信号与系统
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电子教案 第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于 0-和 0+初始值三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应二、阶跃响应
2.3 卷积积分一、信号时域分解与卷积二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质一、卷积代数二、奇异函数的卷积特性三、卷积的微积分性质四、卷积的时移特性点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案
LTI连续系统的时域分析，归结为,建立并求解线性微分方程 。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 t，故称为 时域分析法 。这种方法比较直观，物理概念清楚，
是学习各种变换域分析法的基础。
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a 1y(1)(t) + a0y (t)
= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b 1f(1)(t) + b0f (t)
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应微分方程的经典解：
y(t)(完全解 ) = yh(t)(齐次解 ) + yp(t)(特解 ）
齐次解 是齐次微分方程
y(n)+an-1y(n-1)+…+a 1y(1)(t)+a0y(t)=0
的解。 yh(t)的函数形式 由上述微分方程的 特征根 确定。
例 描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求（ 1）当 f(t) = 2e-t,t≥0； y(0)=2,y’(0)= -1时的全解；
（ 2）当 f(t) = e-2t,t≥0； y(0)= 1,y’(0)=0时的全解。
特解 的函数形式与激励函数的形式有关。 P43表 2-1,2-2
齐次解 的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励
f(t)的函数形式无关，称为系统的 固有响应 或 自由响应 ；
特解 的函数形式由激励确定，称为 强迫响应 。
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应解,(1) 特征方程为 λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根 λ1= – 2，
λ2= – 3。齐次解为
yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t
由表 2-2可知，当 f(t) = 2e – t时，其特解可设为
yp(t) = Pe – t
将其代入微分方程得
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1
于是特解为 yp(t) = e – t
全解为,y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
其中 待定常数 C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2,y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3,C2 = – 2
最后得全解 y(t) = 3e– 2t – 2e– 3t + e– t,t≥0
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电子教案
（ 2） 齐次解同上 。 当激励 f(t)=e–2t时,其指数与特征根之一相重 。 由表知：其特解为
yp(t) = (P1t + P0)e–2t
代入微分方程可得 P1e-2t = e–2t
所以 P1= 1 但 P0不能求得 。 全解为
y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t
= (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t
将初始条件代入,得
y(0) = (C1+P0) + C2=1,y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2,C2= –1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e–2t– e–3t + te–2t,t≥0
上式第一项的系数 C1+P0= 2，不能区分 C1和 P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应二、关于 0-和 0+初始值若输入 f(t)是在 t=0时接入系统，则确定待定系数 Ci
时用 t = 0+时刻的 初始值,即 y(j)(0+) (j=0,1,2…,n-1)。
而 y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。
在 t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值 y(j)(0-)反映了 系统的历史情况 而与激励无关。称这些值为 初始状态 或 起始值 。
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。
这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态
y(j)(0-)设法求得 y(j)(0+)。下列举例说明。
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电子教案例,描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知 y(0-)=2,y’(0-)= 0,f(t)=ε(t)，求 y(0+)和 y’(0+)。
解,将输入 f(t)=ε(t)代入上述微分方程得
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （ 1）
利用 系数匹配法 分析：上式对于 t=0-也成立，在 0-<t<0+
区间等号两端 δ(t)项的系数应相等。
由于等号右端为 2δ(t)，故 y”(t)应包含冲激函数，从而
y’(t)在 t= 0处将发生跃变，即 y’(0+)≠y’(0-)。
但 y’(t)不含冲激函数，否则 y”(t)将含有 δ’(t)项。由于
y’(t)中不含 δ(t)，故 y(t)在 t=0处是连续的。
故 y(0+) = y(0-) = 2
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统
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电子教案对式 (1)两端积分有
0000000000 )(6)(2)(2)('3)('' dttdttdttydttydtty
由于积分在无穷小区间 [0-,0+]进行的，且 y(t)在 t=0连续，
故
00 00 0)(,0)( dttdtty?
于是由上式得
[y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2
考虑 y(0+) = y(0-)=2,所以
y’(0+) – y’(0-) = 2,y’(0+) = y’(0-) + 2 =2
由上可见,当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应 y(t)及其各阶导数中，有些在 t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变 。
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应三、零输入响应和零状态响应
y(t) = yx(t) + yf(t),也可以分别用经典法求解。
注意,对 t=0时接入激励 f(t)的系统，初始值
yx(j)(0+),yf(j)(0+) (j = 0,1,2,…,n-1)的计算。
y(j)(0-)= yx(j)(0-)+ yf(j)(0-)
y(j)(0+)= yx(j)(0+)+ yf(j)(0+)
对于 零输入响应,由于激励为零，故有
yx(j)(0+)= yx(j)(0-) = y (j)(0-)
对于 零状态响应,在 t=0-时刻激励尚未接入，故应有
yf(j)(0-)=0
yf(j)(0+)的求法下面举例说明 。
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应例,描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知 y(0-)=2,y’(0-)=0,f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。
解,（ 1） 零输入响应 yx(t) 激励为 0,故 yx(t)满足
yx”(t) + 3yx’(t) + 2yx(t) = 0
yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2
yx’(0+)= yx’(0-)= y’(0-)=0
该齐次方程的 特征根 为 –1,– 2，故
yx(t) = Cx1e –t + Cx2e –2t
代入初始值并解得系数为 Cx1=4,Cx2= – 2,代入得
yx(t) = 4e –t – 2e –2t,t > 0
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应
（ 2） 零状态响应 yf(t) 满足
yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有
yf(0-) = yf’(0-) = 0
由于上式等号右端含有 δ(t)，故 yf”(t)含有 δ(t)，从而 yf’(t)
跃变，即 yf’(0+)≠yf’(0-)，而 yf(t)在 t = 0连续，即 yf(0+) =
yf(0-) = 0，积分得
[yf’(0+)- yf’(0-)]+ 3[yf(0+)- yf(0-)]+2
0
0
0
0 d)(62d)( tttty f?
因此,yf’(0+)= 2 – yf’(0-)=2
对 t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为 Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数 3，
于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得 yf(t)= – 4e-t + e-2t + 3,t≥0
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电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应
2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数 δ(t)所引起的 零状态响应 称为 单位冲激响应,简称冲激响应，记为 h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
例 1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)
求其冲激响应 h(t)。
解 根据 h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求 h’(0+)和 h(0+)。
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电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应因方程右端有 δ(t)，故利用系数平衡法。 h”(t)中含 δ(t)，
h’(t)含 ε(t),h’(0+)≠h’(0-),h(t)在 t=0连续，即
h(0+)=h(0-)。积分得
[h’(0+) - h’(0-)] + 5[h(0+) - h(0-)] + 6 = 1
0
0 )( dtth
考虑 h(0+)= h(0-)，由上式可得
h(0+)=h(0-)=0,h’(0+) =1 + h’(0-) = 1
对 t>0时,有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
故系统的冲激响应为一齐次解 。
微分方程的特征根为 -2,-3。 故系统的冲激响应为
h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t)
代入初始条件求得 C1=1,C2=-1,所以
h(t)=( e-2t - e-3t)ε(t)
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电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应例 2 描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应 h(t)。
解 根据 h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求 h’(0+)和 h(0+)。
由方程可知,h(t) 中含 δ(t)
故令 h(t) = aδ(t) + p1(t) [pi(t) 为不含 δ(t) 的某函数 ]
h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p2(t)
h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p3(t)
代入式 (1)，有信号与系统
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电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应
aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + p3(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + p2(t) ]
+ 6[aδ(t) + p1(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t)
整理得
aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) =
δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t)
利用 δ(t) 系数匹配，得 a =1,b = - 3,c = 12
所以 h(t) = δ(t) + p1(t) （ 2）
h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + p2(t) （ 3）
h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ p3(t) （ 4）
对式 (3)从 0-到 0+积分得 h(0+) – h(0-) = – 3
对式 (4)从 0-到 0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12
故 h(0+) = – 3,h’(0+) =12
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电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为 –2,– 3。故系统的冲激响应为
h(t)= C1e–2t + C2e–3t,t>0
代入初始条件 h(0+) = – 3,h’(0+) =12
求得 C1=3,C2= – 6,所以
h(t)= 3e–2t – 6e–3t,t > 0
结合式 (2)得
h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
对 t>0时，有 h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
二、阶跃响应
g(t)= T [ε(t),{0}]
t
tgthhtg t
d
)(d)(,d)()(
由于 δ(t) 与 ε(t) 为微积分关系，故信号与系统
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电子教案 2.3 卷积积分
2.3 卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分
1,信号的时域分解
(1) 预备知识 p ( t )
1
t0
2
2
( a )
f 1 ( t )
A
t0
2
2
( b )
问 f1(t) =? p(t)
直观看出
)(A)(1 tptf
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电子教案 2.3 卷积积分
(2) 任意信号分解
2
2
f ( t )
t
0
2
3?
- 1 0 1 2
…
…
)(? tf
f ( 0 )
)(?f
)(f
“0”号脉冲高度 f(0),宽度为△，
用 p(t)表示为,f(0) △ p(t)
“1”号脉冲高度 f(△ ),宽度为
△，用 p(t - △ )表示为：
f(△ ) △ p(t - △ )
“-1”号脉冲高度 f(-△ ),宽度为△，用 p(t +△ )表示为,
f ( - △ ) △ p(t + △ )
n
ntpnftf )()()(?
d)()()()(?lim
0
tftftf
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电子教案 2.3 卷积积分
2,任意 信号作用下的零状态响应
L T I 系统零状态
yf(t)f (t)
根据 h(t)的定义,δ(t) h(t)
由时不变性,δ(t -τ) h(t -τ)
f (τ)δ(t -τ)由齐次性,f (τ) h(t -τ)
由叠加性, d)()(
tf d)()(?
thf‖
f (t) ‖yf(t)
d)()()(
thfty f 卷积积分信号与系统
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电子教案 2.3 卷积积分
3,卷积积分的定义已知定义在区间（ –∞,∞）上的两个函数 f1(t)和 f2(t)，
则定义积分
dtfftf )()()( 21
为 f1(t)与 f2(t)的 卷积积分,简称 卷积 ；记为
f(t)= f1(t)*f2(t)
注意,积分是在虚设的变量 τ下进行的,τ为积分变量，
t为参变量。结果仍为 t 的函数。
)(*)(d)()()( thtfthfty f
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电子教案 2.3 卷积积分例,f (t) = e t,（ -∞<t<∞),h(t) = (6e-2t – 1)ε(t),求 yf(t)。
解,yf(t) = f (t) * h(t)
d)(]1e6[e )(2 tt
当 t <τ，即 τ> t时,ε(t -τ) = 0
t tt tf ty d)eee6(d]1e6[e)( 32)(2
ttttttt
tt
t
eeee2ee2e
ded)e6(e
3232
32
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电子教案 2.3 卷积积分二、卷积的图解法
dtfftftf )()()(*)( 2121
卷积过程可分解为 四步,
（ 1） 换元,t换为 τ→ 得 f1(τ),f2(τ)
（ 2） 反转平移,由 f2(τ)反转 → f2(–τ)右移 t → f 2(t-τ)
（ 3） 乘积,f1(τ) f2(t-τ)
（ 4） 积分,τ从 –∞到 ∞对乘积项积分。
注意,t为参变量。
下面举例说明。
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电子教案 2.3 卷积积分例 f (t),h(t) 如图所示，求 yf(t)= h(t) * f (t) 。
[解 ] 采用图形卷积 。
f ( t -τ)f (τ)反折 f (-τ)平移 t
① t < 0时,f ( t -τ)向左移
f ( t -τ) h(τ) = 0,故 yf(t) = 0
② 0≤t ≤1 时,f ( t -τ)向右移
2
0 4
1d
2
1)( tty t
f③ 1≤t ≤2时
4
1
2
1d
2
1)(
1 tty
t
tf
⑤ 3≤t 时
f ( t -τ) h(τ) = 0,故 yf(t) = 0
f ( t )
t0
2
1
1
t
h ( t )
2
2
τ
τ
τ
τ
h(t)函数形式复杂 换元为 h(τ)。
f (t)换元 f (τ)
f (-τ )
f (t -τ )
t-1 t t-1 t t-1 t
t
y f ( t )
20 1 3
4
1
4
3
t t-1 t t-1④ 2≤t ≤3 时
4
3
2
1
4
1d
2
1)( 22
1 ttty tf
0
h ( τ ) f ( t - τ )
20 1 3 τ
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电子教案 2.3 卷积积分图解法 一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。 确定积分的上下限是关键。
例,f1(t),f2(t)如图所示，已知
f(t) = f2(t)* f1(t)，求 f(2) =？
t
f 2 ( t )
-1 1 3
1
-1
f 1 ( t )
t2-2
2
τ
τ
τ
τ
f1(-τ) f
1(2-τ)
τ
f 1 (2 - τ ) f 2 (τ )
2
2
-2
解,
d)2()()2( 12 fff
（ 1）换元
（ 2） f1(τ)得 f1(–τ)
（ 3） f1(–τ)右移 2得 f1(2–τ)
（ 4） f1(2–τ)乘 f2(τ)
（ 5）积分，得 f(2) = 0（面积为 0）
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电子教案 2.4 卷积积分的性质
2.4 卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质
（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
一、卷积代数满足乘法的三律：
1,交换律,f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)
2,分配律,f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)
3,结合律,[f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
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电子教案 2.4 卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性
1,f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证,)(d)()()(*)( tftftft
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0)
2,f(t)*δ’(t) = f’(t)
证：
)('d)()(')(*)(' tftftft
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t)
3,f(t)*ε(t)
t ftf d)(d)()(
ε(t) *ε(t) = tε(t)
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电子教案 2.4 卷积积分的性质三、卷积的微积分性质
1, nnnnnn t tftftft tftftft d )(d*)()(*d )(d)(*)(d d 212121
证：上式 = δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
2,]d)([*)()(*]d)([d)](*)([
212121
ttt ftftffff
证：上式 = ε(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t)
3,在 f1(–∞) = 0或 f2(–1)(∞) = 0的前提下，
f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
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电子教案 2.4 卷积积分的性质例 1,f1(t) = 1,f2(t) = e–tε(t),求 f1(t)* f2(t)
解,通常复杂函数放前面，代入定义式得
f2(t)* f1(t)=
1eded)(e 00
注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
= 0* f2(–1)(t) = 0 显然是错误的 。
例 2,f1(t) 如图,f2(t) = e–tε(t)，求 f1(t)* f2(t)
)()e1()(e)(ded)(e)( 00)1(2 ttttf tttt
f 1 (t)
t20
1
解法一,f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
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电子教案 2.4 卷积积分的性质解,f1(t) =ε (t) –ε (t –2)
f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t)
ε(t) * f2(t)= f2 (-1)(t)
四、卷积的时移特性若 f(t) = f1(t)* f2(t)，
则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t)
= f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
前例,f1(t) 如图,f2(t) = e–tε(t)，求 f1(t)* f2(t)
f 1 (t)
t20
1
利用时移特性，有 ε(t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2)
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
信号与系统
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电子教案 2.4 卷积积分的性质例,f1(t),f2(t)如图，求 f1(t)* f2(t)
t1
1
-1
f 1 (t)
t10
2
f 2 (t)
0
解,f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1)
f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1)
f1(t)* f2(t)
= 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1)
–2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1)
由于 ε(t)* ε (t) = tε (t)
据时移特性，有
f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1)
–2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
信号与系统
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电子教案 2.4 卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。
求解 卷积的方法 可归纳为：
（ 1） 利用定义式，直接进行积分 。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
（ 2） 图解法 。特别适用于求某时刻点上的卷积值。
（ 3） 利用性质 。比较灵活。
三者常常结合起来使用。
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电子教案 2.4 卷积积分的性质
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电子教案 第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于 0-和 0+初始值三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应二、阶跃响应
2.3 卷积积分一、信号时域分解与卷积二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质一、卷积代数二、奇异函数的卷积特性三、卷积的微积分性质四、卷积的时移特性点击目录,进入相关章节信号与系统
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电子教案
LTI连续系统的时域分析，归结为,建立并求解线性微分方程 。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 t，故称为 时域分析法 。这种方法比较直观，物理概念清楚，
是学习各种变换域分析法的基础。
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a 1y(1)(t) + a0y (t)
= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b 1f(1)(t) + b0f (t)
信号与系统
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应微分方程的经典解：
y(t)(完全解 ) = yh(t)(齐次解 ) + yp(t)(特解 ）
齐次解 是齐次微分方程
y(n)+an-1y(n-1)+…+a 1y(1)(t)+a0y(t)=0
的解。 yh(t)的函数形式 由上述微分方程的 特征根 确定。
例 描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求（ 1）当 f(t) = 2e-t,t≥0； y(0)=2,y’(0)= -1时的全解；
（ 2）当 f(t) = e-2t,t≥0； y(0)= 1,y’(0)=0时的全解。
特解 的函数形式与激励函数的形式有关。 P43表 2-1,2-2
齐次解 的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励
f(t)的函数形式无关，称为系统的 固有响应 或 自由响应 ；
特解 的函数形式由激励确定，称为 强迫响应 。
信号与系统
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应解,(1) 特征方程为 λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根 λ1= – 2，
λ2= – 3。齐次解为
yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t
由表 2-2可知，当 f(t) = 2e – t时，其特解可设为
yp(t) = Pe – t
将其代入微分方程得
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1
于是特解为 yp(t) = e – t
全解为,y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
其中 待定常数 C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2,y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得 C1 = 3,C2 = – 2
最后得全解 y(t) = 3e– 2t – 2e– 3t + e– t,t≥0
信号与系统
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电子教案
（ 2） 齐次解同上 。 当激励 f(t)=e–2t时,其指数与特征根之一相重 。 由表知：其特解为
yp(t) = (P1t + P0)e–2t
代入微分方程可得 P1e-2t = e–2t
所以 P1= 1 但 P0不能求得 。 全解为
y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t
= (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t
将初始条件代入,得
y(0) = (C1+P0) + C2=1,y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2,C2= –1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e–2t– e–3t + te–2t,t≥0
上式第一项的系数 C1+P0= 2，不能区分 C1和 P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应二、关于 0-和 0+初始值若输入 f(t)是在 t=0时接入系统，则确定待定系数 Ci
时用 t = 0+时刻的 初始值,即 y(j)(0+) (j=0,1,2…,n-1)。
而 y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。
在 t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值 y(j)(0-)反映了 系统的历史情况 而与激励无关。称这些值为 初始状态 或 起始值 。
通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。
这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态
y(j)(0-)设法求得 y(j)(0+)。下列举例说明。
信号与系统
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电子教案例,描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知 y(0-)=2,y’(0-)= 0,f(t)=ε(t)，求 y(0+)和 y’(0+)。
解,将输入 f(t)=ε(t)代入上述微分方程得
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （ 1）
利用 系数匹配法 分析：上式对于 t=0-也成立，在 0-<t<0+
区间等号两端 δ(t)项的系数应相等。
由于等号右端为 2δ(t)，故 y”(t)应包含冲激函数，从而
y’(t)在 t= 0处将发生跃变，即 y’(0+)≠y’(0-)。
但 y’(t)不含冲激函数，否则 y”(t)将含有 δ’(t)项。由于
y’(t)中不含 δ(t)，故 y(t)在 t=0处是连续的。
故 y(0+) = y(0-) = 2
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统
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电子教案对式 (1)两端积分有
0000000000 )(6)(2)(2)('3)('' dttdttdttydttydtty
由于积分在无穷小区间 [0-,0+]进行的，且 y(t)在 t=0连续，
故
00 00 0)(,0)( dttdtty?
于是由上式得
[y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2
考虑 y(0+) = y(0-)=2,所以
y’(0+) – y’(0-) = 2,y’(0+) = y’(0-) + 2 =2
由上可见,当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应 y(t)及其各阶导数中，有些在 t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变 。
2.1 LTI连续系统的响应信号与系统
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应三、零输入响应和零状态响应
y(t) = yx(t) + yf(t),也可以分别用经典法求解。
注意,对 t=0时接入激励 f(t)的系统，初始值
yx(j)(0+),yf(j)(0+) (j = 0,1,2,…,n-1)的计算。
y(j)(0-)= yx(j)(0-)+ yf(j)(0-)
y(j)(0+)= yx(j)(0+)+ yf(j)(0+)
对于 零输入响应,由于激励为零，故有
yx(j)(0+)= yx(j)(0-) = y (j)(0-)
对于 零状态响应,在 t=0-时刻激励尚未接入，故应有
yf(j)(0-)=0
yf(j)(0+)的求法下面举例说明 。
信号与系统
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应例,描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知 y(0-)=2,y’(0-)=0,f(t)=ε(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。
解,（ 1） 零输入响应 yx(t) 激励为 0,故 yx(t)满足
yx”(t) + 3yx’(t) + 2yx(t) = 0
yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2
yx’(0+)= yx’(0-)= y’(0-)=0
该齐次方程的 特征根 为 –1,– 2，故
yx(t) = Cx1e –t + Cx2e –2t
代入初始值并解得系数为 Cx1=4,Cx2= – 2,代入得
yx(t) = 4e –t – 2e –2t,t > 0
信号与系统
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电子教案 2.1 LTI连续系统的响应
（ 2） 零状态响应 yf(t) 满足
yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有
yf(0-) = yf’(0-) = 0
由于上式等号右端含有 δ(t)，故 yf”(t)含有 δ(t)，从而 yf’(t)
跃变，即 yf’(0+)≠yf’(0-)，而 yf(t)在 t = 0连续，即 yf(0+) =
yf(0-) = 0，积分得
[yf’(0+)- yf’(0-)]+ 3[yf(0+)- yf(0-)]+2
0
0
0
0 d)(62d)( tttty f?
因此,yf’(0+)= 2 – yf’(0-)=2
对 t>0时，有 yf”(t) + 3yf’(t) + 2yf(t) = 6
不难求得其齐次解为 Cf1e-t + Cf2e-2t，其特解为常数 3，
于是有 yf(t)=Cf1e-t + Cf2e-2t + 3
代入初始值求得 yf(t)= – 4e-t + e-2t + 3,t≥0
信号与系统
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电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应
2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数 δ(t)所引起的 零状态响应 称为 单位冲激响应,简称冲激响应，记为 h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
例 1 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)
求其冲激响应 h(t)。
解 根据 h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ(t)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求 h’(0+)和 h(0+)。
信号与系统
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电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应因方程右端有 δ(t)，故利用系数平衡法。 h”(t)中含 δ(t)，
h’(t)含 ε(t),h’(0+)≠h’(0-),h(t)在 t=0连续，即
h(0+)=h(0-)。积分得
[h’(0+) - h’(0-)] + 5[h(0+) - h(0-)] + 6 = 1
0
0 )( dtth
考虑 h(0+)= h(0-)，由上式可得
h(0+)=h(0-)=0,h’(0+) =1 + h’(0-) = 1
对 t>0时,有 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = 0
故系统的冲激响应为一齐次解 。
微分方程的特征根为 -2,-3。 故系统的冲激响应为
h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t)
代入初始条件求得 C1=1,C2=-1,所以
h(t)=( e-2t - e-3t)ε(t)
信号与系统
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电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应例 2 描述某系统的微分方程为
y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t)
求其冲激响应 h(t)。
解 根据 h(t)的定义 有
h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1)
h’(0-) = h(0-) = 0
先求 h’(0+)和 h(0+)。
由方程可知,h(t) 中含 δ(t)
故令 h(t) = aδ(t) + p1(t) [pi(t) 为不含 δ(t) 的某函数 ]
h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + p2(t)
h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ p3(t)
代入式 (1)，有信号与系统
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电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应
aδ”(t) + bδ’(t)+ cδ(t) + p3(t) + 5[aδ’(t) + bδ(t) + p2(t) ]
+ 6[aδ(t) + p1(t) ] = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t)
整理得
aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) =
δ”(t) + 2δ’(t) + 3δ(t)
利用 δ(t) 系数匹配，得 a =1,b = - 3,c = 12
所以 h(t) = δ(t) + p1(t) （ 2）
h’(t) = δ’(t) - 3δ(t) + p2(t) （ 3）
h”(t) = δ”(t) - 3 δ’(t) + 12δ(t)+ p3(t) （ 4）
对式 (3)从 0-到 0+积分得 h(0+) – h(0-) = – 3
对式 (4)从 0-到 0+积分得 h’(0+) – h’(0-) =12
故 h(0+) = – 3,h’(0+) =12
信号与系统
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电子教案 2.2 冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为 –2,– 3。故系统的冲激响应为
h(t)= C1e–2t + C2e–3t,t>0
代入初始条件 h(0+) = – 3,h’(0+) =12
求得 C1=3,C2= – 6,所以
h(t)= 3e–2t – 6e–3t,t > 0
结合式 (2)得
h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
对 t>0时，有 h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
二、阶跃响应
g(t)= T [ε(t),{0}]
t
tgthhtg t
d
)(d)(,d)()(
由于 δ(t) 与 ε(t) 为微积分关系，故信号与系统
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电子教案 2.3 卷积积分
2.3 卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分
1,信号的时域分解
(1) 预备知识 p ( t )
1
t0
2
2
( a )
f 1 ( t )
A
t0
2
2
( b )
问 f1(t) =? p(t)
直观看出
)(A)(1 tptf
信号与系统
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电子教案 2.3 卷积积分
(2) 任意信号分解
2
2
f ( t )
t
0
2
3?
- 1 0 1 2
…
…
)(? tf
f ( 0 )
)(?f
)(f
“0”号脉冲高度 f(0),宽度为△，
用 p(t)表示为,f(0) △ p(t)
“1”号脉冲高度 f(△ ),宽度为
△，用 p(t - △ )表示为：
f(△ ) △ p(t - △ )
“-1”号脉冲高度 f(-△ ),宽度为△，用 p(t +△ )表示为,
f ( - △ ) △ p(t + △ )
n
ntpnftf )()()(?
d)()()()(?lim
0
tftftf
信号与系统
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电子教案 2.3 卷积积分
2,任意 信号作用下的零状态响应
L T I 系统零状态
yf(t)f (t)
根据 h(t)的定义,δ(t) h(t)
由时不变性,δ(t -τ) h(t -τ)
f (τ)δ(t -τ)由齐次性,f (τ) h(t -τ)
由叠加性, d)()(
tf d)()(?
thf‖
f (t) ‖yf(t)
d)()()(
thfty f 卷积积分信号与系统
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电子教案 2.3 卷积积分
3,卷积积分的定义已知定义在区间（ –∞,∞）上的两个函数 f1(t)和 f2(t)，
则定义积分
dtfftf )()()( 21
为 f1(t)与 f2(t)的 卷积积分,简称 卷积 ；记为
f(t)= f1(t)*f2(t)
注意,积分是在虚设的变量 τ下进行的,τ为积分变量，
t为参变量。结果仍为 t 的函数。
)(*)(d)()()( thtfthfty f
信号与系统
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电子教案 2.3 卷积积分例,f (t) = e t,（ -∞<t<∞),h(t) = (6e-2t – 1)ε(t),求 yf(t)。
解,yf(t) = f (t) * h(t)
d)(]1e6[e )(2 tt
当 t <τ，即 τ> t时,ε(t -τ) = 0
t tt tf ty d)eee6(d]1e6[e)( 32)(2
ttttttt
tt
t
eeee2ee2e
ded)e6(e
3232
32
信号与系统
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电子教案 2.3 卷积积分二、卷积的图解法
dtfftftf )()()(*)( 2121
卷积过程可分解为 四步,
（ 1） 换元,t换为 τ→ 得 f1(τ),f2(τ)
（ 2） 反转平移,由 f2(τ)反转 → f2(–τ)右移 t → f 2(t-τ)
（ 3） 乘积,f1(τ) f2(t-τ)
（ 4） 积分,τ从 –∞到 ∞对乘积项积分。
注意,t为参变量。
下面举例说明。
信号与系统
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电子教案 2.3 卷积积分例 f (t),h(t) 如图所示，求 yf(t)= h(t) * f (t) 。
[解 ] 采用图形卷积 。
f ( t -τ)f (τ)反折 f (-τ)平移 t
① t < 0时,f ( t -τ)向左移
f ( t -τ) h(τ) = 0,故 yf(t) = 0
② 0≤t ≤1 时,f ( t -τ)向右移
2
0 4
1d
2
1)( tty t
f③ 1≤t ≤2时
4
1
2
1d
2
1)(
1 tty
t
tf
⑤ 3≤t 时
f ( t -τ) h(τ) = 0,故 yf(t) = 0
f ( t )
t0
2
1
1
t
h ( t )
2
2
τ
τ
τ
τ
h(t)函数形式复杂 换元为 h(τ)。
f (t)换元 f (τ)
f (-τ )
f (t -τ )
t-1 t t-1 t t-1 t
t
y f ( t )
20 1 3
4
1
4
3
t t-1 t t-1④ 2≤t ≤3 时
4
3
2
1
4
1d
2
1)( 22
1 ttty tf
0
h ( τ ) f ( t - τ )
20 1 3 τ
信号与系统
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电子教案 2.3 卷积积分图解法 一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。 确定积分的上下限是关键。
例,f1(t),f2(t)如图所示，已知
f(t) = f2(t)* f1(t)，求 f(2) =？
t
f 2 ( t )
-1 1 3
1
-1
f 1 ( t )
t2-2
2
τ
τ
τ
τ
f1(-τ) f
1(2-τ)
τ
f 1 (2 - τ ) f 2 (τ )
2
2
-2
解,
d)2()()2( 12 fff
（ 1）换元
（ 2） f1(τ)得 f1(–τ)
（ 3） f1(–τ)右移 2得 f1(2–τ)
（ 4） f1(2–τ)乘 f2(τ)
（ 5）积分，得 f(2) = 0（面积为 0）
信号与系统
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电子教案 2.4 卷积积分的性质
2.4 卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质
（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
一、卷积代数满足乘法的三律：
1,交换律,f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)
2,分配律,f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)
3,结合律,[f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
信号与系统
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电子教案 2.4 卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性
1,f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t)
证,)(d)()()(*)( tftftft
f(t)*δ(t –t0) = f(t – t0)
2,f(t)*δ’(t) = f’(t)
证：
)('d)()(')(*)(' tftftft
f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t)
3,f(t)*ε(t)
t ftf d)(d)()(
ε(t) *ε(t) = tε(t)
信号与系统
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电子教案 2.4 卷积积分的性质三、卷积的微积分性质
1, nnnnnn t tftftft tftftft d )(d*)()(*d )(d)(*)(d d 212121
证：上式 = δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
2,]d)([*)()(*]d)([d)](*)([
212121
ttt ftftffff
证：上式 = ε(t) *[f1(t)* f2(t)]
= [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t)
3,在 f1(–∞) = 0或 f2(–1)(∞) = 0的前提下，
f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
信号与系统
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电子教案 2.4 卷积积分的性质例 1,f1(t) = 1,f2(t) = e–tε(t),求 f1(t)* f2(t)
解,通常复杂函数放前面，代入定义式得
f2(t)* f1(t)=
1eded)(e 00
注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
= 0* f2(–1)(t) = 0 显然是错误的 。
例 2,f1(t) 如图,f2(t) = e–tε(t)，求 f1(t)* f2(t)
)()e1()(e)(ded)(e)( 00)1(2 ttttf tttt
f 1 (t)
t20
1
解法一,f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
信号与系统
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电子教案 2.4 卷积积分的性质解,f1(t) =ε (t) –ε (t –2)
f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t)
ε(t) * f2(t)= f2 (-1)(t)
四、卷积的时移特性若 f(t) = f1(t)* f2(t)，
则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t)
= f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
前例,f1(t) 如图,f2(t) = e–tε(t)，求 f1(t)* f2(t)
f 1 (t)
t20
1
利用时移特性，有 ε(t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2)
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
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电子教案 2.4 卷积积分的性质例,f1(t),f2(t)如图，求 f1(t)* f2(t)
t1
1
-1
f 1 (t)
t10
2
f 2 (t)
0
解,f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1)
f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1)
f1(t)* f2(t)
= 2 ε (t)* ε (t+1) –2 ε (t)* ε (t –1)
–2ε (t –1)* ε (t+1) +2ε (t –1)* ε (t –1)
由于 ε(t)* ε (t) = tε (t)
据时移特性，有
f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) ε (t+1) - 2 (t –1) ε (t –1)
–2 tε (t) +2 (t –2) ε (t –2)
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电子教案 2.4 卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。
求解 卷积的方法 可归纳为：
（ 1） 利用定义式，直接进行积分 。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
（ 2） 图解法 。特别适用于求某时刻点上的卷积值。
（ 3） 利用性质 。比较灵活。
三者常常结合起来使用。
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电子教案 2.4 卷积积分的性质
