上页 下页 铃结束返回首页一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的导数三、基本初等函数的导数四、复合函数的导数
§ 3.3 导数的基本公式与运算法则五、隐函数的导数六、取对数求导法七、综合举例上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、函数的和、差、积、商的求导法则如果 u(x),v(x)都是 x的可导函数?则它们的和、差、积、
商 (分母不为零时 )也是 x的可导函数?并且
[u(x)?v(x)]u?(x)?v?(x)?
[u(x)?v(x)]u?(x)?v(x)?u(x)?v?(x)?
)(
)()()()(]
)(
)([
2 xv
xvxuxvxu
xv
xu ( v ( x )? 0)?
特别地? [cu(x)]cu?(x)?
公式的推广
(u1?u2un)u1u2un
(u1u2 un)u1?u2 un?u1u2unu1u2 un
>>>
>>>
>>>
首页上页 下页 铃结束返回首页二、反函数的导数设函数 y?f(x)在点 x处有不等于 0的导数 f?(x)? 并且其反函数 x?f?1(y)在相应点处连续?则 [f?1(y)]?存在?并且
)(
1])([ 1
xfyf
或
])([
1)(
1 yfxf?
简要证明? 这是因为
)(
1
lim
11limlim])([
0
00
1
xf
x
y
x
yy
xyf
x
xy?
)(
1])([ 1
xfyf
或
])([
1)(
1 yfxf?
)(
1
lim
11limlim])([
0
00
1
xf
x
y
x
yy
xyf
x
x?
)(
1
lim
11limlim])([
0
00
1
xf
x
y
x
yy
xyf
x
xy?
)(
1
lim
11limlim])([
0
0
1
xf
x
y
x
yy
xyf
x
xy?
首页上页 下页 铃结束返回首页三、基本初等函数的导数
1? 常数的导数
(c)0?
这是因为
0limlim 00 x ccxyy xx?
下页上页 下页 铃结束返回首页
1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
x
xxx
x
yy nn
xx?
)(limlim
00
])()([l i m 12122110 nnnnnnnnx xxxCxxCxC
1 nnx?
这是因为
x
xxxxCxxCx nnnnnnn
x?
)()(l i m 22211
0
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1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
利用商的导数公式? 可以证明幂函数 y?xn当 n为负整数时?
也有公式 ynxn?1?
实际上? 当 n为负整数时?mn为正整数? 于是由
mmn xxxy 1
112
1
2)(
)()1()( nm
m
m
m
m
m
n nxmx
x
mx
x
x
xxy?
11
2
1
2)(
)()1()( nm
m
m
m
m
m
n nxmx
x
mx
x
x
xxy?
11
2
1
2)(
)()1()( nm
m
m
m
m
m
n nxmx
x
mx
x
x
xxy?
11
2
1
2)(
)()1() nm
m
m
m
m
m
n nxmx
x
mx
x
x
xxy?
11
2
1
2)(
)()1)( nm
m
m
m
m
m
n nxmx
x
mx
x
x
xxy?
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1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
解?
例 1? 求函数 y?x3?5的导数?
y(x3?5)3x23x2?0?(x3)(5)?
上页 下页 铃结束返回首页解?
24x3?3x2?4x?
例 2? 求函数 y?(1?2x)(3x3?2x2)的导数?
y(1?2x)?(3x3?2x2)?(1?2x)(3x3?2x2)?
2(3x3?2x2)?(1?2x)(9x2?4x)
1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
解?
例 1? 求函数 y?x3?5的导数?
y(x3?5)3x23x2?0?(x3)(5)?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 3? 求函数 34 43 xxy 的导数?
解? )4()3( 34 xxy )(4)(31 34xx
4343 12341234 xxxx
解? )4()3( 34 xxy )()(31 34xx
4343 12341234 xxxx
1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
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1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
解?
例 4? 求函数 1122 xxy 的导数?
解? 22 2222 )1( )1)(1()1()1( x xxxxy
22 22 )1( 2)1()1(2 x xxxx 22 )1( 4 x x? 22 22 )1( 2)1()1(2 x xxxx 22 )1( 4 x x?
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2? (xn)nxn?1?1? (c)0?
3? 指数函数的导数
(ax)axln a? (ex)ex?
h aaa xhxhx 0l i m)( haa hhx 1l i m 0
ta h
1令
)1(log
lim
0 t
ta
at
x
aa
e
a x
a
x ln
log
1
这是因为
h aaa xhxhx 0lim)( haa hhx 1lim 0
ta h
1令
)1(lo g
lim
0 t
ta
at
x
aa
e
a x
a
x ln
lo g
1 ta h 1令
)1(lo g
lim
0 t
ta
at
x
aa
e
a x
a
x ln
lo g
1 ta h 1令
)1(lo g
lim
0 t
ta
at
x
e
a x
a
x ln
lo g
1
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2? (xn)nxn?1?1? (c)0? 3? (ax)axln a? (ex)ex?
4? 对数函数的导数
axxa ln
1)( l o g
xx
1)( l n
这是因为
x xxxx aaxa l o g)(l o glim)( l o g 0
)1(l o g1lim 0 x xx ax
xax x x
1
0 )1(l o gl i m
axexe axa ln1l o g1l o g
1
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4? axxa ln1)( l o g xx 1)( l n
2? (xn)nxn?1?1? (c)0? 3? (ax)axln a? (ex)ex?
5? 三角函数的导数
(sin x)cos x?
h xhxx h s i n)s i n (l i m)( s i n 0
2s i n)2co s (21lim 0 hhxhh
这是因为
xh
h
hx
h
co s
2
2
s i n
)
2
co s (lim
0
xh
h
hx
h
co s
2
2
sin
)
2
co s(lim
0
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4? axxa ln1)( l o g xx 1)( l n
2? (xn)nxn?1?1? (c)0? 3? (ax)axln a? (ex)ex?
5? (sinx)cosx?(cosx)sinx?(tgx)sec2x?(ctgx)csc2x?
(sec x)sec x?tg x? (csc x)csc x?ctg x?
解?
例 5? 求函数 xxxxy lnco ss i n2 的导数?
解? )ln( co s)s i n2( xxxxy
xxxxxxxx 1c o slns i nc o s2s i n2 12
xxxxxx c os)12(s i n)ln1(
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4? axxa ln1)( l o g xx 1)( l n
2? (xn)nxn?1?1? (c)0? 3? (ax)axln a? (ex)ex?
5? (sinx)cosx?(cosx)sinx?(tgx)sec2x?(ctgx)csc2x?
(sec x)sec x?tg x? (csc x)csc x?ctg x?
6? 反三角函数的导数
21
1)( a r c s i n
xx
这是因为? 函数 y?arcsinx与 x?sin y互为反函数? 所以由反函数的求导公式得
22 1
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1)( ar c s in
xyyyx 22 1
1
sin1
1
cos
1
)( in
1)(arcsin
xyyyx 22 1
1
s in1
1
c o s
1
)(s i)(ar c s in xyyyx 22 1
1
s in1
1
c o s
1
)(s in
1)(ar c s in
xyyyx
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4? axxa ln1)( l o g xx 1)( l n
2? (xn)nxn?1?1? (c)0? 3? (ax)axln a? (ex)ex?
5? (sinx)cosx?(cosx)sinx?(tgx)sec2x?(ctgx)csc2x?
(sec x)sec x?tg x? (csc x)csc x?ctg x?
6? 21 1)( a r c s i n xx 21 1)( a r c c o s xx
21 1)ar ct g( x 21 1)ar cct g( xx
首页上页 下页 铃结束返回首页四、复合函数的导数设 u(x)在点 x处可导?y?f(u)在对应点 u处可导?则复合函数 y?f[?(x)]的导数为
)()( xufdxdy 或 写成 xux uyy
简要证明?
x
u
u
y
x
u
u
y
x
y
dx
dy
xxxx?
0000 limlimlimlim
)()( limlim 00 xufxuuy xu
)()( xufdxdy 或 写成 xu uyy
x
u
u
y
x
u
u
y
x
y
dx
dy
xxxx?
0000 limlimlimlim x
u
u
yu
u
y
x
y
dx
dy
xxxx?
0000 limlimlimlim
)()( limlim 0 xufxuuy xu
下页上页 下页 铃结束返回首页四、复合函数的导数设 u(x)在点 x处可导?y?f(u)在对应点 u处可导?则复合函数 y?f[?(x)]的导数为
)()( xufdxdy 或 写成 xux uyy )()( xufdxdy 或 写成 xu uyy
复合函数求导公式的推广?
设 y?f(u)? u(v)? v(x)? 则复合函数 y?{?[? (x)]}对 x的导数是
)()()( xvvufdxdy 或 xvux vuyy
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
y(u30)?u?(1?2x)?x
例 6? 求函数 y?(1?2x)30的导数?
设 y?u30? u?1?2x?
60(1?2x)2960u29?30u29?2
则由复合函数求导公式得若 y?f[?(x)]?u(x)?则 yy?u?u?x?
上页 下页 铃结束返回首页解?
y(u30)?u?(1?2x)?x
例 6? 求函数 y?(1?2x)30的导数?
设 y?u30? u?1?2x?
60(1?2x)2960u29?30u29?2
则由复合函数求导公式得若 y?f[?(x)]?u(x)?则 yy?u?u?x?
解? 设 y?ln u? u?sin x? 则例 7? 求函数 y?lnsin x的导数?
xxxxuxuy xu tgs i nco sco s1)( s i n)( l n xxxxuxuy xu tgs inco sco s1)(s in)(ln xxxxuuy xu tgs inco sco s1)(s in)(ln
上页 下页 铃结束返回首页解?
y(cos u)?u?(nx)?x
例 8? 求函数 y?cos nx的导数?
设 y?cos u? u?nx? 则
nsin nxsin u?n
解?
y(u30)?u?(1?2x)?x
例 6? 求函数 y?(1?2x)30的导数?
设 y?u30? u?1?2x?
60(1?2x)2960u29?30u29?2
则由复合函数求导公式得若 y?f[?(x)]?u(x)?则 yy?u?u?x?
解? 设 y?ln u? u?sin x? 则例 7? 求函数 y?lnsin x的导数?
xxxxuxuy xu tgs i nco sco s1)( s i n)( l n xxxxuxuy xu tgs inco sco s1)(s in)(ln xxxxuuy xu tgs inco sco s1)(s in)(ln
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 9? 求函数 nx xy )12( 的导数?
解? )12()12( 1 x xx xny n
21 )12( 212)12( x xxx xn n 11)12( nnxnx? 21 )12( 212)12( x xxxxn n 11)12( nnxnx?
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例 10? 求函数 222 xaxy 的导数?
解? ])([21 2222 xaxxaxy
])(2 1[21 222222 xaxaxxa
)]2(2[21 2222 xxa xxa 22 222 2 xa xa )]2(2[21 2222 xxa xxa 22 222 2 xa xa
解?
例 9? 求函数 nx xy )12( 的导数?
解? )12()12( 1 x xx xny n
21 )12( 212)12( x xxx xn n 11)12( nnxnx? 21 )12( 212)12( x xxxxn n 11)12( nnxnx?
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例 1 1? 求函数 )l n ( 22 axxy 的导数?
解? )(1 2222 axxaxxy
])(2 11[1 222222 axaxaxx
)2 21(1 2222 ax xaxx 22 1 ax )2 21(1 2222 ax xaxx 221 ax
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例 12? 求函数 y?arcsin(3x2)的导数?
解? )3(
)3(1
1 2
22
x
x
y 4
91
6
x
x
解? )3(
)3(1
1 2
22
x
x
y 4
91
6
x
x
解?
例 1 1? 求函数 )l n ( 22 axxy 的导数?
解? )(1 2222 axxaxxy
])(2 11[1 222222 axaxaxx
)2 21(1 2222 ax xaxx 22 1 ax )2 21(1 2222 ax xaxx 221 ax
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1 3? 求函数 xy 1ar ct an? 的导数?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1 2
x
x
y )1(
1 22 x
x
2
1
上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1 3? 求函数 xy 1ar ct an? 的导数?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1 2
x
x
y )1(
1 22 x
x
2
1
解? y(a?x)?
例 14? 求函数 y?a?x的导数?
a?xln aa?xln a?(?x)?
上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1 3? 求函数 xy 1ar ct an? 的导数?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1 2
x
x
y )1(
1 22 x
x
2
1
解? y(a?x)?
例 14? 求函数 y?a?x的导数?
a?xln aa?xln a?(?x)?
解?
例 1 5? 求函数 cbxaxey 2 的导数?
解? )( 2 cbxaxey
)( 22 cbxaxe cbxax
cbxaxebax 2)2(?
首页上页 下页 铃结束返回首页五、隐函数的导数设方程 P(x,y)?0确定 y是 x的函数? 并且可导? 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数 y对 x的导数?
解?
例 16? 求由方程 y2?2px所确定的隐函数 y?f(x)的导数?
将方程两边同时对 x求导?得
2yy2p?
解出 y?即得
ypy
下页上页 下页 铃结束返回首页解? 将方程两边同时对 x求导?得例 17? 求由方程 y?xln y所确定的隐函数 y?f(x)的导数?
yyxyy 1ln?
解出 y?即得
xy yyy ln?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 18? 由方程 x2?xy?y2?4确定 y是 x的函数?求其曲线上点
(2,?2)处的切线方程?
将方程两边同时对 x求导?得
2x?y?xy2yy0?
解出 y?即得
yx yxy 22
所求切线的斜率为
k?y?|x?2,y2?1?
于是所求切线为
y?(?2)?1?(x?2)?即 y?x?4?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 19? 求由方程 e y?xy所确定的隐函数 y的导数?
将方程两边同时对 x求导?得
e y?yy?x?y
解出 y得
xe yy y
下页上页 下页 铃结束返回首页六、取对数求导法将函数 y?f(x)两边取对数?化成隐函数求导数?这种方法称之为,取对数求导法”?
解?
例 20? 求函数 y?xx的导数?
将 y?xx两边取对数
ln y?xln x?
两为对 x求导数?得
1ln1ln1 xxxxyy?
于是得 yy(ln x?1)?xx(ln x?1)?
幂指函数也可以按下法求导?
y?exln x(x ln x)?y?xx?exln xxx(ln x?1)exln x(ln x?1)
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 2 1? 求函数 )4)(3( )2)(1( xx xxy 的导数?
先在两边取对数?得
)]4l n ()3l n ()2l n ()1[ l n (21ln xxxxy?
上式两边对 x求导?得
)41312111(211 xxxxyy?
于 是 )
4
1
3
1
2
1
1
1(
)4)(3(
)2)(1(
2
1
xxxxxx
xxy?
首页上页 下页 铃结束返回首页七、综合举例解?
3xln3?3x2?0?exln x(xln x)?
3xln3?3x2?xx(ln x?1)?
例 23? y?3x?x3?33?xx? 求 y
y(3x)(x 3)(33)(xx)?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 2 4? xyyx ar ct gln 22 确定 y 是 x 的函数? 求 y
解? )ar ct g(][ l n21 22 xyyx?
2
222 )(1
1)22(
)(2
1
x
yxy
x
yyyxyx
2222
yx
yyx
yx
yyx
于是得 yx yxy
下页上页 下页 铃结束返回首页解? 当 x?0时? 当 0?x?1时?f?(x)?1? f?(x)?2?
当 1? x? 2 时? f?( x )? 2 x? 当 x? 2 时? 21)( xf?
在 x?0和 x?2处 f(x)不连续?故 f?(0)和 f?(2)不存在?
在 x?1处? 有
21 22l i m1 )1()(l i m)1( 11 xxx fxff xx?
21 2)1(lim1 )1()(lim)1( 211 xxx fxff xx?
故 f?(1)?2?
当 1?x?2 时? f?(x )?2 x? 当 x?2 时? 21)( xf? 当 1? x? 时? f?( x )? 2? 当 x? 2 时? 21)( xf? 当 1? x? 2 时(x )? 2 x? 当 x? 2 时? 21)( xf?
2122lim1 )1()(lim)1( 11 xxx fxff xx?
21 2)1(lim1 )1()(lim)1( 211 xxx fxff xx? 21 2)1(lim)1()(lim)1( 211 xxx fxff xx?
2122lim1 )1()(lim)1( 1 xxx fff xx?
例 2 5?
xx
xx
xx
xx
xf
24
2
1
211
102
01
)( 2? 求 f? ( x )?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 26? 已知 f(u)可导?求 [f (ln x)]{f [(x?a)n]}?及 {[f(x?a)]n}
{f[(x?a)n]}?
f?[(x?a)n]?n(x?a)n?1?(x?a)?
n(x?a)n?1f?[(x?a)n]?
f?[(x?a)n]?[(x?a)n]?
{[f(x?a)]n}n[f(x?a)]n?1?[f(x?a)]?
n[f(x?a)]n?1?f?(x?a)?(x?a)?
n[f(x?a)]n?1?f?(x?a)?
下页上页 下页 铃结束返回首页证?
例 2 7? 已知 )(2)( xfexyy 若 )(2 1)( afaf
求证 y(a)?y?(a)?
证? )( )(2])([)( )(2)( 22 xfxfexfexy xfxf 证? )( )(2])([)( )(2)( 22 xfxfexfexy xfxf
)( )(2)( )(2 afafeay af )()( 22 )(2 1)(2 afaf eafafe )( )(2)( )(2 afafeay af )()( 22 )(2 1)(2 afaf eafafe )( )(2)( )(2 afafeay af )()( 22 )(2 1)(2 afaf eaffe
)(2)( afeay
所以 y(a)?y?(a)?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 28? 设球半径 R以 2厘米 /秒的速度等速增加? 求当球半径 R?10厘米时?其体积 V增加的速度?
解? 已知球的体积 V 是半径 R 的函数 334 RV
R 是时间 t 的函数? 其导数 2?dtdR? 而 V 是时间 t 的复合函数? 根据复合函数求导公式可得
22 84 RdtdRRdtdRdRdVdtdV
800
10
Rdt
dV?
答? 当 R?10厘米时?体积 V的增加速度为 800(厘米 )3/秒?
R 是时间 t 的函数? 其导数 2?dtdR? 而 V 是时间 t 的复合
22 84 RdtdRRdtdRdVdtdV 284 RdtdRRdtdRdRdVdtdV 2 84 RdtdRRdtdRdRdVdV
结束
§ 3.3 导数的基本公式与运算法则五、隐函数的导数六、取对数求导法七、综合举例上页 下页 铃结束返回首页上页 下页 铃结束返回首页一、函数的和、差、积、商的求导法则如果 u(x),v(x)都是 x的可导函数?则它们的和、差、积、
商 (分母不为零时 )也是 x的可导函数?并且
[u(x)?v(x)]u?(x)?v?(x)?
[u(x)?v(x)]u?(x)?v(x)?u(x)?v?(x)?
)(
)()()()(]
)(
)([
2 xv
xvxuxvxu
xv
xu ( v ( x )? 0)?
特别地? [cu(x)]cu?(x)?
公式的推广
(u1?u2un)u1u2un
(u1u2 un)u1?u2 un?u1u2unu1u2 un
>>>
>>>
>>>
首页上页 下页 铃结束返回首页二、反函数的导数设函数 y?f(x)在点 x处有不等于 0的导数 f?(x)? 并且其反函数 x?f?1(y)在相应点处连续?则 [f?1(y)]?存在?并且
)(
1])([ 1
xfyf
或
])([
1)(
1 yfxf?
简要证明? 这是因为
)(
1
lim
11limlim])([
0
00
1
xf
x
y
x
yy
xyf
x
xy?
)(
1])([ 1
xfyf
或
])([
1)(
1 yfxf?
)(
1
lim
11limlim])([
0
00
1
xf
x
y
x
yy
xyf
x
x?
)(
1
lim
11limlim])([
0
00
1
xf
x
y
x
yy
xyf
x
xy?
)(
1
lim
11limlim])([
0
0
1
xf
x
y
x
yy
xyf
x
xy?
首页上页 下页 铃结束返回首页三、基本初等函数的导数
1? 常数的导数
(c)0?
这是因为
0limlim 00 x ccxyy xx?
下页上页 下页 铃结束返回首页
1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
x
xxx
x
yy nn
xx?
)(limlim
00
])()([l i m 12122110 nnnnnnnnx xxxCxxCxC
1 nnx?
这是因为
x
xxxxCxxCx nnnnnnn
x?
)()(l i m 22211
0
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1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
利用商的导数公式? 可以证明幂函数 y?xn当 n为负整数时?
也有公式 ynxn?1?
实际上? 当 n为负整数时?mn为正整数? 于是由
mmn xxxy 1
112
1
2)(
)()1()( nm
m
m
m
m
m
n nxmx
x
mx
x
x
xxy?
11
2
1
2)(
)()1()( nm
m
m
m
m
m
n nxmx
x
mx
x
x
xxy?
11
2
1
2)(
)()1()( nm
m
m
m
m
m
n nxmx
x
mx
x
x
xxy?
11
2
1
2)(
)()1() nm
m
m
m
m
m
n nxmx
x
mx
x
x
xxy?
11
2
1
2)(
)()1)( nm
m
m
m
m
m
n nxmx
x
mx
x
x
xxy?
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1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
解?
例 1? 求函数 y?x3?5的导数?
y(x3?5)3x23x2?0?(x3)(5)?
上页 下页 铃结束返回首页解?
24x3?3x2?4x?
例 2? 求函数 y?(1?2x)(3x3?2x2)的导数?
y(1?2x)?(3x3?2x2)?(1?2x)(3x3?2x2)?
2(3x3?2x2)?(1?2x)(9x2?4x)
1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
解?
例 1? 求函数 y?x3?5的导数?
y(x3?5)3x23x2?0?(x3)(5)?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 3? 求函数 34 43 xxy 的导数?
解? )4()3( 34 xxy )(4)(31 34xx
4343 12341234 xxxx
解? )4()3( 34 xxy )()(31 34xx
4343 12341234 xxxx
1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
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1? (c)0?
2? 幂函数的导数
(xn)nxn?1?
解?
例 4? 求函数 1122 xxy 的导数?
解? 22 2222 )1( )1)(1()1()1( x xxxxy
22 22 )1( 2)1()1(2 x xxxx 22 )1( 4 x x? 22 22 )1( 2)1()1(2 x xxxx 22 )1( 4 x x?
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2? (xn)nxn?1?1? (c)0?
3? 指数函数的导数
(ax)axln a? (ex)ex?
h aaa xhxhx 0l i m)( haa hhx 1l i m 0
ta h
1令
)1(log
lim
0 t
ta
at
x
aa
e
a x
a
x ln
log
1
这是因为
h aaa xhxhx 0lim)( haa hhx 1lim 0
ta h
1令
)1(lo g
lim
0 t
ta
at
x
aa
e
a x
a
x ln
lo g
1 ta h 1令
)1(lo g
lim
0 t
ta
at
x
aa
e
a x
a
x ln
lo g
1 ta h 1令
)1(lo g
lim
0 t
ta
at
x
e
a x
a
x ln
lo g
1
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2? (xn)nxn?1?1? (c)0? 3? (ax)axln a? (ex)ex?
4? 对数函数的导数
axxa ln
1)( l o g
xx
1)( l n
这是因为
x xxxx aaxa l o g)(l o glim)( l o g 0
)1(l o g1lim 0 x xx ax
xax x x
1
0 )1(l o gl i m
axexe axa ln1l o g1l o g
1
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4? axxa ln1)( l o g xx 1)( l n
2? (xn)nxn?1?1? (c)0? 3? (ax)axln a? (ex)ex?
5? 三角函数的导数
(sin x)cos x?
h xhxx h s i n)s i n (l i m)( s i n 0
2s i n)2co s (21lim 0 hhxhh
这是因为
xh
h
hx
h
co s
2
2
s i n
)
2
co s (lim
0
xh
h
hx
h
co s
2
2
sin
)
2
co s(lim
0
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4? axxa ln1)( l o g xx 1)( l n
2? (xn)nxn?1?1? (c)0? 3? (ax)axln a? (ex)ex?
5? (sinx)cosx?(cosx)sinx?(tgx)sec2x?(ctgx)csc2x?
(sec x)sec x?tg x? (csc x)csc x?ctg x?
解?
例 5? 求函数 xxxxy lnco ss i n2 的导数?
解? )ln( co s)s i n2( xxxxy
xxxxxxxx 1c o slns i nc o s2s i n2 12
xxxxxx c os)12(s i n)ln1(
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4? axxa ln1)( l o g xx 1)( l n
2? (xn)nxn?1?1? (c)0? 3? (ax)axln a? (ex)ex?
5? (sinx)cosx?(cosx)sinx?(tgx)sec2x?(ctgx)csc2x?
(sec x)sec x?tg x? (csc x)csc x?ctg x?
6? 反三角函数的导数
21
1)( a r c s i n
xx
这是因为? 函数 y?arcsinx与 x?sin y互为反函数? 所以由反函数的求导公式得
22 1
1
s in1
1
c o s
1
)( s in
1)( ar c s in
xyyyx 22 1
1
sin1
1
cos
1
)( in
1)(arcsin
xyyyx 22 1
1
s in1
1
c o s
1
)(s i)(ar c s in xyyyx 22 1
1
s in1
1
c o s
1
)(s in
1)(ar c s in
xyyyx
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4? axxa ln1)( l o g xx 1)( l n
2? (xn)nxn?1?1? (c)0? 3? (ax)axln a? (ex)ex?
5? (sinx)cosx?(cosx)sinx?(tgx)sec2x?(ctgx)csc2x?
(sec x)sec x?tg x? (csc x)csc x?ctg x?
6? 21 1)( a r c s i n xx 21 1)( a r c c o s xx
21 1)ar ct g( x 21 1)ar cct g( xx
首页上页 下页 铃结束返回首页四、复合函数的导数设 u(x)在点 x处可导?y?f(u)在对应点 u处可导?则复合函数 y?f[?(x)]的导数为
)()( xufdxdy 或 写成 xux uyy
简要证明?
x
u
u
y
x
u
u
y
x
y
dx
dy
xxxx?
0000 limlimlimlim
)()( limlim 00 xufxuuy xu
)()( xufdxdy 或 写成 xu uyy
x
u
u
y
x
u
u
y
x
y
dx
dy
xxxx?
0000 limlimlimlim x
u
u
yu
u
y
x
y
dx
dy
xxxx?
0000 limlimlimlim
)()( limlim 0 xufxuuy xu
下页上页 下页 铃结束返回首页四、复合函数的导数设 u(x)在点 x处可导?y?f(u)在对应点 u处可导?则复合函数 y?f[?(x)]的导数为
)()( xufdxdy 或 写成 xux uyy )()( xufdxdy 或 写成 xu uyy
复合函数求导公式的推广?
设 y?f(u)? u(v)? v(x)? 则复合函数 y?{?[? (x)]}对 x的导数是
)()()( xvvufdxdy 或 xvux vuyy
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
y(u30)?u?(1?2x)?x
例 6? 求函数 y?(1?2x)30的导数?
设 y?u30? u?1?2x?
60(1?2x)2960u29?30u29?2
则由复合函数求导公式得若 y?f[?(x)]?u(x)?则 yy?u?u?x?
上页 下页 铃结束返回首页解?
y(u30)?u?(1?2x)?x
例 6? 求函数 y?(1?2x)30的导数?
设 y?u30? u?1?2x?
60(1?2x)2960u29?30u29?2
则由复合函数求导公式得若 y?f[?(x)]?u(x)?则 yy?u?u?x?
解? 设 y?ln u? u?sin x? 则例 7? 求函数 y?lnsin x的导数?
xxxxuxuy xu tgs i nco sco s1)( s i n)( l n xxxxuxuy xu tgs inco sco s1)(s in)(ln xxxxuuy xu tgs inco sco s1)(s in)(ln
上页 下页 铃结束返回首页解?
y(cos u)?u?(nx)?x
例 8? 求函数 y?cos nx的导数?
设 y?cos u? u?nx? 则
nsin nxsin u?n
解?
y(u30)?u?(1?2x)?x
例 6? 求函数 y?(1?2x)30的导数?
设 y?u30? u?1?2x?
60(1?2x)2960u29?30u29?2
则由复合函数求导公式得若 y?f[?(x)]?u(x)?则 yy?u?u?x?
解? 设 y?ln u? u?sin x? 则例 7? 求函数 y?lnsin x的导数?
xxxxuxuy xu tgs i nco sco s1)( s i n)( l n xxxxuxuy xu tgs inco sco s1)(s in)(ln xxxxuuy xu tgs inco sco s1)(s in)(ln
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 9? 求函数 nx xy )12( 的导数?
解? )12()12( 1 x xx xny n
21 )12( 212)12( x xxx xn n 11)12( nnxnx? 21 )12( 212)12( x xxxxn n 11)12( nnxnx?
上页 下页 铃结束返回首页解?
例 10? 求函数 222 xaxy 的导数?
解? ])([21 2222 xaxxaxy
])(2 1[21 222222 xaxaxxa
)]2(2[21 2222 xxa xxa 22 222 2 xa xa )]2(2[21 2222 xxa xxa 22 222 2 xa xa
解?
例 9? 求函数 nx xy )12( 的导数?
解? )12()12( 1 x xx xny n
21 )12( 212)12( x xxx xn n 11)12( nnxnx? 21 )12( 212)12( x xxxxn n 11)12( nnxnx?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1 1? 求函数 )l n ( 22 axxy 的导数?
解? )(1 2222 axxaxxy
])(2 11[1 222222 axaxaxx
)2 21(1 2222 ax xaxx 22 1 ax )2 21(1 2222 ax xaxx 221 ax
上页 下页 铃结束返回首页解?
例 12? 求函数 y?arcsin(3x2)的导数?
解? )3(
)3(1
1 2
22
x
x
y 4
91
6
x
x
解? )3(
)3(1
1 2
22
x
x
y 4
91
6
x
x
解?
例 1 1? 求函数 )l n ( 22 axxy 的导数?
解? )(1 2222 axxaxxy
])(2 11[1 222222 axaxaxx
)2 21(1 2222 ax xaxx 22 1 ax )2 21(1 2222 ax xaxx 221 ax
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1 3? 求函数 xy 1ar ct an? 的导数?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1 2
x
x
y )1(
1 22 x
x
2
1
上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1 3? 求函数 xy 1ar ct an? 的导数?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1 2
x
x
y )1(
1 22 x
x
2
1
解? y(a?x)?
例 14? 求函数 y?a?x的导数?
a?xln aa?xln a?(?x)?
上页 下页 铃结束返回首页解?
例 1 3? 求函数 xy 1ar ct an? 的导数?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1
1
2
x
x
y )1(
1 22
2
xx
x
2
1
1
x?
解? )1(
)1(1 2
x
x
y )1(
1 22 x
x
2
1
解? y(a?x)?
例 14? 求函数 y?a?x的导数?
a?xln aa?xln a?(?x)?
解?
例 1 5? 求函数 cbxaxey 2 的导数?
解? )( 2 cbxaxey
)( 22 cbxaxe cbxax
cbxaxebax 2)2(?
首页上页 下页 铃结束返回首页五、隐函数的导数设方程 P(x,y)?0确定 y是 x的函数? 并且可导? 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数 y对 x的导数?
解?
例 16? 求由方程 y2?2px所确定的隐函数 y?f(x)的导数?
将方程两边同时对 x求导?得
2yy2p?
解出 y?即得
ypy
下页上页 下页 铃结束返回首页解? 将方程两边同时对 x求导?得例 17? 求由方程 y?xln y所确定的隐函数 y?f(x)的导数?
yyxyy 1ln?
解出 y?即得
xy yyy ln?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 18? 由方程 x2?xy?y2?4确定 y是 x的函数?求其曲线上点
(2,?2)处的切线方程?
将方程两边同时对 x求导?得
2x?y?xy2yy0?
解出 y?即得
yx yxy 22
所求切线的斜率为
k?y?|x?2,y2?1?
于是所求切线为
y?(?2)?1?(x?2)?即 y?x?4?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 19? 求由方程 e y?xy所确定的隐函数 y的导数?
将方程两边同时对 x求导?得
e y?yy?x?y
解出 y得
xe yy y
下页上页 下页 铃结束返回首页六、取对数求导法将函数 y?f(x)两边取对数?化成隐函数求导数?这种方法称之为,取对数求导法”?
解?
例 20? 求函数 y?xx的导数?
将 y?xx两边取对数
ln y?xln x?
两为对 x求导数?得
1ln1ln1 xxxxyy?
于是得 yy(ln x?1)?xx(ln x?1)?
幂指函数也可以按下法求导?
y?exln x(x ln x)?y?xx?exln xxx(ln x?1)exln x(ln x?1)
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 2 1? 求函数 )4)(3( )2)(1( xx xxy 的导数?
先在两边取对数?得
)]4l n ()3l n ()2l n ()1[ l n (21ln xxxxy?
上式两边对 x求导?得
)41312111(211 xxxxyy?
于 是 )
4
1
3
1
2
1
1
1(
)4)(3(
)2)(1(
2
1
xxxxxx
xxy?
首页上页 下页 铃结束返回首页七、综合举例解?
3xln3?3x2?0?exln x(xln x)?
3xln3?3x2?xx(ln x?1)?
例 23? y?3x?x3?33?xx? 求 y
y(3x)(x 3)(33)(xx)?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 2 4? xyyx ar ct gln 22 确定 y 是 x 的函数? 求 y
解? )ar ct g(][ l n21 22 xyyx?
2
222 )(1
1)22(
)(2
1
x
yxy
x
yyyxyx
2222
yx
yyx
yx
yyx
于是得 yx yxy
下页上页 下页 铃结束返回首页解? 当 x?0时? 当 0?x?1时?f?(x)?1? f?(x)?2?
当 1? x? 2 时? f?( x )? 2 x? 当 x? 2 时? 21)( xf?
在 x?0和 x?2处 f(x)不连续?故 f?(0)和 f?(2)不存在?
在 x?1处? 有
21 22l i m1 )1()(l i m)1( 11 xxx fxff xx?
21 2)1(lim1 )1()(lim)1( 211 xxx fxff xx?
故 f?(1)?2?
当 1?x?2 时? f?(x )?2 x? 当 x?2 时? 21)( xf? 当 1? x? 时? f?( x )? 2? 当 x? 2 时? 21)( xf? 当 1? x? 2 时(x )? 2 x? 当 x? 2 时? 21)( xf?
2122lim1 )1()(lim)1( 11 xxx fxff xx?
21 2)1(lim1 )1()(lim)1( 211 xxx fxff xx? 21 2)1(lim)1()(lim)1( 211 xxx fxff xx?
2122lim1 )1()(lim)1( 1 xxx fff xx?
例 2 5?
xx
xx
xx
xx
xf
24
2
1
211
102
01
)( 2? 求 f? ( x )?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 26? 已知 f(u)可导?求 [f (ln x)]{f [(x?a)n]}?及 {[f(x?a)]n}
{f[(x?a)n]}?
f?[(x?a)n]?n(x?a)n?1?(x?a)?
n(x?a)n?1f?[(x?a)n]?
f?[(x?a)n]?[(x?a)n]?
{[f(x?a)]n}n[f(x?a)]n?1?[f(x?a)]?
n[f(x?a)]n?1?f?(x?a)?(x?a)?
n[f(x?a)]n?1?f?(x?a)?
下页上页 下页 铃结束返回首页证?
例 2 7? 已知 )(2)( xfexyy 若 )(2 1)( afaf
求证 y(a)?y?(a)?
证? )( )(2])([)( )(2)( 22 xfxfexfexy xfxf 证? )( )(2])([)( )(2)( 22 xfxfexfexy xfxf
)( )(2)( )(2 afafeay af )()( 22 )(2 1)(2 afaf eafafe )( )(2)( )(2 afafeay af )()( 22 )(2 1)(2 afaf eafafe )( )(2)( )(2 afafeay af )()( 22 )(2 1)(2 afaf eaffe
)(2)( afeay
所以 y(a)?y?(a)?
下页上页 下页 铃结束返回首页解?
例 28? 设球半径 R以 2厘米 /秒的速度等速增加? 求当球半径 R?10厘米时?其体积 V增加的速度?
解? 已知球的体积 V 是半径 R 的函数 334 RV
R 是时间 t 的函数? 其导数 2?dtdR? 而 V 是时间 t 的复合函数? 根据复合函数求导公式可得
22 84 RdtdRRdtdRdRdVdtdV
800
10
Rdt
dV?
答? 当 R?10厘米时?体积 V的增加速度为 800(厘米 )3/秒?
R 是时间 t 的函数? 其导数 2?dtdR? 而 V 是时间 t 的复合
22 84 RdtdRRdtdRdVdtdV 284 RdtdRRdtdRdRdVdtdV 2 84 RdtdRRdtdRdRdVdV
结束
