线性代数与空间解析几何是我校工科各专业必修的重要基础理论课,是工科数学教学三门主要课程之一,在一般工科专业的教学中占有极重要的地位,在工程技术,科学研究和各行各业中有广泛的应用,
本课程的特点是将线性代数与空间解析几何融为了一门课程,代数中的许多概念非常抽象,
几何为抽象的代数提供了直观想象的空间,代数为几何提供了便利的研究工具,代数与几何的融合能加强学生对数与形内在联系的理解,学会用代数的方法处理几何问题,
简 介线性代数内容包括：行列式,矩阵,向量代数,线性方程组,特征值与特征向量,二次型,线性空间与线性变换等,
解析几何的内容包括：几何向量,空间中的平面与直线,二次曲面,
第一章 n阶行列式在工程技术和科学研究中,有很多问题需要用到,行列式,这个 数学工具 。 本章主要讨论如下几个问题：
1,行列式的定义； 2,行列式的性质；
3,行列式的计算； 4,Cramer 法则,
1.1 n阶行列式
1.1.1 二阶,三阶行列式
n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究：
设二元线性方程组
（ 1）
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
其中
021122211 aaaa
现在讨论线性方程组 （ 1） 的求解公式,
对 （ 1） 作加减消元得,
21122211
211211
2
21122211
212221
1
aaaa
abba
x
aaaa
baab
x
22211211,,,aaaa
（ 2）
式（ 2）就是式（ 1）的解，但（ 2）不易记忆，
因此有必要引进新的符号 --,行列式”来表示
（ 2）式．
定义,设 是四个数,称代数和
21122211 aaaa? 为二阶行列式,记作
2221
1211
aa
aa
21122211 aaaa?
称为这个二阶行列式的元素,的两个下角标 分别表示所在的行和列的序号,
常称 是行列式的 （ ） 元素,
)2,1,(?jia ij
ija
ji,
ija
ji,
对线性方程组 （ 1）,记
D?
2221
1211
aa
aa
021122211 aaaa
1D 212221
222
121 baab
ab
ab
211211
221
111
2 abbaba
ba
D
(1)的解（ 2）可写成
.;
2
2
1
1
D
D
x
D
D
x
22
153
21
21
xx
xx
由于
0)1(523
21
53
D ;
,82521
22
51
1
D
,7)1(123
21
13
2
D
对线性方程组为了得出关于三元线性方程组
.
11
7;
11
8
2
2
1
1
D
D
x
D
D
x则方程组的解可以写成
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的类似解法,我们引入三阶行列式,
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
=
332112322311
312213322113
312312332211
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
定义,称为三阶行列式,
例如
10
012321411400
012
211
403
.
0
987
654
321
为了研究 n元线性方程组我们把二阶和三阶行列式加以推广,引入 n阶行列式,
1.1.2 全排列的逆序数,对换为了给出 n阶行列式的定义,首先介绍全排列的,逆序数,与全排列的,对换,,
定义,把 n个不同的元素排成一列,叫做这 n个元素的全排列,或 n阶排列 （ 简称排列 ）,n个不同元素的排列共有 种!n
例如,自然数 1,2,3的排列共有六种：
123,132,213,231,312,321．
为了方便起见，今后把自然数 视为
n个不同的元素的代表。用 表示这 n个不同的元素中的一个,且 时 于是 便是 的一个排列．
ip
),,2,1( np i ji? ji pp?
npppp321 n,2,1
n,2,1
对于排列,称排在 前且比 大的数的个数 为 的逆序数,把这个排列中各数的逆序数之和称为这个排列的逆序数,
npppp321 ip ip
ipit
逆序数为奇数的排列称为奇排列 ;逆序数为偶数的排列称为偶排列；
(? npppp321 ),
(? )123 n = 0 ；n123
(?
2
)1(
)1(321)32 1)2)(1(
nn
nnnn；;413000)23 51 4(
,541000)2 3 5 4 1(
记作：
例 3
例 1 自然排列例２ 排列 3 2 1)2)(1( nnn 的逆序数为求排列的逆序数例 ４
逆序数为
（ )2?n
定义,在一个排列中,将某两个数的位置对调
（ 其他数不动 ） 的变动叫做一个对换,
定理 1.1 一个排列中的任意两个数对换后,排列改变奇偶性,
定理 1.2 在全部 n 阶排列中,奇偶排列各占一半,
n
n
n
ppp
nppp
ppp
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
21
)(
21
22221
11211
)1(
为 n阶行列式,其中?
nppp 21
是对所有 n阶排列
npppp321 取和,
此行列式可简记
)( ija?
或,
记一阶行列式 ；
1111 aa?
nijaD?
1.1.3 n阶行列式的定义定义 n2个元素排成 n行 n列，称
nn
nn
n
n
aaa
a
aa
aaa
D
2211
222
11211
00
0；
11,21
2
)1(
1,21
21,2
1
)1(
00
000
nnn
nn
nnnnnn
nn
n
aaa
aaaa
aa
a
D
例 5 三角形行列式 （ 或对角形行列式 ） 等于主对角线上 n个元素的乘积,
例 6 负三角形行列式
n阶行列式的等价定义：
1 2 1 2
1 1 2 2
12
( ) ( )
( 1 )
nn
nn
n
i i i j j j
i j i j i j
j j j
D a a a
nn
n
nn
jijiji
jjj
jjjiii
aaa
2211
21
2121
)()(
)1()1(
；
12
12
1 1 2 2
12
12
12
12
()
()
()
12
( 1 ) ( 1 )
( 1 )
jn
n
nn
n
n
n
n
j j i
i i i
i j i j i j
i i i
i i i
i i i n
i i i
D a a a
D a a a
1.2 n 阶行列式的性质定义,设
nijaD?
,称
nnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
D
21
22212
12111
为 D 的转置行列式,
性质 1 行列式与转置行列式相等,即
.TDD?
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
inii
jnjj
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
性质 2 互换行列式的两行 （ 列 ）,行列式变号,即
11 1 1 2
12
12
12
0
n
i i in
i i in
n n n n
aaa
a a a
a a a
a a a
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则该行列式为零，即性质 3 把行列式的某一行 （ 列 ） 的所有元素同乘以数 c,等于用数 c乘以这个行列式,即
c
aaa
cacaca
aaa
nnnn
inii
n
21
21
11211
cD
aaa
aaa
aaa
nnnn
inii
n
21
21
11211
推论 1 如果行列式某一行 （ 列 ） 有公因子 k时,
则该公因子 k可以提到行列式的符号外面,
性质 4 如果行列式某行 （ 列 ） 的所有元素都是两数之和,则该行列式为两行列式之和,即推论 2 如果行列式有两行 （ 列 ） 成比例,
则该行列式为零,
nnnn
ininiiii
n
aaa
bababa
aaa
21
2211
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
+
nnnn
inii
n
aaa
bbb
aaa
21
21
11211
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
nnnn
jnjj
jninjiji
n
aaa
aaa
caacaacaa
aaa
21
21
2211
11211
利用这些性质可以化简行列式的计算,得行列式计算的三角形法：即化行列式为三角形行列式性质 5 把行列式的某一行 （ 列 ） 的各元素同乘以数 c加到另一行 （ 列 ） 的对应元素上去,
则行列式的值不变,即例７ 计算行列式
10531
8521
7432
4321
D
解
6210
4200
1210
4321
10531
8521
1210
4321
14
13
12
)1()2(
rr
rr
rr
D
a
cba
cba
cba
333
222
111
b
bca
bca
bca
33
'
3
22
'
2
11
'
1
D
332211
321
'
33
'
22
'
11
333
222
bcbcbc
bbb
aaaaaa
例８ 已知计算
10
5000
4200
1210
4321
24
rr
解 由性质 4
D
321
321
'
33
'
22
'
11 222
ccc
bbb
aaaaaa
+
321
321
'
33
'
22
'
11
333
222
bbb
bbb
aaaaaa
321
321
'
33
'
22
'
11
222
ccc
bbb
aaaaaa
= （ 推论 2）
= （ 性质 4）
321
321
321
ccc
bbb
aaa
+
321
321
'
3
'
2
'
1
222
ccc
bbb
aaa
333
222
111
cba
cba
cba
2?
33
'
3
22
'
2
11
'
1
bca
bca
bca
ba 2
= （ 性质 1及推论 1）
下面讨论将 n阶行列式转化为 n-1阶行列式计算的问题,即,1.3 行列式展开定理,
定义,在给定的 n阶行列式 中,把元素所在的 i行和 j列的元素划去,剩余元素构成的
n-1阶行列式称为元素 的余子式,记作 ;
而元素 的代数余子式记作,
定义
nijaD?
ija
ija
ija
ijM
ij A
.)1( ijjiij MA
10531
8521
7432
4321
D
12)1(;12
1053
852
432
.11)1(;11
1053
852
743
21
12
2121
11
11
1111
MAM
MAM
例９ 在行列式 中定理 1.3 n阶行列式 等于它的任意一行 （ 列 ）
的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和,即n
ijaD?
).,,2,1(
);,,2,1(
2211
2211
njAaAaAaD
niAaAaAaD
njnjjjjj
ininiiii
定理 1.4 n阶行列式,则
nijaD?
ji
jiD
AaAaAa jninjiji
0
2211
利用符号函数
.2211
0
1
ijjninjiji
ij
DAaAaAa
ji
ji
证明：由
0
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
G
及性质 6将 G按 j 行展开有
02211 jninjiji AaAaAaG
4
11
22
011
022
119
0110
0220
1190
1031
0110
1211
4103
1031
13
12 3
rr
rr
D
例 1０
mxxxx
xmxxx
xxmxx
xxxmx
D
n
n
n
n
321
321
321
321
例 11 计算 行列式
mxxxm
xmxxm
xxxm
D
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
2
1
2
1
2
1
mxx
xmx
xx
xm
n
n
n
n
i
i
2
2
2
1
1
1
1
)(
m
m
xx
xm
n
n
i
i
00
00
1
)(
2
1
1
1
)()(?
n
n
i
i mxm
解 将各列都加到第一列后再提出公因子得
0110
1211
4103
1031
D
34333231 AAAA
例 1２ 已知计算 （ 1）
（ 2）
34333231 MMMM
34333231 AAAA
0110
1111
4103
1031
34333231 MMMM
0110
1111
4103
1031
解 =–3
=–25
2222
1211
4103
1031
D 34333231 AAAA
例 13 已知计算
03444334332423141 AaAaAaAa解
02222 34333231 AAAA
034333231 AAAA
例 14 不计算 行列式值,利用性质证明证 令
133
312
2
)(
x
x
xx
xf
由于 )(xf 是 的三次多项式,且x
,0
333
332
222
)2(,0
233
322
211
)1( ff
)3)(2)(1(
133
312
2
xxx
x
x
xx
0
233
322
233
)3(?
f
因此有 )3)(2)(1(
133
312
2
xxx
x
x
xx
例 15 求方程 0
163
222
123
x
x
x 的根,
解
162
220
122
163
222
123
31
xx
x
x
x
x
x
cc
0)4()2()82)(2(
4
22
)2(
40
220
121
)2(
22
)2(
13
1
xxxxx
x
x
x
x
xx
rr
cx
所求根为 x = 2 和 x = -4.
y
y
x
x
D
1111
1111
1111
1111
例 16 计算行列式的值解
21
43
1 2 3 22
3 2 4
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1
000
1 1 0 0
0 0 0
0 0 1 1
xx
rr xx
D x y
rr yy
yy
x
r r r
x y x y
r r r y
总结 n阶行列式的计算
n阶行列式的计算主要有如下几种方法：
1 定义法 — 利用 n阶行列式的定义计算 ;
2 三角形法 — 利用性质 1— 性质 5化为三角形行列式来计算；
3 展开法 — 利用行列式的按行（列）展开性质 6对行列式进行降阶计算 ；
4 综合法 — 利用性质 1— 性质 5先使 D的某行
（列）有尽可能多的零，再用性质 6对行列式进行降阶计算 ;
5 加边法 ;
6 递推公式法；
7 归纳法。
例 17 求方程
0
163
222
123
x
x
x 的根。
解
162
220
122
163
222
123
31
xx
x
x
x
x
x
cc
所求根为 x=2 和 x=-4。
例 18 计算 n阶行列式例 19 计算 行列式
mxxxx
xmxxx
xxmxx
xxxmx
D
n
n
n
n
321
321
321
321
mxxxm
xmxxm
xxxm
D
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
2
1
2
1
2
1
mxx
xmx
xx
xm
n
n
n
n
i
i
2
2
2
1
1
1
1
)(
m
m
xx
xm
n
n
i
i
00
00
1
)(
2
1
1
1
)()(?
n
n
i
i mxm
例 20 计算 n+1阶行列式
nn
n
db
db
db
aaaa
D
00
00
00
22
11
210
解
0,;...
),...,2,1(0;)(
00
00
00
1121
1
210
22
11
210
iniiii
k
n
k
n
k
kk
nn
n
didddddba
nkdddd
d
ba
a
db
db
db
aaaa
D
（ 1 ）当
n
ddd,,,
21
全不为零时
n
k
n
k
kk
n
n
n
k k
kk
cc
ddd
d
ba
a
d
d
d
aaa
d
ba
a
D
j
j
d
j
b
1
210
2
1
21
1
0;)(
000
000
000
1
（ 2 ）当 n
ddd,,,
21
有一个为零时，如
0?
i
d
则
nn
i
i
ii
niii
cc
db
d
b
bd
bd
aaaaaa
D
i
0
0
0
0
1
11
11
1011
11
按第一列展开
niiii
n
i
i
i
i
ddddba
d
d
b
d
d
aD
111
1
1
1
例 21 设 n阶三对角行列式
nn
nnn
nnn
n
D
1
112
223
332
221
11
证明,递推关系式
)2(2111 nDDD nnnnnn
证明 对第 n列用性质 6展开,得
12
223
332
221
11
nn
nnn
nn
D
1
223
332
221
11
1
n
nnn
n
,
2111
nnnnn
DD
例 22 计算 n阶行列式
21
121
121
121
12
n
D
解 由上例有
211
212
nnnn
nnn
DDDD
DDD
= 1231232 DDDD nn?
因而有
1
1
nn
DD
1
)1(2)1(
32)1(
21)1(
1
33
22
n
nnD
DD
DD
nn
nn
例 23 证明 n阶行列式
1
1
1
1
n
D
11 nn a
证明 对行列式阶数 n用数学归纳法证明
n=2时，
12
D
2)(
33 a
结论成立。
21)( nnn DDD
nn a
假设结论对 n-1阶行列式成立，即则对于 n阶行列式 按一列展开有
nD
1?nD
11 nnnn aa
11 nn a
例 24 证明 n阶范德蒙德 （ Vandermonder）
行列式
)2()(
1111
1
11
3
1
2
1
1
22
3
2
2
2
1
321
nxx
xxxx
xxxx
xxxx
V
nji
ij
n
n
nnn
n
n
n
证明 对行列式阶数 n用数学归纳法,n=2时,
12
21
2
11
xx
xx
D
结论成立。
假设结论对 n-1阶行列式成立，即
11
1 )(
nji
ijn xxD
则对于 n阶行列式 有
nD
0
0
0
1111
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
12
2
21
2
1
121
12
21
1
n
n
n
n
nn
nn
n
nn
nnnnn
nnnn
rxr
rxr
rxr
n
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
D
n
nnn
nnn
nji
ij
nji
ij
nk
kn
nnnnn
n
n
n
xx
xxxx
Dxxxxxx
A
1
1111
1121
1
1
1
)(
))()()((
)())(()1(
)1(
.
由数学归纳法，结论对任意自然数 n都成立,
1,4 拉普拉斯（ Laplace）展开定理定义 1.7 在 n阶行列式 D中,任取 k行 k 列,位于这 k
行 k 列交叉位置的元素按原行列式 D中的相对位置排成的 k阶行列式 N称为行列式 D的一个 k阶子式,
定义：在 D中,划去 k阶子式 N所在的 k行 k 列,剩余元素按原行列式 D中的相对位置排成的 n -k阶行列式 M称为 k阶子式 N 的余子式,
如果子式 N的 k行 k列在 D中的行标与列标分别为则称为 N的代数余子式,
例如,在 5阶行列式 中,取第 2,4行和第 1,4列,
kk jjjiii,,,,,,,2121
MA kk jjjiii )()( 2121)1(
5ijaD?
4441
2421
aa
aa
N?
是 D的一个二阶子式,
555352
353332
151312
aaa
aaa
aaa
M? 是 N的余子式 ;
MMA )41()42()1( 为 N的代数余子式,
定理 1.3 (Laplace定理 ) 设在 n阶行列式 D中,取某 k行,则位于这 k行的所有 k 阶子式 ),.,,,,2,1( tiN i?
与它们各自对应的 代数余子式 的乘积之和等于行列式 D,
iA
即
t
i
ii MND
1
( 其中 knCt? )
解 对 D的第 1,3 行用 Laplace定理,在第 1,3 行中不为零的二阶子式分别是
3
03
12
,1
01
11
,1
32
11
321 NNN
它们各自对应的代数余子式是
31430
01220
00031
03210
10021
D例 25 计算 5 阶行列式
0,6
143
122
321
,12
314
012
032
321 AAA
所以 D=12-6=6
例 26 计算 2 n阶行列式
11
22
11
11
22
11
2
ab
ab
ab
ab
ba
ba
ba
ba
D
nn
nn
nn
nn
n
解 对的第 n,n+1行应用 Laplace定理（按第 n,n+1
行展开）得
22
22
11
22
11
11
22
11
2
)(
nnn
nn
nn
nn
nn
n
Dba
ab
ab
ab
ba
ba
ba
ab
ba
D
利用这个递推关系式有
42
2
1
2
1
22
2
))((
nnnnnn
DbabaD
n
i
ii
nnnn
ba
bababa
1
22
2
1
2
1
2
1
2
1
22
)(
)())((?
定理 1,4 ( 行列式乘法法则 )
若
2
1
DO
OD
D?,则 21 DDD?
推论若
2
1
DC
OD
D?,则 21 DDD?
7653
5351
1221
3121
000042
000031
jf
hd
gs
ta
D?例 27 计算行列式
36
7653
5351
1221
3121
42
31
7653
5351
1221
3121
000042
000031
jf
hd
gs
ta
D
解
,
2
1
CD
DO
D?
例 28 计算行列式
12,DD
其中 分别为 阶nm,
21
2
)21()21(
1
2
1
)1(
])1[(
DD
DD
CD
DO
D
mn
mnnnm
解 对 D 的前 m行应用 Laplace定理（按第 1,2,…
m行展开）得
1.5 克莱姆（ Cramer ）法则定理 1.5 （ Cramer 法则）如果 n 元线性方程组
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
的系数行列式不等于零，即
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
则方程组 （ 1 ）有唯一解，且其解为
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n,,,
2
2
1
1?
其中
j
D 是把 D 的第 j 列各元素依次换成方程组 (1) 右端的常数项所得到的 n
阶行列式,即
nnnjnnjn
njj
njj
j
aabaa
aabaa
aabaa
D
111
21221221
11111111
推论 1 如果 n 元齐次线性方程组
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
的系数行列式不等于零，即
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
则该方程组有唯一零解推论 2 如果 n 元齐次线性方程组
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
有非零解，则系数行列式等于零，即
0
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
例 29 求解线性方程组
353
02
1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 线性方程组的系数行列式
02
153
121
111
D
所以方程组有唯一解且由于 2
153
120
111
1
D ； 2
133
101
111
2
D
2
353
021
111
3
D
方程组唯一解为 1,1,1 332211 DDxDDxDDx
