡诺图。它为一个三变量的逻辑式，结果见下图。
CABCBACBAP),,(
10
A B
C
0
0
1
0 0
0
0
100
0 1
11
1 0
00
1
1
CBA
11
0
1
CAB
1,与项是最小项的形式与项是最小项时，按最小项编号的位置直接填入。
mi
与项不是最小项的形式,按邻接关系直接填入卡诺图 。 例如
2,与项不是最小项的形式
AB DCDADCBAP),,,(
先填,CDA 这是 CD;这是 A,
所以 处于第一第二行和第三列的交点上（二行一列）。
CDA
再填,ABD 这是 AB,这是 D 。
0 0 0 1 1 1 1 0
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1 11
0
0
11
所以 处于第一第二行和第三列的交点上（二行一列）。
所以 ABD处于第三行和第二、第三列的交点上（一行二列）。
1
1
3
7
151 113
0 0
mi 0 0 0 1 1 1 1 0
A B
C D
0 0
0 1
1 1
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例：将逻辑式 P= + 填入卡诺图CB DB
先填,CB 这是 B,这是 ；C
11
11
1
1
0 0
CB 这一与项处于第二、
第三行和第一、第二列的交点处（二行二列）。
DB再填,B这是,D这是 。
0
0
00
DB 这一与项处于第一、
第四行和第一、第四列的交点处（二行二列）。
1
11
1
mi
例：将逻辑式 填入卡诺图DABCBP
A B
0 0 0 1 1 1 1 0
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1 1
11
C
B BC
11
AB
D
ABD
填 CB
填 DAB
mi
0 0 0 1 1 1 1 0
1
A B
C D
0 0
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0 0 0 1 1 1 1 0
1
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1
1 1
1 1
11
例：将逻辑式 填入卡诺图CABP
AB D
由上述各例题可以看出，与项中变量数越少，在卡诺图中占的小格越多；
最小项在卡诺图中占 1个小格；与最小项相比，少一个变量占二个小格；少二个变量占四个小格；少三个变量占八个小格,… 。
mi 卡诺图中的与项对应的小格，只能一个一组；二个一组；四个一组；八个一组,…,即按 2i的规律组成矩形带。 i为缺少的变量数。以四变量为例，与项只有一个变量，即缺 3个变量，应占 23个小格，且组成一个矩形带；与项只有二个变量，
即缺 2个变量，应占 22个小格，且组成一个矩形带；与项只有三个变量，即缺 1个变量，应占 21个小格，且组成一个矩形带。
我们的任务是化简逻辑函数，将与或型逻辑函数填入卡诺图后，这样原来的逻辑函数就以最小项的面貌出现在卡诺图中。然后，经过重新组合，将具有,1”的小格按照 2i 的规律尽可能大地圈成矩形带。这样新得到的逻辑函数可能会更简单一些。
下面我们来讨论如何用卡诺图进行化简。也就是如何重新组合带有,1”的小格，如何尽可能大地圈成矩形带，以得到最简与或逻辑式。
mi 1.4.3 卡诺图化简步骤
1.4.3.1 如何使与项最简由前面的讨论可知，卡诺图中的矩形带包括的小格越多，
对应的与项的变量数就越少。所以一个需要化简的逻辑函数，
填入卡诺图后，经过重新组合，圈出的矩形带应越大越好。
CACBAP
该逻辑式是否最简？ 显然不是最简形式,因为
CBCACBA
ABACCACBAP
)(
)(
0 0 0 1 1 1 1 0
1
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1
11
1 1
显然 对应下面四个小格；
对应上面四个小格，中间二个小格被覆盖，属于公共享有。
CA CB
所以，为使与项最简，圈矩形带时，小格可以公用，互相覆盖。
例如左图若把上面两个小方格圈在一起有,下面四个小方格圈在一起有,于是逻辑式为：
CBA
CA
CB
CA
mi 1.4.3.2 关于覆盖0 0 0 1 1 1 1 0
1
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1
1
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1
但是在小格覆盖时，需要注意，每一个矩形带中至少要有一个小格是独立的，即没有被其他矩形带所覆盖。
CBA
CDA
ABC
DCA
BD
例如下图中，四个矩形带对应的与项分别是
CBA
CDA
ABC
中间的四个小格圈成的矩形带对应的与项 BD虽然最简,但 BD 对应的四个小格一一被其他四个矩形带所覆盖，
所以就应从最简与或式中取消，
最简与或式为
DCAA B CCDACBAP
DCA
mi 总之,一个矩形带中的所有小格最少要有一个未被覆盖,
这个矩形带所代表的与项才是化简后的与或型逻辑式中不可缺少的项 。 反之,一个矩形带中的所有小格都被其它矩形带所覆盖,那么这个矩形带所代表的与项就不是独立的,如果写入与或型逻辑式中就是多余的 。
卡诺图化简法的步骤如下：
1,逻辑式填入卡诺图,如果逻辑式不是与或型,
先将逻辑式转换为与或型 。
2,照最小的原则,尽可能将矩形带圈大一些 。
3,选出至少有一个小格是独立的矩形带,写出它们所对应的最简与项的逻辑和 。
4,如有遗漏,添上遗漏小格所对应的一个最简与项,它们的逻辑和就是最简化的与或型逻辑式 。
动画 1-1 动画 1-2
mi 例,化简 DBADCAA B CBAP
0 0 0 1 1 1 1 0
A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0 1 1
1
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1 1
1 1
0 1
0
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0 0
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A B
C D
0 0
0 1
1 1
1 0
1
11
1
1
11
1
1
化简结果
DCADBACBAP
0 0011 11 0
18 19 17 16
20212322
30 31 29 28
26 27 25 24
1 000 1100 0 100 0 000
1 010 1 110 0 110 0 010
1 011 1 111 0 111 0 011
1 001 1 101 0 101 0 001
mi
0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 3 2
6754
12 13 15 14
8 9 11 10
A B
C D
0 0
0 1
1 1
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0 000 0 100 1 100 1 000
0 010 0 110 1 110 1 010
0 011 0 111 1 111 1 011
0 001 0 101 1 101 1 001
E E
最小项编号变量按 EABCD顺序
0 0011 11 0
18 19 17 16
20212322
30 31 29 28
26 27 25 24
1 000 1100 0 100 0 000
1 010 1 110 0 110 0 010
1 011 1 111 0 111 0 011
1 001 1 101 0 101 0 001
轴这是一个五变量的逻辑函数，先看五变量卡诺图的构成，五变量卡诺图是在四变量卡诺图的基础上翻转构成的。
例,化简逻辑函数 ECDECBDCBBAACP
动画 1-3
我们将逻辑函数中带有 的与项填入轴左侧的 四变量卡诺图中；将带有 E 的与项填入轴右侧的 E 四变量卡诺图中；
不带变量 E 的与项填入以轴为对称的二个四变量卡诺图中。
EE
