信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-1页 ■
电子教案 第一章 信号与系统
1.1 绪 言一、信号的概念二、系统的概念
1.2 信号的描述与分类一、信号的描述二、信号的分类
1.3 信号的基本运算一、加法和乘法二、时间变换
1.4 阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数二、冲激函数三、冲激函数的性质四、序列 δ (k)和 ε(k)
1.5 系统的性质及分类一、系统的定义二、系统的分类及性质
1.6 系统的描述一、连续系统二、离散系统
1.7 LTI系统分析方法概述点击目录,进入相关章节信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-2页 ■
电子教案什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？
一、信号的概念
1,消息 (message):
人们常常把来自外界的各种报道统称为 消息 。
2,信息 (information):
通常把消息中有意义的内容称为 信息 。
本课程中对,信息,和,消息,两词不加严格区分。
1.1 绪论第一章 信号与系统它是信息论中的一个术语。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-3页 ■
电子教案 1.1 绪论
3,信号 (signal):
信号 是信息的载体。通过信号传递信息。
信号我们并不陌生，如刚才铃声 —声信号,表示该上课了；
十字路口的红绿灯 —光信号,
指挥交通；
电视机天线接受的电视信息 —
电信号 ；
广告牌上的文字、图象信号等等。
为了有效地传播和利用信息，
常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-4页 ■
电子教案二、系统的概念一般而言,系统 (system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。
如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，
这样的物理装置常称为系统。
系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。
系统输入信号激励输出信号响应
1.1 绪论信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-5页 ■
电子教案
1.2 信号的描述和分类第一章 信号与系统一、信号的描述信号 是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。
信号 按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号 ---简称,信号,。
电信号的基本形式,随时间变化的电压或电流。
描述信号的常用方法 （ 1）表示为时间的函数
（ 2）信号的图形表示 --波形
,信号,与,函数,两词常相互通用。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-6页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类二、信号的分类
1,确定信号和随机信号可以用确定时间函数表示的信号，称为 确定信号 或 规则信号 。如正弦信号。
若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，
如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为 随机信号 或 不确定信号 。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。
研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-7页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类
2,连续信号和离散信号 根据信号定义域的特点可分为 连续时间信号和离散时间信号 。
在连续的时间范围内 (-∞<t<∞ ）有定义的信号称为 连续时间信号,简称 连续信号 。实际中也常称为 模拟信号 。
这里的,连续,指函数的定义域 —时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。
to
f 1 ( t ) = s in (π t )
1 2 to 1 2
1
-1-1
1
f 2 ( t )
值域连续值域不连续
（ 1）连续时间信号：
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-8页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为 离散时间信号,简称 离散信号 。实际中也常称为 数字信号 。
这里的,离散,指信号的定义域 —时间是离散的，
它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。 如右图的 f(t)仅在一些离散时刻
tk(k = 0,± 1,± 2,… )才有定义，
其余时间无定义。
相邻离散点的间隔 Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等间隔 T，
离散信号可表示为 f(kT)，简写为
f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为 序列 。其中 k称为 序号 。
t
o
2
t 1
1
f ( t )
- 1,5
2
1
t 2 t 3 t 4t- 1
离散时间信号：
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-9页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类上述离散信号可简画为
k
o
2
1
1
f ( k )
- 1,5
2
1
2 3 4-1
用表达式可写为
k0
41
3,0
2,2
1,5.1
0,2
1,1
)(
其他，
,k
k
k
k
k
k
kf
或写为
f(k)= {…,0,1,2,-1.5,2,0,1,0,…}
↑
k=0
通常将对应某序号 m的序列值称为第 m个样点的,样值,。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-10页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类
3,周期信号和非周期信号周期信号 (period signal)是定义在 (-∞,∞ )区间，每隔一定时间 T (或整数 N），按相同规律重复变化的信号。
连续周期信号 f(t)满足
f(t) = f(t + mT),m = 0,± 1,± 2,…
离散周期信号 f(k)满足
f(k) = f(k + mN),m = 0,± 1,± 2,…
满足上述关系的最小 T(或整数 N)称为该信号的 周期 。
不具有周期性的信号称为 非周期信号 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-11页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类例 1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。
（ 1） f1(t) = sin2t + cos3t （ 2） f2(t) = cos2t + sinπt
解,两个周期信号 x(t),y(t)的周期分别为 T1和 T2，若其周期之比 T1/T2为有理数，则其和信号 x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为 T1和 T2的最小公倍数。
（ 1） sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为
ω1= 2 rad/s,T1= 2π/ ω1= πs
cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为
ω2= 3 rad/s,T2= 2π/ ω2= (2π/3) s
由于 T1/T2= 3/2为有理数，故 f1(t)为周期信号，其周期为
T1和 T2的最小公倍数 2π。
（ 2） cos2t 和 sinπt的周期分别为 T1= πs,T2= 2 s，由于
T1/T2为无理数，故 f2(t)为非周期信号。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-12页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类例 2 判断正弦序列 f(k) = sin(βk)是否为周期信号，
若是，确定其周期。
解 f(k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ),m = 0,± 1,± 2,…
m N ) ]s i n [ β ( k
β
2πmkβs i n
式中 β称为正弦序列的数字角频率，单位,rad。
由上式可见：
仅当 2π/ β为整数时,正弦序列才具有周期 N = 2π/ β。
当 2π/ β为有理数时,正弦序列仍为具有周期性，但其周期为 N= M(2π/ β),M取使 N为整数的最小整数。
当 2π/ β为无理数时,正弦序列为非周期序列。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-13页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类例 3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。
（ 1） f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk)
（ 2） f2(k) = sin(2k)
解 （ 1） sin(3πk/4) 和 cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 =
3π/4 rad,β2 = 0.5π rad
由于 2π/ β1 = 8/3,2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期分别为 N1 = 8,N1 = 4，故 f1(k) 为周期序列，其周期为 N1和
N2的最小公倍数 8。
（ 2） sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于 2π/ β1 = π
为无理数，故 f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。
由上面几例可看出,①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-14页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类
4．能量信号与功率信号将信号 f (t)施加于 1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为 | f (t) |2，在区间 (–∞,∞)的 能量 和 平均功率 定义为
（ 1）信号的能量 E
ttfE d)( 2
d e f
（ 2）信号的功率 P
2
2
2d e f d)(1lim
T
TT ttfTP
若信号 f (t)的能量有界，即 E <∞,则称其为 能量有限信号,简称 能量信号 。此时 P = 0
若信号 f (t)的功率有界，即 P <∞,则称其为 功率有限信号,简称 功率信号 。此时 E = ∞
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-15页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类相应地,对于 离散信号,也有能量信号、功率信号之分。
若满足 的 离散信号,称为能量信号。
k
kfE 2|)(|
若满足 的 离散信号,称为功率信号。
2/
2/
2|)(|1lim N
NkN
kfNP
时限信号 (仅在有限时间区间不为零的信号 )为能量信号 ; 周期信号 属于功率信号，而 非周期信号 可能是能量信号，也可能是功率信号。
有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，
如 f (t) = e t。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-16页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类
5．一维信号与多维信号从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为 一维 或 多维函数 。
语音信号 可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号 。而一张 黑白图像 每个点 (像素 )具有不同的光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数，
这是 二维信号 。还有更多维变量的函数的信号。
本课程只研究 一维信号,且自变量多为时间。
6．因果信号与反因果信号常将 t = 0时接入系统的信号 f(t) [即在 t < 0,f(t) =0]称为 因果信号 或 有始信号 。阶跃信号是典型的一个。
而将 t ≥ 0,f(t) =0的信号称为 反因果信号 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-17页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算还有其他分类，如 实信号 与 复信号 ； 左边信号 与 右边信号 等等。 1.3 信号的基本运算一、信号的＋、－,× 运算两信号 f1(·) 和 f2 (·)的相 +、－,× 指同一时刻两信号之值对应相加减乘 。如其他k
k
k
k
kf
1
0
1
,
,
,
,
0
6
3
2
)(1
其他k
k
k
k
kf
2
1
0
,
,
,
,
0
4
2
3
)(2
其他k
k
k
k
k
kfkf
,0
2,4
1,8
0,6
1,2
)()(
21
其他k
k
k
kfkf 1
0
,
,
,
0
12
9
)()( 21?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-18页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算二、信号的时间变换运算
1,反转将 f (t) → f (– t),f (k) → f (– k) 称为对信号 f (·)
的 反转 或 反折 。从图形上看是将 f (·)以纵坐标为轴反转 180o。如
f ( t )
to 1
1 反转 t → - t
f ( - t )
- 1
1
to
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-19页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算
2,平移将 f (t) → f (t – t0),f (k) → f (t – k0)称为对信号 f (·)的平移 或 移位 。若 t0 (或 k0) >0，则将 f (·)右移；否则左移。
如
f ( t )
to 1
1
右移 t → t – 1
f ( t -1 )
to 2
1
1
左移 t → t + 1 f ( t+1 )
to
1
- 1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-20页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算平移与反转相结合 f ( t )
to 1
1
法一,①先平移 f(t) → f (t +2)
② 再反转 f (t +2) → f (– t +2)
法二,①先反转 f(t) → f (– t)
画出 f (2 – t)。
f ( - t )
- 1
1
to
② 再平移 f (– t) → f (– t +2)
f ( t )
to 1
1
2 to 1
1
f ( - t +2 )
- 1 to
1
- 2
f ( t +2 )
左移右移
= f [– (t – 2)]
注意：是对 t 的变换！
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-21页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算
3,尺度变换（横坐标展缩）
将 f (t) → f (a t),称为对信号 f (t)的 尺度变换 。
若 a >1,则波形沿横坐标压缩；若 0< a < 1,则展开 。
如
to
f ( t )
1
- 2 2
t → 2 t 压缩
to
1
- 1
f ( 2 t )
1
t → 0.5 t 展开
to
1
- 4
f ( 0,5 t )
4
对于离散信号，由于 f (a k) 仅在为 a k 为 整数 时才有意义,进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-22页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算平移、反转、尺度变换相结合
to
f ( t )
1
- 2 2
已知 f (t)，画出 f (– 4 – 2t)。 三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间
t 进行。 f ( t -4 )
42 6 to
1
压缩，得 f(2t – 4)
f (2 t -4 )
21 3 to
1反转，得 f(– 2t – 4)
- 1- 3
f (- 2 t -4 )
to
1
右移 4，得 f(t – 4)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-23页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算
to
f ( t )
1
- 2 2
压缩，得 f(2t)
f ( 2 t )
- 1 1 to
1
右移 2，得 f(2t – 4)
f (2 t -4 )
21 3 to
1反转，得 f(– 2t – 4)
- 1- 3
f (- 2 t -4 )
to
1
也可以先压缩、再平移、最后反转。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-24页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算若已知 f(– 4 – 2t),画出 f (t) 。
- 1- 3
f ( - 2 t - 4 )
to
1 反转，得 f(2t –4)
f (2 t - 4 )
21 3 to
1
展开，得 f(t – 4)
to
1
f ( t - 4 )
2 4 6
左移 4，得 f(t)
to
f ( t )
1
- 2 2
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-25页 ■
电子教案
1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数 和 冲激函数 不同于普通函数，称为 奇异函数 。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。
1.4 阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
选定一个函数序列 γn(t)如图所示。
to
n
1
n
1
1
γ n
2
1
n →∞
to
1
ε ( t )
0,1
0,
2
1
0,0
)(lim)(
d e f
t
t
t
tt n
n
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-26页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数性质：
（ 1）可以方便地表示某些信号
f ( t )
o
2
t1 2
-1
f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
( a ) ( b )
f ( t ) f ( t ) ε ( t )
o o tt o t
( c )
f ( t )[ ε ( t - t 1 ) - ε ( t - t 2 )]
t 1 t 2
（ 2）用阶跃函数表示信号的作用区间
（ 3）积分 )(d)( ttt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-27页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数二、冲激函数单位冲激函数 是个奇异函数，它是对强度极大，
作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由 狄拉克 最早提出）
1)(
0,0)(
dtt
tt
to
( 1 )
δ ( t )
也可采用下列 直观定义,对 γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲 pn(t) 。
to
p n ( t )
n
1
n
1
2
n
)(lim)( d e f tpt n
n
高度无穷大，宽度无穷小，面积为 1的对称窄脉冲。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-28页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数冲激函数与阶跃函数关系：
t
tt
d
)(d)(
to
1
ε ( t )
to
( 1 )
δ ( t )
tt d)()(
可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如
to
f ( t )
2
1- 1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1) f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
求导
1
- 1 o
t
f '( t )
( 2 )
( - 2)
to
n
1
n
1
1
γ n
2
1
to
p n ( t )
n
1
n
1
2
n
n→∞
n→∞
t
ttp n
n d
)(d)(
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-29页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数三、冲激函数的性质
1,与普通函数 f(t) 的乘积 ——取样性质若 f(t)在 t = 0,t = a处存在，则
f(t) δ(t) = f(0) δ(t),f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)
)0(d)()( ftttf
)(2 2)()4s in ()()4s in ( tttt 2
2d)()
4s in (
ttt
d)1()4s i n (03 tttd)()4s i n (
9
1 ttt?
d)(211 t?d)()1(1 2 t
0 22?
其它,0
11,2 tt ε(t)
)(d)()( aftattf
)(e2)()(e2)(e)(ed d 2222 tttttt tttt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-30页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数
2,冲激函数的导数 δ’(t) （也称冲激偶）
f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
证明,[ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ (t)
f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ (t)
= f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
δ’(t)的定义：
)0('d)()(' fttft
δ(n)(t)的定义：
)0()1(d)()( )()( nnn fttft
4)2(2])2[(d dd)()2( 0022 tt tttttt?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-31页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数
3,δ(t) 的尺度变换
)(1|| 1)( )()( t
aa
at nnn
证明见教材 P20
推论,
(1)
)(|| 1)( taat )(|| 1)( 00 attatat
δ(2t) = 0.5δ (t)
)()1()( )()( tt nnn(2)当 a = –1时所以,δ(– t) = δ (t) 为偶函数，
δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-32页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数已知 f(t)，画出 g(t) = f ’(t)和 g(2t)
求导，得 g(t)
o 2 t
f ( t )
- 2
4
( 4 )
o 2 t
g ( t ) = f '( t )
- 2
- 1
压缩，得 g(2t)
( 2 )
o 1
t
g (2 t )
- 1
- 1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-33页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数
4,复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如 δ[f(t)]的冲激函数，其中 f(t)是普通函数。并且 f(t) = 0有 n个互不相等的实根 ti ( i=1,2,…,n)
t
tftftf
t d
)(d)]([)]}([{
d
d
)]}([{dd)('1)]([ tfttftf
ε[f(t)]图示说明,例 f(t)= t2 – 4
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
f ( t )
t
- 4
- 2 2o
1
ε [ f ( t ) ]
2- 2 to
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-34页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数
)2(
4
1
)2(
4
1
)2(
22
1
)2(
22
1
)]2()2([
2
1
)]4([
d
d
2
1
]4[ 22
tttt
tt
t
t
tt
t
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
一般地,?
n
i
i
i
tt
tf
tf
1
)(
)('
1)]([
这表明,δ[f(t)]是位于各 ti处，强度为 的 n个冲激函数构成的冲激函数序列。 )('
1
itf
)21(41)21(41)14( 2 ttt
注意,如果 f(t)=0有重根,δ[f(t)]无意义。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-35页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数这两个序列是普通序列。
（ 1）单位 (样值 )序列 δ(k)的定义
0,0
0,1)( d e f
k
kk?
o
1
1- 1 k
δ ( k )
取样性质,f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
)0()()( fkkf
k
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
例?)(
k
k)()5(
k
kk)(
i
ik?
三、序列 δ(k)和 ε(k)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-36页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数
（ 2）单位阶跃序列 ε(k)的定义
0,0
0,1)( d e f
k
kk?
o
1
1- 1 k
ε ( k )
2 3
…
（ 3） ε(k)与 δ(k)的关系
δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
k
i
ik )()(
或
0
)()(
j
jkk
ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-37页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
1.5 系统的性质及分类一、系统的定义若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。
电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于全部。电路、系统两词通用。
二、系统的分类及性质可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，
提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-38页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
1,连续系统与离散系统若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为 连续时间系统,简称为连续系统 。
若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，
则称该系统为 离散时间系统,简称为 离散系统 。
2,动态系统与即时系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为 动态系统 或 记忆系统 。含有记忆元件 (电容、电感等 )的系统是动态系统。否则称 即时系统 或 无记忆系统 。
3,单输入单输出系统与多输入多输出系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-39页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
4,线性系统与非线性系统满足线性性质的系统称为 线性系统 。
（ 1）线性性质系统的激励 f (·)所引起的响应
y(·) 可简记为 y(·) = T[ f (·)] 系统
f ( · ) y ( · )
线性性质包括两方面,齐次性 和 可加性 。
若系统的激励 f (·)增大 a倍时，其响应 y(·)也增大 a倍，即
T [af (·)] = a T [ f (·)]
则称该系统是 齐次的 。
若系统对于激励 f1(·)与 f2(·)之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即
T [ f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] 则称该系统是 可加的 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-40页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是 线性的,
即 T[a f1(·) + bf2(·)] = a T[ f1(·)] + bT[ f2(·)]
（ 2）动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励 { f(·) }有关，而且与系统的初始状态 {x(0)}有关。 初始状态也称,内部激励,。
完全响应可写为
y (·) = T [{ f (·) },{x(0)}]
零状态响应为
yf(·) = T [{ f (·) },{0}]
零输入响应为
yx(·) = T [ {0},{x(0)}]
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-41页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统,
② 零状态线性,
T[{a f (·) },{0}] = a T[{ f (·) },{0}]
T[{f1(t) + f2(t) },{0}] = T[{ f1 (·) },{0}] + T[{ f2 (·) },{0}]
或
T[{af1(t) +bf2(t) },{0}] = aT[{ f1 (·) },{0}] +bT[{ f2 (·) },{0}]
③ 零输入线性,
T[{0},{ax(0)}]= aT[ {0},{x(0)}]
T[{0},{x1(0) + x2(0)} ]= T[{0},{x1(0)}] + T[{0},{x2(0)}]
或 T[{0},{ax1(0) +bx2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}]
① 可分解性,
y (·) = yf(·) + yx(·) = T[{ f (·) },{0}]+ T[ {0},{x(0)}]
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-42页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类例 1：判断下列系统是否为线性系统？
（ 1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1
（ 2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)|
（ 3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)
解,（ 1） yf(t) = 2 f (t) +1,yx(t) = 3 x(0) + 1
显然,y (t) ≠ yf(t) ＋ yx(t) 不满足可分解性，故为非线性
（ 2） yf(t) = | f (t)|,yx(t) = 2 x(0)
y (t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性；
由于 T[{a f (t) },{0}] = | af (t)| ≠ a yf(t) 不满足零状态线性。
故为非线性系统。
（ 3） yf(t) = 2 f (t),yx(t) = x2(0),显然满足可分解性；
由于 T[ {0},{a x(0) }] =[a x(0)]2 ≠a yx(t)不满足零输入线性。
故为非线性系统。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-43页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类例 2,判断下列系统是否为线性系统？
xxfxxty tt d)()s i n ()0(e)( 0解：
xxfxtyxty tftx d)()s i n ()(),0(e)( 0
y (t) = yf(t) + yx(t),满足可分解性；
T[{a f1(t)+ b f2(t) },{0}]
xxfxxxfxxxfxfx ttt d)()s i n (bd)()s i n (ad)](b)() [ as i n ( 0 20 10 21
= aT[{f1(t)},{0}] +bT[{ f2(t) },{0}]，满足零状态线性；
T[{0},{ax1(0) + bx2(0)} ]
= e-t[ax1(0) +bx2(0)] = ae-tx1(0)+ be-tx2(0)
= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}],满足零输入线性；
所以，该系统为线性系统。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-44页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
5,时不变系统与时变系统满足时不变性质的系统称为 时不变系统 。
（ 1）时不变性质若系统满足输入延迟多少时间，
其零状态响应也延迟多少时间，
即若
T[{0},f(t)] = yf(t)
则有
T[{0},f(t - td)] = yf(t - td)
系统的这种性质称为 时不变性
（或 移位不变性 ）。
1o
1
f ( t )
1 2 tt
y f ( t )
o
T 2
2o
1
f ( t -1 )
2 3 tt
y f ( -1 )
o
T
1 1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-45页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类例,判断下列系统是否为时不变系统？
（ 1） yf (k) = f (k) f (k –1)
（ 2） yf (t) = t f (t)
（ 3） y f(t) = f (– t)
解 (1)令 g(k) = f(k –kd)
T[{0},g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 )
而 yf (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1)
显然 T[{0},f(k –kd)] = yf (k –kd) 故该系统是时不变的。
(2) 令 g (t) = f(t –td)
T[{0},g (t)] = t g (t) = t f (t –td)
而 yf (t –td)= (t –td) f (t –td)
显然 T[{0},f(t –td)] ≠ yf (t –td) 故该系统为时变系统。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-46页 ■
电子教案
(3) 令 g (t) = f(t –td),
T[{0},g (t) ] = g (– t) = f(– t –td)
而 yf (t –td) = f [–( t – td)]，显然
T[{0},f(t –td)] ≠ yf (t –td)
故该系统为时变系统。
直观判断方法：
若 f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
1.5 系统的性质及分类信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-47页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
（ 2） LTI连续系统的微分特性和积分特性本课程重点讨论线性时不变系统
(Linear Time-Invariant)，简称 LTI系统。
① 微分特性：
若 f (t) → yf(t),则 f ’(t) → y ’ f (t)
② 积分特性：
若 f (t) → yf(t),则
tt xxyxxf d)(d)(
f
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-48页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
6,因果系统与非因果系统零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为 因果系统 。
即对因果系统，当 t < t0,f(t) = 0时，有 t < t0,yf(t) = 0。
如下列系统均为 因果系统,
t xxfty d)()(fyf(t) = 3f(t – 1)
而下列系统为 非因果系统,
(1) yf(t) = 2f(t + 1)
(2) yf(t) = f(2t)
因为，令 t=1时，有 yf(1) = 2f(2)
因为，若 f(t) = 0,t < t0,有 yf(t) = f(2t)=0,t < 0.5 t0 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-49页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类例 某 LTI因果连续系统，起始状态为 x(0–)。已知，当
x(0–) =1，输入因果信号 f1(t)时，全响应
y1(t) = e –t + cos(πt),t>0；
当 x(0-) =2，输入信号 f2(t)=3f1(t)时，全响应
y2(t) = –2e –t +3 cos(πt),t>0；
求输入 f3(t) = +2f1(t-1)时，系统的零状态响应
y3f(t) 。 t
tf
d
)(d 1
解 设当 x(0–) =1，输入因果信号 f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为 y1x(t),y1f(t)。当 x(0-) =2，
输入信号 f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为 y2x(t),y2f(t)。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-50页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类由题中条件，有
y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e –t + cos(πt),t>0 （ 1） y2(t) =
y2x(t) + y2f(t) = –2e –t +3 cos(πt),t>0 （ 2）
根据线性系统的齐次性,y2x(t) = 2y1x(t),y2f(t) =3y1f(t)，
代入式（ 2）得
y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = –2e –t +3 cos(πt),t>0 （ 3）
式 (3)– 2× 式 (1)，得
y1f(t) = –4e-t + cos(πt),t>0
由于 y1f(t) 是因果系统对因果输入信号 f1(t)的零状态响应，故当 t<0,y1f(t)=0；因此 y1f(t)可改写成
y1f(t) = [–4e-t + cos(πt)]ε(t) (4)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-51页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
f1(t) →y 1f(t) = [–4e-t + cos(πt)]ε(t)
根据 LTI系统的微分特性
t
ty
t
tf
d
)(d
d
)(d 1f1? = –3δ(t) + [4 –πsin(πt)]ε(t)
根据 LTI系统的时不变特性
f1(t–1) →y 1f(t – 1) ={ –4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1)
由线性性质，得：当输入 f3(t) = +2f1(t–1)时，
t
tf
d
)(d 1
y3f(t) = + 2y1(t–1) = –3δ(t) + [4–πsin(πt)]ε(t)
+ 2{–4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1)t
ty
d
)(d 1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-52页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
7,稳定系统与不稳定系统一个系统，若对有界的激励 f(.)所产生的零状态响应 yf(.)也是有界时，则称该系统为 有界输入有界输出稳定,简称 稳定 。即 若 │f(.)│<∞，其 │yf(.)│<∞ 则称系统是稳定的。
如 yf(k) = f(k) + f(k-1)是稳定系统；而
t xxfty d)()(f 是不稳定系统。
因为，当 f(t) =ε(t)有界，
t ttxx )(d)( 当 t →∞ 时，它也 →∞,无界。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-53页 ■
电子教案 1.6 系统的描述
1.5 系统的描述描述连续动态系统的数学模型是 微分方程,描述离散动态系统的数学模型是 差分方程 。
一、连续系统
1,解析描述 ——建立数学模型图示 RLC电路，以 uS(t)作激励，以 uC(t)作为响应，由 KVL和 VAR列方程，并整理得
u S ( t ) u C ( t )
L R
C
)(0')0(
d
d
d
d
2
2
CC
SC
CC
uu
uu
t
u
RC
t
u
LC
，
二阶常系数线性微分方程。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-54页 ■
电子教案 1.6 系统的描述
)()(d )(dd )(d 012
2
2 tftyat
tya
t
tya
抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。
M
x
C
k
f ( t )
其中,k为弹簧常数,M为物体质量,C为减振液体的阻尼系数,x
为物体偏离其平衡位置的位移,f(t)
为初始外力。其运动方程为
)()(d )(dd )(d 2
2
tftkxt txCt txM
能用相同方程描述的系统称相似系统 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-55页 ■
电子教案 1.6 系统的描述
2,系统的框图描述上述方程从 数学角度 来说代表了某些运算关系,相乘、微分、相加运算 。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为 模拟框图,简称 框图 。 基本部件单元 有：
积分器：
f ( t )
∫
t xxf d)(
加法器：
f 1 ( t )
∑
f 2 ( t )
f 1 ( t ) - f 2 ( t )
数乘器：
a
f ( t )
或
a
a f ( t )
积分器的抗干扰性比微分器好。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-56页 ■
电子教案 1.6 系统的描述系统模拟,
实际系统 → 方程 → 模拟框图
→ 实验室实现（模拟系统） → 指导实际系统设计例 1：已知 y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，画框图。
解：将方程写为 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t)
∫ ∫
y " ( t ) y '( t ) y ( t )
∑
a
b
f ( t )
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-57页 ■
电子教案 1.6 系统的描述例 2：已知 y”(t) + 3y’(t)+ 2y(t) = 4f’(t) + f(t)，画框图。
解：该方程含 f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。
设辅助函数 x(t)满足 x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t)
可推导出 y(t) = 4x’(t) + x(t),它满足原方程 。
∫ ∫x " ( t ) x ' ( t ) x ( t )∑
3
2
f ( t )
∑
y ( t )
4
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-58页 ■
电子教案例 3：已知框图，写出系统的微分方程。
1.6 系统的描述
y ( t )
∑ ∑∫ ∫ 3
4
2
3
f ( t )
设辅助变量 x(t)如图
x(t)
x’(t)x”(t)
x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t),即 x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t)
y(t) = 4x’(t)+ 3x(t)
根据前面，逆过程，得
y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-59页 ■
电子教案 1.6 系统的描述二、离散系统
1,解析描述 ——建立差分方程例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为 β
元 /元，求第 k个月初存折上的款数。
设第 k个月初的款数为 y(k),这个月初的存款为 f(k),上个月初的款数为 y(k-1)，利息为 βy(k-1),则
y(k)=y(k-1)+ βy(k-1)+f(k)
即 y(k)-(1+β)y(k-1) = f(k)
若设开始存款月为 k=0，则有 y(0)= f(0)。
上述方程就称为 y(k)与 f(k)之间所满足的差分方程。
所谓 差分方程 是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为 差分方程的阶数 。上述为 一阶差分方程 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-60页 ■
电子教案 1.6 系统的描述由 n阶差分方程描述的系统称为 n阶系统。
描述 LTI系统的是线性常系数差分方程。
2,差分方程的模拟框图基本部件单元 有：
数乘器，加法器，迟延单元（移位器）
f ( k )
D
f ( k -1 )
例,下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？
并写出方程的阶数。
（ 1） y(k) + (k – 1)y(k – 1) = f(k)
（ 2） y(k) + y(k+1) y(k – 1) = f2(k)
（ 3） y(k) + 2 y(k – 1) = f(1 – k)+1
解,判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，
则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、
展缩变换，则为时不变的。
线性、时变，一阶非线性、时不变，二阶非线性、时变，一阶信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-61页 ■
电子教案 1.6 系统的描述例：已知框图，写出系统的差分方程。
y ( k )
∑ ∑D D 5
4
2
3
f ( k )
解,设辅助变量 x(k)如图
x(k) x(k-1) x(k-2)
即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k)
y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2)
消去 x(k),得
y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2)
x(k)= f(k) – 2x(k-1) – 3x(k-2)
方程 ←→ 框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-62页 ■
电子教案 1.7 系统分析概述
1.7 LTI系统分析概述系统分析研究的 主要问题,对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。
具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。
系统的 分析方法,输入输出法（外部法）
状态变量法 （内部法）（ chp.8)
外部法时域分析（ chp.2,chp.3)
变换域法连续系统 —频域法 (4)和 复频域法 (5)
离散系统 —z域法 （ chp6)
系统特性,系统函数 （ chp.7)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-63页 ■
电子教案
（ 1）把 零输入响应 和 零状态响应 分开求。
（ 2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性,多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。
1.7 系统分析概述求解的 基本思路,
采用的数学工具：
（ 1）卷积积分与卷积和
（ 2）傅里叶变换
（ 3）拉普拉斯变换
（ 4） Z变换
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-1页 ■
电子教案 第一章 信号与系统
1.1 绪 言一、信号的概念二、系统的概念
1.2 信号的描述与分类一、信号的描述二、信号的分类
1.3 信号的基本运算一、加法和乘法二、时间变换
1.4 阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数二、冲激函数三、冲激函数的性质四、序列 δ (k)和 ε(k)
1.5 系统的性质及分类一、系统的定义二、系统的分类及性质
1.6 系统的描述一、连续系统二、离散系统
1.7 LTI系统分析方法概述点击目录,进入相关章节信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-2页 ■
电子教案什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？
一、信号的概念
1,消息 (message):
人们常常把来自外界的各种报道统称为 消息 。
2,信息 (information):
通常把消息中有意义的内容称为 信息 。
本课程中对,信息,和,消息,两词不加严格区分。
1.1 绪论第一章 信号与系统它是信息论中的一个术语。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-3页 ■
电子教案 1.1 绪论
3,信号 (signal):
信号 是信息的载体。通过信号传递信息。
信号我们并不陌生，如刚才铃声 —声信号,表示该上课了；
十字路口的红绿灯 —光信号,
指挥交通；
电视机天线接受的电视信息 —
电信号 ；
广告牌上的文字、图象信号等等。
为了有效地传播和利用信息，
常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-4页 ■
电子教案二、系统的概念一般而言,系统 (system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。
如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，
这样的物理装置常称为系统。
系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。
系统输入信号激励输出信号响应
1.1 绪论信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-5页 ■
电子教案
1.2 信号的描述和分类第一章 信号与系统一、信号的描述信号 是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。
信号 按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号 ---简称,信号,。
电信号的基本形式,随时间变化的电压或电流。
描述信号的常用方法 （ 1）表示为时间的函数
（ 2）信号的图形表示 --波形
,信号,与,函数,两词常相互通用。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-6页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类二、信号的分类
1,确定信号和随机信号可以用确定时间函数表示的信号，称为 确定信号 或 规则信号 。如正弦信号。
若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，
如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为 随机信号 或 不确定信号 。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。
研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-7页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类
2,连续信号和离散信号 根据信号定义域的特点可分为 连续时间信号和离散时间信号 。
在连续的时间范围内 (-∞<t<∞ ）有定义的信号称为 连续时间信号,简称 连续信号 。实际中也常称为 模拟信号 。
这里的,连续,指函数的定义域 —时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。
to
f 1 ( t ) = s in (π t )
1 2 to 1 2
1
-1-1
1
f 2 ( t )
值域连续值域不连续
（ 1）连续时间信号：
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-8页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为 离散时间信号,简称 离散信号 。实际中也常称为 数字信号 。
这里的,离散,指信号的定义域 —时间是离散的，
它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。 如右图的 f(t)仅在一些离散时刻
tk(k = 0,± 1,± 2,… )才有定义，
其余时间无定义。
相邻离散点的间隔 Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等间隔 T，
离散信号可表示为 f(kT)，简写为
f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为 序列 。其中 k称为 序号 。
t
o
2
t 1
1
f ( t )
- 1,5
2
1
t 2 t 3 t 4t- 1
离散时间信号：
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-9页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类上述离散信号可简画为
k
o
2
1
1
f ( k )
- 1,5
2
1
2 3 4-1
用表达式可写为
k0
41
3,0
2,2
1,5.1
0,2
1,1
)(
其他，
,k
k
k
k
k
k
kf
或写为
f(k)= {…,0,1,2,-1.5,2,0,1,0,…}
↑
k=0
通常将对应某序号 m的序列值称为第 m个样点的,样值,。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-10页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类
3,周期信号和非周期信号周期信号 (period signal)是定义在 (-∞,∞ )区间，每隔一定时间 T (或整数 N），按相同规律重复变化的信号。
连续周期信号 f(t)满足
f(t) = f(t + mT),m = 0,± 1,± 2,…
离散周期信号 f(k)满足
f(k) = f(k + mN),m = 0,± 1,± 2,…
满足上述关系的最小 T(或整数 N)称为该信号的 周期 。
不具有周期性的信号称为 非周期信号 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-11页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类例 1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。
（ 1） f1(t) = sin2t + cos3t （ 2） f2(t) = cos2t + sinπt
解,两个周期信号 x(t),y(t)的周期分别为 T1和 T2，若其周期之比 T1/T2为有理数，则其和信号 x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为 T1和 T2的最小公倍数。
（ 1） sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为
ω1= 2 rad/s,T1= 2π/ ω1= πs
cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为
ω2= 3 rad/s,T2= 2π/ ω2= (2π/3) s
由于 T1/T2= 3/2为有理数，故 f1(t)为周期信号，其周期为
T1和 T2的最小公倍数 2π。
（ 2） cos2t 和 sinπt的周期分别为 T1= πs,T2= 2 s，由于
T1/T2为无理数，故 f2(t)为非周期信号。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-12页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类例 2 判断正弦序列 f(k) = sin(βk)是否为周期信号，
若是，确定其周期。
解 f(k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ),m = 0,± 1,± 2,…
m N ) ]s i n [ β ( k
β
2πmkβs i n
式中 β称为正弦序列的数字角频率，单位,rad。
由上式可见：
仅当 2π/ β为整数时,正弦序列才具有周期 N = 2π/ β。
当 2π/ β为有理数时,正弦序列仍为具有周期性，但其周期为 N= M(2π/ β),M取使 N为整数的最小整数。
当 2π/ β为无理数时,正弦序列为非周期序列。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-13页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类例 3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。
（ 1） f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk)
（ 2） f2(k) = sin(2k)
解 （ 1） sin(3πk/4) 和 cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 =
3π/4 rad,β2 = 0.5π rad
由于 2π/ β1 = 8/3,2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期分别为 N1 = 8,N1 = 4，故 f1(k) 为周期序列，其周期为 N1和
N2的最小公倍数 8。
（ 2） sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于 2π/ β1 = π
为无理数，故 f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。
由上面几例可看出,①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-14页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类
4．能量信号与功率信号将信号 f (t)施加于 1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为 | f (t) |2，在区间 (–∞,∞)的 能量 和 平均功率 定义为
（ 1）信号的能量 E
ttfE d)( 2
d e f
（ 2）信号的功率 P
2
2
2d e f d)(1lim
T
TT ttfTP
若信号 f (t)的能量有界，即 E <∞,则称其为 能量有限信号,简称 能量信号 。此时 P = 0
若信号 f (t)的功率有界，即 P <∞,则称其为 功率有限信号,简称 功率信号 。此时 E = ∞
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-15页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类相应地,对于 离散信号,也有能量信号、功率信号之分。
若满足 的 离散信号,称为能量信号。
k
kfE 2|)(|
若满足 的 离散信号,称为功率信号。
2/
2/
2|)(|1lim N
NkN
kfNP
时限信号 (仅在有限时间区间不为零的信号 )为能量信号 ; 周期信号 属于功率信号，而 非周期信号 可能是能量信号，也可能是功率信号。
有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，
如 f (t) = e t。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-16页 ■
电子教案 1.2 信号的描述和分类
5．一维信号与多维信号从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为 一维 或 多维函数 。
语音信号 可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号 。而一张 黑白图像 每个点 (像素 )具有不同的光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数，
这是 二维信号 。还有更多维变量的函数的信号。
本课程只研究 一维信号,且自变量多为时间。
6．因果信号与反因果信号常将 t = 0时接入系统的信号 f(t) [即在 t < 0,f(t) =0]称为 因果信号 或 有始信号 。阶跃信号是典型的一个。
而将 t ≥ 0,f(t) =0的信号称为 反因果信号 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-17页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算还有其他分类，如 实信号 与 复信号 ； 左边信号 与 右边信号 等等。 1.3 信号的基本运算一、信号的＋、－,× 运算两信号 f1(·) 和 f2 (·)的相 +、－,× 指同一时刻两信号之值对应相加减乘 。如其他k
k
k
k
kf
1
0
1
,
,
,
,
0
6
3
2
)(1
其他k
k
k
k
kf
2
1
0
,
,
,
,
0
4
2
3
)(2
其他k
k
k
k
k
kfkf
,0
2,4
1,8
0,6
1,2
)()(
21
其他k
k
k
kfkf 1
0
,
,
,
0
12
9
)()( 21?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-18页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算二、信号的时间变换运算
1,反转将 f (t) → f (– t),f (k) → f (– k) 称为对信号 f (·)
的 反转 或 反折 。从图形上看是将 f (·)以纵坐标为轴反转 180o。如
f ( t )
to 1
1 反转 t → - t
f ( - t )
- 1
1
to
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-19页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算
2,平移将 f (t) → f (t – t0),f (k) → f (t – k0)称为对信号 f (·)的平移 或 移位 。若 t0 (或 k0) >0，则将 f (·)右移；否则左移。
如
f ( t )
to 1
1
右移 t → t – 1
f ( t -1 )
to 2
1
1
左移 t → t + 1 f ( t+1 )
to
1
- 1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-20页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算平移与反转相结合 f ( t )
to 1
1
法一,①先平移 f(t) → f (t +2)
② 再反转 f (t +2) → f (– t +2)
法二,①先反转 f(t) → f (– t)
画出 f (2 – t)。
f ( - t )
- 1
1
to
② 再平移 f (– t) → f (– t +2)
f ( t )
to 1
1
2 to 1
1
f ( - t +2 )
- 1 to
1
- 2
f ( t +2 )
左移右移
= f [– (t – 2)]
注意：是对 t 的变换！
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-21页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算
3,尺度变换（横坐标展缩）
将 f (t) → f (a t),称为对信号 f (t)的 尺度变换 。
若 a >1,则波形沿横坐标压缩；若 0< a < 1,则展开 。
如
to
f ( t )
1
- 2 2
t → 2 t 压缩
to
1
- 1
f ( 2 t )
1
t → 0.5 t 展开
to
1
- 4
f ( 0,5 t )
4
对于离散信号，由于 f (a k) 仅在为 a k 为 整数 时才有意义,进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-22页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算平移、反转、尺度变换相结合
to
f ( t )
1
- 2 2
已知 f (t)，画出 f (– 4 – 2t)。 三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间
t 进行。 f ( t -4 )
42 6 to
1
压缩，得 f(2t – 4)
f (2 t -4 )
21 3 to
1反转，得 f(– 2t – 4)
- 1- 3
f (- 2 t -4 )
to
1
右移 4，得 f(t – 4)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-23页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算
to
f ( t )
1
- 2 2
压缩，得 f(2t)
f ( 2 t )
- 1 1 to
1
右移 2，得 f(2t – 4)
f (2 t -4 )
21 3 to
1反转，得 f(– 2t – 4)
- 1- 3
f (- 2 t -4 )
to
1
也可以先压缩、再平移、最后反转。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-24页 ■
电子教案 1.3 信号的基本运算若已知 f(– 4 – 2t),画出 f (t) 。
- 1- 3
f ( - 2 t - 4 )
to
1 反转，得 f(2t –4)
f (2 t - 4 )
21 3 to
1
展开，得 f(t – 4)
to
1
f ( t - 4 )
2 4 6
左移 4，得 f(t)
to
f ( t )
1
- 2 2
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-25页 ■
电子教案
1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数 和 冲激函数 不同于普通函数，称为 奇异函数 。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。
1.4 阶跃函数和冲激函数一、阶跃函数下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。
选定一个函数序列 γn(t)如图所示。
to
n
1
n
1
1
γ n
2
1
n →∞
to
1
ε ( t )
0,1
0,
2
1
0,0
)(lim)(
d e f
t
t
t
tt n
n
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-26页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数性质：
（ 1）可以方便地表示某些信号
f ( t )
o
2
t1 2
-1
f(t) = 2ε(t)- 3ε(t-1) +ε(t-2)
( a ) ( b )
f ( t ) f ( t ) ε ( t )
o o tt o t
( c )
f ( t )[ ε ( t - t 1 ) - ε ( t - t 2 )]
t 1 t 2
（ 2）用阶跃函数表示信号的作用区间
（ 3）积分 )(d)( ttt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-27页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数二、冲激函数单位冲激函数 是个奇异函数，它是对强度极大，
作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由 狄拉克 最早提出）
1)(
0,0)(
dtt
tt
to
( 1 )
δ ( t )
也可采用下列 直观定义,对 γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲 pn(t) 。
to
p n ( t )
n
1
n
1
2
n
)(lim)( d e f tpt n
n
高度无穷大，宽度无穷小，面积为 1的对称窄脉冲。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-28页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数冲激函数与阶跃函数关系：
t
tt
d
)(d)(
to
1
ε ( t )
to
( 1 )
δ ( t )
tt d)()(
可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如
to
f ( t )
2
1- 1
f(t) = 2ε(t +1)-2ε(t -1) f′(t) = 2δ(t +1)-2δ(t -1)
求导
1
- 1 o
t
f '( t )
( 2 )
( - 2)
to
n
1
n
1
1
γ n
2
1
to
p n ( t )
n
1
n
1
2
n
n→∞
n→∞
t
ttp n
n d
)(d)(
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-29页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数三、冲激函数的性质
1,与普通函数 f(t) 的乘积 ——取样性质若 f(t)在 t = 0,t = a处存在，则
f(t) δ(t) = f(0) δ(t),f(t) δ(t –a) = f(a) δ(t –a)
)0(d)()( ftttf
)(2 2)()4s in ()()4s in ( tttt 2
2d)()
4s in (
ttt
d)1()4s i n (03 tttd)()4s i n (
9
1 ttt?
d)(211 t?d)()1(1 2 t
0 22?
其它,0
11,2 tt ε(t)
)(d)()( aftattf
)(e2)()(e2)(e)(ed d 2222 tttttt tttt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-30页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数
2,冲激函数的导数 δ’(t) （也称冲激偶）
f(t) δ’(t) = f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
证明,[ f(t) δ(t)]’ = f(t) δ’(t) + f ’(t) δ (t)
f(t) δ’(t) = [ f(t) δ(t)]’ – f ’(t) δ (t)
= f(0) δ’(t) – f ’(0) δ (t)
δ’(t)的定义：
)0('d)()(' fttft
δ(n)(t)的定义：
)0()1(d)()( )()( nnn fttft
4)2(2])2[(d dd)()2( 0022 tt tttttt?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-31页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数
3,δ(t) 的尺度变换
)(1|| 1)( )()( t
aa
at nnn
证明见教材 P20
推论,
(1)
)(|| 1)( taat )(|| 1)( 00 attatat
δ(2t) = 0.5δ (t)
)()1()( )()( tt nnn(2)当 a = –1时所以,δ(– t) = δ (t) 为偶函数，
δ’(– t) = – δ’ (t)为奇函数信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-32页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数已知 f(t)，画出 g(t) = f ’(t)和 g(2t)
求导，得 g(t)
o 2 t
f ( t )
- 2
4
( 4 )
o 2 t
g ( t ) = f '( t )
- 2
- 1
压缩，得 g(2t)
( 2 )
o 1
t
g (2 t )
- 1
- 1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-33页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数
4,复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如 δ[f(t)]的冲激函数，其中 f(t)是普通函数。并且 f(t) = 0有 n个互不相等的实根 ti ( i=1,2,…,n)
t
tftftf
t d
)(d)]([)]}([{
d
d
)]}([{dd)('1)]([ tfttftf
ε[f(t)]图示说明,例 f(t)= t2 – 4
ε(t2 – 4)=1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
f ( t )
t
- 4
- 2 2o
1
ε [ f ( t ) ]
2- 2 to
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-34页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数
)2(
4
1
)2(
4
1
)2(
22
1
)2(
22
1
)]2()2([
2
1
)]4([
d
d
2
1
]4[ 22
tttt
tt
t
t
tt
t
ε( t 2 – 4) =1 –ε(t+2)+ε(t – 2)
一般地,?
n
i
i
i
tt
tf
tf
1
)(
)('
1)]([
这表明,δ[f(t)]是位于各 ti处，强度为 的 n个冲激函数构成的冲激函数序列。 )('
1
itf
)21(41)21(41)14( 2 ttt
注意,如果 f(t)=0有重根,δ[f(t)]无意义。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-35页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数这两个序列是普通序列。
（ 1）单位 (样值 )序列 δ(k)的定义
0,0
0,1)( d e f
k
kk?
o
1
1- 1 k
δ ( k )
取样性质,f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
)0()()( fkkf
k
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
例?)(
k
k)()5(
k
kk)(
i
ik?
三、序列 δ(k)和 ε(k)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-36页 ■
电子教案 1.4 阶跃函数和冲激函数
（ 2）单位阶跃序列 ε(k)的定义
0,0
0,1)( d e f
k
kk?
o
1
1- 1 k
ε ( k )
2 3
…
（ 3） ε(k)与 δ(k)的关系
δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
k
i
ik )()(
或
0
)()(
j
jkk
ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-37页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
1.5 系统的性质及分类一、系统的定义若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。
电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于全部。电路、系统两词通用。
二、系统的分类及性质可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，
提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-38页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
1,连续系统与离散系统若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为 连续时间系统,简称为连续系统 。
若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，
则称该系统为 离散时间系统,简称为 离散系统 。
2,动态系统与即时系统若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为 动态系统 或 记忆系统 。含有记忆元件 (电容、电感等 )的系统是动态系统。否则称 即时系统 或 无记忆系统 。
3,单输入单输出系统与多输入多输出系统信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-39页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
4,线性系统与非线性系统满足线性性质的系统称为 线性系统 。
（ 1）线性性质系统的激励 f (·)所引起的响应
y(·) 可简记为 y(·) = T[ f (·)] 系统
f ( · ) y ( · )
线性性质包括两方面,齐次性 和 可加性 。
若系统的激励 f (·)增大 a倍时，其响应 y(·)也增大 a倍，即
T [af (·)] = a T [ f (·)]
则称该系统是 齐次的 。
若系统对于激励 f1(·)与 f2(·)之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即
T [ f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] 则称该系统是 可加的 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-40页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是 线性的,
即 T[a f1(·) + bf2(·)] = a T[ f1(·)] + bT[ f2(·)]
（ 2）动态系统是线性系统的条件动态系统不仅与激励 { f(·) }有关，而且与系统的初始状态 {x(0)}有关。 初始状态也称,内部激励,。
完全响应可写为
y (·) = T [{ f (·) },{x(0)}]
零状态响应为
yf(·) = T [{ f (·) },{0}]
零输入响应为
yx(·) = T [ {0},{x(0)}]
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-41页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统,
② 零状态线性,
T[{a f (·) },{0}] = a T[{ f (·) },{0}]
T[{f1(t) + f2(t) },{0}] = T[{ f1 (·) },{0}] + T[{ f2 (·) },{0}]
或
T[{af1(t) +bf2(t) },{0}] = aT[{ f1 (·) },{0}] +bT[{ f2 (·) },{0}]
③ 零输入线性,
T[{0},{ax(0)}]= aT[ {0},{x(0)}]
T[{0},{x1(0) + x2(0)} ]= T[{0},{x1(0)}] + T[{0},{x2(0)}]
或 T[{0},{ax1(0) +bx2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}]
① 可分解性,
y (·) = yf(·) + yx(·) = T[{ f (·) },{0}]+ T[ {0},{x(0)}]
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-42页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类例 1：判断下列系统是否为线性系统？
（ 1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1
（ 2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)|
（ 3） y (t) = x2(0) + 2 f (t)
解,（ 1） yf(t) = 2 f (t) +1,yx(t) = 3 x(0) + 1
显然,y (t) ≠ yf(t) ＋ yx(t) 不满足可分解性，故为非线性
（ 2） yf(t) = | f (t)|,yx(t) = 2 x(0)
y (t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性；
由于 T[{a f (t) },{0}] = | af (t)| ≠ a yf(t) 不满足零状态线性。
故为非线性系统。
（ 3） yf(t) = 2 f (t),yx(t) = x2(0),显然满足可分解性；
由于 T[ {0},{a x(0) }] =[a x(0)]2 ≠a yx(t)不满足零输入线性。
故为非线性系统。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-43页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类例 2,判断下列系统是否为线性系统？
xxfxxty tt d)()s i n ()0(e)( 0解：
xxfxtyxty tftx d)()s i n ()(),0(e)( 0
y (t) = yf(t) + yx(t),满足可分解性；
T[{a f1(t)+ b f2(t) },{0}]
xxfxxxfxxxfxfx ttt d)()s i n (bd)()s i n (ad)](b)() [ as i n ( 0 20 10 21
= aT[{f1(t)},{0}] +bT[{ f2(t) },{0}]，满足零状态线性；
T[{0},{ax1(0) + bx2(0)} ]
= e-t[ax1(0) +bx2(0)] = ae-tx1(0)+ be-tx2(0)
= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}],满足零输入线性；
所以，该系统为线性系统。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-44页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
5,时不变系统与时变系统满足时不变性质的系统称为 时不变系统 。
（ 1）时不变性质若系统满足输入延迟多少时间，
其零状态响应也延迟多少时间，
即若
T[{0},f(t)] = yf(t)
则有
T[{0},f(t - td)] = yf(t - td)
系统的这种性质称为 时不变性
（或 移位不变性 ）。
1o
1
f ( t )
1 2 tt
y f ( t )
o
T 2
2o
1
f ( t -1 )
2 3 tt
y f ( -1 )
o
T
1 1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-45页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类例,判断下列系统是否为时不变系统？
（ 1） yf (k) = f (k) f (k –1)
（ 2） yf (t) = t f (t)
（ 3） y f(t) = f (– t)
解 (1)令 g(k) = f(k –kd)
T[{0},g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 )
而 yf (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1)
显然 T[{0},f(k –kd)] = yf (k –kd) 故该系统是时不变的。
(2) 令 g (t) = f(t –td)
T[{0},g (t)] = t g (t) = t f (t –td)
而 yf (t –td)= (t –td) f (t –td)
显然 T[{0},f(t –td)] ≠ yf (t –td) 故该系统为时变系统。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-46页 ■
电子教案
(3) 令 g (t) = f(t –td),
T[{0},g (t) ] = g (– t) = f(– t –td)
而 yf (t –td) = f [–( t – td)]，显然
T[{0},f(t –td)] ≠ yf (t –td)
故该系统为时变系统。
直观判断方法：
若 f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
1.5 系统的性质及分类信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-47页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
（ 2） LTI连续系统的微分特性和积分特性本课程重点讨论线性时不变系统
(Linear Time-Invariant)，简称 LTI系统。
① 微分特性：
若 f (t) → yf(t),则 f ’(t) → y ’ f (t)
② 积分特性：
若 f (t) → yf(t),则
tt xxyxxf d)(d)(
f
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-48页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
6,因果系统与非因果系统零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为 因果系统 。
即对因果系统，当 t < t0,f(t) = 0时，有 t < t0,yf(t) = 0。
如下列系统均为 因果系统,
t xxfty d)()(fyf(t) = 3f(t – 1)
而下列系统为 非因果系统,
(1) yf(t) = 2f(t + 1)
(2) yf(t) = f(2t)
因为，令 t=1时，有 yf(1) = 2f(2)
因为，若 f(t) = 0,t < t0,有 yf(t) = f(2t)=0,t < 0.5 t0 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-49页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类例 某 LTI因果连续系统，起始状态为 x(0–)。已知，当
x(0–) =1，输入因果信号 f1(t)时，全响应
y1(t) = e –t + cos(πt),t>0；
当 x(0-) =2，输入信号 f2(t)=3f1(t)时，全响应
y2(t) = –2e –t +3 cos(πt),t>0；
求输入 f3(t) = +2f1(t-1)时，系统的零状态响应
y3f(t) 。 t
tf
d
)(d 1
解 设当 x(0–) =1，输入因果信号 f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为 y1x(t),y1f(t)。当 x(0-) =2，
输入信号 f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为 y2x(t),y2f(t)。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-50页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类由题中条件，有
y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e –t + cos(πt),t>0 （ 1） y2(t) =
y2x(t) + y2f(t) = –2e –t +3 cos(πt),t>0 （ 2）
根据线性系统的齐次性,y2x(t) = 2y1x(t),y2f(t) =3y1f(t)，
代入式（ 2）得
y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = –2e –t +3 cos(πt),t>0 （ 3）
式 (3)– 2× 式 (1)，得
y1f(t) = –4e-t + cos(πt),t>0
由于 y1f(t) 是因果系统对因果输入信号 f1(t)的零状态响应，故当 t<0,y1f(t)=0；因此 y1f(t)可改写成
y1f(t) = [–4e-t + cos(πt)]ε(t) (4)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-51页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
f1(t) →y 1f(t) = [–4e-t + cos(πt)]ε(t)
根据 LTI系统的微分特性
t
ty
t
tf
d
)(d
d
)(d 1f1? = –3δ(t) + [4 –πsin(πt)]ε(t)
根据 LTI系统的时不变特性
f1(t–1) →y 1f(t – 1) ={ –4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1)
由线性性质，得：当输入 f3(t) = +2f1(t–1)时，
t
tf
d
)(d 1
y3f(t) = + 2y1(t–1) = –3δ(t) + [4–πsin(πt)]ε(t)
+ 2{–4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1)t
ty
d
)(d 1
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-52页 ■
电子教案 1.5 系统的性质及分类
7,稳定系统与不稳定系统一个系统，若对有界的激励 f(.)所产生的零状态响应 yf(.)也是有界时，则称该系统为 有界输入有界输出稳定,简称 稳定 。即 若 │f(.)│<∞，其 │yf(.)│<∞ 则称系统是稳定的。
如 yf(k) = f(k) + f(k-1)是稳定系统；而
t xxfty d)()(f 是不稳定系统。
因为，当 f(t) =ε(t)有界，
t ttxx )(d)( 当 t →∞ 时，它也 →∞,无界。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-53页 ■
电子教案 1.6 系统的描述
1.5 系统的描述描述连续动态系统的数学模型是 微分方程,描述离散动态系统的数学模型是 差分方程 。
一、连续系统
1,解析描述 ——建立数学模型图示 RLC电路，以 uS(t)作激励，以 uC(t)作为响应，由 KVL和 VAR列方程，并整理得
u S ( t ) u C ( t )
L R
C
)(0')0(
d
d
d
d
2
2
CC
SC
CC
uu
uu
t
u
RC
t
u
LC
，
二阶常系数线性微分方程。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-54页 ■
电子教案 1.6 系统的描述
)()(d )(dd )(d 012
2
2 tftyat
tya
t
tya
抽去具有的物理含义，微分方程写成这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。
M
x
C
k
f ( t )
其中,k为弹簧常数,M为物体质量,C为减振液体的阻尼系数,x
为物体偏离其平衡位置的位移,f(t)
为初始外力。其运动方程为
)()(d )(dd )(d 2
2
tftkxt txCt txM
能用相同方程描述的系统称相似系统 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-55页 ■
电子教案 1.6 系统的描述
2,系统的框图描述上述方程从 数学角度 来说代表了某些运算关系,相乘、微分、相加运算 。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为 模拟框图,简称 框图 。 基本部件单元 有：
积分器：
f ( t )
∫
t xxf d)(
加法器：
f 1 ( t )
∑
f 2 ( t )
f 1 ( t ) - f 2 ( t )
数乘器：
a
f ( t )
或
a
a f ( t )
积分器的抗干扰性比微分器好。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-56页 ■
电子教案 1.6 系统的描述系统模拟,
实际系统 → 方程 → 模拟框图
→ 实验室实现（模拟系统） → 指导实际系统设计例 1：已知 y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，画框图。
解：将方程写为 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t)
∫ ∫
y " ( t ) y '( t ) y ( t )
∑
a
b
f ( t )
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-57页 ■
电子教案 1.6 系统的描述例 2：已知 y”(t) + 3y’(t)+ 2y(t) = 4f’(t) + f(t)，画框图。
解：该方程含 f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。
设辅助函数 x(t)满足 x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t)
可推导出 y(t) = 4x’(t) + x(t),它满足原方程 。
∫ ∫x " ( t ) x ' ( t ) x ( t )∑
3
2
f ( t )
∑
y ( t )
4
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-58页 ■
电子教案例 3：已知框图，写出系统的微分方程。
1.6 系统的描述
y ( t )
∑ ∑∫ ∫ 3
4
2
3
f ( t )
设辅助变量 x(t)如图
x(t)
x’(t)x”(t)
x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t),即 x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t)
y(t) = 4x’(t)+ 3x(t)
根据前面，逆过程，得
y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-59页 ■
电子教案 1.6 系统的描述二、离散系统
1,解析描述 ——建立差分方程例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为 β
元 /元，求第 k个月初存折上的款数。
设第 k个月初的款数为 y(k),这个月初的存款为 f(k),上个月初的款数为 y(k-1)，利息为 βy(k-1),则
y(k)=y(k-1)+ βy(k-1)+f(k)
即 y(k)-(1+β)y(k-1) = f(k)
若设开始存款月为 k=0，则有 y(0)= f(0)。
上述方程就称为 y(k)与 f(k)之间所满足的差分方程。
所谓 差分方程 是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为 差分方程的阶数 。上述为 一阶差分方程 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-60页 ■
电子教案 1.6 系统的描述由 n阶差分方程描述的系统称为 n阶系统。
描述 LTI系统的是线性常系数差分方程。
2,差分方程的模拟框图基本部件单元 有：
数乘器，加法器，迟延单元（移位器）
f ( k )
D
f ( k -1 )
例,下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？
并写出方程的阶数。
（ 1） y(k) + (k – 1)y(k – 1) = f(k)
（ 2） y(k) + y(k+1) y(k – 1) = f2(k)
（ 3） y(k) + 2 y(k – 1) = f(1 – k)+1
解,判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，
则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、
展缩变换，则为时不变的。
线性、时变，一阶非线性、时不变，二阶非线性、时变，一阶信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-61页 ■
电子教案 1.6 系统的描述例：已知框图，写出系统的差分方程。
y ( k )
∑ ∑D D 5
4
2
3
f ( k )
解,设辅助变量 x(k)如图
x(k) x(k-1) x(k-2)
即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k)
y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2)
消去 x(k),得
y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2)
x(k)= f(k) – 2x(k-1) – 3x(k-2)
方程 ←→ 框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-62页 ■
电子教案 1.7 系统分析概述
1.7 LTI系统分析概述系统分析研究的 主要问题,对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。
具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。
系统的 分析方法,输入输出法（外部法）
状态变量法 （内部法）（ chp.8)
外部法时域分析（ chp.2,chp.3)
变换域法连续系统 —频域法 (4)和 复频域法 (5)
离散系统 —z域法 （ chp6)
系统特性,系统函数 （ chp.7)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 1-63页 ■
电子教案
（ 1）把 零输入响应 和 零状态响应 分开求。
（ 2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性,多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。
1.7 系统分析概述求解的 基本思路,
采用的数学工具：
（ 1）卷积积分与卷积和
（ 2）傅里叶变换
（ 3）拉普拉斯变换
（ 4） Z变换
