上一页 下一页首页制作人：曹亚群欢 迎 大 家上一页 下一页首页导数的概念一、导数的定义引：导数的思想最初是法国数学家费马 (Fermat
1601 — 1665)为解决极大，极小 问题而引入的，
但导数作为微分学中最主要 的概念却是英国数学家牛顿 (Newton)和德国数学家莱布尼兹 (Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立的。
已知自由落体的运动方为：
试讨论落体在时间 t0 的速度。
为下面我们以速度问题背景引入导数概念，随后再介绍导数的几何意义及应用
2
2
1 gtsTt,0?
上一页 下一页首页分析过程,
2
00 2
1 gts?
2
2
1 gts?
取一邻近于 t0的时刻 t这时落体在 t0到 t这一段时间内的平均速度：
)(
2
2
1
2
1
0
0
2
0
2
0
0 ttg
tt
gtgt
tt
ssv
（ 1）
它近似地反映了落体在时刻 to
的快慢程度，但当 t越接近于
to时，它则反映得越准确，若令 t-> to则 （ 1）式的 极限 gt0就刻划了落体在时刻 to的瞬时速度
（或速度）。
上一页 下一页首页一般说：一质点作直线运动，设其运动方程为,s=Ψ(t)
为其某一确定的时刻,t为邻近于 t0的时刻，
则
0
0 )()(
tt
ttv
（ 2）
是质点在 t0到 t着一时间间隔内的平均速度
（或称平均变化率）
若 t->t0时，（ 2）式极限存在，则称其极限值：
0
0 )()(l i m
tt
ttv
ott?
（ 3）
为质点在时刻 t0的速度（或称变化率）。
上一页 下一页首页我们会发现，在计算诸如物质比热，电流强度，
线密度，曲线的切线斜率等问题中，尽管它们的具体背景各不相同，但最终都归结为讨论形如（ 3）式的极限，也正是由于这类问题的研究促使导数概念的产生。
定义 1：设函数 y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义若极限：
0
0 )()(l i m
0 xx
xfxf
xx?
（ ⅰ ）
存在则称函数 f在点 x0可导，并称其极限值为函数 f在 x0的导数，记作,)( 0xf?
也可记作,000 |)(|,| xxxxxx dx xdfdxdyy 或上一页 下一页首页注：函数 f(x)在点 x0处存在导数简称函数 f(x)在点 x0处可导。
若令 x=x0+△ x，△ y=f(x0+△ x) -f(x0) 则（ 1）式可改写成 )(lim)()(lim 00000 xfxyx xfxxf xx （ ⅱ ）
所以导数是函数增量△ y与自变量△ x之比 xy
（也称为差商）的极限。若（ ⅰ ）（或（ ⅱ ））
式的极限不存在，则说函数 f在 x0不可导。
注：函数 y=f(x) 在 x0点的导数定义的两种表示法
（ ⅰ ）（ ⅱ ）以后都要用到。
上一页 下一页首页如果函数 y=f(x)在区间 (a,b)内每一点都可导，就称函数 f(x)在区间 (a,b)内可导，显然函数 y=f(x)
对于 (a,b)内每一个确定的 x值，都对应着一个确定的导数，这就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数 y=f(x)的导函数简称导数，记为：
dx
xdf
dx
dyxfy )(),(,或
要求函数 y=f(x)在点 x0的导数 )( 0xf? 就是求导函数
)(xf? 在点 x0处的函数值，即,0|)()( 0 xxxfxf
上一页 下一页首页例 1,求函数在 在 x0=1的导数,2xy?
解,22 )(21)1( xxxy
由导数的定义得,2)(2l i m|
2
01
x
xxy
xx
二、导数的几何意义从解析几何知道在曲线 y=f(x) 上一点 M0(x0,y0)处的切线是割线 M0M当 M(x,y)沿曲线趋近于 M0时的极限位置 (如下图 ),因为割线 M0M的斜率：
0
0 )()(
xx
xfxfk
而过点 M
0的切线斜率 k 正是割线斜率在 x->x0时的极限，即：
0
0 )()(l i m
0 xx
xfxfk
xx?
上一页 下一页首页由导数定义 )( 0xfk 所以曲线
y=f(x)在点 M0处的切线方程是：
))(( 000 xxxfyy
这就是说,函数 f在点 x0 导数
)( 0xf? 是曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x0))
处切线的斜率。
附注,过切点 M0且与切线垂直的直线，叫做曲线 y=f(x)
在点 M0处的法线，若 0)( 0 xf 法线的斜率为
)(
1
0xf?
从而法线的方程为,)(
)(
1
0
0
0 xxxfyy
上一页 下一页首页例 2,在如图所示的抛物线 2xy? 上求点 (1,1)处的切线斜率，并写出该点的切线方程和法线方程。
解：由导数的几何意义知，
点 (1,1)处的切线斜率为,2|2| 11 xx xyk
所求的切线方程为：
y-I=2(x-1) 即 2x-y-1=0
所求法线方程为：
)1(211 xy 即 x+2y-3=0
上一页 下一页首页三、函数的可导性与连续性间的关系设函数 y=f(x)在点 x处可导，即,)(l i m
0
xfxy
x
存在,
由具有极限的函数与无穷小的关系，可知：
)( xfxy 其中? 当 0x 时为无穷小，上式两边同除以 x? 得 xxxfy)(两边取极限得
0lim)(limlim 000 xxxfy xxx?所以，若函数 y=f(x)
在点 x处可导，则函数在该点必连续；反之，一个的充分条件而非必要条件。
函数在某点连续，未必可导。 即：可导是函数连续上一页 下一页首页例如,函数 x
xxy
0
0
x
x
显然，在 x=0点连续但不可导。
四、小结我们主要学习了导数的概念，导数的几何意义，
函数的可导性与连续性的关系。
五、作业
P52 T4 T5
上一页 下一页首页谢 谢 大 家 ！
1601 — 1665)为解决极大，极小 问题而引入的，
但导数作为微分学中最主要 的概念却是英国数学家牛顿 (Newton)和德国数学家莱布尼兹 (Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立的。
已知自由落体的运动方为：
试讨论落体在时间 t0 的速度。
为下面我们以速度问题背景引入导数概念，随后再介绍导数的几何意义及应用
2
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1 gtsTt,0?
上一页 下一页首页分析过程,
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00 2
1 gts?
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1 gts?
取一邻近于 t0的时刻 t这时落体在 t0到 t这一段时间内的平均速度：
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1
0
0
2
0
2
0
0 ttg
tt
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（ 1）
它近似地反映了落体在时刻 to
的快慢程度，但当 t越接近于
to时，它则反映得越准确，若令 t-> to则 （ 1）式的 极限 gt0就刻划了落体在时刻 to的瞬时速度
（或速度）。
上一页 下一页首页一般说：一质点作直线运动，设其运动方程为,s=Ψ(t)
为其某一确定的时刻,t为邻近于 t0的时刻，
则
0
0 )()(
tt
ttv
（ 2）
是质点在 t0到 t着一时间间隔内的平均速度
（或称平均变化率）
若 t->t0时，（ 2）式极限存在，则称其极限值：
0
0 )()(l i m
tt
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ott?
（ 3）
为质点在时刻 t0的速度（或称变化率）。
上一页 下一页首页我们会发现，在计算诸如物质比热，电流强度，
线密度，曲线的切线斜率等问题中，尽管它们的具体背景各不相同，但最终都归结为讨论形如（ 3）式的极限，也正是由于这类问题的研究促使导数概念的产生。
定义 1：设函数 y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义若极限：
0
0 )()(l i m
0 xx
xfxf
xx?
（ ⅰ ）
存在则称函数 f在点 x0可导，并称其极限值为函数 f在 x0的导数，记作,)( 0xf?
也可记作,000 |)(|,| xxxxxx dx xdfdxdyy 或上一页 下一页首页注：函数 f(x)在点 x0处存在导数简称函数 f(x)在点 x0处可导。
若令 x=x0+△ x，△ y=f(x0+△ x) -f(x0) 则（ 1）式可改写成 )(lim)()(lim 00000 xfxyx xfxxf xx （ ⅱ ）
所以导数是函数增量△ y与自变量△ x之比 xy
（也称为差商）的极限。若（ ⅰ ）（或（ ⅱ ））
式的极限不存在，则说函数 f在 x0不可导。
注：函数 y=f(x) 在 x0点的导数定义的两种表示法
（ ⅰ ）（ ⅱ ）以后都要用到。
上一页 下一页首页如果函数 y=f(x)在区间 (a,b)内每一点都可导，就称函数 f(x)在区间 (a,b)内可导，显然函数 y=f(x)
对于 (a,b)内每一个确定的 x值，都对应着一个确定的导数，这就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数 y=f(x)的导函数简称导数，记为：
dx
xdf
dx
dyxfy )(),(,或
要求函数 y=f(x)在点 x0的导数 )( 0xf? 就是求导函数
)(xf? 在点 x0处的函数值，即,0|)()( 0 xxxfxf
上一页 下一页首页例 1,求函数在 在 x0=1的导数,2xy?
解,22 )(21)1( xxxy
由导数的定义得,2)(2l i m|
2
01
x
xxy
xx
二、导数的几何意义从解析几何知道在曲线 y=f(x) 上一点 M0(x0,y0)处的切线是割线 M0M当 M(x,y)沿曲线趋近于 M0时的极限位置 (如下图 ),因为割线 M0M的斜率：
0
0 )()(
xx
xfxfk
而过点 M
0的切线斜率 k 正是割线斜率在 x->x0时的极限，即：
0
0 )()(l i m
0 xx
xfxfk
xx?
上一页 下一页首页由导数定义 )( 0xfk 所以曲线
y=f(x)在点 M0处的切线方程是：
))(( 000 xxxfyy
这就是说,函数 f在点 x0 导数
)( 0xf? 是曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x0))
处切线的斜率。
附注,过切点 M0且与切线垂直的直线，叫做曲线 y=f(x)
在点 M0处的法线，若 0)( 0 xf 法线的斜率为
)(
1
0xf?
从而法线的方程为,)(
)(
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上一页 下一页首页例 2,在如图所示的抛物线 2xy? 上求点 (1,1)处的切线斜率，并写出该点的切线方程和法线方程。
解：由导数的几何意义知，
点 (1,1)处的切线斜率为,2|2| 11 xx xyk
所求的切线方程为：
y-I=2(x-1) 即 2x-y-1=0
所求法线方程为：
)1(211 xy 即 x+2y-3=0
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0
xfxy
x
存在,
由具有极限的函数与无穷小的关系，可知：
)( xfxy 其中? 当 0x 时为无穷小，上式两边同除以 x? 得 xxxfy)(两边取极限得
0lim)(limlim 000 xxxfy xxx?所以，若函数 y=f(x)
在点 x处可导，则函数在该点必连续；反之，一个的充分条件而非必要条件。
函数在某点连续，未必可导。 即：可导是函数连续上一页 下一页首页例如,函数 x
xxy
0
0
x
x
显然，在 x=0点连续但不可导。
四、小结我们主要学习了导数的概念，导数的几何意义，
函数的可导性与连续性的关系。
五、作业
P52 T4 T5
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