平面的投影平面表示法一,用几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；
一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形 。
二,平面的迹线表示法平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。
一、用几何元素表示平面
b?
a?
a
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
b?
a?
a
c?
b
c
二,平面的迹线表示法
PPV
PH
PV
PH
QV
QHQ
H
QV
Q
平面的投影特性二，平面对 三 个投影面的投影特性
(1)平面平行于投影面 ----反映实形
（ 2）平面垂直于投影面 -----积聚成一条直线
（ 3）平面倾斜于投影面 -----类似形一，平面对 一 个投影面的投影特性三种位置情况：投影面垂直面，投影面平行面，一般位置平面投影面垂直面的投影特性
1．铅垂面投影特性 (1) abc积聚为一条线
(2)? a?b?c?,? a?b?c?为?ABC的类似形
(3) abc与 OX,OY的夹角 反映?,?角的真实大小
a'
b'
a"
b
a
b"
c
c"c'
铅垂面的迹线表示法
PH
投影特性 (1) a?b?c? 积聚为一条线
(2)? abc,? a?b?c?为? ABC的类似形
(3) a?b?c?与 OX,OZ的夹角 反映 α,? 角的真实大小
2．正垂面
a′
b′
c′
a
b
c
a″
b″
c″
α
γQV
正垂面的迹线表示法
3．侧垂面投影特性 (1) a?b?c?积聚为一条线
(2)? abc,? a?b?c?为? ABC的类似形
(3) a?b?c?与 OZ,OY的夹角 反映 α,β角的真实大小
a′
b′
c′
c
a
b
a″
b″
c″α
Z
X O
Y
Sw
Yα
β
侧垂面的迹线表示法
1．水平面投影特性：
(1) a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线，具有积聚性
(2) 水平投影? abc反映? ABC实形投影面平行面的投影特性
c
a? b' b"
b
a
a"c? c"
2．正平面投影特性：
(1) abc,a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
(2) 正平面投影? a?b?c?反映? ABC实形
c"
a"
b"b'
a'
c'
bca
投影特性：
(1) abc,a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
(2) 侧平面投影? a?b?c? 反映? ABC实形
3．侧平面
b"
a'
b'
b
a"
c' c"
c
a
一般位置平面投影特性
(1)? abc,? a?b?c?,? a?b?c? 均为? ABC的类似形
(2) 不反映?,?,? 的真实角度
a"a'
b'
b"c' c"
b
a
c
平面按位置分共有三类七种,
1,垂直面
2,平行面
3,一般位置平面铅垂面正垂面侧垂面正平面水平面侧平面平面上的点和直线
1,平面上取点和直线定点先定线 取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线作线先找点 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
[例题 ]已知三角形 ABC上一点 M的正面投影 m′,求作其水平投影
m′
a′ b′
c′
a
b
c
1′
2′
1 2
m
注意,有时点 M的投影不一定正好在三角形的投影范围内
[例题 ] 已知? ABC给定一平面，试判断点 D是否属于该平面。
d′
a′ b′
c′
a
b
c
d
b
b?
a
a?
e
f
f?
e?
PH
Pv
在垂直面上取点取线
2,平面上投影面的平行线问题,在一般位置平面上可不可以作出 正平线? 有多少条?
一般位置平面上的 水平线一般位置平面上的 侧平线平面上 投影面的平行线 的一般规律平面上的投影面的平行线既有平面上直线 的投影特性，又有平行线的投影特性；
a′
b′
c′
c
b
a
[例 ]过点 A在平面 ABC上作水平线和正平线
1′
1
2
2′
[例题 ] 已知点 E 在?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V 面 10，试求点
E的投影 。
m
n
m' n'
r s
r'
s'
10
15
e'
e
a′
b′
c′
c
a
b
过点、直线作平面
1，过已知点作平面可作无数多个，根据表示法不同，可作成的形式也各不相同。
2，过已知直线作平面
1）过一般位置直线 可以作多少个平面？
2）过一般位置直线 可不可以作投影面的平行面？可不可以作投影面的垂直面？
3）过垂直线可以作投影面的垂直面，可不可以作投影面的平行面？可不可以作一般位置平面？
4）过两条互相平行的一般位置直线可以作投影面的平行面吗？
垂直面呢？一般位置平面呢？
过一般位置直线作投影面的垂直面
(几何元素表示法 )
m'
n
n'
m
过一般位置直线作投影面的垂直面
(迹线表示法 )
b"
a"
SV QW
PH
a’
b’
a
b
垂直面上圆的投影特性当圆面呈水平面的情形：两个投影是直线，
一个是圆当圆面呈正垂面的情形两个投影是椭圆，
一个是直线注意圆中两条直径，分别处在什么位置？
作图步骤：
o′
o
o″
f′
e′
f e
f″
e″
a
b
a′b′ b″ a″
直线、平面间相互位置关系一、平行
1，直线与平面平行几何依据：立体几何原理,若一直线平行于一平面中一条直线,则该直线与平面平行 。 反之,若一直线平行于一平面,则在平面内必可找到一直线与该直线平行 。
有关线,面平行的作图问题有：
1,判别已知线面是否平行；
2,作直线与已知平面平行；
3,包含已知直线作平面与另一已知直线平行 。
[例题 1] 试判断直线 AB是否平行于定平面
f
g?
f?
g
结论：直线 AB不平行于定平面
a′
b′
a
b
[例题 2] 试过点 K作水平线 AB平行于 ΔCDE平面
b? a?
a
f?
f
b
c′
d′
e′
e
d
c
k
k′
[例题 3] 试过点 C作平面平行于已知直线
c′
c
2，平面与平面平行几何依据：立体几何定理，如果一平面上相交两直线对应地平行于另一平面上相交两直线，那么该两平面相平行。
两面平行的作图问题有：
1，判别两已知平面是否相互平行；
2，过一点作一平面与已知平面平行；
3，已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。
[例题 1] 试判断两平面是否平行
m?
n?
m
n
r?
r
s
s?
结论：两平面平行
a′
b′
d′c′
a
b
c
e
e′
f′
d
f
[例题 2] 已知定平面由平行两直线 AB和 CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平面 。
e
m? n?
m
n
f? e?
f s
r?
s?
r
k?
k
a′
b′
d′
c′
a
b
c
d
二、相交
1，直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点,它是直线和平面的共有点,它既属于直线,又属于平面主要问题有：
1）一般位置直线与特殊位置平面相交；
2）特殊位置直线与一般位置平面相交；
3）一般位置直线与一般位置平面相交
b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n
n?
k
k?
直线 MN为一般位置直线；平面
ABC为铅垂面；
可利用平面投影的特殊性来求交点判别可见性
1
2
1′(2′)
1,利用平面的特殊性，可见性可直接判断出来。
2,利用重影点
m?
m
n
n?
直线 MN为一般位置直线；
平面为铅垂面 (用迹线表示时 )
PH
k
k′
( )
k
2
1
k'
2'1'
特殊位置直线与一般位置平面相交
e′
d′
d
e
k
k′
b′
a′
c′
a
b
c
m
m’
n′
n
Pv
一般位置直线与一般位置平面相交
2，平面与平面相交平面与平面相交产生交线,它是两平面的共有线,直线上的所有点都同时属于两平面，欲确定这条直线，只需确定其两点，即找出两平面的两个共有点即可。
主要问题有：
1）一般位置平面与特殊位置平面相交；
2）一般位置平面与一般位置平面相交
n
l
m
m?
l?
n?
b a
c
c?
a?
b?
f
k
f?
k?
一般位置平面与特殊位置平面相交判别可见性后的结果一般位置平面与特殊位置平面相交
(当平面用迹线表示时 )
n
l
m
m?
l?
n?
f
k
f?
k?
PH
两一般位置平面相交，求交线步骤：
1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点 K、
E。
l
l?
n
m
m?
n?PV
QV
1?
2?
2
1
k?
k
e’
e
2．连接两个共有点，画出交线 KE。
a
b′
c′
a′
b
c’
3.判别可见性
3′
3
★
[例题 ] 试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线 EF相交 。
a′
b′
c′
a
b
c
e′
f′
e
f
k′
k
提示：过已知点 K作平面 P平行 于? ABC；直线 EF与平面 P交于
H；连接 KH,KH即为所求。
三、垂直
1，直线与平面垂直几何依据：若一直线垂直于某一平面，则该直线必垂直于该平面上的两条相交直线，也就是说，垂直于该平面上的一切直线。
主要问题有：
1）一般位置直线与特殊位置平面垂直；
2）一般位置直线与一般位置平面垂直
3) 作一平面与一条直线垂直
[例 ]已知一铅垂面 ABCD，试过平面外一点 M作一直线与该平面垂直相交。
m′
m
a′
b′ c′
d′
cd
ab
h?
h
k
k′
QH
过点 K作平面 Q的垂线（当平面用迹线表示时）
★ [例题 ] 平面由? BDF给定，试过定点 K作平面的法线。
a?
ca
c?
n?
n
k
k?
b
d
f
b′
d′
f′
★ [例题 ] 试过定点 A作直线与已知直线 EF正交。
a′
a
e′
f′
e
f
提示：
先过点 A作平面垂直于直线 EF，
然后求交点，
连接交点与点 A。
b
b′
1′
1
2′
2
Pv
2，平面与平面垂直几何依据：若一直线垂直于某一已知平面，则包含该直线的所有平面必垂直于该已知平面。
平面与平面垂直的作图实际上是线面垂直作图的发展。
主要的问题有：
1，作一平面垂直于另一平面；
2，判别两个面是否互相垂直。
[例题 ] 已知三角形 DEF平面与三角形 ABC平面垂直，画全三角形
DEF的正面投影。
c′
b′
a′
d′
e′
e
f
d
a
b
c
f ′
★ [例题 ] 作图判别两平面是否相互垂直。
a′
c′
b′
d′
f′ e′
d
e
f
b
c
a
结论：两平面不垂直本部分结束
一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形 。
二,平面的迹线表示法平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。
一、用几何元素表示平面
b?
a?
a
c?
b
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
b?
a?
a
c?
b
c
二,平面的迹线表示法
PPV
PH
PV
PH
QV
QHQ
H
QV
Q
平面的投影特性二，平面对 三 个投影面的投影特性
(1)平面平行于投影面 ----反映实形
（ 2）平面垂直于投影面 -----积聚成一条直线
（ 3）平面倾斜于投影面 -----类似形一，平面对 一 个投影面的投影特性三种位置情况：投影面垂直面，投影面平行面，一般位置平面投影面垂直面的投影特性
1．铅垂面投影特性 (1) abc积聚为一条线
(2)? a?b?c?,? a?b?c?为?ABC的类似形
(3) abc与 OX,OY的夹角 反映?,?角的真实大小
a'
b'
a"
b
a
b"
c
c"c'
铅垂面的迹线表示法
PH
投影特性 (1) a?b?c? 积聚为一条线
(2)? abc,? a?b?c?为? ABC的类似形
(3) a?b?c?与 OX,OZ的夹角 反映 α,? 角的真实大小
2．正垂面
a′
b′
c′
a
b
c
a″
b″
c″
α
γQV
正垂面的迹线表示法
3．侧垂面投影特性 (1) a?b?c?积聚为一条线
(2)? abc,? a?b?c?为? ABC的类似形
(3) a?b?c?与 OZ,OY的夹角 反映 α,β角的真实大小
a′
b′
c′
c
a
b
a″
b″
c″α
Z
X O
Y
Sw
Yα
β
侧垂面的迹线表示法
1．水平面投影特性：
(1) a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线，具有积聚性
(2) 水平投影? abc反映? ABC实形投影面平行面的投影特性
c
a? b' b"
b
a
a"c? c"
2．正平面投影特性：
(1) abc,a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
(2) 正平面投影? a?b?c?反映? ABC实形
c"
a"
b"b'
a'
c'
bca
投影特性：
(1) abc,a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性
(2) 侧平面投影? a?b?c? 反映? ABC实形
3．侧平面
b"
a'
b'
b
a"
c' c"
c
a
一般位置平面投影特性
(1)? abc,? a?b?c?,? a?b?c? 均为? ABC的类似形
(2) 不反映?,?,? 的真实角度
a"a'
b'
b"c' c"
b
a
c
平面按位置分共有三类七种,
1,垂直面
2,平行面
3,一般位置平面铅垂面正垂面侧垂面正平面水平面侧平面平面上的点和直线
1,平面上取点和直线定点先定线 取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线作线先找点 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
[例题 ]已知三角形 ABC上一点 M的正面投影 m′,求作其水平投影
m′
a′ b′
c′
a
b
c
1′
2′
1 2
m
注意,有时点 M的投影不一定正好在三角形的投影范围内
[例题 ] 已知? ABC给定一平面，试判断点 D是否属于该平面。
d′
a′ b′
c′
a
b
c
d
b
b?
a
a?
e
f
f?
e?
PH
Pv
在垂直面上取点取线
2,平面上投影面的平行线问题,在一般位置平面上可不可以作出 正平线? 有多少条?
一般位置平面上的 水平线一般位置平面上的 侧平线平面上 投影面的平行线 的一般规律平面上的投影面的平行线既有平面上直线 的投影特性，又有平行线的投影特性；
a′
b′
c′
c
b
a
[例 ]过点 A在平面 ABC上作水平线和正平线
1′
1
2
2′
[例题 ] 已知点 E 在?ABC平面上，且点 E距离 H面 15，距离 V 面 10，试求点
E的投影 。
m
n
m' n'
r s
r'
s'
10
15
e'
e
a′
b′
c′
c
a
b
过点、直线作平面
1，过已知点作平面可作无数多个，根据表示法不同，可作成的形式也各不相同。
2，过已知直线作平面
1）过一般位置直线 可以作多少个平面？
2）过一般位置直线 可不可以作投影面的平行面？可不可以作投影面的垂直面？
3）过垂直线可以作投影面的垂直面，可不可以作投影面的平行面？可不可以作一般位置平面？
4）过两条互相平行的一般位置直线可以作投影面的平行面吗？
垂直面呢？一般位置平面呢？
过一般位置直线作投影面的垂直面
(几何元素表示法 )
m'
n
n'
m
过一般位置直线作投影面的垂直面
(迹线表示法 )
b"
a"
SV QW
PH
a’
b’
a
b
垂直面上圆的投影特性当圆面呈水平面的情形：两个投影是直线，
一个是圆当圆面呈正垂面的情形两个投影是椭圆，
一个是直线注意圆中两条直径，分别处在什么位置？
作图步骤：
o′
o
o″
f′
e′
f e
f″
e″
a
b
a′b′ b″ a″
直线、平面间相互位置关系一、平行
1，直线与平面平行几何依据：立体几何原理,若一直线平行于一平面中一条直线,则该直线与平面平行 。 反之,若一直线平行于一平面,则在平面内必可找到一直线与该直线平行 。
有关线,面平行的作图问题有：
1,判别已知线面是否平行；
2,作直线与已知平面平行；
3,包含已知直线作平面与另一已知直线平行 。
[例题 1] 试判断直线 AB是否平行于定平面
f
g?
f?
g
结论：直线 AB不平行于定平面
a′
b′
a
b
[例题 2] 试过点 K作水平线 AB平行于 ΔCDE平面
b? a?
a
f?
f
b
c′
d′
e′
e
d
c
k
k′
[例题 3] 试过点 C作平面平行于已知直线
c′
c
2，平面与平面平行几何依据：立体几何定理，如果一平面上相交两直线对应地平行于另一平面上相交两直线，那么该两平面相平行。
两面平行的作图问题有：
1，判别两已知平面是否相互平行；
2，过一点作一平面与已知平面平行；
3，已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。
[例题 1] 试判断两平面是否平行
m?
n?
m
n
r?
r
s
s?
结论：两平面平行
a′
b′
d′c′
a
b
c
e
e′
f′
d
f
[例题 2] 已知定平面由平行两直线 AB和 CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平面 。
e
m? n?
m
n
f? e?
f s
r?
s?
r
k?
k
a′
b′
d′
c′
a
b
c
d
二、相交
1，直线与平面相交直线与平面相交只有一个交点,它是直线和平面的共有点,它既属于直线,又属于平面主要问题有：
1）一般位置直线与特殊位置平面相交；
2）特殊位置直线与一般位置平面相交；
3）一般位置直线与一般位置平面相交
b?
b
a?
a
c
c?
m?
m
n
n?
k
k?
直线 MN为一般位置直线；平面
ABC为铅垂面；
可利用平面投影的特殊性来求交点判别可见性
1
2
1′(2′)
1,利用平面的特殊性，可见性可直接判断出来。
2,利用重影点
m?
m
n
n?
直线 MN为一般位置直线；
平面为铅垂面 (用迹线表示时 )
PH
k
k′
( )
k
2
1
k'
2'1'
特殊位置直线与一般位置平面相交
e′
d′
d
e
k
k′
b′
a′
c′
a
b
c
m
m’
n′
n
Pv
一般位置直线与一般位置平面相交
2，平面与平面相交平面与平面相交产生交线,它是两平面的共有线,直线上的所有点都同时属于两平面，欲确定这条直线，只需确定其两点，即找出两平面的两个共有点即可。
主要问题有：
1）一般位置平面与特殊位置平面相交；
2）一般位置平面与一般位置平面相交
n
l
m
m?
l?
n?
b a
c
c?
a?
b?
f
k
f?
k?
一般位置平面与特殊位置平面相交判别可见性后的结果一般位置平面与特殊位置平面相交
(当平面用迹线表示时 )
n
l
m
m?
l?
n?
f
k
f?
k?
PH
两一般位置平面相交，求交线步骤：
1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点 K、
E。
l
l?
n
m
m?
n?PV
QV
1?
2?
2
1
k?
k
e’
e
2．连接两个共有点，画出交线 KE。
a
b′
c′
a′
b
c’
3.判别可见性
3′
3
★
[例题 ] 试过 K点作一直线平行于已知平面 ΔABC，并与直线 EF相交 。
a′
b′
c′
a
b
c
e′
f′
e
f
k′
k
提示：过已知点 K作平面 P平行 于? ABC；直线 EF与平面 P交于
H；连接 KH,KH即为所求。
三、垂直
1，直线与平面垂直几何依据：若一直线垂直于某一平面，则该直线必垂直于该平面上的两条相交直线，也就是说，垂直于该平面上的一切直线。
主要问题有：
1）一般位置直线与特殊位置平面垂直；
2）一般位置直线与一般位置平面垂直
3) 作一平面与一条直线垂直
[例 ]已知一铅垂面 ABCD，试过平面外一点 M作一直线与该平面垂直相交。
m′
m
a′
b′ c′
d′
cd
ab
h?
h
k
k′
QH
过点 K作平面 Q的垂线（当平面用迹线表示时）
★ [例题 ] 平面由? BDF给定，试过定点 K作平面的法线。
a?
ca
c?
n?
n
k
k?
b
d
f
b′
d′
f′
★ [例题 ] 试过定点 A作直线与已知直线 EF正交。
a′
a
e′
f′
e
f
提示：
先过点 A作平面垂直于直线 EF，
然后求交点，
连接交点与点 A。
b
b′
1′
1
2′
2
Pv
2，平面与平面垂直几何依据：若一直线垂直于某一已知平面，则包含该直线的所有平面必垂直于该已知平面。
平面与平面垂直的作图实际上是线面垂直作图的发展。
主要的问题有：
1，作一平面垂直于另一平面；
2，判别两个面是否互相垂直。
[例题 ] 已知三角形 DEF平面与三角形 ABC平面垂直，画全三角形
DEF的正面投影。
c′
b′
a′
d′
e′
e
f
d
a
b
c
f ′
★ [例题 ] 作图判别两平面是否相互垂直。
a′
c′
b′
d′
f′ e′
d
e
f
b
c
a
结论：两平面不垂直本部分结束
