第 4章 受弯构件正截面承载力
4.1 受弯构件的形式及基本要求
4.2 梁的受弯性能试验研究
4.3 正截面受弯承载力计算的基本规定
4.4 单筋矩形截面受弯构件
4.5 双筋矩形截面受弯构件
4.6 T形截面受弯构件第 4章 受弯构件正截面承载力第 4章 受弯构件正截面承载力
4.1 受弯构件的形式及基本要求
4.1.1 梁的构造要求结构中常用的 梁,板 是典型的受弯构件第 4章 受弯构件正截面承载力钢筋 (Reinforced bar)
梁上部无受压钢筋时，需配置 2根 架立筋，以便与箍筋和梁底部纵筋形成钢筋骨架，直径一般不小于 8,10,12mm。
第 4章 受弯构件正截面承载力钢筋的布置
Construction of reinforced bars
1,为保证耐久性、防火性以及钢筋与混凝土的粘结性能，钢筋的混凝土保护层厚度一般不小于 25mm；
2,矩形截面梁高宽比 h/b=2.0~3.5； T形截面梁高宽比 h/b=2.5~4.0；
第 4章 受弯构件正截面承载力
4.1.2 板的分类两边支承的板应按单向板计算；四边支承的板，当 长边与短边之比大于 3，按单向板计算，否则按双向板计算单跨简支板的最小厚度不小于 1/35板跨；多跨连续板的最小厚度不小于 1/40板跨，悬臂板最小厚度不小于 1/12板跨。
单向板
One-way Slab
双向板
Two-way Slab
悬臂板
Cantilever Slab
基础筏板
Raft Foundation Slab
Main Beam
Secondary Beam
第 4章 受弯构件正截面承载力
1,混凝土保护层厚度一般不小于 15mm和钢筋直径 d；
2,钢筋直径通常为 6~12mm的 Ⅰ 级钢筋；板厚度较大时,钢筋直径可用
14~18mm的 Ⅱ 级钢筋；
3,受力钢筋间距一般在 70~200mm之间；
4,垂直于受力钢筋的方向应布置分布钢筋,以便 将荷载均匀地传递给受力钢筋,并便于在施工中 固定受力钢筋的位置,同时也可 抵抗温度和收缩等产生的应力 。
4.1.3 板的构造要求第 4章 受弯构件正截面承载力
4.1.4 受弯构件的力学特性
P P P P
BC段称为 纯弯段,AB,CD段称为 弯剪段
+
_A B
C D
M
BA C D
Vx?x?
x?
xy?
xy?
x?
1?3?
第 4章 受弯构件正截面承载力钢筋混凝土受弯构件的设计内容：
(1) 正截面受弯承载力计算 —— 按已知截面弯矩设计值 M，
计算确定截面尺寸和纵向受力钢筋；
(2) 斜截面受剪承载力计算 —— 按受剪计算截面的剪力设计值 V，计算确定箍筋和弯起钢筋的数量；
(3) 钢筋布置 —— 为保证钢筋与混凝土的粘结，并使钢筋充分发挥作用，根据荷载产生的弯矩图和剪力图确定钢筋的布置；
(4) 正常使用阶段的裂缝宽度和挠度变形验算；
(5) 绘制施工图。
第 4章 受弯构件正截面承载力
4.2 梁的受弯性能试验研究
Flexural Behavior of RC Beam
简支梁三等分加载示意图第 4章 受弯构件正截面承载力
C
Ⅱ a
Ⅲ a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
M0cr
M0y
M0u
0 φ0
M0
y (钢筋开始屈服 )
混凝土压碎破坏截面曲率
(混凝土开裂 )
梁跨中截面的弯距试验值 M0－截面曲率实验值 φ0关系
4.2.1 适筋梁的 三个工作阶段第 4章 受弯构件正截面承载力第 Ⅰ 阶段：混凝土开裂前的 未裂阶段
<etu
Ⅰ 阶段截面应力和应变分布
M0<M0cr
应力图
梁基本上处于 弹性工作阶段,弯矩 -曲率曲线基本接近直线。
当弯距增加到 Mcr时，受拉边缘的拉应变达到混凝土受弯时极限拉应变（ ε t=ε tu），截面处于即将开裂的临界状态（ Ⅰa 状态），此时的弯矩值称为 开裂弯矩 Mcr。 受压区应力图形接近三角形，受拉区呈曲线分布 。
e0tu
Ⅰ a 状态截面应力和应变分布
M0cr
ssA0?
第 Ⅰ 阶段特点：
a,混凝土未开裂；
b,受压区应力图形为直线，受拉区前期为直线，后期为曲线；
c,弯距－曲率呈直线关系。
第 4章 受弯构件正截面承载力第 Ⅱ 阶段：混凝土开裂后至钢筋屈服前的 裂缝阶段
es
Ⅱ 阶段截面应力和应变分布
M0cr<M0<M0y
ssA0?
在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，导致钢筋应力有一突然增加
（应力重分布），裂缝出现时梁的挠度和截面曲率都突然增大，使中和轴比开裂前有较大上移。当弯距继续增大到受拉钢筋应力即将到达屈服强度 f0y时，称为第 Ⅱ 阶段末,Ⅱ a 。
平均应变沿截面高度的分布近似直线。
由于受压区混凝土压应力不断增大，其弹塑性特性表现得越来越显著，受压区应力图形逐渐呈曲线分布。
第 Ⅱ 阶段特点,a,裂缝截面处，
受拉区大部分砼退出工作，拉力主要由钢筋承担，单钢筋未屈服； b,
受压区砼已有塑性变形，但不充分；； c,弯距－曲率关系为曲线，
曲率与挠度增长加快。
第 4章 受弯构件正截面承载力第 Ⅲ 阶段：钢筋开始屈服至截面破坏的 破坏阶段
ey
Ⅲ 阶段截面应力和应变分布
M0y<M0<M0u
f0y As
钢筋屈服 。截面曲率和梁挠度突然增大，裂缝宽度随着扩展并沿梁高向上延伸，中和轴继续上移，受压区高度进一步减小。受压区塑性特征表现的更为充分，受压区应力图形更趋丰满。
超过 Mu后，承载力将有所降低，直至压区混凝土压酥。 Mu称为极限弯矩，
此时的受压边缘混凝土的压应变称为极限压应变 ε cu，对应截面受力状态为,Ⅲa 状态”。
εcu约在 0.003 - 0.005范围，超过该应变值，压区混凝土即开始压坏，
表明梁达到极限承载力。
第 4章 受弯构件正截面承载力第 Ⅲ 阶段特点：
a,纵向受拉钢筋屈服，拉力保持为常值；
b,裂缝截面处，受拉区大部分混凝土已退出工作，受压区砼压应力曲线图形比较丰满，有上升段，也有下降段；
c,压区边缘砼压应变达到其极限压应变 ε cu，混凝土被压碎，截面破坏；
d,弯距－曲率关系为接近水平的曲线。
e0cu
Ⅲ a阶段截面应力和应变分布
M0u
f0y As
第 4章 受弯构件正截面承载力从开始加荷到受拉区混凝土开裂，梁的整个截面均参加受力。虽然受拉区混凝土在开裂以前有一定的塑性变形，但整个截面的受力基本接近线弹性。截面抗弯刚度较大，挠度和截面曲率很小，钢筋的应力也很小，且都与弯矩近似成正比。
当受拉边缘的拉应变达到混凝土极限拉应变时（ et=etu），为截面即将开裂的临界状态，此时的弯矩值称为 开裂弯矩 Mcr（ cracking moment）
在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，其开裂前承担的拉力将转移给钢筋承担，导致钢筋应力有一突然增加（应力重分布），这使中和轴比开裂前有较大上移。
荷载继续增加，钢筋拉应力、挠度变形不断增大，裂缝宽度也不断开展，
但中和轴位置没有显著变化。由于受压区混凝土压应力不断增大，其弹塑性特性表现得越来越显著，受压区应力图形逐渐呈曲线分布。 当荷载达到某一数值时，纵向受拉钢筋将开始屈服。
该阶段钢筋的拉应变和受压区混凝土的压应变都发展很快,截面受压区边缘纤维应变增大到混凝土极限压应变时，构件即开始破坏。其后，再进行试验时虽然仍可以继续变形，但所承受的弯矩将开始降低，最后受压区混凝土被压碎而导致构件完全破坏。
第一阶段,抗裂计算 的依据第二阶段,构件在正常使用极限状态中变形与裂缝宽度验算的依据第三阶段,承载力极限状态 计算的依据第 4章 受弯构件正截面承载力
4.2.2 破坏形式 （ Failure modes）
配筋合适的钢筋混凝土梁在屈服阶段这种承载力基本保持不变，变形可以持续很长的现象，表明在完全破坏以前具有很好的变形能力，破坏前可吸收较大的应变能,有明显的预兆，这种破坏称为,延性破坏
”
超筋梁 的破坏取决于混凝土的压坏,Mu与钢筋强度无关，且钢筋受拉强度未得到充分发挥，破坏又没有明显的预兆，因此，在工程中应避免采用。
配筋 较少时,钢筋有可能在梁一开裂时就进入强化 段最终被 拉断,梁的破坏与素混凝土梁类似，属于受拉脆性破坏特征。 少筋梁的这种受拉脆性破坏比超筋梁受压脆性破坏更为突然,很不安全，而且也很不经济
，因此在建筑结构中不容许采用。
第 4章 受弯构件正截面承载力
M
y
M
u
0 f
M
M
u
M
y
f
y
f
u
ró
y
u
f
f
延性系数 的概念第 4章 受弯构件正截面承载力适筋破坏形态特点：纵向受拉钢筋先屈服，受压区混凝土随后压碎。
brrrm i n
最小配筋率界限配筋率梁完全破坏以前，钢筋要经历较大的塑性变形，随后引起裂缝急剧开展和梁挠度的激增，
带有明显的破坏预兆，属于延性破坏类型。
Mu
0 f0
M0
My
C 超筋梁 ρ>ρmax
B
适筋梁
ρmin<ρ<ρmax
A少筋梁 ρ>ρmax
第 4章 受弯构件正截面承载力超筋破坏形态
brr?
特点,受压区混凝土先压碎，纵向受拉钢筋不屈服。
钢筋破坏之前仍处于弹性工作阶段，裂缝开展不宽，
延伸不高，梁的挠度不大。
破坏带有突然性，没有明显的破坏预兆，属于脆性破坏类型。
Mu
0 f0
M0
My
C 超筋梁 ρ>ρmax
B
适筋梁
ρmin<ρ<ρmax
A少筋梁 ρ>ρmax
第 4章 受弯构件正截面承载力少筋破坏形态
minrr?
特点：受拉混凝土一裂就坏。破坏时极限弯距 Mu小于正常情况下的开裂弯距 Mcr
破坏取决于混凝土的抗拉强度，裂缝只有一条，开展宽度大，沿梁高延伸较高，属于脆性破坏类型。
M0cr
φ0
第 4章 受弯构件正截面承载力
(1) 截面的应变沿截面高度保持线性分布－简称平截面假定
(2) 不考虑混凝土的抗拉强度
y
ef?
x
s
c
c
xhx 0
ee
e
es
c
xc
h0
f
y
M
T
xc
Tc
C
4.3 正截面受弯承载力计算的基本规定
4.3.1 基本假定 （ Basic Assumptions ）
第 4章 受弯构件正截面承载力
(3) 混凝土的压应力－压应变之间的关系为：
cucc
n
cc
f
f
eee?
ee
e
e
0
0
0
])1(1[
上升段水平段
σ
εcuε0
fc
yy
ys
f
E
ee?
eee?
钢筋
(4) 钢筋的应力－应变方程为：
f
y
e
y
1
Es
第 4章 受弯构件正截面承载力在极限弯矩的计算中，仅需知道
C 的大小 和 作用位置 yc即可。
可取 等效矩形应力图形 来代换受压区混凝土应力图 。
等效原则：
1,等效矩形应力图形 与实际抛物线应力图形的面积相等，即 合力大小 相等 ；
2,等效矩形应力图形 与实际抛物线应力图形的形心位置相同，即 合力作用点不变 。
4.3.2 等效矩形应力图
（ Equivalent Rectangular Stress Block ）
第 4章 受弯构件正截面承载力
,0
ssc
AbxfN
)2(,0 0 xhbxfMM cu?
表 4,1 混凝土受压区等效矩形应力图系数
≤ C50 C55 C60 C6 5 C70 C75 C80
1.0 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94
0.8 0.79 0.78 0.77 0.76 0.73 0.74
基本方程对于适筋梁，受拉钢筋应力?s=fy
第 4章 受弯构件正截面承载力
0h
x
)5.01(,0
,0
2
0
0
bhfMM
AhbfN
cu
ssc
相对受压区高度
c
ys
c
y
f
f
bh
A
f
f
r
0
基本方程 改写为：
0bh
As?rReinforcement Ratio
相对受压区高度?不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（ 配筋率 r），也反映钢筋与混凝土的 材料强度比,是反映构件中两种材料配比的本质参数。
4.3.3 界限相对受压区高度第 4章 受弯构件正截面承载力界限 相对受压区高度
0h
xb
b
相对界限受压区高度 仅与材料性能有关，而与截面尺寸无关！
cu
yycu
cubb
b h
x
h
x
e
e?ee
e
1
1
0
0
0
cue
ye
0h
0bx
)5.01(20max,bbcu bhfM达到界限破坏时的受弯承载力为
y
c
bb f
frr
m a x
)5.01(m a x,bbs
第 4章 受弯构件正截面承载力表 4 - 3 相对界限受压区高度? b 和? s,m a x
混凝土强度等级 ≤ C5 0 C6 0 C7 0 C8 0
b 0,5 5 0 0,5 3 1 0,5 1 2 0,4 9 3 H RB3 3 5
钢筋
s,m a x 0,3 9 9 0,3 9 0 0,3 8 1 0,3 7 2
b 0,5 1 8 0,4 9 9 0,4 8 1 0,4 6 2 H RB4 0 0
钢筋
s,m a x 0,3 8 4 0,3 7 5 0,3 6 5 0,3 5 6
适筋梁的判别条件本质是ma xrr?
b
20m ax,m ax,bhfMM csu b
第 4章 受弯构件正截面承载力同时不应小 于 0.2%；
对于现浇板和基础底板沿每个方向受拉钢筋的最小配筋率不应小于 0.15%。
y
ts
f
f
bh
A 45.0
mi nr
最小配筋率规定了 少筋和适筋的界限
4.3.4 最小配筋率第 4章 受弯构件正截面承载力
ì
r
-ê
ì?y íá
×ü?ì经济配筋率梁,0.5~1.6%
板,0.4~0.8%
第 4章 受弯构件正截面承载力
)
2
(
)
2
(
0
0
x
hAf
x
hbxfMM
Afbxf
sy
cu
yc
00
2
0
2
0
0
)5.01(
)5.01(
hAfhAf
bhfbhfMM
Afhbf
ssysy
cscu
syc
g?
4.4 单筋矩形截面
Singly Reinforced Section
还可表示为基本方程直接计算法间接计算法第 4章 受弯构件正截面承载力
m a x,
2
0m a x,m a x,
m a x
0
0
sscsu
y
c
b
s
bb
bhfMM
f
f
bh
A
hx
rr
或或
1,防止超筋脆性破坏
2,防止少筋脆性破坏
bhA s m i nr?
基本公式的 适用条件第 4章 受弯构件正截面承载力截面复核已知,截面尺寸 b,h(h0)、截面配筋 As，以及材料强度 fy,fc
求,截面的受弯承载力 Mu
未知数,受压区高度 x和受弯承载力 Mu
截面设计已知,弯矩设计值 M
求,截面尺寸 b,h(h0)、截面配筋 As，以及材料强度 fy,fc
未知数,受压区高度 x,b,h(h0),As,fy,fc
计算类型第 4章 受弯构件正截面承载力例题 1
已知矩形截面简支梁，截面尺寸 b× h=250mm× 400mm，计算跨度 l=6.20m，承受均布线荷载，活荷载标准值 8kN/m，
恒荷载标准值 10kN/m（不计梁的自重），持久设计状况，
采用混凝土强度等级 C40,Ⅱ 级钢筋，结构安全等级为 Ⅱ 级，
环境类别为二类，试求所需钢筋的截面面积。
【 解 】,1、梁跨中为其弯矩最大截面，求其弯矩设计值 M
)(0 kQQkGG QCGCM ggg
其中结构重要性系数 g0＝ 1.0，荷载分项系数 gG=1.2，
gQ=1.4，荷载效应系数 CG=CQ=l2/8=6.202/8=4.805m2，则
mkN
QCGCM kQQkGG
.581.96
)(0
ggg
第 4章 受弯构件正截面承载力
2、环境类别为二类，混凝土保护层最小厚度为 35mm，则
a=45mm,h0=h-a=450－ 45=405mm；查表可得 fc=19.5N/mm2，
fy=310N/mm2,?b?0.544。
3、求计算系数
1 2 1.04 0 52 5 05.19 105 8 1.96 2
6
2
0
bhf M
c
s?
5 4 4.01 2 9.01 2 1.0211211 bs
满足适筋破坏条件 。4、求 As
20 822
310
405250129.05.19 mm
f
bhfA
y
c
s?
第 4章 受弯构件正截面承载力
5、验算最小配筋率要求
%15.0%81.04 0 52 5 08 2 2 m i n
0
rr bhA s
满足最小配筋率要求第 4章 受弯构件正截面承载力
4.5 双筋矩形截面
Doubly Reinforced Section
双筋截面是指同时配置受拉和受压钢筋的情况。
1,当截面尺寸和材料强度受建筑使用和施工条件（或整个工程）限制而不能增加,但 计算又不满足适筋截面条件时，可采用双筋截面，即在受压区配置钢筋以补充混凝土受压能力的不足 ；
2,另一方面，由于荷载有多种组合情况，在某一组合情况下截面承受正弯矩，另一种组合情况下承受负弯矩，这时也出现双筋截面 ；
3,此外，由于受压钢筋可以提高截面的延性，因此，在抗震结构中要求框架梁必须配置一定比例的受压钢筋。
第 4章 受弯构件正截面承载力配置受压钢筋后，为防止受压钢筋压曲而导致受压区混凝土保护层过早崩落影响承载力，必须配置封闭箍筋。
第 4章 受弯构件正截面承载力
002.0)1(
'
n
s
cus x
aee
'2
sax?
)()
2
( '001
1
ssycu
sysyc
ahAfxhbxfMM
AfAfbxf
基本方程第 4章 受弯构件正截面承载力第 4章 受弯构件正截面承载力第 4章 受弯构件正截面承载力防止超筋脆性破坏保证受压钢筋强度充分利用双筋截面一般不会出现少筋破坏情况，故可不必验算最小配筋率。
m a x,1
2
0m a x,1
1
m a x
0
2
0
sscs
y
c
b
s
bb
bhfM
f
f
bh
A
hx
rr
或或
'
00
' 2
ss
s
ahh
ax
g
第 4章 受弯构件正截面承载力截面复核,
已知,b,h,a,a’,As,As’,fy,fy’,fc
求,Mu≥M
未知数,受压区高度 x 和受弯承载力 Mu两个未知数截面设计已知,弯矩设计值 M
求,截面尺寸 b,h(h0)、截面配筋 As，以及材料强度 fy,fc
未知数,受压区高度 x,b,h(h0),As,fy,fc
基本公式,两个
20m a x,1 bhfM cs )(
0 ahAfM syub
'2 sax?
第 4章 受弯构件正截面承载力已知矩形截面简支梁，截面尺寸 b× h=250mm× 450mm，
M=268kN*m,采用混凝土强度等级 C40,Ⅱ 级钢筋，结构安全等级为 Ⅱ 级，环境类别为二类,试求所需钢筋的截面面积。
例题 2
【 解 】,
1、假定钢筋为两排,a=70mm,a’=30+10=40mm,h0=h-a=450－
70=380mm；查表可得 fc=19.5N/mm2,fy=310N/mm2,?b=0.544。
2、求计算系数
4 5 7.03 8 02 5 05.190.1 102 6 8 2
6
2
0
bhf M
c
s?
第 4章 受弯构件正截面承载力
5 4 4.07 0 7.04 5 7.0211211 bs
为超筋破坏，在不能扩大截面的条件下，设计成双筋截面 。
3、计算 A’s
取?=?b，则可得 Mu2
2
26
0
2
0 4 1 2
)453 8 0(3 1 0
3 8 02 5 03 9 6.05.19102 6 82.1
)( mmahf
bhfMA
y
sbcd
s
g
4、计算 As
20 3 6 6 3
3 1 0
4 1 23 1 03 8 02 5 05 4 4.05.19 mm
f
AfbhfA
y
sybc
s?
第 4章 受弯构件正截面承载力第 4章 受弯构件正截面承载力
1,挖去受拉区混凝土,形成 T形截面,对受 弯承载力没影响 。
2,可以 节省混凝土,减轻自重 。
4,受拉钢筋较多,可将截面底部适当增大,形成工形截面 。
工形截面的受弯承载力的计算与 T形截面相同 。
4.6 T形截面
h
f
’
x
b
h
f
b
f
’
b
f
h
0
h
第 4章 受弯构件正截面承载力翼缘处的压应力与腹板处受压区压应力相比，存在 滞后现象,距腹板距离越远，滞后程度越大,受压翼缘压应力的分布是不均匀的 。
认为 在 bf’范围内压应力为均匀分布,bf’范围以外部分的翼缘则不考虑。
计算上为简化采有效翼缘宽度 bf’ (Effective flange width)
受压翼缘越大，对截面受弯越有利第 4章 受弯构件正截面承载力按三种情况的 最小值 取用第 4章 受弯构件正截面承载力
T形截面的分类第 4章 受弯构件正截面承载力
)
2
( 01
1
x
hxbfM
Afxbf
fc
syfc
第一类 T形截面的 计算公式与宽度等于 bf’的矩形截面相同为防止超筋脆性破坏，相对受压区高度应满足? ≤?b。对第一类 T
形截面，该适用条件一般能满足 ；
为防止少筋脆性破坏，受拉钢筋面积应满足 As≥ rminbh0,b为 T形截面的腹板宽度 ；
对工形和倒 T形截面,则 受拉钢筋应满足
As≥ rmin[bh0 + (bf - b)hf]
第 4章 受弯构件正截面承载力第 4章 受弯构件正截面承载力
m a x,1
2
0m a x,1
m a x
0
1
0
sscs
y
c
b
s
bb
bhfM
f
f
bh
A
hx
rr
或或防止超筋脆性破坏防止少筋脆性破坏
bhA s m i nr?
4.1 受弯构件的形式及基本要求
4.2 梁的受弯性能试验研究
4.3 正截面受弯承载力计算的基本规定
4.4 单筋矩形截面受弯构件
4.5 双筋矩形截面受弯构件
4.6 T形截面受弯构件第 4章 受弯构件正截面承载力第 4章 受弯构件正截面承载力
4.1 受弯构件的形式及基本要求
4.1.1 梁的构造要求结构中常用的 梁,板 是典型的受弯构件第 4章 受弯构件正截面承载力钢筋 (Reinforced bar)
梁上部无受压钢筋时，需配置 2根 架立筋，以便与箍筋和梁底部纵筋形成钢筋骨架，直径一般不小于 8,10,12mm。
第 4章 受弯构件正截面承载力钢筋的布置
Construction of reinforced bars
1,为保证耐久性、防火性以及钢筋与混凝土的粘结性能，钢筋的混凝土保护层厚度一般不小于 25mm；
2,矩形截面梁高宽比 h/b=2.0~3.5； T形截面梁高宽比 h/b=2.5~4.0；
第 4章 受弯构件正截面承载力
4.1.2 板的分类两边支承的板应按单向板计算；四边支承的板，当 长边与短边之比大于 3，按单向板计算，否则按双向板计算单跨简支板的最小厚度不小于 1/35板跨；多跨连续板的最小厚度不小于 1/40板跨，悬臂板最小厚度不小于 1/12板跨。
单向板
One-way Slab
双向板
Two-way Slab
悬臂板
Cantilever Slab
基础筏板
Raft Foundation Slab
Main Beam
Secondary Beam
第 4章 受弯构件正截面承载力
1,混凝土保护层厚度一般不小于 15mm和钢筋直径 d；
2,钢筋直径通常为 6~12mm的 Ⅰ 级钢筋；板厚度较大时,钢筋直径可用
14~18mm的 Ⅱ 级钢筋；
3,受力钢筋间距一般在 70~200mm之间；
4,垂直于受力钢筋的方向应布置分布钢筋,以便 将荷载均匀地传递给受力钢筋,并便于在施工中 固定受力钢筋的位置,同时也可 抵抗温度和收缩等产生的应力 。
4.1.3 板的构造要求第 4章 受弯构件正截面承载力
4.1.4 受弯构件的力学特性
P P P P
BC段称为 纯弯段,AB,CD段称为 弯剪段
+
_A B
C D
M
BA C D
Vx?x?
x?
xy?
xy?
x?
1?3?
第 4章 受弯构件正截面承载力钢筋混凝土受弯构件的设计内容：
(1) 正截面受弯承载力计算 —— 按已知截面弯矩设计值 M，
计算确定截面尺寸和纵向受力钢筋；
(2) 斜截面受剪承载力计算 —— 按受剪计算截面的剪力设计值 V，计算确定箍筋和弯起钢筋的数量；
(3) 钢筋布置 —— 为保证钢筋与混凝土的粘结，并使钢筋充分发挥作用，根据荷载产生的弯矩图和剪力图确定钢筋的布置；
(4) 正常使用阶段的裂缝宽度和挠度变形验算；
(5) 绘制施工图。
第 4章 受弯构件正截面承载力
4.2 梁的受弯性能试验研究
Flexural Behavior of RC Beam
简支梁三等分加载示意图第 4章 受弯构件正截面承载力
C
Ⅱ a
Ⅲ a
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
M0cr
M0y
M0u
0 φ0
M0
y (钢筋开始屈服 )
混凝土压碎破坏截面曲率
(混凝土开裂 )
梁跨中截面的弯距试验值 M0－截面曲率实验值 φ0关系
4.2.1 适筋梁的 三个工作阶段第 4章 受弯构件正截面承载力第 Ⅰ 阶段：混凝土开裂前的 未裂阶段
<etu
Ⅰ 阶段截面应力和应变分布
M0<M0cr
应力图
梁基本上处于 弹性工作阶段,弯矩 -曲率曲线基本接近直线。
当弯距增加到 Mcr时，受拉边缘的拉应变达到混凝土受弯时极限拉应变（ ε t=ε tu），截面处于即将开裂的临界状态（ Ⅰa 状态），此时的弯矩值称为 开裂弯矩 Mcr。 受压区应力图形接近三角形，受拉区呈曲线分布 。
e0tu
Ⅰ a 状态截面应力和应变分布
M0cr
ssA0?
第 Ⅰ 阶段特点：
a,混凝土未开裂；
b,受压区应力图形为直线，受拉区前期为直线，后期为曲线；
c,弯距－曲率呈直线关系。
第 4章 受弯构件正截面承载力第 Ⅱ 阶段：混凝土开裂后至钢筋屈服前的 裂缝阶段
es
Ⅱ 阶段截面应力和应变分布
M0cr<M0<M0y
ssA0?
在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，导致钢筋应力有一突然增加
（应力重分布），裂缝出现时梁的挠度和截面曲率都突然增大，使中和轴比开裂前有较大上移。当弯距继续增大到受拉钢筋应力即将到达屈服强度 f0y时，称为第 Ⅱ 阶段末,Ⅱ a 。
平均应变沿截面高度的分布近似直线。
由于受压区混凝土压应力不断增大，其弹塑性特性表现得越来越显著，受压区应力图形逐渐呈曲线分布。
第 Ⅱ 阶段特点,a,裂缝截面处，
受拉区大部分砼退出工作，拉力主要由钢筋承担，单钢筋未屈服； b,
受压区砼已有塑性变形，但不充分；； c,弯距－曲率关系为曲线，
曲率与挠度增长加快。
第 4章 受弯构件正截面承载力第 Ⅲ 阶段：钢筋开始屈服至截面破坏的 破坏阶段
ey
Ⅲ 阶段截面应力和应变分布
M0y<M0<M0u
f0y As
钢筋屈服 。截面曲率和梁挠度突然增大，裂缝宽度随着扩展并沿梁高向上延伸，中和轴继续上移，受压区高度进一步减小。受压区塑性特征表现的更为充分，受压区应力图形更趋丰满。
超过 Mu后，承载力将有所降低，直至压区混凝土压酥。 Mu称为极限弯矩，
此时的受压边缘混凝土的压应变称为极限压应变 ε cu，对应截面受力状态为,Ⅲa 状态”。
εcu约在 0.003 - 0.005范围，超过该应变值，压区混凝土即开始压坏，
表明梁达到极限承载力。
第 4章 受弯构件正截面承载力第 Ⅲ 阶段特点：
a,纵向受拉钢筋屈服，拉力保持为常值；
b,裂缝截面处，受拉区大部分混凝土已退出工作，受压区砼压应力曲线图形比较丰满，有上升段，也有下降段；
c,压区边缘砼压应变达到其极限压应变 ε cu，混凝土被压碎，截面破坏；
d,弯距－曲率关系为接近水平的曲线。
e0cu
Ⅲ a阶段截面应力和应变分布
M0u
f0y As
第 4章 受弯构件正截面承载力从开始加荷到受拉区混凝土开裂，梁的整个截面均参加受力。虽然受拉区混凝土在开裂以前有一定的塑性变形，但整个截面的受力基本接近线弹性。截面抗弯刚度较大，挠度和截面曲率很小，钢筋的应力也很小，且都与弯矩近似成正比。
当受拉边缘的拉应变达到混凝土极限拉应变时（ et=etu），为截面即将开裂的临界状态，此时的弯矩值称为 开裂弯矩 Mcr（ cracking moment）
在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，其开裂前承担的拉力将转移给钢筋承担，导致钢筋应力有一突然增加（应力重分布），这使中和轴比开裂前有较大上移。
荷载继续增加，钢筋拉应力、挠度变形不断增大，裂缝宽度也不断开展，
但中和轴位置没有显著变化。由于受压区混凝土压应力不断增大，其弹塑性特性表现得越来越显著，受压区应力图形逐渐呈曲线分布。 当荷载达到某一数值时，纵向受拉钢筋将开始屈服。
该阶段钢筋的拉应变和受压区混凝土的压应变都发展很快,截面受压区边缘纤维应变增大到混凝土极限压应变时，构件即开始破坏。其后，再进行试验时虽然仍可以继续变形，但所承受的弯矩将开始降低，最后受压区混凝土被压碎而导致构件完全破坏。
第一阶段,抗裂计算 的依据第二阶段,构件在正常使用极限状态中变形与裂缝宽度验算的依据第三阶段,承载力极限状态 计算的依据第 4章 受弯构件正截面承载力
4.2.2 破坏形式 （ Failure modes）
配筋合适的钢筋混凝土梁在屈服阶段这种承载力基本保持不变，变形可以持续很长的现象，表明在完全破坏以前具有很好的变形能力，破坏前可吸收较大的应变能,有明显的预兆，这种破坏称为,延性破坏
”
超筋梁 的破坏取决于混凝土的压坏,Mu与钢筋强度无关，且钢筋受拉强度未得到充分发挥，破坏又没有明显的预兆，因此，在工程中应避免采用。
配筋 较少时,钢筋有可能在梁一开裂时就进入强化 段最终被 拉断,梁的破坏与素混凝土梁类似，属于受拉脆性破坏特征。 少筋梁的这种受拉脆性破坏比超筋梁受压脆性破坏更为突然,很不安全，而且也很不经济
，因此在建筑结构中不容许采用。
第 4章 受弯构件正截面承载力
M
y
M
u
0 f
M
M
u
M
y
f
y
f
u
ró
y
u
f
f
延性系数 的概念第 4章 受弯构件正截面承载力适筋破坏形态特点：纵向受拉钢筋先屈服，受压区混凝土随后压碎。
brrrm i n
最小配筋率界限配筋率梁完全破坏以前，钢筋要经历较大的塑性变形，随后引起裂缝急剧开展和梁挠度的激增，
带有明显的破坏预兆，属于延性破坏类型。
Mu
0 f0
M0
My
C 超筋梁 ρ>ρmax
B
适筋梁
ρmin<ρ<ρmax
A少筋梁 ρ>ρmax
第 4章 受弯构件正截面承载力超筋破坏形态
brr?
特点,受压区混凝土先压碎，纵向受拉钢筋不屈服。
钢筋破坏之前仍处于弹性工作阶段，裂缝开展不宽，
延伸不高，梁的挠度不大。
破坏带有突然性，没有明显的破坏预兆，属于脆性破坏类型。
Mu
0 f0
M0
My
C 超筋梁 ρ>ρmax
B
适筋梁
ρmin<ρ<ρmax
A少筋梁 ρ>ρmax
第 4章 受弯构件正截面承载力少筋破坏形态
minrr?
特点：受拉混凝土一裂就坏。破坏时极限弯距 Mu小于正常情况下的开裂弯距 Mcr
破坏取决于混凝土的抗拉强度，裂缝只有一条，开展宽度大，沿梁高延伸较高，属于脆性破坏类型。
M0cr
φ0
第 4章 受弯构件正截面承载力
(1) 截面的应变沿截面高度保持线性分布－简称平截面假定
(2) 不考虑混凝土的抗拉强度
y
ef?
x
s
c
c
xhx 0
ee
e
es
c
xc
h0
f
y
M
T
xc
Tc
C
4.3 正截面受弯承载力计算的基本规定
4.3.1 基本假定 （ Basic Assumptions ）
第 4章 受弯构件正截面承载力
(3) 混凝土的压应力－压应变之间的关系为：
cucc
n
cc
f
f
eee?
ee
e
e
0
0
0
])1(1[
上升段水平段
σ
εcuε0
fc
yy
ys
f
E
ee?
eee?
钢筋
(4) 钢筋的应力－应变方程为：
f
y
e
y
1
Es
第 4章 受弯构件正截面承载力在极限弯矩的计算中，仅需知道
C 的大小 和 作用位置 yc即可。
可取 等效矩形应力图形 来代换受压区混凝土应力图 。
等效原则：
1,等效矩形应力图形 与实际抛物线应力图形的面积相等，即 合力大小 相等 ；
2,等效矩形应力图形 与实际抛物线应力图形的形心位置相同，即 合力作用点不变 。
4.3.2 等效矩形应力图
（ Equivalent Rectangular Stress Block ）
第 4章 受弯构件正截面承载力
,0
ssc
AbxfN
)2(,0 0 xhbxfMM cu?
表 4,1 混凝土受压区等效矩形应力图系数
≤ C50 C55 C60 C6 5 C70 C75 C80
1.0 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.94
0.8 0.79 0.78 0.77 0.76 0.73 0.74
基本方程对于适筋梁，受拉钢筋应力?s=fy
第 4章 受弯构件正截面承载力
0h
x
)5.01(,0
,0
2
0
0
bhfMM
AhbfN
cu
ssc
相对受压区高度
c
ys
c
y
f
f
bh
A
f
f
r
0
基本方程 改写为：
0bh
As?rReinforcement Ratio
相对受压区高度?不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（ 配筋率 r），也反映钢筋与混凝土的 材料强度比,是反映构件中两种材料配比的本质参数。
4.3.3 界限相对受压区高度第 4章 受弯构件正截面承载力界限 相对受压区高度
0h
xb
b
相对界限受压区高度 仅与材料性能有关，而与截面尺寸无关！
cu
yycu
cubb
b h
x
h
x
e
e?ee
e
1
1
0
0
0
cue
ye
0h
0bx
)5.01(20max,bbcu bhfM达到界限破坏时的受弯承载力为
y
c
bb f
frr
m a x
)5.01(m a x,bbs
第 4章 受弯构件正截面承载力表 4 - 3 相对界限受压区高度? b 和? s,m a x
混凝土强度等级 ≤ C5 0 C6 0 C7 0 C8 0
b 0,5 5 0 0,5 3 1 0,5 1 2 0,4 9 3 H RB3 3 5
钢筋
s,m a x 0,3 9 9 0,3 9 0 0,3 8 1 0,3 7 2
b 0,5 1 8 0,4 9 9 0,4 8 1 0,4 6 2 H RB4 0 0
钢筋
s,m a x 0,3 8 4 0,3 7 5 0,3 6 5 0,3 5 6
适筋梁的判别条件本质是ma xrr?
b
20m ax,m ax,bhfMM csu b
第 4章 受弯构件正截面承载力同时不应小 于 0.2%；
对于现浇板和基础底板沿每个方向受拉钢筋的最小配筋率不应小于 0.15%。
y
ts
f
f
bh
A 45.0
mi nr
最小配筋率规定了 少筋和适筋的界限
4.3.4 最小配筋率第 4章 受弯构件正截面承载力
ì
r
-ê
ì?y íá
×ü?ì经济配筋率梁,0.5~1.6%
板,0.4~0.8%
第 4章 受弯构件正截面承载力
)
2
(
)
2
(
0
0
x
hAf
x
hbxfMM
Afbxf
sy
cu
yc
00
2
0
2
0
0
)5.01(
)5.01(
hAfhAf
bhfbhfMM
Afhbf
ssysy
cscu
syc
g?
4.4 单筋矩形截面
Singly Reinforced Section
还可表示为基本方程直接计算法间接计算法第 4章 受弯构件正截面承载力
m a x,
2
0m a x,m a x,
m a x
0
0
sscsu
y
c
b
s
bb
bhfMM
f
f
bh
A
hx
rr
或或
1,防止超筋脆性破坏
2,防止少筋脆性破坏
bhA s m i nr?
基本公式的 适用条件第 4章 受弯构件正截面承载力截面复核已知,截面尺寸 b,h(h0)、截面配筋 As，以及材料强度 fy,fc
求,截面的受弯承载力 Mu
未知数,受压区高度 x和受弯承载力 Mu
截面设计已知,弯矩设计值 M
求,截面尺寸 b,h(h0)、截面配筋 As，以及材料强度 fy,fc
未知数,受压区高度 x,b,h(h0),As,fy,fc
计算类型第 4章 受弯构件正截面承载力例题 1
已知矩形截面简支梁，截面尺寸 b× h=250mm× 400mm，计算跨度 l=6.20m，承受均布线荷载，活荷载标准值 8kN/m，
恒荷载标准值 10kN/m（不计梁的自重），持久设计状况，
采用混凝土强度等级 C40,Ⅱ 级钢筋，结构安全等级为 Ⅱ 级，
环境类别为二类，试求所需钢筋的截面面积。
【 解 】,1、梁跨中为其弯矩最大截面，求其弯矩设计值 M
)(0 kQQkGG QCGCM ggg
其中结构重要性系数 g0＝ 1.0，荷载分项系数 gG=1.2，
gQ=1.4，荷载效应系数 CG=CQ=l2/8=6.202/8=4.805m2，则
mkN
QCGCM kQQkGG
.581.96
)(0
ggg
第 4章 受弯构件正截面承载力
2、环境类别为二类，混凝土保护层最小厚度为 35mm，则
a=45mm,h0=h-a=450－ 45=405mm；查表可得 fc=19.5N/mm2，
fy=310N/mm2,?b?0.544。
3、求计算系数
1 2 1.04 0 52 5 05.19 105 8 1.96 2
6
2
0
bhf M
c
s?
5 4 4.01 2 9.01 2 1.0211211 bs
满足适筋破坏条件 。4、求 As
20 822
310
405250129.05.19 mm
f
bhfA
y
c
s?
第 4章 受弯构件正截面承载力
5、验算最小配筋率要求
%15.0%81.04 0 52 5 08 2 2 m i n
0
rr bhA s
满足最小配筋率要求第 4章 受弯构件正截面承载力
4.5 双筋矩形截面
Doubly Reinforced Section
双筋截面是指同时配置受拉和受压钢筋的情况。
1,当截面尺寸和材料强度受建筑使用和施工条件（或整个工程）限制而不能增加,但 计算又不满足适筋截面条件时，可采用双筋截面，即在受压区配置钢筋以补充混凝土受压能力的不足 ；
2,另一方面，由于荷载有多种组合情况，在某一组合情况下截面承受正弯矩，另一种组合情况下承受负弯矩，这时也出现双筋截面 ；
3,此外，由于受压钢筋可以提高截面的延性，因此，在抗震结构中要求框架梁必须配置一定比例的受压钢筋。
第 4章 受弯构件正截面承载力配置受压钢筋后，为防止受压钢筋压曲而导致受压区混凝土保护层过早崩落影响承载力，必须配置封闭箍筋。
第 4章 受弯构件正截面承载力
002.0)1(
'
n
s
cus x
aee
'2
sax?
)()
2
( '001
1
ssycu
sysyc
ahAfxhbxfMM
AfAfbxf
基本方程第 4章 受弯构件正截面承载力第 4章 受弯构件正截面承载力第 4章 受弯构件正截面承载力防止超筋脆性破坏保证受压钢筋强度充分利用双筋截面一般不会出现少筋破坏情况，故可不必验算最小配筋率。
m a x,1
2
0m a x,1
1
m a x
0
2
0
sscs
y
c
b
s
bb
bhfM
f
f
bh
A
hx
rr
或或
'
00
' 2
ss
s
ahh
ax
g
第 4章 受弯构件正截面承载力截面复核,
已知,b,h,a,a’,As,As’,fy,fy’,fc
求,Mu≥M
未知数,受压区高度 x 和受弯承载力 Mu两个未知数截面设计已知,弯矩设计值 M
求,截面尺寸 b,h(h0)、截面配筋 As，以及材料强度 fy,fc
未知数,受压区高度 x,b,h(h0),As,fy,fc
基本公式,两个
20m a x,1 bhfM cs )(
0 ahAfM syub
'2 sax?
第 4章 受弯构件正截面承载力已知矩形截面简支梁，截面尺寸 b× h=250mm× 450mm，
M=268kN*m,采用混凝土强度等级 C40,Ⅱ 级钢筋，结构安全等级为 Ⅱ 级，环境类别为二类,试求所需钢筋的截面面积。
例题 2
【 解 】,
1、假定钢筋为两排,a=70mm,a’=30+10=40mm,h0=h-a=450－
70=380mm；查表可得 fc=19.5N/mm2,fy=310N/mm2,?b=0.544。
2、求计算系数
4 5 7.03 8 02 5 05.190.1 102 6 8 2
6
2
0
bhf M
c
s?
第 4章 受弯构件正截面承载力
5 4 4.07 0 7.04 5 7.0211211 bs
为超筋破坏，在不能扩大截面的条件下，设计成双筋截面 。
3、计算 A’s
取?=?b，则可得 Mu2
2
26
0
2
0 4 1 2
)453 8 0(3 1 0
3 8 02 5 03 9 6.05.19102 6 82.1
)( mmahf
bhfMA
y
sbcd
s
g
4、计算 As
20 3 6 6 3
3 1 0
4 1 23 1 03 8 02 5 05 4 4.05.19 mm
f
AfbhfA
y
sybc
s?
第 4章 受弯构件正截面承载力第 4章 受弯构件正截面承载力
1,挖去受拉区混凝土,形成 T形截面,对受 弯承载力没影响 。
2,可以 节省混凝土,减轻自重 。
4,受拉钢筋较多,可将截面底部适当增大,形成工形截面 。
工形截面的受弯承载力的计算与 T形截面相同 。
4.6 T形截面
h
f
’
x
b
h
f
b
f
’
b
f
h
0
h
第 4章 受弯构件正截面承载力翼缘处的压应力与腹板处受压区压应力相比，存在 滞后现象,距腹板距离越远，滞后程度越大,受压翼缘压应力的分布是不均匀的 。
认为 在 bf’范围内压应力为均匀分布,bf’范围以外部分的翼缘则不考虑。
计算上为简化采有效翼缘宽度 bf’ (Effective flange width)
受压翼缘越大，对截面受弯越有利第 4章 受弯构件正截面承载力按三种情况的 最小值 取用第 4章 受弯构件正截面承载力
T形截面的分类第 4章 受弯构件正截面承载力
)
2
( 01
1
x
hxbfM
Afxbf
fc
syfc
第一类 T形截面的 计算公式与宽度等于 bf’的矩形截面相同为防止超筋脆性破坏，相对受压区高度应满足? ≤?b。对第一类 T
形截面，该适用条件一般能满足 ；
为防止少筋脆性破坏，受拉钢筋面积应满足 As≥ rminbh0,b为 T形截面的腹板宽度 ；
对工形和倒 T形截面,则 受拉钢筋应满足
As≥ rmin[bh0 + (bf - b)hf]
第 4章 受弯构件正截面承载力第 4章 受弯构件正截面承载力
m a x,1
2
0m a x,1
m a x
0
1
0
sscs
y
c
b
s
bb
bhfM
f
f
bh
A
hx
rr
或或防止超筋脆性破坏防止少筋脆性破坏
bhA s m i nr?
