信号的时频分析：
信号时频分析的重要性：
时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。
信号的时域和频域之间具有紧密的联系。
信号时频分析的主要方法：
傅立叶变换：
t( t ))( - tj- defF
deFf - tj)(21( t )
反映傅立叶变换缺点的例子：
例 1：从歌声中恢复乐谱反映傅立叶变换缺点的例子：
例 2：面向识别的汉字特征抽取傅立叶变换的缺点：
用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。
傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。
傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。
t( t ))( - tj- defF
deFf - tj)(2 1( t )
解决傅立叶变换缺点的方法：
例 1：从歌声中恢复乐谱解决傅立叶变换缺点的方法：
例 2：面向识别的汉字特征抽取窗口傅立叶变换（ Gabor变换）：
窗口傅立叶变换的定义：
假设 f(t)? L2(R),则以 g(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义为：
tb)-(t( t )b),( tj-- degfWF g
tjb b)-(t( t ) egg,令：
( t ) ( t ),
t( t )( t )b),(
b
- b
,
,g
gf
dgfWF
则：
窗口傅立叶变换的物理意义：
若 g(t)的有效窗口宽度为 Dt,则 WFg(?,b)给出的是 f(t)
在局部时间范围 [b - Dt/2,b + Dt/2]内的频谱信息。
有效窗口宽度 Dt越小，对信号的时间定位能力越强。
窗口傅立叶变换的频域性质：
问题的提出：
窗口傅立叶变换 WFg(?,b) = <f(t),g?,b(t)>给出的是信号在时域上的处理信息，一个很自然的问题是窗口傅立叶变换在频域上是怎样处理信号的？
假设 f(t)的傅立叶变换为 F(?),g?,b(t)的傅立叶变换为 G?,b(?),则根据 Parseval定理有：
WFg(?,b) = < F(?),G?,b(?)>/(2?)
窗口傅立叶变换频域上的物理意义：
若 G (?)的有效窗口宽度为 D?,则 WFg(?,b)给出的是
F(?)在局部频率范围 [? - D? /2,? + D? /2]内的频谱信息。
有效窗口宽度 D?越小，对信号的频率定位能力越强。
窗口傅立叶变换的应用：
面向识别的汉字特征抽取：
二维窗口傅立叶变换的一种形式：
其中：
12
2
2
2
2
1 2
2
1
yx
R
i
RR
yx
yx e x pe x p,,,;,g
c o ss i n
,s i nc o s
yx
yx
2
1RR
窗口傅立叶变换的应用：
抽取汉字特征：
窗口傅立叶变换的性能分析：
问题的提出：
窗口傅立叶变换是否既具有强的时间定位能力，又具有强的频率定位能力？
选择什么样的窗函数才能使得窗口傅立叶变换具有好的性能？
解决问题的思想：
从物理意义上来看 Dt和 D?是矛盾的，因此先定义 Dt
和 D?后，再计算 Dt和 D?的乘积用以作为判断窗口傅立叶变换性能的依据。
窗口傅立叶变换的性能分析：
具体分析过程：
假设：
t|( t )|tt|( t )|)t-(t||( t )1D 2222022t dgdgg||
dGdGG|| 2222022 |)(|2 1|)(|)-(||)( 1D
定义：
0( t)t |t| glim 1t|( t )|||)(||2 1||( t )|| 222 dgGg
0t|( t )|t( t )1t 220 dg||g||
0|)(|)( 1 220 dG||G||
窗口傅立叶变换的性能分析：
计算 Dt2× D?2：
d|G|dg| 2-222t )(2 1t|( t )tDD
))(j( t ) }'{(t |( t )'22 1t( t )t 22 Ggdg|d|g|
2t( t )'( t )t |dgg|
22 ( t)t
2
1 |dg|
2
2
-
2 t( t )
2
1|( t )t
2
1
dgg
4
1?
海森堡测不准原理
0( t)t |t| glim 1t|( t )|||)(||
2
1||( t )|| 222
dgGg
窗口傅立叶变换的性能分析：
等号成立条件：
为某一常数a,( t )'a( t )t gg?
为一个解。 21( t ) 2
2
2
t-
eg
结论：
窗口傅立叶变换的时间分辨率和频率分辨率不可能同时提高，只能以一种分辨率的降低来换取另一种分辨率的提高。
以高斯函数作为窗函数相对来说综合效果最好。
d|G|dg| 2-222t )(2 1t|( t )tDD 2t( t )'( t )t |dgg| 41?
解决窗口傅立叶变换缺点的方法：
问题的提出：
窗口傅立叶变换窗口没有自适应性，只适合分析所有特征尺度大致相同的信号，不适于分析多尺度信号和突变过程。
解决方法：
引入窗口变化机制，同时求各种窗口大小下的变换，
这样变换系数中就同时包含各种特征尺度下信号的信息。
t)a b-t(( t )|a|b) ( a,2
1-
dgffT g
小波变换的分类：
连续小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。
离散参数小波变换
时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。
离散小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
连续小波变换：
连续小波变换的定义：
假设信号 f(t)? L2(R),则它的连续小波变换定义为：
t)a b-t(( t )|a|b) ) ( a,( 21- dffW
本小波小波原型或母小波或基,( t )?
小波函数，简称小波,Rb 0;a R,a ),a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,
尺度伸缩参数时间平移参数归一化因子
( t ) ( t ),t( t )( t )b) ) ( a,( ba,ba,
fdffW
一般可以简记为：
连续小波变换：
母小波的容许条件：
d|| ||
2)(
C
- 0t( t )( 0 ) d
即：
t)a b-t(( t )|a|b) ) ( a,( 21- dffW
母小波的例子：
Harr小波：
o t h e r s 0
1t1 / 2 1,-
1 / 2t0 1,
( t )
,
母小波的例子：
Mexico草帽小波：
2t-241 2)t-(1
3
2( t ) // e
母小波的例子：
Morlet小波：
2-ttj 2( t) /ee
连续小波变换：
连续小波变换的物理意义：
时域上的意义：数学显微镜（一组有效宽度不同的窗口傅立叶变换的汇集）
( t ) ( t ),t( t )( t )b) ) ( a,( ba,ba, fdffW
)a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,
连续小波变换：
频域上的意义：
若 f(t)的傅立叶变换为 F(?),?a,b(t)的傅立叶变换为?a,b(?)，
则根据 Parseval定理，有：
)( ),(2 1)()(2 1b) ) ( a,( ba,ba, FdFfW
)a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,
连续小波变换：
,恒 Q性质”：
假设?(t)的中心为 t0,有效宽度为 Dt；?(?)的中心为?0,有效宽度为 D?； 则?a,b(t)提取的是 f(t)在窗口 [b+at0-aDt/2,
b+at0+aDt/2]|中的性质，相应地从频域上说?a,b(?)提取地是
F(?)在窗口 [?0/a-D?/(2a),?0/a+D?/(2a)]中的性质，因此对于小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD?。
)a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,
连续小波变换的逆变换：
连续小波变换逆变换存在的可能性：
窗口宽度任意调节，在时域上或频域上能完全恢复出信号的信息。
连续小波变换结果有很大的冗余度。
以?a,b(t)为变换核的 连续小波变换的逆变换：
假设 f(t),?(t)? L2(R)：
( t ) ( t ),t( t )( t )b) ) ( a,( ba,ba, fdffW
ba a( t )b) ) ( a,(C( t ) 2ba,1- ddfWf
d
||
|| 2)(C
其中：
连续小波变换的逆变换：
证明思路：
( t ) ( t ),Cbab) ) ( a,b ) ( ) ( a,(a
P a r s e v a l ( R )L( t )( t )
- -
2-
2
gfddgWfW
gf
定理证明：利用，、假设
- 1 / 2-bj-tj-1 / 2-ba,)(a|at)a b-t(|a|)( |ede
dF|FffW )(a)(2 |a)( ),(2 1( t ) ( t ),b) ) ( a,( - 1 / 2ba,ba,
b
a
a)(tb) ) ( a,(C)(t
),t-(t( t )
20ba,
1-
0
0
ddfWf
g
代入有：令
ba a( t )b) ) ( a,(C( t ) 2ba,1- ddfWf
母小波的容许条件：
从逆变换公式可以看出母小波的容许条件：
d|| ||
2)(
C
- 0t( t )( 0 ) d
即：
ba a( t )b) ) ( a,(C( t ) 2ba,1- ddfWf
连续小波变换的逆变换的其他形式：
以不等于?a,b(t)的小波函数?a,b(t)为变换核的 连续小波变换的逆变换：
( t ) ( t ),t( t )( t )b) ) ( a,( ba,ba, fdffW
ba a( t )b) ) ( a,(C( t ) 2ba,1- ddfWf
d
||
)()(C
其中：
互为对偶关系小波变换的分类：
连续小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。
离散参数小波变换
时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。
离散小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
尺度和时移参数的离散化：
问题的提出：
连续小波变换中含有很多冗余信息，冗余信息不利于对信号的分析和处理。
连续小波变换的计算量也大。
由于连续小波变换中有冗余信息，可能对尺度和时移参数进行离散化后仍可重构信号。
尺度和时移参数离散化要解决的问题：
尺度和时移参数要怎样离散化？
尺度和时移参数离散化后要想重构信号对小波函数应有什么样的要求？
尺度和时移参数的离散化：
尺度和时移参数离散化的方法：
尺度参数的离散化：
a = a0j,j? Z （ 通常取 a0的值为 2，称为二进小波）
时移参数的离散化：取决于尺度参数
b = k× a0j,j,k? Z
)a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,
尺度和时移参数的离散化：
离散化后的小波变换：
k)-t(a|a|( t )( t ) -j0- j / 20ka,akj,j0j0小波函数：
( t ) ( t ),)ka,) ( a(C kj,j0j0kj, ffW变换系数：
怎样选择小波函数才能够重构信号：
小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。
小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很大。
尺度和时移参数的离散化：
重构信号小波函数应满足的条件（框架理论）：
对任意的 f(t)? L2(R),称 {?j,k}为一个框架，如果 存在正参数 A和 B（ 0? A? B <?），使得：
2
j k
2
kj,
2 ||||B,||||A fff
Zm l,k,j,,
},{}{
mk,j,l
ml,
kj,
kj,
kj,
，
有：的对偶此时存在
j k
kj,
kj,( t ),( t )
( t )
ff
f,有唯一的小波级数展开使得任意的分析小波合成小波尺度和时移参数的离散化：
框架的一种特殊情况－－紧框架：
定义,A = B的框架称为 紧框架 。
性质：
2
j k
2
kj,||||A,ff
j k kj,kj,
-1 ( t ),A( t ) ff
分析小波的对偶是它本身，类似于正交变换。
2
j k
2
kj,
2 ||||B,||||A fff
尺度和时移参数的离散化：
紧框架不是标准正交基的一个例子：
在二维实空间中有三个矢量：
)
2
1
-,
2
3
(
)
2
1
-,
2
3
(-
1) ( 0,
3
2
1
e
e
e
2
3
1j
2
j 2
3,|||||| vev
v
有：容易证明对于任意矢量
。但他们不是标准正交基尺度和时移参数的离散化：
紧框架成为标准正交基的条件：
若 {?j,k}为紧框架，框架界 A = B = 1,且对所有的 j,k
有,||?j,k || = 1，则 {?j,k}构成标准正交基。
证明：
m n nm,nm,( t ),( t ) ff
2
m n
nm,kj,2kj,|,|||||
2
jm
kn
kn
jm
nm,kj,
4
kj,|,|||||
时 时
nm,m n nm,kj,kj,,
标准正交小波基：
标准正交小波基的优点：
变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。
标准正交小波基与它的对偶相同。
计算简单：
j k kj,kj,( t )C( t ) f重构信号：
( t ) ( t ),C kj,kj, f变换系数：
问题：
怎样构造标准正交小波基？
多分辨率分析理论回答了该问题。
假设：以下使用的都是二进小波，即小波函数的形式为：
k)-t(22( t ) -j- j / 2kj,
多分辨分析的基本思想：
假设有一阶梯宽度为 1的函数，现用阶梯宽度比
1大（例如：阶梯宽度为 2)的函数来逼近：
o t h e r s 0
2t1 1,-
1t0 1,
( t )
,
o t h e r s 0,
2t0 1,( t )
多分辨分析的基本思想：
总结以上性质：
假设 Vj表示在 [k2j,(k+1)2j],k?Z各区间上分段恒定的函数，则有：
Vj? Vj-1
对于任何信号 f(t)?L2(R),f(t)在 Vj上的正交投影 PVj
反映的是用 2j大小的尺度观察信号得到的结果，故 Vj
实际上表示的是观察信号的分辨率。
令 Wj = {?j,k,k? Z},则 PVj-1与 PVj之差可用信号 f(t)
在 Wj上的投影来表示。
o t h e r s 0
2t1 1,-
1t0 1,
( t )
,
o t h e r s 0,
2t0 1,( t )
总结：
分析了傅立叶变换时间定位能力差的缺点，提出了窗口傅立叶变换的方法，然后通过分析窗口傅立叶变换的性能，得出窗口傅立叶变换无法兼顾时间定位精度和频率定位精度的结论。
根据使用单一宽度的窗口无法兼顾时间定位精度和频率定位精度的缺点，导出了小波分析的概念。
研究了连续小波变换的性质，连续小波变换的逆变换公式以及母小波的容许条件。
总结：
根据连续小波变换冗余度大的缺点，提出将尺度参数和时移参数进行离散化，并研究了离散化的方法和离散化后母小波所要满足的条件。
研究了标准正交小波基所要满足的条件，并初步分析了构造标准正交小波基所需要的多分辨率分析的理论。
作业：
p,295
交：习题 7.3,7.4
信号时频分析的重要性：
时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。
信号的时域和频域之间具有紧密的联系。
信号时频分析的主要方法：
傅立叶变换：
t( t ))( - tj- defF
deFf - tj)(21( t )
反映傅立叶变换缺点的例子：
例 1：从歌声中恢复乐谱反映傅立叶变换缺点的例子：
例 2：面向识别的汉字特征抽取傅立叶变换的缺点：
用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。
傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。
傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。
t( t ))( - tj- defF
deFf - tj)(2 1( t )
解决傅立叶变换缺点的方法：
例 1：从歌声中恢复乐谱解决傅立叶变换缺点的方法：
例 2：面向识别的汉字特征抽取窗口傅立叶变换（ Gabor变换）：
窗口傅立叶变换的定义：
假设 f(t)? L2(R),则以 g(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义为：
tb)-(t( t )b),( tj-- degfWF g
tjb b)-(t( t ) egg,令：
( t ) ( t ),
t( t )( t )b),(
b
- b
,
,g
gf
dgfWF
则：
窗口傅立叶变换的物理意义：
若 g(t)的有效窗口宽度为 Dt,则 WFg(?,b)给出的是 f(t)
在局部时间范围 [b - Dt/2,b + Dt/2]内的频谱信息。
有效窗口宽度 Dt越小，对信号的时间定位能力越强。
窗口傅立叶变换的频域性质：
问题的提出：
窗口傅立叶变换 WFg(?,b) = <f(t),g?,b(t)>给出的是信号在时域上的处理信息，一个很自然的问题是窗口傅立叶变换在频域上是怎样处理信号的？
假设 f(t)的傅立叶变换为 F(?),g?,b(t)的傅立叶变换为 G?,b(?),则根据 Parseval定理有：
WFg(?,b) = < F(?),G?,b(?)>/(2?)
窗口傅立叶变换频域上的物理意义：
若 G (?)的有效窗口宽度为 D?,则 WFg(?,b)给出的是
F(?)在局部频率范围 [? - D? /2,? + D? /2]内的频谱信息。
有效窗口宽度 D?越小，对信号的频率定位能力越强。
窗口傅立叶变换的应用：
面向识别的汉字特征抽取：
二维窗口傅立叶变换的一种形式：
其中：
12
2
2
2
2
1 2
2
1
yx
R
i
RR
yx
yx e x pe x p,,,;,g
c o ss i n
,s i nc o s
yx
yx
2
1RR
窗口傅立叶变换的应用：
抽取汉字特征：
窗口傅立叶变换的性能分析：
问题的提出：
窗口傅立叶变换是否既具有强的时间定位能力，又具有强的频率定位能力？
选择什么样的窗函数才能使得窗口傅立叶变换具有好的性能？
解决问题的思想：
从物理意义上来看 Dt和 D?是矛盾的，因此先定义 Dt
和 D?后，再计算 Dt和 D?的乘积用以作为判断窗口傅立叶变换性能的依据。
窗口傅立叶变换的性能分析：
具体分析过程：
假设：
t|( t )|tt|( t )|)t-(t||( t )1D 2222022t dgdgg||
dGdGG|| 2222022 |)(|2 1|)(|)-(||)( 1D
定义：
0( t)t |t| glim 1t|( t )|||)(||2 1||( t )|| 222 dgGg
0t|( t )|t( t )1t 220 dg||g||
0|)(|)( 1 220 dG||G||
窗口傅立叶变换的性能分析：
计算 Dt2× D?2：
d|G|dg| 2-222t )(2 1t|( t )tDD
))(j( t ) }'{(t |( t )'22 1t( t )t 22 Ggdg|d|g|
2t( t )'( t )t |dgg|
22 ( t)t
2
1 |dg|
2
2
-
2 t( t )
2
1|( t )t
2
1
dgg
4
1?
海森堡测不准原理
0( t)t |t| glim 1t|( t )|||)(||
2
1||( t )|| 222
dgGg
窗口傅立叶变换的性能分析：
等号成立条件：
为某一常数a,( t )'a( t )t gg?
为一个解。 21( t ) 2
2
2
t-
eg
结论：
窗口傅立叶变换的时间分辨率和频率分辨率不可能同时提高，只能以一种分辨率的降低来换取另一种分辨率的提高。
以高斯函数作为窗函数相对来说综合效果最好。
d|G|dg| 2-222t )(2 1t|( t )tDD 2t( t )'( t )t |dgg| 41?
解决窗口傅立叶变换缺点的方法：
问题的提出：
窗口傅立叶变换窗口没有自适应性，只适合分析所有特征尺度大致相同的信号，不适于分析多尺度信号和突变过程。
解决方法：
引入窗口变化机制，同时求各种窗口大小下的变换，
这样变换系数中就同时包含各种特征尺度下信号的信息。
t)a b-t(( t )|a|b) ( a,2
1-
dgffT g
小波变换的分类：
连续小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。
离散参数小波变换
时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。
离散小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
连续小波变换：
连续小波变换的定义：
假设信号 f(t)? L2(R),则它的连续小波变换定义为：
t)a b-t(( t )|a|b) ) ( a,( 21- dffW
本小波小波原型或母小波或基,( t )?
小波函数，简称小波,Rb 0;a R,a ),a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,
尺度伸缩参数时间平移参数归一化因子
( t ) ( t ),t( t )( t )b) ) ( a,( ba,ba,
fdffW
一般可以简记为：
连续小波变换：
母小波的容许条件：
d|| ||
2)(
C
- 0t( t )( 0 ) d
即：
t)a b-t(( t )|a|b) ) ( a,( 21- dffW
母小波的例子：
Harr小波：
o t h e r s 0
1t1 / 2 1,-
1 / 2t0 1,
( t )
,
母小波的例子：
Mexico草帽小波：
2t-241 2)t-(1
3
2( t ) // e
母小波的例子：
Morlet小波：
2-ttj 2( t) /ee
连续小波变换：
连续小波变换的物理意义：
时域上的意义：数学显微镜（一组有效宽度不同的窗口傅立叶变换的汇集）
( t ) ( t ),t( t )( t )b) ) ( a,( ba,ba, fdffW
)a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,
连续小波变换：
频域上的意义：
若 f(t)的傅立叶变换为 F(?),?a,b(t)的傅立叶变换为?a,b(?)，
则根据 Parseval定理，有：
)( ),(2 1)()(2 1b) ) ( a,( ba,ba, FdFfW
)a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,
连续小波变换：
,恒 Q性质”：
假设?(t)的中心为 t0,有效宽度为 Dt；?(?)的中心为?0,有效宽度为 D?； 则?a,b(t)提取的是 f(t)在窗口 [b+at0-aDt/2,
b+at0+aDt/2]|中的性质，相应地从频域上说?a,b(?)提取地是
F(?)在窗口 [?0/a-D?/(2a),?0/a+D?/(2a)]中的性质，因此对于小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD?。
)a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,
连续小波变换的逆变换：
连续小波变换逆变换存在的可能性：
窗口宽度任意调节，在时域上或频域上能完全恢复出信号的信息。
连续小波变换结果有很大的冗余度。
以?a,b(t)为变换核的 连续小波变换的逆变换：
假设 f(t),?(t)? L2(R)：
( t ) ( t ),t( t )( t )b) ) ( a,( ba,ba, fdffW
ba a( t )b) ) ( a,(C( t ) 2ba,1- ddfWf
d
||
|| 2)(C
其中：
连续小波变换的逆变换：
证明思路：
( t ) ( t ),Cbab) ) ( a,b ) ( ) ( a,(a
P a r s e v a l ( R )L( t )( t )
- -
2-
2
gfddgWfW
gf
定理证明：利用，、假设
- 1 / 2-bj-tj-1 / 2-ba,)(a|at)a b-t(|a|)( |ede
dF|FffW )(a)(2 |a)( ),(2 1( t ) ( t ),b) ) ( a,( - 1 / 2ba,ba,
b
a
a)(tb) ) ( a,(C)(t
),t-(t( t )
20ba,
1-
0
0
ddfWf
g
代入有：令
ba a( t )b) ) ( a,(C( t ) 2ba,1- ddfWf
母小波的容许条件：
从逆变换公式可以看出母小波的容许条件：
d|| ||
2)(
C
- 0t( t )( 0 ) d
即：
ba a( t )b) ) ( a,(C( t ) 2ba,1- ddfWf
连续小波变换的逆变换的其他形式：
以不等于?a,b(t)的小波函数?a,b(t)为变换核的 连续小波变换的逆变换：
( t ) ( t ),t( t )( t )b) ) ( a,( ba,ba, fdffW
ba a( t )b) ) ( a,(C( t ) 2ba,1- ddfWf
d
||
)()(C
其中：
互为对偶关系小波变换的分类：
连续小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。
离散参数小波变换
时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。
离散小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
尺度和时移参数的离散化：
问题的提出：
连续小波变换中含有很多冗余信息，冗余信息不利于对信号的分析和处理。
连续小波变换的计算量也大。
由于连续小波变换中有冗余信息，可能对尺度和时移参数进行离散化后仍可重构信号。
尺度和时移参数离散化要解决的问题：
尺度和时移参数要怎样离散化？
尺度和时移参数离散化后要想重构信号对小波函数应有什么样的要求？
尺度和时移参数的离散化：
尺度和时移参数离散化的方法：
尺度参数的离散化：
a = a0j,j? Z （ 通常取 a0的值为 2，称为二进小波）
时移参数的离散化：取决于尺度参数
b = k× a0j,j,k? Z
)a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,
尺度和时移参数的离散化：
离散化后的小波变换：
k)-t(a|a|( t )( t ) -j0- j / 20ka,akj,j0j0小波函数：
( t ) ( t ),)ka,) ( a(C kj,j0j0kj, ffW变换系数：
怎样选择小波函数才能够重构信号：
小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。
小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很大。
尺度和时移参数的离散化：
重构信号小波函数应满足的条件（框架理论）：
对任意的 f(t)? L2(R),称 {?j,k}为一个框架，如果 存在正参数 A和 B（ 0? A? B <?），使得：
2
j k
2
kj,
2 ||||B,||||A fff
Zm l,k,j,,
},{}{
mk,j,l
ml,
kj,
kj,
kj,
，
有：的对偶此时存在
j k
kj,
kj,( t ),( t )
( t )
ff
f,有唯一的小波级数展开使得任意的分析小波合成小波尺度和时移参数的离散化：
框架的一种特殊情况－－紧框架：
定义,A = B的框架称为 紧框架 。
性质：
2
j k
2
kj,||||A,ff
j k kj,kj,
-1 ( t ),A( t ) ff
分析小波的对偶是它本身，类似于正交变换。
2
j k
2
kj,
2 ||||B,||||A fff
尺度和时移参数的离散化：
紧框架不是标准正交基的一个例子：
在二维实空间中有三个矢量：
)
2
1
-,
2
3
(
)
2
1
-,
2
3
(-
1) ( 0,
3
2
1
e
e
e
2
3
1j
2
j 2
3,|||||| vev
v
有：容易证明对于任意矢量
。但他们不是标准正交基尺度和时移参数的离散化：
紧框架成为标准正交基的条件：
若 {?j,k}为紧框架，框架界 A = B = 1,且对所有的 j,k
有,||?j,k || = 1，则 {?j,k}构成标准正交基。
证明：
m n nm,nm,( t ),( t ) ff
2
m n
nm,kj,2kj,|,|||||
2
jm
kn
kn
jm
nm,kj,
4
kj,|,|||||
时 时
nm,m n nm,kj,kj,,
标准正交小波基：
标准正交小波基的优点：
变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。
标准正交小波基与它的对偶相同。
计算简单：
j k kj,kj,( t )C( t ) f重构信号：
( t ) ( t ),C kj,kj, f变换系数：
问题：
怎样构造标准正交小波基？
多分辨率分析理论回答了该问题。
假设：以下使用的都是二进小波，即小波函数的形式为：
k)-t(22( t ) -j- j / 2kj,
多分辨分析的基本思想：
假设有一阶梯宽度为 1的函数，现用阶梯宽度比
1大（例如：阶梯宽度为 2)的函数来逼近：
o t h e r s 0
2t1 1,-
1t0 1,
( t )
,
o t h e r s 0,
2t0 1,( t )
多分辨分析的基本思想：
总结以上性质：
假设 Vj表示在 [k2j,(k+1)2j],k?Z各区间上分段恒定的函数，则有：
Vj? Vj-1
对于任何信号 f(t)?L2(R),f(t)在 Vj上的正交投影 PVj
反映的是用 2j大小的尺度观察信号得到的结果，故 Vj
实际上表示的是观察信号的分辨率。
令 Wj = {?j,k,k? Z},则 PVj-1与 PVj之差可用信号 f(t)
在 Wj上的投影来表示。
o t h e r s 0
2t1 1,-
1t0 1,
( t )
,
o t h e r s 0,
2t0 1,( t )
总结：
分析了傅立叶变换时间定位能力差的缺点，提出了窗口傅立叶变换的方法，然后通过分析窗口傅立叶变换的性能，得出窗口傅立叶变换无法兼顾时间定位精度和频率定位精度的结论。
根据使用单一宽度的窗口无法兼顾时间定位精度和频率定位精度的缺点，导出了小波分析的概念。
研究了连续小波变换的性质，连续小波变换的逆变换公式以及母小波的容许条件。
总结：
根据连续小波变换冗余度大的缺点，提出将尺度参数和时移参数进行离散化，并研究了离散化的方法和离散化后母小波所要满足的条件。
研究了标准正交小波基所要满足的条件，并初步分析了构造标准正交小波基所需要的多分辨率分析的理论。
作业：
p,295
交：习题 7.3,7.4
