一、目标函数系数 C（价格）变化的灵敏度分析此表仍为最优，
此时最优解不变但最优值改变此表不是最优单纯形表检验数和最优值改变，
用单纯形法继续迭代不变但 01 bB
时，变为当 CC
01 NBCC BN若
01 NBCC BN若
XB XN 常数项检验行
0 CN- CBB-1N Z- CBB-1b
XB E B-1N B-1b
≤0
0?
内时，最优解不变在范围的改变量当是非基变量的系数，则：若结论
iii
ii
cc
cc
1
内时，最优解不变在范围的改变量则当是基变量的系数，：若结论
Nja
a
cNja
a
cc
c
ij
ij
j
iij
ij
j
ii
i
,0|m i n,0|m a x
2
的系数所在行对应非基变量中基变量是最优单纯形表的其中
j
iij
x
xtsa,?
二、右边项 b发生变化的灵敏度分析
XB XN 常数项检验行 0 CN- CBB-1N Z- CBB-1b
XB E B-1N B-1b
最优单纯形表：
≤0
0?
，设 bb?
不变01 NBCC BN
bBCZbBCZ BB 11
bBbB 11
：若 01 bB 单纯形表保持最优，
，），（最优解 0* 1 bBX bBCZ B 1*最优值
：若 01 bB
bBbB 11
在原最优单纯形表中，
bBCZbBCZ BB 11，
用 对偶单纯形法 迭代求出最优解
1?B求
0
.
m a x
X
bAXts
CXz对问题
0
.
m a x
X
bXAXts
CXz
S
标准型
bBXBNXBX SNB 111
最优单纯形表的 s.t中松弛变量的系数的求法：1?B
变化时，原最优基不变在什么范围内变，则其余不问题：设
i
iii
b
bbb
,
01?
bB
b i 在什么范围内变化时，即
mii bbbbb1
bb
001 imi bbbb
mmmim
mi
mi
B
1
2221
1111
1，
bB 1 )(1 bbB bBbB 11
XB XN 解检验行 0 CN- CBB-1N Z- CBB-1b
XB E B-1N B-1b
最优单纯形表
mmmim
mi
mi
1
2221
1111
0
0
ib
imi
ii
ii
b
b
b
2
1
mb
b
b
bB
2
1
1记
mb
b
b
2
1
mb
b
b
2
1
imim
ii
ii
bb
bb
bb
22
11
0?
01 bBb i 在什么范围内变化时，问题：
bB 1
imim
ii
ii
bb
bb
bb
22
11
0?
0
0
0
22
11
imim
ii
ii
bb
bb
bb
mimi
ii
ii
bb
bb
bb
22
11
0?ki?若
ki
k
i
bb
,0?ki?若
ki
k
i
bb
,
0|m in
ki
ki
k
i
bb?
0|m a x
ki
ki
kb?
满足的改变量结论：当 ii bb?
0|m a x
ki
ki
kb?
原问题的最优基不变列的第 iB 1?
bB 1?
0|m in
ki
ki
k
i
bb?
01 bB
0|m in ki
ki
k
i
bb?
满足的改变量结论：当 ii bb?
0|m a x ki
ki
kb?
原问题的最优基不变的常数项是最优单纯形表中列，的第是其中 tsbB
b
b
b
iB
mmi
i
i
.12
1
12
1
个，求最优生产方案增加了、若劳动力拥有量 202 1b
例：某工厂准备生产 A,B,C三种产品，他们都消耗劳动力和材料，有关数据如下：
原料 产品 A B C 拥有量劳动力 6 3 5 45
材料 3 4 5 30
售价（元） 3 1 4
最优单纯形表
X1 X2 X3 X4 X5
0 -2 0 -1/5 -3/5 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 3
B
bb
品变化时，仍然不生产产在什么范围内的改变量、劳动力拥有量问题 111?
27
00305
Z
X
最优值
），，，，，（最优解最优生产方案：
5个 A,0个 B,3个 C
0|m in
1
1
1 k
k
kbb?
0|m a x
1
1
k
k
kb?
2
1
b
b
1?B
0|m i n
1
1
k
k
kb?
15?
0|m a x
1
1
k
k
kb?
21
2
b
11
1
b 15
B仍然不生产产品之间时，至量在结论：当劳动力的拥有 6030
1515 1 b即
B
bb
品变化时，仍然不生产产在什么范围内的改变量、劳动力拥有量问题 111?
最优单纯形表 X1 X2 X3 X4 X5
0 -2 0 -1/5 -3/5 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 3
最优单纯形表
X1 X2 X3 X4 X5
0 -2 0 -1/5 -3/5 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 3
bB 1
5/25/1
3/13/1
1
3/35
bBCZ B 1
1
3/354,3Z
31 Z
X1 X2 X3 X4 X5
0 -3 -1 0 -1 Z-30
X1 1 -2 5/3 0 1/3 10
X4 0 -5 -5 1 -2 5
30
050010
Z
X
最优值
），，，，，（最优解结论：最优生产方案,10个 A，其余不生产个，求最优生产方案增加了、若劳动力拥有量 202 1b
1?B原料 产品 A B C 拥有量劳动力 6 3 5 45
材料 3 4 5 30
售价（元） 3 1 4
30
65
31?Z
1
3/35
资源的合理利用问题：
资源
m
A
A
A
2
1
nBBB?21
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
资源限制
m
b
b
b
2
1
单位利润 nccc?21
nn xcxcxcz2211m a x
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
0,,21?nxxx?
的总利润最大？利用现有资源，使获得排生产计划，才能充分下表，问如何安件产品可获得的利润如资源的数量限制以及每所消费的资源数、每种种资源，已知每件产品，，，耗种产品，要消，，，周期内生产某厂计划在下一个生产
m
n
AAA
BBB
21
21
),,2,1 nj
Bx jj
（
的产量表示产品解：设新问题：工厂研制了一种新产品，估计单位利润为 cn+1，问是否投入生产，若投入生产，
求最优生产方案
1
1
12
11
1
n
mn
n
n
n
c
a
a
a
B
1?
11 nn xc
111 nn xa
112 nn xa
11 nnm xa
1?
nn xcxcxcz2211m a x
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
mB cccC,,,21
0,,21?nxxx?
对问题：
mPPPB,,,21设
XB XN 常数项检验行 0 CN- CBB-1N Z- CBB-1b
XB E B-1N B-1b
最优单纯形表
nmm PPPN,,21?，
mB xxxX,,,21
nmmN cccC,,21
nmmN xxxX,,21
mbbbb,,,21?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
nPPP,,,21
增加一个新变量 xn+1
nn xcxcxcz2211m a x
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
0,,21?nxxx?
对问题：
mPPPB,,,21设
XB XN 常数项检验行 0 CN- CBB-1N Z- CBB-1b
XB E B-1N B-1b
最优单纯形表
bb?
BB?基增加一个新变量 xn+1
1?
11 nn x
111 nn xa
112 nn xa
11 nnm xa
BB XX?
BB CC?
11,, nnm PPPNN,?
11,,, nnmNN xxxXX?
11,,, nnmNN cccCC?
1?nP
1 nPN,
1, nN xX
1, nN cC
1?nx
NBCCNBCC BNBN 11
NBNB 11
NBCC
B
N
1
1,?nN cC11, nB PNBC
1, nN cC111, nBB PBCNBC
1111, nBnBN PBCcNBCC
111 nBn PBCc
NB 111 nPNB,111 nPBNB,
11 nPB
112211m a x nnnn xcxcxcxcz?
mnmnnmnmm
nnnn
nnnn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
112211
21122222121
11111212111
0,,,121nn xxxx?
对新问题：
XB XN 常数项检验行 0 CN- CBB-1N Z- CBB-1b
XB E B-1N B-1b
最优单纯形表
1?nx
111 nBn PBCc
11 nPB
，此时 01 NBCC BN 01 bB
：若 0111 nBn PBCc
此表达到最优为非基变量 1?nx
：若 0111 nBn PBCc
此表未达到最优为入基变量,1?nx
用单纯形法迭代至找到最优解
0*1nx
新产品不投产例：某工厂准备生产 A,B,C三种产品，他们都消耗劳动力和材料，有关数据如下：
原料 产品 A B C 拥有量劳动力 6 3 5 45
材料 3 4 5 30
售价（元） 3 1 4
最优单纯形表,
X1 X2 X3 X4 X5
0 -2 0 -1/5 -3/5 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 3
2700305 ZX ），最优值，，，，（最优解最优生产方案,5个 A,0个 B,3个 C
问题 1、若工厂开发出第四种产品 D，预计售价 2元，
生产每个 D产品需要 3个劳动力和 3个单位材料，问是否生产该产品？
2、若产品 D的售价为 3元，问如何调整生产方案？
3
3,
6P26?c4,3?BC
0616 PBCc B？
5251
3131,1B
3
3,
6P26?c
616 PBCc B
3
3
5/25/1
3/13/1432 5/2
,6xD 的产量为设产品?
5
2
5
1
3
1
3
1
1B
问题 1、若工厂开发出第四种产品 D，预计售价 2元，
生产每个 D产品需要 3个劳动力和 3个单位材料，问是否生产该产品？
0?
最优基不变,X6是非基变量,在最优解中取 0
即当新产品 D的售价为 2元时，不生产该产品。
X1 X2 X3 X4 X5
0 -2 0 -1/5 -3/5 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 3
X6
0
3/5
3/5
最优单纯形表,
X1 X2 X3 X4 X5
0 -2 0 -1/5 -3/5 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 30?
61PB
3
3
5/25/1
3/13/1
5/3
0
2、若产品 D的售价为 3元，问如何调整生产方案？
3
3,
6P36?c?
5
2
5
1
3
1
3
1
1B
616 PBCc B
3
3
5/25/1
3/13/1433 5/3?
X1 X2 X3 X4 X5 X6
0 -3 -1 0 -1 0 Z-30
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 0 5
X6 0 5/3 5/3 -1/3 2/3 1 5
30
6,00005
Z
X
最优值
），，，，，（最优解最优生产方案：
5个 A产品,0个 B产品，
0个 C产品,5个 D产品将最优解代入新的约束中：
（ 1）若满足 新约束,则原最优解不变；
（ 2）若不满足 新约束,则原最优解改变，
将新增的约束条件添入最终的单纯形表中，并增加一个基变量，继续迭代。
例：某工厂准备生产 A,B,C三种产品，他们都消耗劳动力和材料，有关数据如下：
原料 产品 A B C 拥有量劳动力 6 3 5 45
材料 3 4 5 30
售价（元） 3 1 4
27
00305
Z
X
最优值
），，，，（最优解最优生产方案：
5个 A,0个 B,3个 C
新问题：
由于特殊原因，要求至少生产 6个 C产品，求最优生产方案 6
3?x即最优单纯形表
63* 3x显然
63?x约束方程：在最优单纯形表中增加 663 xx
为基变量并取 6x
X1 X2 X3 X4 X5
0 -2 0 -1/5 -3/5 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 3
0
0
0
0 0 -1 0 0 1 -6X6
X6
X1 X2 X3 X4 X5
0 -2 0 -1/5 -3/5 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 3
X6
X6
0
0
0
X1 X2 X3 X4 X5 X6
0 -2 0 -1/5 -3/5 0 Z-27
X1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 0 5
X3 0 1 1 -1/5 2/5 0 3
X6 0 1 0 -1/5 2/5 1 -3
0 0 -1 0 0 1 -6
X1 X2 X3 X4 X5 X6
0 -1 0 0 -1 -1 Z-24
X1 1 4/3 0 0 1/3 5/3 0
X3 0 0 1 0 0 -1 6
X4 0 -5 0 1 -2 -5 15
24
0,015600
Z
X
最优值
），，，，，（最优解最优生产方案：
0个 A,0个 B,6个 C
0
10 0 03543
12 0 04345
800232
435m a x
432
4321
4321
4321
4321
1
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
s,t,
xxxxz
，，，
已知线性规划问题的最优单纯形标为：
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 常数项
-13/4 0 -11/4 0 0 -1/4 -1 Z-1300
X5 1/4 0 -13/4 0 1 1/4 -1 100
X4 2 0 -2 1 0 1 -1 200
X2 -3/4 1 11/4 0 0 -3/4 1 100
1、为保持现有最优解不变，分别求出 C1,C2的变化范围。
2、当 C1变为 5时，求新的最优解。
3、当 C2变为 2,C4变为 6时，求新的最优解。
最优基不变？在什么范围内变化时，,34 b?
最优值。，求改变后的最优解和减少至、如果 1505 3b
解值得投产，求新的最优
？如果问该产品是否值得投产品），（相当于增加一种新产、若新增一个决策变量
,5,2,3,7
6
88
8
Pc
x
最优解持？若不能，求出新的问原最优解是否仍然保
，件：、增加一个新的约束条 60042247 4321 xxxx
1260*00160604002200*7
1400*20008002000000*6
3
850
0005
1001004
18003000003
001751002
3
11
4
13
1
3
21
ZX
ZX
b
cc
，，，，，，，，、
，，，，，，，，、
、
、
，最优值、最优解
、
，、答案：
