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§ 1.3 行列式的性质上页 下页 铃结束返回首页
n阶行列式共有 n!项? 因此定义计算 n阶行列式是较为困难的?只有少数行列式用定义计算比较方便?
我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元素的乘积? 因此我们想到能否把一般的行列式化成三角行列式来计算?这就需要研究行列式的性质?
上页 下页 铃结束返回首页行列式的转置将行列式 D的行与列互换后得到的行列式称为 D的转置行列式?记为 DT或 D即如果
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
则
21
22212
12111
nnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
则
21
22212
12111
nnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
D
显然? 若 D?|aij|? DT?|bij|? 则 bij?aji(i? j?1? 2 n)?
下页上页 下页 铃结束返回首页行列式的转置将行列式 D的行与列互换后得到的行列式称为 D的转置行列式?记为 DT或 D
性质 1 将行列式转置?行列式的值不变?即 D?DT?
证? 记 D?|aij|? DT?|bij|? 则 bij?aji (i? j?1? 2 n)? 按定义及定理 1?3?DT的一般项为
n
n njjjjjjN bbb
21
21 21)()1( njjjjjjN
n
n aaa 21)(
21
21)1(
njjjnNjjjN nn aaa )1( 21)12()( 2121
这也是 D的一般项?所以 D?DT?
n
n njjjjjjN bbb
21
21 21)()1( njjjjjjN
n
n aaa 21)(
21
21)1(
下页上页 下页 铃结束返回首页性质 2 互换行列式的两行 (列 )?行列式的值变号?
记 D?|aij|? 交换 D的第 s行与第 t(s?t)行得到的行列式为
D1?|bij|? 则 bsj?atj? btj?asj(j?1? 2 n)? D1的一般项为证?
nts
nts njtjsjjjjjjN bbbb
1
1 1)()1(
nts
nts njsjtjjjjjjN aaaa
1
1 1)()1(
nst
nts njtjsjjjjjjN aaaa
1
1 1)()1(
nst
nst njtjsjjjjjjN aaaa
1
1 1)()1(?
它与 D的一般项相差一个负号?所以 D1D?
下页上页 下页 铃结束返回首页推论 如果行列式中有两行 (列 )的对应元素相同?则此行列式的值为零?
这是因为? 将行列式 D中具有相同元素的两行互换后所得的行列式仍为 D?但由性质 2可知其结果应为?D?因此 DD?
所以 D?0?
性质 2 互换行列式的两行 (列 )?行列式的值变号?
下页上页 下页 铃结束返回首页性质 3 用数 k乘以行列式的某一行 (列 )?等于以数 k乘此行列式? 即如果设 D?|aij|? 则推论 如果行列式中有两行 (列 )的对应元素相同?则此行列式的值为零?
性质 2 互换行列式的两行 (列 )?行列式的值变号?
这是因为 D1的一般项为
ni
n njijjjjjN akaa )( )1(
1
21 1)( ])1[(
1
21 1)(
ni
n njijjjjjN aaak
上面等号右端方括号内是 D的一般项?所以 D1?kD?
21
21
11211
1
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
D
kD
aaa
aaa
aaa
k
nnnn
inii
n
21
21
11211
下页上页 下页 铃结束返回首页推论 1 如果行列式某行 (列 )的所有元素有公因子?则公因子可以提到行列式外面?
推论 2 如果行列式有两行 (列 )的对应元素成比例?则此行列式的值为零?
性质 3 用数 k乘以行列式的某一行 (列 )?等于以数 k乘此行列式?
推论 如果行列式中有两行 (列 )的对应元素相同?则此行列式的值为零?
性质 2 互换行列式的两行 (列 )?行列式的值变号?
因为由推论 1? 可将行列式中这两行 (列 )的比例系数提到行列式外面? 则余下的行列式有两行 (列 )对应元素相同? 由性质 2可知此行列式的值等于零?所以原行列式的值等于零?
下页上页 下页 铃结束返回首页性质 4 如果行列式中的某一行 (列 )的每一个元素都是两个数的和?则此行列式可以写成两个行列式的和?例如
21
21
11211
21
21
11211
21
2211
11211
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
nnnn
ininiiii
n
aaa
bbb
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
bababa
aaa
nii
n njijijjjjjN abaa )()1(
1
21 1)(
][)1( 1121 11)( ninin njijjnjijjjjjN abaaaa
ni
n njijjjjjN aaa
1
21 1)()1(
ni
n njijjjjjN aba
1
21 1)()1(?
这是因为下页上页 下页 铃结束返回首页推论 如果将行列式某一行 (列 )的每个元素都写成 m个数的和? 则此行列式可以写成 m个行列式的和?
性质 4 如果行列式中的某一行 (列 )的每一个元素都是两个数的和?则此行列式可以写成两个行列式的和?例如
21
21
11211
21
21
11211
21
2211
11211
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
nnnn
ininiiii
n
aaa
bbb
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
bababa
aaa
下页上页 下页 铃结束返回首页性质 5 将行列式的某一行 (列 )的所有元素同乘以数 k后加到另一行 (列 )对应位置的元素上?行列式的值不变?例如
21
21
21
11211
nnnn
snss
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
2211
11211
nnnn
snss
sninsisi
n
aaa
aaa
kaakaakaa
aaa
这 是 因 为? 右 边
21
21
21
11211
21
21
21
11211
nnnn
snss
snss
n
nnnn
snss
inii
n
aaa
aaa
kakaka
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1? 计算行列式
4105
363
142
D?
因为第一行与第二行对应元素成比例?根据性质 3的推论 2?得解?
0
4105
363
142
D?
反对称行列式反对称行列式为下列形式的行列式?
0
0
0
0
321
32313
22312
11312
nnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2? 证明奇数阶反对称行列式的值为零?
解? 设
0
0
0
0
321
32313
22312
11312
nnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
利用行列式性质 3的推论 1及性质 1?有
DD
aaa
aaa
aaa
aaa
D nTn
nnn
n
n
n
n )1()1(
0
0
0
0
)1(
321
32313
22312
11312
当 n为奇数时?有 DD? 所以 D?0?
DD
aaa
aaa
aaa
aaa
D nTn
nn
n
n
n
n )1()1(
0
0
0
0
)1(
321
32313
22312
11312
DD
aaa
aaa
aaa
aaa
D nTn
nnn
n
n
n
n )1()1(
0
0
0
0
)1(
321
32313
22312
11312
下页上页 下页 铃结束返回首页例 3? 设 1
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
求
53
53
1026
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
解?
53
53
1026
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
53
53
53
2
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
解?
解?
53
53
1026
333231
232221
131211
aaa
aaa
aa
53
53
53
2
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
5)3(2
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
2?(?3)?5?1?30?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 4? 计算行列式
0112
0121
2011
2110
D?
解?
下页
14
13
2rr
rr
4130
2110
2110
2011
24
23
3rr
rr
2200
4200
2110
2011
34 rr?
2000
4200
2110
2011
1?(?1)?(?2)?(?2)?4?
解?
0112
0121
2011
2110
D
21 rr?
0112
0121
2110
2011
解?
012
0121
21
2110
D
21 rr?
0112
0121
2110
2011
解?
0112
0121
2011
2110
D
21 rr
0112
0121
2110
2011
14
13
2 rr
rr
4130
2110
110
011
24
23
3 rr
rr
2200
4200
2110
2011
14
13
2rr
r
130
2110
210
2011
24
23
3rr
rr
2200
4200
2110
2011
14
13
2 rr
rr
4130
2110
2110
2011
24
23
3r
rr
2200
4200
2110
2011
34 rr
2000
4200
2110
2011
上页 下页 铃结束返回首页例 5? 计算 n 阶行列式
xaaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
解?
下页解?
xaaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
31
21
1
cc
cc
cc n
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
xaaaanx
axaaanx
aaxaanx
aaaxanx
aaaaanx
13
12
1
rr
rr
rrn
0000
000
00
0
)1(
ax
aax
aaax
aaaax
aaaaanx
解?
xaaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
31
21
1
cc
cc
cc n
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
xaaaanx
axaaanx
aaxaanx
aaaxanx
aaaaanx
解?
xaaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
31
21
1
cc
cc
cc n
1(
1(
1(
1(
1(
xaaaanx
axaaanx
aaxaanx
aaaxanx
aaaaanx
13
12
1
rr
rr
rr n
0000
000
00
0
)1(
ax
aax
aaax
aaaax
aaaaanx
[x?(n?1)a](x?a)n?1?
§ 1.3 行列式的性质上页 下页 铃结束返回首页
n阶行列式共有 n!项? 因此定义计算 n阶行列式是较为困难的?只有少数行列式用定义计算比较方便?
我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元素的乘积? 因此我们想到能否把一般的行列式化成三角行列式来计算?这就需要研究行列式的性质?
上页 下页 铃结束返回首页行列式的转置将行列式 D的行与列互换后得到的行列式称为 D的转置行列式?记为 DT或 D即如果
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
则
21
22212
12111
nnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
则
21
22212
12111
nnnn
n
n
T
aaa
aaa
aaa
D
显然? 若 D?|aij|? DT?|bij|? 则 bij?aji(i? j?1? 2 n)?
下页上页 下页 铃结束返回首页行列式的转置将行列式 D的行与列互换后得到的行列式称为 D的转置行列式?记为 DT或 D
性质 1 将行列式转置?行列式的值不变?即 D?DT?
证? 记 D?|aij|? DT?|bij|? 则 bij?aji (i? j?1? 2 n)? 按定义及定理 1?3?DT的一般项为
n
n njjjjjjN bbb
21
21 21)()1( njjjjjjN
n
n aaa 21)(
21
21)1(
njjjnNjjjN nn aaa )1( 21)12()( 2121
这也是 D的一般项?所以 D?DT?
n
n njjjjjjN bbb
21
21 21)()1( njjjjjjN
n
n aaa 21)(
21
21)1(
下页上页 下页 铃结束返回首页性质 2 互换行列式的两行 (列 )?行列式的值变号?
记 D?|aij|? 交换 D的第 s行与第 t(s?t)行得到的行列式为
D1?|bij|? 则 bsj?atj? btj?asj(j?1? 2 n)? D1的一般项为证?
nts
nts njtjsjjjjjjN bbbb
1
1 1)()1(
nts
nts njsjtjjjjjjN aaaa
1
1 1)()1(
nst
nts njtjsjjjjjjN aaaa
1
1 1)()1(
nst
nst njtjsjjjjjjN aaaa
1
1 1)()1(?
它与 D的一般项相差一个负号?所以 D1D?
下页上页 下页 铃结束返回首页推论 如果行列式中有两行 (列 )的对应元素相同?则此行列式的值为零?
这是因为? 将行列式 D中具有相同元素的两行互换后所得的行列式仍为 D?但由性质 2可知其结果应为?D?因此 DD?
所以 D?0?
性质 2 互换行列式的两行 (列 )?行列式的值变号?
下页上页 下页 铃结束返回首页性质 3 用数 k乘以行列式的某一行 (列 )?等于以数 k乘此行列式? 即如果设 D?|aij|? 则推论 如果行列式中有两行 (列 )的对应元素相同?则此行列式的值为零?
性质 2 互换行列式的两行 (列 )?行列式的值变号?
这是因为 D1的一般项为
ni
n njijjjjjN akaa )( )1(
1
21 1)( ])1[(
1
21 1)(
ni
n njijjjjjN aaak
上面等号右端方括号内是 D的一般项?所以 D1?kD?
21
21
11211
1
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
D
kD
aaa
aaa
aaa
k
nnnn
inii
n
21
21
11211
下页上页 下页 铃结束返回首页推论 1 如果行列式某行 (列 )的所有元素有公因子?则公因子可以提到行列式外面?
推论 2 如果行列式有两行 (列 )的对应元素成比例?则此行列式的值为零?
性质 3 用数 k乘以行列式的某一行 (列 )?等于以数 k乘此行列式?
推论 如果行列式中有两行 (列 )的对应元素相同?则此行列式的值为零?
性质 2 互换行列式的两行 (列 )?行列式的值变号?
因为由推论 1? 可将行列式中这两行 (列 )的比例系数提到行列式外面? 则余下的行列式有两行 (列 )对应元素相同? 由性质 2可知此行列式的值等于零?所以原行列式的值等于零?
下页上页 下页 铃结束返回首页性质 4 如果行列式中的某一行 (列 )的每一个元素都是两个数的和?则此行列式可以写成两个行列式的和?例如
21
21
11211
21
21
11211
21
2211
11211
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
nnnn
ininiiii
n
aaa
bbb
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
bababa
aaa
nii
n njijijjjjjN abaa )()1(
1
21 1)(
][)1( 1121 11)( ninin njijjnjijjjjjN abaaaa
ni
n njijjjjjN aaa
1
21 1)()1(
ni
n njijjjjjN aba
1
21 1)()1(?
这是因为下页上页 下页 铃结束返回首页推论 如果将行列式某一行 (列 )的每个元素都写成 m个数的和? 则此行列式可以写成 m个行列式的和?
性质 4 如果行列式中的某一行 (列 )的每一个元素都是两个数的和?则此行列式可以写成两个行列式的和?例如
21
21
11211
21
21
11211
21
2211
11211
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
nnnn
ininiiii
n
aaa
bbb
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
bababa
aaa
下页上页 下页 铃结束返回首页性质 5 将行列式的某一行 (列 )的所有元素同乘以数 k后加到另一行 (列 )对应位置的元素上?行列式的值不变?例如
21
21
21
11211
nnnn
snss
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
2211
11211
nnnn
snss
sninsisi
n
aaa
aaa
kaakaakaa
aaa
这 是 因 为? 右 边
21
21
21
11211
21
21
21
11211
nnnn
snss
snss
n
nnnn
snss
inii
n
aaa
aaa
kakaka
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
下页上页 下页 铃结束返回首页例 1? 计算行列式
4105
363
142
D?
因为第一行与第二行对应元素成比例?根据性质 3的推论 2?得解?
0
4105
363
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D?
反对称行列式反对称行列式为下列形式的行列式?
0
0
0
0
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32313
22312
11312
nnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
下页上页 下页 铃结束返回首页例 2? 证明奇数阶反对称行列式的值为零?
解? 设
0
0
0
0
321
32313
22312
11312
nnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D?
利用行列式性质 3的推论 1及性质 1?有
DD
aaa
aaa
aaa
aaa
D nTn
nnn
n
n
n
n )1()1(
0
0
0
0
)1(
321
32313
22312
11312
当 n为奇数时?有 DD? 所以 D?0?
DD
aaa
aaa
aaa
aaa
D nTn
nn
n
n
n
n )1()1(
0
0
0
0
)1(
321
32313
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DD
aaa
aaa
aaa
aaa
D nTn
nnn
n
n
n
n )1()1(
0
0
0
0
)1(
321
32313
22312
11312
下页上页 下页 铃结束返回首页例 3? 设 1
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
求
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53
1026
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
解?
53
53
1026
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
53
53
53
2
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
解?
解?
53
53
1026
333231
232221
131211
aaa
aaa
aa
53
53
53
2
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
5)3(2
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
2?(?3)?5?1?30?
下页上页 下页 铃结束返回首页例 4? 计算行列式
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D?
解?
下页
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rr
4130
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2110
2011
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3rr
rr
2200
4200
2110
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34 rr?
2000
4200
2110
2011
1?(?1)?(?2)?(?2)?4?
解?
0112
0121
2011
2110
D
21 rr?
0112
0121
2110
2011
解?
012
0121
21
2110
D
21 rr?
0112
0121
2110
2011
解?
0112
0121
2011
2110
D
21 rr
0112
0121
2110
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14
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2 rr
rr
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2110
110
011
24
23
3 rr
rr
2200
4200
2110
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上页 下页 铃结束返回首页例 5? 计算 n 阶行列式
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