正投影法斜投影法投影体系与投影图投影方法中心投影法平行投影法 √
投影体系
V
H
W
X
Z
Y
O
正面投影水平面投影侧面投影
V
H
W
X
Z
YH
O Yw
1)投影图形成
2)投影规律
3)投影图的方位关系投影规律长对正高平齐宽相等上下左 右前后前上下左 右 后点的投影点在两投影面体系中的投影
X HV O
a?
a
ax
点的两面投影规律
1) aaOX 2) a?ax =Aa,aax =Aa?
点在三投影面体系中的投影点的三面投影规律
H
a?
a
a?
V W
X O
Z
YW
YH
1,a?az = aay =Aa? = xA
2,aax = a?az =Aa? =yA
3,a?ax =a?a y = Aa=zA
az
ax ay
ay
V
X
Z
Y
WO
ay
ax
az
x
y
z
a?
a
a?
A
点的投影与直角坐标的关系特殊点的投影
b?
b
b?
X O
Z
YW
YH
c
c? c?d?
d
d?
点的相互位置关系
b?
b
a?
X O
Z
YW
YH
a
a?
b?
两点中 x值大 的点 —— 在左两点中 y 值大 的点 —— 在前两点中 z 值大 的点 —— 在上重影点
b?
(b)
a?
O
Z
YH
a
a?
b?
c? (d? )
c
d
X YW
重影点投影例题
[例 1]已知点的两面投影求第三面投影
YH
X
Z
Yw
a′ a″
a
[例 2]已知点 A的坐标为（ 40,20,10），按下述要求画出 A,B和
C点的投影：
点 B：在 A之右 20mm,A之前 10mm,A之上 20mm；
点 C：在 A之左 20mm,A之后 15mm,A之上 15mm。 (由学生完成）
4020
10X
YH
Yw
Z
a′
a
a″20
10
20
b
b′ b″
直线的投影直线对一个投影面的投影规律直线平行于投影面：投影反映实长直线倾斜于投影面：投影小于实长直线垂直于投影面：投影积聚为一点直线垂直于一个投影面铅垂线：直线垂直于 H面；
正垂线：直线垂直于 V面；
侧垂线：直线垂直于 W面,
投影面垂直线铅垂线投影特性
Z
b?
X
a?
b?
a(b)
O
YH
YW
a?
投影特性,1,a b 积聚 成一点
2,a? bOX ; a? b OYW
3,a? b? = a? b? = AB
正垂线投影特性
z
X
a?b? a?
b
O
YH
YW
b?
a
投影特性,1,a?b?积聚 成一点
2,ab? OX ; a?bOZ
3,ab = a?b? =AB
侧垂线投影特性
Z
X
a?b?b?
a
O
YH
YW
a?
b
投影特性,1,a?b?积聚 成一点
2,ab? OYH ; a?b OZ
3,ab = a?b? =AB
投影面平行线平行于一个投影面，与另两面倾斜正平线：平行于 V面，与另两面倾斜；
水平线：平行于 H面，与另两面倾斜；
侧平线：平行于 W面，与另两面倾斜。
正平线投影特性
X
a?
b?
a?
b?
ba
O
Z
YH
YW
投影特性,1,ab OX ; a? b OZ
2,a? b?=AB
3,反映?,?角的真实大小水平线投影特性
X
a? b? a? b?
b
a
O
z
YH
YW
投影特性,1,a?bOX ; a?bOYW
2,ab=AB
3,反映?,?角的真实大小侧平线投影特性
X
Za?
b? b?
b
a
O
YH
YW
a?
投影特性,1,a?b OZ ; ab OYH
2,a?b? =AB
3,反映?,? 角的真实大小一般位置直线
Z
X
b? b?
b
O
Y
Y
a?
a
a?
投影特性,1,a b,a?b?,a? b?均小于实长
2,a b,a?b?,a?b?均倾斜于投影轴
3．不反映?,?,? 实角直线按位置分共有三类七种,
1,垂直线
2,平行线
3,一般位置直线铅垂线正垂线侧垂线正平线水平线侧平线求一般位置直线的实长及与投影面夹角方法：
1，直角三角形法
2，换面法（略）
基本问题：
1，求直线实长及对 H面夹角
2，求直线实长及对 V面夹角
3，求直线实长及对 W面夹角求直线的实长及与 H面夹角 α
X
a
a?
b?
b
Za-Zb
Za-Zb
实长
α
求直线的实长及与 V面夹角 β
X
a
a?
b?
b
Yb-Ya
实长
β
求直线的实长及与 W面夹角 γ
A
B
b
b?
a?
b?
a
a
|xA-xB|
X
Z
Y
YO
a?
b?
a
b
a?
b?
γ
|xA-xB|
直角三角形法：
求与某个投影面的夹角就用该投影面的投影作一个直角边，用线段两个端点到该投影面的距离差作另一个直角边，构成一个直角三角形，三角形的斜边长是线段的实长，斜边与反映投影长的直角边的夹角为直线与该投影面的夹角。
[例题 1] 已知 线段的实长 AB，求它的水平投影。
a
|zA-zB|
ab
AB
ab
|zA-zB| b
b?
a?
AB
直线上的点直线上的点具有两个特性：
1,从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
2．定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C,C B = a c,c b= a?c?,c?b? = a?c?,c? b?
a?
a
b?
b
k?
k
[例题 1]：判断点 K是否在直线 AB上
a″
b″
k″
c
c?
[例题 2] 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成 2﹕1 两段，求分点 C的投影 c,c? 。
a?
b?
a
b
X
两直线的相对位置
1，两直线平行
2，两直线相交
3，两直线交叉
4，两直线垂直两直线平行的投影特性
X
b?
a?
a b
c
d
c?
d?
1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
2．平行两线段之比等于其投影之比。
两直线相交的投影特性
b
b?
X
a?
a
e?
c?
d?
d
c
e
当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，
且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
两直线交叉的投影特性
b?
X
a?
a
b
c?
d?
d
c
f’
e(f)
e’
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。交叉直线的投影中至少有一面投影是相交的。
两直线交叉的特殊情况交叉两直线重影点可见性的判别
[例题 ] 判断两直线重影点的可见性
3?(4?)
3
4
1?
2?
1(2)
两直线垂直的投影特性直角投影定理互相正交（在空间相交或交叉）的两直线，
它们在投影面的投影不一定反映直角，只有当其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面上的投影反映直角。
在空间垂直相交时的情况
c
X
b?a?
c?
b
a
如何证明呢？
在空间垂直交叉时的情况
m
X
c?b?
m?
c
b
n
n’
[例题 ] 过点 A作线段 EF的垂线 AB,并使 AB平行于 V 面 。
b
b?
e
e?
f
f?
a
a?
f
★ [例题 ] 过点 E作线段 AB,CD的公垂线 EF。
f?
e?
e
a b
a?
b?
c
d
c? d?
本部分结束
投影体系
V
H
W
X
Z
Y
O
正面投影水平面投影侧面投影
V
H
W
X
Z
YH
O Yw
1)投影图形成
2)投影规律
3)投影图的方位关系投影规律长对正高平齐宽相等上下左 右前后前上下左 右 后点的投影点在两投影面体系中的投影
X HV O
a?
a
ax
点的两面投影规律
1) aaOX 2) a?ax =Aa,aax =Aa?
点在三投影面体系中的投影点的三面投影规律
H
a?
a
a?
V W
X O
Z
YW
YH
1,a?az = aay =Aa? = xA
2,aax = a?az =Aa? =yA
3,a?ax =a?a y = Aa=zA
az
ax ay
ay
V
X
Z
Y
WO
ay
ax
az
x
y
z
a?
a
a?
A
点的投影与直角坐标的关系特殊点的投影
b?
b
b?
X O
Z
YW
YH
c
c? c?d?
d
d?
点的相互位置关系
b?
b
a?
X O
Z
YW
YH
a
a?
b?
两点中 x值大 的点 —— 在左两点中 y 值大 的点 —— 在前两点中 z 值大 的点 —— 在上重影点
b?
(b)
a?
O
Z
YH
a
a?
b?
c? (d? )
c
d
X YW
重影点投影例题
[例 1]已知点的两面投影求第三面投影
YH
X
Z
Yw
a′ a″
a
[例 2]已知点 A的坐标为（ 40,20,10），按下述要求画出 A,B和
C点的投影：
点 B：在 A之右 20mm,A之前 10mm,A之上 20mm；
点 C：在 A之左 20mm,A之后 15mm,A之上 15mm。 (由学生完成）
4020
10X
YH
Yw
Z
a′
a
a″20
10
20
b
b′ b″
直线的投影直线对一个投影面的投影规律直线平行于投影面：投影反映实长直线倾斜于投影面：投影小于实长直线垂直于投影面：投影积聚为一点直线垂直于一个投影面铅垂线：直线垂直于 H面；
正垂线：直线垂直于 V面；
侧垂线：直线垂直于 W面,
投影面垂直线铅垂线投影特性
Z
b?
X
a?
b?
a(b)
O
YH
YW
a?
投影特性,1,a b 积聚 成一点
2,a? bOX ; a? b OYW
3,a? b? = a? b? = AB
正垂线投影特性
z
X
a?b? a?
b
O
YH
YW
b?
a
投影特性,1,a?b?积聚 成一点
2,ab? OX ; a?bOZ
3,ab = a?b? =AB
侧垂线投影特性
Z
X
a?b?b?
a
O
YH
YW
a?
b
投影特性,1,a?b?积聚 成一点
2,ab? OYH ; a?b OZ
3,ab = a?b? =AB
投影面平行线平行于一个投影面，与另两面倾斜正平线：平行于 V面，与另两面倾斜；
水平线：平行于 H面，与另两面倾斜；
侧平线：平行于 W面，与另两面倾斜。
正平线投影特性
X
a?
b?
a?
b?
ba
O
Z
YH
YW
投影特性,1,ab OX ; a? b OZ
2,a? b?=AB
3,反映?,?角的真实大小水平线投影特性
X
a? b? a? b?
b
a
O
z
YH
YW
投影特性,1,a?bOX ; a?bOYW
2,ab=AB
3,反映?,?角的真实大小侧平线投影特性
X
Za?
b? b?
b
a
O
YH
YW
a?
投影特性,1,a?b OZ ; ab OYH
2,a?b? =AB
3,反映?,? 角的真实大小一般位置直线
Z
X
b? b?
b
O
Y
Y
a?
a
a?
投影特性,1,a b,a?b?,a? b?均小于实长
2,a b,a?b?,a?b?均倾斜于投影轴
3．不反映?,?,? 实角直线按位置分共有三类七种,
1,垂直线
2,平行线
3,一般位置直线铅垂线正垂线侧垂线正平线水平线侧平线求一般位置直线的实长及与投影面夹角方法：
1，直角三角形法
2，换面法（略）
基本问题：
1，求直线实长及对 H面夹角
2，求直线实长及对 V面夹角
3，求直线实长及对 W面夹角求直线的实长及与 H面夹角 α
X
a
a?
b?
b
Za-Zb
Za-Zb
实长
α
求直线的实长及与 V面夹角 β
X
a
a?
b?
b
Yb-Ya
实长
β
求直线的实长及与 W面夹角 γ
A
B
b
b?
a?
b?
a
a
|xA-xB|
X
Z
Y
YO
a?
b?
a
b
a?
b?
γ
|xA-xB|
直角三角形法：
求与某个投影面的夹角就用该投影面的投影作一个直角边，用线段两个端点到该投影面的距离差作另一个直角边，构成一个直角三角形，三角形的斜边长是线段的实长，斜边与反映投影长的直角边的夹角为直线与该投影面的夹角。
[例题 1] 已知 线段的实长 AB，求它的水平投影。
a
|zA-zB|
ab
AB
ab
|zA-zB| b
b?
a?
AB
直线上的点直线上的点具有两个特性：
1,从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
2．定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C,C B = a c,c b= a?c?,c?b? = a?c?,c? b?
a?
a
b?
b
k?
k
[例题 1]：判断点 K是否在直线 AB上
a″
b″
k″
c
c?
[例题 2] 已知线段 AB的投影图，试将 AB分成 2﹕1 两段，求分点 C的投影 c,c? 。
a?
b?
a
b
X
两直线的相对位置
1，两直线平行
2，两直线相交
3，两直线交叉
4，两直线垂直两直线平行的投影特性
X
b?
a?
a b
c
d
c?
d?
1．若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
2．平行两线段之比等于其投影之比。
两直线相交的投影特性
b
b?
X
a?
a
e?
c?
d?
d
c
e
当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，
且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
两直线交叉的投影特性
b?
X
a?
a
b
c?
d?
d
c
f’
e(f)
e’
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。交叉直线的投影中至少有一面投影是相交的。
两直线交叉的特殊情况交叉两直线重影点可见性的判别
[例题 ] 判断两直线重影点的可见性
3?(4?)
3
4
1?
2?
1(2)
两直线垂直的投影特性直角投影定理互相正交（在空间相交或交叉）的两直线，
它们在投影面的投影不一定反映直角，只有当其中有一条直线平行于一投影面时，则两直线在该投影面上的投影反映直角。
在空间垂直相交时的情况
c
X
b?a?
c?
b
a
如何证明呢？
在空间垂直交叉时的情况
m
X
c?b?
m?
c
b
n
n’
[例题 ] 过点 A作线段 EF的垂线 AB,并使 AB平行于 V 面 。
b
b?
e
e?
f
f?
a
a?
f
★ [例题 ] 过点 E作线段 AB,CD的公垂线 EF。
f?
e?
e
a b
a?
b?
c
d
c? d?
本部分结束
