例 限期采购问题 （随机型）
某部门欲采购一批原料，原料价格在五周内可能有所变动，预测得每种价格的概率如右表所示，试问该部门应在五周内采用什么采购方案，
可使采购价格的均值最小。
原料价格 ζ（元） 概率 p
500 0.3
600 0.3
700 0.4
分析,ζ 是个随机变量均值 E（ ζ） = 0.3× 500+ 0.3× 600+ 0.4× 700=610
方案一：
500 600 700
第一周 买 买 不买第二周 买 买 不买第三周 买 买 不买第四周 买 买 不买第五周 买 买 买方案二：
500 600 700
第一周 买 不买 不买第二周 买 不买 不买第三周 买 不买 不买第四周 买 不买 不买第五周 买 买 买
η1 η2
原料价格 ζ（元） 概率 p
500 0.3
600 0.3
700 0.4
方案一 500 600 700
第一周 买 买 不买第二周 买 买 不买第三周 买 买 不买第四周 买 买 不买第五周 买 买 买设 η1=按第一方案购买的价格
η1=
700
600
500
500周出现价格第设 iA i?
5 0 01?
5 0 01p =0.3 +0.4× 0.3 =0.49488
600周出现价格第 iB i? 700,周出现价格第 iC i?
21AC?321 ACC?4321 ACCC 54321 ACCCC
3.04.0 2 3.04.0 3 3.04.0 4
11 6 0 0 B21BC?321 BCC?4321 BCCC 54321 BCCCC
6 0 01p =0.3 +0.4× 0.3 =0.494883.04.0 2 3.04.0 3 3.04.0 4
7 0 01p =0.01024)( 54321 CCCCCP? 54.0?
=0.49488× 500+0.49488× 600+0.01024× 700 =551.536)(
1?E
1A
原料价格 ζ（元） 概率 p
500 0.3
600 0.3
700 0.4
设 η2=按第二方案购买的价格
η2=
700
600
500
500周出现价格第设 iA i?
12 500 A?
5002p
600周出现价格第 iB i? 700,周出现价格第 iC i?
21AA
6 0 02
6002p
7002p
)( 2?E
500 600 700
第一周 买 不买 不买第二周 买 不买 不买第三周 买 不买 不买第四周 买 不买 不买第五周 买 买 买方案二
321 AAA?4321 AAAA 54321 AAAAA
=0.3 +0.7× 0.3 =0.831933.07.0 2 3.07.0 3 3.07.0 4
54321 BAAAA?
3.07.0 4 =0.07203
)( 54321 CAAAAP? =0.096044.07.0 4
= 0.83193 × 500 + 0.07203 × 600 + 0.09604 × 700 =526.411
方案一：
500 600 700
第一周 买 买 不买第二周 买 买 不买第三周 买 买 不买第四周 买 买 不买第五周 买 买 买设 η1=按第一方案购买的价格
η1=
700
600
500
=551.536
方案二：
500 600 700
第一周 买 不买 不买第二周 买 不买 不买第三周 买 不买 不买第四周 买 不买 不买第五周 买 买 买设 η2=按第二方案购买的价格
η2=
700
600
500
=526.411 √)(
1?E )( 2?E
试问该部门应采用什么方案购进这批原料，可使采购 价格的期望值 最小。
原料价格 ζ（元） 概率 p
500 0.3
600 0.3
700 0.4解,阶段 k=1,2,3,4,5
状态变量 sk—第 k周的实际价格决策变量 uk(sk)=在第 k周实际价格为 sk时决定是否买
fk（ sk） =在第 k周实际价格为 sk时，从第 k周至第 5
周采用最优策略采购时 价格
,sk=500,600,700
uk=

0
1
买不买
sk,fk+1(sk+1)=min{ }
边界：
E[f5（ S5） ]=
11 sEf求
E[ ]
500× 0.3+600× 0.3+700× 0.4 =610
500 600 700
p 0.3 0.3 0.4
f5（ S5）
基本方程：
k=4,3,2,1



610][
,m in
55
11
sfE
sfEssf kkkkk
原料价格 ζ
（元）
概率 p
500 0.3
600 0.3
700 0.4
sk—第 k周的实际价格
fk（ sk） =在第 k周实际价格为 sk时，从第 k周至第 5
周采用最优策略采购时 价格
=500,600,700
uk=

0
1
买不买
][,11 sfE求
s4=500500
s4=600600
s4=700610
u4*=1
u4*=1
u4*=0
][,m i n 55444 sfEssf6 1 0,m i n 4s?
44 sf
当 k=4时,
11,m i n kkk sfEs

s4=500500
s4=600600
s4=700610
u4*=1
u4*=1
u4*=044 sf
原料价格 ζ
（元）
概率 p
500 0.3
600 0.3
700 0.4
s3=500500
s3=600574
s3=700574
u3*=1
u3*=0
u3*=0
44333,m i n sfEssf5 7 4,m i n 3s?
33 sf
当 k=3时,
=500× 0.3+600× 0.3+610× 0.4 =574
ykE--第 k周决定等待，而以后采用最优策略采购时 价格的期望值
fk（ sk） =在第 k周实际价格为 sk时，从第 k
周至第 5周采用最优策略采购时价格
44 sfE
原料价格 ζ
（元）
概率 p
500 0.3
600 0.3
700 0.4

s
3=500500
s3=600574
s3=700574
u3*=1
u3*=0
u3*=0
33222,m i n sfEssf8.5 5 1,m i n 2s?
33 sf
当 k=2时,
=500× 0.3+574× 0.3+574× 0.4
ykE--第 k周决定等待，而以后采用最优策略采购时 价格的期望值
fk（ sk） =在第 k周实际价格为 sk时，从第 k
周至第 5周采用最优策略采购时价格
=551.8

s2=500500
s2=600551.8
s2=700551.8
u2*=1
u2*=0
u2*=0
22 sf
11,m i n kkk sfEs
33 sfE
原料价格 ζ
（元）
概率 p
500 0.3
600 0.3
700 0.4
22111,m i n sfEssf 26.5 3 6,m i n 1s?当 k=1时,
=500× 0.3+551.8× 0.3+551.8× 0.4
ykE--第 k周决定等待，而以后采用最优策略采购时 价格的期望值
fk（ sk） =在第 k周实际价格为 sk时，从第 k
周至第 5周采用最优策略采购时价格

s1=500500
s1=600536.26
s1=700536.26
u1*=1
u1*=0
u1*=0
11 sf

s2=500500
s2=600551.8
s2=700551.8
u2*=1
u2*=0
u2*=0
22 sf
=536.26
11,m i n kkk sfEs
22 sfE
fk（ sk） =在第 k周实际价格为 sk时，从第 k周至第 5周采用最优策略采购时 价格

s1=500500
s1=600536.26
s1=700536.26
u1*=1
u1*=0
u1*=0
11 sf

s
2=500500
s2=600551.8
s2=700551.8
u2*=1
u2*=0
u2*=0
22 sf

s3=500500
s3=600574
s3=700574
u3*=1
u3*=0
u3*=033 sf

s4=500500
s4=600600
s4=700610
u4*=1
u4*=1
u4*=044 sf
7 0 07 0 0,6 0 06 0 0,5 0 05 0 0 555 fff
最优策略：
500 600 700
第一周第二周第三周第四周第五周买 不买 不买买 不买 不买买 不买 不买买 买 不买买 买 买
11 sEf
4.026.5 3 63.026.5 3 63.05 0 0
=525.38
例（ 采购与销售问题 ）某商店在未来的四个月里，准备利用商店的一个仓库来专门经销某种商品，仓库最大容量为这种商品 1000单位。假定商店每月只能卖出仓库现有的货物。当商店在某月购货时，下月初才能到货。预测该商店未来四个月的买卖价格如下表，假定商店在 1月开始经销时，仓库贮有该商品 500单位，试问，如何制定这四个月的订购与销售计划，使获利最大（不计库存费）。
1 10 12
2 8 9
3 11 13
4 15 17
月份
（ k）
购买单价
（ ck）
销售单价
（ pk）
解,k=1,2,3,4
状态变量 sk
xk—第 k月卖出的货物数量
yk—第 k月订购的货物数量状态转移方程,sk+1 = sk + yk -xk
fk（ sk） =第 k月初库存为时 sk,
从第 k月到第 4月末所获得的最大利润
pk xk +fk+1（ sk+1）
0≤xk≤ sk
,求 f1（ 500）
-ck yk
0≤yk≤ 1000-(sk -xk )
已知：仓库最大容量为 1000单位。商店每月只卖出仓库现有的货物。当商店在某月购货时，下月初才能到货。 1月开始经销时，仓库贮有该商品 500单位，如何制定四个月的订购与销售计划，使获利最大（不计库存费）。
第 k月的购 买单价 ck，销售单价 pk，
=max{ }
,0≤xk≤ sk
,0≤yk≤ 1000-(sk -xk )
（ sk + yk –xk）
s1=500,0≤sk≤1000 k=2,3,4
决策变量：
—第 k个月的库存量（含上月的定货）
基本方程：
f5（ s5） =0
求 f1（ 500）
fk（ sk） = max{ pk xk }
0≤xk≤ sk -ck yk
0≤yk≤ 1000-(sk -xk )
+fk+1 （ sk+yk-xk)
k=4,3,2,1
f4（ s4） = max{p4 x4 }0≤x
4≤ s4
-c4 y4
0≤y4≤ 1000-(s4 –x4 )
=p4 s4 =17 s4 x*4= s4
y*4= 0
当 k=4时当 k=3时
f3（ s3） = max{p3 x3 }
0≤x3≤ s3
-c3 y3
0≤y3≤ 1000-(s3 –x3 )
+f4 （ s3+y3-x3)
=max{13 x3 }
0≤x3≤ s3
-11 y3
0≤y3≤ 1000-(s3 –x3 )
+17 （ s3+y3-x3)
,0≤s4≤1000
,0≤s3≤1000
当 k=3时
f3（ s3） = max{13 x3 }
0≤x3≤ s3
-11 y3
0≤y3≤ 1000-(s3 –x3 )
+17 （ s3+y3-x3)
=max{-4 x3 }
0≤x3≤ s3
+6 y3
0≤y3≤ 1000-(s3 –x3 )
+17 s3
求 maxZ=-4 x3+6 y3 +17s3
0≤x3≤ s3
0≤y3≤ 1000-(s3 –x3 )
取 Z=-4 x3+6 y3 +17s3
x3≤ s3
- x3 +y3≤ 1000-s3
x3,y3≥0
求 maxZ=-4 x3+6 y3 +17s3
,0≤s3≤1000
x*3= s3
y*3=100 0=6000+13s3
x3 + x1 =s3
- x3 +y3 + x2= 1000-s3
maxZ=-4 x3+6 y3 +17s3
x1,x2,x3,y3≥0
x3 y3 x1 x2
-4 6 0 0 Z- 17s3
x1 1 0 1 0 s3
x2 -1 1 0 1 1000-s3
x3 y3 x1 x2
2 0 0 -6 Z-6000-11s3
x1 1 0 1 0 s3
y3 -1 1 0 1 1000-s3
x3 y3 x1 x2
0 0 -2 -6 Z-6000-13s3
x3 1 0 1 0 s3
y3 0 1 1 1 1000
x*3= s3
y*3=100 0
最优值 Z=6000+13s3
x3≤ s3
- x3 +y3≤ 1000-s3
x3,y3≥0
求 maxZ=-4 x3+6 y3 +17s3
标准型：
最优解：
fk（ sk） = max{ pk xk }
0≤xk≤ sk -ck yk
0≤yk≤ 1000-(sk -xk )
+fk+1 （ sk+yk-xk)
f3（ s3） = x*3= s3,y*3=100 06000+13s3
当 k=2时
f2（ s2） = max{p2 x2 }
0≤x2≤ s2
-c2 y2
0≤y2≤ 1000-(s2 –x2 )
+f3 （ s2+y2-x2)
,0≤s2≤1000
=max{9 x2 }
0≤x2≤ s2 -8 y2
0≤y2≤ 1000-(s2 –x2 )
+6000+13（ s2+y2-x2)
=max{-4 x2 }
0≤x2≤ s2 +5 y2
0≤y2≤ 1000-(s2 –x2 )
+13 s2+6000
x*2= 0=11000+8s2,y*2=1000 -s2
fk（ sk） = max{ pk xk }
0≤xk≤ sk -ck yk
0≤yk≤ 1000-(sk -xk )
+fk+1 （ sk+yk-xk)
当 k=1时
f1（ s1） = max{p1 x1 }
0≤x1≤ s1
-c1 y1
0≤y1≤ 1000-(s1 –x1 )
+f2 （ s1+y1-x1)
,s1=500
x*1= 500=17000,y*1=0
f2（ s2） = x*2= 011000+8s2,y*2=1000 -s2
=max{12 x1 }
0≤x1≤ 500
-10y1
0≤y1≤ 1000-(500 –x1 )
+11000+8（ 500+y1-x1)
=max{4 x1 }
0≤x1≤ 500
-2y1
0≤y1+ x1 ≤500
+15000.
.
0
1y
.....
.
.
.
.
.
50011 yx
1x
.
f1（ 500） =17000 x*1= 500,y*1=0
f2（ s2） = x*2= 011000+8s2,y*2=1000 -s2
f3（ s3） = x*3= s3,y*3=10006000+13s3
f4（ s4） = 17 s4 x*4= s4,y*4= 0
xk—第 k月卖出的货物数量
yk—第 k月订购的货物数量 sk+1 = sk + yk -xk
fk（ sk） =第 k月初库存为时 sk,
从第 k月到第 4月末所获得的最大利润结论：当第 1个月初库存为时 500时，
4个月能获得的最大利润为 17000
四个月的订购与销售计划：
第 1个月：卖出 500个，订购 0个第 2个月：卖出 0个，订购 1000个第 3个月：卖出 1000个，订购 1000个第 4个月：卖出 1000个，订购 0个购买新机器的费用－机器用了 t年后的折旧费例（ 设备更新问题 ）
问题的提出：
已知一台设备已使用了 t年，再使用一年的效益为
r(t)，维修费为 v(t),若在第 t+1年更新，则更新费为
c(t),现要做一个 n年的设备更新计划：每年年初做出决策，是继续使用旧机器还是更换一台新机器，
使 n年的总收益最大阶段 k=1,2,…,n
决策变量 uk


0
1
第 k年更新状态变量 sk =第 k年初,机器已使用过的年限第 k年不更新状态转移方程：


1ks
1?ku1
1?ks 0?ku第 k年的收益：
kkk usd,
r(0) -v(0) -c(sk)
r(sk) -v(sk)
1?ku
0?ku
建模,阶段 k=1,2,…,n
决策变量 uk


0
1
第 k年更新状态变量 sk =第 k年初,机器已使用过的年限第 k年不更新状态转移方程,1?ku1
1?ks 0?ku第 k年的收益：
kkk usd,
r(0) -v(0) -c(sk)
r(sk) -v(sk)
1?ku
0?ku
kk sf
年年末的最大总收益新策略，到第年，采用最优更年初，该设备已经用了第
n
sk k
0,1f求
m a xkkk usd,11 kk sf
10或?ku基本方程：
kk sfm a xkkk usd,11 kk sf
10或?ku
011 nn sf
1,2,,1, nnk
1?ks
例 设某台新设备的年收益及年平均维修费、更新费如下表所示，试作今后 5年内的更新决策，使总收益最大 (单位：千元）。 使用年限 t
效益 r(t)
维修费 v(t)
更新费 c(t)
0 1 2 3 4 5
5 4.5 4 3.75 3 2.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5 1.5 2.2 2.5 3 3.5
kkk usd,
r (0) -v (0) -c (sk)
r (sk) -v (sk)
的设备更新问题 5?n
kk sf
年年末的最大总收益新策略，到第年，采用最优更年初，该设备已经用了第
5 k
sk
基本方程：
kk sfm a xkkk usd,11 kk sf
10或?ku
066?sf
0,1f求


1,2,3,4,5?k
1?ku
0?ku
1?ks其中
1?ku
0?ku
1
1
ks
kkk usd,
r (0) -v (0) -c (sk)
r (sk) -v (sk)
kk sfm a xkkk usd,11 kk sf
10或?ku
1?ku
0?ku
1?ks
1?ku
0?ku
1
1
ks
效益 r(t)
维修费 v(t)
更新费 c(t)
使用年限 t 0 1 2 3 4 5
5 4.5 4 3.75 3 2.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5 1.5 2.2 2.5 3 3.5
当 k=5时，
55 sf1,0
5
m a x u555,usd
1 2 3 4
3.5
5s
5u 0 1
5d 3
55 sf 3.5
*5u 0
2.5
0 1
2.3
2.5
0
1.27
0 1
2
2
1
0.5
0 1
1.5
1.5
1
kkk usd,
r (0) -v (0) -c (sk)
r (sk) -v (sk)
kk sfm a xkkk usd,11 kk sf
10或?ku
1?ku
0?ku
1?ks
1?ku
0?ku
1
1
ks
效益 r(t)
维修费 v(t)
更新费 c(t)
使用年限 t 0 1 2 3 4 5
5 4.5 4 3.75 3 2.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5 1.5 2.2 2.5 3 3.5
当 k=4时，
44 sf
1,04m a x u
444,usd
1 2 3 4
3.5
5s
5u 0 1
5d
3
55 sf 3.5
*5u 0
2.5
0 1
2.3
2.5
0
1.27
0 1
2
2
1
0.5
0 1
1.5
1.5
1
55 sf?
4s
4u
54 fd?
44 sf
*4u
1 2 3
6
0 1
6.5
6.5
1
4.5
0 1
5.8
5.8
1
3.25
0 1
5.5
5.5
1
kkk usd,
r (0) -v (0) -c (sk)
r (sk) -v (sk)
kk sfm a xkkk usd,11 kk sf
10或?ku
1?ku
0?ku
1?ks
1?ku
0?ku
1
1
ks
效益 r(t)
维修费 v(t)
更新费 c(t)
使用年限 t 0 1 2 3 4 5
5 4.5 4 3.75 3 2.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5 1.5 2.2 2.5 3 3.5
当 k=3时，
33 sf
1,03m a x u
333,usd44 sf?
4s
4u
54 fd?
44 sf
*4u
1 2 3
6
0 1
6.5
6.5
1
4.5
0 1
5.8
5.8
1
3.25
0 1
5.5
5.5
1
3s
3u
33 sf
*3u
1 2
9.3
0 1
9.5
9.5
1
43 fd?
8
0 1
8.8
8.8
1
kkk usd,
r (0) -v (0) -c (sk)
r (sk) -v (sk)
kk sfm a xkkk usd,11 kk sf
10或?ku
1?ku
0?ku
1?ks
1?ku
0?ku
1
1
ks
效益 r(t)
维修费 v(t)
更新费 c(t)
使用年限 t 0 1 2 3 4 5
5 4.5 4 3.75 3 2.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5 1.5 2.2 2.5 3 3.5
当 k=2时，
22 sf
1,02m a x u
222,usd33 sf?
3s
3u
33 sf
*3u
1 2
9.3
0 1
9.5
9.5
1
43 fd?
8
0 1
8.8
8.8
1
2s
1
2u
12.3
0 1
12.5
12.5
1
32 fd?
22 sf
*2u
当 k=1时，
01f22 sf
1,01m a x u
11,0 ud
12f0,01d?
5.125.05
17 00*
1?u
01f 17 00*1?u
1?ks
1?ku
0?ku
1
1
ks
3s
3u
33 sf
*3u
1 2
9.3
0 1
9.5
9.5
1
43 fd?
8
0 1
8.8
8.8
1
2s
1
2u
12.3
0 1
12.5
12.5
1
32 fd?
22 sf
*2u
4s
4u
54 fd?
44 sf
*4u
1 2 3
6
0 1
6.5
6.5
1
4.5
0 1
5.8
5.8
1
3.25
0 1
5.5
5.5
1
1 2 3 4
3.5
5s
5u 0 1
5d
3
55 sf 3.5
*5u 0
2.5
0 1
2.3
2.5
0
1.27
0 1
2
2
1
0.5
0 1
1.5
1.5
1
:最优更新策略
uk


0
1
第 k年更新第 k年不更新年不更新，第 1 年更新，第 2 年更新，第 3
年更新，第 4 年不更新。第 5
最大总收益,千元17
作业：
1、某公司销售部经理需决定如何在三个地区部署
4名推销员。各地区推销员人数与销售额（按每日万元计）之间的关系如下表：
0 1 2 3 4
A
B
C
5 10 13 15 17
6 10 14 17 15
4 9 11 15 18
地区 人数
（ 1）求销售额最大的推销员配制方案
（ 2）若仅有 3名推销员，试求最优配制方案答案（ 1） A地区 1名,B地区 2名,C地区 1名，
销售额 33万元
（ 2） A地区 1名,B地区 1名,C地区 1名，
销售额 29万元
2,某公司有资金 10万元，可投资于项目 i（ i=1,2,3),
若投资项目 i的金额为 xi，其收益分别为 g1 (x1)=4 x1,
g2 (x2)=9 x2,g3 (x3)=2x32,
问如何分配投资额，使总收益最大？
最优策略,0*
1?u 0*2?u
10*3?u
200101?f答案：最大总收益：
把所有资金分配给第 3个项目