第三章 线性方程组
§1 消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为
(1)
的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，称为线性方程组的系数，称为常数项.方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等.系数的第一个指标表示它在第个方程，第二个指标表示它是的系数.
所谓方程组(1)的一个解就是指由个数组成的有序数组，当分别用代入后，(1)中每个等式都变成恒等式,方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
(2)
来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.
例如，解方程组
第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成
第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得
这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）.
分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：
1,用一非零数乘某一方程；
2,把一个方程的倍数加到另一个方程；
3,互换两个方程的位置.
定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.
二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.
下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.
对于方程组(1)，首先检查的系数.如果的系数全为零，那么方程组(1)对没有任何限制，就可以取任何值，而方程组(1)可以看作的方程组来解.如果的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设.利用初等变换2，分别把第一个方程的倍加到第个方程().于是方程组(1)就变成
(3)
其中
这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组
(4)
的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.
对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
(5)
其中.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的.
现在考虑(5)的解的情况.
如(5)中有方程，而.这时不管取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解.
当是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况：
1）.这时阶梯形方程组为
(6)
其中.由最后一个方程开始，的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解.
例1 解线性方程组
2）.这时阶梯形方程组为
其中.把它改写成
(7)
由此可见，任给一组值，就唯一地定出的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而称为一组自由未知量.
例2 解线性方程组
从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.
以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.
定理1 在齐次线性方程组
中，如果，那么它必有非零解.
矩阵
(10)
称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.
例3 解线性方程组
§2 维向量空间定义2 所谓数域上一个维向量就是由数域中个数组成的有序数组
(1)
称为向量(1)的分量.
用小写希腊字母来代表向量.
定义3 如果维向量
的对应分量都相等，即
.
就称这两个向量是相等的，记作.
维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的.
定义4 向量
称为向量
的和，记为
由定义立即推出：
交换律,,(2)
结合律,,(3)
定义5 分量全为零的向量
称为零向量，记为0;向量称为向量的负向量，记为.
显然对于所有的，都有
,(4)
,(5)
(2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律.
定义6
定义7 设为数域中的数，向量
称为向量与数的数量乘积，记为
由定义立即推出：
,(6)
,(7)
,(8)
,(9)
(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：
,(10)
,(11)
,(12)
如果，那么
,(13)
定义8 以数域中的数作为分量的维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域上的维向量空间.
在时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间.
以上已把数域上全体维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域上维向量空间.
向量通常是写成一行：
.
有时也可以写成一列：
.
为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.
§3 线性相关性一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。
一、线性相关与线性无关两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数使
.
定义9 向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域中的数，使
,
其中叫做这个线性组合的系数.
例如，任一个维向量都是向量组
（1）
的一个线性组合.
向量称为维单位向量.
零向量是任意向量组的线性组合.
当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经向量组线性表出.
定义10 如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量组线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.
由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组可以经向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，那么向量组可以经向量组线性表出.
向量组之间等价具有以下性质：
1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.
2）对称性：如果向量组与等价，那么向量组与等价.
3）传递性：如果向量组与等价，与等价，那么向量组与等价.
定义11 如果向量组中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组线性相关,
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组线性相关就表示或者(这两个式子不一定能同时成立).在为实数域，并且是三维时，就表示向量与共线.三个向量线性相关的几何意义就是它们共面.
定义11′向量组称为线性相关的，如果有数域中不全为零的数，使
这两个定义在的时候是一致的.
定义12 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数，使
就称为线性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由
可以推出
由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量,
定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形,单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.
不难看出，由维单位向量组成的向量组是线性无关的.
具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组
(2)
是否线性相关，根据定义11，就是看方程
(3)
有无非零解.(3)式按分量写出来就是
(4)
因之，向量组线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解.
例1 判断的向量
是否线性相关。
例2 在向量空间里，对于任意非负整数
线性无关.
例3 若向量组线性无关，则向量组也线性无关.
从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的维的向量组
(5)
也线性无关.
定理2 设与是两个向量组.如果
1）向量组可以经线性表出，
2） ，
那么向量组必线性相关.
推论1 如果向量组可以经向量组线性表出，且线性无关，那么.
推论2 任意个维向量必线性相关.
推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.
定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果，那么可以由向量线性表出的向量当然都在所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当时，这些向量线性相关.两个向量组与等价，就意味着它们在同一平面上.
二、极大线性无关组定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.
极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.
例4 看的向量组
在这里｛｝线性无关，而，所以｛｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛｝，｛｝也都是向量组｛｝的极大线性无关组.
由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.
定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.
定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.
一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.
每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.
含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.
现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组
各个方程所对应的向量分别是
.设有另一个方程
它对应的向量为.则是的线性组合，当且仅当，即方程(B)是方程 的线性组合.容易验证，方程组的解一定满足(B).进一步设方程组
它的方程所对应的向量为.若可经线性表出，则方程组的解是方程组的解.再进一步，当与等价时，两个方程组同解.
例5 （1）设线性无关，证明也线性无关；对个线性无关向量组，以上命题是否成立？
（2）当线性无关，证明也线性无关，当线性无关时，是否也线性无关？
例6 设在向量组中，且每个都不能表成它的前个向量的线性组合，证明线性无关.
§4 矩阵的秩一、矩阵的秩如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.
定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.
例如，矩阵
的行向量组是
它的秩是3.它的列向量组是
它的秩也是3.
矩阵的行秩等于列秩，这点不是偶然的.
引理 如果齐次线性方程组
（1）
的系数矩阵
的行秩，那么它有非零解.
定理4 矩阵的行秩与列秩相等.
因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.
二、矩阵的秩与行列式的联系定理5 矩阵
的行列式为零的充要条件是的秩小于.
推论 齐次线性方程组
有非零解的充要条件是它的系数矩阵
的行列式等于零.
定义16 在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成的级行列式，称为的一个级子式.
在定义中，当然有，这里表示中较小的一个.
定理6 一矩阵的秩是的充要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.
从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵的秩的充要条件为有一个级子式不为零；另一部分是，矩阵的秩的充要条件为的所有级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为的矩阵中，不为零的级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组.
三、矩阵的秩的计算在前面，作为解线性方程组的一个方法，对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形.实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法.
首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩.
其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目.
上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.
以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.
例 利用初等变换求下面矩阵的秩：
.
§5 线性方程组有解判别定理设线性方程组为
(1)
引入向量
,(2)
于是线性方程组(1)可以改写成向量方程
,(3)
显然，线性方程组(1)有解的充要条件为向量可以表成向量组的线性组合.用秩的概念，线性方程组(1)有解的条件可以叙述如下：
定理7(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(1)有解的充要条件为它的系数矩阵
与增广矩阵
有相同的秩.
应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的.用消元法解线性方程组(1)的第一步就是用初等行变换把增广矩阵化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：
或者
其中.在前一种情形，原方程组无解，而在后一种情形方程组有解.实际上，把这个阶梯形矩阵最后一列去掉，那就是线性方程组(1)的系数矩阵经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.
以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明.
根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法.
设线性方程组(1)有解，矩阵与的秩都等于，而是矩阵的一个不为零的级子式(当然它也是的一个不为零的子式)，为了方便起见，不妨设位于的左上角.
显然，在这种情况下，的前行就是一个极大线性无关组，第行都可以经它们线性表出.因此，线性方程组(1)与
(4)
同解.
当时，由克拉默法则，线性方程组(4)有唯一解，也就是线性方程组(1)有唯一解.
当时，将线性方程组(4)改写为
(5)
(5)作为的一个方程组，它的系数行列式.由克拉默法则，对于的任意一组值，线性方程组(5)，也就是线性方程组(1)，都有唯一的解,就是线性方程组(1)的一组自由未知量.对(5)用克拉默法则，可以解出：
(6)
(6)就是线性方程组(1)的一般解.
例 取怎样的数值时，线性方程组
有唯一解，没有解，有无穷多解？
§6 线性方程组解的结构在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.
一、齐次线性方程组的解的结构设
(1)
是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：
1,两个解的和还是方程组的解.
2,一个解的倍数还是方程组的解.
从几何上看，这两个性质是清楚的.在时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.
对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？
定义17 齐次线性方程组(1)的一组解称为(1)的一个基础解系，如果
1）(1)的任一个解都能表成的线性组合；
2）线性无关.
应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.
定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于，这里表示系数矩阵的秩(以下将看到，也就是自由未知量的个数).
定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.
由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.
二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组
(9)
的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1),齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：
1,线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.
2,线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.
定理9 如果是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解都可以表成
其中是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解，当取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.
定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果是线性方程组(9)的一个特解，是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解都可以表成
推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.
线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组
(11)
(11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是
与,
它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：
1,秩=秩=1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.
2,秩=1，秩=2.这就是说，这两个平面平行而不重合,方程组无解.
3,秩=2.这时的秩一定也是2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交,方程组有解.
下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是，一般解的形式为
(12)
从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程
.
如果引入参数，令，(12)就成为
(13)
这就是直线的参数方程.
(11)的导出方程组是
(14)
从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是
(15)
(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系.
例1 求线性方程组
的一个基础解系.
例2 设线性方程组
用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.
§7 二元高次方程组一、结式的概念引理 设
是数域上两个非零的多项式，它们的系数不全为零.于是与在中有非常数的公因式在中存在非零的次数小于的多项式与次数小于的多项式，使
下面把引理中的条件改变一下.令
由多项式相等的定义，等式
(5)
就是左右两端对应系数相等，即
(6)
如果把(6)看成一个关于未知量的方程组，那么它是一个含个未知量，个方程的齐次线性方程组.显然，引理中的条件：“在中存在非零的次数小于的多项式与次数小于的多项式，使(5)成立”就相当于说，齐次线性方程组(6)有非零解.
我们知道，齐次线性方程组(6)有非零解的充要条件为它的系数矩阵的行列式等于零.
把线性方程组(6)的系数矩阵的行列式的行列互换，再把后边的行反号，取行列式就得
.
对任意多项式
(它们可以为零多项式)，我们称上面的行列式为它们的结式，记为.综合以上分析，就可以证明定理10 设
是中两个非零的多项式，于是它们的结式的充要条件是与在中有非常数的公因式或者它们的第一个系数全为零.
当是复数域时，两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对复数域上多项式，，的充要条件为，在复数域中有公共根或者它们的第一个系数全为零.
例1 取何值时，多项式
有公根.
二、二元高次方程组的解法结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法.
设是两个复系数的二元多项式，我们来求方程组
(7)
在复数域中的全部解,可以写成
其中是的多项式.把看作是的多项式，令
这是一个的复系数多项式,
定理11 如果是方程组(7)的一个复数解，那么就是的一个根；反过来，如果是的一个复根，那么，或者存在一个复数使是方程组(7)的一个解.
由此可知，为了解方程组(7)，我们先求高次方程的全部根，把的每个根代入(7)，再求的值.这样，我们就得到(7)的全部解.
例2 求方程组
的解.
第三章 线性方程组(小结)
一、.向量的线性关系
1．基本概念：
维向量，向量的线性运算，线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量组等价，向量组的秩.
2,主要结论：
1) 向量组线性相关的充要条件是其中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出.
2）设向量组线性无关，而向量组线性相关，那么可由线性表出，而且表示法唯一.
3) 设向量组中每一个向量都是向量组的线性组合，而且，那么向量组必线性相关.
3,向量组线性相关的判定：
1）根据定义；
2) 计算以向量组为行(列)的矩阵的秩；
二、矩阵的秩
1,矩阵的秩矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩，即矩阵的行(列)秩.=不为零的子式的最大级数.
2,矩阵的初等变换
1) 初等变换不改变矩阵的秩；
2) 用初等变换计算矩阵的秩；
三、线性方程组的解的情形
1,线性方程组有解的判定：
(1)
有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
2,线性方程组的解的个数：
1) 当秩()=秩()=，方程组(1)有唯一解；
2）当秩()=秩()=,方程组(1)有无穷多解.
3．齐次线性方程组的解的情形：
(2)
总是有解.
1) 当秩()=，方程组(2)只有零解；
2) 当秩()=,方程组(2)有非零解.
四、线性方程组的解的结构
1) 齐次线性方程组的基础解系.
2) 当秩()=,方程组(2)的任意个线性无关的解向量，都是它的基础解系，(2)的全部解可表示为
,
其中是任意的数.
3) 当秩()=秩()=时，如果是线性方程组(1)的一个特解，是(1)的相应导出组(2)的基础解系，那么线性方程组(1)的任一个解都可以表成
,
其中是任意数.
§1 消元法一、线性方程组的初等变换现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为
(1)
的方程组，其中代表个未知量，是方程的个数，称为线性方程组的系数，称为常数项.方程组中未知量的个数与方程的个数不一定相等.系数的第一个指标表示它在第个方程，第二个指标表示它是的系数.
所谓方程组(1)的一个解就是指由个数组成的有序数组，当分别用代入后，(1)中每个等式都变成恒等式,方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵
(2)
来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性.下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.
例如，解方程组
第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成
第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得
这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）.
分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：
1,用一非零数乘某一方程；
2,把一个方程的倍数加到另一个方程；
3,互换两个方程的位置.
定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换.
二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组.
下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.
对于方程组(1)，首先检查的系数.如果的系数全为零，那么方程组(1)对没有任何限制，就可以取任何值，而方程组(1)可以看作的方程组来解.如果的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设.利用初等变换2，分别把第一个方程的倍加到第个方程().于是方程组(1)就变成
(3)
其中
这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组
(4)
的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解.
对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为
(5)
其中.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的.
现在考虑(5)的解的情况.
如(5)中有方程，而.这时不管取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解.
当是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况：
1）.这时阶梯形方程组为
(6)
其中.由最后一个方程开始，的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解.
例1 解线性方程组
2）.这时阶梯形方程组为
其中.把它改写成
(7)
由此可见，任给一组值，就唯一地定出的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而称为一组自由未知量.
例2 解线性方程组
从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子.
以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解.
定理1 在齐次线性方程组
中，如果，那么它必有非零解.
矩阵
(10)
称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.
例3 解线性方程组
§2 维向量空间定义2 所谓数域上一个维向量就是由数域中个数组成的有序数组
(1)
称为向量(1)的分量.
用小写希腊字母来代表向量.
定义3 如果维向量
的对应分量都相等，即
.
就称这两个向量是相等的，记作.
维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的.
定义4 向量
称为向量
的和，记为
由定义立即推出：
交换律,,(2)
结合律,,(3)
定义5 分量全为零的向量
称为零向量，记为0;向量称为向量的负向量，记为.
显然对于所有的，都有
,(4)
,(5)
(2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律.
定义6
定义7 设为数域中的数，向量
称为向量与数的数量乘积，记为
由定义立即推出：
,(6)
,(7)
,(8)
,(9)
(6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出：
,(10)
,(11)
,(12)
如果，那么
,(13)
定义8 以数域中的数作为分量的维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域上的维向量空间.
在时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间.
以上已把数域上全体维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域上维向量空间.
向量通常是写成一行：
.
有时也可以写成一列：
.
为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.
§3 线性相关性一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。
一、线性相关与线性无关两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数使
.
定义9 向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域中的数，使
,
其中叫做这个线性组合的系数.
例如，任一个维向量都是向量组
（1）
的一个线性组合.
向量称为维单位向量.
零向量是任意向量组的线性组合.
当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经向量组线性表出.
定义10 如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量组线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.
由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组可以经向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，那么向量组可以经向量组线性表出.
向量组之间等价具有以下性质：
1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.
2）对称性：如果向量组与等价，那么向量组与等价.
3）传递性：如果向量组与等价，与等价，那么向量组与等价.
定义11 如果向量组中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组线性相关,
从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组线性相关就表示或者(这两个式子不一定能同时成立).在为实数域，并且是三维时，就表示向量与共线.三个向量线性相关的几何意义就是它们共面.
定义11′向量组称为线性相关的，如果有数域中不全为零的数，使
这两个定义在的时候是一致的.
定义12 一向量组不线性相关，即没有不全为零的数，使
就称为线性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由
可以推出
由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量,
定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形,单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.
不难看出，由维单位向量组成的向量组是线性无关的.
具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组
(2)
是否线性相关，根据定义11，就是看方程
(3)
有无非零解.(3)式按分量写出来就是
(4)
因之，向量组线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解.
例1 判断的向量
是否线性相关。
例2 在向量空间里，对于任意非负整数
线性无关.
例3 若向量组线性无关，则向量组也线性无关.
从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的维的向量组
(5)
也线性无关.
定理2 设与是两个向量组.如果
1）向量组可以经线性表出，
2） ，
那么向量组必线性相关.
推论1 如果向量组可以经向量组线性表出，且线性无关，那么.
推论2 任意个维向量必线性相关.
推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.
定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果，那么可以由向量线性表出的向量当然都在所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当时，这些向量线性相关.两个向量组与等价，就意味着它们在同一平面上.
二、极大线性无关组定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.
一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.
极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.
例4 看的向量组
在这里｛｝线性无关，而，所以｛｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛｝，｛｝也都是向量组｛｝的极大线性无关组.
由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.
定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.
定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.
一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.
每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.
含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.
现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组
各个方程所对应的向量分别是
.设有另一个方程
它对应的向量为.则是的线性组合，当且仅当，即方程(B)是方程 的线性组合.容易验证，方程组的解一定满足(B).进一步设方程组
它的方程所对应的向量为.若可经线性表出，则方程组的解是方程组的解.再进一步，当与等价时，两个方程组同解.
例5 （1）设线性无关，证明也线性无关；对个线性无关向量组，以上命题是否成立？
（2）当线性无关，证明也线性无关，当线性无关时，是否也线性无关？
例6 设在向量组中，且每个都不能表成它的前个向量的线性组合，证明线性无关.
§4 矩阵的秩一、矩阵的秩如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.
定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.
例如，矩阵
的行向量组是
它的秩是3.它的列向量组是
它的秩也是3.
矩阵的行秩等于列秩，这点不是偶然的.
引理 如果齐次线性方程组
（1）
的系数矩阵
的行秩，那么它有非零解.
定理4 矩阵的行秩与列秩相等.
因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.
二、矩阵的秩与行列式的联系定理5 矩阵
的行列式为零的充要条件是的秩小于.
推论 齐次线性方程组
有非零解的充要条件是它的系数矩阵
的行列式等于零.
定义16 在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成的级行列式，称为的一个级子式.
在定义中，当然有，这里表示中较小的一个.
定理6 一矩阵的秩是的充要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.
从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵的秩的充要条件为有一个级子式不为零；另一部分是，矩阵的秩的充要条件为的所有级子式全为零.从定理的证明还可以看出，在秩为的矩阵中，不为零的级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组.
三、矩阵的秩的计算在前面，作为解线性方程组的一个方法，对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形.实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法.
首先，矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.等价的向量组有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等列变换也不改变矩阵的秩.
其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目.
上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩，只要用初等行变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.
以上的讨论还说明，用初等变换化一个线性方程组成阶梯形，最后留下来的方程的个数与变换的过程无关，因为它就等于增广矩阵的秩.
例 利用初等变换求下面矩阵的秩：
.
§5 线性方程组有解判别定理设线性方程组为
(1)
引入向量
,(2)
于是线性方程组(1)可以改写成向量方程
,(3)
显然，线性方程组(1)有解的充要条件为向量可以表成向量组的线性组合.用秩的概念，线性方程组(1)有解的条件可以叙述如下：
定理7(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(1)有解的充要条件为它的系数矩阵
与增广矩阵
有相同的秩.
应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的.用消元法解线性方程组(1)的第一步就是用初等行变换把增广矩阵化成阶梯形.这个阶梯形矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形：
或者
其中.在前一种情形，原方程组无解，而在后一种情形方程组有解.实际上，把这个阶梯形矩阵最后一列去掉，那就是线性方程组(1)的系数矩阵经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解；当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.
以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明.
根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法.
设线性方程组(1)有解，矩阵与的秩都等于，而是矩阵的一个不为零的级子式(当然它也是的一个不为零的子式)，为了方便起见，不妨设位于的左上角.
显然，在这种情况下，的前行就是一个极大线性无关组，第行都可以经它们线性表出.因此，线性方程组(1)与
(4)
同解.
当时，由克拉默法则，线性方程组(4)有唯一解，也就是线性方程组(1)有唯一解.
当时，将线性方程组(4)改写为
(5)
(5)作为的一个方程组，它的系数行列式.由克拉默法则，对于的任意一组值，线性方程组(5)，也就是线性方程组(1)，都有唯一的解,就是线性方程组(1)的一组自由未知量.对(5)用克拉默法则，可以解出：
(6)
(6)就是线性方程组(1)的一般解.
例 取怎样的数值时，线性方程组
有唯一解，没有解，有无穷多解？
§6 线性方程组解的结构在解决线性方程组有解的判别条件之后，进一步来讨论线性方程组解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题.
一、齐次线性方程组的解的结构设
(1)
是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质：
1,两个解的和还是方程组的解.
2,一个解的倍数还是方程组的解.
从几何上看，这两个性质是清楚的.在时，每个齐次方程表示一个过得点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.
对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解.这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出？
定义17 齐次线性方程组(1)的一组解称为(1)的一个基础解系，如果
1）(1)的任一个解都能表成的线性组合；
2）线性无关.
应该注意，定义中的条件2)是为了保证基础解系中没有多余的解.
定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于，这里表示系数矩阵的秩(以下将看到，也就是自由未知量的个数).
定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.
由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系.
二、一般线性方程组的解的结构如果把一般线性方程组
(9)
的常数项换成0，就得到齐次线性方程组(1),齐次线性方程组(1)称为方程组(9)的导出组.方程组(9)的解与它的导出组(1)的之间有密切的关系：
1,线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解.
2,线性方程组(9)的一个解与它的导出组(1)的一个解之和还是这个线性方程组的一个解.
定理9 如果是线性方程组(9)的一个特解，那么线性方程组(9)的任一个解都可以表成
其中是导出组(1)的一个解.因此，对于线性方程组(9)的任一个特解，当取遍它的导出组的全部解时，(10)就给出(9)的全部解.
定理9说明了，为了找出一线性方程组的全部解，只要找出它的一个特殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组，在上面已经看到，一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表示.因此，根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组的一般解；如果是线性方程组(9)的一个特解，是其导出组的一个基础解系，那么(9)的任一个解都可以表成
推论 在线性方程组(9)有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出组(1)只有零解.
线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.来看线性方程组
(11)
(11)中每一个方程表示一个平面，线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道，两个平面只有在平行而不重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是
与,
它们的秩可能是1或者2.有三个可能的情形：
1,秩=秩=1.这就是的两行成比例，因而这两个平面平行.又因为的两行也成比例，所以这两个平面重合.方程组有解.
2,秩=1，秩=2.这就是说，这两个平面平行而不重合,方程组无解.
3,秩=2.这时的秩一定也是2.在几何上就是这两个平面不平行，因而一定相交,方程组有解.
下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵的秩为2，这时一般解中有一个自由未知量，譬如说是，一般解的形式为
(12)
从几何上看，两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就是直线的点向式方程
.
如果引入参数，令，(12)就成为
(13)
这就是直线的参数方程.
(11)的导出方程组是
(14)
从几何上看，这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行，也就是有相同的方向，所以这条直线的参数方程就是
(15)
(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系.
例1 求线性方程组
的一个基础解系.
例2 设线性方程组
用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.
§7 二元高次方程组一、结式的概念引理 设
是数域上两个非零的多项式，它们的系数不全为零.于是与在中有非常数的公因式在中存在非零的次数小于的多项式与次数小于的多项式，使
下面把引理中的条件改变一下.令
由多项式相等的定义，等式
(5)
就是左右两端对应系数相等，即
(6)
如果把(6)看成一个关于未知量的方程组，那么它是一个含个未知量，个方程的齐次线性方程组.显然，引理中的条件：“在中存在非零的次数小于的多项式与次数小于的多项式，使(5)成立”就相当于说，齐次线性方程组(6)有非零解.
我们知道，齐次线性方程组(6)有非零解的充要条件为它的系数矩阵的行列式等于零.
把线性方程组(6)的系数矩阵的行列式的行列互换，再把后边的行反号，取行列式就得
.
对任意多项式
(它们可以为零多项式)，我们称上面的行列式为它们的结式，记为.综合以上分析，就可以证明定理10 设
是中两个非零的多项式，于是它们的结式的充要条件是与在中有非常数的公因式或者它们的第一个系数全为零.
当是复数域时，两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对复数域上多项式，，的充要条件为，在复数域中有公共根或者它们的第一个系数全为零.
例1 取何值时，多项式
有公根.
二、二元高次方程组的解法结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法.
设是两个复系数的二元多项式，我们来求方程组
(7)
在复数域中的全部解,可以写成
其中是的多项式.把看作是的多项式，令
这是一个的复系数多项式,
定理11 如果是方程组(7)的一个复数解，那么就是的一个根；反过来，如果是的一个复根，那么，或者存在一个复数使是方程组(7)的一个解.
由此可知，为了解方程组(7)，我们先求高次方程的全部根，把的每个根代入(7)，再求的值.这样，我们就得到(7)的全部解.
例2 求方程组
的解.
第三章 线性方程组(小结)
一、.向量的线性关系
1．基本概念：
维向量，向量的线性运算，线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量组等价，向量组的秩.
2,主要结论：
1) 向量组线性相关的充要条件是其中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出.
2）设向量组线性无关，而向量组线性相关，那么可由线性表出，而且表示法唯一.
3) 设向量组中每一个向量都是向量组的线性组合，而且，那么向量组必线性相关.
3,向量组线性相关的判定：
1）根据定义；
2) 计算以向量组为行(列)的矩阵的秩；
二、矩阵的秩
1,矩阵的秩矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩，即矩阵的行(列)秩.=不为零的子式的最大级数.
2,矩阵的初等变换
1) 初等变换不改变矩阵的秩；
2) 用初等变换计算矩阵的秩；
三、线性方程组的解的情形
1,线性方程组有解的判定：
(1)
有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
2,线性方程组的解的个数：
1) 当秩()=秩()=，方程组(1)有唯一解；
2）当秩()=秩()=,方程组(1)有无穷多解.
3．齐次线性方程组的解的情形：
(2)
总是有解.
1) 当秩()=，方程组(2)只有零解；
2) 当秩()=,方程组(2)有非零解.
四、线性方程组的解的结构
1) 齐次线性方程组的基础解系.
2) 当秩()=,方程组(2)的任意个线性无关的解向量，都是它的基础解系，(2)的全部解可表示为
,
其中是任意的数.
3) 当秩()=秩()=时，如果是线性方程组(1)的一个特解，是(1)的相应导出组(2)的基础解系，那么线性方程组(1)的任一个解都可以表成
,
其中是任意数.
