第三章 几何向量解析几何是用代数的方法研究几何图形的几何学,中学学过平面解析几何，那是用代数方法研究平面向何图形,空间解析几何是用代数方法研究空间几何图形，也是多元函数微积分的基础,
本章主要研究如下几个问题：
1,几何向量的线性运算；
2,几何向量的数量积（内积）、向量积（外积）、混合积；
3,空间中的直线与平面,
3.1 几何向量及其线性运算
3.1.1 几何向量的概念现实生活中有这样的两种量：数量（标量），即仅有大小的量，如时间、长度、质量、温度等,向量（矢量）即不仅有大小而且还有方向的量，如：力、速度、加速度、电场强度等，仅知道力的大小，不了解它的方向是不行的,向量是研究物理学及几何学不可缺少的工具,
1．向量：有大小，又有方向的量称为向量,用有向线段 表示向量，长度 表示向量的大小，用简头表示方向，称这样的向量为几何向量（简称向量），记 或
||AB
AB a
2．模：（长度）向量的大小，记作 且| |,| |,AB a 0?a
3．单位向量：模为 1的向量、不同的方向上有不同的单位向量,0?a
0? aa
a
4,0向量：模为 0的向量注,0向量没有确定的方向或说方向任意,
5．负向量：与大小相等，方向相反,
6．自由向量：（与起点无关）可以平行移动，（ 1）
方向相同；（ 2）大小相等（模相等），我们研究的都是自由向量,所以任意两向量都共面,
3.1.2 几何向量的线性运算一、加法运算：（向量的加法，数乘向量）
1．平行四边形法规：设,则以 为邻边的平行四边形 的对角线 称为 与 的和，记,
,O A O Bab,OA OB
OACB OC a
b
b
OCa b c
2．三角形法则：（便于多个向量求和）,将 的终点与 的起点重合在一起,
说明：若 在同一直线上，则其和如：
a
b
,O A O Bab
(1),当 与 方向同时，和向量的方向与原来两个向量的方向相同,其模 =两模之和,
(2),当 与 方向相反时，和向量的方向与较长的向量的方向相同，其模 =两模之差,
OA OB
OBOA
3多边形法则：几个向量之和，只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量，即为和向量,.12 na a a a
4．运算法则：
（ 1）,交换律；
（ 2）,结合律；
（ 3） ；
（ 4）,
a b b a
( ) ( )a b c a b c a b c
0aa
( ) 0aa
5．向量的减法：为平行四边形的另一对角线向量
.
注意：不要把向量与数混淆，实数是有序的，可比大小，而向量式子 无意义，当然向量的长度可比大小，根据三角形两边之和不小于第三边,
的长度满足三角不等式,
()a b a b
ab
,,?a b a b
| | | | | |a b a b
二、数乘向量：
为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向量的乘法,
1．定义：,则 是一个向量，
与 共线，模 与 同向，
时与 反向,.
若,
,0kZa ka
a | | | || |,0k k kaa a
0k? a 00?a
0,0 0,k k k Zaa
2．运算法则：
（ 1） ；
（ 2）,（结合律）；
（ 3） ；
（ 4）,（分配律）,
1,( 1 )a a a a
( ) ( )k l kl?aa
()k k ka b a b
()k l k la a a
00,
||
aaa
a
0| |,?a a a a
/ /,( 0 ),0 / /a b b a a a
1
a
b
a
3．单位向量,表示与同向的单位向量,
4．平行：
，（共线）即可用同一个起点的有向线段来表示,
注,与 都没有意义,
例 1：在 内，设,试用 表示,
解,的对角线互相平分
，
又,
ABCDY,A B A Dab,ab
,,M A M B M C MD
2A C M Cab 1 ()2MCab 1 ()2M A M Cab
12,( )
2D B M B M Ba b a b
11( ) ( )
22M D M Ba b a b
3.2 向量的数量积，向量积和混合积
3.2.1 向量在轴上的投影刚才讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算定量的描述,
2．点的投影：若 为空间中一点,为一轴，通过 点作垂直于 轴的平面,则 与轴 的交点 为在轴 上的投影（一个点）,
1．向量的夹角：设有,将 的起点放在一起，它们所夹的角 称为向量的夹角，记,
注：零向量与另一向量的夹角可以在 0到 间任意取值,
同样：向量与轴及轴与轴的夹角都是指它们的正向间不超过 的夹角,
0,0ab,ab
(,) ab (0 )
,ab
A u
A u u u
A? u
3．向量的投影：设有向量,,则轴 上的有向线段 的值为 （数量,向为正数,向为负数）,称为向量 在轴上的投影，记作,
定理 3.1 向量 在轴 上的投影 =向量的模乘以向量与轴夹角的余弦，即,.
证：过点引轴且同向，，且有,
当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负；
直角时，投影为 0.
定理 3.2 两个向量的和在某轴上的投影 =投影之和,
即,.
此定理可推广,.
AB u
rP | | c o su A B A B
r r rP ( ) P Pu u ua b a b
r 1 2 r 1 r 2 rP ( ) P P Pu u u unna a a a a a
3.2.2 几何向量的数量积（点积、内积、标积）
物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的功是,
抽去物理意义，就是两个向量确定一个数的运算,
1．定义（数量积）,,
一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影,
F
S F
| | c o s | | | || | c o sW F S F S
brr| | | | c o s (,) | | P | | Paa b a b a b a b b a
2．性质：（ 1） 规定 ；
（ 2） ；
交换律：（ 3） ；
分配律：（ 4） ；
结合律：（ 5）
0a b a b 0a
22| | c o s | |,| |a a a a a a a
a b b a
()a b c a c b c
( ) ( ) ( )a b a b a b
( ) ( ) ( )mma b a b3．注：（ 1）称为数量积是因结果是个数,
（ 2） 并不见得 中必有 向量，
也可,
（ 3） 无意义,
（ 4）数量积不满足消去律即事实上，所以,
0ab ab 0?ab
a b c
,0a b a c a b c
例 2：用向量的数量积，证明恒等式即平行四边形对角线的平方和 =四边的平方和,
证：
例 3：用向量证明余弦定理证：在 中，
2 2 2 2| | | | 2 | | 2 | |a b a b a b
22| | | | ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b
222 2 2 | | 2 | |a a a b b b a a a b b b a b
ABC?
22| | | | ( ) ( )B C A C A B A C A B A C A B
2A C A C A C A B A B A B
2| | 2 | | | | c o s | |A C A C A B A A B
例 4：已知 与 的夹角为,且向量 与 垂直，求 的值,
解,,即
| | 3,| | 6,a b a b
3
3ab 2?ab?
( 3 ) ( 2 ),( 3 ) ( 2 ) 0a b a b a b a b
( 3 ) ( 2 ) 3 6 2a b a b a a a b a b b b
223 | | (6 ) 2 | |a a b b
223 | | ( 6 ) | | | | c o s 2 | |
3
a a b b
13 9 ( 6 ) 3 6 2 3 6 8 1 8 1 0
2
1
3.2.3 几何向量的向量积（叉积、外积）
下面介绍向量与向量的另一种乘法。
物理背景：由力学知，力 关于定点 的力矩是一个向量,它的模 =力的大小力臂，即：
但是仅知力矩的大小，不了解它的方向，就不知道物体如何转动，规定力矩的方向 且 与构成右手系，即右手四指从 方向握向的 方向时，
大姆指的方向就是力矩的方向，（ 为转动轴），
抽去物理意义，引出向量积的定义。
F O
M
| | | || | | || | s inM F O Q F o p
M op? M op F、
op F
M
1．定义（向量积）向量 与 的向量积是一个向量，记为,则它满足：
（ 1） ；
（ 2） 决定的平面 ；
（ 3）依 的顺序成右手系； 记作：
2．几何意义,都非零且不共线,以为邻边的平行四边形的面积,
a b
c
| | | || | s i n (,)?c a b a b
,,(,c a c b c a b )
,,a b c
c a b
,ab | | | |c a b,ab
3．性质：
（ 1） ；
（ 2） 或 或 )；
（ 3）反交换律（反对称性）,（交换律不成立）；
（ 4）分配律,；；
（ 5）结合律 ；
20,( | | | | | | s i n (,) | | s i n 0 )a a a a a a a a a
0 0,0a b a b / /,( 0,0,0a b a b?
a b b a
()a b c a c b c
()c a b c a c b
( ) ( ) ( )k k ka b a b a b
例 5：证明证：由内积定义知,
由外积定义知,
两式相加有：
例 6：已知,且,求证：利用上题结果有
.
2 2 2 2( ) ( )a b a b a b
2 2 2 2( ) | | | | c o sa b a b
2 2 2( ) | | | | s i na b a b
2 2 2 2( ) ( ) | | | |a b a b a b
| | 3,| | 1 1ab 30ab ||?ab
2 2 2 2| | | | | | ( ) 9 1 2 1 9 0 0 1 8 9a b a b a b
3.2.4 三个向量的混合积
1．定义（混合积） 是个数值,
2．几何意义：,设 不共面，,,
当 为锐角时,右手系,当 为钝角时,成左手系时，,
以 为棱作一个平行六面体,体积为,
.
[ ] ( )a b c a b c
[] Vabc,,abc
| | | | | | s i n (,) o A D BSa b a b a b[ ] ( ) | || | c o sa b c a b c a b c
,,a b c [ ] 0?abc?
,,a b c [ ] 0?abc
,,a b c V
| || | c o s [ ] | [ ] |V A ha b c a b c a b c
[] Vabc
3．三个向量共面,又且,共面
4．性质：混合积具有轮换对称性,
[ ] ( ) 0a b c a b c()a b a?b
c,,? a b c
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c b c a c a b b a c c b a a c b
3.2.5 几何向量的坐标前面介绍的几何向量的加法,数乘,数量积,向量积及混合积的计算,都是在几何作图,下面将这些运算代数运算,
一,空间直角坐标系
坐标标
OO1,坐标系：在空间中任取一定点,过点 作三条相互垂直的数轴,它们都以 为原点,且有相同的长度单位,这就构成了一个空间直角坐标系,记为为横轴,为纵轴,为竖轴,习惯上 轴,轴放水平面上,轴铅直向上,它们的正方向构成,右手系,,
即的正方向符合,右手规则,,
O,,Ox Oy Oz
,Oxyz Ox
Oy Oz x y
z
,,Ox Oy Oz
2,点的坐标,设 为空间内一点,分别是点在轴 上的投影,在轴 上的坐标依次为
,称有序数组 为点 的坐标,且
,记,
M
,,P Q R
M
,,x y z
,,P Q R
,,x y z,,x y z
(,,)x y z
M
1 ~ 1 (,,)M x y z 对应
(,,)M x y z
3,坐标面：三条坐标轴中的任意两个确定一个坐标面,
面,三张坐标面互相垂直,
4,卦限：三个坐标面把整个空间分成八个区域,称为八个卦限,
5,两点间的距离,.
，
.
,,xO y yO z zO x
,(,,)O M x y z
2 2 2||O M x y z 1 1 1 1 2 2 2 2(,,),(,,)M x y z M x y z?
2 2 21 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )d M M x x y y z z
二,向量的坐标
1,基本单位向量,分别为 轴正向的单位向量
,称为基本单位向量,其内积和外积满足：
,
,,i j k,,x y z
1i i j j k k 0i j i k j k
0,,,,,,i i j j k k i j k j k i k i j j i k k j i i k j
2,向量的坐标：
（ 1）,
解：
故 的坐标为
x y zO M a a aa i j k
O M O M M Ma
O P O Q O R x y zi j k
r r r( ) ( ) ( )zxyP P Pa i a j a k
x y za a ai j k
a (,,) {,,}x y z x y za a a a a a?
（ 2） 若故 的坐标为
1 2 1 1 1 1 2 2 2 2,(,,),(,,)M M M x y z M x y z?a
21 2 2 2 1 1 1( ) ( )O M O M x y z x y za i j k i j k
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z zi j k
a 2 1 2 1 2 1(,,)x x y y z z
三,向量的运算的坐标形式
(,,)x y z x y za a a a a aa i j k
(,,)x y z x y zb b b b b bb i j k
(,,)x y z x y zc c c c c cc i j k
向量的加法：
1,；
2,；
3,；
4．
.
(,,)x x y y z za b a b a bab
(,,)x x y y z za b a b a bab
(,,)x y zk k a k a k a?a
( ) ( )x y z x y za a a b b ba b i j k i j k
x x y y z za b a b a bi i j j k k
( ) ( ) ( )x y y x x z z x y z z ya b a b a b a b a b a bi j i k j k
x x y y z za b a b a b
5,
( ) ( )x y z x y za a a b b ba b i j k i j k
()x x y y z z x y y xa b a b a b a b a bi i j j k k i j j i
( ) ( )x z x x y z z ya b a b a b a bi k k i j k k j
( ) ( ) ( )x y y x z x x z y z z ya b a b a b a b a b a bi j k i j k
( ) ( ) ( )x y y x z x x z y z z ya b a b a b a b a b a bk j i
y z x yzx
y z x yxz
a a a aaa
b b b bbbi j k
,,y z x yxz
y z x yxz
a a a aaa
b b b bbb
x y z
x y z
a a a
b b b
i j k
6．
.
[ ] ( ) ( )y z x yxz x y z
y z x yxz
a a a aaa c c c
b b b bbb
a b c a b c i j k i j k
y z x yxz
x y z
y z x yxz
a a a aaac c c
b b b bbbi i j j k k
x y z
x y z
x y z
a a a
b b b
c c c
四,向量的模及夹角
（ 由定理 3.1知,(,,)x y za a a?a | | c o s,| | c o s,| | c o sx y za a aa a a
1,模方向角：
222|| x y zaaaa a a
,,,,,x y za a a
2,方向余弦：
2 2 2 2 2 2 2 2 2
c o s,c o s,c o syx z
x y z x y z x y z
aa a
a a a a a a a a a
2 2 2c o s c o s c o s 1
3,单位向量
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2
,,
||
yx z
x y z x y z x y z
aa a
a a a a a a a a a
aa
a
( c o s,c o s,c o s )
五,共线与共面在直角坐标系下,与 共线 (平行 ),
共面,即线性相关,
不全为 0的,使,
a b,yx z
x y z
aa a
b b bab
,,a b c [ ] 0 ( ) 0
x y z
x y z
x y z
a a a
b b b
c c c
ab c a b c,,a b c
,,k l m 0k l ma b c
,,例 7,设 均为非零向量,其中任意两个向量不共线,
但 与 共线,与 共线,试证 =, γ α 0
分析：两个向量共线 两个向量成比例,
证,与 共线,①
与 共线,②
γ k
α l
① –②,得,kl (1 ) ( 1 )lk
均非零若,则 与 成比例,
与 共线与假设矛盾,故,
, 1,1kl α
γ?α
γ
1,1kl
代入 ① 式有, 0
例 8,已知向量,并满足
,求向量,( 1,2,1 ),( 1,1,1 )( 2 ) 8i j k? γ
解法 1,设 由题设解得
x y zi j k?
20
0
( 2 ) 8
x y z
x y z
i j k
1
2
3
x
y
z
23i j k?
解法 2,且再由条件即故
//
1 2 1 2 3
1 1 1
i j k
i j k ( ) ( 2 3 )kki j k
( 2 ) 8 ( 2 3 ) ( 2 ) 8ki j k i j k i j k
8 8 1kk
23i j k?
例 9,求以 为顶点的 的面积及边 上的高,
( 1,2,2 ),( 5,6,2 ),( 1,3,1 )A B CABC?
AC
解：,的面积为高
( 4,5,0 ),( 0,4,3 )A B A CABC?
11
| | 4 5 0
22
0 4 3
S A B A C
i j k
11| 1 5 1 2 1 6 | 2 5 1 2,5
22i j k
2 2 1 2,5| | 5
5||
SBD
AC
例 10.求以 为顶点的四面体的体积,
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3(,,),(,,),(,,),(,,)A a a a B b b b C c c c D d d d
解,由立体几何知,四面体 的体积 以向量和 为棱的平行六面体的体积的六分之一,即
ABCD V?
,AB AC AD
1 | [,,] |
6V A B A C A D?
而
1 1 2 2 3 3(,,)A B b a b a b a
1 1 2 2 3 3(,,)A C c a c a c a
1 1 2 2 3 3(,,)A D d a d a d a
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
11
| [ ] |
66
b a b a b a
V A B A C A D c a c a c a
d a d a d a
3.3 空间中的平面与直线我们把曲面,曲线看作是位置上满足某些约束条件的点的集合,在引入直角坐标系后,这些约束条件是通过点的坐标所满足的方程来体现的,比如说 是某曲面方程,就是说,曲面上的点的坐标都满面足这个方程；不在曲面上的点的坐标 不满足这个方程,这样,我们就可以用代数方法来研究几何问题了,
(,,) 0F x y z?
(,,)x y z
3.3.1 空间平面的方程
1,法向量：凡是与平面 垂直的非零向量,都叫做平面 的法向量,?
n ()n?
2,点法式方程：已知平面 的法向量 及平面上一点,求 的方程,
任一点 在 上的 是,即
,用坐标表示就是 （ 1）
（ 1） 是平面 的点法式方程,
{,,}A B C?n
0 (,,)M x y z?
(,,)M x y z
0MM? n 0 0MMn
0 0 0( ) ( ) ( )A x x B y y C z z
3,的一般方程若记 则 （ 1） 式可写成
（ 2）
0 0 0D A x B y C z
0A x B y C z D
由 （ 2） 式知,在空间直角坐标系下,平面方程是三元一次方程,至少有一个不为零,自然会问,的三元一次方程的图形是否都是平面呢？ 回答是肯定的,
,,A B C,,x y z
不会为零,比如,则 （ 2） 式可变为
,的形式与 （ 1） 式比较知,它是以为法向量,且通过点 的平面方程,
C 0A?
( ) 0DA x B y C zA
{,,}A B C (,0,0)D
A?
总之,在空间直角坐标系下,任何平面方程都是三元一次方程,反之,的任何三元一次方程的图形都是平面,
,,x y z
平面一般方程 （ 2） 中,系数 和常数 各具一定的几何意义,是法向量的坐标,表明平面朝向那里,
当 不变,改变时,得到一组平行平面,时,
平面过原点 的某一个为零,就表明法向量与相应的坐标轴垂直,平面与该轴平行 。
,,A B C D
,,A B C
,,A B C
D
0D?
,,A B C
3,特殊的平面方程,在 轴投影为,
,平面平行于 轴,,平面过 轴；
,平百平行于 轴,,平面过 轴；
,平面平行于 轴,,平面过 轴；
面,即 轴,
,轴,面,
轴,面,
0,{,,},B y C z D O B Cnnx
O
0A? x0ADx
0B? y0BDy
0C? z0CDz
0,/ /A B x O y z
0BC x // yOz?
0,A C y // xOz?
设过 是平面上任意一点,取 及过 点,建立平面方程为：
（ 3）
（ 3） 为平面的三点式方程,（ 三点确定一个平面 ）,
4,三点式方程：
已知平面上不在同一条直线上的三点
,求平面方程,1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3(,,),(,,),(,,)M x y z M x y z M x y z
(,,)M x y z 1 2 1 3M M M Mn
1M
1 1 1
1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
[ ] 0
x x y y z z
M M M M M M x x y y z z
x x y y z z
5,平面的截距式方程：
若已知平面在三个坐标轴上的截距分别为
（ 均不为 0）,即平面过点
,则
,,abc
,,abc (,0,0 ),( 0,,0 ),( 0,0,)P a Q b R c
解,将三点 分别代入 （ 2） 知,,P Q R
代入 （ 2） 整理并除以 不过原点 )
得 （ 称为截距且全不为 0）,称为平面的截距式方程,
由平面的截距式方程很容易画出平面图形,
0
0
0
aA D
bB D
cC D
D
A
a
D
B
b
D
C
c
( 0,DD
1x y za b c,,abc
例 11,求与点 等距离的点的轨迹方程,
解,显然,这是线段 的垂直平分面,是这个面的一个法向量,线段的中点 在平面上,
.
(1,2,3 ),( 2,1,4 )AB?
AB
{1,3,1}ABAB
0
3 1 7(,,)
222M
3 1 7( ) 3 ( ) ( ) 0
2 2 2x y z
2 6 2 7 0xyz
例 12,求过 轴,且过点 的平面方程,x (4,3,1)
解法 1,所求平面过 轴,,平面方程为
.
又 点 在平面上,,
故,
显然,（ 否则,）,所求平面方程为
.
x 0AD
0By C z
(4,3,1) 3 0,3B C C B
30B y B z
0B? 0A B C
30yy
解法 2,平面过 轴,轴上的点 及 在平面上,加上点,三个点确定一个平,由 （ 3） 三点式平面方程可得所求平面方程得,
x? x (0,0,0) (1,0,0)
(4,3,1)
1 0 0 0
4 3 1
x y z
30yz
解法 3,由于点 的向径 和 轴的单位向量 都在所求平面上,故 为平面的法向量,又点 在平面上,由点法式,故平面方程为,
0 ( 4,3,1)M {4,3,1} x
i { 4,3,1 } { 1,0,0 } { 0,1,3 } n
(0,0,0)
30yz
二,平面的度量性质
1,两平面平行,（ 按两法向量平行处理 ）
.
,则,
1 1 2 1 1 2 2 2 2 2,0,,0A x B y C z D A x B y C z D
12// 1 1 1
12
2 2 2
//,A B CA B Cnn
2,重合：
例,和 平行,
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
5 4 1 0xz 1 5 1 2 3 0xz
3,两平面垂直,（ 按两法向量垂直处理 ）
.
例 13,求过点 且垂直于平面的平面方程,
1 2 1 2 1 2 1 2,0A A B B C Cnn
12( 4,1,2 ),( 3,5,1 )MM
6 2 3 7 0x y z
解法 1,设所求平面的法向量为平面方程为：
又 及,
由点 法式有,.
{,,}A B C?n
( 4 ) ( 1 ) ( 2 ) 0A x B y C z
0?nn 12MM?n
1 2 0 7 4 3 6 3 1 0
6 2 3
MM
i j k
n n i j k
1()M
6 ( 4 ) 3 ( 1 ) 1 0 ( 2 ) 0x y z
解法 2：
由点结式,
1 2 0 7 4 3 { 6,3,1 0 }
6 2 3
M M n
i j k
n
6 ( 4 ) 3 ( 1 ) 1 0 ( 2 ) 0x y z
解法 3：由 三点共面,,有的题即可用内积作,又可用外积作,
4 1 2
6 2 3 0
7 4 3
x y z
4,两平面的夹角：两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角 （ 通常指锐角 ）,的夹角 为 与 的夹角,
.
12, 1n 2n 0
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 212
1 1 1 2 2 2
| | | |c o s
| || |
A A B B C C
A B C A B C
nn
nn
例 14,求两平面 的夹角,
解：
2 6 0,2 5 0x y z x y z
2 2 2 2 2 2
| 1 2 1 1 2 1 | 3 1c o s,.
23661 ( 1 ) 2 2 1 1
4,点到平面的距离设 为平面 外一点,求 到这平面的距离,
解,在 上任取一点,并作 的一法向量,
，
010
r 1 0 r 1 0 1 0| |,||nn
n n
n
PPd P P P P P P P P
0 0 0 0(,,)P x y z 0A x B y C z D 0P
1 1 1 1(,,)P x y z?n n
0
1 0 0 1 0 1 0 12 2 2 2 2 2 2 2 2,,,{,,},
A B C P P x x y y z z
A B C A B C A B C
n
.
，
由于,
0 1 0 1 0 1
r 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
n
A x x B y y C z zP P P
A B C A B C A B C
1 1 1 0A x B y C z D
0 0 0
r 1 0 2 2 2||n
A x B y C z Dd P P P
A B C
例 15,求点 到平面 的距离,
解：
(2,1,1) 10x y z
2 2 2
| 2 1 1 1 | 3 3
31 1 ( 1 )d
3.3.2 空间直线及其方程一,直线方程
1,一般方程 （ 交面式 ）,
空间直线是空间曲线的特殊情况,所以空间直线 可以看作是两个平面 和 交线,即：
（ 1）
L
1? 2?
1 1 1 1
2 2 2 2
0:
0
A x B y C z DL
A x B y C z D
空间直线 上的任何点的坐标应同时满足这两个平面方程,反过来,如果点 不在直线上,那么它不可能同时在,上,所以不满足方程组 （ 1）,
通过空间直线 的平面有无限多个,所以只要在这无限多个平面上任选两个,把它们联系起来,所得的方程组就表示空间直线,L
M 1? 2?
L
L
2,直线的标准方程 （ 点向式 ）,
确立直线的方法,除了给出通过它的两个平面外,还有其他方法,首先介绍直线的方向向量,
方向向量：若一非零向量平行于一条已知直线,这个向量就称为这条直线的方向向量,记为,（ 不唯一 ）,s//,Lss
例 方程组 （ 1） 所表示的直线 的方向向量可取即过空间一点可作且只能作一条直线平行于一已知直线,
L 12s n n
1 2 1 1 1
2 2 2
i j k
s n n A B C
A B C
对 可确定 的位置,
在 上任取一点,则,,
（ 2）
反过来,不在 上的点,有 不平行于,对应坐标不成比例,（ 2） 称为 的对称式方程,（ 点向式方程
） 标准方程：注,（ 1） 直线的点向式方程不唯一,
0 0 0 0(,,),{,,}M x y z m n p?s
L
L
(,,)M x y z 0 //MM s 0 0 0 0{,,}M M x x y y z z
0 0 0{,,},x x y y z zm n p
m n p
s
L
M 0MM s
L
3,特殊平面方程：当 中有一个为零,例,
则当 中有两个为 0时,例,
,,m n p
0,0m n p0，
00
0 0 0
00
0,
0
x x x x
x x y y z z
y y z z
np
np
,,m n p 0,0m n p
则方向数：直线的任一方向向量 的坐标 称为该直线的一组方向数,
方向余弦,的方向余弦称为该直线的方向余弦,
000 0 0
00
0,
0,00
x x x xx x y y z z
y y y yp
s
,,m n ps
4,参数方程：在 （ 2） 中令,则
（ 3） 称为 的参数方程,不唯一,（ 3） 不唯一,
0 0 0x x y y z z t
m n p
0
0
0
x x m t
y y nt
z z pt
L 0,Ms?
例 16,将直线 化为标准式和参数式,10
:
2 3 4 0
x y zL
x y z
解,1.先任意找出直线上的一点：令,解直线上一点为
0 1x?
0
0
02
3 0 2
yyz
y z z
0 (1,0,2)M?
为 的标准方程；令
12 1 1 1 4 3
2 1 3
i j k
s n n i j k
12:
4 1 3
x y zL
L
12
4 1 3
x y z t
为 的参数方程,若令,则
14
23
xt
yt
zt
L 0 0x?
00
15,
44yz
,由点向式,
0
15( 0,,)
44M 4
15
144
:,
4 1 3 4
5
3
4
xt
yz
x
L t y t
zt
上面讲过,平面的位置可由平面上一点及法向量来确定,
空间直线的位置可由直线上一点和直线的方向向量来确定,
因此,平面与平面的夹角,直线与直线的夹角,直线与平面的夹角,以及垂直,平行条件,都可以通过平面的法向量,直线的方向向量之间的相互关系来表现,上节课我们已经讲了两平面的夹角及垂直,平行条件,讲了点到平面的距离,
二,两条直线的夹角及垂直,平行条件的关系：
1,两直线夹角两条直线,
1 1 1
1
1 1 1
,x x y y z zL m n p 2 2 2
2
2 2 2
,x x y y z zL m n p
间的夹角 （ 包括异面直线 ） 定义为方向向量和 间的夹角
（ 指锐角 ）
1 1 1 1{,,}m n p?s
2 2 2 2{,,}m n p?s
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
||c o s m m n n p p
m n p m n p
2,两直线垂直
3,两直线平行
1 2 1 2 1 2 0m m n n p p
1 1 1
2 2 2
m n p
m n p
例 17,求 和 的夹角,
解,由叉积求
1
2 2 8 0:
2 2 1 0
x y zl
x y z
2
4 3 2 1 0:
2 2 3 1 5 0
x y zl
x y z
1 2 1,,2 2 1 6 3 6
1 2 2
i j k
s s s i j k
2 4 1 3 9 1 8 6
2 2 3
i j k
s i j k
2 2 2 2 2 2
| 6 ( 9 ) 3 1 8 6 6 | 3 6 4c o s
9 2 1 2 16 3 6 ( 9 ) 1 8 6?
4a r c c o s
21
若三,直线与平面的 （ 夹角及垂直,平行条件 ） 位置关系：
1,直线与平面的夹角直线 与平面 的夹角是指 和它在 上的投影线间所夹的锐角,
l?l?
(,) 2ns 2或 si n c o s( ) c o s( )22
{,,},{,,}m n p A B Csn
2 2 2 2 2 2
| | | |si n | c o s |
| || |
A m B n C p
A B C m n p
sn
sn
2,直线与平面垂直
3,直线与平面平行
// A B Cl m n psn
/ / 0l A m B n C psn
例 18,求直线 和平面 夹角,
解,求
3 2 2 0
3 1 0
xz
xy
2 5 0x y z
3 0 2 2 6 3,{ 2,1,1 }
3 1 0
ijk
s i j k n
求投影平面,即,即投影平面为,即为所求投影直线方程,
11,nn
( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 01 0,1
2 2 2 0yz 10yz
10
0
yz
x y z
解,先作一平面过点 且与 垂直
（ 1）
再求 与 的交点,的参数方程为 代入 （ 1
）
例 19：求过点 且与直线 垂直相交的直线方程,
(2,1,3)M 11
3 2 1
x y z
(2,1,3) L
3 ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 3 ) 0x y z
L?L
31
12
xt
yt
zt
解得,交点为即
3
7t?
2 13 3,,
7 7 7N
2 1 3:
2 1 3 32 1 3
7 7 7
x y zL
2 1 3
2 1 4
x y z
又四,距离
1,点到直线的距离设点 及直线,求,
1 1 1 1(,,)M x y z 0 0 0,x x y y z zL l m n 01||MMd ss
例 20,求两条平行直线 与之间的距离,
7 1 3:
3 4 2
x y zl 21:
3 4 2
x y zl
解,由于两条平行线之间距离等于一条直线上的任意一点 到另一条直线的距离,
1P
1 1 0 2(7,1,3 ),( 2,1,0 )M l M l01 ( 5,2,3 )MM? (3,4,2)?s
01 5 2 3 8 1 4
3 4 2
MM
i j k
s i j k
2 2 2
01
222
( 8 ) ( 1 ) 1 4|| 261 3
| | 2 93 4 2
MMd
s
s
2,两直线共面的条件：
空间两直线有共面与异面之分,从 与 上各取一点和,则 共面 三个向量 共面即
1L 2L 1M
2M 12,LL? 1 2 1 2,,MMss 1 2 1 2[ ] 0MMss
1 1 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
0
l m n
l m n
x x y y z z
例 21,证明直线 与共面,并求 所在的平面方程,
7 2 1:
3 2 2
x y zL
,1 2,2 3,5 4L x t y t z t
12LL，
解,取由两直线共面
1 1 2 2( 7,2,1 ),( 1,2,5 )M L M L
3 2 2
2 3 4 0,
6 4 4
与 共面,设 的法向量为所求平面方程为：,即,
1L? 2L? n
12 3 2 2 2 1 6 1 3
2 3 4
i j k
n s s i j k
2 ( 7) 1 6 ( 2 ) 1 3 ( 1 ) 0x y z
,2 1 6 1 3 3 1 0x y z
3,异面直线的距离：
例 22：求证,
12
01 2 1 2
r 1 2 1 2 1 2
12
| ( ) || | | ( ) |
||ss
ss ss
ss
PPd P P P P P
1
3 3 1:
4 1 1
x y zL
2
2:
2 0 1
x y zL
是两条异面直线,并求出它们之间的最矩距离以及公垂线方程,
解,1 1 2 2( 3,3,1 ),( 0,0,2 )M L M L
1 2 1 2( 4,1,1 ),( 2,0,1 ),( 3,3,1 )MMss
1 2 1 2
3 3 1 5 3 1
53| | 4 1 1 2 1 1 1 1 0
212 0 1 0 0 1
MM
ss
与 是异面直线,1L? 2L
2 2 2
| ( 1 ) ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 1 ) | 1
3( 1 ) 2 ( 2 )d
1? 2? s
s 12 4 1 1 2 2
2 0 1
i j k
s s i j k
1? 2?
公垂线是 与 的交线,公垂线的方向向量为,
=
利用三个向量共面的充分必要条件求出 和 的方程
：
1,2 0yz1
3 3 1
,4 1 1 0
1 2 2
x y z
即即公垂线方程为
2
0 0 2
2 0 1 0
1 2 2
x y z
,2,2 5 4 8 0x y z
20
2 5 4 8 0
yz
x y z
五,平面束 （ 用平面束解题比较方便 ）,
平方束：过直线 的所有平面全体,
设 来确定,
（ 3）
L1 1 1 1
2 2 2 2
0 ( 1 ):
0 ( 2 )
A x B y C z DL
A x B y C z D
L
1 1 1 1 2 2 2 2( ) 0A x B y C z D A x B y C z D
其中 为任意常数,系数不成比例,
不全为 0,（ 3） 表示一个平面,
对不同的
（ 3） 表示过 的不同的平面,除 （ 2） 外,通过 的任何平面都包含在 （ 3） 所表示的一族平面内,通过定直线的所有平面全体称为平面束,（ 3） 称为 的平面束的方程,
1 2 1 2 1 2,,A A B B C C
LL
L
例 24,已知两平面,
问 与 是否相交；如果相交,求出交线在平面上投影的直线方程,
解,由于 与 的法向量不平行,与 相交,设交线为,
记 为通过直线 的垂直于 的平面,所求 在 上的投影直线就是求 与 的交线,下面先求出：
1,2 1 0x y z2,3 2 4 0x y z
1?
2?
,2 3 6 0xy
1? 21?
2?
L
3?
L? L
3?
3?
.
L 2 1 ( 3 2 4 ) 0x y z x y z
( 2 ) ( 1 3 ) ( 1 2 ) 1 4 0x y z
设过 的平面束方程为即由于 与 垂直,,3 12 ( 2 ) 3 ( 1 3 ) 0,
7
代入平面束方程得,所求投影直线方程为 3
,1 5 1 0 9 1 1 0x y z
1 5 1 0 9 1 1 0
2 3 6 0
x y z
xy
本章主要研究如下几个问题：
1,几何向量的线性运算；
2,几何向量的数量积（内积）、向量积（外积）、混合积；
3,空间中的直线与平面,
3.1 几何向量及其线性运算
3.1.1 几何向量的概念现实生活中有这样的两种量：数量（标量），即仅有大小的量，如时间、长度、质量、温度等,向量（矢量）即不仅有大小而且还有方向的量，如：力、速度、加速度、电场强度等，仅知道力的大小，不了解它的方向是不行的,向量是研究物理学及几何学不可缺少的工具,
1．向量：有大小，又有方向的量称为向量,用有向线段 表示向量，长度 表示向量的大小，用简头表示方向，称这样的向量为几何向量（简称向量），记 或
||AB
AB a
2．模：（长度）向量的大小，记作 且| |,| |,AB a 0?a
3．单位向量：模为 1的向量、不同的方向上有不同的单位向量,0?a
0? aa
a
4,0向量：模为 0的向量注,0向量没有确定的方向或说方向任意,
5．负向量：与大小相等，方向相反,
6．自由向量：（与起点无关）可以平行移动，（ 1）
方向相同；（ 2）大小相等（模相等），我们研究的都是自由向量,所以任意两向量都共面,
3.1.2 几何向量的线性运算一、加法运算：（向量的加法，数乘向量）
1．平行四边形法规：设,则以 为邻边的平行四边形 的对角线 称为 与 的和，记,
,O A O Bab,OA OB
OACB OC a
b
b
OCa b c
2．三角形法则：（便于多个向量求和）,将 的终点与 的起点重合在一起,
说明：若 在同一直线上，则其和如：
a
b
,O A O Bab
(1),当 与 方向同时，和向量的方向与原来两个向量的方向相同,其模 =两模之和,
(2),当 与 方向相反时，和向量的方向与较长的向量的方向相同，其模 =两模之差,
OA OB
OBOA
3多边形法则：几个向量之和，只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量，即为和向量,.12 na a a a
4．运算法则：
（ 1）,交换律；
（ 2）,结合律；
（ 3） ；
（ 4）,
a b b a
( ) ( )a b c a b c a b c
0aa
( ) 0aa
5．向量的减法：为平行四边形的另一对角线向量
.
注意：不要把向量与数混淆，实数是有序的，可比大小，而向量式子 无意义，当然向量的长度可比大小，根据三角形两边之和不小于第三边,
的长度满足三角不等式,
()a b a b
ab
,,?a b a b
| | | | | |a b a b
二、数乘向量：
为了描述向量的“伸缩”，定义实数与向量的乘法,
1．定义：,则 是一个向量，
与 共线，模 与 同向，
时与 反向,.
若,
,0kZa ka
a | | | || |,0k k kaa a
0k? a 00?a
0,0 0,k k k Zaa
2．运算法则：
（ 1） ；
（ 2）,（结合律）；
（ 3） ；
（ 4）,（分配律）,
1,( 1 )a a a a
( ) ( )k l kl?aa
()k k ka b a b
()k l k la a a
00,
||
aaa
a
0| |,?a a a a
/ /,( 0 ),0 / /a b b a a a
1
a
b
a
3．单位向量,表示与同向的单位向量,
4．平行：
，（共线）即可用同一个起点的有向线段来表示,
注,与 都没有意义,
例 1：在 内，设,试用 表示,
解,的对角线互相平分
，
又,
ABCDY,A B A Dab,ab
,,M A M B M C MD
2A C M Cab 1 ()2MCab 1 ()2M A M Cab
12,( )
2D B M B M Ba b a b
11( ) ( )
22M D M Ba b a b
3.2 向量的数量积，向量积和混合积
3.2.1 向量在轴上的投影刚才讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算定量的描述,
2．点的投影：若 为空间中一点,为一轴，通过 点作垂直于 轴的平面,则 与轴 的交点 为在轴 上的投影（一个点）,
1．向量的夹角：设有,将 的起点放在一起，它们所夹的角 称为向量的夹角，记,
注：零向量与另一向量的夹角可以在 0到 间任意取值,
同样：向量与轴及轴与轴的夹角都是指它们的正向间不超过 的夹角,
0,0ab,ab
(,) ab (0 )
,ab
A u
A u u u
A? u
3．向量的投影：设有向量,,则轴 上的有向线段 的值为 （数量,向为正数,向为负数）,称为向量 在轴上的投影，记作,
定理 3.1 向量 在轴 上的投影 =向量的模乘以向量与轴夹角的余弦，即,.
证：过点引轴且同向，，且有,
当与成锐角时，投影为正；钝角时，投影为负；
直角时，投影为 0.
定理 3.2 两个向量的和在某轴上的投影 =投影之和,
即,.
此定理可推广,.
AB u
rP | | c o su A B A B
r r rP ( ) P Pu u ua b a b
r 1 2 r 1 r 2 rP ( ) P P Pu u u unna a a a a a
3.2.2 几何向量的数量积（点积、内积、标积）
物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的功是,
抽去物理意义，就是两个向量确定一个数的运算,
1．定义（数量积）,,
一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影,
F
S F
| | c o s | | | || | c o sW F S F S
brr| | | | c o s (,) | | P | | Paa b a b a b a b b a
2．性质：（ 1） 规定 ；
（ 2） ；
交换律：（ 3） ；
分配律：（ 4） ；
结合律：（ 5）
0a b a b 0a
22| | c o s | |,| |a a a a a a a
a b b a
()a b c a c b c
( ) ( ) ( )a b a b a b
( ) ( ) ( )mma b a b3．注：（ 1）称为数量积是因结果是个数,
（ 2） 并不见得 中必有 向量，
也可,
（ 3） 无意义,
（ 4）数量积不满足消去律即事实上，所以,
0ab ab 0?ab
a b c
,0a b a c a b c
例 2：用向量的数量积，证明恒等式即平行四边形对角线的平方和 =四边的平方和,
证：
例 3：用向量证明余弦定理证：在 中，
2 2 2 2| | | | 2 | | 2 | |a b a b a b
22| | | | ( ) ( ) ( ) ( )a b a b a b a b a b a b
222 2 2 | | 2 | |a a a b b b a a a b b b a b
ABC?
22| | | | ( ) ( )B C A C A B A C A B A C A B
2A C A C A C A B A B A B
2| | 2 | | | | c o s | |A C A C A B A A B
例 4：已知 与 的夹角为,且向量 与 垂直，求 的值,
解,,即
| | 3,| | 6,a b a b
3
3ab 2?ab?
( 3 ) ( 2 ),( 3 ) ( 2 ) 0a b a b a b a b
( 3 ) ( 2 ) 3 6 2a b a b a a a b a b b b
223 | | (6 ) 2 | |a a b b
223 | | ( 6 ) | | | | c o s 2 | |
3
a a b b
13 9 ( 6 ) 3 6 2 3 6 8 1 8 1 0
2
1
3.2.3 几何向量的向量积（叉积、外积）
下面介绍向量与向量的另一种乘法。
物理背景：由力学知，力 关于定点 的力矩是一个向量,它的模 =力的大小力臂，即：
但是仅知力矩的大小，不了解它的方向，就不知道物体如何转动，规定力矩的方向 且 与构成右手系，即右手四指从 方向握向的 方向时，
大姆指的方向就是力矩的方向，（ 为转动轴），
抽去物理意义，引出向量积的定义。
F O
M
| | | || | | || | s inM F O Q F o p
M op? M op F、
op F
M
1．定义（向量积）向量 与 的向量积是一个向量，记为,则它满足：
（ 1） ；
（ 2） 决定的平面 ；
（ 3）依 的顺序成右手系； 记作：
2．几何意义,都非零且不共线,以为邻边的平行四边形的面积,
a b
c
| | | || | s i n (,)?c a b a b
,,(,c a c b c a b )
,,a b c
c a b
,ab | | | |c a b,ab
3．性质：
（ 1） ；
（ 2） 或 或 )；
（ 3）反交换律（反对称性）,（交换律不成立）；
（ 4）分配律,；；
（ 5）结合律 ；
20,( | | | | | | s i n (,) | | s i n 0 )a a a a a a a a a
0 0,0a b a b / /,( 0,0,0a b a b?
a b b a
()a b c a c b c
()c a b c a c b
( ) ( ) ( )k k ka b a b a b
例 5：证明证：由内积定义知,
由外积定义知,
两式相加有：
例 6：已知,且,求证：利用上题结果有
.
2 2 2 2( ) ( )a b a b a b
2 2 2 2( ) | | | | c o sa b a b
2 2 2( ) | | | | s i na b a b
2 2 2 2( ) ( ) | | | |a b a b a b
| | 3,| | 1 1ab 30ab ||?ab
2 2 2 2| | | | | | ( ) 9 1 2 1 9 0 0 1 8 9a b a b a b
3.2.4 三个向量的混合积
1．定义（混合积） 是个数值,
2．几何意义：,设 不共面，,,
当 为锐角时,右手系,当 为钝角时,成左手系时，,
以 为棱作一个平行六面体,体积为,
.
[ ] ( )a b c a b c
[] Vabc,,abc
| | | | | | s i n (,) o A D BSa b a b a b[ ] ( ) | || | c o sa b c a b c a b c
,,a b c [ ] 0?abc?
,,a b c [ ] 0?abc
,,a b c V
| || | c o s [ ] | [ ] |V A ha b c a b c a b c
[] Vabc
3．三个向量共面,又且,共面
4．性质：混合积具有轮换对称性,
[ ] ( ) 0a b c a b c()a b a?b
c,,? a b c
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c b c a c a b b a c c b a a c b
3.2.5 几何向量的坐标前面介绍的几何向量的加法,数乘,数量积,向量积及混合积的计算,都是在几何作图,下面将这些运算代数运算,
一,空间直角坐标系
坐标标
OO1,坐标系：在空间中任取一定点,过点 作三条相互垂直的数轴,它们都以 为原点,且有相同的长度单位,这就构成了一个空间直角坐标系,记为为横轴,为纵轴,为竖轴,习惯上 轴,轴放水平面上,轴铅直向上,它们的正方向构成,右手系,,
即的正方向符合,右手规则,,
O,,Ox Oy Oz
,Oxyz Ox
Oy Oz x y
z
,,Ox Oy Oz
2,点的坐标,设 为空间内一点,分别是点在轴 上的投影,在轴 上的坐标依次为
,称有序数组 为点 的坐标,且
,记,
M
,,P Q R
M
,,x y z
,,P Q R
,,x y z,,x y z
(,,)x y z
M
1 ~ 1 (,,)M x y z 对应
(,,)M x y z
3,坐标面：三条坐标轴中的任意两个确定一个坐标面,
面,三张坐标面互相垂直,
4,卦限：三个坐标面把整个空间分成八个区域,称为八个卦限,
5,两点间的距离,.
，
.
,,xO y yO z zO x
,(,,)O M x y z
2 2 2||O M x y z 1 1 1 1 2 2 2 2(,,),(,,)M x y z M x y z?
2 2 21 2 2 1 2 1 2 1| | ( ) ( ) ( )d M M x x y y z z
二,向量的坐标
1,基本单位向量,分别为 轴正向的单位向量
,称为基本单位向量,其内积和外积满足：
,
,,i j k,,x y z
1i i j j k k 0i j i k j k
0,,,,,,i i j j k k i j k j k i k i j j i k k j i i k j
2,向量的坐标：
（ 1）,
解：
故 的坐标为
x y zO M a a aa i j k
O M O M M Ma
O P O Q O R x y zi j k
r r r( ) ( ) ( )zxyP P Pa i a j a k
x y za a ai j k
a (,,) {,,}x y z x y za a a a a a?
（ 2） 若故 的坐标为
1 2 1 1 1 1 2 2 2 2,(,,),(,,)M M M x y z M x y z?a
21 2 2 2 1 1 1( ) ( )O M O M x y z x y za i j k i j k
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z zi j k
a 2 1 2 1 2 1(,,)x x y y z z
三,向量的运算的坐标形式
(,,)x y z x y za a a a a aa i j k
(,,)x y z x y zb b b b b bb i j k
(,,)x y z x y zc c c c c cc i j k
向量的加法：
1,；
2,；
3,；
4．
.
(,,)x x y y z za b a b a bab
(,,)x x y y z za b a b a bab
(,,)x y zk k a k a k a?a
( ) ( )x y z x y za a a b b ba b i j k i j k
x x y y z za b a b a bi i j j k k
( ) ( ) ( )x y y x x z z x y z z ya b a b a b a b a b a bi j i k j k
x x y y z za b a b a b
5,
( ) ( )x y z x y za a a b b ba b i j k i j k
()x x y y z z x y y xa b a b a b a b a bi i j j k k i j j i
( ) ( )x z x x y z z ya b a b a b a bi k k i j k k j
( ) ( ) ( )x y y x z x x z y z z ya b a b a b a b a b a bi j k i j k
( ) ( ) ( )x y y x z x x z y z z ya b a b a b a b a b a bk j i
y z x yzx
y z x yxz
a a a aaa
b b b bbbi j k
,,y z x yxz
y z x yxz
a a a aaa
b b b bbb
x y z
x y z
a a a
b b b
i j k
6．
.
[ ] ( ) ( )y z x yxz x y z
y z x yxz
a a a aaa c c c
b b b bbb
a b c a b c i j k i j k
y z x yxz
x y z
y z x yxz
a a a aaac c c
b b b bbbi i j j k k
x y z
x y z
x y z
a a a
b b b
c c c
四,向量的模及夹角
（ 由定理 3.1知,(,,)x y za a a?a | | c o s,| | c o s,| | c o sx y za a aa a a
1,模方向角：
222|| x y zaaaa a a
,,,,,x y za a a
2,方向余弦：
2 2 2 2 2 2 2 2 2
c o s,c o s,c o syx z
x y z x y z x y z
aa a
a a a a a a a a a
2 2 2c o s c o s c o s 1
3,单位向量
0
2 2 2 2 2 2 2 2 2
,,
||
yx z
x y z x y z x y z
aa a
a a a a a a a a a
aa
a
( c o s,c o s,c o s )
五,共线与共面在直角坐标系下,与 共线 (平行 ),
共面,即线性相关,
不全为 0的,使,
a b,yx z
x y z
aa a
b b bab
,,a b c [ ] 0 ( ) 0
x y z
x y z
x y z
a a a
b b b
c c c
ab c a b c,,a b c
,,k l m 0k l ma b c
,,例 7,设 均为非零向量,其中任意两个向量不共线,
但 与 共线,与 共线,试证 =, γ α 0
分析：两个向量共线 两个向量成比例,
证,与 共线,①
与 共线,②
γ k
α l
① –②,得,kl (1 ) ( 1 )lk
均非零若,则 与 成比例,
与 共线与假设矛盾,故,
, 1,1kl α
γ?α
γ
1,1kl
代入 ① 式有, 0
例 8,已知向量,并满足
,求向量,( 1,2,1 ),( 1,1,1 )( 2 ) 8i j k? γ
解法 1,设 由题设解得
x y zi j k?
20
0
( 2 ) 8
x y z
x y z
i j k
1
2
3
x
y
z
23i j k?
解法 2,且再由条件即故
//
1 2 1 2 3
1 1 1
i j k
i j k ( ) ( 2 3 )kki j k
( 2 ) 8 ( 2 3 ) ( 2 ) 8ki j k i j k i j k
8 8 1kk
23i j k?
例 9,求以 为顶点的 的面积及边 上的高,
( 1,2,2 ),( 5,6,2 ),( 1,3,1 )A B CABC?
AC
解：,的面积为高
( 4,5,0 ),( 0,4,3 )A B A CABC?
11
| | 4 5 0
22
0 4 3
S A B A C
i j k
11| 1 5 1 2 1 6 | 2 5 1 2,5
22i j k
2 2 1 2,5| | 5
5||
SBD
AC
例 10.求以 为顶点的四面体的体积,
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3(,,),(,,),(,,),(,,)A a a a B b b b C c c c D d d d
解,由立体几何知,四面体 的体积 以向量和 为棱的平行六面体的体积的六分之一,即
ABCD V?
,AB AC AD
1 | [,,] |
6V A B A C A D?
而
1 1 2 2 3 3(,,)A B b a b a b a
1 1 2 2 3 3(,,)A C c a c a c a
1 1 2 2 3 3(,,)A D d a d a d a
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
11
| [ ] |
66
b a b a b a
V A B A C A D c a c a c a
d a d a d a
3.3 空间中的平面与直线我们把曲面,曲线看作是位置上满足某些约束条件的点的集合,在引入直角坐标系后,这些约束条件是通过点的坐标所满足的方程来体现的,比如说 是某曲面方程,就是说,曲面上的点的坐标都满面足这个方程；不在曲面上的点的坐标 不满足这个方程,这样,我们就可以用代数方法来研究几何问题了,
(,,) 0F x y z?
(,,)x y z
3.3.1 空间平面的方程
1,法向量：凡是与平面 垂直的非零向量,都叫做平面 的法向量,?
n ()n?
2,点法式方程：已知平面 的法向量 及平面上一点,求 的方程,
任一点 在 上的 是,即
,用坐标表示就是 （ 1）
（ 1） 是平面 的点法式方程,
{,,}A B C?n
0 (,,)M x y z?
(,,)M x y z
0MM? n 0 0MMn
0 0 0( ) ( ) ( )A x x B y y C z z
3,的一般方程若记 则 （ 1） 式可写成
（ 2）
0 0 0D A x B y C z
0A x B y C z D
由 （ 2） 式知,在空间直角坐标系下,平面方程是三元一次方程,至少有一个不为零,自然会问,的三元一次方程的图形是否都是平面呢？ 回答是肯定的,
,,A B C,,x y z
不会为零,比如,则 （ 2） 式可变为
,的形式与 （ 1） 式比较知,它是以为法向量,且通过点 的平面方程,
C 0A?
( ) 0DA x B y C zA
{,,}A B C (,0,0)D
A?
总之,在空间直角坐标系下,任何平面方程都是三元一次方程,反之,的任何三元一次方程的图形都是平面,
,,x y z
平面一般方程 （ 2） 中,系数 和常数 各具一定的几何意义,是法向量的坐标,表明平面朝向那里,
当 不变,改变时,得到一组平行平面,时,
平面过原点 的某一个为零,就表明法向量与相应的坐标轴垂直,平面与该轴平行 。
,,A B C D
,,A B C
,,A B C
D
0D?
,,A B C
3,特殊的平面方程,在 轴投影为,
,平面平行于 轴,,平面过 轴；
,平百平行于 轴,,平面过 轴；
,平面平行于 轴,,平面过 轴；
面,即 轴,
,轴,面,
轴,面,
0,{,,},B y C z D O B Cnnx
O
0A? x0ADx
0B? y0BDy
0C? z0CDz
0,/ /A B x O y z
0BC x // yOz?
0,A C y // xOz?
设过 是平面上任意一点,取 及过 点,建立平面方程为：
（ 3）
（ 3） 为平面的三点式方程,（ 三点确定一个平面 ）,
4,三点式方程：
已知平面上不在同一条直线上的三点
,求平面方程,1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3(,,),(,,),(,,)M x y z M x y z M x y z
(,,)M x y z 1 2 1 3M M M Mn
1M
1 1 1
1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
[ ] 0
x x y y z z
M M M M M M x x y y z z
x x y y z z
5,平面的截距式方程：
若已知平面在三个坐标轴上的截距分别为
（ 均不为 0）,即平面过点
,则
,,abc
,,abc (,0,0 ),( 0,,0 ),( 0,0,)P a Q b R c
解,将三点 分别代入 （ 2） 知,,P Q R
代入 （ 2） 整理并除以 不过原点 )
得 （ 称为截距且全不为 0）,称为平面的截距式方程,
由平面的截距式方程很容易画出平面图形,
0
0
0
aA D
bB D
cC D
D
A
a
D
B
b
D
C
c
( 0,DD
1x y za b c,,abc
例 11,求与点 等距离的点的轨迹方程,
解,显然,这是线段 的垂直平分面,是这个面的一个法向量,线段的中点 在平面上,
.
(1,2,3 ),( 2,1,4 )AB?
AB
{1,3,1}ABAB
0
3 1 7(,,)
222M
3 1 7( ) 3 ( ) ( ) 0
2 2 2x y z
2 6 2 7 0xyz
例 12,求过 轴,且过点 的平面方程,x (4,3,1)
解法 1,所求平面过 轴,,平面方程为
.
又 点 在平面上,,
故,
显然,（ 否则,）,所求平面方程为
.
x 0AD
0By C z
(4,3,1) 3 0,3B C C B
30B y B z
0B? 0A B C
30yy
解法 2,平面过 轴,轴上的点 及 在平面上,加上点,三个点确定一个平,由 （ 3） 三点式平面方程可得所求平面方程得,
x? x (0,0,0) (1,0,0)
(4,3,1)
1 0 0 0
4 3 1
x y z
30yz
解法 3,由于点 的向径 和 轴的单位向量 都在所求平面上,故 为平面的法向量,又点 在平面上,由点法式,故平面方程为,
0 ( 4,3,1)M {4,3,1} x
i { 4,3,1 } { 1,0,0 } { 0,1,3 } n
(0,0,0)
30yz
二,平面的度量性质
1,两平面平行,（ 按两法向量平行处理 ）
.
,则,
1 1 2 1 1 2 2 2 2 2,0,,0A x B y C z D A x B y C z D
12// 1 1 1
12
2 2 2
//,A B CA B Cnn
2,重合：
例,和 平行,
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
5 4 1 0xz 1 5 1 2 3 0xz
3,两平面垂直,（ 按两法向量垂直处理 ）
.
例 13,求过点 且垂直于平面的平面方程,
1 2 1 2 1 2 1 2,0A A B B C Cnn
12( 4,1,2 ),( 3,5,1 )MM
6 2 3 7 0x y z
解法 1,设所求平面的法向量为平面方程为：
又 及,
由点 法式有,.
{,,}A B C?n
( 4 ) ( 1 ) ( 2 ) 0A x B y C z
0?nn 12MM?n
1 2 0 7 4 3 6 3 1 0
6 2 3
MM
i j k
n n i j k
1()M
6 ( 4 ) 3 ( 1 ) 1 0 ( 2 ) 0x y z
解法 2：
由点结式,
1 2 0 7 4 3 { 6,3,1 0 }
6 2 3
M M n
i j k
n
6 ( 4 ) 3 ( 1 ) 1 0 ( 2 ) 0x y z
解法 3：由 三点共面,,有的题即可用内积作,又可用外积作,
4 1 2
6 2 3 0
7 4 3
x y z
4,两平面的夹角：两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角 （ 通常指锐角 ）,的夹角 为 与 的夹角,
.
12, 1n 2n 0
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 212
1 1 1 2 2 2
| | | |c o s
| || |
A A B B C C
A B C A B C
nn
nn
例 14,求两平面 的夹角,
解：
2 6 0,2 5 0x y z x y z
2 2 2 2 2 2
| 1 2 1 1 2 1 | 3 1c o s,.
23661 ( 1 ) 2 2 1 1
4,点到平面的距离设 为平面 外一点,求 到这平面的距离,
解,在 上任取一点,并作 的一法向量,
，
010
r 1 0 r 1 0 1 0| |,||nn
n n
n
PPd P P P P P P P P
0 0 0 0(,,)P x y z 0A x B y C z D 0P
1 1 1 1(,,)P x y z?n n
0
1 0 0 1 0 1 0 12 2 2 2 2 2 2 2 2,,,{,,},
A B C P P x x y y z z
A B C A B C A B C
n
.
，
由于,
0 1 0 1 0 1
r 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
n
A x x B y y C z zP P P
A B C A B C A B C
1 1 1 0A x B y C z D
0 0 0
r 1 0 2 2 2||n
A x B y C z Dd P P P
A B C
例 15,求点 到平面 的距离,
解：
(2,1,1) 10x y z
2 2 2
| 2 1 1 1 | 3 3
31 1 ( 1 )d
3.3.2 空间直线及其方程一,直线方程
1,一般方程 （ 交面式 ）,
空间直线是空间曲线的特殊情况,所以空间直线 可以看作是两个平面 和 交线,即：
（ 1）
L
1? 2?
1 1 1 1
2 2 2 2
0:
0
A x B y C z DL
A x B y C z D
空间直线 上的任何点的坐标应同时满足这两个平面方程,反过来,如果点 不在直线上,那么它不可能同时在,上,所以不满足方程组 （ 1）,
通过空间直线 的平面有无限多个,所以只要在这无限多个平面上任选两个,把它们联系起来,所得的方程组就表示空间直线,L
M 1? 2?
L
L
2,直线的标准方程 （ 点向式 ）,
确立直线的方法,除了给出通过它的两个平面外,还有其他方法,首先介绍直线的方向向量,
方向向量：若一非零向量平行于一条已知直线,这个向量就称为这条直线的方向向量,记为,（ 不唯一 ）,s//,Lss
例 方程组 （ 1） 所表示的直线 的方向向量可取即过空间一点可作且只能作一条直线平行于一已知直线,
L 12s n n
1 2 1 1 1
2 2 2
i j k
s n n A B C
A B C
对 可确定 的位置,
在 上任取一点,则,,
（ 2）
反过来,不在 上的点,有 不平行于,对应坐标不成比例,（ 2） 称为 的对称式方程,（ 点向式方程
） 标准方程：注,（ 1） 直线的点向式方程不唯一,
0 0 0 0(,,),{,,}M x y z m n p?s
L
L
(,,)M x y z 0 //MM s 0 0 0 0{,,}M M x x y y z z
0 0 0{,,},x x y y z zm n p
m n p
s
L
M 0MM s
L
3,特殊平面方程：当 中有一个为零,例,
则当 中有两个为 0时,例,
,,m n p
0,0m n p0，
00
0 0 0
00
0,
0
x x x x
x x y y z z
y y z z
np
np
,,m n p 0,0m n p
则方向数：直线的任一方向向量 的坐标 称为该直线的一组方向数,
方向余弦,的方向余弦称为该直线的方向余弦,
000 0 0
00
0,
0,00
x x x xx x y y z z
y y y yp
s
,,m n ps
4,参数方程：在 （ 2） 中令,则
（ 3） 称为 的参数方程,不唯一,（ 3） 不唯一,
0 0 0x x y y z z t
m n p
0
0
0
x x m t
y y nt
z z pt
L 0,Ms?
例 16,将直线 化为标准式和参数式,10
:
2 3 4 0
x y zL
x y z
解,1.先任意找出直线上的一点：令,解直线上一点为
0 1x?
0
0
02
3 0 2
yyz
y z z
0 (1,0,2)M?
为 的标准方程；令
12 1 1 1 4 3
2 1 3
i j k
s n n i j k
12:
4 1 3
x y zL
L
12
4 1 3
x y z t
为 的参数方程,若令,则
14
23
xt
yt
zt
L 0 0x?
00
15,
44yz
,由点向式,
0
15( 0,,)
44M 4
15
144
:,
4 1 3 4
5
3
4
xt
yz
x
L t y t
zt
上面讲过,平面的位置可由平面上一点及法向量来确定,
空间直线的位置可由直线上一点和直线的方向向量来确定,
因此,平面与平面的夹角,直线与直线的夹角,直线与平面的夹角,以及垂直,平行条件,都可以通过平面的法向量,直线的方向向量之间的相互关系来表现,上节课我们已经讲了两平面的夹角及垂直,平行条件,讲了点到平面的距离,
二,两条直线的夹角及垂直,平行条件的关系：
1,两直线夹角两条直线,
1 1 1
1
1 1 1
,x x y y z zL m n p 2 2 2
2
2 2 2
,x x y y z zL m n p
间的夹角 （ 包括异面直线 ） 定义为方向向量和 间的夹角
（ 指锐角 ）
1 1 1 1{,,}m n p?s
2 2 2 2{,,}m n p?s
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
||c o s m m n n p p
m n p m n p
2,两直线垂直
3,两直线平行
1 2 1 2 1 2 0m m n n p p
1 1 1
2 2 2
m n p
m n p
例 17,求 和 的夹角,
解,由叉积求
1
2 2 8 0:
2 2 1 0
x y zl
x y z
2
4 3 2 1 0:
2 2 3 1 5 0
x y zl
x y z
1 2 1,,2 2 1 6 3 6
1 2 2
i j k
s s s i j k
2 4 1 3 9 1 8 6
2 2 3
i j k
s i j k
2 2 2 2 2 2
| 6 ( 9 ) 3 1 8 6 6 | 3 6 4c o s
9 2 1 2 16 3 6 ( 9 ) 1 8 6?
4a r c c o s
21
若三,直线与平面的 （ 夹角及垂直,平行条件 ） 位置关系：
1,直线与平面的夹角直线 与平面 的夹角是指 和它在 上的投影线间所夹的锐角,
l?l?
(,) 2ns 2或 si n c o s( ) c o s( )22
{,,},{,,}m n p A B Csn
2 2 2 2 2 2
| | | |si n | c o s |
| || |
A m B n C p
A B C m n p
sn
sn
2,直线与平面垂直
3,直线与平面平行
// A B Cl m n psn
/ / 0l A m B n C psn
例 18,求直线 和平面 夹角,
解,求
3 2 2 0
3 1 0
xz
xy
2 5 0x y z
3 0 2 2 6 3,{ 2,1,1 }
3 1 0
ijk
s i j k n
求投影平面,即,即投影平面为,即为所求投影直线方程,
11,nn
( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 01 0,1
2 2 2 0yz 10yz
10
0
yz
x y z
解,先作一平面过点 且与 垂直
（ 1）
再求 与 的交点,的参数方程为 代入 （ 1
）
例 19：求过点 且与直线 垂直相交的直线方程,
(2,1,3)M 11
3 2 1
x y z
(2,1,3) L
3 ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 3 ) 0x y z
L?L
31
12
xt
yt
zt
解得,交点为即
3
7t?
2 13 3,,
7 7 7N
2 1 3:
2 1 3 32 1 3
7 7 7
x y zL
2 1 3
2 1 4
x y z
又四,距离
1,点到直线的距离设点 及直线,求,
1 1 1 1(,,)M x y z 0 0 0,x x y y z zL l m n 01||MMd ss
例 20,求两条平行直线 与之间的距离,
7 1 3:
3 4 2
x y zl 21:
3 4 2
x y zl
解,由于两条平行线之间距离等于一条直线上的任意一点 到另一条直线的距离,
1P
1 1 0 2(7,1,3 ),( 2,1,0 )M l M l01 ( 5,2,3 )MM? (3,4,2)?s
01 5 2 3 8 1 4
3 4 2
MM
i j k
s i j k
2 2 2
01
222
( 8 ) ( 1 ) 1 4|| 261 3
| | 2 93 4 2
MMd
s
s
2,两直线共面的条件：
空间两直线有共面与异面之分,从 与 上各取一点和,则 共面 三个向量 共面即
1L 2L 1M
2M 12,LL? 1 2 1 2,,MMss 1 2 1 2[ ] 0MMss
1 1 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
0
l m n
l m n
x x y y z z
例 21,证明直线 与共面,并求 所在的平面方程,
7 2 1:
3 2 2
x y zL
,1 2,2 3,5 4L x t y t z t
12LL，
解,取由两直线共面
1 1 2 2( 7,2,1 ),( 1,2,5 )M L M L
3 2 2
2 3 4 0,
6 4 4
与 共面,设 的法向量为所求平面方程为：,即,
1L? 2L? n
12 3 2 2 2 1 6 1 3
2 3 4
i j k
n s s i j k
2 ( 7) 1 6 ( 2 ) 1 3 ( 1 ) 0x y z
,2 1 6 1 3 3 1 0x y z
3,异面直线的距离：
例 22：求证,
12
01 2 1 2
r 1 2 1 2 1 2
12
| ( ) || | | ( ) |
||ss
ss ss
ss
PPd P P P P P
1
3 3 1:
4 1 1
x y zL
2
2:
2 0 1
x y zL
是两条异面直线,并求出它们之间的最矩距离以及公垂线方程,
解,1 1 2 2( 3,3,1 ),( 0,0,2 )M L M L
1 2 1 2( 4,1,1 ),( 2,0,1 ),( 3,3,1 )MMss
1 2 1 2
3 3 1 5 3 1
53| | 4 1 1 2 1 1 1 1 0
212 0 1 0 0 1
MM
ss
与 是异面直线,1L? 2L
2 2 2
| ( 1 ) ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 1 ) | 1
3( 1 ) 2 ( 2 )d
1? 2? s
s 12 4 1 1 2 2
2 0 1
i j k
s s i j k
1? 2?
公垂线是 与 的交线,公垂线的方向向量为,
=
利用三个向量共面的充分必要条件求出 和 的方程
：
1,2 0yz1
3 3 1
,4 1 1 0
1 2 2
x y z
即即公垂线方程为
2
0 0 2
2 0 1 0
1 2 2
x y z
,2,2 5 4 8 0x y z
20
2 5 4 8 0
yz
x y z
五,平面束 （ 用平面束解题比较方便 ）,
平方束：过直线 的所有平面全体,
设 来确定,
（ 3）
L1 1 1 1
2 2 2 2
0 ( 1 ):
0 ( 2 )
A x B y C z DL
A x B y C z D
L
1 1 1 1 2 2 2 2( ) 0A x B y C z D A x B y C z D
其中 为任意常数,系数不成比例,
不全为 0,（ 3） 表示一个平面,
对不同的
（ 3） 表示过 的不同的平面,除 （ 2） 外,通过 的任何平面都包含在 （ 3） 所表示的一族平面内,通过定直线的所有平面全体称为平面束,（ 3） 称为 的平面束的方程,
1 2 1 2 1 2,,A A B B C C
LL
L
例 24,已知两平面,
问 与 是否相交；如果相交,求出交线在平面上投影的直线方程,
解,由于 与 的法向量不平行,与 相交,设交线为,
记 为通过直线 的垂直于 的平面,所求 在 上的投影直线就是求 与 的交线,下面先求出：
1,2 1 0x y z2,3 2 4 0x y z
1?
2?
,2 3 6 0xy
1? 21?
2?
L
3?
L? L
3?
3?
.
L 2 1 ( 3 2 4 ) 0x y z x y z
( 2 ) ( 1 3 ) ( 1 2 ) 1 4 0x y z
设过 的平面束方程为即由于 与 垂直,,3 12 ( 2 ) 3 ( 1 3 ) 0,
7
代入平面束方程得,所求投影直线方程为 3
,1 5 1 0 9 1 1 0x y z
1 5 1 0 9 1 1 0
2 3 6 0
x y z
xy
