第三章变压器变压器：是一种静止的电机，它利用电磁感应原理将一种电压、电流的交流电能转换成同频率的另一种电压、电流的电能。换句话说，变压器就是实现电能在不同等级之间进行转换。
3.1 变压器的分类、基本结构、额定值变压器的种类很多，可按其用途、结构、相数、
冷却方式等不同来进行分类。
3.1.1 变压器的分类
1、按用途分类，可分为
①电力变压器 （主要用在输配电系统中，又分为升压变压器、降压变压器、联络变压器和厂用变压器）
②仪用互感器 （电压互感器和电流互感器）
③特种变压器 （如调压变压器、试验变压器、电炉变压器、整流变压器、电焊变压器等）
2,按绕组数目分
3,按铁心结构分
4,按相数分双绕组变压器三绕组变压器多绕组变压器自耦变压器心式变压器壳式变压器单相变压器三相变压器多相变压器油浸式变压器干式变压器充气式变压器小型变压器（容量为 10～ 630kVA）
中型变压器（容量为 800～ 6300kVA）
大型变压器（容量为 8000～ 63000kVA）
特大型变压器（容量在 90000kVA及以上）
6,电力变压器按容量大小通常分为油浸自冷式油浸风冷式油浸强迫油循环式
5,按冷却介质和冷却方式分类，可分为
3.1.2 变压器的基本结构电力变压器的基本构成部分有：铁心、绕组、
绝缘套管、油箱及其他附件等，其中铁心和绕组是变压器的主要部件。
典型的油浸式变压器结构讯号式温度计吸湿器储油柜（油枕）
油表防爆管瓦斯继电器高压套管低压套管分接开关放油阀门绕组铁心油箱
1,铁心变压器中最主要的部件，他们构成了变压器的器身。铁心构成了变压器的磁路，同时又是套装绕组的骨架。铁心由铁心柱和铁轭两部分构成。铁心柱上套绕组，铁轭将铁心柱连接起来形成闭合磁路。
１）铁心材料,为了提高磁路的导磁性能，减少铁心中的磁滞、涡流损耗，铁心一般用高磁导率的磁性材料 ——硅钢片叠成。硅钢片有热轧和冷轧两种，其厚度为 0.35～ 0.5mm，两面涂以厚 0.02～ 0.23mm的漆膜，使片与片之间绝缘。
２ ) 铁心型式变压器铁心的结构有心式、壳式和渐开线式等形式。
壳式结构的特点是铁心包围绕组的顶面、底面和侧面，
如图所示。
心式结构的特点是铁心柱被绕组包围，如图所示。
壳式结构的机械强度较好，但制造复杂。心式结构比较简单，绕组的装配及绝缘比较容易，电力变压器的铁心主要采用心式结构。
3) 铁心叠装,变压器的铁心一般是由剪成一定形状的硅钢片叠装而成。为了减小接缝间隙以减小激磁电流，一般采用交错式叠法，使相邻层的接缝错开。
单层 双层
4) 铁心截面,
铁心柱的截面一般做成阶梯形，以充分利用绕组内圆空间。容量较大的变压器，铁心中常设有油道，以改善铁心内部的散热条件，如图所示。
绕组为什么做成圆形？
铁心柱的截面为什么不做成圆形，而做成阶梯形？
绕组是变压器的电路部分，它由铜或铝绝缘导线绕制而成。
一次绕组（一次侧绕组）：输入电能二次绕组（二次侧绕组）：输出电能同一相的一次绕组和二次绕组通常套装在同一个心柱上，一次和二次绕组具有不同的匝数，通过电磁感应作用，一次绕组的电能就可传递到二次绕组，且使一、二次绕组具有不同的电压和电流。
按电压高低，可分为高压绕组和低压绕组。从高、低压绕组的相对位置来看，变压器的绕组又可分为同心式、
交迭式。由于同心式绕组结构简单，制造方便，所以，国产的均采用这种结构，交迭式主要用于特种变压器中。
2,绕组
3,其它部件除器身外，典型的油浸电力变压器中还有油箱、变压器油、绝缘套管及继电保护装置等部件。
额定值是制造厂对变压器在指定工作条件下运行时所规定的一些量值。额定值通常标注在变压器的铭牌上。
变压器的额定值主要有：
3.1.3 额定值
1.额定容量S
N
额定容量是指额定运行时的视在功率。以 VA,kVA或
MVA表示。由于变压器的效率很高，通常一、二次侧的额定容量设计成相等。
2,额定电压U
2N
和U
2N
正常运行时规定加在一次侧的端电压称为变压器一次侧的额定电压 U
1N
。二次侧的额定电压 U
2N
是指变压器一次侧加额定电压时二次侧的空载电压。额定电压以 V或 kV、
MVA表示。对三相变压器，额定电压是指线电压。
3,额定电流I
2N
和I
2N
根据额定容量和额定电压计算出的线电流，称为额定电流，以 A表示。
对单相变压器对三相变压器
N
N
N
N
N
N
U
S
I
U
S
I
2
2
1
1; ==
N
N
N
N
N
N
U
S
I
U
S
I
2
2
1
1
3;
3
==
4、额定频率 f
N
除额定值外，变压器的相数、绕组连接方式及联结组别、短路电压、运行方式和冷却方式等均标注在铭牌上。额定状态是电机的理想工作状态，具有优良的性能，可长期工作。
例题,有一台 SSP-125000/220三相电力变压器,Y
N
,d接线，,求①变压器额定电压和额定电流；②变压器原、副线圈的额定电流和额定电流。
12
/ 220/10.5 kV
NN
UU=
kVUkVU
NN
5.10,220
21
==
A
U
S
I
N
N
N
04.328
2203
125000
3
1
1
=
×
==
A
U
S
I
N
N
N
22.6873
2303
125000
3
2
2
=
×
==
解：①,一、二次侧额定电压二次侧额定电流（线电流）
一次侧额定电流（线电流）
由于 Y
N
,d接线，一次绕组的额定电压
1
1
220
127.02kV
33
N
N
U
U
===
AII
NN
04.328
11
==
Φ
kV5.10
22
==
Φ NN
UU
2
2
6873.22
3968.26
33
N
N
I
I A
== =
一次绕组的额定电流二次绕组的额定电流二次绕组的额定电压
3.2 变压器的空载运行
3.2.1 空载运行的物理现象
1,空载运行,是指变压器一次侧绕组接到额定电压、
额定频率的电源上，二次侧绕组开路时的运行状态。
2,物理现象,
磁动势和磁通的情况：
一次侧绕组施加电压绕组中有电流
（空载电流 i
0
）
i
0
产生磁动势 f
0
=N
1
i
0
1
u
1
e
2
e
2
u?
0
i
m
φ
f
0
产生磁通,主磁通,完全在铁心中走，跟一次侧、
二次侧绕组相交链。
漏磁通,只跟一次侧绕组相交链，其走的路径为铁心和周围的气隙。
2
i?
1）由于铁磁材料有饱和现象，所以主磁路的磁阻不是常数,主磁通与建立它的电流之间呈非线性关系。 而漏磁通的磁路大部分是非铁磁材料组成，所以漏磁路的磁阻基本上是常数,漏磁通与产生它的电流呈线性关系
2）主磁通在一次侧、二次侧绕组中均感应电动势，当二次侧接上负载时便有电功率向负载输出，故主磁通起传递能量的作用。而漏磁通仅在一次侧绕组中感应电动势，不能传递能量，仅起压降作用。因此，在分析变压器和交流电机时常将主磁通和漏磁通分开处理。
主磁通和漏磁通的区别：
从理论上讲，正方向可以任意选择，因各物理量的变化规律是一定的，并不依正方向的选择不同而改变。
3、正方向的规定为什么要规定正方向？
(2) 根据计算结果确定实际方向：
若计算结果为正，则实际方向与参考方向一致；
若计算结果为负，则实际方向与参考方向相反。
(1) 根据电路的定律、定理，列出物理量间相互关系的代数表达式；
欧姆定律,流过电阻的电流与电阻两端的电压成正比。
R
I
U
=
＋
U
－
I
U＝ RI
（ a）
＋
U
－
I
U＝－ RI
（ b）
－
U
＋
I
U＝－ RI
（ c）
①在负载支路，电流的正方向与电压降的正方向一致，
而在电源支路，电流的正方向与电动势的正方向一致
②磁通的正方向与产生它的电流的正方向符合右手螺旋定则;
③感应电动势的正方向与产生它的磁通的正方向符合右手螺旋定则;
正方向规定不同，列出的电磁方程式和绘制的相量图也不同。 在电机方向的学科中通常按电工惯例来规定正方向。
在一次侧,u
1
由首端指向末端,i
1
(i
0
)从首端流入。当
u
1
与 i
1
同时为正或同时为负时，表示电功率从一次侧输入，称为电动机惯例。在二次侧,u
2
和 i
2
的正方向是由 e
2
的正方向决定的，即 i
2
沿 e
2
的正方向流出。当 u
2
和 i
2
同时为正或同时为负时，电功率从二次侧输出，称为发电机惯例。
1
u
1
e
2
e
2
u
2
i
0
i
各物理量的正方向的规定
m
φ
1σ
φ
)90sin(2cos
0
1111
=Φ?=?= tEtN
dt
d
Ne
m
ωωω
φ
)90sin(2cos
0
2222
=Φ?=?= tEtN
dt
d
Ne
m
ωωω
φ
)90sin(2cos
0
111
1
11
=Φ?=?= tEtN
dt
d
Ne
m
ωωω
φ
σσ
σ
σ
4、空载时的电磁关系
1）电动势与磁通的关系：
假定主磁通按正弦规律变化，即
Φ=Φ
m
sinωt
根据电磁感应定律和对正方向规定，一、二次绕组中感应电动势的瞬时值为,
m
m
fN
N
E Φ=
Φ
=
1
1
1
44.4
2
ω
m
m
fN
N
E Φ
Φω
2
2
2
44.4
2
==
m
m
fN
N
E
σ
σ
σ
Φ
Φω
11
11
1
44.4
2
==
式中：
注意：从上面的表达式中我们可以看出，电动势总是滞后与产生的他的磁通 90。
3.2.2 电动势平衡方程式和变比
1
011
1
R
IEE
U
+=
σ
根据对正方向的规定，可以得到空载时电动势平衡方程式：
将漏感电动势写成压降的形式：
11010
E jLI jXI
σσ σ
ω=? =?
=
11
EU
=
2
20
EU
110101 101
UEIRjIX EIZ
σ
=? + + =? +
式中 ——一次侧绕 3组的漏阻抗
11 1
ZRjX
σ
=+
对于电力变压器，空载时一次侧绕组的漏阻抗压降
I
0
Z
1
很小，其数值不超过 U
1
的 0.2%，将 I
0
Z
1
忽略，则上式变成：
在二次侧，由于电流为零，则二次侧的感应电动势等于二次侧的空载电压，即：
变压器的变比等于一次侧、二次侧绕组的匝数比。
当变压器空载运行时，由于 U
1
≈E
1
,U
20
≈ E
2
，故可近似地用空载运行时原、二次侧的 相电压 比来作为变压器的变比，即
N
N
O
U
U
U
U
k
2
1
2
1
=≈
变压器的变比在变压器中，一次侧、二次侧绕组的感应电动势 E
1
和 E
2
之比称为变压器的变比，用 k 表示，即：
111
222
4.44
4.44
m
m
EfNN
k
EfNN
Φ
== =
Φ
3.2.3 空载电流
1,空载电流的波形变压器空载运行时一次侧绕组中的电流主要用来产生磁场，又称为励磁电流。空载电流很小，一般不大于额定电流的 2.5％，大型变压器更小。我们重点考察其波形。
磁路存在饱和现象：磁路是否饱和铁心中有铁耗：铁心是否有铁耗磁路不饱和，则磁化电流和磁通为线性关系铁心中无铁耗，则励磁电流完全用来励磁，称为磁化电流
1）磁路不饱和，铁心无铁耗励磁电流为完全用来励磁的磁化电流磁路不饱和，则磁化电流和磁通为线性关系施加的电压为正弦波磁通为正弦波磁化电流为正弦波
2）磁路饱和，铁心无铁耗励磁电流为完全用来励磁的磁化电流磁路饱和，则磁化电流和磁通为非线性关系施加的电压为正弦波磁通为正弦波磁化电流为尖顶波
22 2
135
I
III
μμ μ
μ
=+++ "
为了在相量图中表示励磁电流μ，可以用等效正弦波电流来代替非正弦波励磁电流，其有效值为磁通为正弦规律变化时，励磁电流为尖顶波，根据谐波分析方法，尖顶波可分解为基波和 3,5,7…次谐波。
除基波外，三次谐波分量最大。 这就是说,由于铁磁材料磁化曲线的非线性关系，要在变压器中建立正弦波磁通，
励磁电流必须包含三次谐波分量。
从上图中，可以看出励磁电流 i
μ
与磁通 Φ 是同相位的。
3）磁路饱和，铁心无铁耗当考虑铁心损耗时，励磁电流 i
0
中还必须包含铁耗分量 i
Fe
，即这时激磁电流 i
o
将超前磁通一相位角
(为什么？ )
0 Fe
I II
μ
=+
222
0 Fe
I II
μ
=+
大小关系：
0
I
I
μ
Fe
I
1
E
m
Φ
m
Φ
2,空载时的向量图和等效电路
110101
UEIRjIX
σ
=? + +
1)空载时的向量图,
0
I
I
μ
Fe
I
1
E
2
E
1
E?
01
jI X
σ
01
I R
1
U
11010 1
()
m
UEIZIZZ=? + = +
这样,变压器一次侧的电动势方程可写成而变压器空载时从一次侧看进去的等效阻抗 Z0为
1
0
mmm
E
ZRjX
I
==+
式中：
称为变压器的激磁阻抗。
.
11
011
00
m
UE
ZZZ
II
== +=+
当频率一定时，若外加电压升高，则主磁通增大，铁心饱和度程度增加，磁导 Λ
m
下降,减小。
同时铁耗 p
Fe
增大，但 p
Fe
增大的程度比 增大的程度小，
由 p
Fe
= R
m
，则 R
m
亦减小。反之，若外加电压降低,则
R
m
,X
m
增大。
mmm
NLX Λ==
2
1
ωω
I
2
0
I
2
0
1
U
null
1
R
1
X
σ
m
R
m
X
1
E
null
σ1
XR
1
是一次侧绕组的电阻,是对应一次侧绕组漏磁路磁导的电抗，它们数值很小且为常数。
但 R
m
,X
m
却受铁心饱和度的影响，不是常数。
主磁通基本不变，磁路的饱和程也基本不变，因而
R
m
,X
m
可近似看着常数。 很显然，从上面的分析我们可以总结出,R
m
是表征铁心损耗的一个参数，而 X
m
是表征主磁通磁化性能的一个参数。
3,总结
3.3 变压器的负载运行在前面我们通过分析了解了变压器的空载运行情况，当变压器一次侧接入交流电源，二次侧接上负载时的运行方式称为变压器的负载运行。
1
U
null
1
E
null
2
E
null
2
U?
null
1
I
null
2
I?
null
m
Φ
null
空载电流 i
0
变为负载时的电流 i
1
。一次侧绕组的磁动势也从空载磁动势 F
0
变为 F
1
=N
1
I
1
。负载时的主磁通Φ
m
就是由一次侧、二次侧绕组的合成磁动势产生的，即,
3.3.1 负载运行时磁动势平衡于是变压器在负载时的电磁关系重新达到平衡。
12 m
F FF+=
1
U
null
1
E
null
2
E
null
2
U?
null
1
I
null
2
I?
null
m
Φ
null
1111
UEIZ=? +
一次侧电动势平衡方程式,
漏阻抗很小，从空载到负载，一次侧电动势近似不变。
11
2
m
EfNπ=Φ
磁通近似不变，
磁动势近似不变。
m0
F F=
12 0
F FF+=
转化为电流的形式：
11 2 2 1m
NI NI NI+=
改写成：
2
12m
1
N
I II
N
+=
这说明变压器负载运行时通过磁动势平衡，使一次侧、二次侧的电流紧密地联系在一起，
二次侧通过磁动势平衡对一次侧产生影响，二次侧电流的改变必将引起一次侧电流的改变，电能就是这样从一次侧传到了二次侧。
在二次侧，电动势平衡方程式为：
3.3.2 电动势平衡方程式
11111 111
()UEIRjXEIZ
σ
=? + + =? +
nullnullnull nullnull
在一次侧，电动势平衡方程式为
22222 222
()UEIRjXEIZ
σ
=?+ + =?+
nullnullnull nullnull
式中,Z
2
=R
2
+ jX
2σ
——二次侧绕组的漏阻抗，
R
2
——二次侧绕组的电阻
X
2σ
——二次侧绕组的漏 电抗。
3.3.3 变压器绕组的折算由于一次侧、二次侧绕组的匝数 Ｎ
１
Ｎ
２
，一次侧、
二次侧绕组的感应电动势 Ｅ
1
Ｅ
2
，这就给分析变压器的工作特性和绘制相量图增加了困难。为了克服这个困难，常用一 假想的绕组 来代替其中一个绕组，使之成为变比 k=１的变压器，这样就可以把一次侧、二次侧绕组联成一个等效电路，从而大大简化变压器的分析计算。这种方法称为绕组折算。折算后的量在原来的符号上加一个上标号,′” 以示区别。
折算的本质,在由二次侧向一次侧折算时,由于二次侧通过磁动势平衡对一次侧产生影响，因此，只要保持二次侧的磁动势不变，则变压器内部电磁关系的本质就不会改变。 即折算前后二次侧对整个回路的电磁关系的影响关系不能发生变化！ 二次侧各量折算方法如下：
折算的原则,折算前后一次侧、二次测电磁关系不变；
功率损耗不变；各种损耗不变；
漏磁场储能不变。
12 22
NI N I
′
=
nullnull
1）二次侧电流的折算值,
折算的原则,二次侧产生的磁动势不变。
2
222
1
/
N
I IIk
N
′
==
nullnullnull
1
222
2
N
E EkE
N
′
==
nullnullnull
22
E kE
σσ
′
=
nullnull
2）二次侧电动势的折算值：
由于折算前后主磁通和漏磁通均未改变，根据电动势与匝数成正比的关系可得
3）二次侧漏阻抗的折算值：
根据折算前后二次侧绕组的铜损耗不变的原则,则：
22
22 2 2 2 2
()Z R jX k R jX k Z
σσ
′′ ′
=+ = + =
22
2
222
2
()
I
RRkR
I
′
==
′
由折算前后付方漏磁通无功损耗不变，得
22
2
222
2
()
'
I
X XkX
I
σσσ
==
所以，漏阻抗的折算值为：
22 22
UI UI
′′
=
4）二次侧电压的折算值,
折算的原则,负载上消耗的有功和无功不变。
22
UkU
′
=
5）负载阻抗的折算值,
2
22
ZkZ
′
=
电流的折算,除以变比 k
电压、电动势的折算,乘以变比 k
阻抗类的折算,乘以变比 k的平方
3.3.4 基本方程式、等效电路和相量图
1,基本方程式
12
E kE=
nullnull
11111
()UEIRjX
σ
=? + +
nullnullnull
折算前
22222
()UEIRjX
σ
=?+ +
nullnullnull
2
12m
1
N
I II
N
+=
1
()
mm m
E IR jX=? +
nullnull
222
UIZ=
nullnull
折算后
12
E E
′
=
nullnull
11111
()UEIRjX
σ
=? + +
nullnullnull
22222
()UEIRjX
σ
′′′′′
=?+ +
nullnullnull
12 m
I II
′
+=
1
()
mm m
E IR jX=? +
nullnull
222
UIZ
′′′
=
nullnull
2,相量图
11111
()UEIRjX
σ
=? + +
nullnullnull
2222 2
()E UIRjX
σ
′′′′ ′
=+ +
nullnullnull
1m 2
()I II
′
=+?
1
m
mm
E
I
RjX
=
+
null
null
2
I
′
null
22
I R
′′
null
22
jI X
σ
′′
null
2
U
′
null
21
()E E
′
nullnull
1
E?
null
m
Φ
null
m
I
null
1
I
2
I
′
null
11
I R
null
11
jI X
σ
null
1
U
null
3.4 等效电路图及其简化
)(
1 mmm
jXRIE +?=
nullnull
)(
11111 σ
jXRIEU ++?=
nullnullnull
1
U
null
1
R
1
X
σ
1
E
null
m
R
m
X
m
I
null
1
E
null
22222
()UEIRjX
σ
′′′′′
=?+ +
nullnullnull
2
R
′
2
X
σ
′
2
I
′
null
2
E
′
null
2
U
′
null
1
U
null
1
R
1
X
σ
1
E
null
m
R
m
X
m
I
null
1
E
null
m
III
nullnullnull
=
′
+
21
21
EE
′
=
nullnull
2
R
′
2
X
σ
′
2
I
′
null
2
E
′
null
2
U
′
null
1
U
null
1
R
1
X
σ 2
R
′
2
X
σ
′
m
R
m
X
2
U
′
null
1
I
null
2
I
′
null
m
I
null
1
U
null
1
R
1
X
σ 2
R
′
2
X
σ
′
m
R
m
X
m
R
m
X
由于激磁阻抗较大，直接左移，得到,Γ,型等效电路。
等效电路的简化
1
U
null
1
R
1
X
σ 2
R
′
2
X
σ
′
1
I
null
2
I
′
null
忽略激磁电流（激磁阻抗）
简化等效电路
12
12
k
k
RRR
X XX
σσ
′
=+
′
=+
1
U
null
k
R
k
X
1
I
null
2
U
′
null
21
()I I
′
nullnull
1 k
IR
null
1 k
jI X
null
2
U
′
null
1
U
null
121
()
kk
UUIRjX
′
=? + +
nullnullnull
3.5 变压器参数的测定
3.5.1 空载实验变压器等效电路中的各种电阻、电抗或阻抗如 R
k
、
X
k
,R
m
,X
m
等称为变压器的参数，它们对变压器运行能有直接的影响。对于已制成的变压器，可以通过实验的方法来测量这些参数。
试验目的,测定变压器的空载电流 I
0
,变比 k、空载损耗
p
0
及励磁阻抗 Z
m
=R
m
+jX
m
。
空载试验接线：
1
U
null
0
I
null
W
V
A
V
A
X
a
x
注意：
①为了便于测量和安全起见，通常在低压侧加电压，将高压侧开路。
②为便于调节所施加的电压，一般利用调压器。
数据处理,在电压变化的过程中，记录相应的空载电流，空载损耗，作出相应的曲线，找出 当电压为额定时 相对应的空载电流和空载损耗，
作为计算励磁参数得依据。
实验过程,外加电压从略大于额定电压开始在一定范围内进行调节，测量 U
1
,U
20
,I
0
,P
0
。
忽略一次侧的漏阻抗，则激磁电抗：
22
mm
m
X
ZR
=?
激磁电阻：
2
00m
RPI=
激磁阻抗：
10m
ZUI=
变压器的变比：
120
kUU=
注意：
①由于励磁参数与磁路的饱和程度有关，故应取额定电压下的数据来计算励磁参数。
②对于三相变压器，按上式计算时 U
1
,I
0
,p
0
均为每相值。
但测量给出的数据却是线电压、线电流和三相总功率,
③空载损耗 p
0
近似为 铁耗。
④由于空载试验是在低压侧进行的，故测得的激磁参数是折算至低压侧的数值。如果需要折算到高压侧，应将上述参数乘以变比 k的平方：
2
2
2
mm
mm
mm
ZkZ
RkR
X kX
′?
=
′
=
′
=
3.5.2 短路实验短路试验接线：
k
U
null
k
I
null
W
V
A
A
X
a
x
①为了便于测量和安全起见，通常在高压侧加电压，将低压侧短路。
②加压前，调压器的输出应为零位。
③由于限制电流的为短路阻抗，调压时应小心翼翼。
将变压器的二次侧直接短路，一次侧施加电压将短路电流调至约 1.2倍额定电流，逐步降低施加的电压，测量 U
k
,I
k
,P
k
，
实验目的,在不同的电压下测出短路特性曲线 I
k
=f(U
k
)、
p
k
=f（ U
k
），根据额定电流时的 p
k
,U
k
值，
可以计算出变压器的短路参数。
实验过程：
数据处理：
测量 U
k
,I
k
,P
k
，
求短路阻抗,
2
22
k
k
k
k
k
U
Z
I
p
R
I
X
ZR
κ
κ
κκ
=
=
=?
①短路时，从短路的等效电路图可以看出，此时的短路损耗以铜耗为主。
②因电阻会随着温度发生变化，所以，我们的所得值要换算到标准工作温度下75℃：
注意：
对铜导线
75
234.5 75
234.5
kC k
RR
θ
°
+
=
+
对铝线 75
228 75
228
kC k
RR
θ
°
+
=
+
短路损耗和短路电压也应换算到 75 ℃ 的值
22
75 75kC kC k
ZRX
°°
=+
2
175 175
,
kN N k C kN N k C
uIZ pIR
°°
==
对于三相变压器，按上式计算时 p
k
,I
k
,U
k
均为一相数值。
3.6 标幺值在工程计算中，各物理量往往不用实际值表示，
而采用相应的标幺值来进行表示：
=
该物理量的实际值标幺值该物理量的基本值
1、电机学中基值的选择以额定值为基值相 (线 )电压 (流 )的基值分别是相 (线 )电压 (流 )的额定值。
三相 (单相 )功率的基值分别是三相 (单相 )的额定功率。
电阻、电抗与阻抗取同一基（,）。
1N
Z
2 N
Z
①视在 (有功、无功 )功率的基值是一样的
②变压器的一、二次额定电压、电流不同，所以一、二次电压 (流 )的基值不同。
③阻抗的基值是相值。
一次绕阻阻抗的基值
1
1
1
N
N
N
U
Z
I
φ
φ
=
二次绕阻阻抗的基值
2
2
2
N
N
N
U
Z
I
φ
φ
=
阻抗相电流线电流相电压线电压功率二次侧一次侧
N
S
N
S
1N
U
2N
U
1N
U
φ 2N
U
φ
1N
I
2N
I
1N
I
φ 2N
I
φ
1
1
1
N
N
N
U
Z
I
φ
φ
=
2
2
2
N
N
N
U
Z
I
φ
φ
=
标幺值的基值
2
**
2222
1
11 2
2
N
NN N
RkR R R
R R
Z
ZZ Z
k
′
′
== = = =
**
3
3
l
l
NNN
UU
U
φφ
φ
== ==
**
cos
3cos3
3
ll
NNN
UI
UI p
P P
SSS
φφ
φ
φ
=×= ==
2、取标幺值的优点
①一个量与它的折算值的标幺值相等
②线值与相值电压(流)的标幺值相等
③一相功率与三相功率的标幺值相等
*
N
NN
RIR
R
ZU
==
*
Nr
r
NN
RIU
U
UU
==
2
*
NNr
r
NNN N
RIIRP
P
SUI U
== =
⑤计算方便当电流为额定值时，电阻压降标幺值=电阻功率标幺值=电阻标幺值。
以电流流过电阻为例
④便于判定电机运行情况
，当 满载,过载,欠载
*
1
1
1N
I
I
I
=
*
1
1I =
*
1
1I >
*
1
1I <
例如短路阻抗 Z
k
*=0.04~0.175，
空载电流 I
0
*=0.02~0.10。
⑦ 采用标么值，某些不同的物理量具有相同的数值。
Z
k
*=U
KN
*
⑥用标么值表示，电力变压器的参数和性能指标总在一定的范围之内，便于分析比较。
3.7 变压器的运行特性
3.7.1 电压变化率
22
2
100%
N
N
UU
U
=×
20 2
2
% 100%
N
UU
U
U
Δ= ×
12
1
'
100%
N
N
UU
U
=×
变压器一次侧接额定电压，二次侧开路时，二次侧的空载电压 U
20
=U
2N
，
负载后，负载电流在变压器内部产生阻抗压降，使二次侧端电压发生变化，
其变化大小用电压调整率表示：
空载电压在给定功率因数下，带额定负载时的二次侧电压
*
2
1 U=?
简化公式,通过向量图的我们可以将电压变化率得求解公式进行简化。
*
2
1U
U
Δ=?
*
2
I?
null
**
1 k
IR
null
**
1 k
jI X
null
*
2
U?
null
*
1
U
null
O
A
P
C
D
E
*
1
1U =
UOPOAAPAEEPΔ≈? = = +
**
12
cos
k
AE I R?=
**
12
sin
k
EP CD I X?==
** *
12 2
(cos sin)
kk
UIR XΔ= +
22
(cos sin)UR XβΔ= +
β==
*
2
*
1
II
称为变压器的负载系数当 U
1
=U
1N
,cosφ
2
=常数时，我们可以作出相应的 U
2
随着
I
2
变化的 U
2
=f( I
2
)曲线：
纯电阻负载:随着负载电流增加，漏阻抗压降增加，端电压下降。
2
cos 0.8( )? = 超前
2
I
2
U
2N
U
2N
I
2
cos 0.8( )? = 滞后
2
cos 1.0? =
当是感性负载时：曲线（2）,?U为正,
此时随着负载电流的增加，端电压逐步下降。
外特性
2
cos 0.8( )? = 超前
2
I
2
U
2N
U
2N
I
2
cos 0.8( )? = 滞后
2
cos 1.0? =
当是容性负载时：
曲线（ 3）,?U为负,此时电流超前电压，所以端电压上升。
cos 0.8( )? = 超前
I
U
N
U
N
I
cos 0.8( )? = 滞后
cos 1.0? =
外特性
3.7.2 变压器的损耗和效率
1、变压器的功率关系
2222
cos?ImUP =
变压器原边从电网吸收电功率 P
1
，其中很小部分功率消耗在一次侧绕组的电阻上( p
cu1
=mI
1
2
R
1
)和铁心损耗上( p
Fe
=mI
0
2
R
m
)。其余部分通过电磁感应传给二次侧绕组，称为电磁功率P
em
。二次侧绕组获得的电磁功率中又有很小部分消耗在二次侧绕组的电阻上
(p
cu2
=mI
2
2
R
2
)，其余的传输给负载，即输出功率:
2、效率的计算：
2211
PpppP
cuFecu
+++=
21
11
100% 100%
PPp
η
∑
=× = ×
1）以按给定负载条件直接给变压器加负载，测出输出和输入有功功率就可以计算出来。这种方法称为直接负载法 。
这样，变压器的功率关系可表示如下：
所以变压器的效率为：
2）电力变压器可以应用间接法计算效率，间接法又称损耗分析法。其优点在于无需给变压器直接加负载，也无需运用等效电路计算,只要进行空载试验和短路试验，测出额定电压时的空载损耗p
0
和额定电流时的短路损耗p
kN
就可以方便地计算出任意负载下的效率。
在应用间接法求变压器的效率时通常作如下假定：
①忽略变压器空载运行时的铜耗，用额定电压下的空载损耗 p
0
来代替铁耗 p
Fe
，即 p
Fe
=p
0
，它不随负载大小而变化，称为不变损耗；
②忽略短路试验时的铁耗，用额定电流时的短路损耗 p
kN
来代替额定电流时的铜耗。但需要注意的是：
③不考虑变压器二次侧电压的变化，即认为 U
2
=U
2N
不变，这样便有
P
2
=mU
2
I
2
cosφ
2
=mU
2N
I
2N
(I
2
/I
2N
)cosφ
2
= βS
N
cos φ
2
kNcu
pp
2
β=
不同负载时的铜耗与负载系数的平方成正比，
当短路损耗 p
k
不是在 I
K
=I
N
时测的，则
p
kN
=(I
N
/I
K
)
2
p
K
以上的假定引起的误差不大（不超过 0.5％），却给计算带来很大方便，电力变压器规定都用这种方法来计算效率。
3.效率特性：
2
0
2
2 0
1
cos
kN
N
kN
p
p
p p
S
β
η
β?β
+
=?
++
上式说明，当负载的功率因数 cos φ
2
一定时，效率随负载系数而变化。图为变压器的效率曲线。
效率的公式可变为：
3.负载增加，效率η亦随之增加。超过某一负载时，因铜耗与成正比增大，效率η反而降低，最大效率η出现在的地方。因此，取η对β的导数，并令其等于零，即可求出最高效率η max时的负载系数β
m
0
d
d
η
β
=
0
m
kN
p
p
β =
1.空载时输出功率为零，所以η =0。
2.负载较小时，损耗相对较大，功率η较低。
特性分析：
0
max
2 0
2
1
cos 2
N
m
p
p
S
η
β?
=?
+
4
1
~
3
1
0
=
p
p
kN
即当不变损耗（铁耗）等于可变损耗（铜耗）时效率最大。
使铁耗较小变压器总是在额定电压下运行，但不可能长期满负载。
为了提高运行的经济性，通常设计成β
m
=0.5～ 0.6，这样，
3.8 三相变压器
——磁路、联结组和电动势波形现代电力系统都采用三相制，故三相变压器使用最广泛。但三相变压器也有其特殊的问题需要研究，
例如三相变压器的磁路系统、三相变压器绕组的连接方法和联结组、三相变压器空载电动势的波形和三相变压器的不对称运行等。变压器的并联运行放在3.9节讨论。
例题 一台单相变压器,S
N
=1000kVA,U
1N
/U
2N
=60/6.3 kV，
f
N
=50赫，空载试验（低压侧）：
U
0
=6300kV,I
0
=19.1A,P
0
=5000W；
短路试验 (高压侧 )：
U
k
=3240kV,I
k
=15.15A,P
k
=14000W；
试计算：
(1) 用标么值计算,T”形等效电路参数；
(2) 短路电压及各分量的标么值和百分值；
(3) 满载且 cosφ
2
=0.8(滞后 )时的电压变化率及效率；
(4) 当 cosφ
2
=0.8(滞后 )时的最大效率。
解,1
A
U
S
I
N
N
N
67.16
60
1000
1
1
===
A
U
S
I
N
N
N
73.158
3.6
1000
2
2
===
3.8
345.0
)
73.158
1.19
(
1000
5
)(
)(
31.8
73.158
1.19
111
2*2**
2
2
2
0
0
2*
0
*
0
*
2
0
*
0
*
=?=
====
====
mmm
N
N
m
N
m
RZX
I
I
S
P
I
P
R
I
I
I
Z
激磁参数
kW
I
I
PP
V
I
IU
U
k
N
KkN
k
Nk
kN
95.16)
15.15
67.16
(14)(
3565
15.15
67.163240
22
1
1
===
=
×
==
05693.0
01695.0
1000
95.16
0594.0
60000
3565
2*2**
**
1
**
=?=
====
====
kkk
N
kN
kNk
N
kN
kNk
RZX
S
p
pR
U
U
UZ
短路电流不是额定电流短路阻抗
0285.0
2
1
0083.0
2
1
**
2
*
1
**
2
*
1
===
===
k
k
xxx
rrr
05693.0
01695.0
0594.0
**
**
**
==
==
==
kkr
kka
kk
xU
rU
ZU
%693.5%
%695.1%
%94.5%
=
=
=
kr
ka
k
U
U
U
2,阻抗电压：
3、电压变化率为：
0478.0
)6.005693.08.001695.0(1
)sincos(
2
*
2
*
=
×+×=
+=Δβ
kk
xru
效率
(%)32.97
(%)100)
95.16158.010001
95.1615
1(
(%)100)
cos
1(
2
2
2
02
2
0
=
×
×++××
×+
=
×
++
+
=
KNN
KN
PPS
PP
β?β
β
η
4,最大效率时,负载系数为
543.0
95.16
5
0
===
KN
m
P
P
β
最大效率为
(%)75.97
(%)100)
528.01000543.0
52
1(
(%)100)
2cos
2
1(
02
0
max
=
×
×+××
×
=
×
+
=
PS
P
Nm
β
η
3.8.1 三相变压器的磁路系统三相变压器的磁路系统 可分为：
①各相磁路彼此无关——三相组式变压器
②各相磁路彼此相关——三相心式变压器两大类。
特点,1.显然各相磁路相互独立彼此无关
2.当一次侧接三相对称电源时，各相主磁通和励磁电源也是对称的。
一、各相磁路独立:
三相变压器组或组式三相变压器,如图所示特点,在这种铁心结构的变压器中，任一瞬间某一相的磁通均以其他两相铁心为回路，因此各相磁路彼此相关联。
可见，此时的各相磁通之间是相互联系的，即：
0
A BC
φφφ++=
nullnullnull
二、各相磁路相关：
可以由三相组式变压器演变过来，如图所示：
3.8.2 三相变压器的电路系统
--绕组的连接法与联结组一、绕组的端点标志与极性：
变压器的每相绕组有两个端，定义一个为首端，
另一个为末端。出线端的标志符号：
绕组名单相变压器 三相变压器首端末端 首端 末端 中点高压绕组 A X A B C X Y Z N
低压绕组 a
x
a b c
x y z
n
中压绕组
N
m
X
m C
BA
mmm
ZYX
mmm
m
A
同极性(名)端,由于变压器高、低压绕组交链着同一主磁通，当某一瞬间高压绕组的某一端为正电位时，在低压绕组上必有一个端点的电位也为正，则这两个对应的端点称为同极性端，并在对应的端点上用符号“．”标出。
注意,绕组的极性只决定于绕组的绕向，与绕组首、尾端的标志无关。 规定绕组电动势的正方向为从首端指向末端。 当同一铁心柱上高、低压绕组首端的极性相同时，其电动势相位相同，如图所示。当首端极性不同时，高、低压绕组电动势相位相反，如图：
二、单相变压器的联结组：
1、变压器的联结组：三相变压器高、低压绕组对应的 线电动势 之间的相位差，通常用时钟法来表示，称为变压器的联结组。
2、时钟法：即把高压绕组的线电动势相量作为时钟的长针，且固定指向 12的位置，对应的低压绕组的线电动势相量作为时钟的短针，其所指的钟点数就是变压器联结组的标号。
3、单相变压器的联结组号：
如图所示：对于单相变压器，当高、低压绕组电动势相位相同时，联结组为 I,I0，其中 I,I表示高、低压绕组都是单相绕组。当高、低压绕组电动势相位相反时，其联结组为 I,I6。
三、三相绕组的联结方式：
对于三相变压器，不论是高压绕组还是低压绕组，
我国主要采用 星形连接（Y连接）和三角形连接（D连接）
两种。
星形连接方式,以高压绕组为例，把三相绕组的３个末端X、Y、Z连在一起，结成中点，而把它们的三个首端A、B、C引出，便是星形连接，以符号Y表示。
三角形连接方式,如果把一相的末端和另一相首端连接起来，顺序形成一闭合电路，称为三角形连接，用D
表示。
注意：相应的是对于低压侧而言，用 y,d表示。
四、三相变压器的联结组：
1、Y，y接法三相变压器的联结组 ——高、低绕组对应线电动势之间的相位差，不仅与绕组的极性（绕法）和首末端的标志有关，而且与绕组的连接方式有关 。
A
E
B
E
C
E
AB
E
A
B
C
a
E
b
E
c
E
a
ab
E
,0Yy
A
E
B
E
C
E
AB
E
A
B
C
a
E
b
E
c
E
a
ab
E
,6Yy
当 各相绕组同铁心柱 时，Y，y接法有两种情况。
1）高、低压绕组同极性端有相同的首端标志，高、
低压绕组相电动势相位相同，则高、低压绕组对应线电动势和也同相位，其联结组为Y，y0。
2）同极性端有相异的端点标志，高、低压绕组相电动势相位相反，则对应的线电动势和相位也相反，因此其联结组为Y，y6。
若 abc顺移一个位置：
A
E
B
E
C
E
AB
E
A
B
C
c
E
a
E
b
E
a
ab
E
,4Yy
如果高低绕组的三相标记不变，将低压绕组的三相标记依次轮换，如 b→ a,c→ b,a→ c； y→ x,z→ y,x→ z，
则可得到其他联结组别，例如 Y,y4； Y,y8； Y,y10；
Y,y2等偶数联结组。
A
E
B
E
C
E
AB
E
A
B
C
a
E
b
E
c
E
a
ab
E
,11Yd
b
c
2、Y，d接法
1）高、低压绕组的相电动势均从首端指向末端，线电动势从 A指向 B；
2）相量图中 A,B,C与 a,b,c的排列顺序必须同为 顺时针 排列，即原、二次侧同为正相序。
3）同一铁心柱上的绕组（在连接图中为上下对应的绕组），首端为同极性时相电动势相位相同，首端为异极性时相电动势相位相反；
4）二次侧的标记 a,b,c顺移一位置，其钟点数 +4，反向 移一位置，其钟点数 –4。
在用相量图判断变压器的联结组时应注下几点：
5) 对于Y,y或D,d连接而言,可的0,2,4,6,8,10六个偶数的联结组号.
相对于Y,d或D,y而言,就可的1,3,5,7,9,11六个奇数的联结组号.
6）为了使用和制造上的方便,我国国家标准规定只生产下列 5种标准联结组别的电力变压器，即 Y,yn0； Y，
d11； YN,d11； YN,y0； Y,y0。其中以前 3种最为常用。对于单相变压器，标准联结组为 I,I0。
3.8.3 三相变压器空载电动势的波形
33
0
33 3
0
33 3
2sin3
2 sin3( 120 ) 2 sin3
2sin3( 240) 2sin3
A
B
C
IIt
II t It
II t It
ω
ωω
=
=?=
在分析单相变压器的空载运行时指出，由于磁路存在着饱和现象，当主磁通为正弦波时，励磁电流为尖顶波，其中除基波外还主要包含有三次谐波。但在三相变压器中，三次谐波电流在时间上相位相同。即可见，在三相中三次谐波在时间上是同相位的，所以，
它的流通与否与三相绕组的连接方式有关：
①如果三相变压器的绕组为 YN或 D接法，则三次谐波电流可以流通，各相磁化电流可以为尖顶波。
②如果三相变压器的绕组为 Y接法,则三次谐波电流不能流通，认为各相磁化电流为 正弦波 。
主磁通若不是正弦波，可以分解为基波和三次谐波，
对三次谐波：
33
0
33 3
0
33 3
sin3
sin3( 120 ) sin3
sin3( 240 ) sin3
A
B
C
t
tt
φ ω
φ ωω
φ
=Φ
=Φ? =Φ
=Φ? =Φ
大小相等，相位相同：
①三相组式变压器，各相磁路彼此无关，三次谐波磁通走铁心磁路，其磁阻较小；
②三相心式变压器，各相磁路彼此相关，三次谐波磁通被挤到铁心柱周围的气隙，通过油箱壁构成闭合磁路,其磁阻较大 ；
一、Y,y连接的三相变压器：
1．各相磁路独立的三相变压器组在这种接法里，三次谐波电流不能流通，励磁电流近似为正弦波。由于铁心的饱和现象，磁通近似为平顶波，
除基波外，还主要包含有三次谐波磁通，如图所示。但三次谐波磁通的大小决定于三相变压器的磁路系统。
三相变压器组,三次谐波磁通的磁阻小，三次谐波磁通较大，加之 f
1
=3f
3
，所以三次谐波电动势相当大，其幅值可达基波电动势幅值的 45～ 60%，导致相电动势波形严重畸变，所产生的过电压可能危害绕组的绝缘。因此,三相变压器组不能采用 Y,y连接,但在线电动势中，由于三次谐波电动势互相抵消，其波形仍为正弦波。
2,磁路彼此关联的三相心式变压器在这种磁路结构中，各相大小相等、相位相同的三次谐波磁通不能在主磁路中闭合，只能沿铁心周围的油箱壁等形成闭路，由于该磁路磁阻大，故三次谐波磁通很小，可以忽略不计，主磁通及相电动势仍可近似地看作正弦波。因此,三相心式变压器可以接成 Y,y连接
（包括 Y,yn连接） 。
但因三次谐波磁通经过油箱壁及其它铁夹件时会在其中产生涡流，引起局部发热，增加损耗。因此这种接法的三相心式变压器其容量一般不超过 1800KVA。
二、Y，d或D,y连接的三相变压器一次侧 Y连接，电流为正弦，磁通为平顶波，二次侧产生三次谐波电动势，三次谐波电流，但该三次谐波环流对原有的三次谐波磁通有强烈的去磁作用，因此磁路中实际存在的三次谐波磁通及相应的三次谐波电动势是很小的，相电动势波形仍接近正弦波。或者从全电流定律解释，作用在主磁路的磁动势为原、二次侧磁动势之和，在
Y,d连接中，由一次侧提供了磁化电流的基波分量，由二次侧提供了磁化电流的三次谐波分量，其作用与由一次侧单独提供尖顶波磁化电流是等效的。
D,y连接的变压器,三次谐波电流在一次侧流通，相电流为尖顶波，电动势为正弦波。
3.9 变压器的并联运行一、并联运行的定义是指将两台或多台变压器的一次侧和二次侧分别接在公共母线上，同时向负载供电的运行方式，如图所示二、并联运行的优点：
①可以提高供电的可靠性。
②可以根据负荷的大小调整投入并联运行变压器的台数，以提高运行效率；
③可以减少备用容量，并可随着用电量的增加，分期分批地安装新的变压器，以减少初投资。
当然，并联变压器的台数也不宜太多，因为在总容量相同的情况下，一台大容量变压器要比几台小容量变压器造价低、基建设投资少、占地面积小。
1） 空载时并联的各变压器二次侧绕组之间没有环流。
2） 带负载后各变压器的负载系数相等 。
3） 负载时各变压器对应相的电流相位相同 。
1）各变压器高、低压方的额定电压分别相等,即各变压器的变比相等；
2) 各变压器的联结组相同；
3）各变压器短路阻抗的标么值相等，且短路电抗与短路电阻之比相等。
三、变压器的理想并联运行条件,
四、并联运行的变压器必须满足以下三个条件：
上述三个条件中，条件 2﹚必须严格保证。
① 变比不相等时：在并联运行的变压器之间也会产生环流。
② 如果各变压器的联结组不同：将会在变压器的二次侧绕组所构成的回路上产生一个 很大的电压差,这样的电压差作用在变压器必然产生很大的环流（几倍于额定电 流）它将烧坏变压器的绕组，因此联结组不同的变压器绝对不能并联运行。
③ 当并联运行的变压器阻抗标么值不相等时：各并联变压器承担的负载系数将不会相等，下面分析变压器并联运行时的负载分配问题。
五、条件不满足时的情况：
在实际运行中，条件 1）和 3）可以稍有差异，但要求各并联运行的变压器其变比的差值
kΔ
不超过 1%
A B
A B
k
kk
kk
Δ=
用标幺值表示,
六、变压器并联运行时的负载分配设这两台并联运行的变压器联结组相同,变比相等,但是阻抗的标幺值不等,这样,从图可知,
2 A B
A KA B KB
I II
I ZIZ
= +
=
** **
**
**
A KA B KB
AKB
B KA
I ZIZ
IZ
IZ
=
=
设变压器负载运行时二次侧电压 U
2
=U
2N
保持不变,则负载系数,
可见,负载电流的标幺值与其短路阻抗的标幺值成反比,由于短路阻抗角相差不大,短路阻抗角的差别对并联变压器的负载分配影响不大,因此上试可以写成标量的形式,
即,
**
**
A KB
B KA
I Z
I Z
=
**
222
2
222
N
NNNN
I IU S
I S
IIUS
β == = = =
*
*
A KB
BKA
Z
Z
β
β
=
进而可以写成,
上式不难推广到多台变压器并联运行的情况,
设有 n台变压器并联运行，额定容量为 S
N1
,S
N2
,…,所带的总负荷为 S，
1
n
iNi
i
SSβ
=
=
∑
对于 j台变压器
*
*
Kj
i
j Ki
Z
Z
β
β
=
*
*
Kj
ij
Ki
Z
Z
ββ=
*
*
1
n
Kj
jNi
i
Ki
Z
SS
Z
β
=
=
∑
*
*
1
n
Ni
jKj
i
Ki
S
ZS
Z
β
=
=
∑
*
*
1
j
n
Ni
Kj
i
Ki
S
S
Z
Z
β
=
=
∑
例题,两台变压器并联运行，其数据如下：
变压器变压器求：（ 1）总负载为 450 kVA时各变压器所供给的负载；
（ 2）在不使任一台过载的情况下，变压器所能供给的最大负载。
1 320kVA,6300 / 400V,5.0%;
k
u =,
2 240kVA,6300 / 400V,5.5%;
k
u =,
解,1）设第 1台变压器的负载率为 β
1
，第 2台变压器的负载率为 β
2
，则：
1
2
22
12
5.5
5.5
5.0
320 240 450
5.0
320 240 450
β
β
ββ
ββ
=
+=
+=
212
450 450 5.5
0.7601 0.8361
5.5
592 5.0
320 240
5.0
βββ=====
+
11 2 2
320 267.6kVA,240 182.4kVA SS== = =
2）第 1台变压器先满载，设
1
1.0β =
max 1 2
320 240 538.2kVAS ββ=+ =
21
5.0
0.9091
5.5
ββ==则：
变压器所能供给的最大负载
3.10 三相变压器的不对称运行变压器在实际运行中，经常会出现三相负载不对称的情况，这样都会造成变压器的不对称运行的情况，分析不对称运行常用 对称分量法 。
不对称分量对称分量法,即把不对称的三相电压、电流分解成正序、负序和零序，分别研究它们的效果，然后迭加起来而得到最后结果。
对称分量分别计算效果叠加适合于线性系统
3.10.1 对称分量法三相系统的对称分量
2
A
B
C
II
IaI
IaI
=
=
=
nullnull
nullnull
nullnull
+B
I
null
+A
I
null
+C
I
null
正序分量
0B
I
null
0A
I
null
0C
I
null
零序分量
2
A
B
C
II
IaI
IaI
++
++
++
=
=
=
nullnull
nullnull
nullnull
2
3
13
22
j
ae j
π
==?+
0000
IIII
CBA
nullnullnullnull
===
负序分量
B
I
null
A
I
null
C
I
null
2
3
13
22
j
ae j
π
==?+
是一个算子是一个算子
,
a
相量乘以相量乘以
，将使此相量逆时针旋转
，将使此相量逆时针旋转
a
0
120
00
2
2
00
AA A A
BB B B
CC C C
II I I III
II I I aIaII
II I I aIaII
+? +?
+? +?
+? +?
=++= +
=++= ++
=++= +
nullnull null null nullnullnull
nullnull null null null nullnull
nullnull null null null nullnull
3
2
1
10
α
αα
=
++ =
2
2
0
111
1
1
A
B
C
II
IaaI
IaaI
+
=
nullnull
nullnull
nullnull
不对称分量的分解：
2
2
0
111
1
1
A
B
C
II
IaaI
IaaI
+
=
nullnull
nullnull
nullnull
2
2
0
1
1
1
3
11 1
A
B
C
IaaI
II
+
=
nullnull
nullnull
nullnull
正序阻抗,正序电流所遇到的阻抗称为正序阻抗。而所谓的正序电流是大小相等、相位彼此相差120
0
的三相对称系统,其阻抗为 Z
+
=R
k
+jX
k
负序阻抗,负序电流所遇到的阻抗称为负序阻抗。它和正序阻抗之间的区别仅在于如果正序是从A-B-C，而负序就是从A-C-B，因此负序系统的等效电路和负序阻抗与正序系统相同，即Z-= Z
+
=Z
K
。
3.10.2 三相变压器各相序阻抗和等效电路一、正序阻抗、负序阻抗及其等效电路：
由此可见，如果以知三相不对称电压，我们就可以根据上式求出其对称分量，反之，亦然。以上分析同样适用与电流,如图所示:
二、零序阻抗及其等效电路:
1.绕组连接方式的影响:
①对于Y接,三相同相位的零序电流不能流通,因此在零序等效电路中,Y接的一侧电路是开路的,即从该侧看进去 Z
0
=∞
零序电流,零序电流遇到的阻抗称之为零序阻抗,零序阻抗比较复杂,它不仅和三相变压器绕组的连接方式有关,
还和磁路的结构有关,
②对于 Y
N
接,三相零序电流可以流通,因此零序等效电路中 Y
N
一侧应为通路,
③如为 D接,则三相零序电流可在 D连接的绕组内流通,但从外电路看进去,即没有电流流出,也没有电流流入,所以,
从外部看进去应是开路,D连接一侧相当于变压器内部短路,D连接一侧有无零序电流，取决于另一侧，另一侧有零序电流，则 D接侧也有零序电流。
2.磁路结构的影响：
对于三相变压器组，各相磁路独立，零序电流产生的三相同相位的零序磁通可沿各相自己的铁心闭和，其磁路为主磁路，因此：
对于三相心式变压器，各磁路相互关联，不能沿铁心闭和，只能沿油箱壁闭和，其磁阻大，因而 Z
m0
比较小。
0mmm m
ZZRjX==+
3.零序阻抗的测定：
Y
N
,d和 D,y
n
接法的三相变压器 Z
0
=Z
k
，无须另行测量。
Y,yn接法的 Z0的测量方法则是：
把二次侧三个绕组首尾串联接到单相电源上，以模拟零序电流和零序磁通的流通情况，一次侧开路，如图所示。
测量电压 U、电流 I和功率 P，则从二次侧看的零序阻抗为：
00
2
22
000
,
33
UP
ZR
II
X ZR
==
=?
对于 Y
N
,y连接的三相变压器，将一次侧绕组串联，
二次侧绕组开路，便可测出从一次侧看的零序阻抗。
3.10.3 三相变压器Y，yn连接时的单相运行作为对称分量法的应用举例，只分析在外加对称三相电压时三相变压器 Y,yn连接的单相运行。如图所示,
将二次侧电流分解为对称分量,
0
a
bc
L
II
II
UIZ
=
==
=
2
2
0
11
(
)
33
(
)
11
(
)
33
a
a
a
aa
c
ab
aa
c
ab
c
ab
I
II
I
I
I
II
I
I
I
II
I
I
+
=++ =
=++=
=++=
为简单起见，将一次侧各量折算到二次侧，且不加折算号,ˊ,。这样我们可以得到,
由于一次侧为 Y接,相电流只有正序分量和负序分量,
在忽略激磁电流的情况下,一次侧折算电流
2
2
2
()
3
1
()
3
1
()
3
AA A a a
BB B a a
CC C a a
II I I I I
I II I I I
I II I I I
αα
αα
+? +?
+? +?
+? +?
=+=? =?
=+=? =?
=+=? =?
,
A aA a
I II I
++
=? =?
下面分析各电压分量,由于外加电压为对称系统，故只有正序电压,,,而没有负序和零序分量。但由于负载电流不对称，在二次侧会产生负序和零序电流及相应的磁通，它们会在一次侧、二次侧绕阻中产生负序电压和零序电压。
U
A
null
U
B
null
U
C
null
I
A
null
I
B
null
I
C
null
一次侧中的负序电流,,能以电源为回路。
由于原，二次侧负序电流产生的磁动势平衡，负序压降仅为负序漏阻抗压降，其值不大。
零序的情况则不相同，由于零序电流只能在二次侧流通，在一次侧电路中虽有零序电动势，却无零序电流。因此二次侧的零序电流全部为励磁电流，一次侧的零序电压即为零序电动势。
0002
000
aAak
aak
aaa
aam
UUIZ
UIZ
UEIZ
EIZ
+++
= +
=
=?+
=?
如图所示,
各相序电压平衡方程式为,
A
U
+
null
k
R
k
X
A
I
+
null
a
U
+
null
a
I
+
k
R
k
X
a
U
null
a
I
1
Z
2
Z
a
U
null
0a
I
m
Z
0a
E
0aaaaL
UUUUIZ
+?
++==
0
1
3
aaa
I II I
+?
===
由此可的电压表达式,
02
111 1
333 3
A kkm L
UIZIZIZIZIZ
+
+++ +=?
式中参数 Z
K
,Z
2
和 Z
m0
为已知,电源电压,负载阻抗也为已知,
这样便可求出各相序的电流和负载电流,
02
21 1
33 3
A
km L
U
I
ZZ ZZ
+
=?
+++
如果将 Z
K
和 Z
2
忽略，则,
0
1
3
A
mL
U
I
ZZ
+
=?
+
①三相心式变压器：由于零序磁通遇到的磁阻较大，
Z
m0
较小，因此只要适当限制中线电流，这种结构的三相变压器可以带一相到中点的负载。
②三相变压器组：零序磁通所遇到的磁阻小,Z
m0
≈ Z
m+
较大，负载电流的大小主要受 Z
m0
的限制，即使负载阻抗 Z
L
很小，负载电流也大不起来。在极端的情况下，如一相发生短路,Z
L
=0，则
0
1
3
A
mL
U
I
ZZ
+
=?
+
由此可见，负载电流的大小和零序激磁阻抗有很大的关系，而 Z
mo
的大小和变压器的磁路结构有关：
即短路电流仅为正常激磁电流的 3倍。
0
0
3
3
A
m
U
II
Z
+
=? ≈?
忽略 Z
K
和 Z
2
后,一次侧和二次侧相电压相等,
这样,就可以作出简化向量图,
3.10.4 中点移动现象
00
0
aA
a
aa
UU
U
UE
++
=
=
=?
0
0
0
aA a
bB a
cC a
UU E
UU E
UU E
+
+
+
=?
=?
=?
3式相加，得
0
0
0
aA a
bB a
cC a
UU E
UU E
UU E
+
+
+
=?
=?
=?
0
1
3
A
mL
U
I
ZZ
+
=
+
A
U
+
B
U
+
C
U
+
0a
E?
I?
a
U?
b
U?
c
U?
O
′
O
可见，尽管外加线电压对称，当二次侧接单相负载后，在每相上叠加有零序电动势，造成相电压不对称。在相量图中表现为相电压中点偏离了线电压三角形的几何中心，这种现象称为,中点偏移,。中点浮动的程度取决于
E
a0
，而 E
a0
又取决于零序电流的大小和磁路结构。
如果是 三相心式变压器,由于零序磁通遇到的磁阻较大,Z
m0
较小，因此只要适当 限制中线电流，则 E
a0
不致太大，所造成的相电压偏移不大。负载电流的大小主要决定于负载阻抗 Z
L
，因此这种结构的三相变压器可以带一相到中点的负载。
如为 三相变压器组,零序磁通所遇到的磁阻小，很小的零序电流就会产生很大的零序电动势，造成中点浮动较大，相电压严重不对称。当 Z
L
=0时，短路电流仅为正常激磁电流的 3倍。但此时 Ua＝ 0,Ea0＝ U
A
，使其余两相电压提高到原来的 倍，这是很危险的。 因此三相变压器组不能接成 Y,yn联结组。
3
3.11 变压器的瞬变过程在实际运行中，有时会受到外界因素的急剧扰动，如负载突然变化、空载合闸到电源、二次侧突然短路及过电压冲击 等,原来的稳定运行状态必然遭到破坏，各电磁量要经历一个急剧的变化过程才能达到新的稳定运行状态。
这种从一种稳定运行状态过渡到另一种稳定运行状态的过程，称为瞬变过程。
3.11.1 变压器空载合闸时的瞬变过程变压器副边开路空载，原边合闸接到电源称为空载合闸设稳态空载运行时不考虑铁心饱和问题
k
2
N
1
N
0
i
1
u
Φ
null
当时间 t=0时空载合闸,则电源电压为：
()
11 0
2UUSintaω=+
—合闸时电压的初相角
0
α
1
U
null
()
1011 0
2sin
t
d
NirUta
dt
ω
Φ
+= +
1
0
1
t
N
i
L
Φ
=
()
1
11 1 0
1
2
t
t
d r
NN USinta
dt L
ω
Φ
∴+Φ= +
瞬变过程中励磁电流 与电感 的关系：
∵
1
L
0
i
解常系数非齐次微分方程得：
()
1
1
0
r
t
L
tm
Sin t a ceωθ
Φ=Φ +? +
10
1
1
90
L
tg
r
ω
θ =≈
－
—磁通与电源电压的相位差
θ
合闸后微分方程式为：
()
1
1
0
cos
r
t
L
tph m
ta ceω
Φ=Φ +Φ=?Φ + +
设合闸时（ t=0），铁心中没有剩磁（ ）：
0
0
t=
Φ=
1.当电源电压初相位角 时合闸：
0
0
90α =
()
0
cos 90 sin
tm m
ttωωΦ=?Φ + =Φ
合闸后就进入稳定状态，不发生瞬整过程
tω
,φ
0
φ
1
u
u
2.当电源电压初相位角 时合闸：
0
0
0α =
1
1
cos
r
t
L
tm m
teω
Φ=?Φ +Φ
自由分量是直流指数衰减量,时 最大，当 时，稳整分量与暂整分量相加可达
2
m
Φ
0t =
m
Φ
0
180tω =
tω
φ
0
p
φ
h
φ
t
φ
1
u
当已知变压器空载接通电源其磁通随时间变化关系后，可根据磁化特性曲线找出相应的励磁电流。
变压器正常运行时，磁路设计得已经有点饱和，若在最不利的空载接通电源，磁通可能超过两倍的,铁心非常饱和，励磁电流 很大，可达额定电流的 3-5倍。
m
Φ
0m
i
m
Φ
2
m
Φ
0
t
Φ
0
i
0m
i
0
i
在变压器空载接通电源的过程中，随着自由分量磁通的衰减，励磁电流也要衰减，衰减的时间常数为：
一般小型变压器衰减得快，约几个周波即可达到稳态，大型的变压器衰减得慢一些，有时可达十几秒。
1
1
L
T
R
=
tω
0
om
i
1
i
空载合闸电流对变压器本身没有多大危害，但若衰减较慢时，可能引起过电流保护装置动作而跳闸。为了避免这种情况，在变压器原边串一个附加电阻，这样可减少冲击量，也可使冲击迅速衰减，合闸完毕，再将该电阻切除。
由于三相变压器三相互差 120
0
，相位总会在合闸时有一相初相位接近于零，总会有一相电流较大。
结论：
3.11.2 突然短路变压器稳态短路电流已经是额定电流的十几倍到二十几倍左右，突然短路电流比稳态电流还要大，同时产生的冲击电流会使机械力增大。
三相变压器故障短路各种各样：一相接地、
两相短路、两相接地、三相短路等。
为了简单，此图仅分析单相变压器突然短路的情况。
当变压器一次绕组接额定电压,二次绕组发生突然短路，原,T,形等效电路 可简化为,一,形等效电路。
1
U
0
I
null
m
R
m
jX
'
12
E E=
nullnull
1
I
null
1
R
1
jX
1
U
null
'
2
R
'
2
jX
2
I
′
null
由于 使磁路不饱和，电感可为常数，所以可用一次电流表示微分方程：
//
11 2 2 1
IZ IZ U+=?
nullnull null
1
10
sin( )
kkim
di
LiRU t
dt
ωα+= +
k
k
X
L
ω
=
1
I
null
1
R
1
jX
1
U
null
'
2
R
'
2
jX
/
12k
X XX
σσ
=+
— 短路电抗
/
12k
RRR=+
— 短路电阻虽然突然短路前可能已带上负载，但负载电流比起短路电流很小，可忽略不计。
设时，
0t =
1
0i =
11~1
ii i
=
=+
1
1
0
22
1
1
0
22
sin( tan )
()
sin( tan )
()
k
k
mk
k
kk
R
t
L
mk
k
kk
UL
t
R
RL
UL
e
R
RL
ω
ωα
ω
ω
α
ω
+
+
1
tan
2
k
k
L
R
ω π
≈
∴
10 0
2 [(cos ) cos( )]
K
K
R
t
L
k
iI e tαωα
=
kk
R L<<
∵
大型变压器大型变压器
1 1
22
2
m
k
k
kk
U U
I
Z
RX
==
+
其中：
其中：
当 时发生突然短路：
0
0
0α =
1
2( cos )
K
K
R
t
L
k
iIe tω
=?
1max
2( cos)
(1 ) 2 2
K
K
K
K
R
L
k
R
L
kkk
iIe
eIKI
π
ω
π
ω
π
=?
=+ =
1
K
K
R
L
k
Ke
π
ω
=+
其中：
当 时 为最大值：
t
π
ω
=
1
i
11
~,1.2 ~ 1.3
23
k
k
k
R
K
Lω
==
11
~,1.7 ~ 1.8
10 15
k
k
k
R
K
Lω
==
1max 1
*
1
2
kN
k
iK I
Z
=
对于小容量变压器：
对于小容量变压器：
若采用短路阻抗标幺值表示，则为：
例题,有一台 60000千伏安,220/11千伏,Y,d（ Y/Δ）
接线的三相变压器，,求：
①高压侧稳态短路电流值及为额定电流的倍数；
②最不利情况下发生突然短路，最大短路电流是多少？
072.0,008.0
**
==
kk
XR
解：一次侧额定电流短路电流标么值短路阻抗标么值
A
U
S
I
N
N
N
46.157
102203
1060000
3
3
3
1
1
=
××
×
==
07244.0008.0072.0
22
2
*
2
**
=+=+=
KKK
xrz
8.13
07244.0
11/
*
*
======
KK
N
N
KN
N
K
K
zz
z
I
zU
I
I
I
AIII
NKK
95.217246.1578.13
1
*
=×==
短路电流有名值
2) 6000kVA属大容量变压器 8.17.1?=
y
K
最大短路电流：
*
*
*
max
1
Ky
K
yK
IK
z
Ki ==
A
IIKIii
NKyNKK
42.5531~12.5224
46.1578.13)8.1~7.1(2
22
1
*
1
*
maxmax
=
×××=
==
1
K
K
R
L
y
Ke
π
ω
=+
或：
3.12 三绕组变压器三绕组变压器有高、中、低三个绕组，大多用于二次需要两种不同电压的电力系统。
1
u
1
e
1
i
m
φ
2
e
2
u?
2
i?
3
e
3
u?
3
i?
三绕组变压器每个心柱上套有三个绕组，三个绕组的容量可相等。也可不相等，容量最大的规定为三绕组变压器的额定容量。
三绕组变压器第三绕组常常接成三角形联结，供电给附近较低电压的配电线路，有时仅接同步补偿机和电容器（补偿功率因数），也有第三绕组并不引出，专供三次谐波激磁电流形成通路，以改善电势波形和减少不对称运行时负载中点位移。
1,三绕组变压器的基本方程式和等值电路设一、二、三绕组匝数分别为
321
,,NNN
变比的定义：
112
12 13 23
233
,,
NNN
kkk===
磁动势：
111
F NI=
一次侧绕组：
22233
,F NI F NI==
二次侧绕组：
11 2 2 33 1mm
F NI NI NI NI=+ + =
磁动势平衡：
转化为电流形式：
123 m
I III
′′
++=
其中：
2 2 12 3 3 13
/,/I IkI Ik
′′
==
忽略激磁电流：
123
0III
′′
++=
磁通和电动势：
111
222
333
F NI
F NI
F NI
=
=
=
m
F
主磁通
m
Φ
主电动势
123
,,EEE
自漏磁
123
,,
σσσ
ΦΦΦ
漏电势互漏磁
12 23 31
,,
σσσ
ΦΦΦ
互漏电势自感电动势互感电动势
11 11 1
EjLIω=?
22 22 2
EjLIω=?
33 33 3
EjLIω=?
12 12 2
13 13 3
E jMI
E jMI
ω
ω
=?
=?
21 12 1
23 23 3
E jMI
E jMI
ω
ω
=?
=?
31 13 1
32 23 2
E jMI
E jMI
ω
ω
=?
=?
11112131
21222
3132333
E LMMI
E jM L M I
E MM L I
ω
=?
写成矩阵形式：
即
11112131
2 1222232
3132333
E XXXI
E jX X X I
E XXXI
=?
电动势平衡
111
2222
3333
UEIR
UEIR
UEIR
=? +
=?+
=?+
折算到一次侧：
11112131
2 1222232
3132333
E XXXI
E jX X X I
E XXXI
′′
′′′′′
=?
′′′′′
电动势平衡
111
2222
3333
UEIR
UEIR
UEIR
=? +
′′′
=?+
′′′
=?+
即
1 1 11 12 13 1
2 12 2 22 23 2
31323333
(1)
(2)
(3)
U R jX jX jX I
U jX R jX jX I
UjX jXRjXI
′′
+
′′ ′′′
= +
′′ ′ ′′
+
1 2 123 123 1 213 213 2
()( )( )UURjXIRjXI
′′
= +? +
（ 1）－（ 2），且
312
()I II
′′
=? +
1 3 123 123 1 312 312 3
()( )( )UURjXIRjXI = +? +
（ 1）－（ 3），且
213
()I II
′′
=? +
等效电路：
m
R
m
X
1
U
null
123
R
123
X
213
R
213
X
312
R
312
X
2
U
′
null
3
U
′
null
1
I
null
3
I
′
null
2
I
′
null
考虑激磁：
由于忽略了励磁电流，等效电路中的感抗都具有漏电抗性质，它们是不变的常数，但每一个感抗都由该绕组的自感以及三个绕组之间的互感组合而成，所以在三绕组变压器中，两个二次绕组之间是相互影响的，任何一二次绕组端电压的变化不仅决定于本绕组负载电流的大小及功率因数，而且还与另一个二次绕组负载电流的大小及功率因数有关。
2,三绕组变压器参数测定三绕组变压器的等效电路参数可以用三次短路试验来确定，每次短路试验在两个绕组之间进行，第三绕组开路。此时试验完全相当于双绕组变压器的短路试验。
第 1 次,绕组 2 短路，绕组 3 开路，在绕组 1 上施加低电压，测得短路阻 Z
k12
,Z
k12
=Z
123
+Z
213
。
k
U
null
123
R
123
X
213
R
213
X
312
R
312
X
1
I
null
3
I
′
null
Z
k12
第 2次：绕组 3短路，绕组 2开路，在绕组 1上施加低电压，测得短路阻抗 Z
k13
=Z
123
+Z
312
。
k
U
null
123
R
123
X
213
R
213
X
312
R
312
X
1
I
null
Z
k13
第 3 次：绕组 3 短路，绕组 1 开路，在绕组 2 上施加低电压，测得短路阻抗 Z
k23
=Z
213
+Z
312
。
k
U
null
123
R
123
X
213
R
213
X
312
R
312
X
1
I
null
Z
k23
由 Z
k12
,Z
k13
,Z
k23
可求得 Z
123
,Z
213
,Z
312
分别为
12 13
123
12 23
213
13 23
23
13
12
312
2
2
2
kk
k
k
k
k
k
kk
ZZ
Z
ZZ
Z
Z
ZZ
Z
Z
Z
+
=
+
=
++
=
3.13 自耦变压器自耦变压器的原理如图所示，它的一次、二次共用一部分绕组。在电力系统中，自耦变压器主要用于联接额定电压相差不大的两个电网，例如 220/110kV两个电网就可用自耦变压器联接。与普通双绕组变压器相比，同容量的自耦变压器材料消耗要少得多，体积要小得多，在电力系统中应用很广。
3.13.1 电压、电流、容量关系
11
12
22
2
aNaN
A
aNaN
NN
U E
k
N
U E
+
≈= =
如图所示，在分析时我们可忽略自耦变压器的漏磁通和绕组电阻，这样我们可以得到以下等式：
k
A
,自耦变压器的变比。对于降压变压器,k
A
＞ 1,
k
A
=k+1,k=N
1
/N
2
为原来双绕组变压器的变比。
112 1
22
1
(1 )
1
aN N N N
A
aN N
UUU U
k
UU
=+=+
=
若忽略励磁电流，则有：
11 2 2
0NI NI+=
2
122 2
1
11
1
A
N
I II I
Nkk
=? =? =?
电流关系：
对于 a 点，电流平衡方程式为
2212
1
(1 )
1
a
A
IIII
k
=?= +
表明,I
2a
与 I
2
同相位且 I
2a
> I
2
负载时磁动势平衡关系为：
11 2 2 1m
NI NI NI+=
自耦变压器的额定容量为,
11 11
1
(1 )
1
aN aN aN N N
A
SUI UI
k
==+
22 2 2
1
(1 )
1
aN aN aN N N
A
SUI U I
k
==+
或：
11 2 2NNN NN
SUI UI==
1
(1 )
1
aN N N N
A
SSS
k
′
=+ = +
则有：
S
N
它对应于以串联绕组 (N
1
)为一次侧，以公共绕组 (N
2
)
为二次侧的一个双绕组变压器通过电磁感应而传递给二次侧负载的容量，称为 电磁容量,它决定了变压器的主要尺寸、材料消耗，是变压器设计的依据，亦称为 计算容量 。
1
(1 )
1
aN N N N
A
SSS
k
′
=+ = +
与此容量相对应的是一次侧电流 I
1N
直接传导给负载，称为 传导容量,
N
S
′
计算自耦变压器容量 S
N
与额定容量 S
aN
之间的关系，为
1
(1 )
NaN
A
SS
k
=?
自耦变压器的计算容量比额定容量小，当 k
A
越接近
1，自耦变压器优点就越显著，因此自耦变压器适用于一、
二次侧电压相差不大的场合，一般 k
A
≤ 2。
3.13.2 短路阻抗、电压平衡方程式自耦变压器在做短路试验时，将二次侧 ax短路，在一次侧 AX施加电压 Uk，如图所示。上述试验相当于以 Aa为一次侧绕组,ax为二次侧绕组的双绕组变压器在进行短路试验。
1
U
null
k
Z
1
N
2
N
1a
U
null
1
N
2
N
ka
Z
kka
Z Z=
但标幺值：对于双绕组变压器
*
1
11 1
/
kNk
k
NN N
ZIZ
Z
UI U
==
对于自耦变压器
**
1
11
1
1
(1 )
1
/
(1 )
1
ka N k
ka k
aN aN A
N
A
ZIZ
ZZ
UI k
U
k
== =?
+
由此可见，自耦变压器的短路阻抗标幺值小于相应的双绕组变压器的短路阻抗标幺值，自耦变压器短路时有更大的短路电流。
自耦变压器的简化等效电路,
1a
U
null
k
R
k
X
2a
U
′
null
1a
I
null
自耦变压器的电动势平衡：
121aaaka
UUIZ
′
=? +
优点,由于自耦变压器的绕组容量小于额定容量，
当额定容量相同时，自耦变压器与双绕组变压器相比，其单位容量所消耗的材料少、变压器的体积小、
造价低，而且铜耗和铁耗也小，因而效率高。这就是自耦变压器的主要优点。
3.13.3 自耦变压器的特点缺点：
①由于自耦变压器 Ax/ax 短路阻抗的标幺值比构成它的双绕组变压器 Aa/ax 短路阻抗标幺值小，故短路电流大，突然短路时电动力大，必须加强机械结构。
②由于自耦变压器一次侧、二次侧绕组之间有直接电的联系，为了防止因高压边单相接地故障而引起低压边的过电压，用在电力系统中的三相自耦变压器中性点必须可靠接地。同样，由于一次侧、二次侧绕组之间有直接电的联系，当高压边遭受过电压时，会引起低压边严重过电压，为避免这种危险，需要在原、二次侧都装设避雷器。
3.14 电压互感器和电流互感器
①与小量程的标准化电压表和电流表配合测量高电压、
大电流；
②使测量回路与被测回路隔离，以保障工作人员和测试设备的安全；
③为各类继电保护和控制系统提供控制信号。
电压互感器和电流互感器又称 仪用互感器,是电力系统中使用的测量设备，其工作原理与变压器基本相同。
使用互感器的目的是：
我国规程规定，电流互感器二次侧额定电流为 5A
或 1A，电压互感器额定电压为 100V 或 V。
100/ 3
3.14.1 电流互感器左图是电流互感器的接线图，
它的一次侧绕组由 1 匝或几匝截面较大的导线构成，串联在需要测量电流的电路中；二次侧匝数较多，导线截面较小，
并与负载 (阻抗很小的仪表 )接成闭合回路，因此电流互感器正常运行时相当于变压器短路。
0
221
.
1
=+ NINI
null
式中,k
i
为电流互感器的变流比，显然，当测量出 I
2
后，
被测电流 I
1
=K
i
I
2
1,电流互感器工作原理由于设计磁密很低,Bm＜ 0.2T,将励磁电流忽略，根据磁动势平衡关系：
在实际中,由于励磁电流和漏阻抗的影响，电流互感器也存在着误差。
.
2
.
2
1
2
.
1
IkI
N
N
I
i
=?=
①在运行过程中绝对不允许二次侧开路 。 这是因为电流互感器的一次侧电流是由被测试的电路决定的，在正常运行时，电流互感器的二次侧相当于短路，二次侧电流有强烈的去磁作用，即二次侧的磁动势近似与一次侧的磁动势大小相等、方向相反，因而产生铁心中的磁通所需的合成磁动势和相应的励磁电流很小。
2,电流互感器在使用时应注意：
若二次侧开路，则一次侧电流全部成为励磁电流，使铁心中的磁通增大，铁心过分饱和，铁耗急剧增大，引起互感器发热。同时因二次侧绕组匝数很多，将会感应出危险的高电压，危及操作人员和测量设备的安全；
②二次侧应可靠接地；
③二次侧回路阻抗不应超过规定值，以免增大误差。
3.14.2 电压互感器
k
N
N
U
U
==
2
1
2
1
这样，被测电压,
U
1
=kU
2
下图是电压互感器的接线图，一次侧直接并联在被测高压两端，二次侧接电压表、电压传感器等。由于这些负载都是高阻抗的，所以电压互感器运行时相当于变压器的空载运行。设计时选用优质硅钢片,Bm=1.0T～
1.2T，让磁路不饱和，并忽略漏阻阻抗压降，则在使用电压互感器时应注意：
① 二次侧不允许短路，否则会产生很大的短路电流，烧坏互感器的绕组；
② 二次侧应可靠接地；
③ 二次侧接入的阻抗不得小于规定值，以减小误差。
(1)比值误差。 U
2
对于 U
1
的相对误差是比值误差，它主要决定于一次、二次侧的漏抗压降。我国对测量用电压互感器规定有 0.2,0.5 两个级别。
(2) 相角差。二次侧电压折算到一次侧并反相位得到 U
2
，
相对于一次侧电压 U1有一个角差，称为相角差，它由励磁电流、漏阻抗产生。
3.1 变压器的分类、基本结构、额定值变压器的种类很多，可按其用途、结构、相数、
冷却方式等不同来进行分类。
3.1.1 变压器的分类
1、按用途分类，可分为
①电力变压器 （主要用在输配电系统中，又分为升压变压器、降压变压器、联络变压器和厂用变压器）
②仪用互感器 （电压互感器和电流互感器）
③特种变压器 （如调压变压器、试验变压器、电炉变压器、整流变压器、电焊变压器等）
2,按绕组数目分
3,按铁心结构分
4,按相数分双绕组变压器三绕组变压器多绕组变压器自耦变压器心式变压器壳式变压器单相变压器三相变压器多相变压器油浸式变压器干式变压器充气式变压器小型变压器（容量为 10～ 630kVA）
中型变压器（容量为 800～ 6300kVA）
大型变压器（容量为 8000～ 63000kVA）
特大型变压器（容量在 90000kVA及以上）
6,电力变压器按容量大小通常分为油浸自冷式油浸风冷式油浸强迫油循环式
5,按冷却介质和冷却方式分类，可分为
3.1.2 变压器的基本结构电力变压器的基本构成部分有：铁心、绕组、
绝缘套管、油箱及其他附件等，其中铁心和绕组是变压器的主要部件。
典型的油浸式变压器结构讯号式温度计吸湿器储油柜（油枕）
油表防爆管瓦斯继电器高压套管低压套管分接开关放油阀门绕组铁心油箱
1,铁心变压器中最主要的部件，他们构成了变压器的器身。铁心构成了变压器的磁路，同时又是套装绕组的骨架。铁心由铁心柱和铁轭两部分构成。铁心柱上套绕组，铁轭将铁心柱连接起来形成闭合磁路。
１）铁心材料,为了提高磁路的导磁性能，减少铁心中的磁滞、涡流损耗，铁心一般用高磁导率的磁性材料 ——硅钢片叠成。硅钢片有热轧和冷轧两种，其厚度为 0.35～ 0.5mm，两面涂以厚 0.02～ 0.23mm的漆膜，使片与片之间绝缘。
２ ) 铁心型式变压器铁心的结构有心式、壳式和渐开线式等形式。
壳式结构的特点是铁心包围绕组的顶面、底面和侧面，
如图所示。
心式结构的特点是铁心柱被绕组包围，如图所示。
壳式结构的机械强度较好，但制造复杂。心式结构比较简单，绕组的装配及绝缘比较容易，电力变压器的铁心主要采用心式结构。
3) 铁心叠装,变压器的铁心一般是由剪成一定形状的硅钢片叠装而成。为了减小接缝间隙以减小激磁电流，一般采用交错式叠法，使相邻层的接缝错开。
单层 双层
4) 铁心截面,
铁心柱的截面一般做成阶梯形，以充分利用绕组内圆空间。容量较大的变压器，铁心中常设有油道，以改善铁心内部的散热条件，如图所示。
绕组为什么做成圆形？
铁心柱的截面为什么不做成圆形，而做成阶梯形？
绕组是变压器的电路部分，它由铜或铝绝缘导线绕制而成。
一次绕组（一次侧绕组）：输入电能二次绕组（二次侧绕组）：输出电能同一相的一次绕组和二次绕组通常套装在同一个心柱上，一次和二次绕组具有不同的匝数，通过电磁感应作用，一次绕组的电能就可传递到二次绕组，且使一、二次绕组具有不同的电压和电流。
按电压高低，可分为高压绕组和低压绕组。从高、低压绕组的相对位置来看，变压器的绕组又可分为同心式、
交迭式。由于同心式绕组结构简单，制造方便，所以，国产的均采用这种结构，交迭式主要用于特种变压器中。
2,绕组
3,其它部件除器身外，典型的油浸电力变压器中还有油箱、变压器油、绝缘套管及继电保护装置等部件。
额定值是制造厂对变压器在指定工作条件下运行时所规定的一些量值。额定值通常标注在变压器的铭牌上。
变压器的额定值主要有：
3.1.3 额定值
1.额定容量S
N
额定容量是指额定运行时的视在功率。以 VA,kVA或
MVA表示。由于变压器的效率很高，通常一、二次侧的额定容量设计成相等。
2,额定电压U
2N
和U
2N
正常运行时规定加在一次侧的端电压称为变压器一次侧的额定电压 U
1N
。二次侧的额定电压 U
2N
是指变压器一次侧加额定电压时二次侧的空载电压。额定电压以 V或 kV、
MVA表示。对三相变压器，额定电压是指线电压。
3,额定电流I
2N
和I
2N
根据额定容量和额定电压计算出的线电流，称为额定电流，以 A表示。
对单相变压器对三相变压器
N
N
N
N
N
N
U
S
I
U
S
I
2
2
1
1; ==
N
N
N
N
N
N
U
S
I
U
S
I
2
2
1
1
3;
3
==
4、额定频率 f
N
除额定值外，变压器的相数、绕组连接方式及联结组别、短路电压、运行方式和冷却方式等均标注在铭牌上。额定状态是电机的理想工作状态，具有优良的性能，可长期工作。
例题,有一台 SSP-125000/220三相电力变压器,Y
N
,d接线，,求①变压器额定电压和额定电流；②变压器原、副线圈的额定电流和额定电流。
12
/ 220/10.5 kV
NN
UU=
kVUkVU
NN
5.10,220
21
==
A
U
S
I
N
N
N
04.328
2203
125000
3
1
1
=
×
==
A
U
S
I
N
N
N
22.6873
2303
125000
3
2
2
=
×
==
解：①,一、二次侧额定电压二次侧额定电流（线电流）
一次侧额定电流（线电流）
由于 Y
N
,d接线，一次绕组的额定电压
1
1
220
127.02kV
33
N
N
U
U
===
AII
NN
04.328
11
==
Φ
kV5.10
22
==
Φ NN
UU
2
2
6873.22
3968.26
33
N
N
I
I A
== =
一次绕组的额定电流二次绕组的额定电流二次绕组的额定电压
3.2 变压器的空载运行
3.2.1 空载运行的物理现象
1,空载运行,是指变压器一次侧绕组接到额定电压、
额定频率的电源上，二次侧绕组开路时的运行状态。
2,物理现象,
磁动势和磁通的情况：
一次侧绕组施加电压绕组中有电流
（空载电流 i
0
）
i
0
产生磁动势 f
0
=N
1
i
0
1
u
1
e
2
e
2
u?
0
i
m
φ
f
0
产生磁通,主磁通,完全在铁心中走，跟一次侧、
二次侧绕组相交链。
漏磁通,只跟一次侧绕组相交链，其走的路径为铁心和周围的气隙。
2
i?
1）由于铁磁材料有饱和现象，所以主磁路的磁阻不是常数,主磁通与建立它的电流之间呈非线性关系。 而漏磁通的磁路大部分是非铁磁材料组成，所以漏磁路的磁阻基本上是常数,漏磁通与产生它的电流呈线性关系
2）主磁通在一次侧、二次侧绕组中均感应电动势，当二次侧接上负载时便有电功率向负载输出，故主磁通起传递能量的作用。而漏磁通仅在一次侧绕组中感应电动势，不能传递能量，仅起压降作用。因此，在分析变压器和交流电机时常将主磁通和漏磁通分开处理。
主磁通和漏磁通的区别：
从理论上讲，正方向可以任意选择，因各物理量的变化规律是一定的，并不依正方向的选择不同而改变。
3、正方向的规定为什么要规定正方向？
(2) 根据计算结果确定实际方向：
若计算结果为正，则实际方向与参考方向一致；
若计算结果为负，则实际方向与参考方向相反。
(1) 根据电路的定律、定理，列出物理量间相互关系的代数表达式；
欧姆定律,流过电阻的电流与电阻两端的电压成正比。
R
I
U
=
＋
U
－
I
U＝ RI
（ a）
＋
U
－
I
U＝－ RI
（ b）
－
U
＋
I
U＝－ RI
（ c）
①在负载支路，电流的正方向与电压降的正方向一致，
而在电源支路，电流的正方向与电动势的正方向一致
②磁通的正方向与产生它的电流的正方向符合右手螺旋定则;
③感应电动势的正方向与产生它的磁通的正方向符合右手螺旋定则;
正方向规定不同，列出的电磁方程式和绘制的相量图也不同。 在电机方向的学科中通常按电工惯例来规定正方向。
在一次侧,u
1
由首端指向末端,i
1
(i
0
)从首端流入。当
u
1
与 i
1
同时为正或同时为负时，表示电功率从一次侧输入，称为电动机惯例。在二次侧,u
2
和 i
2
的正方向是由 e
2
的正方向决定的，即 i
2
沿 e
2
的正方向流出。当 u
2
和 i
2
同时为正或同时为负时，电功率从二次侧输出，称为发电机惯例。
1
u
1
e
2
e
2
u
2
i
0
i
各物理量的正方向的规定
m
φ
1σ
φ
)90sin(2cos
0
1111
=Φ?=?= tEtN
dt
d
Ne
m
ωωω
φ
)90sin(2cos
0
2222
=Φ?=?= tEtN
dt
d
Ne
m
ωωω
φ
)90sin(2cos
0
111
1
11
=Φ?=?= tEtN
dt
d
Ne
m
ωωω
φ
σσ
σ
σ
4、空载时的电磁关系
1）电动势与磁通的关系：
假定主磁通按正弦规律变化，即
Φ=Φ
m
sinωt
根据电磁感应定律和对正方向规定，一、二次绕组中感应电动势的瞬时值为,
m
m
fN
N
E Φ=
Φ
=
1
1
1
44.4
2
ω
m
m
fN
N
E Φ
Φω
2
2
2
44.4
2
==
m
m
fN
N
E
σ
σ
σ
Φ
Φω
11
11
1
44.4
2
==
式中：
注意：从上面的表达式中我们可以看出，电动势总是滞后与产生的他的磁通 90。
3.2.2 电动势平衡方程式和变比
1
011
1
R
IEE
U
+=
σ
根据对正方向的规定，可以得到空载时电动势平衡方程式：
将漏感电动势写成压降的形式：
11010
E jLI jXI
σσ σ
ω=? =?
=
11
EU
=
2
20
EU
110101 101
UEIRjIX EIZ
σ
=? + + =? +
式中 ——一次侧绕 3组的漏阻抗
11 1
ZRjX
σ
=+
对于电力变压器，空载时一次侧绕组的漏阻抗压降
I
0
Z
1
很小，其数值不超过 U
1
的 0.2%，将 I
0
Z
1
忽略，则上式变成：
在二次侧，由于电流为零，则二次侧的感应电动势等于二次侧的空载电压，即：
变压器的变比等于一次侧、二次侧绕组的匝数比。
当变压器空载运行时，由于 U
1
≈E
1
,U
20
≈ E
2
，故可近似地用空载运行时原、二次侧的 相电压 比来作为变压器的变比，即
N
N
O
U
U
U
U
k
2
1
2
1
=≈
变压器的变比在变压器中，一次侧、二次侧绕组的感应电动势 E
1
和 E
2
之比称为变压器的变比，用 k 表示，即：
111
222
4.44
4.44
m
m
EfNN
k
EfNN
Φ
== =
Φ
3.2.3 空载电流
1,空载电流的波形变压器空载运行时一次侧绕组中的电流主要用来产生磁场，又称为励磁电流。空载电流很小，一般不大于额定电流的 2.5％，大型变压器更小。我们重点考察其波形。
磁路存在饱和现象：磁路是否饱和铁心中有铁耗：铁心是否有铁耗磁路不饱和，则磁化电流和磁通为线性关系铁心中无铁耗，则励磁电流完全用来励磁，称为磁化电流
1）磁路不饱和，铁心无铁耗励磁电流为完全用来励磁的磁化电流磁路不饱和，则磁化电流和磁通为线性关系施加的电压为正弦波磁通为正弦波磁化电流为正弦波
2）磁路饱和，铁心无铁耗励磁电流为完全用来励磁的磁化电流磁路饱和，则磁化电流和磁通为非线性关系施加的电压为正弦波磁通为正弦波磁化电流为尖顶波
22 2
135
I
III
μμ μ
μ
=+++ "
为了在相量图中表示励磁电流μ，可以用等效正弦波电流来代替非正弦波励磁电流，其有效值为磁通为正弦规律变化时，励磁电流为尖顶波，根据谐波分析方法，尖顶波可分解为基波和 3,5,7…次谐波。
除基波外，三次谐波分量最大。 这就是说,由于铁磁材料磁化曲线的非线性关系，要在变压器中建立正弦波磁通，
励磁电流必须包含三次谐波分量。
从上图中，可以看出励磁电流 i
μ
与磁通 Φ 是同相位的。
3）磁路饱和，铁心无铁耗当考虑铁心损耗时，励磁电流 i
0
中还必须包含铁耗分量 i
Fe
，即这时激磁电流 i
o
将超前磁通一相位角
(为什么？ )
0 Fe
I II
μ
=+
222
0 Fe
I II
μ
=+
大小关系：
0
I
I
μ
Fe
I
1
E
m
Φ
m
Φ
2,空载时的向量图和等效电路
110101
UEIRjIX
σ
=? + +
1)空载时的向量图,
0
I
I
μ
Fe
I
1
E
2
E
1
E?
01
jI X
σ
01
I R
1
U
11010 1
()
m
UEIZIZZ=? + = +
这样,变压器一次侧的电动势方程可写成而变压器空载时从一次侧看进去的等效阻抗 Z0为
1
0
mmm
E
ZRjX
I
==+
式中：
称为变压器的激磁阻抗。
.
11
011
00
m
UE
ZZZ
II
== +=+
当频率一定时，若外加电压升高，则主磁通增大，铁心饱和度程度增加，磁导 Λ
m
下降,减小。
同时铁耗 p
Fe
增大，但 p
Fe
增大的程度比 增大的程度小，
由 p
Fe
= R
m
，则 R
m
亦减小。反之，若外加电压降低,则
R
m
,X
m
增大。
mmm
NLX Λ==
2
1
ωω
I
2
0
I
2
0
1
U
null
1
R
1
X
σ
m
R
m
X
1
E
null
σ1
XR
1
是一次侧绕组的电阻,是对应一次侧绕组漏磁路磁导的电抗，它们数值很小且为常数。
但 R
m
,X
m
却受铁心饱和度的影响，不是常数。
主磁通基本不变，磁路的饱和程也基本不变，因而
R
m
,X
m
可近似看着常数。 很显然，从上面的分析我们可以总结出,R
m
是表征铁心损耗的一个参数，而 X
m
是表征主磁通磁化性能的一个参数。
3,总结
3.3 变压器的负载运行在前面我们通过分析了解了变压器的空载运行情况，当变压器一次侧接入交流电源，二次侧接上负载时的运行方式称为变压器的负载运行。
1
U
null
1
E
null
2
E
null
2
U?
null
1
I
null
2
I?
null
m
Φ
null
空载电流 i
0
变为负载时的电流 i
1
。一次侧绕组的磁动势也从空载磁动势 F
0
变为 F
1
=N
1
I
1
。负载时的主磁通Φ
m
就是由一次侧、二次侧绕组的合成磁动势产生的，即,
3.3.1 负载运行时磁动势平衡于是变压器在负载时的电磁关系重新达到平衡。
12 m
F FF+=
1
U
null
1
E
null
2
E
null
2
U?
null
1
I
null
2
I?
null
m
Φ
null
1111
UEIZ=? +
一次侧电动势平衡方程式,
漏阻抗很小，从空载到负载，一次侧电动势近似不变。
11
2
m
EfNπ=Φ
磁通近似不变，
磁动势近似不变。
m0
F F=
12 0
F FF+=
转化为电流的形式：
11 2 2 1m
NI NI NI+=
改写成：
2
12m
1
N
I II
N
+=
这说明变压器负载运行时通过磁动势平衡，使一次侧、二次侧的电流紧密地联系在一起，
二次侧通过磁动势平衡对一次侧产生影响，二次侧电流的改变必将引起一次侧电流的改变，电能就是这样从一次侧传到了二次侧。
在二次侧，电动势平衡方程式为：
3.3.2 电动势平衡方程式
11111 111
()UEIRjXEIZ
σ
=? + + =? +
nullnullnull nullnull
在一次侧，电动势平衡方程式为
22222 222
()UEIRjXEIZ
σ
=?+ + =?+
nullnullnull nullnull
式中,Z
2
=R
2
+ jX
2σ
——二次侧绕组的漏阻抗，
R
2
——二次侧绕组的电阻
X
2σ
——二次侧绕组的漏 电抗。
3.3.3 变压器绕组的折算由于一次侧、二次侧绕组的匝数 Ｎ
１
Ｎ
２
，一次侧、
二次侧绕组的感应电动势 Ｅ
1
Ｅ
2
，这就给分析变压器的工作特性和绘制相量图增加了困难。为了克服这个困难，常用一 假想的绕组 来代替其中一个绕组，使之成为变比 k=１的变压器，这样就可以把一次侧、二次侧绕组联成一个等效电路，从而大大简化变压器的分析计算。这种方法称为绕组折算。折算后的量在原来的符号上加一个上标号,′” 以示区别。
折算的本质,在由二次侧向一次侧折算时,由于二次侧通过磁动势平衡对一次侧产生影响，因此，只要保持二次侧的磁动势不变，则变压器内部电磁关系的本质就不会改变。 即折算前后二次侧对整个回路的电磁关系的影响关系不能发生变化！ 二次侧各量折算方法如下：
折算的原则,折算前后一次侧、二次测电磁关系不变；
功率损耗不变；各种损耗不变；
漏磁场储能不变。
12 22
NI N I
′
=
nullnull
1）二次侧电流的折算值,
折算的原则,二次侧产生的磁动势不变。
2
222
1
/
N
I IIk
N
′
==
nullnullnull
1
222
2
N
E EkE
N
′
==
nullnullnull
22
E kE
σσ
′
=
nullnull
2）二次侧电动势的折算值：
由于折算前后主磁通和漏磁通均未改变，根据电动势与匝数成正比的关系可得
3）二次侧漏阻抗的折算值：
根据折算前后二次侧绕组的铜损耗不变的原则,则：
22
22 2 2 2 2
()Z R jX k R jX k Z
σσ
′′ ′
=+ = + =
22
2
222
2
()
I
RRkR
I
′
==
′
由折算前后付方漏磁通无功损耗不变，得
22
2
222
2
()
'
I
X XkX
I
σσσ
==
所以，漏阻抗的折算值为：
22 22
UI UI
′′
=
4）二次侧电压的折算值,
折算的原则,负载上消耗的有功和无功不变。
22
UkU
′
=
5）负载阻抗的折算值,
2
22
ZkZ
′
=
电流的折算,除以变比 k
电压、电动势的折算,乘以变比 k
阻抗类的折算,乘以变比 k的平方
3.3.4 基本方程式、等效电路和相量图
1,基本方程式
12
E kE=
nullnull
11111
()UEIRjX
σ
=? + +
nullnullnull
折算前
22222
()UEIRjX
σ
=?+ +
nullnullnull
2
12m
1
N
I II
N
+=
1
()
mm m
E IR jX=? +
nullnull
222
UIZ=
nullnull
折算后
12
E E
′
=
nullnull
11111
()UEIRjX
σ
=? + +
nullnullnull
22222
()UEIRjX
σ
′′′′′
=?+ +
nullnullnull
12 m
I II
′
+=
1
()
mm m
E IR jX=? +
nullnull
222
UIZ
′′′
=
nullnull
2,相量图
11111
()UEIRjX
σ
=? + +
nullnullnull
2222 2
()E UIRjX
σ
′′′′ ′
=+ +
nullnullnull
1m 2
()I II
′
=+?
1
m
mm
E
I
RjX
=
+
null
null
2
I
′
null
22
I R
′′
null
22
jI X
σ
′′
null
2
U
′
null
21
()E E
′
nullnull
1
E?
null
m
Φ
null
m
I
null
1
I
2
I
′
null
11
I R
null
11
jI X
σ
null
1
U
null
3.4 等效电路图及其简化
)(
1 mmm
jXRIE +?=
nullnull
)(
11111 σ
jXRIEU ++?=
nullnullnull
1
U
null
1
R
1
X
σ
1
E
null
m
R
m
X
m
I
null
1
E
null
22222
()UEIRjX
σ
′′′′′
=?+ +
nullnullnull
2
R
′
2
X
σ
′
2
I
′
null
2
E
′
null
2
U
′
null
1
U
null
1
R
1
X
σ
1
E
null
m
R
m
X
m
I
null
1
E
null
m
III
nullnullnull
=
′
+
21
21
EE
′
=
nullnull
2
R
′
2
X
σ
′
2
I
′
null
2
E
′
null
2
U
′
null
1
U
null
1
R
1
X
σ 2
R
′
2
X
σ
′
m
R
m
X
2
U
′
null
1
I
null
2
I
′
null
m
I
null
1
U
null
1
R
1
X
σ 2
R
′
2
X
σ
′
m
R
m
X
m
R
m
X
由于激磁阻抗较大，直接左移，得到,Γ,型等效电路。
等效电路的简化
1
U
null
1
R
1
X
σ 2
R
′
2
X
σ
′
1
I
null
2
I
′
null
忽略激磁电流（激磁阻抗）
简化等效电路
12
12
k
k
RRR
X XX
σσ
′
=+
′
=+
1
U
null
k
R
k
X
1
I
null
2
U
′
null
21
()I I
′
nullnull
1 k
IR
null
1 k
jI X
null
2
U
′
null
1
U
null
121
()
kk
UUIRjX
′
=? + +
nullnullnull
3.5 变压器参数的测定
3.5.1 空载实验变压器等效电路中的各种电阻、电抗或阻抗如 R
k
、
X
k
,R
m
,X
m
等称为变压器的参数，它们对变压器运行能有直接的影响。对于已制成的变压器，可以通过实验的方法来测量这些参数。
试验目的,测定变压器的空载电流 I
0
,变比 k、空载损耗
p
0
及励磁阻抗 Z
m
=R
m
+jX
m
。
空载试验接线：
1
U
null
0
I
null
W
V
A
V
A
X
a
x
注意：
①为了便于测量和安全起见，通常在低压侧加电压，将高压侧开路。
②为便于调节所施加的电压，一般利用调压器。
数据处理,在电压变化的过程中，记录相应的空载电流，空载损耗，作出相应的曲线，找出 当电压为额定时 相对应的空载电流和空载损耗，
作为计算励磁参数得依据。
实验过程,外加电压从略大于额定电压开始在一定范围内进行调节，测量 U
1
,U
20
,I
0
,P
0
。
忽略一次侧的漏阻抗，则激磁电抗：
22
mm
m
X
ZR
=?
激磁电阻：
2
00m
RPI=
激磁阻抗：
10m
ZUI=
变压器的变比：
120
kUU=
注意：
①由于励磁参数与磁路的饱和程度有关，故应取额定电压下的数据来计算励磁参数。
②对于三相变压器，按上式计算时 U
1
,I
0
,p
0
均为每相值。
但测量给出的数据却是线电压、线电流和三相总功率,
③空载损耗 p
0
近似为 铁耗。
④由于空载试验是在低压侧进行的，故测得的激磁参数是折算至低压侧的数值。如果需要折算到高压侧，应将上述参数乘以变比 k的平方：
2
2
2
mm
mm
mm
ZkZ
RkR
X kX
′?
=
′
=
′
=
3.5.2 短路实验短路试验接线：
k
U
null
k
I
null
W
V
A
A
X
a
x
①为了便于测量和安全起见，通常在高压侧加电压，将低压侧短路。
②加压前，调压器的输出应为零位。
③由于限制电流的为短路阻抗，调压时应小心翼翼。
将变压器的二次侧直接短路，一次侧施加电压将短路电流调至约 1.2倍额定电流，逐步降低施加的电压，测量 U
k
,I
k
,P
k
，
实验目的,在不同的电压下测出短路特性曲线 I
k
=f(U
k
)、
p
k
=f（ U
k
），根据额定电流时的 p
k
,U
k
值，
可以计算出变压器的短路参数。
实验过程：
数据处理：
测量 U
k
,I
k
,P
k
，
求短路阻抗,
2
22
k
k
k
k
k
U
Z
I
p
R
I
X
ZR
κ
κ
κκ
=
=
=?
①短路时，从短路的等效电路图可以看出，此时的短路损耗以铜耗为主。
②因电阻会随着温度发生变化，所以，我们的所得值要换算到标准工作温度下75℃：
注意：
对铜导线
75
234.5 75
234.5
kC k
RR
θ
°
+
=
+
对铝线 75
228 75
228
kC k
RR
θ
°
+
=
+
短路损耗和短路电压也应换算到 75 ℃ 的值
22
75 75kC kC k
ZRX
°°
=+
2
175 175
,
kN N k C kN N k C
uIZ pIR
°°
==
对于三相变压器，按上式计算时 p
k
,I
k
,U
k
均为一相数值。
3.6 标幺值在工程计算中，各物理量往往不用实际值表示，
而采用相应的标幺值来进行表示：
=
该物理量的实际值标幺值该物理量的基本值
1、电机学中基值的选择以额定值为基值相 (线 )电压 (流 )的基值分别是相 (线 )电压 (流 )的额定值。
三相 (单相 )功率的基值分别是三相 (单相 )的额定功率。
电阻、电抗与阻抗取同一基（,）。
1N
Z
2 N
Z
①视在 (有功、无功 )功率的基值是一样的
②变压器的一、二次额定电压、电流不同，所以一、二次电压 (流 )的基值不同。
③阻抗的基值是相值。
一次绕阻阻抗的基值
1
1
1
N
N
N
U
Z
I
φ
φ
=
二次绕阻阻抗的基值
2
2
2
N
N
N
U
Z
I
φ
φ
=
阻抗相电流线电流相电压线电压功率二次侧一次侧
N
S
N
S
1N
U
2N
U
1N
U
φ 2N
U
φ
1N
I
2N
I
1N
I
φ 2N
I
φ
1
1
1
N
N
N
U
Z
I
φ
φ
=
2
2
2
N
N
N
U
Z
I
φ
φ
=
标幺值的基值
2
**
2222
1
11 2
2
N
NN N
RkR R R
R R
Z
ZZ Z
k
′
′
== = = =
**
3
3
l
l
NNN
UU
U
φφ
φ
== ==
**
cos
3cos3
3
ll
NNN
UI
UI p
P P
SSS
φφ
φ
φ
=×= ==
2、取标幺值的优点
①一个量与它的折算值的标幺值相等
②线值与相值电压(流)的标幺值相等
③一相功率与三相功率的标幺值相等
*
N
NN
RIR
R
ZU
==
*
Nr
r
NN
RIU
U
UU
==
2
*
NNr
r
NNN N
RIIRP
P
SUI U
== =
⑤计算方便当电流为额定值时，电阻压降标幺值=电阻功率标幺值=电阻标幺值。
以电流流过电阻为例
④便于判定电机运行情况
，当 满载,过载,欠载
*
1
1
1N
I
I
I
=
*
1
1I =
*
1
1I >
*
1
1I <
例如短路阻抗 Z
k
*=0.04~0.175，
空载电流 I
0
*=0.02~0.10。
⑦ 采用标么值，某些不同的物理量具有相同的数值。
Z
k
*=U
KN
*
⑥用标么值表示，电力变压器的参数和性能指标总在一定的范围之内，便于分析比较。
3.7 变压器的运行特性
3.7.1 电压变化率
22
2
100%
N
N
UU
U
=×
20 2
2
% 100%
N
UU
U
U
Δ= ×
12
1
'
100%
N
N
UU
U
=×
变压器一次侧接额定电压，二次侧开路时，二次侧的空载电压 U
20
=U
2N
，
负载后，负载电流在变压器内部产生阻抗压降，使二次侧端电压发生变化，
其变化大小用电压调整率表示：
空载电压在给定功率因数下，带额定负载时的二次侧电压
*
2
1 U=?
简化公式,通过向量图的我们可以将电压变化率得求解公式进行简化。
*
2
1U
U
Δ=?
*
2
I?
null
**
1 k
IR
null
**
1 k
jI X
null
*
2
U?
null
*
1
U
null
O
A
P
C
D
E
*
1
1U =
UOPOAAPAEEPΔ≈? = = +
**
12
cos
k
AE I R?=
**
12
sin
k
EP CD I X?==
** *
12 2
(cos sin)
kk
UIR XΔ= +
22
(cos sin)UR XβΔ= +
β==
*
2
*
1
II
称为变压器的负载系数当 U
1
=U
1N
,cosφ
2
=常数时，我们可以作出相应的 U
2
随着
I
2
变化的 U
2
=f( I
2
)曲线：
纯电阻负载:随着负载电流增加，漏阻抗压降增加，端电压下降。
2
cos 0.8( )? = 超前
2
I
2
U
2N
U
2N
I
2
cos 0.8( )? = 滞后
2
cos 1.0? =
当是感性负载时：曲线（2）,?U为正,
此时随着负载电流的增加，端电压逐步下降。
外特性
2
cos 0.8( )? = 超前
2
I
2
U
2N
U
2N
I
2
cos 0.8( )? = 滞后
2
cos 1.0? =
当是容性负载时：
曲线（ 3）,?U为负,此时电流超前电压，所以端电压上升。
cos 0.8( )? = 超前
I
U
N
U
N
I
cos 0.8( )? = 滞后
cos 1.0? =
外特性
3.7.2 变压器的损耗和效率
1、变压器的功率关系
2222
cos?ImUP =
变压器原边从电网吸收电功率 P
1
，其中很小部分功率消耗在一次侧绕组的电阻上( p
cu1
=mI
1
2
R
1
)和铁心损耗上( p
Fe
=mI
0
2
R
m
)。其余部分通过电磁感应传给二次侧绕组，称为电磁功率P
em
。二次侧绕组获得的电磁功率中又有很小部分消耗在二次侧绕组的电阻上
(p
cu2
=mI
2
2
R
2
)，其余的传输给负载，即输出功率:
2、效率的计算：
2211
PpppP
cuFecu
+++=
21
11
100% 100%
PPp
η
∑
=× = ×
1）以按给定负载条件直接给变压器加负载，测出输出和输入有功功率就可以计算出来。这种方法称为直接负载法 。
这样，变压器的功率关系可表示如下：
所以变压器的效率为：
2）电力变压器可以应用间接法计算效率，间接法又称损耗分析法。其优点在于无需给变压器直接加负载，也无需运用等效电路计算,只要进行空载试验和短路试验，测出额定电压时的空载损耗p
0
和额定电流时的短路损耗p
kN
就可以方便地计算出任意负载下的效率。
在应用间接法求变压器的效率时通常作如下假定：
①忽略变压器空载运行时的铜耗，用额定电压下的空载损耗 p
0
来代替铁耗 p
Fe
，即 p
Fe
=p
0
，它不随负载大小而变化，称为不变损耗；
②忽略短路试验时的铁耗，用额定电流时的短路损耗 p
kN
来代替额定电流时的铜耗。但需要注意的是：
③不考虑变压器二次侧电压的变化，即认为 U
2
=U
2N
不变，这样便有
P
2
=mU
2
I
2
cosφ
2
=mU
2N
I
2N
(I
2
/I
2N
)cosφ
2
= βS
N
cos φ
2
kNcu
pp
2
β=
不同负载时的铜耗与负载系数的平方成正比，
当短路损耗 p
k
不是在 I
K
=I
N
时测的，则
p
kN
=(I
N
/I
K
)
2
p
K
以上的假定引起的误差不大（不超过 0.5％），却给计算带来很大方便，电力变压器规定都用这种方法来计算效率。
3.效率特性：
2
0
2
2 0
1
cos
kN
N
kN
p
p
p p
S
β
η
β?β
+
=?
++
上式说明，当负载的功率因数 cos φ
2
一定时，效率随负载系数而变化。图为变压器的效率曲线。
效率的公式可变为：
3.负载增加，效率η亦随之增加。超过某一负载时，因铜耗与成正比增大，效率η反而降低，最大效率η出现在的地方。因此，取η对β的导数，并令其等于零，即可求出最高效率η max时的负载系数β
m
0
d
d
η
β
=
0
m
kN
p
p
β =
1.空载时输出功率为零，所以η =0。
2.负载较小时，损耗相对较大，功率η较低。
特性分析：
0
max
2 0
2
1
cos 2
N
m
p
p
S
η
β?
=?
+
4
1
~
3
1
0
=
p
p
kN
即当不变损耗（铁耗）等于可变损耗（铜耗）时效率最大。
使铁耗较小变压器总是在额定电压下运行，但不可能长期满负载。
为了提高运行的经济性，通常设计成β
m
=0.5～ 0.6，这样，
3.8 三相变压器
——磁路、联结组和电动势波形现代电力系统都采用三相制，故三相变压器使用最广泛。但三相变压器也有其特殊的问题需要研究，
例如三相变压器的磁路系统、三相变压器绕组的连接方法和联结组、三相变压器空载电动势的波形和三相变压器的不对称运行等。变压器的并联运行放在3.9节讨论。
例题 一台单相变压器,S
N
=1000kVA,U
1N
/U
2N
=60/6.3 kV，
f
N
=50赫，空载试验（低压侧）：
U
0
=6300kV,I
0
=19.1A,P
0
=5000W；
短路试验 (高压侧 )：
U
k
=3240kV,I
k
=15.15A,P
k
=14000W；
试计算：
(1) 用标么值计算,T”形等效电路参数；
(2) 短路电压及各分量的标么值和百分值；
(3) 满载且 cosφ
2
=0.8(滞后 )时的电压变化率及效率；
(4) 当 cosφ
2
=0.8(滞后 )时的最大效率。
解,1
A
U
S
I
N
N
N
67.16
60
1000
1
1
===
A
U
S
I
N
N
N
73.158
3.6
1000
2
2
===
3.8
345.0
)
73.158
1.19
(
1000
5
)(
)(
31.8
73.158
1.19
111
2*2**
2
2
2
0
0
2*
0
*
0
*
2
0
*
0
*
=?=
====
====
mmm
N
N
m
N
m
RZX
I
I
S
P
I
P
R
I
I
I
Z
激磁参数
kW
I
I
PP
V
I
IU
U
k
N
KkN
k
Nk
kN
95.16)
15.15
67.16
(14)(
3565
15.15
67.163240
22
1
1
===
=
×
==
05693.0
01695.0
1000
95.16
0594.0
60000
3565
2*2**
**
1
**
=?=
====
====
kkk
N
kN
kNk
N
kN
kNk
RZX
S
p
pR
U
U
UZ
短路电流不是额定电流短路阻抗
0285.0
2
1
0083.0
2
1
**
2
*
1
**
2
*
1
===
===
k
k
xxx
rrr
05693.0
01695.0
0594.0
**
**
**
==
==
==
kkr
kka
kk
xU
rU
ZU
%693.5%
%695.1%
%94.5%
=
=
=
kr
ka
k
U
U
U
2,阻抗电压：
3、电压变化率为：
0478.0
)6.005693.08.001695.0(1
)sincos(
2
*
2
*
=
×+×=
+=Δβ
kk
xru
效率
(%)32.97
(%)100)
95.16158.010001
95.1615
1(
(%)100)
cos
1(
2
2
2
02
2
0
=
×
×++××
×+
=
×
++
+
=
KNN
KN
PPS
PP
β?β
β
η
4,最大效率时,负载系数为
543.0
95.16
5
0
===
KN
m
P
P
β
最大效率为
(%)75.97
(%)100)
528.01000543.0
52
1(
(%)100)
2cos
2
1(
02
0
max
=
×
×+××
×
=
×
+
=
PS
P
Nm
β
η
3.8.1 三相变压器的磁路系统三相变压器的磁路系统 可分为：
①各相磁路彼此无关——三相组式变压器
②各相磁路彼此相关——三相心式变压器两大类。
特点,1.显然各相磁路相互独立彼此无关
2.当一次侧接三相对称电源时，各相主磁通和励磁电源也是对称的。
一、各相磁路独立:
三相变压器组或组式三相变压器,如图所示特点,在这种铁心结构的变压器中，任一瞬间某一相的磁通均以其他两相铁心为回路，因此各相磁路彼此相关联。
可见，此时的各相磁通之间是相互联系的，即：
0
A BC
φφφ++=
nullnullnull
二、各相磁路相关：
可以由三相组式变压器演变过来，如图所示：
3.8.2 三相变压器的电路系统
--绕组的连接法与联结组一、绕组的端点标志与极性：
变压器的每相绕组有两个端，定义一个为首端，
另一个为末端。出线端的标志符号：
绕组名单相变压器 三相变压器首端末端 首端 末端 中点高压绕组 A X A B C X Y Z N
低压绕组 a
x
a b c
x y z
n
中压绕组
N
m
X
m C
BA
mmm
ZYX
mmm
m
A
同极性(名)端,由于变压器高、低压绕组交链着同一主磁通，当某一瞬间高压绕组的某一端为正电位时，在低压绕组上必有一个端点的电位也为正，则这两个对应的端点称为同极性端，并在对应的端点上用符号“．”标出。
注意,绕组的极性只决定于绕组的绕向，与绕组首、尾端的标志无关。 规定绕组电动势的正方向为从首端指向末端。 当同一铁心柱上高、低压绕组首端的极性相同时，其电动势相位相同，如图所示。当首端极性不同时，高、低压绕组电动势相位相反，如图：
二、单相变压器的联结组：
1、变压器的联结组：三相变压器高、低压绕组对应的 线电动势 之间的相位差，通常用时钟法来表示，称为变压器的联结组。
2、时钟法：即把高压绕组的线电动势相量作为时钟的长针，且固定指向 12的位置，对应的低压绕组的线电动势相量作为时钟的短针，其所指的钟点数就是变压器联结组的标号。
3、单相变压器的联结组号：
如图所示：对于单相变压器，当高、低压绕组电动势相位相同时，联结组为 I,I0，其中 I,I表示高、低压绕组都是单相绕组。当高、低压绕组电动势相位相反时，其联结组为 I,I6。
三、三相绕组的联结方式：
对于三相变压器，不论是高压绕组还是低压绕组，
我国主要采用 星形连接（Y连接）和三角形连接（D连接）
两种。
星形连接方式,以高压绕组为例，把三相绕组的３个末端X、Y、Z连在一起，结成中点，而把它们的三个首端A、B、C引出，便是星形连接，以符号Y表示。
三角形连接方式,如果把一相的末端和另一相首端连接起来，顺序形成一闭合电路，称为三角形连接，用D
表示。
注意：相应的是对于低压侧而言，用 y,d表示。
四、三相变压器的联结组：
1、Y，y接法三相变压器的联结组 ——高、低绕组对应线电动势之间的相位差，不仅与绕组的极性（绕法）和首末端的标志有关，而且与绕组的连接方式有关 。
A
E
B
E
C
E
AB
E
A
B
C
a
E
b
E
c
E
a
ab
E
,0Yy
A
E
B
E
C
E
AB
E
A
B
C
a
E
b
E
c
E
a
ab
E
,6Yy
当 各相绕组同铁心柱 时，Y，y接法有两种情况。
1）高、低压绕组同极性端有相同的首端标志，高、
低压绕组相电动势相位相同，则高、低压绕组对应线电动势和也同相位，其联结组为Y，y0。
2）同极性端有相异的端点标志，高、低压绕组相电动势相位相反，则对应的线电动势和相位也相反，因此其联结组为Y，y6。
若 abc顺移一个位置：
A
E
B
E
C
E
AB
E
A
B
C
c
E
a
E
b
E
a
ab
E
,4Yy
如果高低绕组的三相标记不变，将低压绕组的三相标记依次轮换，如 b→ a,c→ b,a→ c； y→ x,z→ y,x→ z，
则可得到其他联结组别，例如 Y,y4； Y,y8； Y,y10；
Y,y2等偶数联结组。
A
E
B
E
C
E
AB
E
A
B
C
a
E
b
E
c
E
a
ab
E
,11Yd
b
c
2、Y，d接法
1）高、低压绕组的相电动势均从首端指向末端，线电动势从 A指向 B；
2）相量图中 A,B,C与 a,b,c的排列顺序必须同为 顺时针 排列，即原、二次侧同为正相序。
3）同一铁心柱上的绕组（在连接图中为上下对应的绕组），首端为同极性时相电动势相位相同，首端为异极性时相电动势相位相反；
4）二次侧的标记 a,b,c顺移一位置，其钟点数 +4，反向 移一位置，其钟点数 –4。
在用相量图判断变压器的联结组时应注下几点：
5) 对于Y,y或D,d连接而言,可的0,2,4,6,8,10六个偶数的联结组号.
相对于Y,d或D,y而言,就可的1,3,5,7,9,11六个奇数的联结组号.
6）为了使用和制造上的方便,我国国家标准规定只生产下列 5种标准联结组别的电力变压器，即 Y,yn0； Y，
d11； YN,d11； YN,y0； Y,y0。其中以前 3种最为常用。对于单相变压器，标准联结组为 I,I0。
3.8.3 三相变压器空载电动势的波形
33
0
33 3
0
33 3
2sin3
2 sin3( 120 ) 2 sin3
2sin3( 240) 2sin3
A
B
C
IIt
II t It
II t It
ω
ωω
=
=?=
在分析单相变压器的空载运行时指出，由于磁路存在着饱和现象，当主磁通为正弦波时，励磁电流为尖顶波，其中除基波外还主要包含有三次谐波。但在三相变压器中，三次谐波电流在时间上相位相同。即可见，在三相中三次谐波在时间上是同相位的，所以，
它的流通与否与三相绕组的连接方式有关：
①如果三相变压器的绕组为 YN或 D接法，则三次谐波电流可以流通，各相磁化电流可以为尖顶波。
②如果三相变压器的绕组为 Y接法,则三次谐波电流不能流通，认为各相磁化电流为 正弦波 。
主磁通若不是正弦波，可以分解为基波和三次谐波，
对三次谐波：
33
0
33 3
0
33 3
sin3
sin3( 120 ) sin3
sin3( 240 ) sin3
A
B
C
t
tt
φ ω
φ ωω
φ
=Φ
=Φ? =Φ
=Φ? =Φ
大小相等，相位相同：
①三相组式变压器，各相磁路彼此无关，三次谐波磁通走铁心磁路，其磁阻较小；
②三相心式变压器，各相磁路彼此相关，三次谐波磁通被挤到铁心柱周围的气隙，通过油箱壁构成闭合磁路,其磁阻较大 ；
一、Y,y连接的三相变压器：
1．各相磁路独立的三相变压器组在这种接法里，三次谐波电流不能流通，励磁电流近似为正弦波。由于铁心的饱和现象，磁通近似为平顶波，
除基波外，还主要包含有三次谐波磁通，如图所示。但三次谐波磁通的大小决定于三相变压器的磁路系统。
三相变压器组,三次谐波磁通的磁阻小，三次谐波磁通较大，加之 f
1
=3f
3
，所以三次谐波电动势相当大，其幅值可达基波电动势幅值的 45～ 60%，导致相电动势波形严重畸变，所产生的过电压可能危害绕组的绝缘。因此,三相变压器组不能采用 Y,y连接,但在线电动势中，由于三次谐波电动势互相抵消，其波形仍为正弦波。
2,磁路彼此关联的三相心式变压器在这种磁路结构中，各相大小相等、相位相同的三次谐波磁通不能在主磁路中闭合，只能沿铁心周围的油箱壁等形成闭路，由于该磁路磁阻大，故三次谐波磁通很小，可以忽略不计，主磁通及相电动势仍可近似地看作正弦波。因此,三相心式变压器可以接成 Y,y连接
（包括 Y,yn连接） 。
但因三次谐波磁通经过油箱壁及其它铁夹件时会在其中产生涡流，引起局部发热，增加损耗。因此这种接法的三相心式变压器其容量一般不超过 1800KVA。
二、Y，d或D,y连接的三相变压器一次侧 Y连接，电流为正弦，磁通为平顶波，二次侧产生三次谐波电动势，三次谐波电流，但该三次谐波环流对原有的三次谐波磁通有强烈的去磁作用，因此磁路中实际存在的三次谐波磁通及相应的三次谐波电动势是很小的，相电动势波形仍接近正弦波。或者从全电流定律解释，作用在主磁路的磁动势为原、二次侧磁动势之和，在
Y,d连接中，由一次侧提供了磁化电流的基波分量，由二次侧提供了磁化电流的三次谐波分量，其作用与由一次侧单独提供尖顶波磁化电流是等效的。
D,y连接的变压器,三次谐波电流在一次侧流通，相电流为尖顶波，电动势为正弦波。
3.9 变压器的并联运行一、并联运行的定义是指将两台或多台变压器的一次侧和二次侧分别接在公共母线上，同时向负载供电的运行方式，如图所示二、并联运行的优点：
①可以提高供电的可靠性。
②可以根据负荷的大小调整投入并联运行变压器的台数，以提高运行效率；
③可以减少备用容量，并可随着用电量的增加，分期分批地安装新的变压器，以减少初投资。
当然，并联变压器的台数也不宜太多，因为在总容量相同的情况下，一台大容量变压器要比几台小容量变压器造价低、基建设投资少、占地面积小。
1） 空载时并联的各变压器二次侧绕组之间没有环流。
2） 带负载后各变压器的负载系数相等 。
3） 负载时各变压器对应相的电流相位相同 。
1）各变压器高、低压方的额定电压分别相等,即各变压器的变比相等；
2) 各变压器的联结组相同；
3）各变压器短路阻抗的标么值相等，且短路电抗与短路电阻之比相等。
三、变压器的理想并联运行条件,
四、并联运行的变压器必须满足以下三个条件：
上述三个条件中，条件 2﹚必须严格保证。
① 变比不相等时：在并联运行的变压器之间也会产生环流。
② 如果各变压器的联结组不同：将会在变压器的二次侧绕组所构成的回路上产生一个 很大的电压差,这样的电压差作用在变压器必然产生很大的环流（几倍于额定电 流）它将烧坏变压器的绕组，因此联结组不同的变压器绝对不能并联运行。
③ 当并联运行的变压器阻抗标么值不相等时：各并联变压器承担的负载系数将不会相等，下面分析变压器并联运行时的负载分配问题。
五、条件不满足时的情况：
在实际运行中，条件 1）和 3）可以稍有差异，但要求各并联运行的变压器其变比的差值
kΔ
不超过 1%
A B
A B
k
kk
kk
Δ=
用标幺值表示,
六、变压器并联运行时的负载分配设这两台并联运行的变压器联结组相同,变比相等,但是阻抗的标幺值不等,这样,从图可知,
2 A B
A KA B KB
I II
I ZIZ
= +
=
** **
**
**
A KA B KB
AKB
B KA
I ZIZ
IZ
IZ
=
=
设变压器负载运行时二次侧电压 U
2
=U
2N
保持不变,则负载系数,
可见,负载电流的标幺值与其短路阻抗的标幺值成反比,由于短路阻抗角相差不大,短路阻抗角的差别对并联变压器的负载分配影响不大,因此上试可以写成标量的形式,
即,
**
**
A KB
B KA
I Z
I Z
=
**
222
2
222
N
NNNN
I IU S
I S
IIUS
β == = = =
*
*
A KB
BKA
Z
Z
β
β
=
进而可以写成,
上式不难推广到多台变压器并联运行的情况,
设有 n台变压器并联运行，额定容量为 S
N1
,S
N2
,…,所带的总负荷为 S，
1
n
iNi
i
SSβ
=
=
∑
对于 j台变压器
*
*
Kj
i
j Ki
Z
Z
β
β
=
*
*
Kj
ij
Ki
Z
Z
ββ=
*
*
1
n
Kj
jNi
i
Ki
Z
SS
Z
β
=
=
∑
*
*
1
n
Ni
jKj
i
Ki
S
ZS
Z
β
=
=
∑
*
*
1
j
n
Ni
Kj
i
Ki
S
S
Z
Z
β
=
=
∑
例题,两台变压器并联运行，其数据如下：
变压器变压器求：（ 1）总负载为 450 kVA时各变压器所供给的负载；
（ 2）在不使任一台过载的情况下，变压器所能供给的最大负载。
1 320kVA,6300 / 400V,5.0%;
k
u =,
2 240kVA,6300 / 400V,5.5%;
k
u =,
解,1）设第 1台变压器的负载率为 β
1
，第 2台变压器的负载率为 β
2
，则：
1
2
22
12
5.5
5.5
5.0
320 240 450
5.0
320 240 450
β
β
ββ
ββ
=
+=
+=
212
450 450 5.5
0.7601 0.8361
5.5
592 5.0
320 240
5.0
βββ=====
+
11 2 2
320 267.6kVA,240 182.4kVA SS== = =
2）第 1台变压器先满载，设
1
1.0β =
max 1 2
320 240 538.2kVAS ββ=+ =
21
5.0
0.9091
5.5
ββ==则：
变压器所能供给的最大负载
3.10 三相变压器的不对称运行变压器在实际运行中，经常会出现三相负载不对称的情况，这样都会造成变压器的不对称运行的情况，分析不对称运行常用 对称分量法 。
不对称分量对称分量法,即把不对称的三相电压、电流分解成正序、负序和零序，分别研究它们的效果，然后迭加起来而得到最后结果。
对称分量分别计算效果叠加适合于线性系统
3.10.1 对称分量法三相系统的对称分量
2
A
B
C
II
IaI
IaI
=
=
=
nullnull
nullnull
nullnull
+B
I
null
+A
I
null
+C
I
null
正序分量
0B
I
null
0A
I
null
0C
I
null
零序分量
2
A
B
C
II
IaI
IaI
++
++
++
=
=
=
nullnull
nullnull
nullnull
2
3
13
22
j
ae j
π
==?+
0000
IIII
CBA
nullnullnullnull
===
负序分量
B
I
null
A
I
null
C
I
null
2
3
13
22
j
ae j
π
==?+
是一个算子是一个算子
,
a
相量乘以相量乘以
，将使此相量逆时针旋转
，将使此相量逆时针旋转
a
0
120
00
2
2
00
AA A A
BB B B
CC C C
II I I III
II I I aIaII
II I I aIaII
+? +?
+? +?
+? +?
=++= +
=++= ++
=++= +
nullnull null null nullnullnull
nullnull null null null nullnull
nullnull null null null nullnull
3
2
1
10
α
αα
=
++ =
2
2
0
111
1
1
A
B
C
II
IaaI
IaaI
+
=
nullnull
nullnull
nullnull
不对称分量的分解：
2
2
0
111
1
1
A
B
C
II
IaaI
IaaI
+
=
nullnull
nullnull
nullnull
2
2
0
1
1
1
3
11 1
A
B
C
IaaI
II
+
=
nullnull
nullnull
nullnull
正序阻抗,正序电流所遇到的阻抗称为正序阻抗。而所谓的正序电流是大小相等、相位彼此相差120
0
的三相对称系统,其阻抗为 Z
+
=R
k
+jX
k
负序阻抗,负序电流所遇到的阻抗称为负序阻抗。它和正序阻抗之间的区别仅在于如果正序是从A-B-C，而负序就是从A-C-B，因此负序系统的等效电路和负序阻抗与正序系统相同，即Z-= Z
+
=Z
K
。
3.10.2 三相变压器各相序阻抗和等效电路一、正序阻抗、负序阻抗及其等效电路：
由此可见，如果以知三相不对称电压，我们就可以根据上式求出其对称分量，反之，亦然。以上分析同样适用与电流,如图所示:
二、零序阻抗及其等效电路:
1.绕组连接方式的影响:
①对于Y接,三相同相位的零序电流不能流通,因此在零序等效电路中,Y接的一侧电路是开路的,即从该侧看进去 Z
0
=∞
零序电流,零序电流遇到的阻抗称之为零序阻抗,零序阻抗比较复杂,它不仅和三相变压器绕组的连接方式有关,
还和磁路的结构有关,
②对于 Y
N
接,三相零序电流可以流通,因此零序等效电路中 Y
N
一侧应为通路,
③如为 D接,则三相零序电流可在 D连接的绕组内流通,但从外电路看进去,即没有电流流出,也没有电流流入,所以,
从外部看进去应是开路,D连接一侧相当于变压器内部短路,D连接一侧有无零序电流，取决于另一侧，另一侧有零序电流，则 D接侧也有零序电流。
2.磁路结构的影响：
对于三相变压器组，各相磁路独立，零序电流产生的三相同相位的零序磁通可沿各相自己的铁心闭和，其磁路为主磁路，因此：
对于三相心式变压器，各磁路相互关联，不能沿铁心闭和，只能沿油箱壁闭和，其磁阻大，因而 Z
m0
比较小。
0mmm m
ZZRjX==+
3.零序阻抗的测定：
Y
N
,d和 D,y
n
接法的三相变压器 Z
0
=Z
k
，无须另行测量。
Y,yn接法的 Z0的测量方法则是：
把二次侧三个绕组首尾串联接到单相电源上，以模拟零序电流和零序磁通的流通情况，一次侧开路，如图所示。
测量电压 U、电流 I和功率 P，则从二次侧看的零序阻抗为：
00
2
22
000
,
33
UP
ZR
II
X ZR
==
=?
对于 Y
N
,y连接的三相变压器，将一次侧绕组串联，
二次侧绕组开路，便可测出从一次侧看的零序阻抗。
3.10.3 三相变压器Y，yn连接时的单相运行作为对称分量法的应用举例，只分析在外加对称三相电压时三相变压器 Y,yn连接的单相运行。如图所示,
将二次侧电流分解为对称分量,
0
a
bc
L
II
II
UIZ
=
==
=
2
2
0
11
(
)
33
(
)
11
(
)
33
a
a
a
aa
c
ab
aa
c
ab
c
ab
I
II
I
I
I
II
I
I
I
II
I
I
+
=++ =
=++=
=++=
为简单起见，将一次侧各量折算到二次侧，且不加折算号,ˊ,。这样我们可以得到,
由于一次侧为 Y接,相电流只有正序分量和负序分量,
在忽略激磁电流的情况下,一次侧折算电流
2
2
2
()
3
1
()
3
1
()
3
AA A a a
BB B a a
CC C a a
II I I I I
I II I I I
I II I I I
αα
αα
+? +?
+? +?
+? +?
=+=? =?
=+=? =?
=+=? =?
,
A aA a
I II I
++
=? =?
下面分析各电压分量,由于外加电压为对称系统，故只有正序电压,,,而没有负序和零序分量。但由于负载电流不对称，在二次侧会产生负序和零序电流及相应的磁通，它们会在一次侧、二次侧绕阻中产生负序电压和零序电压。
U
A
null
U
B
null
U
C
null
I
A
null
I
B
null
I
C
null
一次侧中的负序电流,,能以电源为回路。
由于原，二次侧负序电流产生的磁动势平衡，负序压降仅为负序漏阻抗压降，其值不大。
零序的情况则不相同，由于零序电流只能在二次侧流通，在一次侧电路中虽有零序电动势，却无零序电流。因此二次侧的零序电流全部为励磁电流，一次侧的零序电压即为零序电动势。
0002
000
aAak
aak
aaa
aam
UUIZ
UIZ
UEIZ
EIZ
+++
= +
=
=?+
=?
如图所示,
各相序电压平衡方程式为,
A
U
+
null
k
R
k
X
A
I
+
null
a
U
+
null
a
I
+
k
R
k
X
a
U
null
a
I
1
Z
2
Z
a
U
null
0a
I
m
Z
0a
E
0aaaaL
UUUUIZ
+?
++==
0
1
3
aaa
I II I
+?
===
由此可的电压表达式,
02
111 1
333 3
A kkm L
UIZIZIZIZIZ
+
+++ +=?
式中参数 Z
K
,Z
2
和 Z
m0
为已知,电源电压,负载阻抗也为已知,
这样便可求出各相序的电流和负载电流,
02
21 1
33 3
A
km L
U
I
ZZ ZZ
+
=?
+++
如果将 Z
K
和 Z
2
忽略，则,
0
1
3
A
mL
U
I
ZZ
+
=?
+
①三相心式变压器：由于零序磁通遇到的磁阻较大，
Z
m0
较小，因此只要适当限制中线电流，这种结构的三相变压器可以带一相到中点的负载。
②三相变压器组：零序磁通所遇到的磁阻小,Z
m0
≈ Z
m+
较大，负载电流的大小主要受 Z
m0
的限制，即使负载阻抗 Z
L
很小，负载电流也大不起来。在极端的情况下，如一相发生短路,Z
L
=0，则
0
1
3
A
mL
U
I
ZZ
+
=?
+
由此可见，负载电流的大小和零序激磁阻抗有很大的关系，而 Z
mo
的大小和变压器的磁路结构有关：
即短路电流仅为正常激磁电流的 3倍。
0
0
3
3
A
m
U
II
Z
+
=? ≈?
忽略 Z
K
和 Z
2
后,一次侧和二次侧相电压相等,
这样,就可以作出简化向量图,
3.10.4 中点移动现象
00
0
aA
a
aa
UU
U
UE
++
=
=
=?
0
0
0
aA a
bB a
cC a
UU E
UU E
UU E
+
+
+
=?
=?
=?
3式相加，得
0
0
0
aA a
bB a
cC a
UU E
UU E
UU E
+
+
+
=?
=?
=?
0
1
3
A
mL
U
I
ZZ
+
=
+
A
U
+
B
U
+
C
U
+
0a
E?
I?
a
U?
b
U?
c
U?
O
′
O
可见，尽管外加线电压对称，当二次侧接单相负载后，在每相上叠加有零序电动势，造成相电压不对称。在相量图中表现为相电压中点偏离了线电压三角形的几何中心，这种现象称为,中点偏移,。中点浮动的程度取决于
E
a0
，而 E
a0
又取决于零序电流的大小和磁路结构。
如果是 三相心式变压器,由于零序磁通遇到的磁阻较大,Z
m0
较小，因此只要适当 限制中线电流，则 E
a0
不致太大，所造成的相电压偏移不大。负载电流的大小主要决定于负载阻抗 Z
L
，因此这种结构的三相变压器可以带一相到中点的负载。
如为 三相变压器组,零序磁通所遇到的磁阻小，很小的零序电流就会产生很大的零序电动势，造成中点浮动较大，相电压严重不对称。当 Z
L
=0时，短路电流仅为正常激磁电流的 3倍。但此时 Ua＝ 0,Ea0＝ U
A
，使其余两相电压提高到原来的 倍，这是很危险的。 因此三相变压器组不能接成 Y,yn联结组。
3
3.11 变压器的瞬变过程在实际运行中，有时会受到外界因素的急剧扰动，如负载突然变化、空载合闸到电源、二次侧突然短路及过电压冲击 等,原来的稳定运行状态必然遭到破坏，各电磁量要经历一个急剧的变化过程才能达到新的稳定运行状态。
这种从一种稳定运行状态过渡到另一种稳定运行状态的过程，称为瞬变过程。
3.11.1 变压器空载合闸时的瞬变过程变压器副边开路空载，原边合闸接到电源称为空载合闸设稳态空载运行时不考虑铁心饱和问题
k
2
N
1
N
0
i
1
u
Φ
null
当时间 t=0时空载合闸,则电源电压为：
()
11 0
2UUSintaω=+
—合闸时电压的初相角
0
α
1
U
null
()
1011 0
2sin
t
d
NirUta
dt
ω
Φ
+= +
1
0
1
t
N
i
L
Φ
=
()
1
11 1 0
1
2
t
t
d r
NN USinta
dt L
ω
Φ
∴+Φ= +
瞬变过程中励磁电流 与电感 的关系：
∵
1
L
0
i
解常系数非齐次微分方程得：
()
1
1
0
r
t
L
tm
Sin t a ceωθ
Φ=Φ +? +
10
1
1
90
L
tg
r
ω
θ =≈
－
—磁通与电源电压的相位差
θ
合闸后微分方程式为：
()
1
1
0
cos
r
t
L
tph m
ta ceω
Φ=Φ +Φ=?Φ + +
设合闸时（ t=0），铁心中没有剩磁（ ）：
0
0
t=
Φ=
1.当电源电压初相位角 时合闸：
0
0
90α =
()
0
cos 90 sin
tm m
ttωωΦ=?Φ + =Φ
合闸后就进入稳定状态，不发生瞬整过程
tω
,φ
0
φ
1
u
u
2.当电源电压初相位角 时合闸：
0
0
0α =
1
1
cos
r
t
L
tm m
teω
Φ=?Φ +Φ
自由分量是直流指数衰减量,时 最大，当 时，稳整分量与暂整分量相加可达
2
m
Φ
0t =
m
Φ
0
180tω =
tω
φ
0
p
φ
h
φ
t
φ
1
u
当已知变压器空载接通电源其磁通随时间变化关系后，可根据磁化特性曲线找出相应的励磁电流。
变压器正常运行时，磁路设计得已经有点饱和，若在最不利的空载接通电源，磁通可能超过两倍的,铁心非常饱和，励磁电流 很大，可达额定电流的 3-5倍。
m
Φ
0m
i
m
Φ
2
m
Φ
0
t
Φ
0
i
0m
i
0
i
在变压器空载接通电源的过程中，随着自由分量磁通的衰减，励磁电流也要衰减，衰减的时间常数为：
一般小型变压器衰减得快，约几个周波即可达到稳态，大型的变压器衰减得慢一些，有时可达十几秒。
1
1
L
T
R
=
tω
0
om
i
1
i
空载合闸电流对变压器本身没有多大危害，但若衰减较慢时，可能引起过电流保护装置动作而跳闸。为了避免这种情况，在变压器原边串一个附加电阻，这样可减少冲击量，也可使冲击迅速衰减，合闸完毕，再将该电阻切除。
由于三相变压器三相互差 120
0
，相位总会在合闸时有一相初相位接近于零，总会有一相电流较大。
结论：
3.11.2 突然短路变压器稳态短路电流已经是额定电流的十几倍到二十几倍左右，突然短路电流比稳态电流还要大，同时产生的冲击电流会使机械力增大。
三相变压器故障短路各种各样：一相接地、
两相短路、两相接地、三相短路等。
为了简单，此图仅分析单相变压器突然短路的情况。
当变压器一次绕组接额定电压,二次绕组发生突然短路，原,T,形等效电路 可简化为,一,形等效电路。
1
U
0
I
null
m
R
m
jX
'
12
E E=
nullnull
1
I
null
1
R
1
jX
1
U
null
'
2
R
'
2
jX
2
I
′
null
由于 使磁路不饱和，电感可为常数，所以可用一次电流表示微分方程：
//
11 2 2 1
IZ IZ U+=?
nullnull null
1
10
sin( )
kkim
di
LiRU t
dt
ωα+= +
k
k
X
L
ω
=
1
I
null
1
R
1
jX
1
U
null
'
2
R
'
2
jX
/
12k
X XX
σσ
=+
— 短路电抗
/
12k
RRR=+
— 短路电阻虽然突然短路前可能已带上负载，但负载电流比起短路电流很小，可忽略不计。
设时，
0t =
1
0i =
11~1
ii i
=
=+
1
1
0
22
1
1
0
22
sin( tan )
()
sin( tan )
()
k
k
mk
k
kk
R
t
L
mk
k
kk
UL
t
R
RL
UL
e
R
RL
ω
ωα
ω
ω
α
ω
+
+
1
tan
2
k
k
L
R
ω π
≈
∴
10 0
2 [(cos ) cos( )]
K
K
R
t
L
k
iI e tαωα
=
kk
R L<<
∵
大型变压器大型变压器
1 1
22
2
m
k
k
kk
U U
I
Z
RX
==
+
其中：
其中：
当 时发生突然短路：
0
0
0α =
1
2( cos )
K
K
R
t
L
k
iIe tω
=?
1max
2( cos)
(1 ) 2 2
K
K
K
K
R
L
k
R
L
kkk
iIe
eIKI
π
ω
π
ω
π
=?
=+ =
1
K
K
R
L
k
Ke
π
ω
=+
其中：
当 时 为最大值：
t
π
ω
=
1
i
11
~,1.2 ~ 1.3
23
k
k
k
R
K
Lω
==
11
~,1.7 ~ 1.8
10 15
k
k
k
R
K
Lω
==
1max 1
*
1
2
kN
k
iK I
Z
=
对于小容量变压器：
对于小容量变压器：
若采用短路阻抗标幺值表示，则为：
例题,有一台 60000千伏安,220/11千伏,Y,d（ Y/Δ）
接线的三相变压器，,求：
①高压侧稳态短路电流值及为额定电流的倍数；
②最不利情况下发生突然短路，最大短路电流是多少？
072.0,008.0
**
==
kk
XR
解：一次侧额定电流短路电流标么值短路阻抗标么值
A
U
S
I
N
N
N
46.157
102203
1060000
3
3
3
1
1
=
××
×
==
07244.0008.0072.0
22
2
*
2
**
=+=+=
KKK
xrz
8.13
07244.0
11/
*
*
======
KK
N
N
KN
N
K
K
zz
z
I
zU
I
I
I
AIII
NKK
95.217246.1578.13
1
*
=×==
短路电流有名值
2) 6000kVA属大容量变压器 8.17.1?=
y
K
最大短路电流：
*
*
*
max
1
Ky
K
yK
IK
z
Ki ==
A
IIKIii
NKyNKK
42.5531~12.5224
46.1578.13)8.1~7.1(2
22
1
*
1
*
maxmax
=
×××=
==
1
K
K
R
L
y
Ke
π
ω
=+
或：
3.12 三绕组变压器三绕组变压器有高、中、低三个绕组，大多用于二次需要两种不同电压的电力系统。
1
u
1
e
1
i
m
φ
2
e
2
u?
2
i?
3
e
3
u?
3
i?
三绕组变压器每个心柱上套有三个绕组，三个绕组的容量可相等。也可不相等，容量最大的规定为三绕组变压器的额定容量。
三绕组变压器第三绕组常常接成三角形联结，供电给附近较低电压的配电线路，有时仅接同步补偿机和电容器（补偿功率因数），也有第三绕组并不引出，专供三次谐波激磁电流形成通路，以改善电势波形和减少不对称运行时负载中点位移。
1,三绕组变压器的基本方程式和等值电路设一、二、三绕组匝数分别为
321
,,NNN
变比的定义：
112
12 13 23
233
,,
NNN
kkk===
磁动势：
111
F NI=
一次侧绕组：
22233
,F NI F NI==
二次侧绕组：
11 2 2 33 1mm
F NI NI NI NI=+ + =
磁动势平衡：
转化为电流形式：
123 m
I III
′′
++=
其中：
2 2 12 3 3 13
/,/I IkI Ik
′′
==
忽略激磁电流：
123
0III
′′
++=
磁通和电动势：
111
222
333
F NI
F NI
F NI
=
=
=
m
F
主磁通
m
Φ
主电动势
123
,,EEE
自漏磁
123
,,
σσσ
ΦΦΦ
漏电势互漏磁
12 23 31
,,
σσσ
ΦΦΦ
互漏电势自感电动势互感电动势
11 11 1
EjLIω=?
22 22 2
EjLIω=?
33 33 3
EjLIω=?
12 12 2
13 13 3
E jMI
E jMI
ω
ω
=?
=?
21 12 1
23 23 3
E jMI
E jMI
ω
ω
=?
=?
31 13 1
32 23 2
E jMI
E jMI
ω
ω
=?
=?
11112131
21222
3132333
E LMMI
E jM L M I
E MM L I
ω
=?
写成矩阵形式：
即
11112131
2 1222232
3132333
E XXXI
E jX X X I
E XXXI
=?
电动势平衡
111
2222
3333
UEIR
UEIR
UEIR
=? +
=?+
=?+
折算到一次侧：
11112131
2 1222232
3132333
E XXXI
E jX X X I
E XXXI
′′
′′′′′
=?
′′′′′
电动势平衡
111
2222
3333
UEIR
UEIR
UEIR
=? +
′′′
=?+
′′′
=?+
即
1 1 11 12 13 1
2 12 2 22 23 2
31323333
(1)
(2)
(3)
U R jX jX jX I
U jX R jX jX I
UjX jXRjXI
′′
+
′′ ′′′
= +
′′ ′ ′′
+
1 2 123 123 1 213 213 2
()( )( )UURjXIRjXI
′′
= +? +
（ 1）－（ 2），且
312
()I II
′′
=? +
1 3 123 123 1 312 312 3
()( )( )UURjXIRjXI = +? +
（ 1）－（ 3），且
213
()I II
′′
=? +
等效电路：
m
R
m
X
1
U
null
123
R
123
X
213
R
213
X
312
R
312
X
2
U
′
null
3
U
′
null
1
I
null
3
I
′
null
2
I
′
null
考虑激磁：
由于忽略了励磁电流，等效电路中的感抗都具有漏电抗性质，它们是不变的常数，但每一个感抗都由该绕组的自感以及三个绕组之间的互感组合而成，所以在三绕组变压器中，两个二次绕组之间是相互影响的，任何一二次绕组端电压的变化不仅决定于本绕组负载电流的大小及功率因数，而且还与另一个二次绕组负载电流的大小及功率因数有关。
2,三绕组变压器参数测定三绕组变压器的等效电路参数可以用三次短路试验来确定，每次短路试验在两个绕组之间进行，第三绕组开路。此时试验完全相当于双绕组变压器的短路试验。
第 1 次,绕组 2 短路，绕组 3 开路，在绕组 1 上施加低电压，测得短路阻 Z
k12
,Z
k12
=Z
123
+Z
213
。
k
U
null
123
R
123
X
213
R
213
X
312
R
312
X
1
I
null
3
I
′
null
Z
k12
第 2次：绕组 3短路，绕组 2开路，在绕组 1上施加低电压，测得短路阻抗 Z
k13
=Z
123
+Z
312
。
k
U
null
123
R
123
X
213
R
213
X
312
R
312
X
1
I
null
Z
k13
第 3 次：绕组 3 短路，绕组 1 开路，在绕组 2 上施加低电压，测得短路阻抗 Z
k23
=Z
213
+Z
312
。
k
U
null
123
R
123
X
213
R
213
X
312
R
312
X
1
I
null
Z
k23
由 Z
k12
,Z
k13
,Z
k23
可求得 Z
123
,Z
213
,Z
312
分别为
12 13
123
12 23
213
13 23
23
13
12
312
2
2
2
kk
k
k
k
k
k
kk
ZZ
Z
ZZ
Z
Z
ZZ
Z
Z
Z
+
=
+
=
++
=
3.13 自耦变压器自耦变压器的原理如图所示，它的一次、二次共用一部分绕组。在电力系统中，自耦变压器主要用于联接额定电压相差不大的两个电网，例如 220/110kV两个电网就可用自耦变压器联接。与普通双绕组变压器相比，同容量的自耦变压器材料消耗要少得多，体积要小得多，在电力系统中应用很广。
3.13.1 电压、电流、容量关系
11
12
22
2
aNaN
A
aNaN
NN
U E
k
N
U E
+
≈= =
如图所示，在分析时我们可忽略自耦变压器的漏磁通和绕组电阻，这样我们可以得到以下等式：
k
A
,自耦变压器的变比。对于降压变压器,k
A
＞ 1,
k
A
=k+1,k=N
1
/N
2
为原来双绕组变压器的变比。
112 1
22
1
(1 )
1
aN N N N
A
aN N
UUU U
k
UU
=+=+
=
若忽略励磁电流，则有：
11 2 2
0NI NI+=
2
122 2
1
11
1
A
N
I II I
Nkk
=? =? =?
电流关系：
对于 a 点，电流平衡方程式为
2212
1
(1 )
1
a
A
IIII
k
=?= +
表明,I
2a
与 I
2
同相位且 I
2a
> I
2
负载时磁动势平衡关系为：
11 2 2 1m
NI NI NI+=
自耦变压器的额定容量为,
11 11
1
(1 )
1
aN aN aN N N
A
SUI UI
k
==+
22 2 2
1
(1 )
1
aN aN aN N N
A
SUI U I
k
==+
或：
11 2 2NNN NN
SUI UI==
1
(1 )
1
aN N N N
A
SSS
k
′
=+ = +
则有：
S
N
它对应于以串联绕组 (N
1
)为一次侧，以公共绕组 (N
2
)
为二次侧的一个双绕组变压器通过电磁感应而传递给二次侧负载的容量，称为 电磁容量,它决定了变压器的主要尺寸、材料消耗，是变压器设计的依据，亦称为 计算容量 。
1
(1 )
1
aN N N N
A
SSS
k
′
=+ = +
与此容量相对应的是一次侧电流 I
1N
直接传导给负载，称为 传导容量,
N
S
′
计算自耦变压器容量 S
N
与额定容量 S
aN
之间的关系，为
1
(1 )
NaN
A
SS
k
=?
自耦变压器的计算容量比额定容量小，当 k
A
越接近
1，自耦变压器优点就越显著，因此自耦变压器适用于一、
二次侧电压相差不大的场合，一般 k
A
≤ 2。
3.13.2 短路阻抗、电压平衡方程式自耦变压器在做短路试验时，将二次侧 ax短路，在一次侧 AX施加电压 Uk，如图所示。上述试验相当于以 Aa为一次侧绕组,ax为二次侧绕组的双绕组变压器在进行短路试验。
1
U
null
k
Z
1
N
2
N
1a
U
null
1
N
2
N
ka
Z
kka
Z Z=
但标幺值：对于双绕组变压器
*
1
11 1
/
kNk
k
NN N
ZIZ
Z
UI U
==
对于自耦变压器
**
1
11
1
1
(1 )
1
/
(1 )
1
ka N k
ka k
aN aN A
N
A
ZIZ
ZZ
UI k
U
k
== =?
+
由此可见，自耦变压器的短路阻抗标幺值小于相应的双绕组变压器的短路阻抗标幺值，自耦变压器短路时有更大的短路电流。
自耦变压器的简化等效电路,
1a
U
null
k
R
k
X
2a
U
′
null
1a
I
null
自耦变压器的电动势平衡：
121aaaka
UUIZ
′
=? +
优点,由于自耦变压器的绕组容量小于额定容量，
当额定容量相同时，自耦变压器与双绕组变压器相比，其单位容量所消耗的材料少、变压器的体积小、
造价低，而且铜耗和铁耗也小，因而效率高。这就是自耦变压器的主要优点。
3.13.3 自耦变压器的特点缺点：
①由于自耦变压器 Ax/ax 短路阻抗的标幺值比构成它的双绕组变压器 Aa/ax 短路阻抗标幺值小，故短路电流大，突然短路时电动力大，必须加强机械结构。
②由于自耦变压器一次侧、二次侧绕组之间有直接电的联系，为了防止因高压边单相接地故障而引起低压边的过电压，用在电力系统中的三相自耦变压器中性点必须可靠接地。同样，由于一次侧、二次侧绕组之间有直接电的联系，当高压边遭受过电压时，会引起低压边严重过电压，为避免这种危险，需要在原、二次侧都装设避雷器。
3.14 电压互感器和电流互感器
①与小量程的标准化电压表和电流表配合测量高电压、
大电流；
②使测量回路与被测回路隔离，以保障工作人员和测试设备的安全；
③为各类继电保护和控制系统提供控制信号。
电压互感器和电流互感器又称 仪用互感器,是电力系统中使用的测量设备，其工作原理与变压器基本相同。
使用互感器的目的是：
我国规程规定，电流互感器二次侧额定电流为 5A
或 1A，电压互感器额定电压为 100V 或 V。
100/ 3
3.14.1 电流互感器左图是电流互感器的接线图，
它的一次侧绕组由 1 匝或几匝截面较大的导线构成，串联在需要测量电流的电路中；二次侧匝数较多，导线截面较小，
并与负载 (阻抗很小的仪表 )接成闭合回路，因此电流互感器正常运行时相当于变压器短路。
0
221
.
1
=+ NINI
null
式中,k
i
为电流互感器的变流比，显然，当测量出 I
2
后，
被测电流 I
1
=K
i
I
2
1,电流互感器工作原理由于设计磁密很低,Bm＜ 0.2T,将励磁电流忽略，根据磁动势平衡关系：
在实际中,由于励磁电流和漏阻抗的影响，电流互感器也存在着误差。
.
2
.
2
1
2
.
1
IkI
N
N
I
i
=?=
①在运行过程中绝对不允许二次侧开路 。 这是因为电流互感器的一次侧电流是由被测试的电路决定的，在正常运行时，电流互感器的二次侧相当于短路，二次侧电流有强烈的去磁作用，即二次侧的磁动势近似与一次侧的磁动势大小相等、方向相反，因而产生铁心中的磁通所需的合成磁动势和相应的励磁电流很小。
2,电流互感器在使用时应注意：
若二次侧开路，则一次侧电流全部成为励磁电流，使铁心中的磁通增大，铁心过分饱和，铁耗急剧增大，引起互感器发热。同时因二次侧绕组匝数很多，将会感应出危险的高电压，危及操作人员和测量设备的安全；
②二次侧应可靠接地；
③二次侧回路阻抗不应超过规定值，以免增大误差。
3.14.2 电压互感器
k
N
N
U
U
==
2
1
2
1
这样，被测电压,
U
1
=kU
2
下图是电压互感器的接线图，一次侧直接并联在被测高压两端，二次侧接电压表、电压传感器等。由于这些负载都是高阻抗的，所以电压互感器运行时相当于变压器的空载运行。设计时选用优质硅钢片,Bm=1.0T～
1.2T，让磁路不饱和，并忽略漏阻阻抗压降，则在使用电压互感器时应注意：
① 二次侧不允许短路，否则会产生很大的短路电流，烧坏互感器的绕组；
② 二次侧应可靠接地；
③ 二次侧接入的阻抗不得小于规定值，以减小误差。
(1)比值误差。 U
2
对于 U
1
的相对误差是比值误差，它主要决定于一次、二次侧的漏抗压降。我国对测量用电压互感器规定有 0.2,0.5 两个级别。
(2) 相角差。二次侧电压折算到一次侧并反相位得到 U
2
，
相对于一次侧电压 U1有一个角差，称为相角差，它由励磁电流、漏阻抗产生。
