信号与系统
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电子教案 第五章 连续系统的 s域分析
5.1 拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域三,(单边 )拉普拉斯变换
5.2 拉普拉斯变换的性质
5.3 拉普拉斯变换逆变换
5.4 复频域分析一、微分方程的变换解二、系统函数三、系统的 s域框图四、电路的 s域模型点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案第五章 连续系统的 s域分析频域分析 以 虚指数信号 ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：
（ 1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如 e2tε(t);
（ 2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。
在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。
本章引入 复频率 s = ζ+jω,以复指数函数 est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。
这里用于系统分析的独立变量是 复频率 s,故称为 s域分析 。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
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电子教案
5.1 拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。
为此，可用一衰减因子 e-?t(?为实常数）乘信号 f(t),
适当选取?的值，使乘积信号 f(t) e-?t当 t?∞时信号幅度趋近于 0,从而使 f(t) e-?t的傅里叶变换存在。
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-?t=
de)(
2
1 tj
b jF
Fb(?+j?)=?[ f(t) e-?t]= ttfttf tjtjt de)(dee)( )(
de)(2 1)( )( tjb jFtf 令 s =? + j?,d?=ds/j，有信号与系统
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换
tetfsF stb d)()(
jj de)(j2 1)( ssFtf stb
双边拉普拉斯变换对
Fb(s)称为 f(t)的双边拉氏变换（或象函数），
f(t)称为 Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、收敛域只有选择适当的?值才能使积分收敛，信号 f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在?的取值范围称为 Fb(s)的收敛域。
下面举例说明 Fb(s)收敛域的问题。
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换例 1 因果信号 f1(t)= e?t?(t),求其拉普拉斯变换。
解
]eelim1[)( 1)(edee)( j)(0
)(
01
tt
t
ts
stt
b sstsF
，无界
，不定
]R e [,
1
s
s
可见，对于因果信号，仅当
Re[s]=?>?时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
σ
jω
0 α
收敛域收敛边界信号与系统
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换例 2 反因果信号 f2(t)= e?t?(-t),求其拉普拉斯变换。
解
]eelim1[)( 1)(edee)( j)(0
)(0
2
tt
t
ts
stt
b sstsF
，
，不定无界
)(
1
.]R e [,
s
s
可见，对于反因果信号，仅当
Re[s]=?<?时，其拉氏变换存在。
收敛域如图所示。
σ
jω
0 β
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换例 3 双边信号求其拉普拉斯变换。
0,e
0,e)()()(
213 t
ttftftf
t
t
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
仅当?>?时，其收敛域为?<Re[s]<?的一个带状区域，如图所示。 σ
jω
0 βα
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换例 4 求下列 信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t?(t) + e-2t?(t)
f2(t)= – e -3t?(–t) – e-2t?(–t)
f3(t)= e -3t?(t) – e-2t?(– t)
解
2
1
3
1)()(
11 sssFtf
Re[s]=? > – 2
2
1
3
1)()(
22 sssFtf
Re[s]=? < – 3
2
1
3
1)()(
33 sssFtf
– 3 <? < – 2
可见，象函数相同，但收敛域不同。 双边拉氏变换必须标出收敛域。
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样,t<0时,f(t)=0。从而拉氏变换式写为
0 de)()( ttfsF st
称为 单边拉氏变换 。简称 拉氏变换 。其收敛域一定是
Re[s]>?,可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
三、单边拉氏变换
0d e f de)()( ttfsF st
)(de)(
j2
1)( j
j
d e f
tssFtf st?
简记为 F(s)=￡ [f(t)]
f(t)=￡ -1[F(s)]
或
f(t)←→ F(s)
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换
1,?(t) ←→1,?> -∞
2,?(t)或 1 ←→1/s,?> 0
3、指数函数 e-s0t←→
0
1
ss?
> -Re[s0]
cos?0t = (ej?0t+ e-j?0t)/2 ←→
2
0
2s
s
sin?0t = (ej?0t– e-j?0t)/2j ←→
2
0
2
0
s
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换
4、周期信号 fT(t)
0
)1(2
0
0
de)(.,,,,de)(de)(
de)()(
n
Tn
nT
st
T
T
T
st
T
T
st
T
st
TT
ttfttfttf
ttfsF
T stTsTT stT
n
n s T ttfttfnTtt
000 de)(e1
1de)(e令特例,?T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
0 de)()( ttfsF stRe[s]>?0
ttfF t de)()(j j
要讨论其关系,f(t)必须为因果信号。
根据收敛坐标?0的值可分为以下三种情况：
（ 1）?0<0，即 F(s)的收敛域包含 j?轴，则 f(t)的傅里叶变换存在，并且 F(j?)=F(s)? s=j?
如 f(t)=e-2t?(t) ←→F(s)=1/(s+2),?>-2；
则 F(j?)=1/( j?+2)
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换
（ 2）?0 =0,即 F(s)的收敛边界为 j?轴，
)(l i m)(j 0 sFF
如 f(t)=?(t)←→F(s)=1/s
2202200 limlim
1lim)(j
j
jF
=(?) + 1/j?
（ 3）?0 >0,F(j?)不存在。
例 f(t)=e2t?(t) ←→F(s)=1/(s –2),? >2；其傅里叶变换不存在。
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质
5.2 拉普拉斯变换性质一、线性性质若 f1(t)←→F 1(s) Re[s]>?1,f2(t)←→F 2(s) Re[s]>?2
则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a 1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(?1,?2)
例 f(t) =?(t) +?(t)←→1 + 1/s,?> 0
二、尺度变换若 f(t) ←→ F(s),Re[s]>?0，且有实数 a>0,
则 f(at) ←→
)(1 asFa Re[s]>a?0
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质例：如图信号 f(t)的拉氏变换 F(s) =
)ee1(e 2 ss
s
ss
求图中信号 y(t)的拉氏变换 Y(s)。
0 1 2
1
f ( t )
t
0
42
4
y ( t )
t
解,y(t)= 4f(0.5t)
Y(s) = 4× 2 F(2s)
)e2e1(2
e8 22
2
2
ss
s
s
s
)e2e1(e2 222
2
ss
s
ss
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性若 f(t) <----->F(s),Re[s]>?0,且有实常数 t0>0,
则 f(t-t0)?(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>?0
与尺度变换相结合
f(at-t0)?(at-t0)←→ asFa sat 0e1
例 1:求如图信号的单边拉氏变换。
0 1
1
f 1 ( t )
t
0
1-1
1
t
f 2 ( t )
解,f1(t) =?(t) –?(t-1),f2(t) =?(t+1) –?(t-1)
F1(s)= )e1(1 s
s
F2(s)= F1(s)
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质例 2:已知 f1(t) ←→ F 1(s),
求 f2(t)←→ F 2(s)
解,f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)]
0 1
1
f 1 ( t )
t
0
2 4
1
t
f 2 ( t )
-1
f1(0.5t) ←→ 2F 1(2s)
f1 [0.5(t-2)] ←→ 2F 1(2s)e-2s
f2(t) ←→ 2F 1(2s)(1 –e-2s)
例 3:求 f(t)= e-2(t-1)ε(t) ←→ F (s)=?
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质四、复频移（ s域平移）特性若 f(t) ←→F(s),Re[s]>?0,且有复常数 sa=?a+j?a,
则 f(t)esat ←→ F(s -sa),Re[s]>?0+?a
例 1:已知因果信号 f(t)的象函数 F(s)=
12?s
s
求 e-tf(3t-2)的象函数。
解,e-tf(3t-2) ←→ )1(32
2 e9)1(
1
s
s
s
例 2:f(t)=cos(2t–π/4) ←→ F(s)=?
解 cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4)
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4)( 222?
s
s
ss
ssF
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理）
若 f(t) ←→ F(s),Re[s]>?0,
则 f’(t) ←→ sF(s) – f(0-)
f’’(t) ←→ s 2F(s) – sf(0-) –f’(0-)
f(n)(t) ←→ s nF(s) –
1
0
)(1 )0(
n
m
mmn fs
若 f(t)为因果信号，则 f(n)(t) ←→ s nF(s)
例 1:?(n)(t) ←→?
例 2:
]2[ c o sddtt
例 3:?)](2[ c o s
d
dtt
t?
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理）
若 f(t) ←→ F(s),Re[s]>?0,则
)(1d)(
0
sFsxxf n
nt
)0()(d)()( )1(11)1( fssFsxxftf t
例 1,t2?(t)<---->?
)(d)(0 ttxxt
tt ttxxxxx 0 220 )(2d)(d)( 32 2)( stt
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质例 2:已知因果信号 f(t)如图,求 F(s) f ( t )
t0 2
2
解,对 f(t)求导得 f’(t)，如图
f '( t )
t
( - 2 )
1
20
)0()(d)('0 ftfxxft
由于 f(t)为因果信号，故
f(0-)=0
t xxftf 0 d)(')(
f’(t)=ε(t)–ε(t –2) –δ(t –2)←→ F 1(s)
ss
s
22 e)e1(1
s
sFsF )()( 1? 结论：若 f(t)为因果信号，已知 f(n)(t) ←→ F n(s)
则 f(t) ←→ F n(s)/sn
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质七、卷积定理时域卷积定理若因果函数 f1(t) ←→ F 1(s),Re[s]>?1,
f2(t) ←→ F 2(s),Re[s]>?2
则 f1(t)*f2(t) ←→ F 1(s)F2(s)
复频域（ s域）卷积定理
jc jc sFFtftf d)()(j2 1)()( 2121
例 1,t ε(t) ←→?
例 2：已知 F(s)=?
)e1(
1
2 ss
0 0
)2()2(*)(
n n
ntntt
Ts
sT
sT 2e1
e1
e1
1
例 3：
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质八,s域微分和积分若 f(t) ←→ F(s),Re[s]>?0,则
s
sFtft
d
)(d)()(
n
n
n
s
sFtft
d
)(d)()(
例 1,t2e-2t?(t) ←→?
e-2t?(t) ←→ 1/(s+2)
t2e-2t?(t) ←→
32
2
)2(
2)
2
1(
d
d
sss
s dFt tf )()(
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质例 2：
)(s i ntt t?
1
1)(s i n
2 stt?
sstt
t
ss
1a r c t a na r c t a n
2a r c t a nd1
1)(s in
2
例 3：
e1
2
t
t
2
11e1 2
ss
t
s
s
s
ss
sst
e
s s
t 2
ln21 1ln1d)21 111(1
2?
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由 F(s)直接求 f(0+)和 f(∞），
而不必求出原函数 f(t)
初值定理设函数 f(t)不含?(t)及其各阶导数（即 F(s)为真分式，
若 F(s)为假分式化为真分式），
则
)(lim)(lim)0( 0 ssFtff st
终值定理若 f(t)当 t →∞ 时存在，并且 f(t) ← → F(s),Re[s]>?0,
0<0，则
)(lim)( 0 ssFf s
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质例 1：
22
2)(
2 ss
ssF
2222lim)(lim)0( 2
2
ss
sssFf
ss
0222lim)(lim)( 2
2
00
ss
sssFf
ss
例 2：
22)( 2
2
ss
ssF
222 22lim)(lim)0( 2
2
ss
ssssFf
ss
22
221)(
2
ss
ssF
信号与系统
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电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
5.3 拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换 ---复变函数积分，比较困难。
通常的方法 （ 1）查表
（ 2）利用性质 （ 3） 部分分式展开 -----结合若象函数 F(s)是 s的有理分式，可写为
01
1
1
01
1
1
...
....)(
asasas
bsbsbsbsF
n
n
n
m
m
m
m
若 m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数 F(s)分解为有理多项式 P(s)与有理真分式之和。
)(
)()()( 0
sA
sBsPsF
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电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
6116
3322
6116
1531258)(
23
2
23
234
sss
sss
sss
sssssF
由于 L-1[1]=?(t),L -1[sn]=?(n)(t)，故多项式 P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。
下面主要讨论有理真分式的情形。
部分分式展开法若 F(s)是 s的实系数有理真分式（ m<n)，则可写为
01
1
1
01
1
1
...
....
)(
)()(
bsbsbs
asasasa
sA
sBsF
n
n
n
m
m
m
m
式中 A(s)称为 F(s)的 特征多项式,方程 A(s)=0称为 特征方程,它的根称为 特征根,也称为 F(s)的 固有频率
（或自然频率）。 n个特征根 pi称为 F(s)的 极点 。
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电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
（ 1） F(s)为单极点（单根）
n
n
i
i
ps
K
ps
K
ps
K
ps
K
sA
sBsF
,......)(
)()(
2
2
1
1
ipsii sFpsK )()( )(e]
1[1 t
psL
tp
i
i
例 1,1 0 ( 2 ) ( 5 )
( ),
( 1 ) ( 3 )
ss
Fs
s s s
已知求其逆变换
312()
13
kkkF s m n
s s s解：部分分解法 （ ）
1 0
0
()
1 0 ( 2 ) ( 5 ) 1 0 0
( 1 ) ( 3 ) 3
s
s
k sF s
ss
ss
其中信号与系统
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电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
2 1
1
( 1 ) ( )
1 0 ( 2 ) ( 5 )
20
( 3 )
s
s
k s F s
ss
ss
解：
3 3
3
( 3 ) ( )
1 0 ( 2 ) ( 5 ) 1 0
( 1 ) 3
s
s
k s F s
ss
ss
1 0 0 2 0 1 0()
3 1 3 ( 3 )Fs s s s解：
)(e310e2031 0 0)( 3 ttf tt
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电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换例 2,32
5 9 7
( ),
( 1 ) ( 2 )
s s s
Fs
ss
已知求其逆变换
()Fs解：长除法
2
3
2
772
23
79523
2
2
23
232
s
s
ss
ss
sss
sssss
４６
信号与系统
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电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
12( ) 2
12
kkF s s
ss解：分式分解法
1
1
2
2
3
( 1 ) 2
( 1 ) ( 2)
3
1
1
s
s
s
ks
ss
s
k
s
其中
21( ) 2
12F s s ss
)()ee2()(2)(')( 2 ttttf tt
信号与系统
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电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换特例,若 F(s)包含共轭复根时 (p1,2 = –?± j?)
)j)(j)((
)(
]))[((
)()(
22 sssD
sB
ssD
sBsF
)(jj 221 sFs Ks K
BAKsFsK s je||)]()j[( j1j1K2 = K1
*
j
e||
j
e||
jj)(
j
1
j
121
1
s
K
s
K
s
K
s
KsF
f1(t)=2|K1|e-?tcos(?t+?)?(t)
若写为 K1,2 = A ± jB f1(t)= 2e-?t[Acos(?t) –Bsin(?t)]?(t)
信号与系统
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电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换例 3 2
2
3( ),
( 2 5 ) ( 2 )
sFs
s s s
已知 求其逆变换
2 3
()
( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 2 )
sFs
s j s j s
解：
012
1 2 1 2 2
kkk
s j s j s
1,2,( 1,2 )pj
2
1
12
3 1 2:
( 1 2) ( 2) 5sj
sjk
s j s
解其中信号与系统
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电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
12,(,)
55A jB A B1,2即k
2
2
37
( 1 2 ) ( 1 2 ) 5s
sk
s j s j
０
1 2 1 2
75 5 5 5
()
1 2 1 2 5 ( 2)
jj
Fs
s j s j s
解：
1,2 12,55AB
)(e57)2s i n (52)2c o s (51e2)( 2 ttttf tt?
信号与系统
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电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换例 4,求象函数 F(s)的原函数 f(t)。
)22)(1)(1(
42)(
22
23
sssss
ssssF
解,A(s)=0有 6个单根，它们分别是 s1=0,s2= –1，
s3,4=?j1,s5,6= – 1?j1，故
js
K
js
K
js
K
js
K
s
K
s
KsF
111)(
654321
K1= sF(s)|s=0 = 2,K2= (s+1)F(s)|s=-1= –1
K3= (s – j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej(?/2),K4=K3*=(1/2)e-j(?/2)
K5= (s+1 – j)F(s)|s=-1+j=?43e
2
1 j
K6=K5*
)()]43c o s (e2)2c o s (e2[)( ttttf tt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-37页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
（ 2） F(s)有重极点（重根）
若 A(s) = 0在 s = p1处有 r重根，
)(.,,,)()()(
)()(
1
1
1
1
12
1
11
ps
K
ps
K
ps
K
sA
sBsF r
rr
K11=[(s –p1)rF(s)]|s=p1,K12=(d/ds)[(s –p1)rF(s)]|s=p1
1
)()(d d)!1( 1 11
1
1 ps
r
r
r
r sFpssrK
1
!)]([
n
n
s
nttL? )(e
!
1]
)(
1[ 1
1
1
1 tt
npsL
tpn
n
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-38页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换举例,
3
2( ),
( 1 )
sFs
ss
已知 求其逆变换
131 1 1 2 2
32() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
kk k kFs
s s s s解：
3
1
2( ) ( 1 ) ( ) sF s s F s
s
令
1
11 1
1
()
2
3
sp
s
k F s
s
s
解：其中
1
12 1
2
1
()
( 2) 1
2
sp
s
d
k F s
ds
ss
s
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-39页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
1
2
13 12
4
1
1
()
2
14
2
2
sp
s
d
k F s
ds
s
s
解：
2 0
3
0
()
2
2
( 1 )
s
s
k sF s
s
s
32() ( 1 ) ( 1 ) ( )Fs s s s s
３ ２ ２ ２ －
１
)()2e2e2e23()( 2 ttttf ttt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-40页 ■
电子教案 5.4 复频域分析
5.4 复频域 系统 分析一、微分方程的变换解描述 n阶系统的微分方程的一般形式为
n
i
m
j
j
j
i
i tfbtya
0 0
)()( )()(
系统的初始状态为 y(0-),y(1)(0-),…,y(n-1) (0-)。
思路,用 拉普拉斯变换微分特性
)0()()( )(
1
0
1)(
p
i
p
piii yssYsty
若 f (t)在 t = 0时接入系统，则 f (j )(t)←→ s j F(s)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-41页 ■
电子教案 5.4 复频域分析
n
i
n
i
i
p
m
j
j
j
ppi
i
i
i sFsbysasYsa
0 0
1
0 0
)(1 )(][)]0([)(][
例 1 描述某 LTI系统的微分方程为
y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t)
已知初始状态 y(0-) = 1,y'(0-)= -1，激励 f (t) = 5cost?(t)，
求系统的全响应 y(t)
解,方程取拉氏变换，并整理得
y(t),yx(t),yf(t)
s域的代数方程
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)]0([
)(
0
0
0
0
)(
1
0
1
sF
sA
sB
sA
sM
sF
sa
sb
sa
ysa
sY
n
i
i
i
m
j
j
j
n
i
i
i
n
i
p
i
p
pi
i
Yx(s) Yf(s)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-42页 ■
电子教案 5.4 复频域分析
1
5
2
2
)3)(2(
4
2
s
s
sss
s
jsjssss
jj
6.266.26 e5e5
2
4
3
1
2
2
y(t)= 2e–2t?(t)– e–3t?(t) - 4e–2t?(t) + )()]6.26c o s (52 tt
yx(t) yf (t)
暂态分量 yt (t) 稳态分量 ys (t)
若已知 y(0+)=1，
y'(0+)= 9
)(65 )3(265 )0(5)0(')0()( 22 sFss sss yysysY
1
5)(
2 s
ssF
Yx(s) Yf(s)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-43页 ■
电子教案 5.4 复频域分析二、系统函数系统函数 H(s)定义为
)(
)(
)(
)()( fd e f
sA
sB
sF
sYsH
它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。
)()( )()(f sFsA sBsY?
yf(t)= h(t)*f (t)
H(s)= L [h(t)]
Yf(s)= L [h(t)]F(s)
信号与系统
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电子教案 5.4 复频域分析例 2 已知当输入 f (t)= e-t?(t)时，某 LTI因果系统的零状态响应
yf(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)?(t)
求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。
解
65
82
3
2
2
4
)3)(2(
)4(2
)(
)()(
2
f
ss
s
ssss
s
sF
sYsH
h(t)= (4e-2t -2e-3t)?(t)
微分方程为 y"(t)+5y'(t)+6y(t) = 2f '(t)+ 8f (t)
s2Yf(s) + 5sYf(s) + 6Yf(s) = 2sF(s)+ 8F(s)
取逆变换 yf"(t)+5yf'(t)+6yf(t) = 2f '(t)+ 8f (t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-45页 ■
电子教案 5.4 复频域分析三、系统的 s域框图时域框图基本单元
∫f(t)
t fty d)()(
af(t) y(t) = a f (t)
s域框图基本单元
s–1F(s) Y(s) = s–1F(s)
aF(s) Y(s) = a F(s)
∑f1(t)
f2(t)
y(t) = f1(t)+ f2(t)
+
+
∑F1(s) Y(s) = F
1(s)+F2(s)
F2(s)
+
+
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-46页 ■
电子教案 5.4 复频域分析∑ ∑
4
1
3
2
f ( t ) y ( t )
∫ ∫
X(s) s-1X(s) s-2X(s)
例 3 如图框图，列出其微分方程解 画出 s域框图,
s-1 s-1
F(s) Y(s)
设左边加法器输出为 X(s)，如图
X(s) = F(s) – 3s-1X(s) – 2s-2X(s)
s域的代数方程
Y(s) = X(s) + 4s-2X(s)
)(231 1)( 21 sFsssX
)(231 41 21
2
sFss s
)(
23
4
2
2
sFss s
微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f "(t)+ 4f (t)
再求 h(t)?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-47页 ■
电子教案 5.4 复频域分析四、电路的 s域模型对时域电路取拉氏变换
1、电阻 u(t)= R i(t)
2、电感
t
tiLtu L
d
)(d)(?
U(s)= sLIL(s) –LiL(0-)
s
isU
sLsI
L
L
)0()(1)(
i ( t )
u ( t )
R I ( s )
U ( s )
R
L
u ( t )
i L ( t )
U(s)= R I(s)
U ( s )
sLI
L ( s )
Li L ( 0 - )
I L ( s )
sL
i L ( 0 - )/ s
U ( s )
或元件的 s域模型信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-48页 ■
电子教案 5.4 复频域分析
3、电容
t
tuCti C
d
)(d)(?
I(s)=sCUC(s) – CuC(0-)
s
usI
sCsU
C
C
)0()(1)(
I ( s )
U C ( s )
Cu C ( 0 - )或
sC
1
s
u
C
)0(
sC
1
I ( s )
U C ( s )
C
i ( t )
u C ( t )
4,KCL,KVL方程
0)(ti
0)(tu
0)( sI
0)( sU
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-49页 ■
电子教案 5.4 复频域分析例 4 如图所示电路，已知 uS(t) =?(t) V,iS(t) =δ(t)，
起始状态 uC(0-) =1V,iL(0-) = 2A，求电压 u(t)。
0.5 Ω
1F
1Hu
S ( t )
i S ( t )
i L ( t )u C ( t )
u ( t )
1 /s 1 /s
0.5 Ω
I S ( s )
U S ( s ) s
2 /s
U ( s )
解 画出电路的 s域模型 Us(s)=1/s,Is(s)=1
]1)([2)()(12 ssUsssIsUss SS
22 )1(
3
1
1
12
2)(
ssss
ssU
u(t) = e–t?(t) – 3te–t?(t) V
若求 ux(t)和
uf(t)
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-1页 ■
电子教案 第五章 连续系统的 s域分析
5.1 拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域三,(单边 )拉普拉斯变换
5.2 拉普拉斯变换的性质
5.3 拉普拉斯变换逆变换
5.4 复频域分析一、微分方程的变换解二、系统函数三、系统的 s域框图四、电路的 s域模型点击目录,进入相关章节信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-2页 ■
电子教案第五章 连续系统的 s域分析频域分析 以 虚指数信号 ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：
（ 1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如 e2tε(t);
（ 2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。
在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。
本章引入 复频率 s = ζ+jω,以复指数函数 est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。
这里用于系统分析的独立变量是 复频率 s,故称为 s域分析 。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-3页 ■
电子教案
5.1 拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。
为此，可用一衰减因子 e-?t(?为实常数）乘信号 f(t),
适当选取?的值，使乘积信号 f(t) e-?t当 t?∞时信号幅度趋近于 0,从而使 f(t) e-?t的傅里叶变换存在。
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-?t=
de)(
2
1 tj
b jF
Fb(?+j?)=?[ f(t) e-?t]= ttfttf tjtjt de)(dee)( )(
de)(2 1)( )( tjb jFtf 令 s =? + j?,d?=ds/j，有信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-4页 ■
电子教案 5.1 拉普拉斯变换
tetfsF stb d)()(
jj de)(j2 1)( ssFtf stb
双边拉普拉斯变换对
Fb(s)称为 f(t)的双边拉氏变换（或象函数），
f(t)称为 Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
二、收敛域只有选择适当的?值才能使积分收敛，信号 f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在?的取值范围称为 Fb(s)的收敛域。
下面举例说明 Fb(s)收敛域的问题。
信号与系统
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换例 1 因果信号 f1(t)= e?t?(t),求其拉普拉斯变换。
解
]eelim1[)( 1)(edee)( j)(0
)(
01
tt
t
ts
stt
b sstsF
，无界
，不定
]R e [,
1
s
s
可见，对于因果信号，仅当
Re[s]=?>?时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
σ
jω
0 α
收敛域收敛边界信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-6页 ■
电子教案 5.1 拉普拉斯变换例 2 反因果信号 f2(t)= e?t?(-t),求其拉普拉斯变换。
解
]eelim1[)( 1)(edee)( j)(0
)(0
2
tt
t
ts
stt
b sstsF
，
，不定无界
)(
1
.]R e [,
s
s
可见，对于反因果信号，仅当
Re[s]=?<?时，其拉氏变换存在。
收敛域如图所示。
σ
jω
0 β
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-7页 ■
电子教案 5.1 拉普拉斯变换例 3 双边信号求其拉普拉斯变换。
0,e
0,e)()()(
213 t
ttftftf
t
t
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
仅当?>?时，其收敛域为?<Re[s]<?的一个带状区域，如图所示。 σ
jω
0 βα
信号与系统
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换例 4 求下列 信号的双边拉氏变换。
f1(t)= e-3t?(t) + e-2t?(t)
f2(t)= – e -3t?(–t) – e-2t?(–t)
f3(t)= e -3t?(t) – e-2t?(– t)
解
2
1
3
1)()(
11 sssFtf
Re[s]=? > – 2
2
1
3
1)()(
22 sssFtf
Re[s]=? < – 3
2
1
3
1)()(
33 sssFtf
– 3 <? < – 2
可见，象函数相同，但收敛域不同。 双边拉氏变换必须标出收敛域。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-9页 ■
电子教案 5.1 拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样,t<0时,f(t)=0。从而拉氏变换式写为
0 de)()( ttfsF st
称为 单边拉氏变换 。简称 拉氏变换 。其收敛域一定是
Re[s]>?,可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
三、单边拉氏变换
0d e f de)()( ttfsF st
)(de)(
j2
1)( j
j
d e f
tssFtf st?
简记为 F(s)=￡ [f(t)]
f(t)=￡ -1[F(s)]
或
f(t)←→ F(s)
信号与系统
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换
1,?(t) ←→1,?> -∞
2,?(t)或 1 ←→1/s,?> 0
3、指数函数 e-s0t←→
0
1
ss?
> -Re[s0]
cos?0t = (ej?0t+ e-j?0t)/2 ←→
2
0
2s
s
sin?0t = (ej?0t– e-j?0t)/2j ←→
2
0
2
0
s
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-11页 ■
电子教案 5.1 拉普拉斯变换
4、周期信号 fT(t)
0
)1(2
0
0
de)(.,,,,de)(de)(
de)()(
n
Tn
nT
st
T
T
T
st
T
T
st
T
st
TT
ttfttfttf
ttfsF
T stTsTT stT
n
n s T ttfttfnTtt
000 de)(e1
1de)(e令特例,?T(t) ←→ 1/(1 – e-sT)
信号与系统
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电子教案 5.1 拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
0 de)()( ttfsF stRe[s]>?0
ttfF t de)()(j j
要讨论其关系,f(t)必须为因果信号。
根据收敛坐标?0的值可分为以下三种情况：
（ 1）?0<0，即 F(s)的收敛域包含 j?轴，则 f(t)的傅里叶变换存在，并且 F(j?)=F(s)? s=j?
如 f(t)=e-2t?(t) ←→F(s)=1/(s+2),?>-2；
则 F(j?)=1/( j?+2)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-13页 ■
电子教案 5.1 拉普拉斯变换
（ 2）?0 =0,即 F(s)的收敛边界为 j?轴，
)(l i m)(j 0 sFF
如 f(t)=?(t)←→F(s)=1/s
2202200 limlim
1lim)(j
j
jF
=(?) + 1/j?
（ 3）?0 >0,F(j?)不存在。
例 f(t)=e2t?(t) ←→F(s)=1/(s –2),? >2；其傅里叶变换不存在。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-14页 ■
电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质
5.2 拉普拉斯变换性质一、线性性质若 f1(t)←→F 1(s) Re[s]>?1,f2(t)←→F 2(s) Re[s]>?2
则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a 1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(?1,?2)
例 f(t) =?(t) +?(t)←→1 + 1/s,?> 0
二、尺度变换若 f(t) ←→ F(s),Re[s]>?0，且有实数 a>0,
则 f(at) ←→
)(1 asFa Re[s]>a?0
信号与系统
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质例：如图信号 f(t)的拉氏变换 F(s) =
)ee1(e 2 ss
s
ss
求图中信号 y(t)的拉氏变换 Y(s)。
0 1 2
1
f ( t )
t
0
42
4
y ( t )
t
解,y(t)= 4f(0.5t)
Y(s) = 4× 2 F(2s)
)e2e1(2
e8 22
2
2
ss
s
s
s
)e2e1(e2 222
2
ss
s
ss
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-16页 ■
电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性若 f(t) <----->F(s),Re[s]>?0,且有实常数 t0>0,
则 f(t-t0)?(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>?0
与尺度变换相结合
f(at-t0)?(at-t0)←→ asFa sat 0e1
例 1:求如图信号的单边拉氏变换。
0 1
1
f 1 ( t )
t
0
1-1
1
t
f 2 ( t )
解,f1(t) =?(t) –?(t-1),f2(t) =?(t+1) –?(t-1)
F1(s)= )e1(1 s
s
F2(s)= F1(s)
信号与系统
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质例 2:已知 f1(t) ←→ F 1(s),
求 f2(t)←→ F 2(s)
解,f2(t) = f1(0.5t) –f1 [0.5(t-2)]
0 1
1
f 1 ( t )
t
0
2 4
1
t
f 2 ( t )
-1
f1(0.5t) ←→ 2F 1(2s)
f1 [0.5(t-2)] ←→ 2F 1(2s)e-2s
f2(t) ←→ 2F 1(2s)(1 –e-2s)
例 3:求 f(t)= e-2(t-1)ε(t) ←→ F (s)=?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-18页 ■
电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质四、复频移（ s域平移）特性若 f(t) ←→F(s),Re[s]>?0,且有复常数 sa=?a+j?a,
则 f(t)esat ←→ F(s -sa),Re[s]>?0+?a
例 1:已知因果信号 f(t)的象函数 F(s)=
12?s
s
求 e-tf(3t-2)的象函数。
解,e-tf(3t-2) ←→ )1(32
2 e9)1(
1
s
s
s
例 2:f(t)=cos(2t–π/4) ←→ F(s)=?
解 cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4)
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
4)( 222?
s
s
ss
ssF
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-19页 ■
电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理）
若 f(t) ←→ F(s),Re[s]>?0,
则 f’(t) ←→ sF(s) – f(0-)
f’’(t) ←→ s 2F(s) – sf(0-) –f’(0-)
f(n)(t) ←→ s nF(s) –
1
0
)(1 )0(
n
m
mmn fs
若 f(t)为因果信号，则 f(n)(t) ←→ s nF(s)
例 1:?(n)(t) ←→?
例 2:
]2[ c o sddtt
例 3:?)](2[ c o s
d
dtt
t?
信号与系统
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电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理）
若 f(t) ←→ F(s),Re[s]>?0,则
)(1d)(
0
sFsxxf n
nt
)0()(d)()( )1(11)1( fssFsxxftf t
例 1,t2?(t)<---->?
)(d)(0 ttxxt
tt ttxxxxx 0 220 )(2d)(d)( 32 2)( stt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-21页 ■
电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质例 2:已知因果信号 f(t)如图,求 F(s) f ( t )
t0 2
2
解,对 f(t)求导得 f’(t)，如图
f '( t )
t
( - 2 )
1
20
)0()(d)('0 ftfxxft
由于 f(t)为因果信号，故
f(0-)=0
t xxftf 0 d)(')(
f’(t)=ε(t)–ε(t –2) –δ(t –2)←→ F 1(s)
ss
s
22 e)e1(1
s
sFsF )()( 1? 结论：若 f(t)为因果信号，已知 f(n)(t) ←→ F n(s)
则 f(t) ←→ F n(s)/sn
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-22页 ■
电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质七、卷积定理时域卷积定理若因果函数 f1(t) ←→ F 1(s),Re[s]>?1,
f2(t) ←→ F 2(s),Re[s]>?2
则 f1(t)*f2(t) ←→ F 1(s)F2(s)
复频域（ s域）卷积定理
jc jc sFFtftf d)()(j2 1)()( 2121
例 1,t ε(t) ←→?
例 2：已知 F(s)=?
)e1(
1
2 ss
0 0
)2()2(*)(
n n
ntntt
Ts
sT
sT 2e1
e1
e1
1
例 3：
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-23页 ■
电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质八,s域微分和积分若 f(t) ←→ F(s),Re[s]>?0,则
s
sFtft
d
)(d)()(
n
n
n
s
sFtft
d
)(d)()(
例 1,t2e-2t?(t) ←→?
e-2t?(t) ←→ 1/(s+2)
t2e-2t?(t) ←→
32
2
)2(
2)
2
1(
d
d
sss
s dFt tf )()(
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-24页 ■
电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质例 2：
)(s i ntt t?
1
1)(s i n
2 stt?
sstt
t
ss
1a r c t a na r c t a n
2a r c t a nd1
1)(s in
2
例 3：
e1
2
t
t
2
11e1 2
ss
t
s
s
s
ss
sst
e
s s
t 2
ln21 1ln1d)21 111(1
2?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-25页 ■
电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由 F(s)直接求 f(0+)和 f(∞），
而不必求出原函数 f(t)
初值定理设函数 f(t)不含?(t)及其各阶导数（即 F(s)为真分式，
若 F(s)为假分式化为真分式），
则
)(lim)(lim)0( 0 ssFtff st
终值定理若 f(t)当 t →∞ 时存在，并且 f(t) ← → F(s),Re[s]>?0,
0<0，则
)(lim)( 0 ssFf s
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-26页 ■
电子教案 5.2 拉普拉斯变换性质例 1：
22
2)(
2 ss
ssF
2222lim)(lim)0( 2
2
ss
sssFf
ss
0222lim)(lim)( 2
2
00
ss
sssFf
ss
例 2：
22)( 2
2
ss
ssF
222 22lim)(lim)0( 2
2
ss
ssssFf
ss
22
221)(
2
ss
ssF
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-27页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
5.3 拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换 ---复变函数积分，比较困难。
通常的方法 （ 1）查表
（ 2）利用性质 （ 3） 部分分式展开 -----结合若象函数 F(s)是 s的有理分式，可写为
01
1
1
01
1
1
...
....)(
asasas
bsbsbsbsF
n
n
n
m
m
m
m
若 m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数 F(s)分解为有理多项式 P(s)与有理真分式之和。
)(
)()()( 0
sA
sBsPsF
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-28页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
6116
3322
6116
1531258)(
23
2
23
234
sss
sss
sss
sssssF
由于 L-1[1]=?(t),L -1[sn]=?(n)(t)，故多项式 P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。
下面主要讨论有理真分式的情形。
部分分式展开法若 F(s)是 s的实系数有理真分式（ m<n)，则可写为
01
1
1
01
1
1
...
....
)(
)()(
bsbsbs
asasasa
sA
sBsF
n
n
n
m
m
m
m
式中 A(s)称为 F(s)的 特征多项式,方程 A(s)=0称为 特征方程,它的根称为 特征根,也称为 F(s)的 固有频率
（或自然频率）。 n个特征根 pi称为 F(s)的 极点 。
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-29页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
（ 1） F(s)为单极点（单根）
n
n
i
i
ps
K
ps
K
ps
K
ps
K
sA
sBsF
,......)(
)()(
2
2
1
1
ipsii sFpsK )()( )(e]
1[1 t
psL
tp
i
i
例 1,1 0 ( 2 ) ( 5 )
( ),
( 1 ) ( 3 )
ss
Fs
s s s
已知求其逆变换
312()
13
kkkF s m n
s s s解：部分分解法 （ ）
1 0
0
()
1 0 ( 2 ) ( 5 ) 1 0 0
( 1 ) ( 3 ) 3
s
s
k sF s
ss
ss
其中信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-30页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
2 1
1
( 1 ) ( )
1 0 ( 2 ) ( 5 )
20
( 3 )
s
s
k s F s
ss
ss
解：
3 3
3
( 3 ) ( )
1 0 ( 2 ) ( 5 ) 1 0
( 1 ) 3
s
s
k s F s
ss
ss
1 0 0 2 0 1 0()
3 1 3 ( 3 )Fs s s s解：
)(e310e2031 0 0)( 3 ttf tt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-31页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换例 2,32
5 9 7
( ),
( 1 ) ( 2 )
s s s
Fs
ss
已知求其逆变换
()Fs解：长除法
2
3
2
772
23
79523
2
2
23
232
s
s
ss
ss
sss
sssss
４６
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-32页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
12( ) 2
12
kkF s s
ss解：分式分解法
1
1
2
2
3
( 1 ) 2
( 1 ) ( 2)
3
1
1
s
s
s
ks
ss
s
k
s
其中
21( ) 2
12F s s ss
)()ee2()(2)(')( 2 ttttf tt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-33页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换特例,若 F(s)包含共轭复根时 (p1,2 = –?± j?)
)j)(j)((
)(
]))[((
)()(
22 sssD
sB
ssD
sBsF
)(jj 221 sFs Ks K
BAKsFsK s je||)]()j[( j1j1K2 = K1
*
j
e||
j
e||
jj)(
j
1
j
121
1
s
K
s
K
s
K
s
KsF
f1(t)=2|K1|e-?tcos(?t+?)?(t)
若写为 K1,2 = A ± jB f1(t)= 2e-?t[Acos(?t) –Bsin(?t)]?(t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-34页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换例 3 2
2
3( ),
( 2 5 ) ( 2 )
sFs
s s s
已知 求其逆变换
2 3
()
( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 2 )
sFs
s j s j s
解：
012
1 2 1 2 2
kkk
s j s j s
1,2,( 1,2 )pj
2
1
12
3 1 2:
( 1 2) ( 2) 5sj
sjk
s j s
解其中信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-35页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
12,(,)
55A jB A B1,2即k
2
2
37
( 1 2 ) ( 1 2 ) 5s
sk
s j s j
０
1 2 1 2
75 5 5 5
()
1 2 1 2 5 ( 2)
jj
Fs
s j s j s
解：
1,2 12,55AB
)(e57)2s i n (52)2c o s (51e2)( 2 ttttf tt?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-36页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换例 4,求象函数 F(s)的原函数 f(t)。
)22)(1)(1(
42)(
22
23
sssss
ssssF
解,A(s)=0有 6个单根，它们分别是 s1=0,s2= –1，
s3,4=?j1,s5,6= – 1?j1，故
js
K
js
K
js
K
js
K
s
K
s
KsF
111)(
654321
K1= sF(s)|s=0 = 2,K2= (s+1)F(s)|s=-1= –1
K3= (s – j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej(?/2),K4=K3*=(1/2)e-j(?/2)
K5= (s+1 – j)F(s)|s=-1+j=?43e
2
1 j
K6=K5*
)()]43c o s (e2)2c o s (e2[)( ttttf tt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-37页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
（ 2） F(s)有重极点（重根）
若 A(s) = 0在 s = p1处有 r重根，
)(.,,,)()()(
)()(
1
1
1
1
12
1
11
ps
K
ps
K
ps
K
sA
sBsF r
rr
K11=[(s –p1)rF(s)]|s=p1,K12=(d/ds)[(s –p1)rF(s)]|s=p1
1
)()(d d)!1( 1 11
1
1 ps
r
r
r
r sFpssrK
1
!)]([
n
n
s
nttL? )(e
!
1]
)(
1[ 1
1
1
1 tt
npsL
tpn
n
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-38页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换举例,
3
2( ),
( 1 )
sFs
ss
已知 求其逆变换
131 1 1 2 2
32() ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
kk k kFs
s s s s解：
3
1
2( ) ( 1 ) ( ) sF s s F s
s
令
1
11 1
1
()
2
3
sp
s
k F s
s
s
解：其中
1
12 1
2
1
()
( 2) 1
2
sp
s
d
k F s
ds
ss
s
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-39页 ■
电子教案 5.3 拉普拉斯逆变换
1
2
13 12
4
1
1
()
2
14
2
2
sp
s
d
k F s
ds
s
s
解：
2 0
3
0
()
2
2
( 1 )
s
s
k sF s
s
s
32() ( 1 ) ( 1 ) ( )Fs s s s s
３ ２ ２ ２ －
１
)()2e2e2e23()( 2 ttttf ttt
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-40页 ■
电子教案 5.4 复频域分析
5.4 复频域 系统 分析一、微分方程的变换解描述 n阶系统的微分方程的一般形式为
n
i
m
j
j
j
i
i tfbtya
0 0
)()( )()(
系统的初始状态为 y(0-),y(1)(0-),…,y(n-1) (0-)。
思路,用 拉普拉斯变换微分特性
)0()()( )(
1
0
1)(
p
i
p
piii yssYsty
若 f (t)在 t = 0时接入系统，则 f (j )(t)←→ s j F(s)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-41页 ■
电子教案 5.4 复频域分析
n
i
n
i
i
p
m
j
j
j
ppi
i
i
i sFsbysasYsa
0 0
1
0 0
)(1 )(][)]0([)(][
例 1 描述某 LTI系统的微分方程为
y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t)
已知初始状态 y(0-) = 1,y'(0-)= -1，激励 f (t) = 5cost?(t)，
求系统的全响应 y(t)
解,方程取拉氏变换，并整理得
y(t),yx(t),yf(t)
s域的代数方程
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)]0([
)(
0
0
0
0
)(
1
0
1
sF
sA
sB
sA
sM
sF
sa
sb
sa
ysa
sY
n
i
i
i
m
j
j
j
n
i
i
i
n
i
p
i
p
pi
i
Yx(s) Yf(s)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-42页 ■
电子教案 5.4 复频域分析
1
5
2
2
)3)(2(
4
2
s
s
sss
s
jsjssss
jj
6.266.26 e5e5
2
4
3
1
2
2
y(t)= 2e–2t?(t)– e–3t?(t) - 4e–2t?(t) + )()]6.26c o s (52 tt
yx(t) yf (t)
暂态分量 yt (t) 稳态分量 ys (t)
若已知 y(0+)=1，
y'(0+)= 9
)(65 )3(265 )0(5)0(')0()( 22 sFss sss yysysY
1
5)(
2 s
ssF
Yx(s) Yf(s)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-43页 ■
电子教案 5.4 复频域分析二、系统函数系统函数 H(s)定义为
)(
)(
)(
)()( fd e f
sA
sB
sF
sYsH
它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。
)()( )()(f sFsA sBsY?
yf(t)= h(t)*f (t)
H(s)= L [h(t)]
Yf(s)= L [h(t)]F(s)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-44页 ■
电子教案 5.4 复频域分析例 2 已知当输入 f (t)= e-t?(t)时，某 LTI因果系统的零状态响应
yf(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)?(t)
求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。
解
65
82
3
2
2
4
)3)(2(
)4(2
)(
)()(
2
f
ss
s
ssss
s
sF
sYsH
h(t)= (4e-2t -2e-3t)?(t)
微分方程为 y"(t)+5y'(t)+6y(t) = 2f '(t)+ 8f (t)
s2Yf(s) + 5sYf(s) + 6Yf(s) = 2sF(s)+ 8F(s)
取逆变换 yf"(t)+5yf'(t)+6yf(t) = 2f '(t)+ 8f (t)
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-45页 ■
电子教案 5.4 复频域分析三、系统的 s域框图时域框图基本单元
∫f(t)
t fty d)()(
af(t) y(t) = a f (t)
s域框图基本单元
s–1F(s) Y(s) = s–1F(s)
aF(s) Y(s) = a F(s)
∑f1(t)
f2(t)
y(t) = f1(t)+ f2(t)
+
+
∑F1(s) Y(s) = F
1(s)+F2(s)
F2(s)
+
+
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-46页 ■
电子教案 5.4 复频域分析∑ ∑
4
1
3
2
f ( t ) y ( t )
∫ ∫
X(s) s-1X(s) s-2X(s)
例 3 如图框图，列出其微分方程解 画出 s域框图,
s-1 s-1
F(s) Y(s)
设左边加法器输出为 X(s)，如图
X(s) = F(s) – 3s-1X(s) – 2s-2X(s)
s域的代数方程
Y(s) = X(s) + 4s-2X(s)
)(231 1)( 21 sFsssX
)(231 41 21
2
sFss s
)(
23
4
2
2
sFss s
微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f "(t)+ 4f (t)
再求 h(t)?
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-47页 ■
电子教案 5.4 复频域分析四、电路的 s域模型对时域电路取拉氏变换
1、电阻 u(t)= R i(t)
2、电感
t
tiLtu L
d
)(d)(?
U(s)= sLIL(s) –LiL(0-)
s
isU
sLsI
L
L
)0()(1)(
i ( t )
u ( t )
R I ( s )
U ( s )
R
L
u ( t )
i L ( t )
U(s)= R I(s)
U ( s )
sLI
L ( s )
Li L ( 0 - )
I L ( s )
sL
i L ( 0 - )/ s
U ( s )
或元件的 s域模型信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-48页 ■
电子教案 5.4 复频域分析
3、电容
t
tuCti C
d
)(d)(?
I(s)=sCUC(s) – CuC(0-)
s
usI
sCsU
C
C
)0()(1)(
I ( s )
U C ( s )
Cu C ( 0 - )或
sC
1
s
u
C
)0(
sC
1
I ( s )
U C ( s )
C
i ( t )
u C ( t )
4,KCL,KVL方程
0)(ti
0)(tu
0)( sI
0)( sU
信号与系统
西安电子科技大学电路与系统教研中心第 5-49页 ■
电子教案 5.4 复频域分析例 4 如图所示电路，已知 uS(t) =?(t) V,iS(t) =δ(t)，
起始状态 uC(0-) =1V,iL(0-) = 2A，求电压 u(t)。
0.5 Ω
1F
1Hu
S ( t )
i S ( t )
i L ( t )u C ( t )
u ( t )
1 /s 1 /s
0.5 Ω
I S ( s )
U S ( s ) s
2 /s
U ( s )
解 画出电路的 s域模型 Us(s)=1/s,Is(s)=1
]1)([2)()(12 ssUsssIsUss SS
22 )1(
3
1
1
12
2)(
ssss
ssU
u(t) = e–t?(t) – 3te–t?(t) V
若求 ux(t)和
uf(t)
