§ 2.3 对偶解的经济意义
-------影子价格一,影子价格
2、影子价格的定义
3、影子价格在经济管理中的应用
1、问题的提出二,边际贡献对偶问题的对偶就是原问题一、对称定理：
上堂课的主要内容：
二、弱对偶性定理：
bYCXD
YPX
00
00
）的一个可行解，则有对偶问题（
是其）的一个可行解，是原问题（若三、对偶性定理：
（ 1）（ P）有最优解的 充要条件 是（ D）有最优解
（ 2）若 X*和 Y*分别是（ P）和（ D）的可行解，
则 X*和 Y*分别是（ P）和（ D）的最优解的充要条件是,CX*=Y*b
（ 3）若（ P）存在最优解 X*,B是（ P）的最优基，
则（ D）一定存在最优解 Y*，且 1* BCY
B
（ 4）若（ P） （ D）为 对称型 对偶问题，且（ P）
存在最优解 X*，则（ D）一定存在最优解 Y*，
且（ -1） Y*是（ P）的标准型的最优单纯形表检验行中松弛变量的系数四、互补松弛定理：
设 X*和 Y*分别是（ P）和（ D）的可行解，
则 X*和 Y*分别是（ P）和（ D）的最优解的充要条件是方程组成立
0*)*(
0*)(*
XCAY
AXbY
成立即
miXby iii,,2,1,0**
njxcPY jjj,,2,1,0*)*(
jjj cPYx *,0*3 必有则若有某个
0*,*4 jjj xcPY 则必有若有某个
iii bXy *,0*1?则必有若有某个
0*,*2 iii ybX 则必有若有某个?
1、问题的提出资源的合理利用问题：
资源
m
A
A
A
2
1
nBBB?21
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
资源限制
m
b
b
b
2
1
单位利润 nccc?21
nn xcxcxcz2211m a x
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ts
2211
22222121
11212111
.
0,,21?nxxx?
的总利润最大？利用现有资源，使获得排生产计划，才能充分下表，问如何安件产品可获得的利润如资源的数量限制以及每所消费的资源数、每种种资源，已知每件产品，，，耗种产品，要消，，，周期内生产某厂计划在下一个生产
m
n
AAA
BBB
21
21
),,2,1 nj
Bx jj
（
的产量表示产品解：设还有现金，
如何投资决策依据,比较 第 i种资源增加一个单位,其余资源不增加时 利润的增加值
nn xcxcxcz2211m ax对
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ts
2211
22222121
11212111
.
0,,21?nxxx?
决策依据：
在取得最优方案的前提下比较第 i种资源增加一个单位，其余资源不增加时利润的增加值设 B是最优基，
Z*是最优值
mm ybybybSD2211m in)(
nmmnnn
mm
mm
cyayaya
cyayaya
cyayaya
ts
2211
22222112
11221111
.
0,,21?myyy?
设 Y*时（ D）的最优解则 Z*=Y*b
*** 2211 mm ybybyb
其余不变时，当,1 ii bb
**)1(** 11 mmii ybybybZ
** iyZ
**** iyZZZ
ib
Z
* *
iy?
.*
*
个约束条件的影子价格称为第的改变量函数最优值单位时，所引起的目标增加一个个约束条件的右端常数）的第（
）中，）和（问题（影子价格：在一对对偶
iy
Z
biP
DP
i
i
ib
Z
*
个分量的第）的最优解对偶问题（ iYDy i **?
Lagrange乘子边际价格灵敏度系数
2,影子价格的定义
121 *),*,*,(* BCyyyY Bm?
润最大？
，使获得的总利才能充分利用现有资源问如何安排生产计划，
得的利润如下表，限制以及每件产品可获源数、每种资源的数量产品所消费的资时三种资源，已知每件耗钢材、煤炭、设备台两种产品，要消生产周期内生产甲、乙例：某厂计划在下一个资源甲 乙 资源限制钢材 5 2 170
煤炭 2 3 100
设备台时 1 5 150
单位利润
（万元）
10 18
21 1810m ax xxz求
0,
1505
10032
17025
.
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
表示产品乙的产量表示产品甲的产量解：设
2
1xx
x1 x2 x3 x4 x5
0 0 0 -32/7 -6/7 Z-4100/7
x3 0 0 1 -23/7 11/7 540/7
x1 1 0 0 5/7 -3/7 50/7
x2 0 1 0 -1/7 2/7 200/7
最优解
X*=(50/7,200/7)
最优值 Z*=4100/7 Y*=(0,32/7,6/7)
对偶问题的最优解
0,
1505
10032
17025
.
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
对偶问题最优解
Y*=(0,32/7,6/7)
21 1810m ax)( xxzP求钢材煤炭设备台时
，钢材的影子价格 0*1?y
732*2?y煤炭的影子价格
76*3?y设备台时的影子价格即再增加 1吨钢材，利润不会增加即再增加 1吨煤炭，利润增加 3/7万元即再增加 1个台时，利润增加 6/7万元
0,
1505
10032
17025
.
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
原问题最优解
X*=(50/7,200/7)
对偶问题最优解
Y*=(0,3/7,6/7)
21 1810m ax)( xxzP求钢材煤炭设备台时由互补松弛定理：
,076*,073* 32 yy由
1 7 076 5 0*2*5 21 xx约束：有若把最优方案带入钢材
1 5 0*5*
1 0 0*3*2
21
21
xx
xx
现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有剩余，
因此若增加这两种资源，必然会工厂带来新的效益。
现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源，
只能造成积压，不会给工厂增加效益。
0*1 y
*影子价格的大小客观地反映了资源在系统内部的 稀缺程度例：已知某家具公司生产书桌、餐桌、椅子三种产品。生产这些家具需要木材和和两种熟练工人：漆工和木工。各种家具的资源需求如下表,且公司确信书桌和椅子的需求是无限的，但餐桌最多能卖出 5个，问如何安排生产，能使总收入最大？
书桌 餐桌 椅子 资源数木材 8英寸木板 6英寸木板 1英寸木板 48英寸木板漆工 4小时 2小时 1。 5小时 20小时木工 2小时 1。 5小时 0。 5小时 8小时售价 60元 30元 20元解：设 X1,X2,X3表示书桌、餐桌、椅子的生产数量,Z表示总收入
321 203060m a x xxxZ求
4868 321 xxx
木工约束 205.124
321 xxx
漆工约束 85.05.12
321 xxx
木材约束
52?x 餐桌约束
0,,321?xxx
321 203060m a x xxxZ求
4868 321 xxx
205.124 321 xxx
85.05.12 321 xxx
52?x
0,,321?xxx
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
检验行 0 -5 0 0 -10 -10 0 Z-280
X4 0 -2 0 1 2 -8 0 24
X3 0 -2 1 0 2 -4 0 8
X1 1 1 0 0 -0.5 1 0 2
X7 0 1 0 0 0 0 1 5
最优单纯形表：
）（最优解 8,0,2*X 2 8 0*?Z最优值对偶问题的最优解木工约束漆工约束木材约束餐桌约束
01?y木材的影子价格
102?y漆工的影子价格
103?y木工的影子价格
04?y餐桌的影子价格
0,10,10,0*?Y
，即增加 1英寸的木材，总收入不增加
，即增加 1小时的漆工，总收入增加 10元
，即增加 1小时的木工，总收入增加 10元
，即增加 1个餐桌的需求，总收入不增加
01?y木材的影子价格
102?y漆工的影子价格
103?y木工的影子价格
04?y餐桌的影子价格投资策略,哪种资源的影子价格大就投资那项？
iyi种资源的影子价格第的增加额增加一个单位时总收入种资源第 ibi?
,总利润增加注意：总收入增加? 总成本总收入总利润
投资策略：
不增加木板,不在餐桌的销路上投资（如广告等）
若市场上 1小时的漆工工资 <10元，可增加漆工若市场上 1小时的木工工资 <10元，可增加木工影子价格是一种资源的虚拟价格
≠资源的市场价格
3、影子价格在经济管理中的应用
(1)影子价格能指示企业内部挖潜的方向影子价格越大的资源，表明：
这种资源对目标增益的影响越大这种资源对该企业 越稀缺、贵重管理措施,重视对该种资源的管理，
通过挖潜革新、降低消耗或及时补充该种资源影子价格为零的资源，表明：
这种资源对该企业来说相对富裕管理措施：
向别的企业转让或以市场价出售通过对企业内部的改造、挖潜和增加对影子价格大于零的资源的投入，使原有剩余资源得到充分利用
（ 2）影子价格在企业经营决策中的作用决策者,将本企业资源的影子价格与当时的市场价格进行比较采用的决策,若某种资源的影子价格 >市场价格
--卖出若某种资源的影子价格 <市场价格
--买进关于影子价格的 说明,
3、影子价格是在系统达到最优时对系统资源的一种最优估价，并假设第 i种资源增加一个单位时最优基没改变。
1、影子价格的大小客观地反映了资源在系统内的稀缺程度
2、影子价格的取值与系统的状态有关，系统中任一状态的改变都会引起影子价格的变化
例：某工厂准备生产 A,B,C三种产品，他们都消耗劳动力和材料，有关数据如下：
原料 产品 A B C 拥有量劳动力 6 3 5 45
材料 3 4 5 30
售价（元） 3 1 4
1、确定获总收入最大的生产计划
2、如果劳动力数量不变，材料不足可从市场购买，每单位 0.4元，问该单位要不要购进原材料扩大生产？
总收入的产量，的产量，的产量，解：设 ZCxBxAx 321
321 43m a x xxxZ求模型：
45536 321 xxx
30543 321 xxx
0,,321?xxx
321 43m a x xxxZ求标准型：
45536 4321 xxxx
30543 5321 xxxx
0,,,,54321?xxxxx
最优单纯形表
X1 X2 X3 X4 X5
0 -2 0 -1/5 -3/5 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 3
劳动力约束材料约束最优生产方案：
5个 A,0个 B,3个 C
材料的影子价格 =3/5=0.6
买进
>0.4
二、边际贡献生产策略问题：
资源
m
A
A
A
2
1
nBBB?21
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
资源限制
m
b
b
b
2
1
单位价格 nccc?21
nn xcxcxcz2211m a x
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ts
2211
22222121
11212111
.
0,,21?nxxx?
的总收入最大？利用现有资源，使获得排生产计划，才能充分下表，问如何安件产品可获得的利润如资源的数量限制以及每所消费的资源数、每种种资源，已知每件产品，，，耗种产品，要消，，，周期内生产某厂计划在下一个生产
m
n
AAA
BBB
21
21
),,2,1 nj
Bx jj
（
的产量表示产品解：设
2P
的数量种产品所消耗各种资源生产一个单位第 jP j
问题：市场上正在热卖第 j种产品，是否增加该产品的产量策略：若在最优方案中，第 j种产品的产量 xj为非基变量，不能增加该产品的产量
0
.
m a x
X
bAXts
CXz对问题
B取可行基
NBNB XNBCCbBCZ )(m a x 11
NB NXBbBX 11
0,0 NB XX
检验数
），（设最优解 *** NB XXX?
为最优基若 B,01 NBCC BN有
）（且 *,*,*,* 21 nmmN xxx?
nmmBN NBCC,,,211
*)(* 11 NBNB XNBCCbBCZ最优值
0Z *** 2211 nnmmmm xxx
),,2,1(1** mnjxx jj当 *Z
j?
jx
Z*
j?
j?
的贡献种产品给目标函数带来增加一个单位第 j?
际贡献种产品对目标函数的边第 j
01 NBCC BN由于,即 0?
j? 的减函数是 ** jXZ
非基变量
nnmmmm PYcPYcPYc *** 2211
）的最优解为（ DBCY B 1*
的最优基，为若 )(,,,21 PPPPB m
NBCC BN 1
*),*,*,(* 21 myyyY
种资源的影子价格第 iy i*
jBNjm NBCC )( 1
),,,( 21 nmm ccc ),,,(* 21 nmm PPPY
jmjmjm PYc *? )(* NPPYc
iiii即际贡献种产品对目标函数的边第 jj
为什么别人热卖的产品我不该生产
)(* NPPYc iiii即
iPY *
的单位成本种产品按影子价格核算第 i
隐含成本时，当 Ni Xx **? 0?i? ii cPY?*,
产品的价格，种产品的隐含价格高于即第 i 不能生产第 i种产品的价格耗系数种产品对各种资源的消第 i
各种资源的影子价格新产品开发决策分析获得的总收入最大？充分利用现有资源，使何安排生产计划，才能价如下表，问如限制以及每件产品的售源数、每种资源的数量产品所消费的资时三种资源，已知每件耗钢材、煤炭、设备台两种产品，要消生产周期内生产甲、乙例：某厂计划在下一个资源甲 乙 资源限制钢材 5 2 170
煤炭 2 3 100
设备台时 1 5 150
单位价格
（万元）
10 18
21 1810m ax xxz求
0,
1505
10032
17025
.
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
表示产品乙的产量表示产品甲的产量解：设
2
1xx
x1 x2 x3 x4 x5
0 0 0 -32/7 -6/7 Z-4100/7
x3 0 0 1 -23/7 11/7 540/7
x1 1 0 0 5/7 -3/7 50/7
x2 0 1 0 -1/7 2/7 200/7
，钢材的影子价格 0*1?y
732*2?y煤炭的影子价格
76*3?y设备台时的影子价格现有两种新产品 A和 B，他们对资源的消耗额以及可能获得的单位利润如表所示，试决定他们是否值得投产。
资源
A B
钢材 1 2
煤炭 2 1
设备台时 3 4
单位价格
（万元）
10 9
资源
A B
钢材 1 2
煤炭 2 1
设备台时 3 4
价格
（万元）
10 9
现有两种新产品 A和 B，他们对资源的消耗额以及可能获得的单位利润如表所示，试决定他们是否值得投产。
，钢材的影子价格 0*1?y
732*2?y煤炭的影子价格
76*3?y设备台时的影子价格产品 A的隐含成本 = 3
76273210
782? 10? 不生产产品 B的隐含成本 = 476173220
756? 9? 可以生产
-------影子价格一,影子价格
2、影子价格的定义
3、影子价格在经济管理中的应用
1、问题的提出二,边际贡献对偶问题的对偶就是原问题一、对称定理：
上堂课的主要内容：
二、弱对偶性定理：
bYCXD
YPX
00
00
）的一个可行解，则有对偶问题（
是其）的一个可行解，是原问题（若三、对偶性定理：
（ 1）（ P）有最优解的 充要条件 是（ D）有最优解
（ 2）若 X*和 Y*分别是（ P）和（ D）的可行解，
则 X*和 Y*分别是（ P）和（ D）的最优解的充要条件是,CX*=Y*b
（ 3）若（ P）存在最优解 X*,B是（ P）的最优基，
则（ D）一定存在最优解 Y*，且 1* BCY
B
（ 4）若（ P） （ D）为 对称型 对偶问题，且（ P）
存在最优解 X*，则（ D）一定存在最优解 Y*，
且（ -1） Y*是（ P）的标准型的最优单纯形表检验行中松弛变量的系数四、互补松弛定理：
设 X*和 Y*分别是（ P）和（ D）的可行解，
则 X*和 Y*分别是（ P）和（ D）的最优解的充要条件是方程组成立
0*)*(
0*)(*
XCAY
AXbY
成立即
miXby iii,,2,1,0**
njxcPY jjj,,2,1,0*)*(
jjj cPYx *,0*3 必有则若有某个
0*,*4 jjj xcPY 则必有若有某个
iii bXy *,0*1?则必有若有某个
0*,*2 iii ybX 则必有若有某个?
1、问题的提出资源的合理利用问题：
资源
m
A
A
A
2
1
nBBB?21
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
资源限制
m
b
b
b
2
1
单位利润 nccc?21
nn xcxcxcz2211m a x
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ts
2211
22222121
11212111
.
0,,21?nxxx?
的总利润最大？利用现有资源，使获得排生产计划，才能充分下表，问如何安件产品可获得的利润如资源的数量限制以及每所消费的资源数、每种种资源，已知每件产品，，，耗种产品，要消，，，周期内生产某厂计划在下一个生产
m
n
AAA
BBB
21
21
),,2,1 nj
Bx jj
（
的产量表示产品解：设还有现金，
如何投资决策依据,比较 第 i种资源增加一个单位,其余资源不增加时 利润的增加值
nn xcxcxcz2211m ax对
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ts
2211
22222121
11212111
.
0,,21?nxxx?
决策依据：
在取得最优方案的前提下比较第 i种资源增加一个单位，其余资源不增加时利润的增加值设 B是最优基，
Z*是最优值
mm ybybybSD2211m in)(
nmmnnn
mm
mm
cyayaya
cyayaya
cyayaya
ts
2211
22222112
11221111
.
0,,21?myyy?
设 Y*时（ D）的最优解则 Z*=Y*b
*** 2211 mm ybybyb
其余不变时，当,1 ii bb
**)1(** 11 mmii ybybybZ
** iyZ
**** iyZZZ
ib
Z
* *
iy?
.*
*
个约束条件的影子价格称为第的改变量函数最优值单位时，所引起的目标增加一个个约束条件的右端常数）的第（
）中，）和（问题（影子价格：在一对对偶
iy
Z
biP
DP
i
i
ib
Z
*
个分量的第）的最优解对偶问题（ iYDy i **?
Lagrange乘子边际价格灵敏度系数
2,影子价格的定义
121 *),*,*,(* BCyyyY Bm?
润最大？
，使获得的总利才能充分利用现有资源问如何安排生产计划，
得的利润如下表，限制以及每件产品可获源数、每种资源的数量产品所消费的资时三种资源，已知每件耗钢材、煤炭、设备台两种产品，要消生产周期内生产甲、乙例：某厂计划在下一个资源甲 乙 资源限制钢材 5 2 170
煤炭 2 3 100
设备台时 1 5 150
单位利润
（万元）
10 18
21 1810m ax xxz求
0,
1505
10032
17025
.
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
表示产品乙的产量表示产品甲的产量解：设
2
1xx
x1 x2 x3 x4 x5
0 0 0 -32/7 -6/7 Z-4100/7
x3 0 0 1 -23/7 11/7 540/7
x1 1 0 0 5/7 -3/7 50/7
x2 0 1 0 -1/7 2/7 200/7
最优解
X*=(50/7,200/7)
最优值 Z*=4100/7 Y*=(0,32/7,6/7)
对偶问题的最优解
0,
1505
10032
17025
.
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
对偶问题最优解
Y*=(0,32/7,6/7)
21 1810m ax)( xxzP求钢材煤炭设备台时
，钢材的影子价格 0*1?y
732*2?y煤炭的影子价格
76*3?y设备台时的影子价格即再增加 1吨钢材，利润不会增加即再增加 1吨煤炭，利润增加 3/7万元即再增加 1个台时，利润增加 6/7万元
0,
1505
10032
17025
.
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
原问题最优解
X*=(50/7,200/7)
对偶问题最优解
Y*=(0,3/7,6/7)
21 1810m ax)( xxzP求钢材煤炭设备台时由互补松弛定理：
,076*,073* 32 yy由
1 7 076 5 0*2*5 21 xx约束：有若把最优方案带入钢材
1 5 0*5*
1 0 0*3*2
21
21
xx
xx
现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有剩余，
因此若增加这两种资源，必然会工厂带来新的效益。
现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源，
只能造成积压，不会给工厂增加效益。
0*1 y
*影子价格的大小客观地反映了资源在系统内部的 稀缺程度例：已知某家具公司生产书桌、餐桌、椅子三种产品。生产这些家具需要木材和和两种熟练工人：漆工和木工。各种家具的资源需求如下表,且公司确信书桌和椅子的需求是无限的，但餐桌最多能卖出 5个，问如何安排生产，能使总收入最大？
书桌 餐桌 椅子 资源数木材 8英寸木板 6英寸木板 1英寸木板 48英寸木板漆工 4小时 2小时 1。 5小时 20小时木工 2小时 1。 5小时 0。 5小时 8小时售价 60元 30元 20元解：设 X1,X2,X3表示书桌、餐桌、椅子的生产数量,Z表示总收入
321 203060m a x xxxZ求
4868 321 xxx
木工约束 205.124
321 xxx
漆工约束 85.05.12
321 xxx
木材约束
52?x 餐桌约束
0,,321?xxx
321 203060m a x xxxZ求
4868 321 xxx
205.124 321 xxx
85.05.12 321 xxx
52?x
0,,321?xxx
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
检验行 0 -5 0 0 -10 -10 0 Z-280
X4 0 -2 0 1 2 -8 0 24
X3 0 -2 1 0 2 -4 0 8
X1 1 1 0 0 -0.5 1 0 2
X7 0 1 0 0 0 0 1 5
最优单纯形表：
）（最优解 8,0,2*X 2 8 0*?Z最优值对偶问题的最优解木工约束漆工约束木材约束餐桌约束
01?y木材的影子价格
102?y漆工的影子价格
103?y木工的影子价格
04?y餐桌的影子价格
0,10,10,0*?Y
，即增加 1英寸的木材，总收入不增加
，即增加 1小时的漆工，总收入增加 10元
，即增加 1小时的木工，总收入增加 10元
，即增加 1个餐桌的需求，总收入不增加
01?y木材的影子价格
102?y漆工的影子价格
103?y木工的影子价格
04?y餐桌的影子价格投资策略,哪种资源的影子价格大就投资那项？
iyi种资源的影子价格第的增加额增加一个单位时总收入种资源第 ibi?
,总利润增加注意：总收入增加? 总成本总收入总利润
投资策略：
不增加木板,不在餐桌的销路上投资（如广告等）
若市场上 1小时的漆工工资 <10元，可增加漆工若市场上 1小时的木工工资 <10元，可增加木工影子价格是一种资源的虚拟价格
≠资源的市场价格
3、影子价格在经济管理中的应用
(1)影子价格能指示企业内部挖潜的方向影子价格越大的资源，表明：
这种资源对目标增益的影响越大这种资源对该企业 越稀缺、贵重管理措施,重视对该种资源的管理，
通过挖潜革新、降低消耗或及时补充该种资源影子价格为零的资源，表明：
这种资源对该企业来说相对富裕管理措施：
向别的企业转让或以市场价出售通过对企业内部的改造、挖潜和增加对影子价格大于零的资源的投入，使原有剩余资源得到充分利用
（ 2）影子价格在企业经营决策中的作用决策者,将本企业资源的影子价格与当时的市场价格进行比较采用的决策,若某种资源的影子价格 >市场价格
--卖出若某种资源的影子价格 <市场价格
--买进关于影子价格的 说明,
3、影子价格是在系统达到最优时对系统资源的一种最优估价，并假设第 i种资源增加一个单位时最优基没改变。
1、影子价格的大小客观地反映了资源在系统内的稀缺程度
2、影子价格的取值与系统的状态有关，系统中任一状态的改变都会引起影子价格的变化
例：某工厂准备生产 A,B,C三种产品，他们都消耗劳动力和材料，有关数据如下：
原料 产品 A B C 拥有量劳动力 6 3 5 45
材料 3 4 5 30
售价（元） 3 1 4
1、确定获总收入最大的生产计划
2、如果劳动力数量不变，材料不足可从市场购买，每单位 0.4元，问该单位要不要购进原材料扩大生产？
总收入的产量，的产量，的产量，解：设 ZCxBxAx 321
321 43m a x xxxZ求模型：
45536 321 xxx
30543 321 xxx
0,,321?xxx
321 43m a x xxxZ求标准型：
45536 4321 xxxx
30543 5321 xxxx
0,,,,54321?xxxxx
最优单纯形表
X1 X2 X3 X4 X5
0 -2 0 -1/5 -3/5 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 3
劳动力约束材料约束最优生产方案：
5个 A,0个 B,3个 C
材料的影子价格 =3/5=0.6
买进
>0.4
二、边际贡献生产策略问题：
资源
m
A
A
A
2
1
nBBB?21
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
资源限制
m
b
b
b
2
1
单位价格 nccc?21
nn xcxcxcz2211m a x
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
ts
2211
22222121
11212111
.
0,,21?nxxx?
的总收入最大？利用现有资源，使获得排生产计划，才能充分下表，问如何安件产品可获得的利润如资源的数量限制以及每所消费的资源数、每种种资源，已知每件产品，，，耗种产品，要消，，，周期内生产某厂计划在下一个生产
m
n
AAA
BBB
21
21
),,2,1 nj
Bx jj
（
的产量表示产品解：设
2P
的数量种产品所消耗各种资源生产一个单位第 jP j
问题：市场上正在热卖第 j种产品，是否增加该产品的产量策略：若在最优方案中，第 j种产品的产量 xj为非基变量，不能增加该产品的产量
0
.
m a x
X
bAXts
CXz对问题
B取可行基
NBNB XNBCCbBCZ )(m a x 11
NB NXBbBX 11
0,0 NB XX
检验数
），（设最优解 *** NB XXX?
为最优基若 B,01 NBCC BN有
）（且 *,*,*,* 21 nmmN xxx?
nmmBN NBCC,,,211
*)(* 11 NBNB XNBCCbBCZ最优值
0Z *** 2211 nnmmmm xxx
),,2,1(1** mnjxx jj当 *Z
j?
jx
Z*
j?
j?
的贡献种产品给目标函数带来增加一个单位第 j?
际贡献种产品对目标函数的边第 j
01 NBCC BN由于,即 0?
j? 的减函数是 ** jXZ
非基变量
nnmmmm PYcPYcPYc *** 2211
）的最优解为（ DBCY B 1*
的最优基，为若 )(,,,21 PPPPB m
NBCC BN 1
*),*,*,(* 21 myyyY
种资源的影子价格第 iy i*
jBNjm NBCC )( 1
),,,( 21 nmm ccc ),,,(* 21 nmm PPPY
jmjmjm PYc *? )(* NPPYc
iiii即际贡献种产品对目标函数的边第 jj
为什么别人热卖的产品我不该生产
)(* NPPYc iiii即
iPY *
的单位成本种产品按影子价格核算第 i
隐含成本时，当 Ni Xx **? 0?i? ii cPY?*,
产品的价格，种产品的隐含价格高于即第 i 不能生产第 i种产品的价格耗系数种产品对各种资源的消第 i
各种资源的影子价格新产品开发决策分析获得的总收入最大？充分利用现有资源，使何安排生产计划，才能价如下表，问如限制以及每件产品的售源数、每种资源的数量产品所消费的资时三种资源，已知每件耗钢材、煤炭、设备台两种产品，要消生产周期内生产甲、乙例：某厂计划在下一个资源甲 乙 资源限制钢材 5 2 170
煤炭 2 3 100
设备台时 1 5 150
单位价格
（万元）
10 18
21 1810m ax xxz求
0,
1505
10032
17025
.
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
ts
表示产品乙的产量表示产品甲的产量解：设
2
1xx
x1 x2 x3 x4 x5
0 0 0 -32/7 -6/7 Z-4100/7
x3 0 0 1 -23/7 11/7 540/7
x1 1 0 0 5/7 -3/7 50/7
x2 0 1 0 -1/7 2/7 200/7
，钢材的影子价格 0*1?y
732*2?y煤炭的影子价格
76*3?y设备台时的影子价格现有两种新产品 A和 B，他们对资源的消耗额以及可能获得的单位利润如表所示，试决定他们是否值得投产。
资源
A B
钢材 1 2
煤炭 2 1
设备台时 3 4
单位价格
（万元）
10 9
资源
A B
钢材 1 2
煤炭 2 1
设备台时 3 4
价格
（万元）
10 9
现有两种新产品 A和 B，他们对资源的消耗额以及可能获得的单位利润如表所示，试决定他们是否值得投产。
，钢材的影子价格 0*1?y
732*2?y煤炭的影子价格
76*3?y设备台时的影子价格产品 A的隐含成本 = 3
76273210
782? 10? 不生产产品 B的隐含成本 = 476173220
756? 9? 可以生产
