制作人：曹亚群欢 迎 大 家
a b x
y
o
A
曲边梯形由连续曲线实例 1 （求曲边梯形的面积）
)( xfy? )0)((?xf,
x 轴与两条直线 ax?,
bx? 所围成,
一、问题 (question)
)( xfy?
a b x
y
oa b x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
（四个小矩形） （九个小矩形）
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
(1)分割取近似：
,bxxxxxa
n]b,a[
nn
1210
1
个分点，
内插入在区间
a b x
y
o i? ix1x 1?ix 1?nx
。
长度为
，个小区间分成把区间
)n,,i(;xxx
]x,x[
n]b,a[
iii
ii
21
1
1
，上任取一点个小区间在第
i
ii ]x,x[i
1
)n,,i(x)(fA iii?21
为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx
i
n
i
i xfA
)(
1
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA
)(l i m
10
时，趋近于零且小区间的最大长度当分割无限加细取极限：
)(
}x,x,xm a x {
,)(
n
0
3
21
曲边梯形面积为
(2) 求和,把 n个小矩形的面积加起来。
（ 1）分割 212101 TtttttT nn
1 iii ttt iii tvs )(?
第 i段路程值 第 i段某时刻的速度
（ 2）求和 ii
n
i
tvs
)(
1
（ 3）取极限 },,,m a x { 21 nttt
i
n
i
i tvs
)(l i m
10
路程的精确值实例 2 （求变速直线运动的路程 )
设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，
在 ],[ ba 中任意插入若干个分点 bxxxxxa nn 1210?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，任取 一点并作和 ii
n
i
xfS
)(
1
,
二、定积分的定义
1.定义 (Definition):
]x,x[ iii 1
只要当 0 时，
}x{m a x ii记极限 ii
n
i
xf
)(lim
10
存在。
我们称这个极限 为函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的 定积分,
记作：
ba dx)x(f
ba Idxxf )( ii
n
i
xf
)(lim
10
被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ ba
即积分上限积分下限
a b x
y
o
)(xfy?
提示若用 A? 表示任一小区间
],[ xxx 上的窄曲边梯形的面积，
则 AA,并取 dxxfA )(,
于是 dxxfA )(
dxxfA )(l i m,)( ba dxxf x dxx?
dA
E x a m p l e,求由连续曲线 )( xfy?,直线
ax?,bx? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积。
在 ],[ ba 上任取小区间 ],[ dxxx?,
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([
)( xfy?
点击图片任意处播放 \暂停
E x a m p l e,一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水,问要把池内的水全部吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
ox
dxx?
5
取任一小区间 ],[ dxxx?,
这一薄层水的重力为 dx238.9
dxxw 2.8850
2,注意 (Remark)：
（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
ba dxxf )( ba dttf )( ba duuf )(
（ 2 ）定积分是一数值,
（ 3 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时,
而与积分变量的字母无关,
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上 可积,
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，
定理 (theorem)1：
定理 (theorem)2：
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点,则 )( xf 在三、存在定理区间 ],[ ba 上可积,
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积的负值
1A
2A
3A
4A
4321)( AAAAdxxf
b
a
四、定积分的几何意义几何意义：
积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
,
)(
五、小结
１．定积分的实质,特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零求和 积零为整取极限 精确值 —— 定积分求近似以直（不变）代曲（变）
取极限
a b x
y
o
A
曲边梯形由连续曲线实例 1 （求曲边梯形的面积）
)( xfy? )0)((?xf,
x 轴与两条直线 ax?,
bx? 所围成,
一、问题 (question)
)( xfy?
a b x
y
oa b x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
（四个小矩形） （九个小矩形）
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
(1)分割取近似：
,bxxxxxa
n]b,a[
nn
1210
1
个分点，
内插入在区间
a b x
y
o i? ix1x 1?ix 1?nx
。
长度为
，个小区间分成把区间
)n,,i(;xxx
]x,x[
n]b,a[
iii
ii
21
1
1
，上任取一点个小区间在第
i
ii ]x,x[i
1
)n,,i(x)(fA iii?21
为高的小矩形面积为为底，以 )(],[ 1 iii fxx
i
n
i
i xfA
)(
1
曲边梯形面积的近似值为
i
n
i
i xfA
)(l i m
10
时，趋近于零且小区间的最大长度当分割无限加细取极限：
)(
}x,x,xm a x {
,)(
n
0
3
21
曲边梯形面积为
(2) 求和,把 n个小矩形的面积加起来。
（ 1）分割 212101 TtttttT nn
1 iii ttt iii tvs )(?
第 i段路程值 第 i段某时刻的速度
（ 2）求和 ii
n
i
tvs
)(
1
（ 3）取极限 },,,m a x { 21 nttt
i
n
i
i tvs
)(l i m
10
路程的精确值实例 2 （求变速直线运动的路程 )
设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，
在 ],[ ba 中任意插入若干个分点 bxxxxxa nn 1210?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，任取 一点并作和 ii
n
i
xfS
)(
1
,
二、定积分的定义
1.定义 (Definition):
]x,x[ iii 1
只要当 0 时，
}x{m a x ii记极限 ii
n
i
xf
)(lim
10
存在。
我们称这个极限 为函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的 定积分,
记作：
ba dx)x(f
ba Idxxf )( ii
n
i
xf
)(lim
10
被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ ba
即积分上限积分下限
a b x
y
o
)(xfy?
提示若用 A? 表示任一小区间
],[ xxx 上的窄曲边梯形的面积，
则 AA,并取 dxxfA )(,
于是 dxxfA )(
dxxfA )(l i m,)( ba dxxf x dxx?
dA
E x a m p l e,求由连续曲线 )( xfy?,直线
ax?,bx? 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体的体积。
在 ],[ ba 上任取小区间 ],[ dxxx?,
x dxx? x
y
o
旋转体的体积为 dxxfV b
a
2)]([
)( xfy?
点击图片任意处播放 \暂停
E x a m p l e,一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水,问要把池内的水全部吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
x
ox
dxx?
5
取任一小区间 ],[ dxxx?,
这一薄层水的重力为 dx238.9
dxxw 2.8850
2,注意 (Remark)：
（ 1 ） 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
ba dxxf )( ba dttf )( ba duuf )(
（ 2 ）定积分是一数值,
（ 3 ）当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的定积分存在时,
而与积分变量的字母无关,
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上 可积,
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时，
定理 (theorem)1：
定理 (theorem)2：
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点,则 )( xf 在三、存在定理区间 ],[ ba 上可积,
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积
,0)(?xfba Adxxf )( 曲边梯形的面积的负值
1A
2A
3A
4A
4321)( AAAAdxxf
b
a
四、定积分的几何意义几何意义：
积取负号．
轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于
xx
bxax
xfx
,
)(
五、小结
１．定积分的实质,特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零求和 积零为整取极限 精确值 —— 定积分求近似以直（不变）代曲（变）
取极限
