制作人：曹亚群欢 迎 大 家例 xx c o ss i n xs i n 是 xcos 的原函数,
)0(1ln xxx
xln 是 x1 在区间 ),0( 内的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的即 Ix,都有 )()( xfxF
或 dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
或 dxxf )( 在区间 I 内 原函数,
一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，
简言之,连续函数一定有原函数,
问题,(1) 原函数是否唯一？
例 xx c o ss i n xCx c o ss i n
（ 为任意常数）C
那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,
使 Ix,都有 )()( xfxF,
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明：
（ 1）若,则对于任意常数,)()( xfxF C
CxF?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF )()( （ 为任意常数）C
证 )()()()( xGxFxGxF
0)()( xfxf
CxGxF )()( （ 为任意常数）C
任意常数积分号被积函数不定积分的定义：
在区间 I 内，
CxFdxxf )()(
被积表达式积分变量函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数 称为 )( xf 在区间 I 内的不定积分,记为? dxxf )(,
例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx?
.6
6
5 Cxdxx
解例 2 求,1 1 2 dxx
,1 1a r c t an 2xx
.a r c t an1 1 2 Cxdxx
例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy?
根据题意知,2 xdxdy?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2 Cxxdx?,)( 2 Cxxf
由曲线通过点（ 1,2）,1 C
所求曲线方程为,12 xy
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
由不定积分的定义，可知
),()( xfdxxfdxd,)(])([ dxxfdxxfd
,)()( CxFdxxF,)()( CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
实例
xx?
1
1
.1
1
Cxdxx
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式,
)1(
二,基本积分表基本积分表
kCkxkdx ()1( 是常数 );
);1(1)2(
1
Cxdxx;ln)3( Cxxdx
说明,,0x,ln Cxxdx
])[ l n(,0 xx,1)(1 xxx
,)l n( Cxxdx,||ln Cxxdx
简写为,ln Cxxdx
dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx?
dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx?
xdxc o s)6( ;s in Cx?
x d xs i n)7( ;c o s C
xdx 2c os)8(x d x2s e c ;ta n Cx?
xdx 2s i n)9(x d x2c s c ;c o t Cx
x d xx t a ns e c)10( ;s e c Cx?
x d xx c o tc s c)11( ;c s c Cx
dxe x)12( ;Ce x?
dxa x)13( ;ln Caa
x
x d xs i n h)14( ;c o s h Cx?
xdxc o s h)15( ;s in h Cx?
例 4 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx 2
5
C
x
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx
根据积分公式（ 2） C
xdxx?
1
1
dxxgxf )]()([)1( ;)()( dxxgdxx
证 dxxgdxxf )()(?
dxxgdxxf )()( ).()( xgxf
等式成立,
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
三,不定积分的性质
dxxkf )()2(,)? dxxfk
（ k 是常数,)0?k
例 5 求积分解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx
dxxx )1 21 3( 22
dxxdxx 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s in2? C?
例 6 求积分解
.
)1(
1
2
2
dx
xx
xx?
dxxx xx )1(1 2
2
dxxx xx )1( )1( 2
2
dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 1 2
.lna r c t a n Cxx
例 7 求积分解
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
dxxx x )1( 21 22
2
dxxx xx )1(1 22
22
dxxdxx 22 1 11
.a r c t a n1 Cxx
例 8 求积分解
.2c os1 1 dxx
dxx2c os1 1 dxx 1c o s21 1 2
dxx2c os 121,t an21 Cx
说明,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表,
例 9 已知一曲线 )( xfy? 在点 ))(,( xfx 处的切线斜率为 xx si nsec
2
,且此曲线与 y 轴的交点为 )5,0(,求此曲线的方程,
解,s i ns e c 2 xxdxdy
dxxxy s i ns e c 2
,c o st a n Cxx
,5)0(?y?,6 C
所求曲线方程为,6c o st a n xxy
基本积分表 (1)
不定积分的性质原函数的概念,)()( xfxF
不定积分的概念, CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系四,小结
)0(1ln xxx
xln 是 x1 在区间 ),0( 内的原函数,
如果在区间 I 内，定义,可导函数 )( xF 的即 Ix,都有 )()( xfxF
或 dxxfxdF )()(?,那么函数 )( xF 就称为 )( xf
导函数为 )( xf,
或 dxxf )( 在区间 I 内 原函数,
一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：
如果函数 )( xf 在区间 I 内连续，
简言之,连续函数一定有原函数,
问题,(1) 原函数是否唯一？
例 xx c o ss i n xCx c o ss i n
（ 为任意常数）C
那么在区间 I 内存在可导函数 )( xF,
使 Ix,都有 )()( xfxF,
(2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明：
（ 1）若,则对于任意常数,)()( xfxF C
CxF?)( 都是 )( xf 的原函数,
（ 2）若 和 都是 的原函数，)(xF )(xG )(xf
则 CxGxF )()( （ 为任意常数）C
证 )()()()( xGxFxGxF
0)()( xfxf
CxGxF )()( （ 为任意常数）C
任意常数积分号被积函数不定积分的定义：
在区间 I 内，
CxFdxxf )()(
被积表达式积分变量函数 )( xf 的带有任意常数项的原函数 称为 )( xf 在区间 I 内的不定积分,记为? dxxf )(,
例 1 求,5dxx?
解,6
5
6
xx?
.6
6
5 Cxdxx
解例 2 求,1 1 2 dxx
,1 1a r c t an 2xx
.a r c t an1 1 2 Cxdxx
例 3 设曲线通过点（ 1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程,
解 设曲线方程为 ),( xfy?
根据题意知,2 xdxdy?
即 )( xf 是 x2 的一个原函数,
,2 2 Cxxdx?,)( 2 Cxxf
由曲线通过点（ 1,2）,1 C
所求曲线方程为,12 xy
函数 )( xf 的原函数的图形称为 )( xf 的 积分曲线,
显然，求不定积分得到一积分曲线族,
由不定积分的定义，可知
),()( xfdxxfdxd,)(])([ dxxfdxxfd
,)()( CxFdxxF,)()( CxFxdF
结论,微分运算与求不定积分的运算是 互逆 的,
实例
xx?
1
1
.1
1
Cxdxx
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式,
)1(
二,基本积分表基本积分表
kCkxkdx ()1( 是常数 );
);1(1)2(
1
Cxdxx;ln)3( Cxxdx
说明,,0x,ln Cxxdx
])[ l n(,0 xx,1)(1 xxx
,)l n( Cxxdx,||ln Cxxdx
简写为,ln Cxxdx
dxx 21 1)4( ;a r c t a n Cx?
dxx 21 1)5( ;a r c s i n Cx?
xdxc o s)6( ;s in Cx?
x d xs i n)7( ;c o s C
xdx 2c os)8(x d x2s e c ;ta n Cx?
xdx 2s i n)9(x d x2c s c ;c o t Cx
x d xx t a ns e c)10( ;s e c Cx?
x d xx c o tc s c)11( ;c s c Cx
dxe x)12( ;Ce x?
dxa x)13( ;ln Caa
x
x d xs i n h)14( ;c o s h Cx?
xdxc o s h)15( ;s in h Cx?
例 4 求积分,2 dxxx?
解 dxxx? 2 dxx 2
5
C
x
1
2
5
1
2
5
.72 2
7
Cx
根据积分公式（ 2） C
xdxx?
1
1
dxxgxf )]()([)1( ;)()( dxxgdxx
证 dxxgdxxf )()(?
dxxgdxxf )()( ).()( xgxf
等式成立,
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
三,不定积分的性质
dxxkf )()2(,)? dxxfk
（ k 是常数,)0?k
例 5 求积分解
.)
1
2
1
3(
22 dxxx
dxxx )1 21 3( 22
dxxdxx 22 1 121 13
xa r c t a n3? xa r c s in2? C?
例 6 求积分解
.
)1(
1
2
2
dx
xx
xx?
dxxx xx )1(1 2
2
dxxx xx )1( )1( 2
2
dxxx 11 1 2 dxxdxx 11 1 2
.lna r c t a n Cxx
例 7 求积分解
.
)1(
21
22
2
dx
xx
x?
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2
dxxx xx )1(1 22
22
dxxdxx 22 1 11
.a r c t a n1 Cxx
例 8 求积分解
.2c os1 1 dxx
dxx2c os1 1 dxx 1c o s21 1 2
dxx2c os 121,t an21 Cx
说明,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表,
例 9 已知一曲线 )( xfy? 在点 ))(,( xfx 处的切线斜率为 xx si nsec
2
,且此曲线与 y 轴的交点为 )5,0(,求此曲线的方程,
解,s i ns e c 2 xxdxdy
dxxxy s i ns e c 2
,c o st a n Cxx
,5)0(?y?,6 C
所求曲线方程为,6c o st a n xxy
基本积分表 (1)
不定积分的性质原函数的概念,)()( xfxF
不定积分的概念, CxFdxxf )()(
求微分与求积分的互逆关系四,小结
