通知：
考试时间,2002年 1月 11日（星期五）上午 8,00
地点：四教 4101
研究生选课,2002年 1月 5日上午 8,00 ～ 8日下午 16,00
多分辨分析的基本思想：
假设有一阶梯宽度为 1的函数，现用阶梯宽度比
1大（例如：阶梯宽度为 2)的函数来逼近：
o t h e r s 0
1t1 / 2 1,-
1 / 2t0 1,
( t )
,
o t h e r s 0,
1t0 1,( t )
要点回顾：
怎样构造标准正交小波基：研究在标准正交小波基条件下小波函数及尺度函数所具有的性质，
根据这些性质找出构造标准正交小波基的方法。
利用双尺度函数之间的关系以及尺度函数和小波函数之间的关系构造信号的分解和重构的快速算法（塔式算法）。
小波变换的分类：
连续小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。
离散参数小波变换
时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。
离散小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
离散小波变换：
离散小波变换的定义：
Zkj,n,k ),-n(22( n ) -j- j / 2kj,小波函数：
-n
kj,kj,kj,( n )( n )( n ) ( n ),C ff变换系数：
-j -k
kj,
kj,
1- ( n )CA( n ) f反变换：
离散小波变换：
离散小波变换的特殊问题：
小波函数的拉伸与压缩：
现象：根据母小波?(n)产生?(2n)只要抽取偶数下标即可，
但由?(n)产生?(n/2)只有偶数下标有值。
离散小波变换：
解决方法：无值处用内插方法，但对内插滤波器有一定的要求。
2( n ) /h ( 2 n )
( - n )h
的要求：对内插滤波器
k
2 k )-(m( k )( m ) '扩展：
内插方法：
m n)-(mh( m )'( n )'' 滤波：
k
m k
n)-( 2 kh( k )
n)-(mh]2 k)-(m( k )[
( n )'')
2
n
()
2
1
( 内插结果：
离散小波变换：
小波函数的分辨率和尺度的关系：
离散时间小波的尺度减小后，取样值数目要减少，因此要引起分辨率下降。
离散时间小波的尺度增大后，虽然会增加样本的数目，但内插样本是根据原来信号的样值计算的，并未增加新的细节，所以不会提高分辨率。
离散小波变换的快速算法：
问题的提出：
小波函数的拉伸需要大量的内插运算，但拉伸以后小波函数的分辨率却没有提高。
怎样高效快速地计算离散小波变换及其逆变换？
两种算法：
Trous算法
Mallat算法
Trous算法,
基本原理：
则：，同时为内插滤波器，令 ( n )( - n )g ( - n )h
k
n)-( 2 kh( k )( n )'')2n()21(
内插结果：
-n
1-
k1,k)-n(2( n )2
1C f
m
2 k )n-( m ) h ( 2 m)2 2k-n(21
m k ) )2 ( mg ( - m ) h ( - n
m m)k(m n)-m ) h ( 2 m-g ( k
n)-h ( 2 m( n )m)-g ( kn ) ]-m ) h ( 2 m-g ( k( n ) [C
m nn mk1,
ff
n1 n)-( n ) h ( 2 m( m ) ff m 1k1,( m )m)-g ( kC f
n 1-jj n)-( n ) h ( 2 m( m ) ff m jkj,( m )m)-g ( kC f
Trous滤波器
Trous算法：
算法流程图：
Mallat算法：
离散参数小波变换的 Mallat算法：
Mallat算法：
Mallat算法对滤波器的要求：
要满足进行多分辨分析的条件：双正交小波。
( n ),( n )
j k
kj,kj, ff
)k'-(k)j'-(j k'j ',kj,,)k'-(k k'j,kj,,
双正交小波器，则有：分析、合成的带通滤波分别为、通滤波器，分别为分析、合成的低、假设 gghh ~~
k k-2mk-2n 0gh ~
n)-(m]gghh[
k
m-2kn-2km-2kn-2k ~
~
k k 2h
k k 0g
Mallat算法：
基本原理：
离散小波变换的计算原理：
Zn n1,-j2k-nkj,dgC
n1,-jZn 2k-nkj,dhd
( n )gC 1-j
Zn 2k-nkj,
f
( n )h( k ) 1-j
Zn 2k-n
j ff?
Mallat算法：
逆离散小波变换的计算原理：
k k 2k-nkj,2k-nj1-j gCh( k)( n ) ~~ff
k 2k-nkj,2k-nkj,n1,-j ]gCh[dd
Mallat算法：
算法流程图：
离散时间信号多分辨分析理论：
问题的提出：
多分辨率分析是小波分析理论的重要特性。
离散小波变换小波函数的尺度拉伸和压缩具有一些特殊性。
离散时间信号和连续时间信号的多分辨率分析具有不同之处，需要从新的角度研究离散时间信号的多分辨率分析理论。
离散时间尺度：
离散时间信号的尺度：
离散时间信号时间方向放大或缩小的倍数。
问题的提出：
尺度变换是多分辨率分析的基础操作。
对尺度变换的数学表达是研究多分辨率分析的基础。
怎样根据离散信号的特点提出尺度变换的表达方法？
数学表达方法：
矩阵运算。
离散时间尺度：
离散时间信号 f(n)：
用列矢量 f表示：
f = [,.,f(-1) f(0) f(1),.,]T
尺度加倍：
在 f(n)的每两相邻取样值之间插入一个零样本值：
表示为 Df,D为一个矩阵。
100
000
010
000
001
2 l ) )-(m(D,Z} l m,; {D
mlml
D
2 l)-(n( l))(
ln
ffD
离散时间尺度：
对 Df进行低通滤波：
表示为 H’(Df),H’为矩阵：
01234
1-0123
2-1-012
3-2-1-01
4-3-2-1-0
nm-n
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
)( h ',Z} m n,; { h ' 为滤波器的冲激响应'H
l
2l-n
m l
m-nn
( l) h '
)2 l )-(m( l)(h')]([
f
f' fDH
离散时间尺度：
尺度减半：
抽取偶数下标序列值运算：
用左乘矩阵?表示：
10000
00100
00001
m ) )-( 2n(,Z}m n,; {
nmnm
离散时间尺度：
对 Hf抽取偶数下标：
01234
1-0123
2-1-012
3-2-1-01
4-3-2-1-0
nm-n
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
)(h,Z} m n,; {h 为滤波器的冲激响应H
l
l-2n
m l
l-mn
( l) h
)( l) hm ) (-( 2 n)]([
f
ffH
离散尺度变换：
尺度减半运算和尺度加倍运算的对比：
4-2-024
5-3-1-13
6-4-2-02
7-5-3-1-1
8-6-4-2-0
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
DH '
45678
23456
01234
2-1-012
4-3-2-1-0
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
H
）所有乘数取共轭后相同转置（所有箭头反向，互为程图尺度减半和尺度加倍流即：时，当
H e r m i t i a n
,)( }{h}{ h ' *Tnn- HDH '*
离散时间分辨率：
离散时间分辨率的定义：
若在原始信号 f(n)中，从每 2j个取样值内抽取出一个取样值来，所得到新的信号的分辨率为 r = 2-j。
离散时间信号的尺度和分辨率的关系：
增尺度运算只能使尺度变大而不改变分辨率，而减尺度运算不仅使尺度减小而且同时分辨率也下降。
尺度加倍，分辨率不变的运算,H’D
尺度减半，分辨率也减半的运算,?H
尺度不变而使分辨率减半的运算,A = H’D?H
离散时间分辨率：
给定尺度和分辨率下逼近信号是唯一的条件：
A = H’D?H = I
2 1 AAA?为正交投影矩阵：、
等效条件：
n
n-2m2l-n2m-n2l-nnn ml 0
ml 1hh'h h' hh' 2
,
,~,是双正交的：和、
多分辨率逼近的细节信号：
多分辨率分析的定义：
指原始信号被分解为几个具有不同分辨率的分量，
而且由这些分量能够不失真地重建原始信号。
基本做法：
分解阶段：将高分辨率的信号分解为低分辨率的信号和一些细节信号。
合成阶段：将低分辨率的信号加上细节信号以得到高分辨率的信号。
塔式变换：
基本原理：
将原始信号 f(n)分解为 J个尺度为 2-(j-1),分辨率为 2-j的细节信号，再加上一个尺度和分辨率都为 2-J的低分辨率信号。
以 J = 1为例：
低分辨率信号,?Hf
细节信号,f - Af = f - H’D?Hf
塔式变换：
算法流程图：
塔式变换：
缺点：
细节信号的尺度是其分辨率的两倍，因此浪费存储空间。
Mallat算法：
基本原理：
与 H’D与?H类似，定义 G’D与?G两种运算，分别对应于用冲激响应 g’n滤波尺度加倍和用 gn滤波尺度减半运算，同时?Gf是 f在尺度和分辨率都等于 1/2时的细节信号。
计算过程：
低分辨率信号,?Hf
细节信号,?Gf
合成方法,f - H’D?Hf = G’D?Gf
Mallat算法：
Mallat算法流程图：
计算离散小波变换的双通道滤波器的设计：
双通道滤波器：
计算离散小波变换的双通道滤波器的设计：
双通道滤波器的设计方法：
ml 0,
ml 1
hh'
h'h 1
n
n-2m2l-n
nn
,
即：，和通滤波器求满足双正交条件的低、
n
1n
n
n
n
n
nn
h'( - 1 )g
h( - 1 )g'
g'g 2,和求高通滤波器、
。算法实现离散小波变换用,M a l la t 3
总结：
利用离散小波变换尺度参数拉伸后分辨率不变的特点提出了两种离散小波变换的快速算法：
Trous算法和 Mallat算法。
根据离散时间信号的特点建立了离散时间信号的多分辨率分析理论。
考试时间,2002年 1月 11日（星期五）上午 8,00
地点：四教 4101
研究生选课,2002年 1月 5日上午 8,00 ～ 8日下午 16,00
多分辨分析的基本思想：
假设有一阶梯宽度为 1的函数，现用阶梯宽度比
1大（例如：阶梯宽度为 2)的函数来逼近：
o t h e r s 0
1t1 / 2 1,-
1 / 2t0 1,
( t )
,
o t h e r s 0,
1t0 1,( t )
要点回顾：
怎样构造标准正交小波基：研究在标准正交小波基条件下小波函数及尺度函数所具有的性质，
根据这些性质找出构造标准正交小波基的方法。
利用双尺度函数之间的关系以及尺度函数和小波函数之间的关系构造信号的分解和重构的快速算法（塔式算法）。
小波变换的分类：
连续小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都连续的小波变换。
离散参数小波变换
时间连续，控制窗口大小的参数和时移参数离散的小波变换。
离散小波变换
时间、控制窗口大小的参数和时移参数都离散的小波变换。
离散小波变换：
离散小波变换的定义：
Zkj,n,k ),-n(22( n ) -j- j / 2kj,小波函数：
-n
kj,kj,kj,( n )( n )( n ) ( n ),C ff变换系数：
-j -k
kj,
kj,
1- ( n )CA( n ) f反变换：
离散小波变换：
离散小波变换的特殊问题：
小波函数的拉伸与压缩：
现象：根据母小波?(n)产生?(2n)只要抽取偶数下标即可，
但由?(n)产生?(n/2)只有偶数下标有值。
离散小波变换：
解决方法：无值处用内插方法，但对内插滤波器有一定的要求。
2( n ) /h ( 2 n )
( - n )h
的要求：对内插滤波器
k
2 k )-(m( k )( m ) '扩展：
内插方法：
m n)-(mh( m )'( n )'' 滤波：
k
m k
n)-( 2 kh( k )
n)-(mh]2 k)-(m( k )[
( n )'')
2
n
()
2
1
( 内插结果：
离散小波变换：
小波函数的分辨率和尺度的关系：
离散时间小波的尺度减小后，取样值数目要减少，因此要引起分辨率下降。
离散时间小波的尺度增大后，虽然会增加样本的数目，但内插样本是根据原来信号的样值计算的，并未增加新的细节，所以不会提高分辨率。
离散小波变换的快速算法：
问题的提出：
小波函数的拉伸需要大量的内插运算，但拉伸以后小波函数的分辨率却没有提高。
怎样高效快速地计算离散小波变换及其逆变换？
两种算法：
Trous算法
Mallat算法
Trous算法,
基本原理：
则：，同时为内插滤波器，令 ( n )( - n )g ( - n )h
k
n)-( 2 kh( k )( n )'')2n()21(
内插结果：
-n
1-
k1,k)-n(2( n )2
1C f
m
2 k )n-( m ) h ( 2 m)2 2k-n(21
m k ) )2 ( mg ( - m ) h ( - n
m m)k(m n)-m ) h ( 2 m-g ( k
n)-h ( 2 m( n )m)-g ( kn ) ]-m ) h ( 2 m-g ( k( n ) [C
m nn mk1,
ff
n1 n)-( n ) h ( 2 m( m ) ff m 1k1,( m )m)-g ( kC f
n 1-jj n)-( n ) h ( 2 m( m ) ff m jkj,( m )m)-g ( kC f
Trous滤波器
Trous算法：
算法流程图：
Mallat算法：
离散参数小波变换的 Mallat算法：
Mallat算法：
Mallat算法对滤波器的要求：
要满足进行多分辨分析的条件：双正交小波。
( n ),( n )
j k
kj,kj, ff
)k'-(k)j'-(j k'j ',kj,,)k'-(k k'j,kj,,
双正交小波器，则有：分析、合成的带通滤波分别为、通滤波器，分别为分析、合成的低、假设 gghh ~~
k k-2mk-2n 0gh ~
n)-(m]gghh[
k
m-2kn-2km-2kn-2k ~
~
k k 2h
k k 0g
Mallat算法：
基本原理：
离散小波变换的计算原理：
Zn n1,-j2k-nkj,dgC
n1,-jZn 2k-nkj,dhd
( n )gC 1-j
Zn 2k-nkj,
f
( n )h( k ) 1-j
Zn 2k-n
j ff?
Mallat算法：
逆离散小波变换的计算原理：
k k 2k-nkj,2k-nj1-j gCh( k)( n ) ~~ff
k 2k-nkj,2k-nkj,n1,-j ]gCh[dd
Mallat算法：
算法流程图：
离散时间信号多分辨分析理论：
问题的提出：
多分辨率分析是小波分析理论的重要特性。
离散小波变换小波函数的尺度拉伸和压缩具有一些特殊性。
离散时间信号和连续时间信号的多分辨率分析具有不同之处，需要从新的角度研究离散时间信号的多分辨率分析理论。
离散时间尺度：
离散时间信号的尺度：
离散时间信号时间方向放大或缩小的倍数。
问题的提出：
尺度变换是多分辨率分析的基础操作。
对尺度变换的数学表达是研究多分辨率分析的基础。
怎样根据离散信号的特点提出尺度变换的表达方法？
数学表达方法：
矩阵运算。
离散时间尺度：
离散时间信号 f(n)：
用列矢量 f表示：
f = [,.,f(-1) f(0) f(1),.,]T
尺度加倍：
在 f(n)的每两相邻取样值之间插入一个零样本值：
表示为 Df,D为一个矩阵。
100
000
010
000
001
2 l ) )-(m(D,Z} l m,; {D
mlml
D
2 l)-(n( l))(
ln
ffD
离散时间尺度：
对 Df进行低通滤波：
表示为 H’(Df),H’为矩阵：
01234
1-0123
2-1-012
3-2-1-01
4-3-2-1-0
nm-n
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
)( h ',Z} m n,; { h ' 为滤波器的冲激响应'H
l
2l-n
m l
m-nn
( l) h '
)2 l )-(m( l)(h')]([
f
f' fDH
离散时间尺度：
尺度减半：
抽取偶数下标序列值运算：
用左乘矩阵?表示：
10000
00100
00001
m ) )-( 2n(,Z}m n,; {
nmnm
离散时间尺度：
对 Hf抽取偶数下标：
01234
1-0123
2-1-012
3-2-1-01
4-3-2-1-0
nm-n
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
)(h,Z} m n,; {h 为滤波器的冲激响应H
l
l-2n
m l
l-mn
( l) h
)( l) hm ) (-( 2 n)]([
f
ffH
离散尺度变换：
尺度减半运算和尺度加倍运算的对比：
4-2-024
5-3-1-13
6-4-2-02
7-5-3-1-1
8-6-4-2-0
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
h'h'h'h'h'
DH '
45678
23456
01234
2-1-012
4-3-2-1-0
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
hhhhh
H
）所有乘数取共轭后相同转置（所有箭头反向，互为程图尺度减半和尺度加倍流即：时，当
H e r m i t i a n
,)( }{h}{ h ' *Tnn- HDH '*
离散时间分辨率：
离散时间分辨率的定义：
若在原始信号 f(n)中，从每 2j个取样值内抽取出一个取样值来，所得到新的信号的分辨率为 r = 2-j。
离散时间信号的尺度和分辨率的关系：
增尺度运算只能使尺度变大而不改变分辨率，而减尺度运算不仅使尺度减小而且同时分辨率也下降。
尺度加倍，分辨率不变的运算,H’D
尺度减半，分辨率也减半的运算,?H
尺度不变而使分辨率减半的运算,A = H’D?H
离散时间分辨率：
给定尺度和分辨率下逼近信号是唯一的条件：
A = H’D?H = I
2 1 AAA?为正交投影矩阵：、
等效条件：
n
n-2m2l-n2m-n2l-nnn ml 0
ml 1hh'h h' hh' 2
,
,~,是双正交的：和、
多分辨率逼近的细节信号：
多分辨率分析的定义：
指原始信号被分解为几个具有不同分辨率的分量，
而且由这些分量能够不失真地重建原始信号。
基本做法：
分解阶段：将高分辨率的信号分解为低分辨率的信号和一些细节信号。
合成阶段：将低分辨率的信号加上细节信号以得到高分辨率的信号。
塔式变换：
基本原理：
将原始信号 f(n)分解为 J个尺度为 2-(j-1),分辨率为 2-j的细节信号，再加上一个尺度和分辨率都为 2-J的低分辨率信号。
以 J = 1为例：
低分辨率信号,?Hf
细节信号,f - Af = f - H’D?Hf
塔式变换：
算法流程图：
塔式变换：
缺点：
细节信号的尺度是其分辨率的两倍，因此浪费存储空间。
Mallat算法：
基本原理：
与 H’D与?H类似，定义 G’D与?G两种运算，分别对应于用冲激响应 g’n滤波尺度加倍和用 gn滤波尺度减半运算，同时?Gf是 f在尺度和分辨率都等于 1/2时的细节信号。
计算过程：
低分辨率信号,?Hf
细节信号,?Gf
合成方法,f - H’D?Hf = G’D?Gf
Mallat算法：
Mallat算法流程图：
计算离散小波变换的双通道滤波器的设计：
双通道滤波器：
计算离散小波变换的双通道滤波器的设计：
双通道滤波器的设计方法：
ml 0,
ml 1
hh'
h'h 1
n
n-2m2l-n
nn
,
即：，和通滤波器求满足双正交条件的低、
n
1n
n
n
n
n
nn
h'( - 1 )g
h( - 1 )g'
g'g 2,和求高通滤波器、
。算法实现离散小波变换用,M a l la t 3
总结：
利用离散小波变换尺度参数拉伸后分辨率不变的特点提出了两种离散小波变换的快速算法：
Trous算法和 Mallat算法。
根据离散时间信号的特点建立了离散时间信号的多分辨率分析理论。
