通知：
补课时间,12月 20日（星期四）下午 2,00。
地点：艺教 212。
考试时间改为 1月 11日（星期五）上午 8,00（电子系教学办安排的）。
要点回顾：
窗口傅立叶变换：
tjb b)-(t( t ) egg,其中：
( t ) ( t ),t( t )( t )b),( b- b,,g gfdgfWF定义：
的傅立叶变换。和分别为和其中：
频域表示：
( t )( t ))()(
)( ),(
2
1b),(
bb
bg
,,
,
gfGF
GFWF
4
1D D 22
t缺点：
要点回顾：
连续小波变换：
( t ) ( t ),t( t )( t )b) ) ( a,( ba,ba, fdffW定义：
Rb 0;a R,a ),a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,其中：
ba a( t )b) ) ( a,(C( t ) 2ba,1- ddfWf反变换：
d|| )()(C 其中：
/ ( 2 a ) ]D/a / ( 2 a ),D-/a[
/ 2 ]aDatb / 2,aD-at[b
00
t0t0
频域窗口时域窗口要点回顾：
离散参数小波变换：
( t ) ( t ),)ka,) ( a(C kj,j0j0kj, ffW变换系数：
k)-t(a|a|( t )( t ) -j0- j / 20ka,akj,j0j0小波函数：
j k
kj,kj,( t ),( t ) ff反变换：
要点回顾：
母小波函数：
有很大的选择余地。
-2 t( t )( 0 ) )(C dd|| || 或容许条件：
2
j k
2
kj,
2 ||||B,||||A fff框架条件：
正交性的区间是有界的。不为紧支集,0
对称性或反对称性连续性标准正交小波基：
标准正交小波基的优点：
变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。
标准正交小波基与它的对偶相同。
计算简单：
j k kj,kj,( t )C( t ) f重构信号：
( t ) ( t ),C kj,kj, f变换系数：
假设：
以下使用的都是二进小波，即小波函数的形式为：
k)-t(22( t ) -j- j / 2kj,
多分辨分析的基本思想：
假设有一阶梯宽度为 1的函数，现用阶梯宽度比
1大（例如：阶梯宽度为 2)的函数来逼近：
o t h e r s 0
1t1 / 2 1,-
1 / 2t0 1,
( t )
,
o t h e r s 0,
1t0 1,( t )
多分辨分析的基本思想：
总结以上性质：
假设 Vj表示在 [k2j,(k+1)2j],k?Z各区间上分段恒定的函数，则有：
Vj? Vj-1
对于任何信号 f(t)?L2(R),f(t)在 Vj上的正交投影 PVj
反映的是用 2j大小的尺度观察信号得到的结果，故 Vj
实际上表示的是观察信号的分辨率。
令 Wj = {?j,k,k? Z},则 PVj-1与 PVj之差可用信号 f(t)
在 Wj上的投影来表示。
o t h e r s 0,
1t0 1,( t )
o t h e r s 0
1t1 / 2 1,-
1 / 2t0 1,
( t )
,
信号空间 L2(R)的分解：
假设由母小波?(t)产生的小波函数 {?j,k(t),j,k?Z}
是 L2(R)空间的标准正交基，令：
Z}k ( t ),{W kj,j
2j1jm1jmj WWWV
则有：
ji,WW ji VW
jj?
jj1-j WVV m
J
jmJ WV
jZj2 W(R )L jZj V
1-jj1j VVV
多分辨分析的定义：
多分辨率分析是 L2(R)空间中相继逼近的函数空间 Vj的序列，这些闭子空间 Vj有以下性质：
Zj,VV ( 1) 1-jj
( R )LV ( 2) 2jZj
{ 0 }V ( 3 ) jZj
Vt)(2 V( 2 t ) V( t ) ( 4 ) 0j1-jj fff 或
Zk,Vk)2-(t V( t )
Zk,Vk)-(t V( t ) ( 5 )
j
j
j
00
ff
ff
或中的一个标准正交基构成使得，存在 0k00 Vk)-(t( t ) V( t ) ( 6 ),
多分辨分析的定义：
定义：
(t),多分辨分析的尺度函数。
例如：前面用来说明多分辨分析的基本思想的例子中?(t)的一种可能的选择是：
o t h e r s 0,
1t0 1,( t )
标准正交小波基的构造：
基本思想：
目标?性质? 答案
目标：
构造满足正交性条件的小波基。
o t h e r s 0
nk mj 1( t ) ( t ),
nm,kj,,
,
标准正交小波基的构造：
性质：
尺度函数的性质：
- 1t( t ) 1 低通特性,d 带通特性比较 0t( t ) - d
0t( t )( t ) WV 3 - nj,kj,jj d即：，、
mk 0
mk 1t( t )( t ) 4
- mj,kj,,
,d、
尺度系数,n)-( 2t( t ),h n)-( 2th2( t ) VV 5 n
Zn n1-0
,
Zn
nj-n
2
h) H ( ),
2()2H()( e其中：
n)-( 2t( t ),g n)-( 2tg2( t ) VW 6 n
Zn n1-0
,、
Zn
nj-n
2
g)G( ),
2()2G()( e其中：
e) ( a,1k)-(t 1,||( t )|| 2
-k
、
标准正交小波基的构造：
H(?)和?(?)的 关系：
)2()2H()(
)2()2) H (2H( 22
)2()2H( k
k
1j
j
)2()2H()( k
k
1j
jk
lim )0(2H(
1j
j
1j
j )2H(
标准正交小波基的构造：
性质：
尺度函数的性质：
- 1t( t ) 1 低通特性,d 带通特性比较 0t( t ) - d
e) ( a,1k)-(t 1,||( t )|| 2
-k
、
0t( t )( t ) WV 3 - nj,kj,jj d即：，、
mk 0
mk 1t( t )( t ) 4
- mj,kj,,
,d、
两尺度序列,n)-( 2t( t ),h n)-( 2th2( t ) VV 5 n
Zn n1-0
,
Zn
nj-n
2
h) H ( ),
2()2H()( e其中：
n)-( 2t( t ),g n)-( 2tg2( t ) VW 6 n
Zn n1-0
,、
Zn
nj-n
2
g)G( ),
2()2G()( e其中：
标准正交小波基的构造：
H(?)的条件：
Zn
nj-n
2
h) H ( ),
2()2H()( e其中：
de|| nj2)(21
tn)-(t( t )( n ) d
de|| nj
Zk
2k)2(
2
1
1k)2(
Zk
2
|| 1|k)2(||k)2H(|
Zk
22
1|)m22(||)m22H(||)m22(||)m22H(|
Zm
22
Zm
22
1|)2H(||)2H(| 22 1|)H(||)H(| 22
标准正交小波基的构造：
两尺度序列 hn的条件：
Zn
nj-n
2
h) H ( ),
2()2H()( e其中：
- 1t(t) d
e) ( a,1k)-(t
-k
1 H ( 0) 1( 0 )
)()(
-k
jk-
e
0) H ( Zk0 0,)( 2 k
2h
k k
k kk 0h( - 1 )
标准正交小波基的构造：
G(?)的条件：
1|)G(||)G(|
n)-(t( t )
22
的正交性同理可得：与利用
H(?)与 G(?)的联合条件：
0)(G)H()(G) H (
( t )( t )
的正交性同理可得：与利用标准正交小波基的构造：
hn和 gn的关系：
1|)H(||)H(| 22
1|)G(||)G(| 22
0)(G)H()(G)H(
1-n-1-nn h(- 1 )g?
)
2
(H)
2
G(
/2j
e
2N1n-
n
n
1n-
n
n
h( - 1 )g
h( - 1 )g
标准正交小波基的构造：
答案：
：序列选择满足条件的两尺度,nh 1
1|)H(||)H(| 22
2h
k k
k k
k 0h(- 1 )
：计算尺度函数,( t ) 2?
1j
j )2H()(
：计算母小波,( t ) 3?
)2()2(H)2()2G( )( /2je?
Zn n
n)-( 2 tg2( t ) 或者
de tj1j j )2H(2 1( t )
标准正交小波基举例：
自己看书（可能考类似的题）：
p,244 ~ p,251
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
问题的提出：
离散参数小波变换系数 Cj,k= <f(t),?j,k(t)>为连续时间函数的内积，不利于计算机计算。
是否能够找到比利用定义式计算小波变换系数高效快速的算法。
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
问题的分析：
为两尺度序列n
Zn n
h n)-( 2th2( t ),?
n)-( 2t( t ),g n)-( 2tg2( t ) n
Zn n
,
Zn n1,2 k-jnZn -jn1 ) / 2-(j-jj/2kj,( t )hn]-k)-t[ 2 ( 2h2k)-t(22( t )
Zn n1,2 k-jnZn -jn1 ) / 2-(j-jj / 2kj,( t )gn]-k)-t[ 2 ( 2g2k)-t(22( t )
nj,nj,
Zn
n1,-j2k-n
Zn
n1,-j2k-n
Zn
n1,2 k-jnkj,kj,
,d
dg,g,g( t ) ( t ),C
f
fff
其中：
n1,-jZn 2k-nn1,2 k-jZn nkj,kj,dh,h,d ff
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
计算小波级数系数的快速算法：
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
信号重构的问题：
信号利用小波分析分解以后，怎样进行快速重构？
问题的分析：
k kj,kj,jj ( t )d( t )PV( t ) ff假设,),d ( nj,nj, f
k k kj,kj,kj,kj,jj1-j ( t )C( t )d( t )( t )( t ) ff
k
J
1j k
kj,kj,kJ,kJ,
J
1j
jJ
k
k0k0,
0 ( t )C( t )d( t )( t )( t )d( t ) ff
,
k 2k-nkj,2k-nkj,k n1,-jkj,kj,k n1,-jkj,kj,n1,-j1-jn1,-j ]gCh[d,C,d d,f
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
重构信号的快速算法：
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
塔式算法（ Mallat算法）：
小波变换的分类：
连续小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。
离散参数小波变换
时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。
离散小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
离散小波变换：
离散小波变换的定义：
Zkj,n,k ),-n(22( n ) -j- j / 2kj,小波函数：
-n
kj,kj,kj,( n )( n )( n ) ( n ),C ff变换系数：
-j -k
kj,
kj,
1- ( n )CA( n ) f反变换：
离散小波变换：
离散小波变换的特殊问题：
小波函数的拉伸与压缩：
现象：根据母小波?(n)产生?(2n)只要抽取偶数下标即可，
但由?(n)产生?(n/2)只有偶数下标有值。
离散小波变换：
解决方法：无值处用内插方法，但对内插滤波器有一定的要求。
2( n ) /h ( 2 n )
( - n )h
的要求：对内插滤波器
k
2 k )-(m( k )( m ) '扩展：
内插方法：
m n)-(mh( m )'( n )'' 滤波：
k
m k
n)-( 2 kh( k )
n)-(mh]2 k)-(m( k )[
( n )'')
2
n
()
2
1
( 内插结果：
离散小波变换：
小波函数的分辨率和尺度的关系：
离散时间小波的尺度减小后，取样值数目要减少，因此要引起分辨率下降。
离散时间小波的尺度增大后，虽然会增加样本的数目，但内插样本是根据原来信号的样值计算的，并未增加新的细节，所以不会提高分辨率。
总结：
怎样构造标准正交小波基：研究在标准正交小波基条件下小波函数及尺度函数所具有的性质，
根据这些性质找出构造标准正交小波基的方法。
利用双尺度函数之间的关系以及尺度函数和小波函数之间的关系构造信号的分解和重构的快速算法（塔式算法）。
提出离散小波变换的定义并研究了离散小波变换小波函数的特点。
作业：
p,296
交：习题 7.8,7.9
补课时间,12月 20日（星期四）下午 2,00。
地点：艺教 212。
考试时间改为 1月 11日（星期五）上午 8,00（电子系教学办安排的）。
要点回顾：
窗口傅立叶变换：
tjb b)-(t( t ) egg,其中：
( t ) ( t ),t( t )( t )b),( b- b,,g gfdgfWF定义：
的傅立叶变换。和分别为和其中：
频域表示：
( t )( t ))()(
)( ),(
2
1b),(
bb
bg
,,
,
gfGF
GFWF
4
1D D 22
t缺点：
要点回顾：
连续小波变换：
( t ) ( t ),t( t )( t )b) ) ( a,( ba,ba, fdffW定义：
Rb 0;a R,a ),a b-t(|a|( t ) 1 / 2-ba,其中：
ba a( t )b) ) ( a,(C( t ) 2ba,1- ddfWf反变换：
d|| )()(C 其中：
/ ( 2 a ) ]D/a / ( 2 a ),D-/a[
/ 2 ]aDatb / 2,aD-at[b
00
t0t0
频域窗口时域窗口要点回顾：
离散参数小波变换：
( t ) ( t ),)ka,) ( a(C kj,j0j0kj, ffW变换系数：
k)-t(a|a|( t )( t ) -j0- j / 20ka,akj,j0j0小波函数：
j k
kj,kj,( t ),( t ) ff反变换：
要点回顾：
母小波函数：
有很大的选择余地。
-2 t( t )( 0 ) )(C dd|| || 或容许条件：
2
j k
2
kj,
2 ||||B,||||A fff框架条件：
正交性的区间是有界的。不为紧支集,0
对称性或反对称性连续性标准正交小波基：
标准正交小波基的优点：
变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。
标准正交小波基与它的对偶相同。
计算简单：
j k kj,kj,( t )C( t ) f重构信号：
( t ) ( t ),C kj,kj, f变换系数：
假设：
以下使用的都是二进小波，即小波函数的形式为：
k)-t(22( t ) -j- j / 2kj,
多分辨分析的基本思想：
假设有一阶梯宽度为 1的函数，现用阶梯宽度比
1大（例如：阶梯宽度为 2)的函数来逼近：
o t h e r s 0
1t1 / 2 1,-
1 / 2t0 1,
( t )
,
o t h e r s 0,
1t0 1,( t )
多分辨分析的基本思想：
总结以上性质：
假设 Vj表示在 [k2j,(k+1)2j],k?Z各区间上分段恒定的函数，则有：
Vj? Vj-1
对于任何信号 f(t)?L2(R),f(t)在 Vj上的正交投影 PVj
反映的是用 2j大小的尺度观察信号得到的结果，故 Vj
实际上表示的是观察信号的分辨率。
令 Wj = {?j,k,k? Z},则 PVj-1与 PVj之差可用信号 f(t)
在 Wj上的投影来表示。
o t h e r s 0,
1t0 1,( t )
o t h e r s 0
1t1 / 2 1,-
1 / 2t0 1,
( t )
,
信号空间 L2(R)的分解：
假设由母小波?(t)产生的小波函数 {?j,k(t),j,k?Z}
是 L2(R)空间的标准正交基，令：
Z}k ( t ),{W kj,j
2j1jm1jmj WWWV
则有：
ji,WW ji VW
jj?
jj1-j WVV m
J
jmJ WV
jZj2 W(R )L jZj V
1-jj1j VVV
多分辨分析的定义：
多分辨率分析是 L2(R)空间中相继逼近的函数空间 Vj的序列，这些闭子空间 Vj有以下性质：
Zj,VV ( 1) 1-jj
( R )LV ( 2) 2jZj
{ 0 }V ( 3 ) jZj
Vt)(2 V( 2 t ) V( t ) ( 4 ) 0j1-jj fff 或
Zk,Vk)2-(t V( t )
Zk,Vk)-(t V( t ) ( 5 )
j
j
j
00
ff
ff
或中的一个标准正交基构成使得，存在 0k00 Vk)-(t( t ) V( t ) ( 6 ),
多分辨分析的定义：
定义：
(t),多分辨分析的尺度函数。
例如：前面用来说明多分辨分析的基本思想的例子中?(t)的一种可能的选择是：
o t h e r s 0,
1t0 1,( t )
标准正交小波基的构造：
基本思想：
目标?性质? 答案
目标：
构造满足正交性条件的小波基。
o t h e r s 0
nk mj 1( t ) ( t ),
nm,kj,,
,
标准正交小波基的构造：
性质：
尺度函数的性质：
- 1t( t ) 1 低通特性,d 带通特性比较 0t( t ) - d
0t( t )( t ) WV 3 - nj,kj,jj d即：，、
mk 0
mk 1t( t )( t ) 4
- mj,kj,,
,d、
尺度系数,n)-( 2t( t ),h n)-( 2th2( t ) VV 5 n
Zn n1-0
,
Zn
nj-n
2
h) H ( ),
2()2H()( e其中：
n)-( 2t( t ),g n)-( 2tg2( t ) VW 6 n
Zn n1-0
,、
Zn
nj-n
2
g)G( ),
2()2G()( e其中：
e) ( a,1k)-(t 1,||( t )|| 2
-k
、
标准正交小波基的构造：
H(?)和?(?)的 关系：
)2()2H()(
)2()2) H (2H( 22
)2()2H( k
k
1j
j
)2()2H()( k
k
1j
jk
lim )0(2H(
1j
j
1j
j )2H(
标准正交小波基的构造：
性质：
尺度函数的性质：
- 1t( t ) 1 低通特性,d 带通特性比较 0t( t ) - d
e) ( a,1k)-(t 1,||( t )|| 2
-k
、
0t( t )( t ) WV 3 - nj,kj,jj d即：，、
mk 0
mk 1t( t )( t ) 4
- mj,kj,,
,d、
两尺度序列,n)-( 2t( t ),h n)-( 2th2( t ) VV 5 n
Zn n1-0
,
Zn
nj-n
2
h) H ( ),
2()2H()( e其中：
n)-( 2t( t ),g n)-( 2tg2( t ) VW 6 n
Zn n1-0
,、
Zn
nj-n
2
g)G( ),
2()2G()( e其中：
标准正交小波基的构造：
H(?)的条件：
Zn
nj-n
2
h) H ( ),
2()2H()( e其中：
de|| nj2)(21
tn)-(t( t )( n ) d
de|| nj
Zk
2k)2(
2
1
1k)2(
Zk
2
|| 1|k)2(||k)2H(|
Zk
22
1|)m22(||)m22H(||)m22(||)m22H(|
Zm
22
Zm
22
1|)2H(||)2H(| 22 1|)H(||)H(| 22
标准正交小波基的构造：
两尺度序列 hn的条件：
Zn
nj-n
2
h) H ( ),
2()2H()( e其中：
- 1t(t) d
e) ( a,1k)-(t
-k
1 H ( 0) 1( 0 )
)()(
-k
jk-
e
0) H ( Zk0 0,)( 2 k
2h
k k
k kk 0h( - 1 )
标准正交小波基的构造：
G(?)的条件：
1|)G(||)G(|
n)-(t( t )
22
的正交性同理可得：与利用
H(?)与 G(?)的联合条件：
0)(G)H()(G) H (
( t )( t )
的正交性同理可得：与利用标准正交小波基的构造：
hn和 gn的关系：
1|)H(||)H(| 22
1|)G(||)G(| 22
0)(G)H()(G)H(
1-n-1-nn h(- 1 )g?
)
2
(H)
2
G(
/2j
e
2N1n-
n
n
1n-
n
n
h( - 1 )g
h( - 1 )g
标准正交小波基的构造：
答案：
：序列选择满足条件的两尺度,nh 1
1|)H(||)H(| 22
2h
k k
k k
k 0h(- 1 )
：计算尺度函数,( t ) 2?
1j
j )2H()(
：计算母小波,( t ) 3?
)2()2(H)2()2G( )( /2je?
Zn n
n)-( 2 tg2( t ) 或者
de tj1j j )2H(2 1( t )
标准正交小波基举例：
自己看书（可能考类似的题）：
p,244 ~ p,251
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
问题的提出：
离散参数小波变换系数 Cj,k= <f(t),?j,k(t)>为连续时间函数的内积，不利于计算机计算。
是否能够找到比利用定义式计算小波变换系数高效快速的算法。
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
问题的分析：
为两尺度序列n
Zn n
h n)-( 2th2( t ),?
n)-( 2t( t ),g n)-( 2tg2( t ) n
Zn n
,
Zn n1,2 k-jnZn -jn1 ) / 2-(j-jj/2kj,( t )hn]-k)-t[ 2 ( 2h2k)-t(22( t )
Zn n1,2 k-jnZn -jn1 ) / 2-(j-jj / 2kj,( t )gn]-k)-t[ 2 ( 2g2k)-t(22( t )
nj,nj,
Zn
n1,-j2k-n
Zn
n1,-j2k-n
Zn
n1,2 k-jnkj,kj,
,d
dg,g,g( t ) ( t ),C
f
fff
其中：
n1,-jZn 2k-nn1,2 k-jZn nkj,kj,dh,h,d ff
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
计算小波级数系数的快速算法：
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
信号重构的问题：
信号利用小波分析分解以后，怎样进行快速重构？
问题的分析：
k kj,kj,jj ( t )d( t )PV( t ) ff假设,),d ( nj,nj, f
k k kj,kj,kj,kj,jj1-j ( t )C( t )d( t )( t )( t ) ff
k
J
1j k
kj,kj,kJ,kJ,
J
1j
jJ
k
k0k0,
0 ( t )C( t )d( t )( t )( t )d( t ) ff
,
k 2k-nkj,2k-nkj,k n1,-jkj,kj,k n1,-jkj,kj,n1,-j1-jn1,-j ]gCh[d,C,d d,f
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
重构信号的快速算法：
计算小波级数系数的塔式算法（ Mallat算法）：
塔式算法（ Mallat算法）：
小波变换的分类：
连续小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。
离散参数小波变换
时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。
离散小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
离散小波变换：
离散小波变换的定义：
Zkj,n,k ),-n(22( n ) -j- j / 2kj,小波函数：
-n
kj,kj,kj,( n )( n )( n ) ( n ),C ff变换系数：
-j -k
kj,
kj,
1- ( n )CA( n ) f反变换：
离散小波变换：
离散小波变换的特殊问题：
小波函数的拉伸与压缩：
现象：根据母小波?(n)产生?(2n)只要抽取偶数下标即可，
但由?(n)产生?(n/2)只有偶数下标有值。
离散小波变换：
解决方法：无值处用内插方法，但对内插滤波器有一定的要求。
2( n ) /h ( 2 n )
( - n )h
的要求：对内插滤波器
k
2 k )-(m( k )( m ) '扩展：
内插方法：
m n)-(mh( m )'( n )'' 滤波：
k
m k
n)-( 2 kh( k )
n)-(mh]2 k)-(m( k )[
( n )'')
2
n
()
2
1
( 内插结果：
离散小波变换：
小波函数的分辨率和尺度的关系：
离散时间小波的尺度减小后，取样值数目要减少，因此要引起分辨率下降。
离散时间小波的尺度增大后，虽然会增加样本的数目，但内插样本是根据原来信号的样值计算的，并未增加新的细节，所以不会提高分辨率。
总结：
怎样构造标准正交小波基：研究在标准正交小波基条件下小波函数及尺度函数所具有的性质，
根据这些性质找出构造标准正交小波基的方法。
利用双尺度函数之间的关系以及尺度函数和小波函数之间的关系构造信号的分解和重构的快速算法（塔式算法）。
提出离散小波变换的定义并研究了离散小波变换小波函数的特点。
作业：
p,296
交：习题 7.8,7.9
