第八章 矩阵
§1 矩阵设是数域，是一个文字，作多项式环，一个矩阵如果它的元素是的多项式，即的元素，就称为矩阵.在这一章讨论矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.
因为数域中的数也是的元素，所以在矩阵中也包括以数为元素的矩阵.为了与矩阵相区别，把以数域中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以下用等表示矩阵.
我们知道，中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.
行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个的矩阵的行列式.一般地，矩阵的行列式是的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质.
定义1 如果矩阵中有一个级子式不为零，而所有级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为.零矩阵的秩规定为零.
定义2 一个的矩阵称为可逆的，如果有一个的矩阵使
,(1)
这里是级单位矩阵.适合(1)的矩阵(它是唯一的)称为的逆矩阵，记为..
定理1 一个的矩阵是可逆的充要条件为行列式是一个非零的数.
§2 矩阵在初等变换下的标准形
矩阵也可以有初等变换定义3 下面的三种变换叫做矩阵的初等变换：
(1) 矩阵的两行（列）互换位置；
(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；
(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式.
和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第行的倍加到第行上得
仍用表示由单位矩阵经过第行第行互换位置所得的初等矩阵，用表示用非零常数乘单位矩阵第行所得的初等矩阵.同样地，对一个的矩阵作一次初等变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.
初等矩阵都是可逆的，并且有
.
由此得出初等变换具有可逆性：设矩阵用初等变换变成，这相当于对左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘就变回，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由可用初等变换变回.
定义4 矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为.
等价是矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质：
(!) 反身性：每一个矩阵与它自身等价.
(2) 对称性：若与等价，则与等价.
(3) 传递性：若与等价，与等价，则与等价.
应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵与等价的充要条件为有一系列初等矩阵，使
,(2)
这一节主要是证明任意一个矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.
引理 设矩阵的左上角元素，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低.
定理2 任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵
,
其中是首项系数为1的多项式，且
.
这个矩阵称为的标准形.
例 用初等变换化矩阵
为标准形.
§3 不 变 因 子现在来证明，矩阵的标准形是唯一的.
定义5 设矩阵的秩为，对于正整数，中必有非零的级子式,中全部级子式的首项系数为1的最大公因式称为的级行列式因子.
由定义可知，对于秩为的矩阵，行列式因子一共有个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.
定理3 等价的矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.
现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为
(1)
其中是首项系数为1的多项式，且.不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个级子式一定为零.因此，为了计算级行列式因子，只要看由行与列组成的级子式就行了，而这个级子式等于
显然，这种级子式的最大公因式就是
定理4 矩阵的标准形是唯一的.
证明 设(1)是的标准形.由于与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数;的级行列式因子就是
,(2)
于是
,(3)
这就是的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被的行列式因子所唯一决定的，所以的标准形是唯一的.
定义6 标准形的主对角线上非零元素称为矩阵的不变因子.
定理5 两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
由(3)可以看出，在矩阵的行列式因子之间，有关系式
,(4)
在计算矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了.
例如，可逆矩阵的标准形.设为一个可逆矩阵，由定理1知
,
其中是一非零常数，这就是说
于是由(4)可知，从而
因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵.反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵与等价的充要条件是有一系列初等矩阵，使
特别是，当时，就得到定理6 矩阵是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.
推论 两个的矩阵与等价的充要条件为，有一个可逆矩阵与一个可逆矩阵，使
.
§4 矩阵相似的条件在求一个数字矩阵的特征值和特征向量时曾出现过矩阵,我们称它为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个数字矩阵和相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.
引理1 如果有数字矩阵使
,(1)
则和相似.
引理2 对于任何不为零的数字矩阵和矩阵与，一定存在矩阵与以及数字矩阵和使
,(2)
,(3)
定理7 设，是数域上两个矩阵,与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.
矩阵的特征矩阵的不变因子以后简称为的不变因子.因为两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论 矩阵与相似的充要条件是它们有相同的不变因子.
应该指出，矩阵的特征矩阵的秩一定是.因此，矩阵的不变因子总是有个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.
以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.
§5 初等因子一、初等因子的概念定义7 把矩阵（或线性变换A）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵 (或线性变换A)的初等因子.
例 设12级矩阵的不变因子是
.
按定义，它的初等因子有7个，即
.
其中出现三次，出现二次.
现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设级矩阵的不变因子为已知.将分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：
,
,
,
则其中对应于的那些方幂
就是的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即
,
从而
.
因此在的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即
.
这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在的分解中，方次次高的必定出现在的分解中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.
二、初等因子与不变因子的求法上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法.设一个级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成个.设所得排列为
.
于是令
,
则就是的不变因子.
这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.
综上所述，即得定理8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.
初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些.
如果多项式都与互素，则.
.
引理 设
,
,
如果多项式都与互素，则和等价.
定理9 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是的全部初等因子.
§6 若尔当(Jordan)标准形的理论推导我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标准形的初等因子.
不难算出若尔当块
的初等因子是.
事实上，考虑它的特征矩阵
显然，这就是的级行列式因子.由于有一个级子式是
,
所以它的级行列式因子是1，从而它以下各级的行列式因子全是1.因此它的不变因子
.
由此即得，的初等因子是.
再利用§5的定理9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出.
设
是一个若尔当形矩阵，其中
.
既然的初等因子是，所以与
等价.于是
与
等价.因此，的全部初等因子是：
.
这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数与主对角线上元素所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定.
定理10 每个级的复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为的若尔当标准形.
例1 §5的例中，12级矩阵的若尔当标准形就是
例2 求矩阵
的若尔当标准形.
定理10换成线性变换的语言来说就是：
定理11 设A是复数域上维线性空间的线性变换，在中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.
应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得定理12 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的初等因子全为一次的.
根据若尔当形的作法，可以看出矩阵的最小多项式就是的最后一个不变因子.因此有定理13 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的不变因子都没有重根.
虽然我们证明了每个复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体求矩阵的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵，使成若尔当标准形的问题,的确定牵涉到比较复杂的计算问题.
最后指出，如果规定上三角形矩阵
为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理10，定理11的结论也成立.
§7 矩阵的有理标准形前一节中证明了复数域上任一矩阵可相似于一个若尔当形矩阵.这一节将对任意数域来讨论类似的问题.我们证明了上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.
定义8 对数域上的一个多项式
称矩阵
(1)
为多项式的伴侣阵.
容易证明，的不变因子(即的不变因子)是
.（见习题3）
定义9 下列准对角矩阵
,(2)
其中分别是数域上某些多项式的伴侣阵，且满足，就称为上的一个有理标准形矩阵.
引理 (2)中矩阵的不变因子为，其中1的个数等于的次数之和减去.
定理14 数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形，称为的有理标准形.
把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为定理15 设A是数域上维线性空间的线性变换，则在中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A的有理标准形.
例 设矩阵的初等因子为，则它的不变因子是1，，它的有理标准形为
..
第八章 矩阵(小结)
一、基本概念
矩阵，可逆的矩阵，秩；矩阵的初等变换及标准形，矩阵的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形.
二、主要结论
1,一个的矩阵是可逆的充要条件为行列式是一个非零的数.
2,任意一个非零的的矩阵都等价于其唯一的标准形矩阵：
,
其中是首项系数为1的多项式，且
.
3,两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
4,矩阵是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.
5,两个的矩阵与等价的充要条件为，有一个可逆矩阵与一个可逆矩阵，使
.
6,设，是数域上两个矩阵,与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.
7,两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.
8,首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是的全部初等因子.
9,每个级的复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为的若尔当标准形.
10,设A是复数域上维线性空间的线性变换，在中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.
11,复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的初等因子全为一次的(或的不变因子都没有重根).
12,数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形，称为的有理标准形.
13,设A是数域上维线性空间的线性变换，则在中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A的有理标准形.
§1 矩阵设是数域，是一个文字，作多项式环，一个矩阵如果它的元素是的多项式，即的元素，就称为矩阵.在这一章讨论矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.
因为数域中的数也是的元素，所以在矩阵中也包括以数为元素的矩阵.为了与矩阵相区别，把以数域中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以下用等表示矩阵.
我们知道，中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.
行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个的矩阵的行列式.一般地，矩阵的行列式是的一个多项式，它与数字矩阵的行列式有相同的性质.
定义1 如果矩阵中有一个级子式不为零，而所有级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为.零矩阵的秩规定为零.
定义2 一个的矩阵称为可逆的，如果有一个的矩阵使
,(1)
这里是级单位矩阵.适合(1)的矩阵(它是唯一的)称为的逆矩阵，记为..
定理1 一个的矩阵是可逆的充要条件为行列式是一个非零的数.
§2 矩阵在初等变换下的标准形
矩阵也可以有初等变换定义3 下面的三种变换叫做矩阵的初等变换：
(1) 矩阵的两行（列）互换位置；
(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；
(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式.
和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第行的倍加到第行上得
仍用表示由单位矩阵经过第行第行互换位置所得的初等矩阵，用表示用非零常数乘单位矩阵第行所得的初等矩阵.同样地，对一个的矩阵作一次初等变换就相当于在的左边乘上相应的初等矩阵；对作一次初等列变换就相当于在的右边乘上相应的的初等矩阵.
初等矩阵都是可逆的，并且有
.
由此得出初等变换具有可逆性：设矩阵用初等变换变成，这相当于对左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘就变回，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由可用初等变换变回.
定义4 矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为.
等价是矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质：
(!) 反身性：每一个矩阵与它自身等价.
(2) 对称性：若与等价，则与等价.
(3) 传递性：若与等价，与等价，则与等价.
应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵与等价的充要条件为有一系列初等矩阵，使
,(2)
这一节主要是证明任意一个矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.
引理 设矩阵的左上角元素，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低.
定理2 任意一个非零的的矩阵都等价于下列形式的矩阵
,
其中是首项系数为1的多项式，且
.
这个矩阵称为的标准形.
例 用初等变换化矩阵
为标准形.
§3 不 变 因 子现在来证明，矩阵的标准形是唯一的.
定义5 设矩阵的秩为，对于正整数，中必有非零的级子式,中全部级子式的首项系数为1的最大公因式称为的级行列式因子.
由定义可知，对于秩为的矩阵，行列式因子一共有个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.
定理3 等价的矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.
现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为
(1)
其中是首项系数为1的多项式，且.不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个级子式一定为零.因此，为了计算级行列式因子，只要看由行与列组成的级子式就行了，而这个级子式等于
显然，这种级子式的最大公因式就是
定理4 矩阵的标准形是唯一的.
证明 设(1)是的标准形.由于与(1)等价，它们有相同的秩与相同的行列式因子，因此，的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数;的级行列式因子就是
,(2)
于是
,(3)
这就是的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被的行列式因子所唯一决定的，所以的标准形是唯一的.
定义6 标准形的主对角线上非零元素称为矩阵的不变因子.
定理5 两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
由(3)可以看出，在矩阵的行列式因子之间，有关系式
,(4)
在计算矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了.
例如，可逆矩阵的标准形.设为一个可逆矩阵，由定理1知
,
其中是一非零常数，这就是说
于是由(4)可知，从而
因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵.反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵与等价的充要条件是有一系列初等矩阵，使
特别是，当时，就得到定理6 矩阵是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.
推论 两个的矩阵与等价的充要条件为，有一个可逆矩阵与一个可逆矩阵，使
.
§4 矩阵相似的条件在求一个数字矩阵的特征值和特征向量时曾出现过矩阵,我们称它为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个数字矩阵和相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.
引理1 如果有数字矩阵使
,(1)
则和相似.
引理2 对于任何不为零的数字矩阵和矩阵与，一定存在矩阵与以及数字矩阵和使
,(2)
,(3)
定理7 设，是数域上两个矩阵,与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.
矩阵的特征矩阵的不变因子以后简称为的不变因子.因为两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论 矩阵与相似的充要条件是它们有相同的不变因子.
应该指出，矩阵的特征矩阵的秩一定是.因此，矩阵的不变因子总是有个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.
以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.
§5 初等因子一、初等因子的概念定义7 把矩阵（或线性变换A）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵 (或线性变换A)的初等因子.
例 设12级矩阵的不变因子是
.
按定义，它的初等因子有7个，即
.
其中出现三次，出现二次.
现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，假设级矩阵的不变因子为已知.将分解成互不相同的一次因式方幂的乘积：
,
,
,
则其中对应于的那些方幂
就是的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即
,
从而
.
因此在的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有递升的性质，即
.
这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高的必定出现在的分解中，方次次高的必定出现在的分解中.如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.
二、初等因子与不变因子的求法上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法.设一个级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个一次因式的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的个数不足时，就在后面补上适当个数的1，使得凑成个.设所得排列为
.
于是令
,
则就是的不变因子.
这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.
综上所述，即得定理8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.
初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些.
如果多项式都与互素，则.
.
引理 设
,
,
如果多项式都与互素，则和等价.
定理9 首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是的全部初等因子.
§6 若尔当(Jordan)标准形的理论推导我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标准形的初等因子.
不难算出若尔当块
的初等因子是.
事实上，考虑它的特征矩阵
显然，这就是的级行列式因子.由于有一个级子式是
,
所以它的级行列式因子是1，从而它以下各级的行列式因子全是1.因此它的不变因子
.
由此即得，的初等因子是.
再利用§5的定理9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出.
设
是一个若尔当形矩阵，其中
.
既然的初等因子是，所以与
等价.于是
与
等价.因此，的全部初等因子是：
.
这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数与主对角线上元素所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定.
定理10 每个级的复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为的若尔当标准形.
例1 §5的例中，12级矩阵的若尔当标准形就是
例2 求矩阵
的若尔当标准形.
定理10换成线性变换的语言来说就是：
定理11 设A是复数域上维线性空间的线性变换，在中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.
应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得定理12 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的初等因子全为一次的.
根据若尔当形的作法，可以看出矩阵的最小多项式就是的最后一个不变因子.因此有定理13 复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的不变因子都没有重根.
虽然我们证明了每个复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体求矩阵的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵，使成若尔当标准形的问题,的确定牵涉到比较复杂的计算问题.
最后指出，如果规定上三角形矩阵
为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理10，定理11的结论也成立.
§7 矩阵的有理标准形前一节中证明了复数域上任一矩阵可相似于一个若尔当形矩阵.这一节将对任意数域来讨论类似的问题.我们证明了上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.
定义8 对数域上的一个多项式
称矩阵
(1)
为多项式的伴侣阵.
容易证明，的不变因子(即的不变因子)是
.（见习题3）
定义9 下列准对角矩阵
,(2)
其中分别是数域上某些多项式的伴侣阵，且满足，就称为上的一个有理标准形矩阵.
引理 (2)中矩阵的不变因子为，其中1的个数等于的次数之和减去.
定理14 数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形，称为的有理标准形.
把定理14的结论变成线性变换形式的结论就成为定理15 设A是数域上维线性空间的线性变换，则在中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A的有理标准形.
例 设矩阵的初等因子为，则它的不变因子是1，，它的有理标准形为
..
第八章 矩阵(小结)
一、基本概念
矩阵，可逆的矩阵，秩；矩阵的初等变换及标准形，矩阵的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形.
二、主要结论
1,一个的矩阵是可逆的充要条件为行列式是一个非零的数.
2,任意一个非零的的矩阵都等价于其唯一的标准形矩阵：
,
其中是首项系数为1的多项式，且
.
3,两个矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
4,矩阵是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.
5,两个的矩阵与等价的充要条件为，有一个可逆矩阵与一个可逆矩阵，使
.
6,设，是数域上两个矩阵,与相似的充要条件是它们的特征矩阵和等价.
7,两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.
8,首先用初等变换化特征矩阵为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是的全部初等因子.
9,每个级的复数矩阵都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的，它称为的若尔当标准形.
10,设A是复数域上维线性空间的线性变换，在中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A唯一决定的.
11,复数矩阵与对角矩阵相似的充要条件是的初等因子全为一次的(或的不变因子都没有重根).
12,数域上方阵在上相似于唯一的一个有理标准形，称为的有理标准形.
13,设A是数域上维线性空间的线性变换，则在中存在一组基，使A在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A唯一决定的，称为A的有理标准形.
