第二章 矩阵本章主要讨论以下几个问题：
矩阵的概念及矩阵的运算 ; 可逆矩阵 ; 矩阵的分块 ;
矩阵的初等变换,秩及初等方阵 ; 分块矩阵的初等变换 ;
解线性方程组的高斯消去法,
2.1 矩阵的概念一,矩阵的概念数域的概念,如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何两个数的和,差,积,商 ( 除数不为零 ) 仍在 F 中,那么,
就称 F 是一个数域,.
例如,全体有理数之集 Q,全体实数之集 R,全体复数之集 C 都是数域,分别称为有理数域,实数域和复数域,
定义 2,1 由数域 F 内 nm? 个数排成的 m 行
n 列的矩形数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
称为数域 F 上的 m 行 n 列的矩阵,简称 nm? 阶矩阵,记作 A,A 可简记为 nmijaA )(
这 nm? 个数 ),,2,1:;,,2,1:( njmia ij 叫做矩阵 A
的元素,
ij
a 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素,
元素都是实数的矩阵称为实矩阵；
元素都是复数的矩阵称为复矩阵,
例如,
654
321
是 32? 阶实矩阵 ;
26
52
01 i
是 23? 阶复矩阵
7321
是 41? 阶实矩阵 ;
8
6
4
是
13?
阶实矩阵 ;
二．几种常用的特殊矩阵
1 零矩阵：元素全部为零的矩阵。记作 0 或 nm?0
2 行 （列）矩阵：仅有一行 （列）的矩阵,
例如,
)aaa(
n21
A 是行矩阵 ( 也叫 n 维行向量 );
m
2
1
b
b
b
B 是列矩阵 ( 也叫 m 维列向量 );
3 n 阶方阵,行数与列数都为 n 的矩阵,
例如,
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A 是 n 阶方阵； A 的从左上角到右下角那条线 ( 称为主对角线 ) 上的元素
nn
aaa,,,
2211
叫做 A 的主对角线元素,
几种特殊的 n 阶方阵,
(1) 上 ( 下 ) 三角形矩阵,主 对角线下 ( 上 ) 方元素全部为零的 n 阶方阵,
上三角形矩阵 A 与下三角形矩阵 B 可简记为
8534
263
52
1;
8
43
021
BA,
例如，
8534
0263
0052
0001;
800
430
021
BA ；
A 为上三角形矩阵,B 为下三角形矩阵
( 2 ) 对角形矩阵,非主对角线元素全部为零的 n 阶方阵,
如,
nn
22
11
a00
0a0
00a
A 为对角形矩阵,
对角形矩阵 A 可简记为,
nn
22
11
a
a
a
A 或 )a,,a,a(d i a g
nn2211
A
例如,
)2,1(di a g
20
01;)8,2,0,1(di a g
8000
0200
0000
0001
);8,3,1(di a g
800
030
001
C
B
A
均为对角形矩阵,
(3) n 阶单位阵,主对角线外的元素全部为零且主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵 ( 即主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵 ) 称为 n 阶单位阵,记作 nE 或 nI 或 E.
即
1
1
1
n
E,
例如,
1
1
1;
1
1;11
321
EEE
( 4 ) n 阶数量矩阵,主对角线的元素全相等的
n 阶对角形矩阵,
例如，
a
a
a
A 为 n 阶数量矩阵,可记为 aE
（线性运算）
定义 ( 矩阵多项式 )
设 nnnn axaxaxaxf ++++ 1110)(? 是 x的 n次多项式,A
是方阵,E 是与 A 同阶的单位阵,则称
EaAaAaAaAf nnnn ++++ 1110)(?
为由多项式 nnnn axaxaxaxf ++++ 1110)(? 形成的矩阵 A 的多项式,记作 )(Af,
例 7
++
++
60
66
322)(
10
11
,322)(
23
23
EAAAA
A
f
xxxxf
。若 A,B可逆，则 A+B不一定可逆，
当 可逆时由 可以推出,即乘法的消去律成立即使可逆如果矩阵 A经过有限次初等变换变成 B称矩阵 A与 B等价注
2.5.2 矩阵秩的概念与求法
矩阵的概念及矩阵的运算 ; 可逆矩阵 ; 矩阵的分块 ;
矩阵的初等变换,秩及初等方阵 ; 分块矩阵的初等变换 ;
解线性方程组的高斯消去法,
2.1 矩阵的概念一,矩阵的概念数域的概念,如果数集 F 包含 0 和 1,并且 F 中任何两个数的和,差,积,商 ( 除数不为零 ) 仍在 F 中,那么,
就称 F 是一个数域,.
例如,全体有理数之集 Q,全体实数之集 R,全体复数之集 C 都是数域,分别称为有理数域,实数域和复数域,
定义 2,1 由数域 F 内 nm? 个数排成的 m 行
n 列的矩形数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
称为数域 F 上的 m 行 n 列的矩阵,简称 nm? 阶矩阵,记作 A,A 可简记为 nmijaA )(
这 nm? 个数 ),,2,1:;,,2,1:( njmia ij 叫做矩阵 A
的元素,
ij
a 叫做矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素,
元素都是实数的矩阵称为实矩阵；
元素都是复数的矩阵称为复矩阵,
例如,
654
321
是 32? 阶实矩阵 ;
26
52
01 i
是 23? 阶复矩阵
7321
是 41? 阶实矩阵 ;
8
6
4
是
13?
阶实矩阵 ;
二．几种常用的特殊矩阵
1 零矩阵：元素全部为零的矩阵。记作 0 或 nm?0
2 行 （列）矩阵：仅有一行 （列）的矩阵,
例如,
)aaa(
n21
A 是行矩阵 ( 也叫 n 维行向量 );
m
2
1
b
b
b
B 是列矩阵 ( 也叫 m 维列向量 );
3 n 阶方阵,行数与列数都为 n 的矩阵,
例如,
nn2n1n
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa
A 是 n 阶方阵； A 的从左上角到右下角那条线 ( 称为主对角线 ) 上的元素
nn
aaa,,,
2211
叫做 A 的主对角线元素,
几种特殊的 n 阶方阵,
(1) 上 ( 下 ) 三角形矩阵,主 对角线下 ( 上 ) 方元素全部为零的 n 阶方阵,
上三角形矩阵 A 与下三角形矩阵 B 可简记为
8534
263
52
1;
8
43
021
BA,
例如，
8534
0263
0052
0001;
800
430
021
BA ；
A 为上三角形矩阵,B 为下三角形矩阵
( 2 ) 对角形矩阵,非主对角线元素全部为零的 n 阶方阵,
如,
nn
22
11
a00
0a0
00a
A 为对角形矩阵,
对角形矩阵 A 可简记为,
nn
22
11
a
a
a
A 或 )a,,a,a(d i a g
nn2211
A
例如,
)2,1(di a g
20
01;)8,2,0,1(di a g
8000
0200
0000
0001
);8,3,1(di a g
800
030
001
C
B
A
均为对角形矩阵,
(3) n 阶单位阵,主对角线外的元素全部为零且主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶方阵 ( 即主对角线上的元素全部为 1 的 n 阶对角形矩阵 ) 称为 n 阶单位阵,记作 nE 或 nI 或 E.
即
1
1
1
n
E,
例如,
1
1
1;
1
1;11
321
EEE
( 4 ) n 阶数量矩阵,主对角线的元素全相等的
n 阶对角形矩阵,
例如，
a
a
a
A 为 n 阶数量矩阵,可记为 aE
（线性运算）
定义 ( 矩阵多项式 )
设 nnnn axaxaxaxf ++++ 1110)(? 是 x的 n次多项式,A
是方阵,E 是与 A 同阶的单位阵,则称
EaAaAaAaAf nnnn ++++ 1110)(?
为由多项式 nnnn axaxaxaxf ++++ 1110)(? 形成的矩阵 A 的多项式,记作 )(Af,
例 7
++
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60
66
322)(
10
11
,322)(
23
23
EAAAA
A
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xxxxf
。若 A,B可逆，则 A+B不一定可逆，
当 可逆时由 可以推出,即乘法的消去律成立即使可逆如果矩阵 A经过有限次初等变换变成 B称矩阵 A与 B等价注
2.5.2 矩阵秩的概念与求法
