第一篇 动量传递第二章 连续性方程与运动方程
连续性方程（微分质量）
微分能量方程
运动方程（微分动量）
0)()()( zuyuxu zyx
z
Aq
y
Aq
x
Aq
D
DvP
D
DU zyx )/()/()/(
).(312 uupFDDu g
微分质量衡算方程单组份系统：
（输出的质量流率） —（输入的质量流率 ）
＋累积的质量速率＝ 0
在 x左侧面：
输入微元体积的质量流率输出微元体积的质量流率
z
x
y
dzdx
dy
(x,y,z)
dy
dz
ρux dy
dz
d yd zu x
dx
dx
df
ff
d yd zdx
x
u
u xx
0
)
)(
(
dxxuu xx )(
微分质量衡算方程
于是得到 x方向输出与输入微元体积的质量流率之差：
同理在 y方向：
Z方向：
d y d zdxxuu xx ))(( d x d y d zx
ud y d zu x
x?
)(
d xd zdyyuu y
y
))(( d xd yd zy
ud xd zu y
y?
)(
d x d ydzzuu zz ))(( d x d y d zz
ud x d yu z
z?
)(
微分质量衡算方程
（输出的质量流率） —（输入的质量流率）＝
累积的质量流率＝
质量衡算,出 —入＋累积＝ 0
d xd yd zzuyuxu zyx ))()()((
d xd yd z )(
d xd yd zzuyuxu zyx ))()()(( 0
)(?
d x d yd z
z
u
y
u
x
u zyx
)()()( 0)(?
微分质量衡算方程
写成向量形式：
展开：
连续方程式一般形式
z
u
y
u
x
u zyx
)()()( 0)(?
0)()()())()()(( zuyuxuzuyuxu zyxzyx
0)() u
几种算法符号及意义谢树艺，《工程数学 —矢量分析与场论》，人民教育出版社,1978年，北京
哈米尔顿（ Hamilton)算子：
梯度
散度：
z
k
y
j
x
i
kzujyuixuuzkyjxiu )(
z
u
y
u
x
ukujuiu
zkyjxiu
zyx
zyx?
))((
微分质量衡算方程的进一步分析
由于密度 ρ是空间（ x,y,z） 和时间的连续函数，及,ρ＝ f(x,y,z,θ）
将密度 ρ进行全微分：
写成全导形式
dzzdyydxxdd
d
dz
zd
dy
yd
dx
xd
d
不同的导数
偏导数,某固定点处流体密度 ρ随时间的变化率。
全导数,流体密度由于位置和时间变化而产生的变化率（观测者在流体中以任意速度运动）。
随体导数,观测者随流体随波逐流运动，即观测者在流体中与流体流速完全相同的速度运动。此时：
d
dz
zd
dy
yd
dx
xd
d
d
d
d
dzu
d
dyu
d
dxu
zyx ;;
DD
随体导数
d
dz
zd
dy
yd
dx
xd
d
zuyuxud
d
zyx?
zuyuxuD
D
zyx?
z
t
u
y
t
u
x
t
u
t
D
Dt
ct
zyx?
等也有类似表达式、浓度对温度随体导数
一般情况，算符 可用下式表示：
算符 所表示的函数称为随体导数或实体导数、拉格朗日导数。
zuyuxuD
D
zyx?
D
D
D
D
),,,( zyxf
d
d
D
D
d
dz
zd
dy
yd
dx
xd
d
欧拉观点和 Lagrange观点
欧拉观点,
– 流体运动的空间中固定某一位置和体积，分析这点所通过的流体的特性变化来研究整个流体的运动规律。位置和体积固定，质量随时间变化。如岸上观水，地面观测站。
Lagrange观点：
– 在流体运动的空间中选择某一固定质量的流体微元，
观测者随此质点运动。观测其特征变化来研究整个流体运动规律。质量固定，位置和体积可不固定。
如随船观水，气球探测。
微分质量衡算方程的进一步分析
zyx uzuyuxD
D
0)()()())()()(( zuyuxuzuyuxu zyxzyx
与随体导数定义：
得：
))()()(( zuyuxuDD zyx
随体导数的意义局部导数,在一个固定点（ x,y,z)该量 ρ随时间的变化；
对流导数,
由于流体质点运动，从一个点转移到另一个点时发生的变化；
所以上述方程式表明：流体微元体积上的一个点在 dθ时间内从进入微元体积的空间位置（ x,y,z)移动到微元体积的空间位置（ x+dx,y+dy,z+dz)时，
流体密度 ρ随间的变化率,
z
(x,y,z)
)( zyx uzuyux
x
y
dzdx
dy
zyx uzuyuxDD
微分质量衡算方程的进一步分析
)72)( azuyuxuDD zyx 和（
01)()()( DDzuyuxu zyx
由
∵ ρv=1,对该式求随体导数，得：
可得：
∴
0 DDvDDv 011 DDDDvv
（ 2-7b）
（ 2-9）
比较（ 2-7b)与（ 2-9）：
z
u
y
u
x
u
D
Dv
v
zyx
1
体积变形率 速度向量的散度体积变性率和线性变型率
12
12
xx
uu xx
x1 x2
z
u
y
u
x
u
D
Dv
v
zyx
1
体积变形率 速度向量的散度
12 xx uu?
12 xx?
几种特殊情况下连续方程简化稳态流动，密度不随时间变化，即简化为：
对于不可压缩流体,ρ于时间与空间无关：
（ 2-12）
（ 2-12）不可压缩流体的连续性方程。
0
z
u
y
u
x
u zyx
)()()( 0)(?
z
u
y
u
x
u zyx
)()()( 0?
0 zuyuxu zyx 0 u
柱坐标和球坐标连续性方程式
z
x
y
(x,y,z)或
（ r,Φ,θ）
z
x
y
(x,y,z)或
（ r,θ,z）
θ
Φθ
柱坐标和球坐标连续性方程式
柱坐标：
球坐标：
0)()(1)(1 zr uzurrrur
0)(s i n1)s i n(s i n1)(1 2ururrrur r
微分动量衡算方程
用应力表示的运动方程 （ 2-16）
– F—诸外力的向量合； M—流体的质量
– U—流体的速度向量； θ—时间。
对于固定质量 且运动的流体而言
速度 u对时间 θ的随体导数，表示流体的加速度
d
uMdF )(
D
uDMF )( 惯性力＝外力＝（质量）＊加速度微分动量衡算方程
对于微元流体
在 x,y,z三个方向：
力：质量力或体积力 FB,作用在整个微元流体上；
表面力或机械力，作用在微元流体诸表面上的外力，计为 FS.
它又可分为法向力和剪应力。
D
uDd x d y d zdFFd
i
D
uDd x d y d zdFFd z
ziz
D
uDd xd yd zdFFd y
yiy
D
uDd x d y d zdFFd x
xix
质量力
在 x方向上,dFxB=Xρdxdydz
– X-单位质量流体的质量力在 x方向上的分量。
– 重力 X＝ gconβ=Fxg
– 当 X方向为水平方向时，
– X=Fxg＝ 0,β＝ 90度
– 当 X方向为垂直方向,X＝ g＝ 9.81m/s2
– X与重力方向可以相同，也可以不同
β
g
x
表面力
y
y
z
x
τxx
τxy
τxz
τxy 第一个下表表示应力分量的作用面与 x轴垂直。第二个下标 x,y,z表示应力方向为 x轴、
y轴和 z轴方向。 τxx 表示法向应力分量。拉伸方向（向外）
为正，压缩方向（向内）为负。
小微元流体在运动时，由于法向应力和剪应力的存在，使其发生形变。
表面力六个表面，每一表面的机械应力均可分解成三个平行于 x,y,z三个坐标轴的应力分量 3× 6=18个在 x,y,z方向上各有六个。当小微元体体积缩小为一点时，相对表面上的法向应力与切线应力都是相应地大小相等、方向相反的。
故只需采用 9个机械应力就可以完全表达,3个法向分量,6个切线分量。
z
x
y
dzdx
dy
上）(dyyyxyx
右）(dxxxxxx
后）(dzzzxzx
前）(zx?
左）(xx?
下）(yx?
表面力
上述 6个剪应力可以使小微元旋转且彼此不独立。
可以由此关联起来。
这四个剪应力对于旋转轴线产生力矩：
力矩＝质量×旋转半径×角加速度
2
dy
y
yx
yx?
2
dx
x
xy
xy?
2
dx
x
xy
xy?
2
dy
y
yx
yx?
dy/2
dx/2 o dx/2
dy/2
x
y
表面力力矩＝质量×旋转半径×角加速度
（角加速度）旋转半径）
2
)((
)
2
)((
22
)
2
)((
22
d xd yd z
dy
d z d x
dy
y
dy
y
dx
d yd z
dx
x
dx
x
yx
yx
yx
yx
xy
xy
xy
xy
∴
当小微元体积趋近于 0使旋转半径趋近于 0
∴ 同理：
（角加速度）旋转半径） 2( yxxy
yxxy xzzxzyyz
X方向表面力
z
x
y
dzdx
dy
上）(dyyyxyx
右）(dxxxxxx
后）(dzzzxzx
前）(zx?
左）(xx?
下）(yx?
d xd yd xd ydz
z
d xd zd xd zdy
y
d yd zd yd zdx
x
dF
zx
zx
zx
yx
yx
yx
xx
xx
xxxS
)
d xd yd z
zyx
dF zxyxxxxS )(
简化后：
X方向总的外力分量 dFx
外力分量 =质量力分量＋表面力分量
xSxBx dFdFdF
zyxXD
Du zxyxxxx
zyxg co nD
Du zxyxxxx
（ 2-27a）
以应力项表示的粘性流体运动微分方程
zyx
X
D
Du zxyxxxx
zyx
Y
D
Du zyyyxyy
zyx
Z
D
Du zzyzxzz
的偏微分方程法线应力、剪应力有关单位质量流体质量力、与密度、速度、时间、
0),,,,,,,,,,,,,(?zyxZYXuuuf zxyxxxzyx
问题与讨论系方程。另外还需补充若干个关变量个数，量之间关系，减少独立三个方程，必须找出变个：未知量体积力）。，，个：已知量，个：自变量
)()(),(,,,,,10
(3;,,4
xzzxzyyzyxxyzzyyxxzyx
uuu
ZYXzyx
zyxXD
Du zxyxxxx
zyxYD
Du zyyyxyy
zyxZD
Du zzyzxzz
应力与应变速率的关系
剪应力（ τ—u联系起来 )
方向上的应变速率流体的粘度方向上的剪应力，
x
dy
du
x
dy
du
x
x
:
,:,
参考书：
王绍亭,陈涛，动量热量与质量传递，天津科学技术出版社,1986年。
剪应力
)(
x
u
y
u yx
yxxy?
)(
z
u
y
u yz
zyyz?
)(
x
u
z
u zx
xzzx?
（ 2-34a)
（ 2-34b)
（ 2-34c)
τ与速度关联起来法向应力
)(32)(2 zuyuxuxup zyxxxx
)(32)(2 zuyuxuyup zyxyyy
)(32)(2 zuyuxuzup zyxzzz
（ 2-35a)
（ 2-35b)
（ 2-35c)
τ与速度关联起来剪应力和法线应力
)( xuyu yxyxxy
)( zuyu yzzyyz
)( xuzu zxxzzx
（ 2-34a)
（ 2-34b)
（ 2-34c)
)(32)(2 zuyuxuxup zyxxxx
)(32)(2 zuyuxuyup zyxyyy
)(32)(2 zuyuxuzup zyxzzz
（ 2-35a)
（ 2-35b)
（ 2-35c)
粘性流体的运动微分方程
（ Navier-Stokes方程） zyx
XDDu zx
yxxxx
将（ 2-35) 代入上式：
)()(
)(
3
2
)(2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
zx
u
z
u
yx
u
y
u
zx
u
yx
u
x
u
x
u
x
p
X
D
Du
zxyx
zyxxx
粘性流体的运动微分方程
（ Navier-Stokes方程）
5个未知数,ux,uy,uz,ρ,p加上连续性方程和状态方程 f(ρ,p)=0,5个方程，原则上可解。但由于非线性偏微分方程，目前还无法求其通解。
为此，需根据实际加以简化，去掉一些项，使之可解
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
xz
u
y
u
x
u
x
pX
D
Du zyxxxxx
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
yz
u
y
u
x
u
y
pY
D
Du zyxyyyy
)(
3
1)(
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
zz
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du zyxzzzz
柱坐标
2
2
22
2
2
2
21
)(
11
)(
z
uu
r
u
r
ru
rrrr
p
X
x
u
u
r
uu
r
u
r
u
u
u
r
rr
rr
r
x
rr
r
r
分量：
2
2
22
2
2
21
)(
111
z
uu
r
u
r
ru
rrr
p
r
X
z
u
u
r
uuu
r
u
r
u
u
u
r
z
r
r
分量：
222
2
2
21
)(
11
z
u
r
u
rr
u
r
rr
p
X
z
u
u
u
r
u
r
u
u
u
z
zzz
z
z
z
zz
r
z
分量：
球坐标
u
r
u
r
u
r
u
r
u
r
u
rr
u
r
rrr
p
X
r
uuu
r
uu
r
u
r
u
u
u
r
r
r
rr
r
rrr
r
r
s i n
2
c o t
222
s i n
1
)( s i n
s i n
111
s i n
)(
22222
2
22
2
2
2
22
分量：
u
rr
uu
r
u
r
u
rr
u
r
rr
p
r
X
r
u
r
uuu
r
uu
r
u
r
u
u
u
r
r
r
222222
2
22
2
2
2
2
s i n
c o s2
s i n
2
s i n
2
)( s i n
s i n
1
)(
111
c o t
s i n
分量：
球坐标
u
r
u
rr
uu
r
u
rr
u
r
rr
p
r
X
r
uu
r
uuu
r
uu
r
u
r
u
u
u
r
r
222222
2
22
2
2
2
s i n
c o s2
s i n
2
s i ns i n
2
)( s i n
s i n
1
)(
1
s i n
11
c o t
s i n
分量：
讨论
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
xz
u
y
u
x
u
x
pX
D
Du zyxxxxx
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
yz
u
y
u
x
u
y
pY
D
Du zyxyyyy
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
zz
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du zyxzzzz
① 可以写成向量方程：
)(312 uuPFD uD g
惯性力 质量力 压力 粘性力讨论
②推导时假定剪应力和法向应力与变形速率为线性，假定带有一定任意性。故不能肯定 N-S
是流体运动真实描述，目前也没有求出 N-S方程的普遍解，但就已知各别解均与实验结果吻合；
③方程原则上使用于层流和湍流。但实际上只能直接用于层流（湍流太复杂）；
④方程在一定条件下可以得到简化；
方程简化
对于不可压缩流体
– ∴;0DD 0?
zuy
u
x
u zyx
uPFD uD gz?
2
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
pX
D
Du xxxx
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
pY
D
Du yyyy
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du zzzz
不可压缩 N-S方程展开式
uPFD uD gz 2
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
pX
u
z
uu
y
uu
x
uu
D
Du
xxx
xx
z
x
y
x
x
x
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
p
Y
D
Du
yyy
y
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du
zzz
z
yy
z
y
y
y
x
u
z
uu
y
uu
x
uu
zzzzyzx u
z
uu
y
uu
x
uu
消去质量力
zypzyxXzyp
x
p
x
p
x
p
p
p
ppp
dS
d
s
ds
21?
动压头，流体流动时。
静压头，流体静止时；
gF
z
pZ
x
pY
y
pX
z
pZ
y
pY
x
p
x
ppX
sss
sss
1;1;1;;12 同理：
p1
Δy Δz
Δx
X
p2
y
z
x
消去质量力
gF
uPFD uD gz
2
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
pX
D
Du xxxx
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
pY
D
Du yyyy
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du zzzz
z
pZ
x
pY
y
pX
z
pZ
y
pY
x
p
x
ppX
sss
sss
1;1;1;;
12
以动压头表示的不可压缩 N—S方程
uPD uD dz?
2
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
D
Du xxxdx
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
p
D
Du yyydy
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
D
Du zzzdz
uPD uD dz?
21
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
D
Du xxxdx
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
p
D
Du yyydy
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
D
Du zzzdz
Fluent Modeling
www.fluent.com
混合过程动量传递流体流动模型
Turbulent flow around the
hull of a very large crude
oil carrier
要点总结
连续性方程和运动方程的推导；
方程中各项的意义；
特殊情况下方程的简化；
随体导数；
拉格朗日观点；
动压力和静压力；
作业
P47-48
– 1,2,6,9
连续性方程（微分质量）
微分能量方程
运动方程（微分动量）
0)()()( zuyuxu zyx
z
Aq
y
Aq
x
Aq
D
DvP
D
DU zyx )/()/()/(
).(312 uupFDDu g
微分质量衡算方程单组份系统：
（输出的质量流率） —（输入的质量流率 ）
＋累积的质量速率＝ 0
在 x左侧面：
输入微元体积的质量流率输出微元体积的质量流率
z
x
y
dzdx
dy
(x,y,z)
dy
dz
ρux dy
dz
d yd zu x
dx
dx
df
ff
d yd zdx
x
u
u xx
0
)
)(
(
dxxuu xx )(
微分质量衡算方程
于是得到 x方向输出与输入微元体积的质量流率之差：
同理在 y方向：
Z方向：
d y d zdxxuu xx ))(( d x d y d zx
ud y d zu x
x?
)(
d xd zdyyuu y
y
))(( d xd yd zy
ud xd zu y
y?
)(
d x d ydzzuu zz ))(( d x d y d zz
ud x d yu z
z?
)(
微分质量衡算方程
（输出的质量流率） —（输入的质量流率）＝
累积的质量流率＝
质量衡算,出 —入＋累积＝ 0
d xd yd zzuyuxu zyx ))()()((
d xd yd z )(
d xd yd zzuyuxu zyx ))()()(( 0
)(?
d x d yd z
z
u
y
u
x
u zyx
)()()( 0)(?
微分质量衡算方程
写成向量形式：
展开：
连续方程式一般形式
z
u
y
u
x
u zyx
)()()( 0)(?
0)()()())()()(( zuyuxuzuyuxu zyxzyx
0)() u
几种算法符号及意义谢树艺，《工程数学 —矢量分析与场论》，人民教育出版社,1978年，北京
哈米尔顿（ Hamilton)算子：
梯度
散度：
z
k
y
j
x
i
kzujyuixuuzkyjxiu )(
z
u
y
u
x
ukujuiu
zkyjxiu
zyx
zyx?
))((
微分质量衡算方程的进一步分析
由于密度 ρ是空间（ x,y,z） 和时间的连续函数，及,ρ＝ f(x,y,z,θ）
将密度 ρ进行全微分：
写成全导形式
dzzdyydxxdd
d
dz
zd
dy
yd
dx
xd
d
不同的导数
偏导数,某固定点处流体密度 ρ随时间的变化率。
全导数,流体密度由于位置和时间变化而产生的变化率（观测者在流体中以任意速度运动）。
随体导数,观测者随流体随波逐流运动，即观测者在流体中与流体流速完全相同的速度运动。此时：
d
dz
zd
dy
yd
dx
xd
d
d
d
d
dzu
d
dyu
d
dxu
zyx ;;
DD
随体导数
d
dz
zd
dy
yd
dx
xd
d
zuyuxud
d
zyx?
zuyuxuD
D
zyx?
z
t
u
y
t
u
x
t
u
t
D
Dt
ct
zyx?
等也有类似表达式、浓度对温度随体导数
一般情况，算符 可用下式表示：
算符 所表示的函数称为随体导数或实体导数、拉格朗日导数。
zuyuxuD
D
zyx?
D
D
D
D
),,,( zyxf
d
d
D
D
d
dz
zd
dy
yd
dx
xd
d
欧拉观点和 Lagrange观点
欧拉观点,
– 流体运动的空间中固定某一位置和体积，分析这点所通过的流体的特性变化来研究整个流体的运动规律。位置和体积固定，质量随时间变化。如岸上观水，地面观测站。
Lagrange观点：
– 在流体运动的空间中选择某一固定质量的流体微元，
观测者随此质点运动。观测其特征变化来研究整个流体运动规律。质量固定，位置和体积可不固定。
如随船观水，气球探测。
微分质量衡算方程的进一步分析
zyx uzuyuxD
D
0)()()())()()(( zuyuxuzuyuxu zyxzyx
与随体导数定义：
得：
))()()(( zuyuxuDD zyx
随体导数的意义局部导数,在一个固定点（ x,y,z)该量 ρ随时间的变化；
对流导数,
由于流体质点运动，从一个点转移到另一个点时发生的变化；
所以上述方程式表明：流体微元体积上的一个点在 dθ时间内从进入微元体积的空间位置（ x,y,z)移动到微元体积的空间位置（ x+dx,y+dy,z+dz)时，
流体密度 ρ随间的变化率,
z
(x,y,z)
)( zyx uzuyux
x
y
dzdx
dy
zyx uzuyuxDD
微分质量衡算方程的进一步分析
)72)( azuyuxuDD zyx 和（
01)()()( DDzuyuxu zyx
由
∵ ρv=1,对该式求随体导数，得：
可得：
∴
0 DDvDDv 011 DDDDvv
（ 2-7b）
（ 2-9）
比较（ 2-7b)与（ 2-9）：
z
u
y
u
x
u
D
Dv
v
zyx
1
体积变形率 速度向量的散度体积变性率和线性变型率
12
12
xx
uu xx
x1 x2
z
u
y
u
x
u
D
Dv
v
zyx
1
体积变形率 速度向量的散度
12 xx uu?
12 xx?
几种特殊情况下连续方程简化稳态流动，密度不随时间变化，即简化为：
对于不可压缩流体,ρ于时间与空间无关：
（ 2-12）
（ 2-12）不可压缩流体的连续性方程。
0
z
u
y
u
x
u zyx
)()()( 0)(?
z
u
y
u
x
u zyx
)()()( 0?
0 zuyuxu zyx 0 u
柱坐标和球坐标连续性方程式
z
x
y
(x,y,z)或
（ r,Φ,θ）
z
x
y
(x,y,z)或
（ r,θ,z）
θ
Φθ
柱坐标和球坐标连续性方程式
柱坐标：
球坐标：
0)()(1)(1 zr uzurrrur
0)(s i n1)s i n(s i n1)(1 2ururrrur r
微分动量衡算方程
用应力表示的运动方程 （ 2-16）
– F—诸外力的向量合； M—流体的质量
– U—流体的速度向量； θ—时间。
对于固定质量 且运动的流体而言
速度 u对时间 θ的随体导数，表示流体的加速度
d
uMdF )(
D
uDMF )( 惯性力＝外力＝（质量）＊加速度微分动量衡算方程
对于微元流体
在 x,y,z三个方向：
力：质量力或体积力 FB,作用在整个微元流体上；
表面力或机械力，作用在微元流体诸表面上的外力，计为 FS.
它又可分为法向力和剪应力。
D
uDd x d y d zdFFd
i
D
uDd x d y d zdFFd z
ziz
D
uDd xd yd zdFFd y
yiy
D
uDd x d y d zdFFd x
xix
质量力
在 x方向上,dFxB=Xρdxdydz
– X-单位质量流体的质量力在 x方向上的分量。
– 重力 X＝ gconβ=Fxg
– 当 X方向为水平方向时，
– X=Fxg＝ 0,β＝ 90度
– 当 X方向为垂直方向,X＝ g＝ 9.81m/s2
– X与重力方向可以相同，也可以不同
β
g
x
表面力
y
y
z
x
τxx
τxy
τxz
τxy 第一个下表表示应力分量的作用面与 x轴垂直。第二个下标 x,y,z表示应力方向为 x轴、
y轴和 z轴方向。 τxx 表示法向应力分量。拉伸方向（向外）
为正，压缩方向（向内）为负。
小微元流体在运动时，由于法向应力和剪应力的存在，使其发生形变。
表面力六个表面，每一表面的机械应力均可分解成三个平行于 x,y,z三个坐标轴的应力分量 3× 6=18个在 x,y,z方向上各有六个。当小微元体体积缩小为一点时，相对表面上的法向应力与切线应力都是相应地大小相等、方向相反的。
故只需采用 9个机械应力就可以完全表达,3个法向分量,6个切线分量。
z
x
y
dzdx
dy
上）(dyyyxyx
右）(dxxxxxx
后）(dzzzxzx
前）(zx?
左）(xx?
下）(yx?
表面力
上述 6个剪应力可以使小微元旋转且彼此不独立。
可以由此关联起来。
这四个剪应力对于旋转轴线产生力矩：
力矩＝质量×旋转半径×角加速度
2
dy
y
yx
yx?
2
dx
x
xy
xy?
2
dx
x
xy
xy?
2
dy
y
yx
yx?
dy/2
dx/2 o dx/2
dy/2
x
y
表面力力矩＝质量×旋转半径×角加速度
（角加速度）旋转半径）
2
)((
)
2
)((
22
)
2
)((
22
d xd yd z
dy
d z d x
dy
y
dy
y
dx
d yd z
dx
x
dx
x
yx
yx
yx
yx
xy
xy
xy
xy
∴
当小微元体积趋近于 0使旋转半径趋近于 0
∴ 同理：
（角加速度）旋转半径） 2( yxxy
yxxy xzzxzyyz
X方向表面力
z
x
y
dzdx
dy
上）(dyyyxyx
右）(dxxxxxx
后）(dzzzxzx
前）(zx?
左）(xx?
下）(yx?
d xd yd xd ydz
z
d xd zd xd zdy
y
d yd zd yd zdx
x
dF
zx
zx
zx
yx
yx
yx
xx
xx
xxxS
)
d xd yd z
zyx
dF zxyxxxxS )(
简化后：
X方向总的外力分量 dFx
外力分量 =质量力分量＋表面力分量
xSxBx dFdFdF
zyxXD
Du zxyxxxx
zyxg co nD
Du zxyxxxx
（ 2-27a）
以应力项表示的粘性流体运动微分方程
zyx
X
D
Du zxyxxxx
zyx
Y
D
Du zyyyxyy
zyx
Z
D
Du zzyzxzz
的偏微分方程法线应力、剪应力有关单位质量流体质量力、与密度、速度、时间、
0),,,,,,,,,,,,,(?zyxZYXuuuf zxyxxxzyx
问题与讨论系方程。另外还需补充若干个关变量个数，量之间关系，减少独立三个方程，必须找出变个：未知量体积力）。，，个：已知量，个：自变量
)()(),(,,,,,10
(3;,,4
xzzxzyyzyxxyzzyyxxzyx
uuu
ZYXzyx
zyxXD
Du zxyxxxx
zyxYD
Du zyyyxyy
zyxZD
Du zzyzxzz
应力与应变速率的关系
剪应力（ τ—u联系起来 )
方向上的应变速率流体的粘度方向上的剪应力，
x
dy
du
x
dy
du
x
x
:
,:,
参考书：
王绍亭,陈涛，动量热量与质量传递，天津科学技术出版社,1986年。
剪应力
)(
x
u
y
u yx
yxxy?
)(
z
u
y
u yz
zyyz?
)(
x
u
z
u zx
xzzx?
（ 2-34a)
（ 2-34b)
（ 2-34c)
τ与速度关联起来法向应力
)(32)(2 zuyuxuxup zyxxxx
)(32)(2 zuyuxuyup zyxyyy
)(32)(2 zuyuxuzup zyxzzz
（ 2-35a)
（ 2-35b)
（ 2-35c)
τ与速度关联起来剪应力和法线应力
)( xuyu yxyxxy
)( zuyu yzzyyz
)( xuzu zxxzzx
（ 2-34a)
（ 2-34b)
（ 2-34c)
)(32)(2 zuyuxuxup zyxxxx
)(32)(2 zuyuxuyup zyxyyy
)(32)(2 zuyuxuzup zyxzzz
（ 2-35a)
（ 2-35b)
（ 2-35c)
粘性流体的运动微分方程
（ Navier-Stokes方程） zyx
XDDu zx
yxxxx
将（ 2-35) 代入上式：
)()(
)(
3
2
)(2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
zx
u
z
u
yx
u
y
u
zx
u
yx
u
x
u
x
u
x
p
X
D
Du
zxyx
zyxxx
粘性流体的运动微分方程
（ Navier-Stokes方程）
5个未知数,ux,uy,uz,ρ,p加上连续性方程和状态方程 f(ρ,p)=0,5个方程，原则上可解。但由于非线性偏微分方程，目前还无法求其通解。
为此，需根据实际加以简化，去掉一些项，使之可解
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
xz
u
y
u
x
u
x
pX
D
Du zyxxxxx
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
yz
u
y
u
x
u
y
pY
D
Du zyxyyyy
)(
3
1)(
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
zz
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du zyxzzzz
柱坐标
2
2
22
2
2
2
21
)(
11
)(
z
uu
r
u
r
ru
rrrr
p
X
x
u
u
r
uu
r
u
r
u
u
u
r
rr
rr
r
x
rr
r
r
分量：
2
2
22
2
2
21
)(
111
z
uu
r
u
r
ru
rrr
p
r
X
z
u
u
r
uuu
r
u
r
u
u
u
r
z
r
r
分量：
222
2
2
21
)(
11
z
u
r
u
rr
u
r
rr
p
X
z
u
u
u
r
u
r
u
u
u
z
zzz
z
z
z
zz
r
z
分量：
球坐标
u
r
u
r
u
r
u
r
u
r
u
rr
u
r
rrr
p
X
r
uuu
r
uu
r
u
r
u
u
u
r
r
r
rr
r
rrr
r
r
s i n
2
c o t
222
s i n
1
)( s i n
s i n
111
s i n
)(
22222
2
22
2
2
2
22
分量：
u
rr
uu
r
u
r
u
rr
u
r
rr
p
r
X
r
u
r
uuu
r
uu
r
u
r
u
u
u
r
r
r
222222
2
22
2
2
2
2
s i n
c o s2
s i n
2
s i n
2
)( s i n
s i n
1
)(
111
c o t
s i n
分量：
球坐标
u
r
u
rr
uu
r
u
rr
u
r
rr
p
r
X
r
uu
r
uuu
r
uu
r
u
r
u
u
u
r
r
222222
2
22
2
2
2
s i n
c o s2
s i n
2
s i ns i n
2
)( s i n
s i n
1
)(
1
s i n
11
c o t
s i n
分量：
讨论
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
xz
u
y
u
x
u
x
pX
D
Du zyxxxxx
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
yz
u
y
u
x
u
y
pY
D
Du zyxyyyy
)(31)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
zz
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du zyxzzzz
① 可以写成向量方程：
)(312 uuPFD uD g
惯性力 质量力 压力 粘性力讨论
②推导时假定剪应力和法向应力与变形速率为线性，假定带有一定任意性。故不能肯定 N-S
是流体运动真实描述，目前也没有求出 N-S方程的普遍解，但就已知各别解均与实验结果吻合；
③方程原则上使用于层流和湍流。但实际上只能直接用于层流（湍流太复杂）；
④方程在一定条件下可以得到简化；
方程简化
对于不可压缩流体
– ∴;0DD 0?
zuy
u
x
u zyx
uPFD uD gz?
2
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
pX
D
Du xxxx
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
pY
D
Du yyyy
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du zzzz
不可压缩 N-S方程展开式
uPFD uD gz 2
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
pX
u
z
uu
y
uu
x
uu
D
Du
xxx
xx
z
x
y
x
x
x
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
p
Y
D
Du
yyy
y
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du
zzz
z
yy
z
y
y
y
x
u
z
uu
y
uu
x
uu
zzzzyzx u
z
uu
y
uu
x
uu
消去质量力
zypzyxXzyp
x
p
x
p
x
p
p
p
ppp
dS
d
s
ds
21?
动压头，流体流动时。
静压头，流体静止时；
gF
z
pZ
x
pY
y
pX
z
pZ
y
pY
x
p
x
ppX
sss
sss
1;1;1;;12 同理：
p1
Δy Δz
Δx
X
p2
y
z
x
消去质量力
gF
uPFD uD gz
2
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
pX
D
Du xxxx
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
pY
D
Du yyyy
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
pZ
D
Du zzzz
z
pZ
x
pY
y
pX
z
pZ
y
pY
x
p
x
ppX
sss
sss
1;1;1;;
12
以动压头表示的不可压缩 N—S方程
uPD uD dz?
2
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
D
Du xxxdx
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
p
D
Du yyydy
)( 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
D
Du zzzdz
uPD uD dz?
21
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
x
p
D
Du xxxdx
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
y
p
D
Du yyydy
)(1 2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
z
p
D
Du zzzdz
Fluent Modeling
www.fluent.com
混合过程动量传递流体流动模型
Turbulent flow around the
hull of a very large crude
oil carrier
要点总结
连续性方程和运动方程的推导；
方程中各项的意义；
特殊情况下方程的简化；
随体导数；
拉格朗日观点；
动压力和静压力；
作业
P47-48
– 1,2,6,9
